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Autómatas y Lenguajes Formales 2016-1

Maestría en Ciencia e Ingeniería de la Computación UNAM Tema 7: Lenguajes no regulares, el lema del bombeo y el teorema

de Myhill-Nerode

Dr. Favio Ezequiel Miranda Perea [email protected]

Facultad de Ciencias UNAM

¿ Cuántos lenguajes regulares hay?

Dado que un lenguajeLes un subconjunto deΣ?, existen tantos lenguajes como elementos enP(Σ?).

Puesto queΣ? es infinito numerable, es decir, es del tamaño del conjuntoNde los números naturales, entoncesP(Σ?)es del

tamaño del conjunto de los números realesR.

Por otra parte, existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales,|REG|=|N|.

De manera que el conjuntoP(Σ?)−REG no puede ser

numerable, pues unión de numerables sigue siendo numerable.

¿ Cúantos lenguajes regulares hay?

Existen sólo tantos lenguajes regulares como números naturales:

I _{La idea de la prueba es enumerar lexicográficamente todos los}

AFD posibles con alfabeto de entradaΣ, es decir, primero los autómatas con un sólo estado, luego los de dos estados, etc,etc..

I _{Esto implica que el número de lenguajes regulares es a lo más}

numerable.

I _{Además claramente es numerable pues hay una infinidad}

numerable de lenguajes regulares, por ejemplo

El lema del bombeo

Propiedad de lenguajes regulares

Lema (Lema del Bombeo)

Si L es un lenguaje regular infinito entonces existe un número n∈_N, llamado constante de bombeo para L, tal que para cualquier cadena w de L con|w| ≥n existen cadenas u,v,x tales que:

1 _{w =uvx} 2 _v 6_=ε 3 |uv| ≤_n

4 ∀i ≥0_, uvix ∈L.

Pruebas de no regularidad

Lema del bombeo

Para probar que un lenguajeLno es regular se procede por contradicción usando del lema del bombeo como sigue:

I _{SiLfuera regular existiría una constante de bombeon.}

I _{Cualquier palabraw}∈_{Lse descompone como}

w=uvx, v 6=ε, |uv| ≤n.

I _{Se llega a una contradicción como sigue:}

F Por el lema del bombeouvix∈Lpara todai≥0.

F Por la definición particular deL, existe algunaital queuvix∈/L.

Debemos observar que encontrar laiadecuada depende del problema particular y no hay un método general, pero

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Lema del bombeo

Supóngase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbny su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`, k ≥0, `≥1.

De manera quex =an−k−`_bn_.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =an2 y su descomposiciónw =uvx

conv 6=ε, |uv| ≤n.

Digamos queu=ak, v =a`, 1≤`≤n.

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Lema del bombeo

Si hacemosi =2 tenemos queuv2_{x ∈Lpor el lema del bombeo.}

Pero, por otra parte

uv2x =aka`a`an2−k−`=an2+`

Y observemos quen2<n2+` <(n+1)2pues 1≤`y

`≤n<2n+1= (n+1)2−n2

L

=

{

w

∈ {

a

,

b

}

_|

_w

₌

_w

_}

_{no es regular}

Lema del bombeo

Supongase queLes regular y seanuna constante de bombeo.

Considérese la palabraw =anbnany su descomposición

w =uvx conv 6=ε, |uv| ≤n.

Entoncesu,v constan de puras aes, digamos

u=ak, v =a`<sub>, `≥1.</sub>

De manera quex =an−k−`bnan.

Si hacemosi =2 tenemos queuv2x ∈Lpor el lema del bombeo.

Pero, por otra parte

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Teorema de Myhill-Nerode

Considerense las siguientes relaciones de equivalencia sobreΣ? relacionadas a un lenguaje dadoLy a un autómata finito

determinista dadoM.

I _x ≡_{Ly si y sólo si}

∀z∈Σ?(xz∈L⇔yz∈L)

I x ≡_M y si y sólo si

δ?(q0,x) =δ?(q0,y)

Six ≡_M y entonces se dice quex,y son cadenas indistinguibles segúnM.

