Boligmo :: Números: revista de Didáctica de las Matemáticas

....

SOtIGMO

lNT~oouc.ci

ON

por Emilio Quílez Royo

catedrático del !,N.B. de

HERNANI (GuipÚzcoa.)

."La didáctico es el aperitivo en la creaci6n de una mente," (I,)

Esto es un EJEMPLO SIMULADO, No una teoría,

Envidio a los que saben de pe a pa la Historia de la Pedagogía y te citan el último y universal pedzgogo de vanguardia, Confieso que me han acomplejado duranto tiempos, si bien hace ya años que me he reconciliado con mi profundo desconocimiento de tantas ideas grandiosas.

Suelo empezar mis clases con un ejemplo. Vaya mi admiración para

esos libros de texto que empiezan sus éapítulos con algún ejercicio resuelto. Va van siendo bastantes los que al final del capítulo traen varios así detallados, pero otros ni eso. !Pobres alumnos si el profesor no lo remedia!

Loor a tantos profesores que nunca brillarán porque jamás esbozaron

una teoría i ·pero que con su labor callada, paciente y sacrifi~ada llegan

hasta el carburador de sus alumnos para elaborar allí, día tras día, la mezcla energética más rica en laboriosidad, conocimientos y formación personal que la más refinada súper en octanos.

No sá si ha.y algo de positivo en esta memoria, paro de todas manares, ASf HAGO YO,

¿y tú cómo hacea? Dímelo ai eres profesional, que seguro qua aprenderé

mucho de ti. Pero si aras mercenario, cállate y retírate cuanto antes del sagrado campo de la EOUCACION,

NOTA - Perdone el lector la.aridez da aeta resumen da unas 20 folias.

-

12 bolas

Todos loe a~oe me invade la misma ansiedad, tQué será de estos chicos?

tAceptarán la asignatura? Intento que la asimilen y no siempre acierto, Para mejor conseguirlo y cuando el ambiente lo permite comentamos temas de lo que ya llamo "cultura marginal".

A primeros de noviembre se nos descolgó Juan José con el problema

de las 12 bolas.

-- Tenemos 12 BOLAS, iguales an peso, todas menos una

que no sabemos si pesa M~S o MENOS qua las demás.

Averiguar con un•"balanza, y en sólo 3 PESADAS, cuál ea la bola diferente

y si pasa más que l~e demás o menos,

Siempre me han' apasionado los jeroglíficos y· pare el día siguiente tendrían la respuesta, Pero no fue así,

Ante la inesperada dificultad, empiezo por menos bolas, tratando de analizar el método para sistamatizarlo1

bolas no sabiendo si difiere sabiéndolo

en más o en menos

w

2 pesadas (O( ) 1 pesada

_{( {?>.)}

m

3 2

¿Hace falta una pasada más si no se conoce en qué sentido actúa

la bola diferente? Es curioso además lo que me pasa con

[!}

bolas, porque

si bola .! pesa más que la

E ,

ésta pese menos que aquél'le, . Lógico,

Y eso se ve en una sola pesada, Por otra parte, si eses dos bolsa no estuviesen tan aislada.a y si, por lo que sea, se ha llegado a reducir la investigación

a sólo 21 con una sola bola diferente en todo al conjunto, entonces:

bolas no sabiendo, ••

cómo ••• sabiéndolo

2 pesadas 1 (

'(

)

Y ello, ayudándome del resto de las bolas para la 2D pesada, en al ceso

de no saber el sentido. Sabiéndolo, hago implícitamente referencia a ellas,

(M)

Si el lector ea tan amable de realizar lo que va leyendo,,,

Yo lo hago con cartoncitos numllrados

[D ,

0 ,

[D , ..

Señalo el qUe pees más que los demás y deduzco lo qun pueda ocurrir

Luego analizo ~ bolas, descomponiéndolas en' 3 grupos de a 2

y en 2 de a 3. De ambas for~ae se necesitan 2 pesadas, sabiendo el sentido

en qua actúa la bola diferente. \leo además con sorpresa qua

[!]

y \ 6 \ dan los mismos resultados y asimismo

m

y

ITl .

