Clase 6 Teoria de Trafico V

(1)

CLASE 6

TEORIA DE TRAFICO

(2)

INTRODUCCION



Diseño de una planta de producción

±

± TomTomar dar decisiecisión del ón del tamatamaño de ño de la pla plantlantaa 

 Rendimiento/producciónRendimiento/producción

±

± EEjjmm:: 

 Refinería de petroleoRefinería de petroleo

±

± NúmNúmeroeros de barrils de barriles diares diarios a prodios a producir ucir



 Fábrica de repuestos de equiposFábrica de repuestos de equipos

±

± NúmNúmero dero de parte partes por des por día a prodía a producir ucir



Diseño de un sistema de

comunicaciones

±

± El tEl tráfráfico qico que va a seue va a ser mar manenejadjadoo

±

± El tEl tráfiráfico detco determiermina el númna el número de trero de troncaoncales a seles a ser r

proveída

(3)

INTRODUCCION



Diseño de una planta de producción

±

± TomTomar dar decisiecisión del ón del tamatamaño de ño de la pla plantlantaa 

 Rendimiento/producciónRendimiento/producción

±

± EEjjmm:: 

 Refinería de petroleoRefinería de petroleo

±

± NúmNúmeroeros de barrils de barriles diares diarios a prodios a producir ucir



 Fábrica de repuestos de equiposFábrica de repuestos de equipos

±

± NúmNúmero dero de parte partes por des por día a prodía a producir ucir



Diseño de un sistema de

comunicaciones

±

± El tEl tráfráfico qico que va a seue va a ser mar manenejadjadoo

±

± El tEl tráfiráfico detco determiermina el númna el número de trero de troncaoncales a seles a ser r

proveída

(4)

TRONCALES



Tr

on

ca

le

s ±

tr

un

k

±

Cualquie

r en

tidad

que

transporta

llamadas



 Troncales internacioTroncales internacionales (a nales (a miles de Kms)miles de Kms) 

 Cables internos en una central telefónica (pocosCables internos en una central telefónica (pocos

metros)



Trunking

±

(5)

V

ARIACION DE TRÁFICO



 Sistema de Sistema de telecomunicaciontelecomunicacioneses ±

± CentCentral tral telefelefónica o ónica o ruta ruta de trde transmansmisióisiónn



 Número de llamadas.Número de llamadas.

±

± VVarían aleatoriamente en el tiempo.arían aleatoriamente en el tiempo.

±

± Cada llCada llamada amada individindividualmenualmente tiete tiene un princne un principio y un fin.ipio y un fin.

±

(6)

V

ARIACION DE TRÁFICO

 El número de llamadas en progreso:

± Varia durante todo el día

± Varia del tipo de central telefónica y área

± Varia por el día de la semana ± Hora pico - Busy Hour

 Periodo de una hora en la que hay la mayor carga de tráfico

(7)

U

NIDAD DE TRAFICO



Intensidad de tráfico

± Llamado frecuentemente tráfico

± Definido como el promedio del número de llamadas en progreso.

± Aunque es una cantidad sin dimensiones un nombre se le ha dado a la unidad de tráfico

 Erlang (abreviado E)

± En honor a A.K. Erlang ± Danes pionero de la teoría de tráfico.

(8)

U

NIDAD DE TRAFICO

 En un grupo de troncales

± El número de llamadas en progreso depende de

 El número de llamadas que arriven  La duración de las llamadas

± La duración de las llamadas

 Conocida como tiempo de duración ± holding time

± Un Erlang de tráfico

 Resulta de la ocupancia de una troncal todo el tiempo por una hora.

(9)

U

NIDAD DE TRAFICO

± CCS ± Hundreds of call second per hour

 En USA se expresa en CCS (cientos de llamadas segundo por hora)

 Un Erlang = 36 CCS

(10)

U

NIDAD DE TRAFICO

 El tráfico transportado por un grupo de troncales está dado por:

± A = C*h/T ± Donde:

± A = Trafico en Erlang

± C = Número promedio de llamadas que llegan durante el tiempo T. ± h = tiempo promedio de las llamadas ± holding time

± Una troncal no puede transportar mas de una llamada,

por lo tanto A<=1

 El tráfico es una fracción de un Erlang igual a la porporción promedio del tiempo en el cual la troncal está ocupada

± Esto es llamada ocupancia de una troncal

 La probabilidad de encontrar la troncal ocupada es igual a la proporción del tiempo para la cual está ocupada.

(11)

U

NIDAD DE TRAFICO



Ejm 4.1 pag 90

En promedio, durante la hora pico, una compañía hace 120 llamadas de un promedio de duración de 2 minutos. La misma recibe 200 llamadas de un promedio de duración de 3 minutos. Encontrar (1) el tráfico saliente, (2) el tráfico entrante, (3) el

tráfico total.

1. El tráfico saliente es 120 x 2/60 = 4 E. 2. El tráfico entrante es 200 x 3/60 = 10 E. 3. El tráfico total es 4 + 10 = 14 E.

