Colegio San Fernando
Departamento de Matemática. Nivel: Primero Medio.
Profesor: Cristóbal Quezada Raquelich.
Guía Probabilidad N°1:
Nombre del estudiante:______________________________________________________ Curso: ______________ Fecha: __/___/___ Puntaje: ______
ANÁLISIS COMBINATORIO
Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.
Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio nos va a servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades.
Principios fundamentales del análisis combinatorio
En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.
El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.
Ejemplos:
a) Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir.
b) Ordenar 5 artículos en 7 casilleros.
c) Contestar 7 preguntas de un examen de 10.
d) Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión. e) Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas.
CONCEPTOS BÁSICOS
Sea 𝑛 un número natural. Definimos el factorial de 𝑛, denotado por 𝑛! en forma recursiva, por: 1! = 1
(𝑛 + 1)! = 𝑛! (𝑛 + 1) Definimos también 0! = 1
Sean 𝑛 y 𝑘 dos elementos de 𝐼𝑁0 tales que 𝑛 > 𝑘. Se define el número (𝑛𝑘) por:
(𝑛𝑘) =𝑘! (𝑛 − 𝑘)!𝑛!
Se lee “𝑛 sobre 𝑘”. Principio de la multiplicación
Supongamos que un suceso puede ocurrir de 𝑛 maneras y otro suceso puede ocurrir de 𝑚 maneras, entonces ambos sucesos pueden ocurrir de 𝑛 ∙ 𝑚 maneras.
Ejemplo 1:
Disponemos de 3 líneas de buses para viajar de la ciudad A a la ciudad B y de 5 para viajar de B a C. ¿De cuántas maneras podemos viajar de A a C pasando por B?
Vemos que cada una de las 3 líneas de A a B las podemos combinar con cada una de las 5 que hay para viajar de B a C. Por lo tanto, aplicamos el principio multiplicativo y el total de posibilidades es 3 ∙ 5 = 15.
Ejemplo 2:
¿Cuántos”menús” diferentes podemos escoger si en el restaurant se dispone de 5 entradas diferentes, 4 platos de fondo y 6 postres?
Aplicando la regla del producto vemos que la elección del menú que debe constar de 1 entrada, 1 plato de fondo y 1 postre se puede efectuar de 5 ∙ 4 ∙ 6 = 120 maneras.
Principio de la suma
Supongamos que un suceso puede ocurrir de 𝑛 maneras y otro suceso puede ocurrir de 𝑚 maneras, entonces hay 𝑛 + 𝑚 maneras en que pueda ocurrir sólo uno de ellos.
Ejemplo:
¿De cuántas maneras puedo elegir 2 fichas de colores diferentes si cuento con 3 fichas rojas, 4 azules y 7 amarillas?
1 roja y 1 azul se pueden escoger de 3 ∙ 4 = 12 maneras distintas. 1 roja y 1 amarilla se pueden escoger de 3 ∙ 7 = 21 maneras distintas. 1 azul y 1 amarilla se pueden escoger de 4 ∙ 7 = 28 maneras distintas.
En total, por el principio de la suma puedo escoger 2 fichas de colores diferentes de 12 + 21 + 28 = 61 maneras.
PERMUTACIONES
Una permutación de los elementos de un conjunto es cualquier cambio en el orden de estos elementos sin repetirlos ni omitirlos.
Según el principio multiplicativo, el número de permutaciones que se pueden efectuar en un conjunto de 𝑛 elementos es 𝑛!
Si denotamos por 𝑃(𝑛) el número de permutaciones en un conjunto de 𝑛 elementos, tenemos: 𝑃(𝑛) = 𝑛!
Ejemplo 1:
¿Cuántas “palabras” no necesariamente pronunciables pueden formarse con las letras de la palabra “VESTIDO”? (no pueden repetirse las letras ni omitirse).
Se trata de formar permutaciones con 7 elementos, y como sabemos, el número de ellos está dado por 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5.040
Ejemplo 2:
¿Cuántas de las “palabras” obtenidas en el ejercicio anterior empiezan con V y terminan con O?
Aquí, de las 7 letras que disponemos, debemos dejar 2 fijas (la primera y la última) y por lo tanto debemos permutar las otras cinco restantes. El número de ellas es 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Permutación Circular
Las permutaciones circulares son un caso particular de las permutaciones y se utilizan cuando los elementos se han de ordenar "en círculo", de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina el principio y el final de muestra.
Vemos que en las permutaciones importa la posición relativa de los elementos entre sí, por lo tanto, si queremos permutar en forma circular 𝑛 elementos, el número de maneras en que podemos hacerlo es:
𝑃𝑐 (𝑛)= (𝑛 − 1)!
Ejemplo 1:
¿De cuántas maneras se pueden ubicar 6 personas en una mesa redonda?
