Comprensión de los conceptos de perímetro y área y la independencia de sus medidas, en el contexto de la agricultura del café

COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS DE PERÍMETRO Y ÁREA Y

LA INDEPENDENCIA DE SUS MEDIDAS, EN EL CONTEXTO DE LA

AGRICULTURA DEL CAFÉ

JUAN DAVID GONZÁLEZ MOLINA

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

FACULTAD DE EDUCACIÓN

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA

2014

COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS DE PERÍMETRO Y ÁREA Y

LA INDEPENDENCIA DE SUS MEDIDAS, EN EL CONTEXTO DE LA

AGRICULTURA DEL CAFÉ

Trabajo de investigación para optar al título de Magíster en Educación, en la

línea de Educación Matemática

JUAN DAVID GONZÁLEZ MOLINA

Asesores.

Mg. Zaida Margot Santa Ramírez

Dr. René Alejandro Londoño Cano

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

FACULTAD DE EDUCACIÓN

DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN AVANZADA

2014

“No se le puede enseñar nada a un hombre;

únicamente se le ayuda a encontrar la

respuesta dentro de

sí mismo".

Galileo.

A mi madre, Beatriz Helena, que me enseñó a no claudicar.

A mi hermano, Andrés Alfonso, porque su entereza me mostró

que de las adversidades se obtiene la grandeza.

A mi abuela, que alimentó mi curiosidad infantil.

A Leydi Viviana, porque su presencia en mi vida ha sido mi

inspiración.

A Johana, por salvar mi alegría, devolverme la vida y ser el

aliento de cada día.

A las matemáticas, que me seducen y me retan.

AGRADECIMIENTOS

Dar los agradecimientos es una tarea riesgosa, primero, porque si no se nombran

todas las personas y se tiene alguna ausencia, se lastima por olvido indebido y,

segundo, si no se hacen, se pasa a la historia como un no grato.

A los que me ayudaron desde el comienzo y hoy no están, y a quienes desde

lejos me alientan para triunfar.

A los compañeros de maestría: Fredy por su constante interés y oportunas

ayudas; Dora, por sus acertadas correcciones y a todos los demás por las

invaluables contribuciones a mi trabajo.

Al grupo de investigación Educación Matemática e Historia, por exigir siempre

lo mejor en los trabajos y no pasar por alto ni el más agazapado de los errores.

A Carlos Mario Jaramillo, por demostrar siempre interés en la calidad

académica de las investigaciones, por las orientaciones y valiosos aportes. A

René Londoño, por las acertadas recomendaciones y sana exigencia para dar

cumplimiento con las entregas.

A Zaida Santa, mi ángel académico. Por su inagotable dedicación y compromiso

hasta con los más mínimos detalles. Gracias por la insistencia para la

culminación y buen término de este arduo trabajo y, por encima de todo, por su

ternura y asertividad en las recomendaciones y en las infaltables correcciones.

A Josefina Molina,

La Tía,

porque su apoyo decidido me animó a continuar y a

superar los reveses de la vida.

TABLA DE CONTENIDO

CAPÍTULO 1 20

1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 20

1.1. ANTECEDENTES 20

1.1.1. El concepto de área y la delimitación de superficies en los orígenes de la

geometría 21

1.1.2. El concepto de área y la delimitación de superficies en la vida cotidiana y la

actividad académica 31

1.1.3. Dificultades en la comprensión de los conceptos de área y perímetro 36 1.1.4. La contextualización en el aprendizaje 41

1.1.5. Teorías de la comprensión 46

1.1.6. Otras investigaciones llevadas a cabo en el marco conceptual de la Enseñanza

para la Comprensión 62

1.1.7. Recomendaciones para la evaluación 68

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 74

1.3. OBJETIVOS 78

1.3.1. General 78

1.3.2. Específicos 78

CAPÍTULO 2 80

2. MARCO CONCEPTUAL: ENSEÑANZA PARA LA COMPRENSIÓN 80

2.1. ¿QUÉ ES LA COMPRENSIÓN? 81

2.2. ENSEÑANZA PARA LA COMPRENSIÓN (EPC) 83

2.2.1. Elementos de la Comprensión 83

2.3. RELACIÓN ENTRE LAS DIMENSIONES Y LOS NIVELES DE LA COMPRENSIÓN 102 CAPÍTULO 3 112 3. METODOLOGÍA PROPUESTA 112 3.1. PARADIGMA 112 3.2. TIPO DE ESTUDIO 115 3.3. PARTICIPANTES 117 3.4. RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN 118 3.4.1. Entrevista 119 3.4.2. Observación 120 3.4.3. Medios tecnológicos 120 3.4.4. Encuesta 120

3.5. VALIDACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN Y ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN 120

3.6. RUTA METODOLÓGICA 121

3.6.1 Fase de exploración 122

3.6.2. Fase de investigación guiada 123

3.6.3. Proyecto final de síntesis 125

CAPÍTULO 4 127

4. UNIDAD CURRICULAR Y ANÁLISIS DE LA COMPRENSIÓN 127

4.1. GUÍA CURRICULAR 128

4.1.1. Tópico generativo 128

4.1.2. Metas de comprensión 128

4.1.3. Actividades y desempeños 129

4.1.4. Descriptores de categorías por nivel 149

4.2. ANÁLISIS DEL PROCESO DE COMPRENSIÓN DE LOS PARTICIPANTES 158 4.2.1. Messi 158 4.2.2. Isis 189 4.2.3. Minerva 211 CAPÍTULO 5 233 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 233

5.1. CONSECUCIÓN DE LOS OBJETIVOS 233

5.1.1. Consecución del objetivo general 233

5.1.2. Consecución de los objetivos específicos 236 5.1.3. Respuesta a la pregunta de investigación 237 5.1.4. Ubicación final de los estudiantes por nivel 240 5.1.5. Contribuciones a la Educación Matemática 241

5.1.6. Recomendaciones 245

5.1.7. Futuras líneas de investigación 245

BIBLIOGRAFÍA 248

ANEXOS 254

Anexo A: Carta de aceptación al V Congreso Internacional de Formación y Modelación en

Ciencias Básicas, Universidad de Medellín 254

Anexo B: Carta de aceptación al 14º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa 255 Anexo C: Carta de aceptación al VI Congreso Internacional de Formación y Modelación en

Ciencias Básicas, Universidad de Medellín 256

Anexo D: Artículo publicado en la edición especial de la Revista Científica, octubre 2013 257 Anexo E: Artículo publicado en la revista Unipluriversidad, 2013 262 Anexo F: Invitación a publicar en la Revista Latinoamericana de Etnomatemática

Anexo G: Consentimiento informado, Messi 278

Anexo H: Entrevista Messi 279

Anexo I: Consentimiento informado, Isis 287

Anexo J: Entrevista Isis 288

Anexo K: Consentimiento informado, Minerva 294

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1: Relación función - gráfica. (Larson y Hostetler, 1990, p 302). ... 33

Tabla 2: Densidad de siembra ... 35

Tabla 3: Las cuatro dimensiones de la comprensión y sus rasgos (Boix y Gardner, 1999, pp. 244 – 245)... 103

Tabla 4: La dimensión del conocimiento: sus rasgos y niveles de comprensión (Boix y Gardner, 1999, pp. 246 – 247). ... 104

Tabla 5: La dimensión de los métodos: sus rasgos y niveles de comprensión (Boix y Gardner, 1999, pp. 248 – 250)... 105

Tabla 6: La dimensión de los propósitos: sus rasgos y niveles de comprensión (Boix y Gardner, 1999, pp. 251 – 253). ... 107

Tabla 7: La dimensión de las formas de comunicación: sus rasgos y niveles de comprensión (Boix y Gardner, 1999, pp. 254 – 256). ... 109

Tabla 8: Descriptores de categoría por nivel. Dimensión de Contenido. ... 150

Tabla 9: Descriptores de categoría por nivel. Dimensión de Método. ... 151

Tabla 10: Descriptores de categoría por nivel. Dimensión de Propósitos. ... 153

Tabla 11: Descriptores de categoría por nivel. Dimensión de Formas de Comunicación ... 154

Tabla 12: Messi, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Contenido. ... 163

Tabla 13: Messi, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Métodos. ... 164

Tabla 14: Messi, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Propósitos. ... 164