Aplico al ~ la deecompoaición en 3 grupos de a 4; 4 de a 3

y 6 de a 2 y simmpre necesito 3 pesadas sabiendo el sentido y 4 no sabiéndolo.

Para el

W

y el

[!}

encuentro 3 pesadas no sabiendo el sentido y 2 sabiéndolo.

SEGUNDO

I

•"La ciencia que no se prepara carece de estómago." (S,)

Es altamente pedagógico que el alumno se dé cue.nta de las dificultades, tentativas, errores y correcciones por los que el profesor atraviesa. La clase vale lo que vale la preparación, pero la espontaneidad hace que el alumno se libere de la mara receptividad a intente descubrir lo que de momento no ve el profesor.

Las pongo en conocimiento de mi fracaso con las 12 bolas y de mis métodos de .sistematización.

Seguro qua las 3 PESADAS se refieren al caso de saber cómo va la bola diferente -- observa Anabel con su habitual desconfianza.

-- Intercambiando bolas da un platillo a otro -- salta Mari Sol, la que nos resolvió el problema del pol.vo que se arma al borrar la pizarra.

-- Si todo número compuesto originase el mismo número da pesadas, cualquiera qua sea su formad• descomponerlo .••

V se llevan su trabajito: analizar lotesr~a bolas: 15, 18, 28, 10, 35, 14 ,,,

Mientras tanto yo, tras un ligero escarceo con el ~l

,

me mato a generalizar la cuestión:

[ill

3

X 7

{

Uno de ellos oculta la bola diferente,

13

grupos En dos pesadas se averigua el grupo qua difiere y cómo difiere,

\1

bolas

{

Sabiendo cómo difiere, en dos pasadas más se detecta la bola diferente,

En gElnarel:

₀

₌

r

.

s r gruros de s bol3S ca.dél uno.

¡

r

l

Se .. ,lo trata como número simple

del que no se sabe el cómo.

\

Ya sabido Cll cómo, se detecta

:a

bola diferente

s

posada si supiera,

en una menos que no se

Y teniendo en cuenta:

bolas no sabiendo, .• sabi.3ndolo

0

Oc'.

+

1

IX.

~

~

+

1

(b

resulta qua: r grupos de s· bolas supone:

_{( r:i..}

1- 1)

+

~

}

_{qua son iguales.} grupos de r bolas supone:

(

¡.>~ l) +o(

s

Pero si

f"ñ"I

tiane·otras formas de descomponerlo en dos factores, ¿supondrá su a'ñ1iisis también ()( .+-

(!>

+

~ pesadas?

I l

!::n lei sigu.in:inte srasión extra, cornponornos ant~; torJos lfl si.g_uienta

tobl.in:

bolas no sab,

s!

bolas no sab, a!

2 (2) l 15 4 3

3 2 1 18 4 3

4 3 2 20 5 4

5 3 2 21 4 3

6 3 2 25 5 4

7 3 2 27 4 3

9 3 2 28 5 4

10 4 3 30 5 4

12 4 3 35 5 4

14 4 3

Noa llama la atención la ausencia ds los números prim~contrastando

con la desoomposición da loa números compuestos, As!, el ~ requeriría 7 pesadas y el

.I!!l

sólo 5,

V ao.bra la marcha repentizo una prueba espectacular,

V va saliendo estor

A 730 a . 2B) ~

~·-·

______

-·~-2~_1;_:,,_ª·_

=

~

GJ:)=~

~

~t~~

~

sa)~A

'-~' j~

'\...~

6~)

-- !Es la 22§. -- las anuncio triunfante y pesa

*

qua las demás! Sus bocas han ido llagando de cejas a cuello y la mía de oreja a oreja anta el cerrado aplauso dal respetable.

-- El 20187 es igual a .37 • Y 7

+

l son 8 , -- salte Paloma,

.qua siempre está a la tajada y al plato,

~ Y es un número granda con pacas pesadas. -- añade Ignacio,

-- 2,187 as casi 200 veces mayar que 12, mientras que 8 pesadas que exige el 2,187 no llega a 3 veces las 3 pesadas que nos exigen para el 12, insiste Paloma con evidente intención de animarnos.

