PROGRAMACIÓN LINEAL Método Simplex
Conceptos Básicos
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS – SEDE PTO. ASIS
Método Simplex
En la teoría de
optimización,
el algoritmo símplex, descubierto por el
matemático
norteamericano George Bernard Dantzig en 1947, es una técnica popular
para dar
soluciones numéricas del problema de
Conceptos Generales
La solución óptima está
siempre asociada con un punto extremo o
esquina del espacio de soluciones.
Lo que hace el método
simplex es identificar una solución inicial y luego moverse
sistemáticamente a otras soluciones
Conceptos Generales
En el método
simplex cada solución básica es un intento (iteración) por llegar a la
óptima.
Por tanto este
tipo de método se llama
Creación del Método
Simplex
Forma Estándar del Modelo P.L.
1. Todas las restricciones son
ecuaciones, los segundos miembros deben ser positivos.
2. Todas las variables son positivas
Forma Estándar del
Modelo P.L.
Restricciones
Una restricción del tipo <= (menor o igual) puede convertirse en una
ecuación mediante la suma de una variable de holgura.
Ej. X1 + 2 X 2 <= 6
Sumamos una holgura s1 => 0, al primer miembro
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Restricciones
Una restricción del tipo >= (mayor o igual) puede convertirse en una
ecuación mediante la resta de una variable de exceso
Ej. 3X1 + 2 X 2 – 3X3 => 5
Restamos un exceso s2 => 0, al primer miembro
Forma Estándar del Modelo
de P.L.
Restricciones
El segundo miembro de una
ecuación puede hacerse siempre no negativo multiplicando por ambos lados por -1.
Por ejemplo 2X1 + 3X2 – 7X3 =
-5 es equivalente a: -2X1 -3X2 +
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Restricciones
La dirección de una desigualdad se
invierte cuando ambos miembros se multiplican por -1.
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Ejercicio:
Convierta las desigualdades a la forma estándar, es decir que el segundo
miembro sea positivo y que se incluya la holgura o exceso según el caso
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Solución
1. X1 - 2X2 => -2. Se debe
convertir a:
-X1 + 2X2 + s1 =2 , s1=>0
2. . -2X1 + 7X2 <= 1. Se debe
convertir a:
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Variables
La forma estándar de PL para el método simplex exige que todas las variables
deben ser no negativas.
En algunos problemas pueden
presentarse variables irrestricta donde
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Sin embargo una variable irrestricta
yi puede expresarse en términos de varialbes no negativas mediante la sustitución.
yi = yi’ – yi” donde yi’, yi”=>0
Por ejemplo si yi = -4 podría ser porque:
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Función Objetivo
El modelo estándar permite resolver
problemas de maximización o de minimización.
Algunas veces puede ser necesario
convertir de una forma a otra.
La maximización de una función
equivale a la minimización del negativo de la misma función.
Max z = 5X1 +2X2 +3X3 es equivalente a:
Forma Estándar del modelo
de P.L.
Ejercicio: Escriba el siguiente modelo de
P.L. en la forma estándar
Función Objetivo: max z = 2X1 + 3X2 Restricciones:
X1 + X2 = 10 -2x1 + 3x2 <=-5
7X1 – 4 X2 <=6 X1 irrestricta
Forma Estándar de P.L.
Solución
Función Objetivo: 2X1’ – 2X1’’
+3X2
Restricciones:
X1’ – X1’’ + X2 = 10
2X1’ – 2X1’’ – 3X2 – s1 = 5
Soluciones Básicas
Son las candidatas a ser la solución
óptima
Representan los vértices de la región
factible.
Si se cuenta con un sistema con m
ecuaciones y n incognitas; una solución básica se determina
haciendo n-m variables iguales a cero y luego resolviendo las m
ecuaciones restantes con las
Soluciones Básicas
Ejemplo:
2X1 + X2 + 4X3 + X4 = 2 X1 +2X2+ 2X3 + X4 = 3
se cuenta con un sistema con m=2 ecuaciones
y n=4 incógnitas; una solución básica se determina haciendo n-m (4-2=2) variables iguales a cero y luego resolviendo las m=2 ecuaciones restantes con las restantes m=2
Soluciones Básicas
La cantidad de posibles soluciones
básicas se obtiene de la relación:
n!
[m! (n-m)!]
Para el ejemplo
n! = 4! = 4*3*2*1 = 6
[m! (n-m)!] 2! * 2! 2*1*2*1
Existen 6 posibles soluciones
Soluciones Básicas
Solución del Sistema de Ecuaciones
Se dice que un sistema de
ecuaciones es consistente cuando
existe al menos una solución que cumple con todas las ecuaciones planteadas.
