Un
enfoque probabilístico
para
la estimación del parámetro
de escala del modelo de Nash
Patricia
M.
LópezCentro Regional Andino
Instituto Nacional del Agua y del Ambiente, Argentina
Rafael S. Seoane
Instituto Nacional del Agua y del Ambiente
Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas, Argentina
En este trabajo se propone una metodología de estimación indirecta del parámetro de escala del modelo de Nash, que permite considerar las características geomorfológicas y climáticas de la cuenca. El método de estimación propuesto utiliza la técnica de la función de densidad de probabilidad derivada para integrar resultados que muestran la dependencia de los pará- metros del modelo del hidrograma unitario instantáneo, con las leyes de Horton y con expre- siones básicas de la teoría del geomorfoclimático. La metodología es aplicada a dos cuencas de la República Argentina con características climáticas diferentes y sus resultados son com- parados con los caudales estimados con el método directo de los momentos.
Palabras clave: metodología de estimación indirecta, modelo de Nash, leyes de Horton, cau- dales estimados, método directo de los momentos.
Introducción
La teoría del hidrograma unitario instantáneo (HUI) es una solución al problema de la representación mate- mática del proceso de la transformación de precipita- ción efectiva en caudal directo, considerando las hipó- tesis de linealidad del sistema, invarianza en el tiempo y concentración espacial de
los
procesos.El modelo de Nash (1 957) considera al comporta- miento de la cuenca como una serie de embalses li- neales iguales y utiliza como forma analítica del HUI la función de densidad de probabilidad (fdp) Gamma de dos parámetros. Esta solución es ampliamente usada en la hidrología práctica para la resolución de proble- mas de diseño de obras hidráulicas.
Con el propósito de mejorar la modelación del pro- ceso de transformación precipitación-caudal, Rodrí- guez-lturbe y Valdés (1979) han obtenido una expre- sión analítica de la respuesta hidrológica de la cuenca HUI en función de los parámetros geomorfológicos de ésta.
Una metodología de estimación indirecta de los pa- rámetros del modelo de Nash ha sido presentada por Rosso (1984), vinculando este último modelo con el
geomorfológico (Rodríguez-lturbe y Valdés, 1979), a fin de obtener el HUI para cuencas en las cuales no es posible realizar un análisis directo de precipitación-es- currimiento, debido a la falta de registros adecuados.
En este trabajo se propone una técnica de estima- ción alternativa del parámetro de escala a partir del método desarrollado por Rosso y los resultados de la teoría del HUI geomorfoclimático (Rodríguez-lturbe et al., 1982). La solución desarrollada utiliza la técnica de función de densidad derivada (Benjamin y Cornell, 1970) para integrar los avances anteriores.
Se presentan y discuten los resultados de aplicar este nuevo enfoque a dos cuencas de la República Ar- gentina y se comparan con las estimaciones realiza- das por el método de los momentos.
Desarrollo
del
trabajoLa expresión del modelo de Nash (1957), que re- presenta la respuesta de una cuenca como una serie de embalses lineales con igual tiempo de permanen- cia en ellos, es:
clima y que ambas son reflejadas en el valor de la ve- locidad.
La expresión de la fdp de la velocidad según Rodrí- guez-lturbe
et
al. (1982) está conformada por dos componentes, una correspondiente a eventos de pre- cipitación de duraciones menores que el tiempo de concentración promedio para las cuencas de pri- mer orden, y la otra correspondiente a duraciones ma-Bajo las mismas hipótesis de Rodríguez-lturbe
et
al. (1982), es decir, la probabilidad de que sea menor que es despreciable; la expresión general de la fun- ción de densidad de probabilidad de la velocidad es:yores
La solución propuesta por
Rosso
(1984) consiste en igualar las expresiones provenientes de las dos formu- laciones del producto adimensional del caudal máximo y del tiempo en el cual éste se produce, obteniendo las siguientes relaciones mediante la aplicación del mode-lo de regresión múltiple.
siendo la inversa de la intensidad de precipitación,
A, el área de la cuenca y
a , y los parámetros del modelo de onda cinemática para el canal promedio de las .cuencas de primer orden. En este modelo la rela- ción caudal-altura es Q =a
A“ (Eagleson, 1970) y
puesto que Q =v
A,
considerando la hipótesis de ve- locidad constante en toda la red de canales, se tiene:donde = y =
A,
son los caudales máximos correspondientes a las cuencas de primer y último or- den, expresiones válidas ya que se considera la preci- pitación efectiva. Sustituyendo estas últimas ecuacio- nes en (5) se obtiene:De esta forma, los parámetros del modelo de Nash quedan en función de las características geomorfoló- gicas de la cuenca y de la velocidad correspondiente al caudal máximo de la función respuesta.