Llegamos a prever que podemos llevar e cabo el escrutinio nada menos que de 387.420.489 bolas en sólo 19 pesadas,

Pero, lqué pase. con los números primos? Porque ••• no se descomponen --nos hace pisar tierra José Antonio.

92

bollgmo

"La lavadura viva entre la mase y la moldea." (Q.)

A pesar de la masificación y bajo nivel que soportamos en nuestras

clases, el progreso avanza geométricamente gracias a los dos o tres "predaetinªdos" da ceda grupo,

l

Para ese 5% elaboro en Navidades esta TEORIA MATEMATICA, que resumo en

las páginas 7 y 8 (Léanse antas da ssguiiaguí). Y saco las ocho páginas

s policopia paro repartirles a todos el principio del trimestre que viene.

II

Se lo entrego el jueves, 17 de enero,

roamasié! -- gritó el respetable -- !Qué vicio!

Le podíamos llamar "boligmo", ino leparece? -- se despachó Javier con sorna.

Y

con BOLIGMO se quedó.

En adelante escribiremos el "boligmo" de un número

..----,

n de

b ( n ) _

bolas:

aspecto logarítmico.

b(n) coincide, pues, con _{ g(n)

f(n) --- modo práctico de hallarlo.

-- Yo no entiendo eea DEFINICION l. -- obseruó Ignacio, Y tenía razón,

Porque, en efecto; pare

!]!,\

bolas:

Método A. b(29) .

=

b(2B)

(pág (Vde la pág. B)

=

b(7)

+

b(4)

=

=

b(6)

+

b(4)

=

b(3)

+

3 b(2)

= 4 b(2) =

0 .

Otro método₁ B, 29 = 27

+

2

la bola dif. está en el 27 no está en el 27

27 3 pesadas 2

2 1

1 [fil bolaJ

L@¡.~Adoj

J

m

~ ...(Jit ...

©

w.

ti&..i...

E,.¡.,;...&. ..-;,{,..j(,

[¡)

~

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©

t.S.W.·' .

Sfh dr""<· i.,.lik-~ ""' ~

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4 ..._ "'P~$ .4 IN"a.. IN,

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TA,!IU¡

n h I'\ h _{" h}

-

-

-"

o ~ 2.

_·~

3

.. 2. 4 'I 3 ~~ 3·

3 4 '1· 2. -15' 3 A

z.

~o 3 H> ¡,,

1

z.

H

'

1t

/.¡

Otro·₁

c.

29

=

28

+

1

la b. dif. en 28 no en 28

28 4 pesadas 1

1 1

total (¡ 2

::::}

0

"mínimo"

(l?)

Pero en seguida vemos que:

~

De las dos posibilidades del método

e,

la que Do caracteriza es la qua más pesadas ori~ina, puesto que an principio no sabemos si la bola diferente esté en el grupo de 28 ó es la separada da antemano.

Ese m8todo C exige

{4)

pesadas y no 2. Y es

~de

pesadas entre les diversas posibi'J:rdedes de dicho método, ·

-- Ya que depende de dónde esté la DIFBOLA -- intervino la

socarronería de Javier, que ya se hab!e hecho dueílo de la pila bautismal.

@

Si nos lo presentasen como "acertijo", el mejor

r~étodo

de los tres es el 8, que da el ~.

@

El método 8 no considera el 29 como número primo ( TEORErill\ 1).

IY1iAntras

₁

~os métodos A y C ee relacionan con el boligmo, cuya Única lay e~ ~ , basada en los AXIíllYlAS y TEOREMAS precedentes.

Les recomiendo que traten do justificar cuantos pu~dán de los asertos de lo TEORIA expuesta y persigan lo,s posibles absurdos.

C

UA'RTO

I

En esto cap!tuio presento el trabajo lento de analizar detallas que no han sido suficientemente profundizados desde que Juan Josá nos inquietó aquel jueves ya leJono ele noviembre. Empezamos por el

¡

11 \ y el

1

31 \ •

y al intentarlo con el

fJ]

nos encontremos con esto:

111 111

0

11

. 2g

--1

e:>

pesada

111 ll 11 total do

• f ,.

d

1 '''''·

} lfl

E lll pesadas:

11 11 pesa a 2 E E pesada

0

' - 2 g pesada pesadas

Lo que nos confirma en la idea de que existen otros métodos distintos de la función boligmo, incluso mejores.

j-i1 (:)

--. , • 1

l:.3

....