Tabla 15: Messi, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Formas de Comunicacion... 164

Tabla 16: Messi, caracterización parcial, Fase de investigación guiada. Dimensión de Contenidos. ... 180

Tabla 17: Messi, caracterización parcial, Fase de investigación guiada. Dimensión de

Métodos. ... 180

Tabla 18: Messi, caracterización parcial, Fase de investigación guiada. Dimensión de Propósitos. ... 181

Tabla 19: Messi, caracterización parcial. Fase de investigación guiada. Dimensión de Formas de Comunicación. ... 181

Tabla 20: Messi, caracterización, dimensión de contenido. ... 184

Tabla 21: Messi , caracterización, dimensión de Método. ... 185

Tabla 22: Messi, caracterización dimensión de Propósito ... 187

Tabla 23: Messi, caracterización, dimensión de Formas de comunicación. ... 188

Tabla 24: Isis, caracterización parcial. Fase de exploración. Dimensión de Contenido. ... 192

Tabla 25: Isis, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Métodos. ... 193

Tabla 26: Isis, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Propósitos. ... 193

Tabla 27: Isis, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Formas de Comunicacion... 193

Tabla 28: Isis, caracterización parcial. Fase de investigación guiada. Dimensión de Contenido. ... 204

Tabla 29: Isis, caracterización parcial, Fase de investigación guiada. Dimensión de Métodos. ... 204

Tabla 30: Isis, caracterización parcial, Fase de investigación guiada. Dimensión de Propósitos ... 205

Tabla 31: Isis, caracterización parcial. Fase de investigación guiada. Dimensión de Formas de Comunicación... 205

Tabla 32: Isis, caracterización, dimensión de Contenido. ... 208

Tabla 34: Isis, caracterización, dimensión de Propóstitos ... 210

Tabla 35: Isis, caracterización, dimensión de Formas de Comunicación ... 210

Tabla 36: Minerva, caracterización parcial. Fase de exploración. Dimensión de Contenido. 214 Tabla 37: Minerva, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Métodos. .. 215

Tabla 38: Minerva, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Propósitos.215 Tabla 39: Minerva, caracterización parcial, Fase de exploración. Dimensión de Formas de Comunicacion... 216

Tabla 40: Minerva, caracterización parcial. Fase de investigación guiada. Dimensión de Contenido. ... 225

Tabla 41: Minerva, caracterización parcial. Fase de investigación guiada. Dimensión de Métodos. ... 225

Tabla 42: Minerva, caracterización parcial. Fase de investigación guiada. Dimensión de Propósitos. ... 226

Tabla 43: Minerva, caracterización parcial. Fase de investigación guiada. Dimensión de Formas de Comunicación. ... 226

Tabla 44: Minerva, caracterización, dimensión de Contenido. ... 228

Tabla 45: Minerva, caracterización, dimensión de Método. ... 229

Tabla 46: Minerva, caracterización, dimensión de Propósitos. ... 231

Tabla 47: Minerva, caracterización, dimensión de Formas de Comunicación ... 231

Tabla 48: Ubicación final de los estudiantes. Dimensión de Contenido. ... 240

Tabla 49: Ubicación final de los estudiantes. Dimensión de Método. ... 240

Tabla 50: Ubicación final de los estudiantes. Dimensión de Propósitos. ... 241

ÍNDICE DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1: Método Egipcio para cálculo de la medida de la superficie circular. 27

Ilustración 2: Elementos II.14. 28

Ilustración 3: Arquímedes, proposición 1. 29

Ilustración 4: Fases y Niveles de Van Hiele (Corberán et al., 1994, p. 28). 52 Ilustración 5: Estratos de la comprensión (Meel, 2003, p. 236) 54 Ilustración 6: Comportamiento Fractal del nivel de Conocimiento Primitivo (Meel, 2003, p.

240). 57

Ilustración 7: Complementariedad de forma y proceso en la teoría de Pirie Kieren (Meel,

2003, p. 241). 58

Ilustración 8: Complemento de Límites de falta de necesidad en el modelo de Pirie y Kieren

(Meel, 2003, p. 242). 59

Ilustración 9: Fichas para actividad de equivalencia de polígono. 179 Ilustración 10: Fichas para actividad de equivalencia de polígono. 179 Ilustración 11: Fichas para actividad de equivalencia entre mitades del cuadrado unidad. 179

ÍNDICE DE IMÁGENES

Imagen 1: Tablilla Babilónica (Gibson y Morden, sf). 26

Imagen 2: Terminología Cafetera. 45

Imagen 3: Terminología cafetera. 46

Imagen 4: Unidades de medida en el contexto creado para las actividades en la almaciguera 135

Imagen 5: Croquis de lote sin tajos. 138

Imagen 6: Lote dividido en tajos. 138

Imagen 7: Lote para reconocimiento de perímetro y área. 140 Imagen 8: Conservación del área. Lote para redistribución de tajos. 142 Imagen 9: Comprobar la igualdad del área en polígonos diferentes. 143 Imagen 10: Respuestas de personas cercanas a Messi sobre la definición de área y perímetro.

160 Imagen 11: Continuación de respuestas de personas cercanas a Messi sobre la definición de

área y perímetro. 160

Imagen 12: Participantes en la almaciguera realizando la actividad: igual perímetro, diferente

área. 167

Imagen 13: Participantes en la almaciguera realizando la actividad: igual perímetro diferente

área. 167

Imagen 14: Participantes en la almaciguera realizando la actividad: igual área, diferente

perímetro. 168

Imagen 15: Participantes en la almaciguera realizando la actividad: igual área, diferente

perímetro. 169

Imagen 17: Observación del punto de uno de los perímetros anteriormente medidos en la

actividad igual área, diferente perímetro. 170

Imagen 18: Observación de los diferentes perímetros obtenidos con rectángulos de 40

unidades de bolsa: 8*5, 10*4 y 20*2. 170

Imagen 19: Respuestas de Messi en reconocimiento y conceptualización de área y perímetro y

la independencia de sus medidas. 172

Imagen 20: Respuesta Messi en relación a la conservación del área en el contexto de la

agricultura del café. 173

Imagen 21: Necesidad de medición para asegurar la igualdad o diferencia de áreas. 174 Imagen 22: Necesidad de medición para asegurar la igualdad o diferencia de áreas. 175 Imagen 23: Lote dividido en tajos sembrados de café. 176 Imagen 24: Messi, delineación de tajos en un lote. 176 Imagen 25: Messi estimación del perímetro del nuevo lote con conservación de tajos 177 Imagen 26: Messi, actividad de comprobación de igualdad de áreas en diferentes polígonos.

178 Imagen 27: Respuestas Isis, concepto de área y perímetro. 191 Imagen 28: Respuestas Isis, asociación área y perímetro con los términos agrícolas tajo y

cercado. 198

Imagen 29: Respuestas Isis, independencia de las medidas de área y perímetro. 198 Imagen 30: Respuestas Isis, reconocimiento del área y el perímetro en el contexto de la

agricultura del café. 199

Imagen 31: Isis, realizando la actividad de medición para la argumentación de igual o

diferencia de áreas. 199

Imagen 32: Isis, respuestas en la actividad de necesidad de medir para asegurar la diferencia o

Imagen 33: Isis, actividad de redistribución de tajos y conservación del área del lote. 200 Imagen 34: Isis, estimación del perímetro lote dividido en tajos sembrados de café. 201 Imagen 35: Isis, redistribución de los tajos y conservación del área del lote. 202 Imagen 36: Isis, actividad: comprobación de la igualdad de área de diferentes polígonos. 202 Imagen 37: Minerva, respuestas de personas cercanas sobre los conceptos de área y perímetro.