𝑃𝑐 (6) = (6 − 1)! = 5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Permutaciones con repetición
Permutaciones con repetición de 𝒏 elementos donde el primer elemento se repite 𝒂 veces , el segundo 𝒃 veces , el tercero 𝒄 veces, ...
𝑛 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + ⋯
Son los distintos grupos que pueden formarse con esos 𝑛 elementos de forma que :
Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos. Aplicamos la siguiente fórmula:
𝑃𝑛𝑎,𝑏,𝑐,… = 𝑛! 𝑎! ∙ 𝑏! ∙ 𝑐! ∙ …
Ejemplo 1:
Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar? Tenemos que: 𝑛 = 9 𝑎 = 3 𝑏 = 4 𝑐 = 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9
𝑎: veces que se repite 2 𝑏: veces que se repite 3 𝑐: veces que se repite 4 Entonces, la cantidad de cifras que se pueden formar son:
𝑃93,4,2 =3! ∙ 4! ∙ 2!9! =9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 13 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1= 1260 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
Ejemplo 2:
En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?
Tenemos que: 𝑛 = 9 𝑎 = 3 𝑏 = 2 𝑐 = 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 9
𝑎: cantidad de banderas rojas 𝑏: cantidad de banderas azules 𝑐: cantidad de banderas verdes Entonces, la cantidad de cifras que se pueden formar son:
𝑃93,2,4 = 9! 3! ∙ 2! ∙ 4!=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
ARREGLOS O VARIACIONES
Un arreglo o variación de 𝑘 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 elementos (𝑘 ≤ 𝑛) es cualquier ordenación que puede hacerse con esos 𝑘 elementos.
Notemos que dos arreglos o variaciones diferentes pueden incluir los mismos elementos, sólo es necesaria una ordenación distinta.
El número de arreglos o variaciones que pueden efectuarse de 𝑘 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 está dado por:
⋁ =𝑛 𝑘
𝑛! (𝑛 − 𝑘)!
Ejemplo 1:
En el conjunto {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} podemos formar variaciones de diferentes tomando 2 elementos cada vez. Para contar la cantidad de maneras hacemos un variación de “5 sobre 2”
⋁ =5 2
5! (5 − 2)!=
5! 3!=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1 = 20 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 Estas son:
ae, ai, ao, au, ea, ei, eo, eu, ia, ie, io, iu, oa, oe, oi, ou, ua, ue, ui, uo (Nótese que au y ua son dos arreglos diferentes)
Ejemplo 2:
a) ¿Cuántos números diferentes de 3 cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9 si no se permite la repetición de un dígito?
Nos piden el número de variaciones o arreglos de 3 elementos tomados de un conjunto de 9. El número está dado por:
⋁ =9 3
9! (9 − 3)!=
9! 6!=
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 504 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 El problema puede ser planteado también de la siguiente manera:
Debemos “llenar” 3 casilleros y para ello disponemos de 9 elementos.
El primero puede ser llenado con cualquiera de los 9 números. Una vez llenado éste, el segundo se puede ocupar con cualquiera de los 8 restantes, pues no podemos repetir los números y una vez llenado éste, para el tercero nos quedan 7 posibilidades.
b) Consideremos el problema anterior permitiendo la repetición de los dígitos. Procedamos a “llenar” 3 casilleros con 9 elementos diferentes.
El primero se puede llenar con cualquiera de los nueve elementos; como se permite la repetición, el segundo se puede llenar también con cualquiera de los 9 y, por la misma razón, el tercer casillero también se puede llenar de 9 maneras distintas.
En las variaciones con repetición, como este caso, aplicamos la fórmula
⋁ (𝑅) = 𝑛𝑛 𝑘 𝑘
Es decir,
⋁ (𝑅) = 99 3 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729 3
Ejemplo 3:
¿Cuántas palabras de 4 letras se pueden formar con las letras de la palabra “CLAUDIO” si no se pueden repetir?
En total tenemos que la palabra CLAUDIO consta de 7 letras, por lo que necesitamos saber cuántos arreglos o variaciones podemos formar que contengan a 4 de éstas.
Es decir,
⋁ =7 4
7! (7 − 4)!=
7! 3!=
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1 = 840 𝑝𝑎𝑙𝑎𝑏𝑟𝑎𝑠
Ejemplo 4:
¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 si deben empezar con 4 y no se pueden repetir los dígitos?
Debemos considerar que vamos a “llenar” 4 casilleros. Pero el primer casillero sólo se puede llenar de una forma (con el número 4), por lo que nos quedan 9 números para completar las demás casillas.
Además, como no se pueden repetir, la segunda casilla se puede llenar de 9 formas distintas, la tercera de 8 formas distintas y la cuarta de 7 formas distintas.
COMBINATORIA
Una combinación de 𝑘 elementos tomados de un conjunto de 𝑛 elementos (𝑘 ≤ 𝑛) es cualquier subconjunto que se puede formar con esos 𝑘 elementos.