..

~

lj

~ ~

.,,

~

I

~~

~ ~ ... ..¡

¡~~ ·~

""'...

'CIN

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~

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1 1

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§

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_"'

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8

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l

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Gil

1

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¡.

2

::

"

.

11

~

i

-g: ~

l ii

1

e

...

~

!I

1

....

-

¡j·

..

...

..

..

~

_€!

~

_G

@

Servida la

balan~

habrá dos variantes, que arbitra el azar:

(:') y

{f¡)

(o®). De entre las dos, hay que escoger la más

favora~, es ~ir, la que m8s pesadas originase.

~ De entre varios procesos (unas u otras, más o menos boles), cosa que está a nuestro arbitrio, ha de preferirse el que menos pesadas. origina, Dicho proceso será el 1 n1ETODD SOLUCION \

....

"Hay Pedagogía de a pie, Pedagogía a caballo

y

por fin la artillería," (~.)

Unos cuantos escarceos por Gl diario vivir de la Ense"anza.

Lo importante es formar al alumno, V no cargarse el programa, Ver todos los temas ahondando cuanto se pueda,

Ser humano en las calificaciones. Paro no manirroto y descuidado.

Fin primordial: la CREATIVIDAD.

I I

En nuestro afán da precisión tratamos de puntualizar el alcance de los métodos.

A .

~

SABIENDO c11mo •.•

La bola diferente pesa más o menos qua las demás, Nuestro inventor de turno, el Javier de siempre, le puso los motee de DIFmlfs o DIFMENOS, según al caso, que hace tiempo venimos usando, En este análisis hemos supuesto que se trata da una difmás,

Para cada número ~ de bolas existe un conjunto H de números da pasadas, según al proceso, método

.Atf:J,

qua se siga, H =

l

k(n) }

El mínimo

(h)

E.

H se la SOLUCION (método B de la página 6), Suponemos que

en~

mayoría de loe casos esté por descubrir.

A continuación, al inventario da los métodos que hasta ahora hemos detectado:

.4

E - "Er:1PIRICO - E:<PERIMENTAL" Es intuitivo. h(3)

=

1 ; h(B)

=

2 rebajar esos valoree?

etc, lLograría un superman

El problema de las 12 BOLAS nos pide precisamente algo así.

¡/,{_ - "FACTOR IZANTE"

vVOF

, f f - "SUr.1F\NTIZMJTE" vVfOS

n a

+

c ; dos sumandos.

·'I'·

Si la difbola esti en a , ya no se examina c , Si no esti en a , este su:~ando se analiza en pocas pesadas y queda c , que es mucho menor que n •

Toma parte en el boligmo de los números primos: b(n) b(n - 1) n /, 2

B.

NO SABIENDO •.• Para cada

pesadas, según

El mínimo "dican" que es

número ~ de bolas existe un conjuntó P de números de el proceso, método 9f(Q , que se si¡¡¡ a. p = { q ( n) }

(;;J

f P es la \ SOLUCION 1 , que en el caso n =

1

12

1

3,'y'que nosotros no hemos logrado identificar.

' n

No se ha de factorizar haciendo 2 grupos de

T

boles cada uno, pues se pierde una pesada, La mejor fectorizeción parece que consiste en hacer 3 grupos.

A veces es preferible una sumantiza~.ión. Por ejemplo, para

1

64

I

2

pesadas 1

77=7l

_J

_{l p.;}

17~·2p.;

_.

total,

0

pesadas.

Se he sumantizado así: 64 7 • 32+1 con 1«64 y q(l)

<

~(7) • Pero la factorización hubiera sido: b(64) = 6

*

q(64) 6 H

=

0

(PROP,2)

RESUfl!EN

{

H(n) \ k( n)

~

SABIENDO celmo

...

A0

_mínimo BOLIGMO : b(n) _h(n)

NO SABI~NDOLO

_J

P(n)

!

c¡(n)

J

'

91C:.?