214 Imagen 38: Comprobación de que la diferencia de perímetros es igual a dos longitudes de

lado de bolsa de almácigo. 219

Imagen 39: Minerva, asociación del concepto de perímetro con uno de los términos agrícolas

cercado y tajo. 220

Imagen 40: Minerva, asociación del concepto de área con uno de los términos agrícolas

cercado y tajo. 220

Imagen 41: Minerva, argumentación sobre la independencia de las medidas del perímetro y el

área. 220

Imagen 42: Minerva, reconocimiento de los conceptos de área y perímetro en el contexto del

cultivo del café. 221

Imagen 43: Minerva, igualdad del área de un lote con diferente distribución de tajos. 221 Imagen 44: Minerva, argumentación de igualdad del área de un lote con diferente distribución

de tajos. 222

Imagen 45: Minerva, necesidad de medir para determinar la igual o diferencia de áreas. 222 Imagen 46: Minerva, argumentación sobre la necesidad de medir para determinar la igual o

diferencia de áreas. 223

Imagen 47: Minerva, actividad de conservación del área, redistribución de los tajos de un lote 223

Imagen 48: Minerva, argumentación sobre la conservación del área en la redistribución de

tajos 224

RESUMEN

La presente investigación está orientada hacia la caracterización de los conceptos de perímetro y área y la independencia de sus medidas, en tres estudiantes del grado 5° de una institución educativa rural del municipio de Andes. La investigación se hizo bajo la

metodología cualitativa y para ello se tomaron varias referencias bibliográficas, entre ellas Sandoval (2002), Taylor y Bogdan (1986) y Vasilachis (2006). Desde la perspectiva del investigador, la metodología es apropiada en la medida que permite, más que cuantificar la realidad, describirla e interpretarla. Como apoyo a la metodología, se hizo uso del método de estudio de casos, porque este permite realizar el análisis de los sujetos investigados o de los procesos estudiados en los participantes durante el trabajo de campo, que en este caso serían los procesos de comprensión de conceptos geométricos.

El planteamiento del problema se hizo desde la historicidad de los conceptos objetos de estudio de la investigación, su importancia y vigencia; esto se planteó desde autores como Cortés (2012), Parra (2009), Leithold (2005), Larson y Hostetler (1990); también se resaltan las vivencias personales del investigador, debido a que en su práctica diaria se encontró con lo que a su juicio eran dificultades en la comprensión y en la enseñanza. En el rastreo

bibliográfico se halló que autores como del Olmo, Moreno y Gil (1993), Corberán (1996), D’Amore y Fandiño (2007), Chamorro, Belmonte, Llinares y Vecino (2008), Fandiño y D’Amore (2009), identificaron y estudiaron situaciones muy similares. La investigación se orientó entonces a proponer una guía curricular que aporte a la solución de dichas

dificultades; para la elaboración de la misma se recurrió a las directrices del marco conceptual de la Enseñanza para la Comprensión, al contexto socio-cultural como insumo para las

matemáticas (MEN, 1998), y en autores como Gómez (1989), Font (2007) y Berrío (2011); además, es importante mencionar que el marco conceptual posibilita la ampliación curricular al vincular el contexto al aula de clase y, de esta manera, construir sentido sobre los conceptos estudiados. Por lo tanto, la pertinencia de la Enseñanza para la Comprensión, en el presente estudio, se apoya en Rendón (2009) y en Acevedo (2011).

Seguidamente, se expone la guía curricular elaborada a partir de los elementos y aportes de la Enseñanza para la Comprensión, buscando que los estudiantes alcancen niveles cada vez más altos. La caracterización de la comprensión y la observación del progreso en los niveles de la misma, se realiza a través de una rúbrica, denominada Descriptores de Categorías por Nivel. Para esta rúbrica, se tomaron como referencia las dimensiones y niveles establecidos desde el marco conceptual; las categorías fueron elaboradas a priori desde las pretensiones curriculares y expresadas en las metas de comprensión y tópicos generativos, ambos, elementos del mencionado marco conceptual.

Para cerrar el informe, se presentan las conclusiones relacionadas con la consecución de los objetivos, un acercamiento a la respuesta de la pregunta de investigación y un informe del progreso de los participantes en cuanto al nivel alcanzado en la comprensión de los conceptos objeto de estudio. También se plantea la posibilidad de futuras líneas de investigación y los aportes que, a juicio del investigador, se hicieron a la Educación Matemática.

CAPÍTULO 1

1. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

El primer capítulo contiene la información sobre el planteamiento del problema, para lo cual se presentan, en primer lugar, los antecedentes; luego, se presenta la problemática

evidenciada por el investigador desde su práctica docente, contrastada con investigaciones internacionales, en las que se encontraron situaciones similares. Posteriormente, se plantea la pregunta de investigación, los objetivos que se desean alcanzar y, por último, algunas

recomendaciones para la evaluación escolar desde la visión de evaluación formativa que se propone desde la normatividad colombiana y que concuerda con los principios del marco conceptual elegido para llevar a cabo la investigación.

1.1. ANTECEDENTES

Los antecedentes a los que se refiere esta investigación, están presentados en siete subcapítulos. Se inicia con las concepciones de los términos área y perímetro, seguidamente se complementa con un recuento histórico sobre las primeras formas de medición descubiertas hasta el momento y el aporte de civilizaciones que utilizaron los conocimientos en geometría para resolver sus problemas de construcción, delimitación y medida de terrenos e, incluso, para creaciones artísticas. Posteriormente, se expone el interés y la necesidad actual de

comprender los conceptos de área y perímetro debido a que su uso es recurrente no solo en las aulas de clase sino en situaciones de la vida cotidiana, tal es el caso de las medidas de

terrenos, potreros, parques, canchas o fachadas. Como elemento fundamental para la investigación, se analizan las ideas de autores que han evidenciado dificultades para la comprensión de los conceptos de área y perímetro; entre estas dificultadas se encuentran: la

falsa relación de dependencia entres sus medidas, la confusión de los términos y la reducción del concepto a una simple expresión numérica o fórmula de cálculo de la misma en polígonos regulares. Desde el título de la investigación se pone de manifiesto que se busca vincular el contexto a situaciones de aprendizaje, debido a ello, se dedica un apartado a la

contextualización del aprendizaje y se sustenta desde los lineamientos curriculares, donde se presentan las propuestas metodológicas del Ministerio de Educación Nacional (MEN, 2006) y, además, se toma como fuente una tesis de maestría llevada a cabo en la misma subregión departamental. Otros antecedentes importantes para este trabajo, son los que se han dedicado a la teorización e investigación sobre la comprensión, dado esto, en uno de los subcapítulos se analizan teorías de la comprensión como el Modelo Educativo de Van Hiele, el de Pirie y Kieren y el de Enseñanza para la Comprensión, este último adoptado como el marco

conceptual de referencia. En esta perspectiva, se enuncian y analizan otras investigaciones en Educación Matemática bajo el marco conceptual seleccionado. Por último, se presenta una revisión bibliográfica, con base en las ideas del MEN (2006), en la que se estipulan los referentes de evaluación nacional como seguimiento a la calidad de la educación, desde los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas.

1.1.1. EL CONCEPTO DE ÁREA Y LA DELIMITACIÓN DE SUPERFICIES EN LOS ORÍGENES DE LA GEOMETRÍA

Aunque no se sabe con exactitud cuándo se originó el concepto de área, ni por qué ese nombre fue escogido para referirse a la extensión en unidades cuadradas de una superficie, sí es claro que en el español etimológicamente se deriva de las raíces latinas del adjetivo árido, y las palabras ardor y arder. En sus orígenes, la palabra se usaba para designar un terreno baldío y sin sembrado en el que se extendía el trigo para ser secado, luego se aplicó a la explanada de

los templos y por generalización a cualquier terreno desprovisto de sembrados. Después, sin más, se tomó para designar la medida de esos terrenos en unidades de 100 metros cuadrados (Anders, 2013). Actualmente, la Real Academia de la Lengua Española define área, en su primera acepción, como “espacio de tierra comprendido entre ciertos límites” (RAE, 2001), pero, para Fandiño y D’Amore (2009) “es la medida bidimensional, es decir, un número real acompañado de una oportuna unidad de medida” (p. 22). También está claro que medirla y calcularla es una preocupación de vieja data, al igual que otros intereses geométricos como el cálculo del valor circunferencial; hay evidencias escritas, encontradas en tablillas y papiros, de que los pueblos sumerios, fenicios y egipcios se ocuparon de los procedimientos para calcular el área contenida en circunferencias (círculo), rectángulos y triángulos.

