DIVISIÓN DE POLINOMIOS (HORNER, RUFFINI Y TEOREMA DEL RESTO) – CUARTO DE SECUNDARIA – Descarga Matematicas

(1)

4 AÑO

División de polinomios: Horner

División de polinomios

Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x) y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamados dividendo D(x) y divisor d(x).

D(x) R(x)

d(x) q(x)

la

Identidad fundamental _Propiedades _{Clases de división}

es 1 exacta

D(x) d(x).q(x) + R(x) d(x) 0

El grado del dividendo es mayor o por lo menos igual al grado

del divisor: D° d°

R(x) 0

para: x = 1 2 inexacta

D(1) d(1).q(1) + R(1)

Suma de coeficientes del dividendo

El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor: q° = D° - d°

R(x) 0

para: x = 0 3

D(0) d(0).q(0) + R(0)

Término independiente del dividendo

El grado máximo del resto es igual al grado del divisor disminuido en 1: R°_max.= d° - 1

Para todos los métodos es necesario que el dividendo y divisor estén ordenados y completos en forma descendente, si falta algún término completar con el cero.

Por ejemplo, así en la división:

2x5 3x2 - 1

2x3 - x2 6

completando con ceros se tiene:

2x5 0x 4 0x3 3x2 0x - 1

2x3 - x2 0x 6

Método de Horner

Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando el siguiente esquema:

Con su

1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma horizontal.

2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y los restantes se colocan con signo cambiado.

3. La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el número que representa el grado del divisor.

4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente. 5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los términos que cambiaron de signo y los resultados se escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce los coeficientes de la segunda columna dividiendo este resultado entre el primer coeficiente del divisor, el resultado es el segundo coeficiente del cociente.

6. Se continuará hasta completar los coeficientes del

mismo signo

Con signo cambiado

D D I V I D E N D O I

V I S O

R C O C I E N T E R E S I D U O

(2)



 Problemas resueltos

1. Dividir:

S o l uc i ó n :

Utilizando el esquema de Horner:

1 a b c d e

2

4x5 - 12x4 13x3 12x2 - x 1

2x2 - 3x 1

0 0 a

2 0

2

b2

0 c2+a4

S o l uc i ó n :

a

En el residuo:

b c+a 0 0

2 4 -12

3 6

-1

13 12 -1 1

-2

-9 3

3 -1

- d + b2 = 0 2 = - d ... (1)_b

- e + c2 + a4 = 0 ... (2)

Reemplazando (1) en (2):

2

27 -9 _

-  d

 -  d 

2 -3 1 _{9 25 -8} e + c 

b  + a   = 0 - El divisor:

2x2 _{- 3x + 1}

   b 

cd ad2 es de grado: d° = 2, entonces separamos dos

columnas para el residuo.

- D_d__5₂ q° = 5 - 2 = 3; R° 1

e - _b + = 0 b2 Transformando:

eb2 _{- cbd + ad}2 _{= 0} ad2 + b2e = cdb

- Finalmente:

q(x) = 2x3 _{- 3x}2 _{+ x +}

9 R(x) = 25x - 8

4. Determinar “” para que el polinomio:

x4 _{+ y}4 _{+ z}4 _-__(x2_y2 _{+ y}2_z2 _{+ x}2_z2₎

sea divisible por (x + y + z). 2. La siguiente división:

ax 5 bx 4 1

(x - 1)2 es exacta. Hallar “a” y “b”.

Solución:

; x IR - {1}

S o l uc i ó n :

Calculando el residuo de la división: - Se iguala el divisor a cero:

x + y + z = 0 - Con la anterior, se cumple:

x4 _{+ y}4 _{+ z}4 _{= 2(x}2_y2 _{+ y}2_z2 ₊

x2_z2₎

En toda división exacta se establece que es posible invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta seguirá siendo exacta.