_l

mínimo

_Eicl.

1'

"PA'RTE.

3

-tresbo/lgmo

--··'I'

QUfNiO

Eetamoe ya en marzo, Pronto aoabe·ré el trimestre y no conviene prolongar el asunto heete meyo, no veyamoe a dañar los estudios de fin da curso.

intansive de boligmos.

Las flechas indican las distintas posibilidades que pueden ocurrir, según al ignorado camino que sigue le difbola,

Si

Ú

difmée está en el

<32'1 ,

pasa en [: : \ a

que quederBetectado (

@ )

Ko sumo en '2 pesadas, y

En total, ~ pesadas,

-os

alguno de sus 8 ,

sigue en al

(2)

1 etc,

Si, ª'(¡¡cswbio, le difmáe fuese la('i)

eepara~se

detecta en la 21

pesada de

.ls

8 \ an que se verá qua son'(guelas (

~

) , Total, 3 pasadas,

Este resultado queda suplantado por la posibilidad anterior de 6 pesadas.

b) Otro método: 97

=

81+16

l

~}

.

0llf0Tlt~}

l

fs\.

~ ~

2

~.

; ; .

Lg

9 9

l

p.;

L

3 3

J

p.;

l

1 p.; \..::/ p

27 27 p. ig {";"\

(';";\.( )~ 2 .+ 3

=

~ pesadas

~

":+ ll

=

27 = 33

En el caso da resultar iguales (~los tres 27-as (2 pesadas),

se añaden ll de ellas (H: ::r-ll) a les 6

sep~des.

Con ello resulta

un 27 de rápido análisis (3 pesadas). otal, ~pesadas,

ResumFJn:

1

b(97)

=

61 Y k(97)

=

5 \ • ¿ Será ya h(97) = 5 ?

Por métodos similares encontramos:

n 82 101 26 17 16

b(n)

.s

6 4 4 4

k(b) 5 5 3 3 3

Y lleg«mos a deducir:

10

~17

(3m-ltl)

~0~(2•3m-l_l)

[<n-9)

~18-n)

=

cv-;

32 } 2 p •

..,._@

pesed.~.s

@

Pare n = 18 :

c::!!J

= 2 • 3m - 1

[~

Q)pssadas

Para (2 • 3m- l-+

l)~ 0~

(3m - 1)

©

pesadas

P•

De modo que, generalizándolo:

para 3m.-1

< \

n 1

~

3m

es tiene: k(n) = b(3m) •

0 .

Esto modifica notablemente le marcha de la investigación.

Resulta ahora qué no os tan importante b(n) 1 sino el valor de k(n) hal~ado por aste nuevo método, que yo me adelanto a bautizar:

~T

: "TRESTENCIAL" , t(n) ;

por aquollo de "potencial~, base 3 ; y,por parecerme extraordinario y, en nuestro Antusiasmo, hasta casi "trascendental". Pero los chicos abuchoan el nom~re del neófito y lo tachan de fascista,

-- !Tresboligmo! -- grita de pronllo el da siempre, IYJe quedo estupefacto del greda de fecundidad al quo Javier ha logrado arraitrar a sú repantizadora y complaciontG musa, lTendrá tanto éxito con las de carne y hueso?

-- Vamos, que te envidio. -- El seguía, su mirflda clavada en ·mis ojos, entre serio y burlón.

Fue el estr11endo tan unísono y unos lo acompafíaban de cmdazos y cuchicheos, miantrns que otros palmoteaban y me sefíalaban con su índice lleno de guasa, qus 2llÍ había gato encerrado. No casaba mi admiración al bautist2, con aquol subproducto de cachondeos que hundía las bóvedas mejor epuntalaclas y dirigía todos los reojos hacia Javier.

Al fin mo ex~licaron qua ya hacía tiempos que me llamaban "BOLID~N".

Que también aquollo tenías sus referencias. Bo~i-boligmo, b6lido, Don Boli •• ·•

Pare celebrarlo nos fuimos en el recreo a tomar un vino.

-- !Aupa al TllSBOLIGffiD!

11

Constancia a pesar de la monotonía.