El término perímetro no es de origen español; se tiene información de que este concepto se dio primero en griego, περιϕερια, que significa periferia (Rodríguez, 2006) y luego se latinizó; por lo tanto, su etimología debe buscarse en estos idiomas. El prefijo peri se entiende como alrededor y el sufijo metron como medida, entonces puede aceptarse como medida alrededor de. Por su parte, Fandiño y D’Amore (2009) definen perímetro como la medida lineal de una figura plana, además, distinguen este de la frontera o contorno, que es la línea cerrada que delimita un polígono.

Por otro lado, la Geometría, como los demás saberes formalizados y llevados a la categoría de ciencia, nació por la reflexión de los estudiosos sobre la solución de las

necesidades apremiantes y de cotidiano aparecer. La necesidad de contar se solucionó con la invención del número, la necesidad de expresar sus interpretaciones personales dio origen al arte, la necesidad de medir los espacios y de edificar dieron origen a la geometría; al respecto, manifiesta Viedma (1970) que “la Geometría nació para ayudar al hombre a resolver sus

problemas de medición y construcción; después, por obra de los griegos, se perfeccionó y se convirtió en una ciencia pura” (p. 6); otro autor que habla sobre el mismo aspecto y que también resalta el paso de la geometría de saber práctico a disciplinar, es Cortés (2012), quien asegura que:

La Geometría es tan antigua como la humanidad y ha acompañado al ser humano a lo largo de toda su historia: los babilonios y los egipcios ya la utilizaban tanto en la

resolución de problemas aplicados a la vida diaria como en la creación artística. Fue

posteriormente, en Grecia, donde la Geometría se transforma en una ciencia que se estructura con un razonamiento lógico-deductivo [...] (p, 3)

El desarrollo de esta ciencia no fue uniforme para todos los pueblos, ni se dio

secuencialmente de uno a otro; probablemente el intercambio comercial y el interés de unos por aprender y entender los conocimientos de los otros, fueron las causas para que se integraran las disciplinas de estudio aplicadas en la vida diaria y la práctica continua; en concordancia, Morales (2002) afirma:

Las formas y vías del desarrollo de los conocimientos matemáticos en los diferentes pueblos son muy diversas; sin embargo, el común para todos los pueblos es que todos los conceptos básicos de las matemáticas: número, figura, área, prolongación infinita de la serie natural, etc., surgieron de la práctica y atravesaron un largo período de perfeccionamiento. (p. 5)

La Geometría, aún mucho antes de que se pensara en ella como una estructura sistemática o conjunto de conocimientos y saberes para heredarlos a las generaciones

tan antigua como la civilización misma, pues, el reconocimiento y la demarcación de un espacio de terreno ya es un primer paso en la aparición de la geometría.

Lo que hoy se conoce de las grandes culturas o civilizaciones, sus conocimientos, innovaciones y/o avances, se debe a los hallazgos encontrados en piedras conservadas, tabletas de arcilla, rollos de papiro, creaciones artísticas y construcciones monumentales. De hecho, “existen tabletas sumerias en las cuales se pide determinar el área de un cuadrado, dada la medida de la diagonal; o el área de un hexágono regular dado el lado” (Fandiño y D’Amore, 2009, p. 46). Los mismos autores hacen alusión a que en algunos papiros egipcios es recurrente la figura de tenedor de cuerdas, funcionario que tenía por oficio trazar las parcelas luego de las inundaciones del Nilo. Tales hallazgos son evidencia de que conocían y aplicaban propiedades geométricas solucionando problemas de su diario vivir; entre los problemas y soluciones a los que se enfrentaban comúnmente, se encuentran la demarcación de superficies, determinación de perímetros, el cálculo de áreas y volúmenes. Sobre los conocimientos geométricos de los egipcios, Morales (2002), manifiesta:

La mayoría de los problemas de geometría que aparecen en los papiros hacen referencia a fórmulas de medición necesarias para evaluar el área de figuras planas y de ciertos volúmenes. El área de un triángulo isósceles se obtiene multiplicando la mitad de la base por la altura. Los egipcios parecen acostumbrados a transformaciones que comprenden la semejanza de rectángulos con ayuda de triángulos isósceles y trapecios isósceles. Calculan también el volumen de cilindros y prismas, pero desconocen el Teorema de Pitágoras en su formulación general. (p. 10)

En Cortés (2012), quien también se ocupa del desarrollo histórico y cultural de la geometría, en relación a las evidencias arqueológicas sobre los conocimientos de antiguas

culturas, se encuentra información relevante que podría ampliar la aseveración de Morales (2002):

En 1936 se desenterró una colección de tablillas procedentes de Susa, a unos 300 km al este de Babilonia, en las que se comparan las áreas y cuadrados de los lados de los

polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, y 7 lados [...]

Junto al cálculo de áreas de los campos aparecen cálculos de los rendimientos totales de terrenos, trataron cuestiones de proporcionalidad en el triángulo. En general



aproximado por 3, aunque en las tablillas de Susa aparece como razón del perímetro del hexágono regular a la circunferencia circunscrita: 31

8.

Conocían también el teorema de Pitágoras, al menos en cuanto a su contenido, que en los primeros tiempos se empleaba tan solo en problemas concretos […]

El problema de determinar triángulos rectángulos cuyos lados fueran de longitud racional condujo al problema análogo de encontrar tripletas numéricas. En este sentido quizás la más famosa de las tablillas mesopotámicas sea la tablilla de Plimpton 322 que se conserva en la Universidad de Columbia, en la que aparece la primera relación de ternas pitagóricas, es decir tres números naturales que cumplen que a2 _{+ b}2 _{= c}2 _{de la que se tenga}

conocimiento. (Cortés, 2012, p. 10)

Lo expuesto por Cortés (2012) permite afirmar que los babilónicos u otras

civilizaciones utilizaban las unidades cuadradas para asociarlas a la medida de áreas y que con ellas efectuaban operaciones, por lo menos, dentro del campo de la aritmética.

Otros de los pueblos antiguos que desarrollaron conocimientos geométricos son los mesopotámicos. Estos utilizaban el trazado de triángulos rectángulos y subdivisión de estos en otros triángulos menores de área conocida para realizar el cálculo de la longitud de uno de los lados.

En el museo de Bagdad se conserva una tablilla en la que está dibujado un triángulo rectángulo ABC de lados a60, b45 y c75, subdivido en cuatro triángulos

rectángulos menores ACD, CDE, DEF, EFB, cuyas áreas eran conocidas y a partir de cuyos valores el escriba calculaba la longitud de AD utilizando aparentemente un tipo de ‘fórmula de semejanza’ que viene a ser equivalente a nuestro teorema que dice que las áreas de figuras semejantes son entre sí como los cuadrados de los lados correspondientes. (Cortés, 2012, p. 11)

Imagen 1: Tablilla Babilónica (Gibson y Morden, sf)1_.

También hay evidencia de que los egipcios, además de saber calcular el área de los triángulos sabían calcular la medida, en unidades cuadradas, de regiones contenidas por circunferencias, rectángulos y trapecios y que probablemente usaban procedimientos de

proporcionalidad y semejanza. Con respecto a los conocimientos alcanzados por el pueblo establecido en el delta del Nilo, el mismo autor comenta:

Los egipcios utilizaban una regla precisa relativa a la circunferencia: la razón entre el área de un círculo y su circunferencia es la misma que entre el área del cuadrado circunscrito al círculo y su perímetro. Según Boyer, esta relación tiene una significación matemática mucho mayor que la aproximación a



Con relación al método utilizado para calcular el área del círculo, de acuerdo con lo encontrado en el papiro de Hames, los egipcios operaban “a través de un octágono a partir de un cuadrado de 9 unidades, dividiendo cada parte en 3 partes iguales y suprimiendo los 4 triángulos isósceles de las esquinas” (Cortés, 2012, p. 13). Procedimiento más simple que el posteriormente usado por los griegos y al que llamaron método exhaustivo.

En Cortés (2012), se afirma que el pueblo de los faraones, además de saber operar con semejanzas y relaciones entre figuras, utilizaba enunciados precisos para formularlas, como por ejemplo que “el área de un triángulo isósceles es igual al área del rectángulo formado por sus dos mitades” (p. 12).