Por otra parte, se dice que un
sistema de ecuaciones es
inconsistente si no existe una
Volviendo al ejemplo:
Si x2 = 0 y x4 = 0 el sistema se reduce a:
2X1 + 4X3 = 2
X1 +2X3 = 3; son ecuaciones inconsistentes
Si x3 = 0 y x4 = 0 el sistema se reduce a:
2X1 + X2 = 2 X1 +2X2 = 3.
Entonces X1 = 1/3, X2 = 4/3, X3=0 y X4=0
Variables básicas y variables
no básicas
Variables no básicas: Son las n – m
variables que se hacen iguales a cero.
Ej. 6-4 = 2 variables no básicas
Variables básicas: Son las m
variables restantes.
Soluciones Básicas
Solución Factible
Donde las variables en las soluciones básicas son mayores que cero.
Solución Infactible.
Al menos una de las variables en la solución
básica es menor que cero. Por ejemplo al hacer x1= 0 y x2 = 0. Se tiene el sistema:
4X3 + X4 = 2 2X3 + X4 = 3
Resumen
Posibles Soluciones
Básicas
Puntos Extremos Soluciones
Básicas
Soluciones
Factibles Solución Óptima
Soluciones No factibles Soluciones no
Básicas (inconsistentes
Método Simplex
Primal.
Método Simplex Primal
El método simplex primal parte de
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
R1 R2 R3 R4
A B D E C F XI XE 1. 1XE + 2Xi <= 6 M.P. A
2. 2XE + 1Xi <= 8 M.P. B
3. XI - XE <= 1 Exceso de Producción
4. XI <= 2 Producción Máxima
5. XI=>0 , Xe =>0 No negatividad
Max z = 3Xe + 2 Xi
Formato Estandar
1. 1XE + 2Xi +s1 = 6 M.P. A 2. 2XE + 1Xi +s2 = 8 M.P. B
3. XI - XE + s3= 1 Exceso de
Producción
4. XI + s4 = 2
Producción Máxima
5. XI, Xe, s1, s2, s3, s4=>0
Cuantas variables no
básicas
El modelo tiene m= 4 y n = 6
variables.
El número de variables no básicas
(iguales a cero, o nulas) , sería n – m = 2.
El numero de variables básicas son
Si escogemos Xi = 0 y Xe = 0 como las variables no
básicas.
1. 1XE + 2Xi +s1 = 6 1(0)+2(0)+s1 =6 2. 2XE + 1Xi +s2 = 8 2(0)+ 1(0) +s2 = 8
3. XI - XE + s3= 1 0 – 0 + s3 = 1
4. XI + s4 = 2 0 + s4 = 2
5. Xi = 0 6. Xe = 0 7. s1 = 6 8. S2 = 8 9. S3 = 1 10.S4 = 2
Con estos valores reemplazando en
la función objetivo:
Z = 3Xe + 2Xi Z = 0
En la función Objetivo
Z = 3Xe + 2Xi
Forma estándar para la función z
Z - 3Xe - 2Xi = 0
El método escoge como variable
Así como existe una variable
entrante debe existir una variable saliente ya que deben existir m (4) variables básicas.
Para seleccionar la variable saliente
observamos las intersecciones de las restricciones con la variable entrante en este caso con Xe. Y
Las intersecciones pueden calcularse
en cada restricción con la división del segundo miembro con el valor asociado a Xe.
1. 1XE + 2Xi +s1 = 6 6/1 = 6 2. 2XE + 1Xi +s2 = 8 8/2 =
4
3. XI - 1XE + s3= 1 1/1 =
-1
4. XI + s4 = 2 2/0 =
Como el menor valor se obtuvo en la
restricción 2, la variable saliente es s2.
Los procedimientos anteriores se
denominan condiciones de
Resumen Condiciones del
Método Simplex
Problemas de Maximización:
La variable entrante en una
maximización es la variable no básica con el coeficiente más negativo. Si
existe empate se escoge arbitrariamente.
La variable entrante en una
minimización es la variable no básica, con el coeficiente más positivo en la
Condición de Factibilidad
En ambos casos, tanto de
maximización como de minimización la variable saliente es la variable
básica actual con la menor
Pasos del Método
Simplex
Determinar una solución básica inicial factible
Evaluar la función objetivo
Seleccionar una variable Entrante entre las actuales no básicas
Condición de optimidad
Seleccionar una variable saliente de las actuales básicas
Condición de factibilidad
Tabla de Simplex
Bási
ca z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0 S1 0 1 2 1 0 0 0 6 S2 0 2 1 0 1 0 0 8 S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Solución básica inicial del modelo.