"El fulcro de la Didáctica está en la expariencia."'(E.)

La vida es dura. El trabajo forma pera la vida. !A cuántos profesores les ho comido el coco al snobismo de c\7tos modos seudopedag6gicoe1 o lo

Pero dejemos eso ahora, que hay que atender a nuestro recién nacido

TRESBOLIGl110.

GRAFICA DE t(n)

_....

t

ln)

~.:.-·:...:·_:·..:..·..:..·~·:_:·~~·_.:.•.,..!.•~·'--'---"-

...

~·~-G}---~®""" y

=

_{log 3} X

o

10 20

Sigue' una trayectoria parecida a y = 109 3 x •

E s constan t a en los in erva os • t 1 (3m-l,3m];"mcIN* ~ .._ con un número de elementos de igual imagen: 2 • 3m-1

donde

DDFHHCIDN

La funci&n t(n) ' TRESBOLIGmo de es una funci6n natural de variable natural

IN* _ _

t__,_

IN

escalonada y

t(n) = {

•cuasilogarítmica•, tal que E(log

3 n)

+

l; n

J.

3m; m €.IN log

3 n; n=3m

IN* = IN - {O \ E(log

3 n) es el valor entero de log3 n •

SU REALIZACION

n

{,;;\ ( m-1 m] i ni

\:::::) Se localiza en qué parte del intervalo 3 , 3 se encuentra~·

~·ex ~ ~

3m-:

¡_;..---

----u-~---r----==i 3~~

f.> -1 ~+l

@

PR;iCTICP. con la bafanza: Se aplica el proceso

stande~implícito

en nuestro invonto del TRCS3DLIGl110, ya seguido en los ejemplos ~ de la pág. 13 y los

@

y

®

de la pá9. 14, pare los tipos C>/. ,

¡.>

y

r

respectivamente,

E.ptlogo

Llegamos a la gran recte final que va hasta n = 00.

En el logotipo de la olimpiada queda impreso este palmarés:

H(n)

....

= { k ( n)

\

Jifa

BOLIGMO : b(n)

TRESBOLIGmo t(n)

mínimo h(n)

9rb

{

P(n)

{

q(n)

}

mínimo

G

El medallero final cambió nuestras

y aunque ~ramos favoritos a 12 BOLAS

lisas, el triunfo nos ha sonreído en

0,

bofas libre.

previsiones ~

§~

~(n)

Tresboligmo, oro. y Boligmo, plata;

en métodos

.A;b.

Y

sólo bronce para el mínimo p(n);

en métodos9'lt,.

0

0

_Q

(3'\

1

-La estrella, nadie lo duda, ha sido el TRESBOLIGMO, porque

[ t(n) E b(n) \ JJ n'-IN

Aunque el boligmo se le adelantó en el marcador, hay qua ver con qué

limpieza los ha dejado a todos atrás,

Dos aapinaa se nos han quedado clavadas:

11 - Lea naciones de loa Números Primos han boicoteado la competición,

21 - No hemos batido el record mundial: p(l2) •

Los chicos, concantradca de nuevo en el hotel después del partido, me tientan a seguir el marsthon, Pero, a 17 de abril que eatamoe ya,

lo primero as lo p~imaro y la damos al carpetazo, Cada coas a su tiempo,

Retad a otros, qua os sirvan da aparing para lee dichosas 12 SOLAS,

Hostigar a los números primos,

Cuidaros, Gimnasia, Velocidad, No olvid,is sn le vida que no hubierais descubierto al TRESBOLIGMO si no hubierais realizado boligmos haota aburriros, Entrenaos,

Espíritu de equipo, Relavoa,

Qua nadi~ queda descalificado en 2Q,

Ea preciso quG todos sin excepción podamos reencontrarnos en

alecr!a y amistad en los ~uegos Olímpicos de 3Q,

La mascota:

El c.o.I., en esta clausura de temporada, levanta al cielo la antorcha que recogió de manos de Juan José

_....

y lanza aquí y ahora el reto:

¿quién batiré la marca de t(n) ?

icuál es el valor de p(l2) , 3 ó 4 ?

