Tema 3

TEMA 3. INTRODUCCI

TEMA 3. INTRODUCCI

Ó

Ó

N A LOS C

N A LOS C

Á

Á

LCULOS DE INGENIER

LCULOS DE INGENIER

Í

Í

A

A

1. Sistemas de magnitudes y unidades

1. Sistemas de magnitudes y unidades

2. Conversi

2. Conversi

ó

ó

n de unidades entre sistemas

n de unidades entre sistemas

3. Dimensi

3. Dimensi

ó

ó

n. Ecuaciones dimensionales y adimensionales

n. Ecuaciones dimensionales y adimensionales

4. Propiedades usuales en Ingenier

4. Propiedades usuales en Ingenier

í

í

a Qu

a Qu

í

í

mica

mica

5.

5.

Representaci

Representaci

ó

ó

n y an

n y an

á

á

lisis de datos

lisis de datos

Bibliograf

Bibliografííaa

INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA QUÍMICA

G. Calleja, F. García, A. de Lucas, D. Prats y J.M. Rodríguez Ed. Síntesis, Madrid, 1999.

Tema 5

ELEMENTARY PRINCIPLES OF CHEMICAL PROCESSES R.M. Felder y R.W. Rousseau.

Editorial Wiley, 2000

Tema 2 y 3

Magnitud → Toda propiedad o cualidad física que puede ser medida y expresada cuantitativamente

1. SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES

1. SISTEMAS DE MAGNITUDES Y UNIDADES

Longitud, tiempo, temperatura, masa, fuerza, velocidad, calor específico, etc.

Magnitudes fundamentales → conjunto de magnitudes elegidas arbitrariamente que sirven de base para la definición del resto de magnitudes del sistema.

Magnitudes derivadas → Magnitudes de un sistema que se expresan

multiplicando o dividiendo magnitudes fundamentales.

Ecuaciones de definición → Expresiones de las leyes físicas que, a partir de las magnitudes fundamentales, permiten definir el resto de las magnitudes del sistema.

Unidades → valor obtenido al fijar arbitrariamente una cantidad de cada una de las magnitudes de un sistema y que va a ser utilizada como referencia para medir una variable cualquiera

KILOGRAMO (masa). Es la masa del cilindro de platino iridiado que se conserva en Sévres, Francia (dicho patrón está vigente desde 1.887)

METRO (longitud). Es la distancia recorrida por la luz en el vacío en un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 segundos (esta definición se basa en la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, según afirma la teoría de la Relatividad de Einstein; esta velocidad es, pues, igual por definición a 299.792.458 m/s)

SEGUNDO (tiempo). Es la duración de 9.192.631.770 períodos de la vibración correspondiente a la transición entre dos niveles hiperfinos del estado fundamental en el átomo de cesio-133

Sistemas absolutos o científicos Sistemas técnicos o terrestres Sistemas ingenieriles o mixtos

Medios para poder identificarlas Medirlas

Relacionarlas entre sí Trabajo con magnitudes en

campos científico-técnicos

SISTEMAS DE UNIDADES

Conjunto reducido de unidades elegidas arbitrariamente que permiten medir todas las magnitudes

Sistema redundante Constante

SISTEMA INTERNACIONAL (SI)

Para normalizar los sistemas de magnitudes y unidades

SISTEMA MÉTRICO INGLÉS

Longitud 1 pulgada (in) 1/12 ft 1 yarda 3 ft Masa 1 onza 1/16 lb Volumen 1 galón (US gal) 0.134 ft3 Presión 1 psia 1 lbf/in2

Los múltiplos y submúltiplos NO se basan en el sistema métrico decimal

Constante dimensional (g_c) 32,174 lb·ft·s-2_/lb

SISTEMA CEGESIMAL

• Similar al Sistema Internacional pero está en desuso

• Algunas de sus unidades se mantienen para cuantificar valores pequeños de magnitudes