(12)



Ejemplo 4.2

Durante la hora pico, en promedio, un cliente

con una sola línea telefónica hace tres llamadas y recibe tres llamadas. El promedio de duración de la llamada es de 2 minutos. ¿Cuál es la

probabilidad que el usuario encuentre la linea ocupada?

Ocupación de la línea = (3+3) x 2/60 = 0.2 E = probabilidad de encontrar la línea ocupada.

(13)

CONGESTION

 No es económico proveer suficiente equipo para manejar todo el tráfico que pudiese ofrecerse a el sistema de telecomunicaciones.

 En una central telefónica es posible teóricamente que cada abonado realice una llamada

simultáneamente - el costo es prohibitivo, y la probabilidad que pase es muy pequeña.

 Generalmente no se toman los tráficos de los días de Navidad, año nuevo y día de la madre para la planificación de tráfico de los sistemas.

(14)

CONGESTION



Congestión

± Cuando todas las troncales están ocupadas y no se pueden aceptar mas llamadas.



Red conmutada por paquetes

± Como las redes de datos

± Llamadas que llegan cuando hay congestión tienen que esperar una cola hasta que una troncal/ruta esté libre

± Las llamadas son demoradas pero no perdidas ± Estos sistema son conocidos como si _stema_{s d}e

(15)

CONGESTION



Red conmutada por circuito

± Como las centrales telefónicas

± Todos los intentos de hacer una llamada sobre un grupo de troncales congestionadas no serán exitosas. Las llamada no se pueden realizar. ± Estos sistemas son conocidos como si _stema_s

con _pér _di _da_s.



Sistemas con pérdidas

± Congestión: trafico real es menor que el tráfico ofrecido

(16)

CONGESTION

 M e_di _da _del _servicio _proveí _do:

La

proporción de las llamadas que son perdidas

o demoradas debido a la congestión.

 Gra_do _de _servicio _(B)

: es la medida del

servicio proveído

± Sistema con pérdidas:

 B = Número de llamadas perdidas Número de llamadas ofrecidas  B = Tráfico perdido

(17)

CONGESTION



B:

± Proporción del tiempo para el cual la congestión existe.

± Probabilidad de congestión

 Probabilidad que una llamada pueda ser perdida

debido a la congestión.



Si el tráfico ofrecido a un grupo de troncales

es A y se tiene un grado de servicio de B

± Tráfico perdido = AB Erlangs

(18)

CONGESTION

 Entre mas grande es el grado de servicio peor es el servicio.

 Normalmente es especificado en la hora pico.  Grado de servicio

± Grande

 Usuario pueden tener muchas llamadas incompletas

± Pequeño

 Mucho gasto en equipo que raramente son usados

 Problema de dimensionamiento

± Como determinar el tamaño de un sistema de telecomunicaciones.

± Dado un tráfico ofrecido y un grado de servicio encontrar el número de troncales requeridos. EJM 4.3 pag 91

(19)

M

EDIDA DEL TRAFICO



Tráfico en la hora pico que el sistema está

manejando.

± Cuando los equipos se sobrecargan ± Necesidad de equipos adicionales ± Necesidad de planeamiento

 M

idiendo el tráfico acarreado

± Contar las llamadas en progreso ± Contarla durante la hora pico

± Calcular el promedio

± Las nuevas centrales telefónicas y nodos de datos llevan record de estas llamadas. EJM 4.4

(20)

M

EDIDA DEL TRAFICO



Ejemplo 4.4

De las observaciones realizadas, el número de líneas ocupadas en un grupo de llamadas en

intervalos de 5 minutos durante la hora pico. Los resultados obtenidos fueron: 11, 13, 8, 10, 14, 12, 7, 9, 15, 17, 16, 12.

Por lo tanto, está estimado que el tráfico acarreado, en erlangs, fue:

(21)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

 Un simple modelo matemático esta basado en las siguientes premisas:

± Tráfico puramente aleatorio ± Equilibrio estadístico

 Trafico puramente aleatorio

± Significa que la llegada y terminación de llamadas son procesos independientes.

± Llamadas realizadas por un solo usuario no son aleatorias.

± Sin embargo,el trafico total generado por un gran

número de usuarios es observado a comportarse como si las llamadas fuesen generadas aleatoriamente.

(22)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO



Si la llegada de las llamadas son

independiente y aleatorias

± La ocurrencia de una de ellas no es afectada por la llamada previa.

± El tráfico es conocido como sin memoria

 Implica que el número de fuentes generando

llamadas es muy grande



Si el número de fuentes es pequeña y varias

estan ocupadas

± La razón a la cual se generan nuevas llamadas es menor que si todas las fuentes estuvieran libres.

(23)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO



Asumir aleatoriedad de la llegada y

terminación de las llamadas conduce a los

siguiente resultados:

1. El número de llamadas que llegan en un tiempo dado tiene una distribución de POISSON:

Donde x es el número de llamadas que llegan en el tiempo T u es número promedio de llamadas que llegan en el tiempo T

El tráfico puramente aleatorio es también llamado trafico de POISSON.

(24)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

2. El intervalo, T, entre las llamadas que llegan son

intervalos entre eventos aleatorios independientes y tienen una distribución exponencial negativa:

Donde T es el intervalo promedio entre las llegadas de las llamadas.