En la columna básica se muestran las variables básicas del modelo y en la
Tabla de Simplex
Bási
ca z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución Intersecció n
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
S1 0 1 2 1 0 0 0 6 6/1=6
S2 0 2 1 0 1 0 0 8 8/2=4
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 1/-1=-1
s4 0 0 1 0 0 0 1 2 2/0=in f
Determinamos la variable entrante y saliente
La condición de optimidad establece que la variable entrante es Xe
Después de identificar las variables
entrantes y salientes, necesitamos determinar la nueva solución básica que debe incluir ahora a
S1, Xe, S3 y S4
Esto se logra aplicado el método de
Método Gauss Jordan
Bási
ca z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución Intersecció n
Z 1 -3 -2 0 0 0 0 0
S1 0 1 2 1 0 0 0 6 6/1=6
S2 0 2 1 0 1 0 0 8 8/2=4
S3 0 -1 1 0 0 1 0 1 1/-1=-1
s4 0 0 1 0 0 0 1 2 2/0=in f
Columna de Entrada
Ecuación Pivote Elemento
Se realizan dos cambios en la tabla en
cada iteración:
Ecuación pivote:
▪ Nueva Ecuación Pivote = Ecuación Pivote /
Elemento Pivote
Las demás ecuaciones incluyendo a z
▪ Nueva ecuación =
Tabla de Simplex
Ecuación de pivote: Se divide todo entre 2 que es el pivote y
como Xe es la variable entrante entonces se sustituye por s2.
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z S1
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Tabla de Simplex
Otras ecuaciones:
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z S1
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
-Tabla de Simplex
Ecuación para Z.
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 S1
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
S3 s4
Ec. Z anterior: 1 -3 -2 0 0 0 0 0
- (-3) *Ec. Piv: 0 3 3/2 0 3/2 0 0 12
Tabla de Simplex
Ecuación para s1
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 S1 0 0 3/2 1
-1/2 0 0 2
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
S3 s4
Ec.s1 anterior: 0 1 2 1 0 0 0 6
- (1) *Ec. Piv: 0 -1 -1/2 0 -1/2 0 0 -4
Tabla de Simplex
Ecuación para s3
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 S1 0 0 3/2 1
-1/2 0 0 2
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
S3 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5 s4
Ec.s3 anterior: 0 -1 1 0 0 1 0 1
- (-1) *Ec. Piv: 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Tabla de Simplex
Ecuación para s4
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 S1 0 0 3/2 1
-1/2 0 0 2
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
S3 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5 s4 0 0 1 0 0 0 1 2
Ec.s4 anterior: 0 0 1 0 0 0 1 2
- (0) *Ec. Piv: 0 0 0 0 0 0 0 0
Se puede observar de la tabla que la
solución de z = 12.
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12 S1 0 0 3/2 1
-1/2 0 0 2
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4
Segunda Iteración
Bási
ca z XE XI s1 s2 S3 s4 Sol Intersec
Z 1 0
-1/2 0 3/2 0 0 12
S1 0 0 3/2 1
-1/2 0 0 2 4/3
Xe 0 1 1/2 0 1/2 0 0 4 8
S3 0 0 3/2 0 1/2 1 0 5 10/3 s4 0 0 1 0 0 0 1 2 2
• Condición de Optimidad: Ahora la variable
entrante es Xi porque tiene el coeficiente más negativo -1/2
• Condición de Factibilidad: El menor valor de
Segunda Iteración
Nueva ecuación de pivote:
Ecuación anterior / elemento pivote
El elemento de pivote de acuerdo a
la tabla es 3/2.
0 0 3/2 1 -1/2 0 0 2
3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2 3/2
÷
Tabla de Simplex - 2
iteración
Ecuación para z
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 38/3 xi 0 0 1 2/3
-1/3 0 0 4/3
Xe
S3 s4
Ec.z anterior: 1 0 -1/2 0 3/2 0 0 12
- (-1/2) *EcPiv: 0 0 ½ 1/3 -1/6 0 0 2/3
Tabla de Simplex - 2
iteración
Ecuación para Xe
Básic
a z XE XI s1 s2 S3 s4 Solución
Z 1 0 0 1/3 4/3 0 0 38/3 xi 0 0 1 2/3
-1/3 0 0 4/3
Xe 0 1 0
-1/3 2/3 0 0 10/3 S3 0 0 0 -1 1 1 0 3
s4 0 0 0
-2/3 1/3 0 1 2/3
Tabla Simplex – 2
iteración
Aquí terminan las iteraciones ya que
ninguna de las variables no básicas tiene un coeficiente negativo en la función z. Esto completa el método Simplex.
Por tanto la solución óptima es:
Xe = 10/3 Xi = 4/3