Six ≡Ly entonces se dice quex,y son cadenas

Relación

≡

Ejemplos paraL={an

bn|n∈N}

x ≡Ly si y sólo si∀z ∈Σ?(xz ∈L⇔yz ∈L)

a4_b3_≡

La3b2pues

∀z ∈Σ?(a4b3z ∈L⇔z =b⇔a3b2z ∈L)

a2b26≡_La3b2pues paraz =εse tiene

a2b2z ∈Lya3b2z ∈/ L

a4b26≡_La3b2pues paraz =b, se tiene

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={w ∈ {a,b}?_{|w tiene un número par de aes}}

I x ≡_Ly si y sólo six yy tienen la misma paridad. I Por lo tanto existen dos clases de equivalencia:[ε] =Ly

[a] ={a,b}?_−L

Sea

L={w ∈ {0,1}? _{|w empieza y termina con el mismo símbolo}}

I _{x ≡Ly si y sólo six yy comienzan con un mismo símbolo y}

terminan con un mismo símbolo

I _{x ≡Ly si y sólo six} =awbyy =avbcona,b∈ {0,1}

I _{Se sigue que≡Ltiene 5 clases de equivalencia:}

[ε] =ε [0] =0+0(0+1)?0 [1] =1+1(0+1)?1

Relación

≡

Ejemplos

SeaL={an_bn_|n∈

N}

La relación≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia, por ejemplo:

[ε],[a],[a2], . . . ,[an], . . .

Todas estas clases son diferentes pues sii 6=jentoncesai 6≡_l aj

Relaciones de indistinguibilidad entre cadenas

Teorema de Myhill-Nerode

Por lo general no hay relación alguna entreLyM. La relación≡_L

puede definirse para cualquier lenguajeLaún cuando este no sea regular.

Sin embargo, en el caso particular en queL=L(M)se cumple que≡_M es un refinamiento de≡_L, es decir

∀x,y ∈Σ?(x ≡M y →x ≡Ly).

Esta proposición nos deja ver la más importante limitación de los autómatas finitos, el hecho de que carecen de memoria más allá de lo que recuerde el estado actual.

Invariancia de las relaciones

≡

,

≡

Teorema de Myhill-Nerode

Una relación de equivalencia≡sobreΣ? es invariante por la derecha si y sólo si

∀x,y,w ∈Σ?(x ≡y →xw ≡yw).

La relación≡_Les invariante por la derecha.

Lema de continuación: Seanx,y ∈Σ?. Siδ?(q0,x) =δ?(q0,y)

entonces para cualquierz ∈Σ?_{, se cumple que}

δ?(q0,xz) =δ?(q0,yz)

Propiedades de la relación

≡

Recordemos que el índice de una relación de equivalencia≡es el número de clases de equivalencia generadas por≡.

Dado un AFDM=hQ,Σ,q0, δ,Fise cumple lo siguiente:

I _{La relación}≡_{Mes invariante por la derecha.}

I _{La relación}≡_{Mes de índice finito.}

El Teorema de Myhill-Nerode

Propiedad de lenguajes regulares

Teorema (Myhill-Nerode)

Sea L⊆Σ?_{. Las siguientes condiciones son equivalentes:}

1 _{L es regular.}

2 _{Existe una relación de equivalencia}≡_sobreΣ?_{, invariante por la}

derecha y de índice finito, tal que L es la unión de algunas de las clases de equivalencia de≡.

3 _{La relación de equivalencia}≡

Lema del índice finito

Teorema de Myhill-Nerode

Por el teorema de Myhill-Nerode para mostrar que un lenguajeL

no es regular basta mostrar queLno es de índice finito.

Es decir, basta con ver que≡_Ltiene una infinidad de clases de equivalencia.

Esto se hace explícito mediante el siguiente lema que es una consecuencia directa del teorema de Myhill-Nerode.

Conjuntos estafadores

Pruebas de no regularidad

Las pruebas de no regularidad se sirven de la contrapositiva del lema del índice finito.

Hallando un conjuntoS que no cumpla la propiedad del lema, habremos probado queLno es regular.

Un conjunto infinitoS⊆Σ? es un conjunto estafador paraLsi y sólo si para cualesquierax,y ∈Sexiste una cadenaz ∈Σ? tal que una y sólo una dexz yyz pertenecen aL.

Es decir,S es un conjunto estafador paraLsi y sólo si

∀x,y ∈S(x 6≡Ly).

L

=

{

a

b

|

i

∈

_N

}

no es regular

Teorema de Myhill-Nerode

Basta hallar un conjunto estafador paraL={anbn|n∈N}.

SeaS={ak _{|k ∈}

N}, veamos queS es un conjunto estafador.

Siai,aj ∈Sconi6=jentonces claramente

aibi ∈Lyaibj ∈/L.

Por lo tanto

ai 6≡Laj

L

=

{

a

|

i

∈

_N

}

no es regular

Teorema de Myhill-Nerode

Basta hallar un conjunto estafador paraL={ai2

|i∈_N}

SeaS=L, veamos queSes un conjunto estafador.

Seanai2,aj2 ∈Sconj>i.

I _{Por un lado tenemos quea}i2_a2i+1=ai2+2i+1_=a(i+1)2 _∈L

I _{Por otra parte,a}j2_a2i+1=aj2+2i+1_{∈/Lpuesto que}

j2<j2+2i+1<j2+2j+1= (j+1)2.

Por lo tanto

ai2 6≡_Laj2