En el segundo libro de Los Elementos de Euclides se encuentra todo un tratado sobre problemas de áreas, este, a pesar de ser el más corto de los 13 libros, tiene 14 proposiciones dedicadas a triángulos y rectángulos, estas junto a sus demostraciones fueron luego llamadas, por algunos estudiosos, como álgebra geométrica (Jiménez, 2010). La última proposición de este libro ha sido denominada como El Problema de la Cuadratura y se expresa como: “construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada […] garantiza la solución para cualquier figura poligonal con número finito de lados”(Jiménez, 2010, p. 192), seguidamente el autor expresa:

Esta proposición se relaciona de manera directa con VI.13, problema en el que se exige la búsqueda de una Figura 10: Proposición II.14 de Euclides (relacionada con VI.13) media proporcional entre dos magnitudes dadas. Ambas proposiciones caracterizan a la circunferencia de diámetro AB… como el lugar geométrico de los puntos P tales que la recta PR –con R en la recta AB– es perpendicular a AB y el cuadrado de PR es igual al rectángulo formado con AR y RB. (p. 192)

Parece ser que la unidad de medida del área, el cuadrado de lado uno, proviene desde la escuela de Alejandría: “en el caso del área la figura patrón por excelencia fue el cuadrado, de ahí la denominación de cuadratura para referirse al problema de hallar el área de una figura plana” (Jiménez, 2010, p. 204).

Tiempo después sobresalen, en la historia de la geometría y de especial interés para el objeto de estudio de esta investigación, Arquímedes de Siracusa y Apolonio de Perga, quienes, entre otras cosas, se interesaron por el área de las parábolas, las hipérboles, las elipses, pero el primero de ellos además trató sobre la espiral y el círculo (Parra, 2009) y la constante de relación entre este y la circunferencia (Fandiño y D’Amore, 2009). Parra (2009), tomando apartados del libro de Arquímedes, sobre la medida del círculo, transcribe:

1. El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.

Ilustración 3: Arquímedes, proposición 1.

2. El área del círculo es al cuadrado de su diámetro 11 a 14 (el círculo es los 11/14 del cuadrado circunscrito si la longitud de la circunferencia es 31₇ veces del valor del diámetro).

3. El perímetro de todo círculo es igual al triple del diámetro aumentado en un segmento comprendido entre 10/71 y 1/7 de dicho diámetro (lo que equivale a decir que el

perímetro del círculo es menor que los 31₇ del diámetro puesto que es superior a los 310₇₁ de este diámetro). (p. 14-15)

Uno de los métodos que lleva a cabo para demostrar sus proposiciones es el exhaustivo, que consiste en trazar polígonos regulares inscritos y circunscritos, pero, con una variación, además de considerar sus áreas también consideraba sus perímetros, por este método encontró una aproximación al valor de la constante de relación entre el radio y la longitud de la

circunferencia (

Π)

Como ya se ha dicho, la relación entre el área contenida dentro de la circunferencia y la longitud de la misma fue un interés común de muchos pueblos, pero, los métodos y técnicas empleadas para determinar la constante de relación los llevó a encontrar distintos valores, por ejemplo: una aproximación a 3,16049 fue la establecida por los egipcios; 3,125 la de los sumerios y los hebreos la redondearon a 3 (Fandiño y D’Amore, 2009).

Por lo expuesto hasta el momento, históricamente, las grandes civilizaciones se ocuparon de problemas geométricos que les dieran solución a sus necesidades y entre ellas estaba la de comparar terrenos o su equivalente geométrico de semejanza de figuras, trazar perpendiculares que los llevó a descubrir las relaciones de los lados del triángulo rectángulo, calcular distancias y longitudes; estas últimas dos situaciones están asociadas al concepto de perímetro y, además, se ocuparon de la medición de superficies, es decir, al cálculo de áreas.

La evolución de las matemáticas se ha dado constantemente, ya se mencionó cómo Euclides, a través del tratamiento lógico-deductivo dio a la geometría nivel de ciencia. Pero el estudio permanente de ellas ha llevado al planteamiento de nuevos problemas y por

enfrentaron a la resolución de cuatro problemas significativos: La tangente, la velocidad y la aceleración, los máximos o mínimos y el problema del área (Larson y Hostetler, 1990).

1.1.2. EL CONCEPTO DE ÁREA Y LA DELIMITACIÓN DE SUPERFICIES EN LA VIDA COTIDIANA Y LA ACTIVIDAD ACADÉMICA

Los conceptos de área y perímetro, como se ha argumentado en párrafos anteriores, han interesado a la humanidad desde los inicios de las sociedades, tanto así que los egipcios y los griegos tenían procedimientos para calcularlos en diferentes figuras y relacionaban estas medidas; incluso pueblos anteriores a estos también lo hacían. Fandiño y D’Amore (2009) hacen hincapié en que los griegos, por muchos siglos, se plantearon el problema de la

cuadratura del círculo y que “buscaron la fórmula que les permitiera transformar la superficie de un círculo de radio r en la de un cuadrado de lado l, con l en términos de r” (p. 58).

Es más, dentro de los cuatro grandes problemas del siglo XVII, que originaron el cálculo, se encuentra el que Larson y Hostetler (1990) enumeran como el cuarto, y lo denominan, el “Problema de las áreas” (p. 113). Muñoz y Román (1999) enmarcan esto último en lo que llaman problemas de integración, que se orientan a hallar la longitud de una curva o el área encerrada en ella; este problema también fue de gran interés para Arquímedes. El método de llenado o exhaustivo, antes mencionado, perfeccionado con el paso al límite y la noción de infinito, fueron los insumos para la aparición del cálculo

El uso de los conceptos objeto de estudio de esta investigación no se ha difuminado con el paso del tiempo; de hecho, ha ocurrido todo lo contrario, son utilizados en la vida cotidiana y en distintos niveles de complejidad de las matemáticas, desde las nociones de geometría elemental hasta en el cálculo, tanto diferencial como integral. En estos últimos es recurrente el

uso de los conceptos de área o perímetro para la formulación de enunciados en los que se pide calcularlos o en los que se hace referencia a ellos. A continuación se exponen, a modo de ejemplo, algunos de los ejercicios propuestos en estas ramas de las matemáticas.

Larson y Hostetler (1990) en los ejercicios de la Sección 4.7 del capítulo de Aplicaciones de la Derivada, proponen situaciones como las siguientes:

¿Qué longitud y anchura debe tener un rectángulo de 100 pies de perímetro para que su área sea máxima?... Un pabellón deportivo cubierto consta de una zona rectangular y un semicírculo en cada uno de sus extremos. Si el perímetro del pabellón ha de ser una pista de 200 metros, calcular las dimensiones que hacen máxima el área de la zona rectangular… La suma de perímetros de un cuadrado y un triángulo equilátero es de 10. Hallar las

dimensiones de ambos para que el área total sea mínima. (pp. 238 - 239)

Los mismos autores, en el capítulo 5, Integración, Sección 5.4 Área, en el que tratan el llamado cuarto problema, para hacer la introducción a la situación general de calcular el área de una región en el plano, comienzan con lo que, según ellos en la geometría euclidiana, es el tipo de región plana más simple, el rectángulo, y muestran cómo con el triángulo, que tiene la mitad del área del primero, se puede determinar el área de cualquier otro polígono, pero, advierten que hallar el área de regiones planas más generales es más difícil. Por eso, en los ejercicios de finalización de la unidad piden aproximar el área de cada una de las funciones y gráficas dadas.

Tabla 1: Relación función - gráfica. (Larson y Hostetler, 1990, p 302).

𝑦 = √𝑥 𝑦 = √𝑥 + 1 _{𝑦 = 1 𝑥}⁄

𝑦 = 1

𝑥 − 2 𝑦 = √1 − 𝑥2 𝑦 = √𝑥 + 1

Leithold (2005), en la cuarta sección del capítulo cuarto, aborda el concepto de área y dice que el “área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que pueda ser descompuesto, y puede demostrarse que el área así obtenida es

independiente de cómo se descompuso el polígono” (p. 328). Más adelante, afirma que definir “el área de una región en un plano si la región está limitada por una curva” (p. 328) es útil para establecer “los fundamentos necesarios para motivar geométricamente la definición de integral definida” (p. 329). El mismo autor, en el ejercicio 2.6 del capítulo 2, Derivada y Diferenciación, propone el siguiente problema:

La ley de Stefan establece que un cuerpo emite energía radiante de acuerdo con la fórmula 𝑅 = 𝑘𝑇4, donde R es la media tasa de emisión de energía radiante por unidad cuadrada de área, T es la medida de la temperatura Kelvin de la superficie, y k es una constante. Determine (a) la tasa promedio de variación de R con respecto a T cuando T se incrementa de 200 a 300; (b) la tasa instantánea de variación de R con respecto a T cuando T

= 200. (p. 150)

Por lo dicho en este problema, es claro que el concepto de área es también utilizado en ciencias como la física; es también el caso de la presión, de la que se dice “la presión P, ejercida por la fuerza F⃗ sobre el área A, es la relación entre la magnitud de F⃗ y el valor del área A” (Ribeiro y Alvarenga, 2004, p. 298). Además, el concepto demográfico de densidad de población también incluye, para su definición y comprensión, el concepto de área.