Ello supone despejar estas cuestiones:

a) ¿pueden disminuirse las pesadas de t(n) , o es ya h(n) = t(n) ?

b) iEs siempre p( n) = h( n)

+

l ?

El pebetero olímpico espera.

PosT DATA

El 24 de abril me sonsacan los alumnos una tregua porque ••• todos, a hurtadillas, hemos seguido investigando.

~

El ESQUEMA de la página siguiente, 18.

Se analiza el comportamiento cuasilogarítmico del tresboligmo.

@

El mP.PA que presenta en la pág. 19 algunas implicaciones de ese comportamiento:

"Encrucijada" = punto de corte de dos rectas de la retícula cuadriculada del papel,

"Hipérbola 3 2 11 _{=la que pasa por (l,· 9); (3, 3) y (9, l),}

"Hipérbola 12" =la que pasa por (l,12);(2,6);(3,4);(4,3)r(6,2) y (12,l),

"Intervalo de hipérbolas ( 3m-1, 3m] 11 _{= conjunto de "Hipérbolas n ",}

para 3m - 1 <: n ~ 3m •

~

Los números primos están en la fila (y columna) de 3° = l , solamente.

Y

pasan s6lo por las encrucijadas (l,n) y (n,l),

@.

Un número

compue~to

esté en tantos puntos cuantos divisores t,,rn¡:ia, Su hipérbola no pasa por m's ~ncrucijadas,

@

El número de "encrtilcijacles" qua

al "intervalo de hipérbolas (3m- l,

n = 3m

t:

~(ni)

m-1 ni.

=

3 +l

Por ejemplo, para

hay en una franja, datormineda por 3m

J ",

es igual a:

donde ~(n) os el número de divisor8s de n

ESQUEr,111

m+s-2

3

....

3m- l

+

l

3ª - l

+

l

~ a ~

~ b ~

i+

~

-1

3m

3ª

t(a)

G

t(b)

0

4

f

a ' 9 10 ~ b ~ 27

t(a . b)

= {

ó t(a),. t(b) ~ l

La propiedad analizada en el ESQUEMA de le. pág. 19 origina, dentro

~e un mismo "rectángulo", las dos zonas perfectamente definidas:

la "azur" en qua y la "rosa" en que

t(a • b)

=

t(a)

+

t(b) t(a • b)

=

t(a)

+

t(b) - l

Ambae están separadas por la "hipérbola 3m +a - 1n correspondiente.

Estas hipérbolas s6lo pasan por 1as encrucijadas de la forma (3

oc.,

3

~)

,

que ocupan los vértices E 1 extremos superior derecha,

Pero,., no nos alejemos de la costa, que mayo está al caer, No nos arrastran las sirénidas corrientes y lleguemos con retraso al treri de los ineludibles, no sé si por dicha o por desgracia, exámen·es.

Que allá, detrás del proceloso mar, allende el horizonte, se halla el abisal misterio del qua nadie ha vuelto: los números primos del

Gran Sol, de los Sargazos, de las Islas Afortun~das.

¿ Non plus ultra ?

En el boligmo b(n) , los números primos no se factorizan, por lo

qua hay que aplicarles métodos especiales. Si por un sutil~

se hallasen soluciones particularísimas, lse haría la luz en aÍguna nueva gruta de sus propiedades?

En el tresboligmo t(n) , parece que se han escondido, pero

tno

estarán agazapados en el total de las "encrucijadas",'):

<.f

(ni),

del "intervalo de hipérbolas (3m-1, 3m]" ? Porque

<.f

(n) depende,

como sabemos, de los exponentes de los factoras primos de n •

l.DÓnde está el Colón de los números primos?

de navegar de Piri Reis ? ¿ Sus arcanos templarios

dirigidos por otra dimensión ?

¿ Dónde sus cartas

? ¿ Estamos

,_

Menos, menos ! Baje Vd, a tierra, que no hemos llegado a

América -- me dijeron.

! PLUS ULTRA ! les respondí.

· t

(n)

--

m

SU

'REALt'ZAClON

'19\

\!:;/ Se loceU.u en qu' parte del inter11elci (3m• l , 311] H

enouentr•

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PRACTICA con le belenzet

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l+ 5 : 6 pasadas.

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