Sistemas absolutos o científicos

Sistemas técnicos o terrestres

Sistemas ingenieriles o mixtos

2. CONVERSI

Temperatura

1 ºF = 5/9 ºC 1 R = 5/9 K

Temperatura

T_K = T_ºC + 273.15 T_R = T_F + 459.67 T_ºC = (T_F -32)· 5/9 T_K = T_R · 5/9

Cambio escala Conversión

ºC → grados Celsius ⇒ escala Tª relativa K → grados kelvin ⇒ escala Tª absoluta F → grados Farenheit ⇒ escala Tª relativa R → grados Rankin ⇒ escala Tª absoluta Sistema internacional

cegesimal

EJERCICIO DE CAMBIO DE UNIDADES

1) Decir en qué sistema de unidades están expresadas estas magnitudes derivadas y pasarlas al Sistema Internacional

Longitud (L) = 1 in Velocidad (v) = 50 cm/s

Aceleración (a) = 5275 ft/min2

Fuerza (F) = 32 poundal Presión (P) = 15 m de agua

= 10 bar

Viscosidad dinámica (μ) = 10-2 _p

Densidad (ρ) = 0.987 g/l Masa (M) = 10 slug

= 1 UTM

Temperatura (T) = 150 ºF = 765 R

Calor específico (Cp) = 1 Btu/lb·F

Sistema de unidades S.I.

anglosajón 0,0254 m

cegesimal anglosajón anglosajón S.I. cegesimal cegesimal

técnico – anglosajón

anglosajón técnico - métrico

anglosajón

anglosajón

0,5 m/s 0,58 m/s2

4,4 Newton

1,45 atm 106 _Pa

10-3 _kg/m·s

0,987 kg/m3

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CAMBIO DE UNIDADES

2) Expresar en el Sistema Internacional los siguientes coeficientes:

- Difusividad térmica del CO₂ en agua 25 ºC y 1 atm → 7,596·10-5 _ft2_/h

- Conductividad calorífica de un acero → 27 btu/h·ft·ºF

- Coeficiente de transferencia de materia → 3,719·103 _lb/h·ft2_·mmHg

1,96·10-9 _m2_/s

EJERCICIOS PROPUESTOS DE CAMBIO DE UNIDADES

1) Decir en qué sistema de unidades están expresadas estas magnitudes derivadas y pasarlas al Sistema Internacional

Energía (E) = 750 lb_f·ft Trabajo (W) = 10000 Ergio

Calor específico (Cp) = 1,2·10-3 _Btu/lb·ºF

Presión (P) =15 psia

Flujo de materia (-) = 737.35 lb-mol/(h·ft2₎

Sistema de unidades S.I.

técnico o ingenieril - anglosajón cegesimal

anglosajón cegesimal anglosajón

1016.85 J 10-3 _J

1.2 cal/kg·ºC 6894.7 Pa 1 kg-mol/(s·m2₎

2) Determinar el valor de la constante de los gases R (0,082 atm·l/(mol·K)) en

unidades del S.I., sistema cegesimal, sistema anglosajón y sistema ingenieril métrico.

K

mol

m

Pa

·

·

309

,

8

R

mol

s

ft

lb

·

·

·

965

,

10

Sistema ingenieril métrico S.I.

Sistema cegesimal

Energía (E) = 750 lb_f·ft Trabajo (W) = 10000 Ergio

Calor específico (Cp) = 1,2·10-3 _Btu/lb·ºF

Presión (P) =15 psia

Flujo de materia (-) = 737.35 lb-mol/(h·ft2₎

Sistema de unidades S.I.

técnico o ingenieril - anglosajón cegesimal

anglosajón cegesimal anglosajón

1016.85 J 10-3 _J

3. DIMENSI

3. DIMENSIÓ

ÓN. ECUACIONES DIMENSIONALES Y

N. ECUACIONES DIMENSIONALES Y

ADIMENSIONALES

ADIMENSIONALES

Dimensión → Expresión de la magnitud sin referencia a un sistema concreto de medida. Parecido a una unidad generalizada.

Magnitudes → M_o = función (M₁, M₂, …)

Unidades → Sist. A: U_o = función (U₁, U₂, …) Sist. B: U’_o = función (U’₁, U’₂, …)

Dimensiones → D_o = función (D₁, D₂, …)

Ecuación dimensionalmente homogénea → Todos los términos aditivos en ambos lados de la ecuación tienen que tener las mismas dimensiones.

