LECCIÓN 1. CIRCUITOS ARITMÉTICOS DE SUMA Y RESTA DE ENTEROS

(1)

Departamento de Informática. Curso 2006-2007 1

LA UNIDAD ARITMÉTICA Y LÓGICA

LECCIÓN 1.

CIRCUITOS ARITMÉTICOS DE SUMA Y

RESTA DE ENTEROS

(2)

EL SEMISUMADOR BINARIO

S = ab’ + ba’ = a

⊕

b

C = ab

(3)

(4)

EL SUMADOR BINARIO COMPLETO

S = a’ b’ c + a’ b c’ + a b’ c’ + a b c

C = a’ b c + a b’ c + a b c’ + a b c

(5)

ECUACIONES DEL SUMADOR BINARIO COMPLETO

S = c

⊕

( a

⊕

b )

C = a b + c ( a

⊕

b)

(6)

(7)

SUMADOR BINARIO PARALELO (CPA)

(8)

CIRCUITO DE SUMA Y RESTA

(9)

CIRCUITOS SUMADORES RÁPIDOS

La causa del retardo es la propagación del acarreo

entre etapas.

Solución: cálculo anticipado del acarreo

Definimos

Gi = ai x bi variable generada

(10)

ECUACIONES DEL BIT DE CARRY

Sustituyendo estas variables en las

ecuaciones lógicas del sumador binario

tendremos:

S

_i

= P

_i

⊕

c

_i

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

SUMADORES RÁPIDOS DE 16 BITS

Circuito LAC de 16 bits es excesivamente

complejo

Se buscan soluciones a partir de LAC de 4

bits

El problema es la generación anticipada de

(18)

CIRCUITOS LAC DE GRUPO

C

₄

= G

₃

+ P

₃

G

₂

+ P

₃

P

₂

G

₁

+ P

₃

P

₂

P

₁

G

₀

+

P

₃

P

₂

P

₁

P

₀

c

₀

Llamando

G

₀

G

_{= G}

3

+ P

3

G

2

+ P

3

P

2

G

1

+ P

3

P

2

P

1

G

0

P

₀

G

_{= P}

3

P

2

P

1

P

0

Podemos escribir:

C

₄

= G

₀

G

_{+ P}

0 G

c

0

(19)

CIRCUITO SUMADOR RAPIDO DE 16 BITS

Generar las funciones G y P para cada bit a

partir de a y b y el carry inicial

Generar las funciones G y P de grupo a partir

de G y P

Generar los bits de carry de grupo (c4 , c8 ,

c12 , c16 )

Generar el resto de las llevadas

(20)

(21)

(22)

SUMADORES CONDICIONALES

Son una evolución de los sumadores con

selección de llevada. Las ecuaciones de las

salidas en función del carry entrante son:

(23)

(24)

(25)

SEGUNDA ETAPA DE UN SUMADOR CONDICIONAL DE 4 BITS

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

LA UNIDAD ARITMÉTICA Y LÓGICA

LECCIÓN 2.

CIRCUITOS ARITMÉTICOS DE

MULTIPLICACIÓN DE ENTEROS

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

MULTIPLICACIÓN POR SUMA Y DESPLAZAMIENTO

(39)

ALGORITMO DE MULTIPLICACIÓN POR SUMA Y

DESPLAZAMIENTO

1. Inicialización: 0

→

A ; Multiplicando

→

B ;

Multiplicador

→

MQ ; N

→

I

2. Analizar bit MQ0

1. Si MQ0 = 0

⇒

Ir a 3

2. Si MQ0 = 1

⇒

(A) + (B)

→

(A) e ir a 3

3. Desplazar C-A-MQ un bit a la derecha

4. Decrementar I

5. Comprobar I

1. Si I = 0

⇒

Terminar

2. Si I

≠

0 ⇒

Ir a 2

(40)

(41)

ALGORITMO DE ROBERTSON

Sirve para multiplicar un número positivo y un

(42)

ALGORITMO DE ROBERTSON

Sólo sirve para el caso de multiplicando

positivo y multiplicador negativo.

Para los n-1 primeros bits del multiplicador se

utiliza el algoritmo anterior.

