Unidad4

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Capítulo 5: Coloración

•

_{Introducción.}

•

_{Coloración de vértices.}

•

Coloración de aristas.

•

Número Cromático.

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Introducción

En un laboratorio hay una serie de compuestos químicos {A,B,C,D,E,F,G,H} que hay que almacenar en cajas para su traslado. No pueden ser almacenados en una misma caja dos compuestos que reaccionen entre sí (como ácidos y bases). Los productos que reaccionan vienen dados por la siguiente tabla. ¿Cómo podemos elegir los elementos que hemos de introducir en cada caja?, ¿cuántas cajas serán necesarias para poder trasladar los productos?, etc.

A F E G D H C B A F E G D H C B

A B C D E F G H

B C A D E A E F B E G B C D G H C H D E H E F G

Grafo de incompatibilidades:

Vértices representan elementos

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Coloración de vértices

c(u)=1, c(v)=2, ... _|c(V)|=k

colores

k-vértice-coloración

Una vértice-coloración de un grafo efectua una partición del grafo en conjuntos independientes de vértices:

V = V₁ V₂  ...V_k V_i = { v V | c(v)=i }

A

F E

G D

H C

B 4-vértice-coloración

V = V₁ V₂  V₃ V₄

V₁ = { A,E }

V₂= { B,F }

V₃ = { C,G }

V₄ = { D,H }

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Coloración de vértices

Dado un grafo G=(V,A), se llama número cromático de G ( (G) ) al menor número entero k, de forma que existe una

vértice-coloración de G con k colores.

A

F E

G D

H C

B A

F E

G D

H C

B

(G) = 3

El traslado de los compuestos químicos se puede llevar a cabo con tan sólo 3 cajas.

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Coloración de vértices

Propiedades del número cromático:

• Si G es un grafo con n vértices, 1  (G)  n

• Si G’ es un subgrafo de G, (G’)  (G) .

• Si G₁, G₂, ... , G_c son las componentes conexas del grafo G: (G) = max {(G₁), (G₂), ...., (G_c) }.

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Coloración de vértices

¿Cuáles serán los números cromáticos de los grafos K_n y C_n?

(K_n) = n

K₂

1 2

K₃

1

2 3

K₄

1

2 3

4

K₅

1

2

3 4

5

1 ₂

C₈ 2

1

2 1

2 1

C₅ 1

2

1 2

3

2 si n es par

3 si n es impar

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Coloración de vértices

Calcular el número cromático de un grafo cualquiera es un “problema intratable”.

Dado un número natural k y un grafo G , ¿es (G)  k? (Problema NP-completo)

ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE VÉRTICES:

Paso 1: Ordenar los vértices del grafo.

Paso 2: Comenzando con el primer vértice, y de forma ordenada, asignar a cada vértice el primer color no asignado a sus vértices adyacentes anteriores.

A _B

C

D

E F

G H

{ A,B,C,D,E,F,G,H }

( 1 ) ( 2 )

( 2 )

( 1 )

( 3 )

( 1 )

( 2 )

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Coloración de vértices

Calcular el número cromático de un grafo cualquiera es un “problema intratable”.

Dado un número natural k y un grafo G , ¿es (G)  k? (Problema NP-completo)

ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE VÉRTICES:

Paso 1: Ordenar los vértices del grafo.

Paso 2: Comenzando con el primer vértice, y de forma ordenada, asignar a cada vértice el primer color no asignado a sus vértices adyacentes anteriores. A _B C D E F G H

{ G,H,E,D,B,A,C,F }

( 1 ) ( 2 )

( 2 )

( 1 )

( 3 )

( 1 )

( 2 )

( 4 )

A _B C D E F G H

( 2 )

( 2 )

( 2 ) _{( 1 )}

( 1 )

( 1 )

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Coloración de vértices

Teorema de Brooks: Sea G=(V,A) un grafo conexo con grado máximo  ((v)  , vV ), entonces:

1) (K_n) = n = 1 + , (C_2n+1)= 3 = 1 + .

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color 2 color 1

Coloración de vértices

Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito.

C) G no admite ciclos de longitud impar. B) (G) = 2.

A B

G es bipartito G = ( V₁  V₂ , A)

(G)  2

(G) = 2

V_{1 V}

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V₂ V₁

Coloración de vértices

Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito.

C) G no admite ciclos de longitud impar. B) (G) = 2.

B A

(G) = 2 Existe una vértice-coloración _{dos colores} c con

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Coloración de vértices

cromático

Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito.

C) G no admite ciclos de longitud impar. B) (G) = 2.

B Sea G un grafo con (G) = 2

Si G contiene un ciclo de longitud impar

C_2i+1  G

3=(C_2i+1)  (G)

(G) > 2

G no puede contener

13/24 C B Sea G un grafo, que por simplificación podemos

suponer conexo, sin ciclos de longitud impar Representación gráfica de G en niveles:

Nivel 0: un vértice v₀ cualquiera Nivel 1: vértices v₁₁ , v₁₂ , ... ,v_1r adyacentes a v₀

Nivel 2: vértices v₂₁ , v₂₂ , ... ,v_2s

adyacentes a los vértices del nivel 1, excepto v₀ .

v₀

v_{11 v}

12 v13

Nivel i: vértices v_i1 , v_i2 , ... adyacentes a los vértices del nivel i-1 no incluidos en niveles anteriores

v₂₁ v_{22 v}

23 v24

v_i1 v_i2 v_i3 v_i4 v_i5

Coloración de vértices

Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito.