Adicional a lo expresado anteriormente, es necesario decir que el concepto de área es fundamental no solo en el ámbito académico, sino que se emplea ampliamente en diversos contextos: agricultura, arquitectura, edificios, aeropuertos, escenarios deportivos, vehículos, artículos del hogar y más. Como ejemplo, se tomarán tres casos concretos:

La definición de la densidad de siembra:

La densidad de siembra se define como el número de plantas por unidad de área de terreno. Tiene un marcado efecto sobre la producción del cultivo y se considera como un insumo, de la misma forma que se considera por ejemplo, un fertilizante. (Arcila, 2007, p. 132)

En la revista Agro Mensajes de la Facultad de Ciencias Agrarias de la Universidad Nacional de Rosario, Argentina, se afirma que la densidad de siembra es el número de plantas

por área medida en metros cuadrados (n/m2); en la siguiente tabla se relacionan algunas plantas y la correspondiente densidad de siembra:

Tabla 2: Densidad de siembra

Especie Número/m2

Alfalfa 68 Festuca 23 Cebadilla 40

Otro ejemplo del uso del concepto de área se encuentra en la página de distribuidora Pintuco (sf). Para dar a conocer el rendimiento de la pintura Acriltex en la superficie a cubrir con pintura, se afirma:

RENDIMIENTO: Sobre Estuco Profesional Pintuco: de 25 a 30 m2_{/galón a dos}

manos. En repinte sobre color diferente: de 25 a 30 m2_{/galón a dos manos. En repinte sobre}

color igual o similar: de 30 a 35 m2_{/galón a dos manos}2_.

En estos últimos 3 casos, se hace alusión al concepto de área y a una de sus unidades de medida en casos no académicos, sino, en situaciones agrícolas y comerciales; es evidente que la comprensión de este concepto es necesaria, no solo en el ambiente escolar o de formación académica, sino también para entender información de diversa índole basada en una forma de medición y expresión mundialmente utilizada.

Área y perímetro, dos conceptos íntimamente ligados y claramente diferenciados, que han interesado a la humanidad desde los albores de la civilización, la comprensión de ambos es necesario no sólo dentro de la escuela sino en situaciones prácticas, pero, ¿qué dificultades

2_{Tomado de la página:}

se han encontrado en relación a la comprensión de ambos conceptos objeto de estudio?, ¿qué es área?, ¿qué es perímetro? En lo que sigue de este capítulo, se abordarán estos interrogantes.

1.1.3. DIFICULTADES EN LA COMPRENSIÓN DE LOS CONCEPTOS DE ÁREA Y PERÍMETRO

Uno de los grandes retos que se trazan los investigadores en Educación Matemática, consiste en analizar los procesos de comprensión de los conceptos matemáticos por parte de los estudiantes, a través de la identificación de las dificultades presentadas en las experiencias de aprendizaje y del diseño de estrategias que permitan superarlas, en coherencia con los marcos teóricos adoptados.

En este sentido, la presente investigación centra su atención, en primer lugar, en las dificultades que presentan los estudiantes del grado 5° para la comprensión de los conceptos de perímetro y área, cuando son enfrentados a la confusión conceptual generada por su posible dependencia y, en segundo lugar, en el diseño de una estrategia metodológica que permita analizar el proceso de comprensión de dichos conceptos, a través del marco conceptual de Enseñanza para la Comprensión (EpC)3.

Desde mi experiencia docente, he identificado que los estudiantes suelen no dar cuenta del concepto de área ni para qué es utilizado, además, cuando intentan definirlo lo asumen como igual al perímetro y en el mejor de los casos lo relacionan con una figura plana. En los grados de mayor escolaridad he encontrado que siempre relacionan el área con la aplicación de fórmulas y el desarrollo de algoritmos, además, es recurrente la creencia de que a la figura,

regular o no, de mayor perímetro le corresponde mayor área. Autores como Corberán (1996) y Fandiño y D’Amore (2009) han advertido sobre este hecho:

Esta <<falsa>> relación entre el área y el perímetro, que se ha constatado que está muy arraigada en los alumnos, pone de manifiesto que estos piensan en el área y en el perímetro como en dos propiedades de la superficie íntimamente ligadas, concepción errónea que les impide ver el área como una propiedad de la superficie independiente del perímetro, que les dificulta e incluso imposibilita realizar transformaciones de superficies bajo

determinadas condiciones. (Corberán, 1996, p. 10)

En relación a este obstáculo, en otra investigación se expone que la creencia errónea de mutua dependencia entre los conceptos de interés para esta investigación no solo es vigente, sino que está presente desde la antigüedad; sobre esto, Fandiño y D’Amore (2009) señalan:

La literatura de investigación (y también la historia y la leyenda) han demostrado ampliamente que gran número de estudiantes de todas las edades están convencidos de que existe una relación de estrecha dependencia entre estos dos conceptos sobre el plano racional, del tipo: Si A y B son dos figuras planas, entonces: si (perímetro de A > perímetro B) entonces (área A > área B); ídem con <; ídem con = (por lo cual: dos figuras

isoperimétricas son necesariamente equi-extensas). Y viceversa cambiando el orden “perímetro-área” con “área-perímetro”. (pp. 85 - 86)

Pero la anterior no es la única dificultad en lo concerniente al área y al perímetro. Existen evidencias obtenidas en varias investigaciones, como la de Corberán (1996), que para un gran número de estudiantes de primaria el concepto de área se reduce a una fórmula y esto conlleva a una concepción limitada de lo que este es, dado que perciben dicho concepto solamente como un número obtenido al aplicar una fórmula, muchas veces inconexa. Esto

último impide que el área sea entendida o comprendida como el número de unidades que recubren una superficie.

La misma autora, haciendo referencia, en primer lugar, a las concepciones erróneas de área y perímetro como propiedades independientes de la superficie y, en segundo lugar, a lo inútil del uso exclusivo de las fórmulas como herramienta de enseñanza aprendizaje de estos conceptos, expone:

Son frecuentes los errores cometidos por los alumnos al utilizar las fórmulas. Se observa dificultad, incluso incapacidad de utilizarlas para calcular áreas de superficies poligonales sencillas o para aplicarlas con éxito a resolución de problemas relativamente sencillos y que pueden requerir de algo más que una sustitución de un número dentro de una fórmula. (p. 11)

Nuevamente, recurriendo a la experiencia docente, es común encontrar que algunos de los estudiantes reprueben exámenes escritos porque aplicaron una fórmula inapropiada o porque no realizaron los procedimientos esperados; incluso, en muchos casos, la

argumentación más frecuente es: “no entendimos la pregunta”. Otra situación común sucede

cuando, después de unas semanas, a varios estudiantes parece que nunca se les hubiera hablado acerca de un tema. De hecho, es repetitivo que al intentar explicar el volumen de un sólido regular (por ejemplo, el prisma, cuya fórmula es 𝑉 = 𝑎 ∗ ℎ, siendo V: volumen, a: área de la base y h: altura), los estudiantes expresen no saber qué es el área o simplemente confunden la fórmula de esta con la del perímetro y presentan resultados en los que la expresión del área se muestra como unidad de medida no bidimensional y por lo tanto las respuestas no sean correctas.