Ordenando y completando se tiene:

ax5 bx4 0x3 0x2 0x 1

x2 - 2x 1

- Reemplazando en el dividendo: R = 2(x2_y2 _{+ y}2_z2 _{+ x}2_z2₎

- (x2y2 + y2z2 + x2z2)

- Como es divisible entonces: R 0

2(x2_y2 _{+ y}2_z2 _{+ x}2_z2₎___(x2_y2 _{+ y}2_z2 _{+ x}2_z2₎

Finalmente: = 2

Problemas para la clase

1 1 0

2 2

-1

0 0 b a

-1 4 -2

6 -3

1. Dividir:

10x 4 6x3 - 37x2 36x - 12

5x2 - 7x 3

8 -4 e indicar el resto.

1 2 3 4 (b + 5) (a - 4) _{a) 2x + 1} _{b) 2x - 1} _{c) 3x + 1}

En la columna del residuo: b + 5 = 0  b = - 5

a - 4 = 0  a = 4

d) 3x - 1 e) 3x - 3

2. Dividir:

3. La siguiente división:

ax4 _{+ bx}3 _{+ cx}2 _{+ dx + e ÷ (x}2 _-_2₎

(3)

12x 4 - 14x3 15x2 - 6x 4 4x2 - 2x 1

e indicar la suma de coeficientes del cociente. a) 1 b) 2 c) 3

(4)

3. Calcular “m.n”, en la siguiente división exacta. 8x 4 6x3 - 23x2 mx - n

4x2 - 3x 1

a) 15 b) 19 c) 11 d) 48 e) 60

4. Calcular “m + n + p”, si la división: 8x5 4x 3 mx 2 nx p

2x 3 x 2 3

deja como resto:

R(x) = 5x2 _{- 3x + 7}

a) 32 b) 23 c) 21 d) 15 e) 12

5. En la división:

6x3 - 12x2 3ax a

3x2 3

el residuo toma la forma “mx + m”. Calcular “m + a”.

a) 21 b) - 21 c) 30 d) - 30 e) 9

6. Calcular “a - b” en la siguiente división exacta.

7. En la siguiente división exacta:

6x 4 11x3 Bx2 - 7x - 3B

3x2 4x 5

Hallar el valor de “B”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Calcular “A - B” si la división es exacta: x7  Ax B

x2 x 1

a) 3 b) - 2 c) 2 d) 1 e) - 1

9. Si la división:

x5 3x 4 - 3x3 - 4x2 Ax B

x2 2x - 2

deja por resto: 2x - 1, calcular “A + B”.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 23 e) 24

10.En la división:

ax 4 bx3 - 4x2 19x 14

3x2 - x 7

2x 4 5x3 Ax A

x2 - x 1

el residuo es un término constante, indique dicho resto.

a) 13 b) - 13 c) 7 a) -1 b) -4 c) -2 d) - 7 e) 3 d) -8 e) -3

Comparación cuantitativa

A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede

determinar.

E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

Preg. Información Columna A Columna B Al dividir:

11

se obtiene:

6x 4 13x3 6x2 - 3x 5

2x2 3x 2 q(2) R(-1)

(5)

a) 4 - x b) 4x c) x d) x + 4 e) x - 4

Preg. Información Columna A Columna B Dividir:

12 _4x4

3x2 8x - 5

2x2 x - 1

Suma de coeficientes del cociente

Término independiente

del residuo

La división:

13 x5 3x 4 - 3x3 - 4x2 Ax B x2 2x - 2

deja como resto “2x - 1”.

Dada la división exacta:

14 8x 4 - 2x3 7x2 mx n

4x2 x 2

A B

A - B - 25

m - n m

B2

n - m n

Al dividir:

15

6x 4  Ax3 Bx2 Cx D

3x2 2x - 1 A - C B - D

se obtiene un cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a “2x + 7”.

Suficiencia de Datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:

A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.

16.En la división:

6x5 - 2ax 4 5bx2 cx

3x2 - x 3

I. D(x) = d(x) q(x) + R(x) II. q(x) = x2 _{- 5x + 2}

18.Si:

P(x) = ax4 _{+ bx}3 _{+ cx}2 _{+ 3x +}

1 se divide por: x2 _{- x + 1.}

Calcule “a + b + c”.