Propuesta para la estimación del parámetro
de escala
En este trabajo se propone utilizar la función de densi- dad de probabilidad (fdp) de la velocidad definida en la teoría del hidrograma unitario instantáneo geomorfo- climático (Rodríguez-lturbe
et
al., 1982), con el propó- sito de considerar en la estimación del parámetro de escala el clima y la condición de escurrimiento en el cauce principal.Esta teoría supone que la intensidad de precipita- ción y la duración de la lluvia son variables aleato- rias cuyas distribuciones representan la influencia del
Para una red de canales rectangulares muy anchos los parámetros del modelo de onda cinemática son:
= 5/3 y a, = donde, S,, y co-
rresponden a valores promedio de la pendiente, el an- cho del canal en metros (m) y el coeficiente de rugo- sidad de Manning en s para el curso de mayor orden en la cuenca (Bras, 1990). Reemplazando (6) en (4), la fdp de la velocidad para canales rectangulares es:
Función de densidad de probabilidad derivada del parametro de escala
En el marco de la teoría geomorfoclimática, la veloci- dad es una variable aleatoria que posee una relación funcional con el parámetro de escala definida por la ecuación 3. Dado que la aleatoriedad de las variables independientes es transferida a aquéllas que depen- den funcionalmente de ellas (Benjamin y Cornell, 1970) se puede considerar al parámetro de escala como otra variable aleatoria.
La técnica de distribución derivada (Benjamin y Cornell, 1970), provee un método para determinar la ley de probabilidad de una variable aleatoria funcional- mente dependiente, cuando es conocida la ley de pro- babilidad de la variable independiente.
Aplicando la técnica anterior, la fdp del parámetro de escala se obtiene de la siguiente forma:
Aplicación de la metodología propuesta
Para estudiar esta metodología se seleccionaron cua- tro eventos de precipitación-caudal para la cuenca del río Yabebiry (provincia de Misiones), y siete para la del río La Suela (provincia de Córdoba). En el cuadro 1 se resumen las características geomorfológicas e hidráu- licas de dichas cuencas (Caamaño Nelli y Dasso,
1983 Litwin y Molas Franco, 1987).
El enfoque probabilístico propuesto en este trabajo permitió estudiar la relación que existe entre los valo- res del parámetro de escala y las características del hi- drograma respuesta de la cuenca. El conocimiento de la fdp del parámetro de escala ecuación 9 permitió realizar estimaciones del parámetro asociados a dis- tintos niveles de probabilidad.
Los valores de los percentiles y de la esperanza de la variable aleatoria K fueron calculados como: Teniendo en cuenta que k = g(v) está dada por la
es ec. ( 3 ) ,
v
= ( k ) es su función inversa,la derivada de la inversa con respecto a k y
f
( k ) ] es la fdp de la velocidad expresada como función de k. Al reemplazar estas expresiones en (8) se obtiene:donde k está expresado en h, en h cm-’, A , en km2, L en km y a, en
La ecuación 9 permite estimar el parámetro de es- cala asociado a valores de probabilidad en función de las características climáticas y geomorfológicas de la cuenca y de las propiedades hidráulicas del cauce de mayor orden.
En la ecuación anterior p denota el nivel de proba- bilidad. En este trabajo se calcularon los percentiles 75, 90, 95 y 99.
nidos por el método de los momentos, lo que justifica- ría la diferencia observada en los niveles de probabili- dad del parámetro de escala para las dos cuencas.
En las ilustraciones 1 y 2 se graficó la función de densidad de probabilidad del parámetro de escala calculada para
los
eventos de precipitación de mayor y menor intensidad. El aspecto de estas funciones su- ministra información sobre la escala de tiempo del pro- ceso de transformación precipitación-caudal para cada una de las cuencas; es decir, el rango de varia- ción del parámetro en función de la intensidad de la precipitación.Se calcularon los hidrogramas simulados con la fi- nalidad de estudiar cómo varían con las estimaciones del parámetro de escala para diferentes niveles de
Análisis de los
resultados
El producto de los parámetros del modelo de Nash, momento de primer orden del HUI, fue utilizado como medida de comparación.
Se observó que las estimaciones obtenidas con el método de
los
momentos se encuentran asociadas a valores del parámetro de escala correspondientes a ni- veles de probabilidad comprendidos entre 0.95 y 0.99 para el río Yabebiry, y entre 0.75 y 0.90 para elrío
La Suela.probabilidad. En el cuadro 3 se presentan los valores observados y estimados del caudal máximo y el tiem- po en el cual éste se produce.