Leyes físicas

Ecuación dimensionalmente no homogénea

Ecuaciones empíricas

ECUACIONES DIMENSIONALES

D₀ ∝ D₁a _{· D}

2b · … ⇒ (Lα0 · Mβ0 · tγ0) ∝ (Lα1 · Mβ1 · tγ1)a · (Lα2 · Mβ2 · tγ2)b D₀ = Lα_{0 · M}β_{0 · t}γ₀

D₁ = Lα_{1 · M}β_{1 · t}γ₁

D₂ = Lα_{2 · M}β_{2 · t}γ₂

(Lα_{0 · M}β_{0 · t}γ_{0) = ϕ (L}α_{1 · M}β_{1 · t}γ₁₎a _{· (L}α_{2 · M}β_{2 · t}γ₂₎b Constante de proporcionalidad

Ec. dimensionalmete homogénea ⇒ ϕ es adimensional

α₀ = aα₁ + bα₂ + …

β₀ = aβ₁ + bβ₂ + …

γ₀ = aγ₁ + btγ₂ + …

Sus valores son únicos y aplicables a cualquier sistema de medida Sistema mecánico → Longitud (L), Masa (M) y Tiempo (t)

Ejemplo de ecuación dimensionalmente homogénea:

Determinación del diámetro de una burbuja de vapor que se separa de una superficie caliente.

v

_⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

)

(

·

2

·

g

d

ρ

ρ

σ

φ

ϕ

¿En qué sistema de medida voy a trabajar? ¿Es la constante de proporcionalidad adimensional?

|D| = L

|σ| = M·t-2

|g| = L·t-2

|ρ| = M·L-3

adimensional

No deben de existir unidades en exponentes, logaritmos ni en expresiones trigonométricas

2

·

·

2

)

(

·

2

_L

L

ML

Lt

Mt

L

g

d

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

ρ

ρ

σ

φ

ϕ

Ln K = función (1/T)

ECUACIONES EMPÍRICAS

Ejemplo de ecuaciones empíricas con logaritmo de variables dimensionales

Considérese la velocidad de reacción química para una reacción de cualquier orden

(-r_A) = K · C_an _{⇒ |K| = (moles/L}3₎1-n _{· t}-1

|r_A| = (moles/L3_·t)

|C_A| = (moles/L3₎n

dimensional

Su valor dependerá del sistema de unidades

K → función de la temperatura

RT Ea

e

A

k

=

·

adimensional

Cumple los criterios de dimensionalidad * Ecuación de Arrhenius

dimensional

No cumple los criterios de dimensionalidad * Expresión empírica de K = f(T)

Ejemplo de ecuaciones empíricas con coeficientes dimensionales

Considérese el cálculo de transferencia de materia en el plato de una columna de destilación por etapas.

φ_materia ∝ gradiente concentración ⇒ difusividad (D (m2_{/s)) (cte. proporcionalidad)}

D (m2_{/s) = 6,68·10}-3_·u

v + 9,22·10-5·hL – 0,00562

Propiedad virtual

u_V = velocidad lineal del vapor (m/s) h_L = altura de líquido en el plato (mm)

Otros sistemas de medida → tener en cuenta unidades de origen de cada coeficiente

Coeficientes dimensionales

A = 6,68·10-3 _m

B = 9,22·10-5 _{m/(s·mm) = 9,22·10}-2 _m/s C = 0,00562 m2_/s

D = A·u_v + B·h_L – C

|A| = |D |/|u_v| = L2_t-1_{/Lt = L}

|B| = |D|/|h_L| = L2_t-1_{/L = Lt}-1

|C| = |D | = L2_t-1

Ejemplo de ecuaciones empíricas con coeficientes dimensionales

Considérese el cálculo de transferencia de calor desde una superficie caliente Q T_A

T_s

Q∝ superficie y gradiente temperatura ⇒ coeficiente individual de transferencia de calor (h (Julio/m2_{·s·K)) (cte. proporcionalidad)}