I. Suma de coeficientes del cociente es 22. II. Suma de coeficientes del residuo es 9.

19.Si la siguiente división:

2x 4 3x2 (A 1)x (B - 3)

2x2 2x 3

deja como residuo: R(x) = x + 3.

Hallar: a3 b3 c3

Hallar “A.B” 3

I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2. II. El residuo es un polinomio de grado 0.

17. El residuo en la siguiente división:

a) 9 b) - 9 c) 0 d) 11 e) 21

20.En la división indicada:

x6 - 25x2 x - 4

3

ax5 bx4 cx3 2x2 - 5x - 3

2x3 x2 - x - 2

es: 7x2 _{+ 8x - 3. Calcular “a + b + c”.}

Hallar el residuo.

(6)

3 K₁ K₂ 4 -12 6 -18 -14 42

2 3 -7

a) 10 b) 4 c) 6 d) 3 e) N.A.

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

a) 10 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A.

21.Si: {m; n}  ZZ y al efectuarse la

división:

x3 - x

el resto obtenido es: 6ab + b2_{. Calcular:}

x2 mx n 3a2b2

2

se obtiene como resto 6. Calcular “m + n”.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4

22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente división:

a

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

27. Si la división:

tiene residuo:

mx 4 nx 3 px 2 17x - 5

2x 2 - x 2

R(x) = 6x - 3

Ax 4 - 7x3 Bx2 15x - 9

4x2 - 3x 2

deja como residuo: 2x - 3 Hallar “A - B”.

y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.

a) 10 b) 70 c) - 70 d) 100 e) - 7

a) 12 b) - 14 c) 28 d) - 12 e) 14

28.En el esquema de Horner mostrado:

23.Calcular “b - a” si al dividir:

ax 4 bx3 13x 18

3x2 - x 7

se obtiene como resto “2x - 3”.

1 m 2

Determinar:

3 a 1

9 d

e

n -2 p

b c

f

g h

4 -3

24.Al efectuar:

2x5 7x 4 - 3x3 5x 1

x3 3x2 - 4x K

(m +n + p) - (a + b + c)

a) 12 b) 18 c) 14 d) 17 e) N.A.

29.Si el polinomio: se obtiene un residuo de primer grado. Calcular

dicho

resto. es divisible por:

ax7 _{+ bx}5 _{- 1}

mx5 _{+ nx}4 _{+ px}3 _{- x - 1}

a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4

d) 13x + 3 e) 12x + 3 calcular el valor de “ab + mn + p”.

25.En la división:

6x5 - x 4 ax3 - 3x2 4

3x3 - 2x2 - x - 2 30.En el esquema de Horner mostrado: se obtiene como resto: bx +

c. Indique “a + b + c”.

a) 3 b) - 4 c) - 2 d) - 1 e) 2

A₁ A₂ A₃ A₄ A₅

6 8

26.En la división:

9x 4 6ax 3 (a2 3b)x 2 abx 9a2

3x 2 ax - b

(7)

Autoevaluación

1. Dividir:

x 4 4x3 6x2 - 7x 2

x2 2x 1

a) - 25 b) 25 c) 24 d) 21 e) 0

Indicar el resto. 4. Calcular “ab_{” si la división:}

a) 1 - 10x b) 1 + 11x c) 1 - 11x ax 4bx3 7x2 10x 3 d) 10x - 2 e) 4x - 1

es exacta.