Notemos que al hablar de subconjunto no estamos considerando el orden en que estén dispuestos los elementos.
Así, dos combinaciones serán distintas si al menos tienen un elemento distinto.
El número de combinaciones que pueden formarse de 𝑘 elementos a partir de un conjunto de 𝑛 elementos está dado por:
𝐶
𝑘𝑛= (
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
𝑘! ∙ (𝑛 − 𝑘)!
Ejemplo 1:
¿Cuántas combinaciones de 2 elementos pueden formarse a partir del conjunto 𝑀 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} ? Tenemos que es una combinación de “5 sobre 2”, ya que son 5 vocales y necesitamos agruparlas de dos en dos.
𝐶
25= (
5
2
) =
5!
2! ∙ (5 − 2)!
=
5!
2! ∙ 3!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
= 10
Y éstas son: {𝑎𝑒}, {𝑎𝑖}, {𝑎𝑜}, {𝑎𝑢}, {𝑒𝑖}, {𝑒𝑜}, {𝑒𝑢}, {𝑖𝑜}, {𝑖𝑢}, {𝑜𝑢} (Nótese que en este caso {𝑎𝑢} y {𝑢𝑎} son la misma combinación) Ejemplo 2:
a) De un total de 15 niños y 6 niñas se desea escoger un grupo de 6. ¿De cuántas maneras puede hacerse esta elección?
En total contamos con 21 niños (entre hombres y mujeres). Como no hay restricción de ningún tipo debemos formar conjuntos de 6 a partir de 21. El total de maneras está dado por:
𝐶621 = (21 6 ) =
21!
6! ∙ (21 − 6)!=
15! ∙ 16 ∙ 17 ∙ 18 ∙ 19 ∙ 20 ∙ 21
6! ∙ 15! =
16 ∙ 17 ∙ 18 ∙ 19 ∙ 20 ∙ 21
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 54.264
b) Resolvamos el ejercicio anterior si el grupo que se desea formar debe constar de 3 niños y 3 niñas exactamente.
Debemos elegir 3 niños de un total de 15, esto es: 𝐶315 = (15
3 ) =
15!
3! ∙ (15 − 3)!=
12! ∙ 13 ∙ 14 ∙ 15 3! ∙ 12! =
13 ∙ 14 ∙ 15
Y debemos elegir 3 niñas de un total de 6, esto es: 𝐶36 = (6
3) =
6!
3! ∙ (6 − 3)!=
3! ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 3! ∙ 3! =
4 ∙ 5 ∙ 6 1 ∙ 2 ∙ 3= 20
En total el grupo puede formarse de acuerdo con el principio multiplicativo de: 𝐶315∙ 𝐶
36 = 455 ∙ 20 = 9.100 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠.
c) Resolvamos el problema anterior con la condición de que el grupo debe haber siempre 2 niños fijos y una niña fija (y debe constar de 3 niños y 3 niñas).
Como debe haber 2 niños fijos, debemos escoger 1 de un total de 13. 𝐶113 = (13
1) =
13!
1! ∙ (13 − 1)!=
12! ∙ 13 1! ∙ 12! =
13 1 = 13 Como debe haber 1 niña fija, debemos escoger las otras 2 de un total de 5.
𝐶25 = (5 2) =
5!
2! ∙ (5 − 2)! =
3! ∙ 4 ∙ 5 2! ∙ 3! =
4 ∙ 5 1 ∙ 2= 10
Y el total de maneras en que se puede formar el grupo con esas condiciones es: 𝐶113∙ 𝐶
25 = 13 ∙ 10 = 130 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠.
“El futuro es impredecible, todo se basa en probabilidades”
MAPA CONCEPTUAL
¿CÓMO DIFERENCIAR ENTRE PERMUTACIÓN, VARIACIÓN Y COMBINATORIA?
¿IMPORTA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS?
¿SE CONSIDERAN TODOS LOS ELEMENTOS?
¿SE REPITEN ELEMENTOS? ¿SE PUEDE REPETIR ELEMENTOS?
COMBINATORIA
𝑪𝒌𝒏 = (𝒏
𝒌) =
𝒏! 𝒌! ∙ (𝒏 − 𝒌)!
PERMUTACIÓN VARIACIÓN
⋁ (𝑹) = 𝒏𝒏 𝒌
𝒌
⋁ =𝒏
𝒌
𝒏! (𝒏 − 𝒌)!
𝑷𝒏𝒂,𝒃,𝒄,… = 𝒏!
𝒂! ∙ 𝒃! ∙ 𝒄! ∙ …
𝑷(𝒏) = 𝒏!
¿ES CIRCULAR? 𝑷𝒄 (𝒏)= (𝒏 − 𝟏)!
SÍ NO
SÍ NO
NO SÍ NO SÍ