Superficie sólida orientada hacia arriba → h = 2,33·ΔT¼

Superficie sólida orientada hacia abajo → h = 0,59·(ΔT/L)¼ (*)

Coeficientes dimensionales

Si |h| = Julio/m2_{.s.K, |ΔT| = K y |L| = m. Expresar la ecuación (*) en unidades del}

sistema americano

|h| = H·L-2_·t-1_·T-1

|ΔT| = T

|L| = L |0,59| = H·L

-7/4_·t-1_·T-5/4 _1,18·10-5 _btu/(ft1,75_·s·R1,25₎

h = 1,18·10-5 _(ΔT/L)¼ _siendo

h = btu/ft2_·s·R

T = R L = ft Q = h · A · ΔT

Ejercicio 1: El coeficiente de transferencia de calor desde la superficie de un tubo caliente al aire que se encuentra en régimen laminar, viene dada por la siguiente ecuación (en el SI):

siendo h el coeficiente de transferencia de calor (H/L-2_·t-1_·T-1_{), ΔT la diferencia de temperatura}

entre la pared exterior del tubo y el aire (T) y D el diámetro del tubo (L). ¿Se podría utilizar esta expresión de h para cualquier sistema de medida?

Suponiendo que la expresión anterior está dada para trabajar en un SI, ¿Expresar esta ecuación para que pueda ser utilizada en el sistema americano?

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES

4 1 · 18 , 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ = D T h 4 1 5 25 , 1 75 , 1 5

10

·

18

.

1

·

·

10

·

18

.

1

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ Δ

=

D

T

h

R

s

ft

Btu

siendo h = btu/ft

2_·s·R

Ejercicio 2: El tiro teórico de una chimenea puede calcularse mediante la ecuación dimensional:

Δp = 0,256·h·P·(1/T - 1/T_c)

donde Δp es el tiro o diferencia de presión en pulgadas de agua, h es la altura de la chimenea en pies, P la presión barométrica en pulgadas de mercurio, T la temperatura ambiental en grados Rankin y Tc la temperatura media en el interior de la chimenea en grados Rankine.

Calcular el tiro teórico de una chimenea de 45 metros de altura que se encuentra a una temperatura media de 260 ºC, si la temperatura exterior es 20 ºC y la presión barométrica 750 mm de Hg.

h = 45 m / 0,3048 (m/ft) = 147, 64 ft

P = 750 mm Hg / 25,4 (mm/in) = 29,53 in Hg T = (20 + 273,15) K x (9/5 (R/K)) = 527, 69 R T_C = (260 + 273,15) K x (9/5 (R/K)) = 959,69 R

Δp = 0,256 · 147.64 · 29.53 (1/527.69 – 1/959.69) = 0.952 in de agua

Ejercicio 3: Para calcular el coeficiente individual de transmisión de calor de un líquido orgánico que circula perpendicularmente a un conjunto de tubos puede emplearse la ecuación empírica:

donde:

h → coeficiente individual de transferencia de calor (Btu/h·ft2_·ºF)

V_max → velocidad máxima de circulación del líquido (ft/h) D₀ → diámetro externo de los tubos (ft)

0,408 → constante dimensional para las unidades consideradas

Calcular el valor de la constante dimensional para poder emplear dicha ecuación en el sistema internacional.

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES

4 , 0 0 6 , 0 max

·

408

,

0

D

V

h

=

Ejercicio 4: La ecuación de Maxwell-Gilliland para la difusividad de un gas puede escribirse como:

Expresar la constante en el sistema anglosajón.

donde:

D → difusividad en cm2_/s

T → temperatura en ºK P → presión en atm

V_A, V_B → volúmenes moleculares cm3_/mol

M_A, M_B → pesos molecules g/mol

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES

(

)

5 . 1 3 1 3 1 2 1 1 1 · 3 . 4 B A B A V V P M M T D + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 5 , 1 6 / 7 5 , 0 2 5 , 1 6 / 7 5 , 0 4