3x2 x 3

2. Calcular “a + b” si la siguiente división: 5x 4 4x 3 - 13x 2 ax (b 1)

x 2 2x - 1

deja como residuo a: -12.

a) 1 b) 27 c) 16 d) 4 e) 2

5. Si:

a) 2 b) 3 c) - 3 x5 3x 4- 3x 3- 4x 2(A - 1)x (B 1) d) - 2 e) 1

3. Calcular (mn)2 _{si la siguiente}

división:

6x 4 5x3 2mx - 3n

2x2 x 3

x 2 2x - 2

deja como resto 4x - 10, calcular “A + B”.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

(8)

 _a

a

División de polinomios:

Ruffini - Teorema del Resto

Método de Ruffini

Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado

S o l uc i ó n : Por Ruffini:

3x - 1 = 0 3 5 -17 8 7

de la forma:

ax + b ; a  0 x = 1 

1 3

2 -5 1

Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes cumpliendo el siguiente esquema:

3 6 -15 3 8

   

1 2 -5 1

D I V I D E N D O Como:_{q° = 4 - 1 = 3}

Coeficientes del cociente

ax + b = 0

x = - b a

C O C I E N T E R E S T O

q = x3 _{+ 2x}2 _{- 5x + 1}

R = 8

Teorema del Resto

Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos

1. Dividir:

especiales.

Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x)

3x5 - 2x 4 7x3 - 11x2 5x 1

x - 2 por (ax + b) donde: a  0, viene dado por P

 

b   

S o l uc i ó n : Por Ruffini:

x - 2 = 0

x = 2 3 -2 7 6 8 3 4 15

-11 5 1 30 38 86 19 43 87

D

emostr a c ió n :

Sea la división: P(x) ÷ (ax + b), de residuo “R”. De la identidad fundamental, se tiene:

P(x) (ax + b)q(x) + R

b

Como:

resto En esta identidad “R” se obtiene cuando: x = - _a

 

q° = 5 - 1 = 4 _

-  b  ₌a_-b _b

q - b + R _P_-b  _{= 0 + R}

q(x) = 3x4 _{+ 4x}3 _{+ 15x}2 _{+ 19x +}

43 P  

  _a

  _a

  _a

R(x) = 87  a   

 0

Observación: Si el divisor: ax + b; a  1, luego de

dividir

Finalmente:



-  b  por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse

entre

“a” para obtener el cociente correcto.

R = P    

2. Dividir:

3x 4 5x3 - 17x2 8x 7

3x - 1

Regla para calcular el Resto

- Se iguala el divisor a cero.

(9)

4 AÑO

- El valor obtenido se

(10)

1. Hallar el resto de dividir:

S o l uc i ó n :

Por Ruffini, ordenando y completando:

2x2 5x 3 x - 2 + 1 = 0 1 0 (3 2 - 2) 0 0 (2 2 + 7)

2x - 1 _{x = 2 - 1}_ _{2 - 1 (3 - 2 2) 1 2 - 1} _{3 - 2 2}

S o l uc i ó n :

Siguiendo la regla antes mencionada: - 2x - 1 = 0

1

1 2 - 1

Finalmente: R(x) = 10

(1 + 2) 1 2 - 1 10 resto

- x = 2

 1 2

 1 

5. Hallar el residuo en la siguiente división: (x - 4)4 _{(x - 2)}5

- Resto = 2   + 5   + 3

2 

1 5

2  _x2 _{- 6x}

8

Resto =

2 + 2 + 3  Resto = 6 _{S o l uc}_{i ó n :}

Aplicando la identidad fundamental: D(x) d(x).q(x) + R(x)

2. Calcular el residuo en la división:

(x 1)(x - 2)(x 4)(x - 5)(x 7)(x - 8) 1

(x 9)(x - 10)

Donde: R°_máx.= d° - 1 Reemplazando datos:

(x - 4)4 _{+ (x - 2)}5 __(x2 _{- 6x}__{8) q(x) +} 

2do grado

R(x)_

1er grado

S o l uc i ó n :

Multiplicando convenientemente se tiene: * 1er grado R(x)= ax + b

(x 2 - x - 2)(x 2 - x - 20)(x 2 - x - 56)

1 x 2 - x - 90

Hacemos el cambio: x2 _{- x = y}

(x - 4)4 _{+ (x - 2)}5 __(x2 _{- 6x + 8)q(x) + ax + b}

Para: x = 4

(y - 2)(y - 20)(y - 56) 