Para el bit de signo del multiplicador se pone

el complemento a dos del multiplicando

(43)

(44)

(45)

MULTIPLICADORES BINARIOS RECODIFICADOS

Recodificar el multiplicador para evitar las

cadenas de “1”

Efectuar la multiplicación tradicional donde el

sumando correspondiente es 0, Mcando

ó-Mcando en función de que el bit

correspondiente del multiplicador sea 0, 1, -1.

Tenemos presente siempre la necesidad de

(46)

(47)

(48)

CASOS ESPECIALES

Caso de “1” aislado 00100

→

01-100

→

00100 Solución: No codificar

Caso de “0” aislado

11011

→

0-1100

→

00-100 Solución : Cambiar el 0

por –1

(49)

(50)

ALGORITMO DE SOLAPAMIENTO DE TERNAS

1.

Inicialización ( Similar a casos anteriores

salvo que ahora N/2

→

I)

2.

Analizar el valor numérico de MQ1 – MQ0 –

MQ-1 y actuar como en la tabla precedente

3.

Desplazamiento aritmético de A-MQ de 2

bits a la derecha.

4.

Decrementar I

(51)

(52)

CIRCUITOS MULTIPLICADORES EN COMPLEMENTO A DOS

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

LA UNIDAD ARITMÉTICA Y LÓGICA

LECCIÓN 3.

CIRCUITOS ARITMÉTICOS Y

ALGORITMOS DE DIVISION DE

ENTEROS

(60)

ALGORITMO DE DIVISIÓN CON RESTAURACIÓN

Es el algoritmo de división convencional. Los pasos a seguir son los

siguientes:

1. Inicialización: Dividendo

→

MQ ; Divisor

→

B ; N

→

I ;

0 →

A

2. Desplazamiento de A-MQ a la izquierda 1 bit.

3. Restar A-B

→

A

4. Comprobar si A<0 :

1.

Si es cierto

⇒

Restaurar el dividendo A+ B

→

A

2.

Si no es cierto

⇒

1 →

MQ0

5. Decrementar contador I

6. Comprobar si I =0

1.

Si es cierto

⇒

FIN

2.

Si no es cierto

⇒

Ir al paso 2

(61)

(62)

(63)

ALGORITMO DE DIVISIÓN SIN RESTAURACIÓN

Es una mejora del algoritmo anterior que se

basa en lo siguiente: si seguimos el diagrama

de flujo del algoritmo sin restauración a partir

del momento en que se comprueba el valor

del bit de menor peso del divisor la operación

a realizar es :

Si A > 0

⇒

desplazamos (2ª) y restamos

(2A – B)

Si A < 0

⇒

sumamos B (A + B),

(64)

ALGORITMO DE DIVISIÓN SIN RESTAURACIÓN

1. Inicialización: Dividendo

→

MQ ; Divisor

→

B ; N-1

→

I ;

0 →

A

2. Desplazamiento a la izquierda de A-MQ

3. Restar A-B

→

A

4. Analizar A:

1.

Si A <0 desplaz a la izquierda de A-MQ y sumar A+B

→

A

2.

Si A >0 1

→

MQ0 desplaz a la izquierda de A-MQ y restar

A-B

→

A

5. Decrementar el contador I

6. Si I >0 ir a 4

7. Analizar A:

1.

Si A <0 sumar A+B

→

A

2.

Si A >0 1

→

MQ0

8. FIN

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

METODO DE DIVISIÓN MEDIANTE EL INVERSO DEL

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

LA UNIDAD ARITMÉTICA Y LÓGICA

LECCIÓN 4.

(77)

REPRESENTACION BINARIA DE NUMEROS REALES

Un número real consta de parte entera y

parte fraccionaria y su representación

binaria es la siguiente:

En la práctica para representar en binario un

número real trabajamos por separado con su

parte entera y su parte fraccionaria

(78)

EJEMPLO

Sea por ejemplo 23.85 La parte entera 23 = 10111 y la parte

fraccionaria la pasamos a binario multiplicando por 2 y

quedándonos con la parte fraccionaria:

.85 x 2 = 1.70

.70 x 2 = 1.40

.40 x 2 = 0.80

.80 x 2 = 1.60

.60 x 2 = 1.20

.20 x 2 = 0.40

.40 x 2 = 0.80

Luego 0.85 = 0.1101100 ….