·º

·

·

·

738

,

0

·º

·

·

·

3

,

4

F

h

mol

lb

ft

lb

K

s

mol

g

cm

ECUACIÓN ADIMENSIONAL

Ec. dimensionalmente homogéneas → mismas dimensiones y unidades en los diferentes términos aditivos

Módulos adimensionales → agrupación de variables que carecen de dimensiones físicas pero tienen significado físico

4. PROPIEDADES USUALES EN INGENIER

4. PROPIEDADES USUALES EN INGENIERÍ

Í

A QU

A QU

Í

Í

MICA

MICA

PROPIEDADES GEOMÉTRICAS

Dimensión geométrica más empleada → Longitud

L

D b

a

D d

D_eq = 4 · r_H

mojado perímetro flujo al sección 4

D_eq = ×

Espesor (δ)

Perímetro mojado (π·D)

∑

∑

Distribución de tamaños

(tamaño característicos del sistema) d_eq

Volumen, superficie o longitud de la partícula Rugosidad (ε) = D - d_i

Rugosidad relativa (ε/D) d_i di

D lecho del volumen sólido superficie al=

Superficie específica (L-1₎

PROPIEDADES DE CONSERVACIÓN. PROPIEDADES TERMODINÁMICAS

Ecuaciones de conservación → se expresan en flujos o velocidades (flujo/superficie)

Flujo volumétrico → L3_t-1 Flujo másico → Mt-1

Flujo molar → molt-1 Flujo de calor → Ht-1

Velocidad volumétrica → Lt-1 Velocidad másica → ML-2_t-1 Velocidad molar → molL-2_t-1 Velocidad térmica → HL-2_t-1

Propiedades termodinámicas esenciales → equilibrio de fases y transformación química

Transformación química

Calor de reacción (ΔH_R) → Hmol-1

Energía libre de Gibbs (ΔG_R) → Hmol-1

Constante de equilibrio (k_eq) → ¿dimensionalidad?

aA + bB ⇔ cC + dD

K_eq = ([C]c _{· [D]}d_)/([A]a _{· [B]}b₎ a + b = c + d ⇒ adimensional

PROPIEDADES CINÉTICAS

Transporte de cantidad de movimiento

Flujo de fluidos ⇒ tensión o esfuerzo de cizalla (τ)

⇒ |φ_cm| = |presión| = ML-1_t-2

Superficie Fuerza = = A·t M·u cm φ u Vrx eje

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

=

y

u

μ

τ

Viscosidad dinámica → ML-1_t-1

Propiedades típicas del flujo de fluido: Presión ··· ML-1_t-2

Velocidad ··· Lt-1 Diámetro ··· L Potencia ··· ML2_t-3 Carga ··· L

Trabajo ··· ML2_t-2 Propiedades aparentes → se usan para caracterizar

a una suspensión. No es una propiedad intrínseca de cada componente de la mezcla.

⇒ |φ_calor| = HL-2_t-1 tiempo Superficie energía ·· calor = φ

Difusividad térmica (a = k/Ce·ρ)··· L2_t-1 Coeficiente global de transmisión de calor (Q = U·A·ΔT) ·· HL-2_t-1_T-1 Coeficiente de expansión cúbica (β = (∂V/∂T)_P/V) ··· T-1

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

y

T

α

φ

⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − = y T k c φ

Conducción: k → conductividad térmica [HL-3_t-1_T-1_]

Convección:

_h

_T

c

=

·

Δ

φ

Calor intercambiado ΔT → calor sensible = m·Ce·ΔT ; |Ce| = HM -1_T-1

Cambio de fase → calor latente = m·λ ; | λ | = HM-1 Transmisión de calor

⇒ |φ_mat| = molL-2_t-1

tiempo Superficie mol ·· mat = φ

D → difusividad molecular [L2_t-1_] Transferencia de materia

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

−

=

y

C

D

φ

5. REPRESENTACI

5. REPRESENTACI

ÓN Y AN

Ó

N Y AN

ÁLISIS DE DATOS

Á

LISIS DE DATOS

¿Cuál es el valor real de X? ⇒ El valor medio de infinitas medidas de X

¿Cómo se estima el valor real de X?⇒ La media aritmética de finitas medidas (N) de X ⇒

∑

= = N j j X N X 1 1

Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A) X(%) 70,1 69,6 70,2 69,7 72,0 69,9 70,2 70,1 68,0 70,5

B) X(%) 74,6 55,2 71,0 95,0 79,6 52,0 65,3 72,9 80,9 60,8

¿Cuál es la precisión de la medida?