1 y - 90

(4 - 4)_4



0

+ (4 - 2)5 _{= (4}2 _{- 6(4)}__{8) q(4) + 4a +}

b

_

0

 32 = 4a + b ... (1)

- y - 90 = 0  y = 90

- Resto = (90 - 2)(90 - 20)(90 - 56) + 1

- Resto = (88)(70)(34) + 1 = 210 441

Para: x = 2

(2 - 4)4 _{+ (2 - 2)}5 



0

= (2_{}2 - 6(2) 8) q(2) + 2a + b



0

3. Calcular el resto en:

2y13 - 21y10 y 8 - y7 3y 4 2y 1

y2 - 2

De (1) y (2): 16 = 2a + b ... (2)

4a b 32 ...(1) 

2a b 16 ...(2)

S o l uc i ó n :

Aplicando la regla: - y2 _{- 2 = 0}

 y2 = 2

Dando forma al dividendo:

2(y2₎6_{y - 21(y}2₎5 _{+ (y}2₎4 _{- (y}2₎3_{y + 3(y}2₎2 _{+ 2y + 1}

Reemplazando: y2 _{= 2}

- Resto = 2(2)6_{y - 21(2)}5 _{+ (2)}4 _{- (2)}3_{y + 3(2)}2 _{+ 2y}

+ 1

Resto = 128y - 672 + 16 - 8y + 12 + 2y + 1 Resto = 122y - 643

4. Hallar el residuo en:

Restando: 2a = 16 a = 8; b = 0

Luego: R(x) = ax + b = 8x

Problemas para la clase

1. Dividir:

4x 4  x2 - 3x 4

2x - 1

e indicar el producto de coeficientes del cociente.

x5 (3 2 - 2)x 3 2 2 7 a) 2 b) - 2 c) 4

(11)

a) 50 b) 53 c) 51 d) 52 e) 60

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Hallar el residuo en la siguiente división:

5x 4 16x3 - 8x 2

x 3

a) - 4 b) 4 c) - 6 d) - 24 e) - 2

10.Al dividir:

a) 1 b) - 2 c) - 1 d) 4 e) 10

3 x 4 - 2

2 x 3 - (2 x

-3 - 1)x 2 -6

6 x m

3. Hallar el residuo en:

15x4 - 8x3 - 9x2 7x 1

5x - 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular el valor de “a”, si la división: x3 - ax2 - 2ax - a2

x - a - 3

se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular “m”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división: (n IR)

nx 4 (3 - n2 - n)x 3 (5n - 3)x 2 8nx

-8n2 x - n - 1

si el resto es 64. da residuo: 7a + 2

a) 8 b) 5 c) - 5 d) 6 e) - 6

5. Hallar el resto en la división: x 4 x 2

a) 16 b) - 16 c) 0 d) 1 e) 1024

6. Calcular el resto de la división: (2x 3)5 (x 3)4 - 6x

x 2

a) 1 b) - 6 c) - 3 d) 12 e) 40

7. Calcular el resto en la siguiente división:

12.Hallar el resto en la división:

3x7 2x6 5x 4 x3  x 4

x3 - 1

a) 9x + 1 b) 7x + 9 c) 7x + 2 d) 4x + 14 e) 9x + 7

13.Hallar el resto en:

x70 x60 x 40 x20 7

x10 1

a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 6

14.Hallar el resto en:

x 3 (x - 3)3 5(x 2 1) - 15x 

14

2

4x 40 8x39 1

x 2

x - 3x 1

a) 14 b) 8 c) 26 d) 15 e) 13

8. Calcular el resto de:

(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 4 x

2

8x 11

a) - 9 b) - 10 c) - 11 d) - 12 e) - 13

9. Hallar el resto en la división:

(x 6 - 6x 6)2002 (x 6 - 6x 4)2003 - 2(x 6 6x)

-14

Comparación cuantitativa

A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede

(12)

(13)

Preg. Información Columna A Columna B

15.

En la siguiente división: 2x 32 bx 5

x - 1

la suma de coeficientes del cociente entero es 64.