En el cuadro 4 se presenta el error cuadrático me- dio de las ordenadas de todos los hidrogramas simula- dos. A fin de lograr resultados comparables, estas ordenadas fueron divididas por el caudal máximo ob- servado de cada evento.
Los resultados anteriores muestran que el método de estimación propuesto produce errores semejantes a los del método de los momentos para valores de k correspondientes al percentil 99% en el
río
Yabebiry, y al 75% en el río La Suela. En las ilustraciones 3 y 4 se presentan ejemplos del ajuste.Conclusiones
La propuesta permite la estimación del parámetro de escala del modelo de Nash y considera explícitamente la dependencia de la forma de la función respuesta de la cuenca con el clima y con la estructura geomor- fológica.
La metodología fue aplicada a dos cuencas de la República Argentina con características climáticas dis- tintas (La Suela, semiárido, y Yabebiry, húmedo). Los
caudales calculados fueron comparados con las esti- maciones realizadas mediante el método de los mo- mentos, que utiliza información completa de eventos precipitación-caudal.
La verificación realizada, que consistió en estimar el hidrograma unitario instantáneo mediante un método directo y el posterior contraste de estos resultados con los obtenidos con el nuevo método, define
los
alcan- ces de la técnica propuesta.Se avanzó en la delimitación del campo de aplica- ción de la técnica indirecta, dado que se presenta in- formación complementaria que cuantifica la importan- cia de las diferencias observadas en los caudales má- ximos estimados con ambos métodos.
Desde un punto de vista práctico, la metodología define una alternativa para la estimación del parámetro de forma del modelo de Nash que, explícitamente, de- pende del clima de la cuenca. Una ventaja de esta téc- nica es el conocimiento de la forma de la función de densidad de probabilidad del parámetro. Ésta suminis- tra información sobre la escala de tiempo del proceso de transformación precipitación-caudal, que es fun- ción de la intensidad de precipitación.
Recibido:
20/11/97
Aprobado: 25/08/98Referencias
Benjamín, J. R. y C. A. Cornell. 1970. Probability, statistics and decision for civil engineers. Capítulo 2: Elements of probability theory. EEUU: Mc Graw-Hill.
Caamaño Nelli, G. y C. M. Dasso. 1983. Geomorfología apli- cada a sistemas hidrológicos lineales. Verificación y com- paración de Hidrogramas Unitarios Instantáneos de base geomorfológica. En: Memorias XI Congreso Nacional del Agua. Argentina.
Eagleson, P.S. 1970. Dynamic hydrology Capítulo 15: Surfa- ce runoff and streamflow. EEUU: McGraw-Hill Book Com-
Pany. Res. 15(6):1409-1420.
Horton, R. E. 1945. Erosional development of streams and their drainage basin: hydrophysical approach to quantita- tive morphology. Geol. Soc. Am. Bull. 56:275-370. Litwin, C. J. y P. Molas Franco. 1987. Estudio hidrológico e hi-
dráulico d e tributarios del río Paraná en el tramo com- prendido entre el río Iguazú y la sección Encarnación-Po-
sadas. Argentina: Comisión Mixta Argentino Paraguaya del Río Paraná.
Nash, J. E, 1957, The form of the instantaneous unit hydro- graph. lnternational Association for Scientific Hydrology. Assemblée Générale de Toronto. Torno III, 114-121,
Rodríguez-lturbe, l. y J. B. Valdés. 1979. The geomorpholo- gic structure of the hydrologic response. Water Resour.
Rodríguez-lturbe, l., M. González-Sanabria y R. L. Bras. 1982. The geomorphoclimatic theory of the instantaneous unit hydrograph. Water Resour. Res. 18(4):877-886.
Rosso, R. 1984. Nash model relation to Horton order ratios. Water Resources. 20(7):914-920.
Abstract
López P. M. & R. S. Seoane "Probabilistic approach to the estimation of the Nash model scale parameter". Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). Vol. XIV Num. 2, pages 5-10. May-August, 1999.
An indirect estimation method of the scale parameter in the Nash model considering basin climatic and geomorphologic characteristics is proposed. The proposal links the results of the dependence of instanta- neous unit hydrograph model parameters with Horton's laws and basic expressions of the geomorphocli- matic model through the derived distribution technique. Testing of the method on two catchments in Argen- tina with different characteristics and the comparison between their simulated hydrographs with indirect esti- mation and with moment method estimation are presented.