Otro tema de gran interés, abordado en varias investigaciones relacionadas con perímetro y área, es el relacionado directamente con las medidas longitudinales y de

superficie, estas revelaron que para los estudiantes es altamente difícil apropiarse de la idea de medición de una porción de plano (D’Amore y Fandiño, 2007). Considerando que el área es una propiedad de la superficie y que es la medida en unidades bidimensionales que la cubren, ¿cómo abordar entonces el concepto de unidad bidimensional? Con relación a esto, Chamorro et al. (2008) también aseguran, que el proceso de decantación entre longitud y superficie es muy complejo, y agregan que esto se hace aún más difícil, cuando la primera aproximación a superficie se da con una figura dibujada por el profesor en el pizarrón, debido a que lo más resaltante para el estudiante es la línea que constituye el límite de la figura plana; en este sentido, afirman los autores:

Lo que aparece destacable en todo momento es la línea que constituye la frontera, sin que muchas veces el alumno reconozca la superficie como el interior delimitado por dicho borde… Un claro obstáculo epistemológico lo constituye la noción de perímetro en relación con la superficie. Los alumnos de Primaria creen que el área de una figura depende de la medida de sus lados, lo que es cierto sólo de manera local: para los polígonos regulares. (p. 248)

Corberán (1996), en relación a la falsa dependencia que establecen los estudiantes de que la medida del área está supeditada a la longitud del perímetro, asegura que:

Está constatado que una de las confusiones más frecuentes entre los estudiantes y más difícil de erradicar es la falsa relación que estos establecen entre el área y el perímetro de una superficie. Esta errónea ligazón entre el área y el perímetro les conduce en numerosas ocasiones a emitir conclusiones falsas. (p. 8)

De acuerdo con lo anterior, el área no debe reducirse a la aplicación de una fórmula, que la mayoría de las veces no significa nada para el estudiante, porque deriva en una limitada concepción numérica o, en el peor de los casos, se percibe como una ecuación sobre la que no se tiene una clara noción de su carácter bidimensional. Esto se manifiesta cuando el estudiante ignora los atributos del concepto y ejecuta operaciones que no se relacionan con ello.

Del Olmo et al. (1993) encontraron que cuando a los estudiantes se les cambia de manera específica el rectángulo por el paralelogramo, calculan el perímetro y suministran este dato como el área; en el mismo apartado, estos autores aseguran que: “Confusión de

perímetro – área. Este es un error bastante frecuente. En algunos casos, los niños calculan el área y el perímetro de una figura y le asignan el dato mayor al área y el menor al perímetro” (p. 43).

Con relación a la reducción del área como una simple expresión numérica o a un

algoritmo de aplicación, sin la debida reflexión sobre el concepto, sus propiedades y la misma estructura de la expresión algebraica, Vanlehn (1983, citado por Gómez, 1989) expone cómo los alumnos generalizan la aplicación de un algoritmo tipo a cualquier expresión, así no sean de la misma estructura; por ejemplo: sea la expresión 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐, este algoritmo tipo o referente lo aplican a expresiones como 𝑎 + (𝑏𝑐) = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑐 o 𝑐√𝑎2_{+ 𝑏}2 ₌

𝑐𝑎 + 𝑐𝑏.

Por otro lado, de acuerdo con el marco conceptual Enseñanza para la Comprensión, la habilidad de comprender conceptos está supeditada a la contextualización de estos; al

respecto, Gómez (1989) encontró que los niños explican la solución de un problema evocando sus entornos familiares o locales, realizan dibujos en los que priorizan el contexto (tienda,

escuela u otros) y que pocas veces utilizan las "explicaciones formales" para dar cuenta de sus soluciones. Por lo tanto, pone de manifiesto que para llegar a la formalización hay que

“vivir” un proceso de comprensión en un contexto particular.

En consecuencia, el presente estudio se focaliza en el diseño de actividades en contexto que permitan que los estudiantes comprendan los conceptos de perímetro y área, y la

independencia de sus medidas.

1.1.4. LA CONTEXTUALIZACIÓN EN EL APRENDIZAJE

La relevancia del aprendizaje contextualizado de las matemáticas ha cobrado vigencia en la actualidad, debido principalmente a que adquiere importancia desde el punto de vista psicológico en lo referente a la memorización, razonamiento, imaginación y uso del

conocimiento; adicionalmente y, partiendo de la utilización de lo que se aprende, aparece la perspectiva antropológica que se ocupa de la significación en cuanto a construcción,

transformación y activación de lo aprendido (Font, 2007).

Considerando que la construcción del conocimiento se da en ambientes sociales de interacción mutua y que los desempeños de comprensión4 se manifiestan cuando lo que se aprende se utiliza en diferentes escenarios, se busca en esta investigación, contextualizar el aprendizaje de los conceptos de perímetro y área en estudiantes del grado 5º de una institución educativa rural del municipio de Andes en el departamento de Antioquia, en una de las

actividades económicas y de carácter social más representativas de la región del suroeste, como lo es la agricultura del café. En relación a lo anterior, Berrío (2011) indagó sobre los elementos que intervienen en la (re) construcción hecha por los estudiantes de los modelos

matemáticos contextualizados en el cultivo del café. Este autor logró con su investigación, dar sentido a las matemáticas escolares trabajadas en las aulas de clase utilizando la modelación matemática en los procesos de enseñanza y aprendizaje.

Berrío (2011) llegó a la conclusión de que la vinculación de los conceptos desarrollados al interior del aula con actividades diarias como las labores propias del café en la misma región, es pertinente “debido a que es una situación de contexto, dado que todos los

estudiantes han tenido una relación con algún tipo de dependencia ya sea laboral o de práctica familiar” (p. 56). En este sentido, más de la mitad de los estudiantes del grado 5º de la

institución o su núcleo familiar, tienen relación directa con el cultivo del café y por lo tanto la conclusión de Berrío (2011) es un referente para la presente investigación.

En este sentido, el MEN (1998) hace referencia al contexto, en cuanto a la utilidad que tiene en el aprendizaje de conceptos y en la comprensión de los mismos:

El contexto tiene que ver con los ambientes que rodean al estudiante y que le dan sentido a las matemáticas que aprende. Variables como las condiciones sociales y culturales tanto locales como internacionales, el tipo de interacciones, los intereses que se generan, las creencias, así como las condiciones económicas del ambiente social en el que se concreta el acto educativo, deben tenerse en cuenta en el diseño y ejecución de experiencias didácticas. (p. 36)

Específicamente, en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas se hace referencia al contexto como “elemento importante que puede proveer al individuo de aptitudes,

competencias y herramientas para resolver problemas y representar ideas matemáticas […]” (MEN, 1998, p. 30). En relación con esto, la misma entidad asegura que:

[…] la Educación Matemática debería conducir al estudiante a la apropiación de los elementos de su cultura y a la construcción de significados socialmente compartidos, desde luego, sin dejar de lado los elementos de la cultura matemática universal construidos por el hombre a través de la historia durante los últimos seis mil años. (pp. 30 – 31)

De otro lado, en cuanto a la construcción curricular, el docente debe facilitar el enriquecimiento del contexto a través de actividades motivadoras que estimulen el aprendizaje; de acuerdo con esto, el MEN (1998) invita a la reflexión del docente y hace énfasis en su papel de diseñador de situaciones de aprendizaje:

Es así como enriqueciendo el contexto deberá crear situaciones problemáticas que permitan al alumno explorar problemas, construir estructuras, plantear preguntas y

reflexionar sobre modelos; establecer relaciones informales y múltiples y, al mismo tiempo, propiciar gradualmente la adquisición de niveles superiores de formalización y abstracción; diseñar además situaciones que generen conflicto cognitivo teniendo en cuenta el diagnóstico de dificultades y posibles errores. (p. 32)

Con relación a los sistemas geométricos, el MEN (1998) sostiene que su construcción depende en gran medida de la contextualización del entorno y del desarrollo cognitivo del estudiante:

Los sistemas geométricos se construyen a través de la participación activa […] Esta construcción se entiende como un proceso cognitivo de interacciones, que avanza desde un estudio intuitivo o sensorio–motor (que se relaciona con una capacidad práctica de actuar en el espacio, manipulando objetos, localizando situaciones en el entorno y efectuando

desplazamientos, medidas, cálculos espaciales, etc.) a un espacio conceptual abstracto relacionado con la capacidad de representar internamente el espacio, reflexionando y

razonando sobre propiedades geométricas abstractas […] Este proceso de construcción del espacio está condicionado e influenciado tanto por las características cognitivas como por la influencia del mundo físico, cultural, social e histórico. (pp. 56 - 57)

En concordancia con dicha cita, la Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia (2005), sostiene que:

Desde la perspectiva psicogenética, y en síntesis muy apretada, se puede plantear siguiendo a Piaget, que el niño en su proceso de construcción de las nociones geométricas primero procede desde el espacio que está a su alcance, esto es, el entorno inmediato que lo rodea [...] pero esta construcción comporta un posicionamiento del sujeto con respecto al espacio que lo rodea, esto es, debe situarse como un objeto más dentro de su entorno. (p. 71)

En coherencia con lo anterior, se quiere centrar la atención en indagar sobre cómo ciertas actividades relacionadas con el cultivo del café (la organización de las eras de almácigo, la siembra del mismo o el cercado de propiedades) propician situaciones de aprendizaje en el marco de la EpC y qué elementos emergen que aporten al avance en los niveles de comprensión en correspondencia con los conceptos objeto de estudio.