Efectúe la siguiente división:

Residuo b

Suma de coeficientes

16. x5 (3 2 - 2)x 3 2 2 7 del cociente Residuo

x - 2 1

17.

18.

19.

En la siguiente división:

3nx5 (n 3)x 4 2(2n - 1)x 3 - 4nx 2 9nx -

2n

3x - 2

se obtiene un cociente entero cuya suma de coeficientes es igual al duplo del resto. Al efectuar la división por la regla de Ruffini, se obtuvo el siguiente esquema:

4 -3 -b a

2  8a c m

x 4 b d n

* “R₁” es el residuo de dividir: (3x3 _{- 5x - 8)}2 _{- 4(x + 3) +}

7 entre: (x - 2)

* “R₂” es el residuo de dividir: x300 _{- 25x}298 _{+ x}2 _{+ x +}

9 entre: (x - 5)

Grado del polinomio

cociente n

a + b + c n + d

R₁ R₂

Suficiencia de datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:

A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.

20.Hallar el término independiente del polinomio P(x); si: P(x + 2) = P(x + 4) + 4 + P(x)

I. Al dividir P(x) ÷ (x - 2) se obtuvo “5” como residuo. II. Al dividir P(x) ÷ (x - 4) se obtuvo “4” como residuo.

21.Hallar el resto en la siguiente división: (x - 4)4 (x - 2)5

x2 - 6x 8

I. D(x) d(x).q(x) + R(x); R° <

d° II. q(x) = x2 _{+ x + 2}

22.En la división:

[x3 _{- (m - 1)x}2 _{+ 2m] ÷ (x - 1)}

el resto obtenido es nulo. Hallar “m”. a) - 1 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5

23.Hallar el valor de “a”, si al dividir:

x a17 _ _xa16 __xa15 __..._ _x2 __x_₁

x - 1

(14)

A B C D E F

-1 1 3 5 7 9

e d c b a 0

a) - 6 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5

a) 161 b) 162 c) 163 d) 164 e) 165

24.Del esquema de Ruffini:

29.Calcular el residuo de dividir: (x 1)8 - x 8 7

2x2 2x 1

a) 1 b) 3 c) 7 d) x + 1 e) x - 1

Determinar la suma de coeficientes del polinomio dividendo.

a) 10 b) - 40 c) 40 d) 50 e) - 50

25.Hallar el resto de dividir: 2x120 1

x 2 - x 1

Autoevaluación

1. Hallar el cociente en la división: 3x 4  x3 6x2 5x - 1

3x  1

a) x3 _{+ 2x + 1} _{b) x}3 _{+ 2x - 1}

a) 2x - 3 b) - 2x + 3 c) x - 3 c) x3 _{+ 2x}2 _{+ 1} _{d) x}3 _{+ 2x}2 _{- 1}

d) 3x + 3 e) 5x - 1 e) x3 _{+ x}2 _{+ 2x - 1}

26.Calcular el valor de:

2. Hallar el residuo en la división:

n  2

R = 2 n-2 _8x5_{- x}4__16x3 _{- 2x}2 _₄

si el residuo de la división:

x 2n1 x 2n-1 ₂2n

es 256.

8x - 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. Determinar el residuo en la siguiente división: 2x30 - 128x24 8x15 - 32x13 4x - 5

1 a)

8 b) 14 c) 12 x - 2

d) 1 e) 2

27. Dado el polinomio:

P(x) = ( 2 + 1)x4 _{+ 2}₂_{x - 3} 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Hallar el resto en: Evaluar:

P( 2 - 1) (x - 4)20(x - 4)10 x - 5

 x - 1

a) 1 b) 2 + 1 c) 2 - 1 d) - 2 e) - 3

28.Determine el valor de “m” para que la división: (x2 - y2 z2 )(x2 y2 - z2 ) mx2 yz

x y z

arroje como residuo un polinomio idénticamente nulo.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

5. Hallar el resto en la división: x5 x 2

(15)