Por tanto 23.85 = 10111.1101100

(79)

REPRESENTACION NORMALIZADA. NORMA IEEE-754

En simple precisión la longitud de palabra

es de 32 bits

Vemos que la mantisa está normalizada de

modo que 1

≤

F

≤

2 y que el exponente se

almacena en exceso a 127 para evitar tener

que usar otro bit de signo

(80)

REPRESENTACION NORMALIZADA. NORMA IEEE-754

En doble precisión la longitud de palabra es

64 bits

Ahora el exponente está en exceso a 1023 y

la mantisa está normalizada lo mismo que en

el punto anterior

(81)

REPRESENTACION APROXIMADA DE NUMEROS REALES

Rango : Nos da el conjunto de intervalos

donde existen números representables,

depende del exponente

Precisión : Nos da la diferencia entre dos

números representables consecutivos,

depende del número de bits de la mantisa.

El rango y la precisión son conceptos

antagónicos pues para mejorar la precisión

habría que aumentar la mantisa y por tanto

reducir el exponente lo que lleva a una

(82)

TIPOS DE NUMEROS REALES

Normalizados:

0 < E < Emax

1 ≤

1.F < 2

Cero :

E = 0 F = 0 (-1)S x 0 existe +0 y –0

Infinitos

E = 255 F =0 (-1)S x

∝

existe

+infinito y – infinito

No reales ( not a number)

E = 255 F >0

(83)

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS EN PUNTO FLOTANTE

Alinear mantisas : Tomar el número con

menor exponente y desplazar su mantisa a la

derecha hasta igualar los exponentes

Sumar o restar mantisas

Normalizar el resultado si fuera necesario

Redondear la mantisa al número de bits

apropiado

(84)

MULTIPLICACION Y DIVISIÓN DE NÚMEROS EN PUNTO

FLOTANTE

Sumar o restar los exponentes (y restar o

sumar el exceso)

Multiplicar o dividir las mantisas

Normalizar el resultado

Redondear la mantisa al número apropiado de

bits

Normalizar si es preciso

(85)

(86)

LECCIÓN 1. CIRCUITOS ARITMÉTICOS DE SUMA Y RESTA DE ENTEROS

LA UNIDAD ARITMÉTICA Y LÓGICA

LECCIÓN 1.

CIRCUITOS ARITMÉTICOS DE SUMA Y

RESTA DE ENTEROS

EL SEMISUMADOR BINARIO



S = ab’ + ba’ = a

⊕

b



C = ab

EL SUMADOR BINARIO COMPLETO



S = a’ b’ c + a’ b c’ + a b’ c’ + a b c



C = a’ b c + a b’ c + a b c’ + a b c

ECUACIONES DEL SUMADOR BINARIO COMPLETO



S = c

⊕

( a

⊕

b )



C = a b + c ( a

⊕

b)

SUMADOR BINARIO PARALELO (CPA)

CIRCUITO DE SUMA Y RESTA

CIRCUITOS SUMADORES RÁPIDOS



La causa del retardo es la propagación del acarreo

entre etapas.



Solución: cálculo anticipado del acarreo



Definimos



Gi = ai x bi variable generada

ECUACIONES DEL BIT DE CARRY



Sustituyendo estas variables en las

ecuaciones lógicas del sumador binario

tendremos:



S

i

= P

i

⊕

c

i

SUMADORES RÁPIDOS DE 16 BITS



Circuito LAC de 16 bits es excesivamente

complejo



Se buscan soluciones a partir de LAC de 4

bits



El problema es la generación anticipada de

CIRCUITOS LAC DE GRUPO

C

4

= G

3

+ P

3

G

2

+ P

3

P

2

G

1

+ P

3

P

_i

_i

_i

₄

₃

₃

₂

₃

₂

₁

₃

₂

₁

₀

₃

₂

₁

₀

₀

₀

_{= G}

₀

_{= P}

₄

₀

_{+ P}