En el ámbito del aprendizaje en contexto, que para la presente investigación es el cultivo del café, es necesario considerar que los agricultores usan términos propios de su qué hacer que les permite comunicarse efectivamente en las labores del campo; por ejemplo, los caficultores en Andes emplean términos como almácigo, almaciguera, era, lote, tajo, parcela, barrera, surco, calle, puente, soca, entre otros. El almácigo es el fruto o semilla de café que se siembra en una bolsa plástica y que se protege en una especie de invernadero, que se le llama almaciguera; la almaciguera está dividida en porciones de una determinada cantidad de almácigos distribuidos o dispuestos en regiones rectangulares, a estos se les llama eras.

Los términos calle, puente y barrera, que en un contexto diferente al cultivo de café en Andes pueden significar vías para tránsito vehicular, para los cafeteros del municipio son ejes de cultivo: la línea horizontal, en la que se camina sin recorrer la generatriz (en cálculo se conoce como línea de nivel), es llamada calle; la línea vertical, que es el eje de ascenso o descenso recibe el nombre de puente y, lo que marca la separación entre parcelas, lotes o tajos, que pude ser construido por mallas, alambrados, sembrados en una sola línea de un producto distinto al café, es denominada barrera. Otra demarcación de los límites entre tajos son los caminos. Tajos es el terreno sembrado por una cantidad aleatoria de cafetos;

normalmente estos son separados o por una calle o por un puente sin sembrados, o una barrera de plátanos o de otro producto.

Imagen 3: Terminología cafetera.

De otro lado, las matemáticas también tienen términos específicos para expresar sus saberes, pero, para el aprendiz, estos pueden ser descontextualizados o carentes de

significado. Considerando el marco de la EpC, se puede mostrar que los conceptos de

perímetro y área tienen un significado distinto para un estudiante que se encuentre en el nivel de novato con respecto a la dimensión de contenido5, que para otro que se encuentre en un nivel superior en relación a la misma dimensión. Esto es determinado por un conjunto de elementos emergentes del trabajo de campo que caracterizarán cada uno de los niveles de comprensión, los cuales llamaremos posteriormente descriptores de categorías por nivel.

1.1.5. TEORÍAS DE LA COMPRENSIÓN

El siguiente apartado presenta tres modelos, los cuales tienen en común abordar, como eje central de su propuesta educativa, la comprensión. Los modelos expuestos son: Modelo Educativo de Van Hiele, Modelo de Pirie y Kieren y Enseñanza para la Comprensión.

5 _{En el segundo capítulo se abordan y se amplían estos conceptos de acuerdo al marco conceptual que guía la} investigación.

1.1.5.1. Modelo Educativo de Van Hiele

Considerando las ideas de los creadores del modelo, Dina y Piere Van Hiele, los conceptos matemáticos se comprenden de acuerdo al nivel de razonamiento en el que se está ubicado; es decir, “se pueden encontrar varios niveles diferentes de perfección en el

razonamiento de los estudiantes de matemáticas” (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 305). Según los esposos Van Hiele, si no se orientan las clases con base en el nivel de pensamiento en el cual se encuentran los estudiantes, puede ocasionar frustración tanto para el docente como para el estudiante y este último tendrá la sensación de estar escuchando un discurso en una lenguaje desconocido para él (Van Hiele, 1986, citado por Corberán et al., 1994). Esto es,

El Modelo de Van Hiele enfatiza la existencia de diferentes formas de razonamiento en Matemáticas y señala la necesidad de que los profesores tengan en consideración la capacidad de razonamiento de sus alumnos al decidir la forma y el rigor de sus clases. (p. 14)

Niveles de razonamiento de Van Hiele

De acuerdo con Corberán et al. (1994), hay cinco niveles de sofisticación en el razonamiento de los estudiantes; cada uno de ellos tiene una descripción general que puede ser detectada en los estudiantes, mientras dure su estancia en algunos de estos. En la

perspectiva de esta autora, estos niveles se describen a continuación.

Nivel 1

Los razonamientos de los estudiantes en este nivel se caracterizan por su poca precisión en la caracterización de las propiedades de las figuras planas y esto los lleva a no

logra visualizar sus partes. La descripción de figuras es superflua y se toman atributos como el color o la textura, o suelen evocar un objeto conocido para relacionarla y dar su parecido. Aprenden a relacionar los términos geométricos con la figura señalada o dibujada.

Nivel 2

Tienen conciencia de que las figuras geométricas tienen partes y pueden nombrarlas usando correctamente el vocabulario geométrico y expresiones complementarias como, por ejemplo, el lado más largo es opuesto al ángulo recto. Cuando se trata de definir una figura hacen un listado extenso de sus propiedades y no tienen conciencia de condiciones necesarias y suficientes. Hacen uso explícito de las propiedades de una figura. Defienden sus propias definiciones y estas prevalecen en comparación de las suministradas por el libro o el profesor. Pueden llegar a generalizar las propiedades de las figuras geométricas y reconocerlas por observación. Para aceptar la validez de una afirmación, tratan de comprobarla haciendo uso del método científico y extraen conclusiones de la observación de varias figuras. No hacen clasificación lógica de las figuras porque no relacionan propiedades, además, estas se perciben de forma aislada y por lo tanto tampoco se deducen unas de otras ni se explican relaciones entre ellas; adicional a eso, en relación con las clases de figuras no ven relaciones lógicas. Aún no hay comprensión sobre lo que es una demostración matemática y todavía no se ha desarrollado la capacidad para admitir la existencia de clases dentro de las familias de figuras.

Nivel 3

Aún no se comprende el papel que juegan los axiomas, aunque se comprende que unas propiedades se deducen de otras. Todavía no se entiende una demostración pero sí se

entienden los pasos individuales de un razonamiento lógico formal. También entienden una demostración hecha por el profesor o vista desde un libro, pero, no se tiene aún la capacidad de hacerla por sí mismo, tampoco saben hacer una demostración con premisas diferentes a las que han visto ni saben cómo se altera el orden lógico de una demostración. Hay capacidad de razonar dentro de un sistema de razonamiento lógico deductivo, pero, no quiere esto decir que se pueda razonar cabalmente dentro de la lógica formal, por ejemplo, es común que den como equivalente la premisa p  q con su recíproco q p. Se está en capacidad de realizar

razonamientos deductivos informales usando de modo implícito reglas lógicas. El uso de las representaciones físicas es más de verificación que de medio de realización. Comprenden significados como el de la expresión “al menos uno”. Pueden dar definiciones

matemáticamente correctas y entienden la utilidad de las definiciones y sus formas equivalentes.

Nivel 4

Se tiene la capacidad de entender y llevar a cabo razonamientos lógicos formales, se le da sentido a las demostraciones en cuanto a que son el medio para verificar las afirmaciones. Se hacen conjeturas y se intenta verificarlas deductivamente. Las demostraciones no solo se memorizan sino que pueden realizarse de manera distinta. Se tiene seguridad al suministrar información necesaria y precisa y se tiene conciencia de que la implicación pq es diferente de la recíproca qp. Se entienden las diferentes definiciones de un mismo concepto y se tiene la capacidad de demostrar que son equivalentes. Además, se comprende la estructura

axiomática de las matemáticas. Se hacen razonamientos y conclusiones siguiendo un modelo de rigurosa demostración. Aún no se comparan sistemas axiomáticos diferentes.