⇒ La varianza ⇒

∑

= − − = N j j

X X X

N s 1 2 2 ) ( 1 1 2 X X s s =

⇒ La desviación estándar (s_X) ⇒

S_x2 _{= 0,96; s}

X= 0,98 Sx2 = 167,89; sX= 12,96

- Inicialmente A puro - Temperatura 45 ºC

- Toma de muestra tras 2 min - Se mide conversión (X)

X (%) = 70 ± 0.98

Experimentación → medida de variables de proceso (T, P, Concentración, etc).

Medida directa Medida indirecta (calibración)

Interpolación → Cálculo de la variable dependiente (y) para un valor de la variable independiente (x) comprendido en el intervalo datos experimentales. Extrapolación → Cálculo de la variable dependiente (y) para un valor de la variable

independiente (x) fuera del intervalo de datos experimentales.

Interpolación entre dos puntos Ajuste por mínimos cuadrados

Ajuste lineal Ajuste no lineal

Interpolación entre dos puntos ) ( ₁ 1 2 1 2

1 x x

x x y y y y − − − + =

Sólo para interpolaciones Puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) muy próximos entre sí

Ajuste por mínimos cuadrado o línea de regresión

Cuando existe dispersión de puntos (análisis experimental de la influencia de una variable de proceso sobre otra) Técnica estadística (minimizar errores) Hojas de cálculo/calculadoras

Ajuste lineal

Ajuste no lineal

x b a y = + ·

2

·x b a y = +

b ax y = a x b y = +

1

bx

Representación lineal de ajustes no lineales

2

·x b a y = +

b

ax y =

a x b y = +

1

bx

e a y = ·

representar

y vs. x2

1/y vs. 1/x

representar

representar

representar

) 4 (

sin y = a x2 −

representar _{sin y vs. (x2-4)}

lg y = lg a + b·lg x ln y = ln a + b·x

log y vs. log x ln y vs. x

ln x = 2,302585 log x

Ejercicio 5: La velocidad a la cual una sustancia pasa a través de una membrana semipermeable se determina mediante la Difusividad D (cm2_{/s) del gas. D varía con la}

temperatura T (K) de acuerdo a la ecuación de Arrhenius: donde:

D₀ → es el factor preexponencial

E_a → es la energía de activación por difusión

R → la constante de los gases ideales (1,987 cal/molK)

EJERCICIOS PROPUESTOS DE ECUACIONES DIMENSIONALES

) /

exp(

0 E RT

D

D = − _a

Los valores de la difusividad del SO₂ a través de una membrana de fluorosilicona, a diferentes temperaturas, son:

T(K) 347.0 374.2 396.2 420.7 447.7 471.2

D (cm2_{/s) x10}6 _{1.34 2.50 4.55 8.52 14.07 19.99}

Calcular:

a) Las unidades de D₀ y E

b) ¿Cómo representarías estos datos para obtener una línea recta?

a) ⏐D₀⏐=⏐D⏐= cm2_/s

⏐E_a⏐=⏐R·T⏐= cal/mol

Solución

b) Se representa ln D vs 1/T en escala lineal

Se representa D vs. 1/T en escala semilogarítmica

c) D₀ = 0,049 cm2_/s E_a = 7,2587 cal/mol

d) D₀ = 0,0486 cm2_/s

y = 0,049e‐3666x

R² = 0,996

1,00E‐06 1,00E‐05 1,00E‐04

0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

D

(c

m

2/

s)

1/T  (K‐1₎

y = ‐3666x ‐3,015 R² = 0,996

‐16,00

‐15,00

‐14,00

‐13,00

‐12,00

‐11,00

‐10,00

0 0,001 0,002 0,003 0,004

ln

D

(c

m

2/

s)