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Vértices de niveles impares: color 2

Vértices de niveles pares: color 1

C B

v₀

v_{11 v}

12 v13

v₂₁ v_{22 v}

23 v24

v_i1 v_i2 v_i3 v_i4 v_i5 2-vértice-coloración

(G) = 2

Coloración de vértices

Teorema: Sea G=(V,A) un grafo. Son equivalentes las propiedades: A) G es bipartito.

C) G no admite ciclos de longitud impar. B) (G) = 2.

Sea G un grafo, que por simplificación podemos suponer conexo, sin ciclos de longitud impar

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Coloración de aristas

c_a(a)=1, c_a(a’)=2, ...

|c_a(A)|=k

colores; k-arista-coloración 6-arista-coloración a b e d c 1 2 4 3 4 2 3 1 5 6

Se llama índice cromático de G (1_{(G) ) al menor número}

entero k, de forma que existe una arista-coloración de G con

k colores.

a b e d c 1 2 4 3 5 3 2 1 4 5

1_(K

5) = 5

Dado un grafo G=(V,A), se llama arista-coloración de G a toda función c_a: A N, que verifique c_a(a)  c_a(a’) si

a,a’A tiene algún vértice en común.

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Coloración de aristas

¿Cuáles serán los índices cromáticos de los grafos K_n y C_n?

1_(K n) =

K₂

1

K₃

3 K4

1

K₅

1

2

C_{8 C5}

1

2 3

2 si n es par

3 si n es impar

1_(C n) =

1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 4 5 4 2 3 5

n-1, si n es par

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Coloración de aristas

ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE ARISTAS:

Paso 1:

Paso 2:

{ a,b,c,d,e,f,g,h }

a b d

c

e

g f

h

( 1 )

( 2 )

( 3 ) ( 4 )

( 2 )

( 4 )

( 3 )

( 1 )

Ordenar las aristas del grafo.

Comenzando con la primera arista, y de forma ordenada, asignar a cada

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Coloración de aristas

ALGORITMO VORAZ DE COLORACIÓN DE ARISTAS:

Paso 1:

Paso 2:

{ a,b,c,d,e,f,g,h }

a b d

c

e

g f

h

( 1 )

( 2 )

( 3 ) ( 4 )

( 2 )

( 4 )

( 3 )

( 1 )

Ordenar las aristas del grafo.

Comenzando con la primera arista, y de forma ordenada, asignar a cada

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Coloración de aristas

cromático

Teorema de Vizing: Sea G=(V,A) un grafo con grado máximo

 ((v)  , vV ), entonces:

  1_(G)  ₁₊ 

Si un grafo G=(V,A) tiene un vértice de valencia k, 1(G)  k .

1

a

d c

b

2 3

2

1

3

1_(K

4) =  = 3

Dado un grafo G con grado máximo , ¿es 1_{(G) =} _? (Problema NP-completo)

a

b e

d c

1

2

4

3

5

3

2

1

4

5

1_(K

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Coloración de aristas

Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y , A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:

1_{(G) =} 

Demostración: Inducción en el número m = |A| de aristas

1) m = 1

2) Supongamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con hasta m aristas

3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas

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Coloración de aristas

Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y , A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:

1(G) = 

3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas

X _{x Y}

y

G-a tiene m aristas y grado máximo  o -1

a

Existe una

coloración de las aristas de G-a con

 colores: c₁, c₂,...

2)

’(x)  -1

Existe un color (c₁), no usado por las aristas incidentes en x

Existe un color (c₂), no usado por las aristas incidentes en y

Acotaciones del índice cromático

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Coloración de aristas

Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y , A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:

1(G) = 

3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas

X _{x Y}

y x

y a

’(x)  -1

Existe un color (c₁), no usado por las aristas incidentes en x

Existe un color (c₂), no usado por las aristas incidentes en y

Acotaciones del índice cromático

G con m+1 aristas y grado máximo 

Si c₁ =c₂

Coloreando a con c₁, tenemos una

arista-coloración de G con a los sumo 

colores.

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Coloración de aristas

Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y , A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:

1(G) = 

3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas

X _{a Y}

’(x)  -1

Existe un color (c₁), no usado por las aristas incidentes en x

Existe un color (c₂), no usado por las aristas incidentes en y

Acotaciones del índice cromático

y1 c₂

x1 c1

y₂

c2

x₂ c1

y3 c2

G con m+1 aristas y grado máximo 

Si c₁ =c₂

modificamos la

arista-coloración de G-a; para ello

buscamos un

camino alternado.

x

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Coloración de aristas

Teorema: Sea G=(V,A)=(X  Y , A) un grafo bipartito, con grado máximo , entonces:

1(G) = 

3) Probamos que el resultado es cierto para todo grafo bipartito con m+1 aristas

X _{a Y}

’(x)  -1

Existe un color (c₁), no usado por las aristas incidentes en x

Existe un color (c₂), no usado por las aristas incidentes en y

Acotaciones del índice cromático

y1 c₁

x1 c2

y₂

c1

x₂ c2

y3 c1

G con m+1 aristas y grado máximo 

Si c₁ =c₂

modificamos la

arista-coloración de G-a; para ello

buscamos un

camino alternado.

x

y