3. Desde que la llegada de cada llamada y su terminación son eventos aleatorias e independientes, las duraciones de las llamadas, T, son también intervalos entre dos

eventos aleatorios y tienen una distribución exponencial negativa:

(25)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO



En la práctica:

± Algunas llamadas son cortas y otras largas

± La duración de las llamadas es una distribución exponencial negativa.

(26)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO



Asumir Equilibrio estadístico

± Significa que la generación de tráfico es un proceso aleatorio estacionario.

± El número promedio de llamadas en progreso permanece constante.

± Condición se satisface durante la hora pico ± Grado de servicio que se quiere satisfacer ± El equilibrio estadístico no es obtenido:

 Inmediatamente antes de la hora pico cuando la

razón de llamadas esta incrementando

 Ni al final de la hora pico cuando la razón de llamada

(27)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO



Ejmplo 4.5

En promedio, una llamada llega cada 5 segundos. Durante un período de 10 segundos, cuál es la probabilidad que:

1. No lleguen llamadas 2. Llegue una llamada

(28)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO



Ejmplo 4.6

En un sistema telefónico el promedio de duración de llamada es 2 minutos. Una llamada ya ha durado 4 minutos. Cuál es la

probabilidad que:

1. La llamada durará por lo menos otros 4 minutos

2. La llamada terminará dentro de los próximos 4 minutos

Éstas probabilidades pueden ser asumidas independiente del tiempo que ya ha transcurrido

(29)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

 P

ara un grupo de N troncales

± El número de llamadas en progreso varia aleatoriamente

± Proceso renovado (nacimiento y muerte de llamadas)

± El número de llamadas esta entre 0 y N ± Tiene N+1 estados y su comportamiento

depende de la probabilidad de cambio

 De un estado arriba  De un estado abajo

± Tales procesos son llamados SIMPLES CADENAS DE M ARKOV

(30)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

 Fig. 4.4 Diagrama del estado de transición para N trocales

± P( j) = _Probabilidad del estado j.

± P(k) = _Probabilidad del siguiente estado K.

± P j,k = _Probabilidad que un estado se incremente a k,

dado que el presente estado es j.

± Pk,j = Probabilidad que un estado se decremente a j,

(31)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

 P

(0),

P

(1), «,

P

(N) son llamados estados

probabilísticos de la cadena de

M

arkov.



Si hay equilibrio estadístico estas

probabilidades no cambian y el proceso se

dice que es una cadena de

M

ARKO

V

(32)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO



Considere

± Un pequeño intervalo de tiempo dt, iniciando en el tiempo t.

± Como dt es muy pequeño, la probabilidad que algo pase es muy pequeña

 La probabilidad de 2 o mas eventos es despreciable  Los eventos que pueden ocurrir durante dt son:

± Una llamada llegando, con probabilidad_P(a)

± Una llamada terminando, con una probabilidad _P(e) ± Ningún cambio, con probabilidad 1 - P(a) - P(e)

± El número promedio de llamadas que llegan durante el tiempo promedio (h) es C = A

± Así, el número promedio de llamadas que llegan durante dt es

Adt/h

± Como dt es muy pequeña

(33)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

P j,k = _P(a) = Adt/h

 Si la duración promedio h y el número de llamadas en

progreso es k, entonces uno espera un promedio de k llamadas que finalicen durante un periodo h.

 El numero promedio de llamadas que terminan

durante dt es por lo tanto kdt/h.

 Como dt es muy pequeño, kdt/h << 1 y representa la

probabilidad, P(e) de la terminación de una llamada

durante el tiempo dt

± Pk,j = P(e) = kdt/h

 Si la probabilidad de que j llamadas en progreso en el

tiempo t es P(j), entonces la probabilidad de una

transición de j a k troncales ocupadas durante dt es:

(34)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

 Si la probabilidad de que k llamadas en el tiempo t es P(k), entonces la probabilidad de una transición de k

a j troncales ocupadas durante dt es:

± P(k«j) = P(k)P(e) = P(k)Kdt/h

 Asumir equilibrio estadístico requiere que:

± P(j«k) = P(k«j)

 De otra manera el número de llamadas en progreso

puede incrementar o decrementar,

± kP(k)dt/h = AP(j)dt/h ± P(k) = AP(j)/k  De aquí: ± P(1) = AP(0) ± P(2) = AP(1)/2 = A^2P(0)/2*1 ± P(3) = AP(2)/3 = A^3P(0)/3*2*1

(35)

M

ODELO

M

ATE

M

ATICO

De aquí: ± P(1) = AP(0) ± P(2) = AP(1)/2 = A^2P(0)/2*1 ± P(3) = AP(2)/3 = A^3P(0)/3*2*1  En general ± P(x) = A^xP(0)/x!

 Asumir que el tráfico es puramente aleatorio implica un número de fuentes muy grandes.

 Así x puede tener cualquier valor entre 0 e infinito y la suma de sus probabilidades tiene que ser la unidad

1 = SU_MP(x) = SU_M A^x_P(0)/x! = e^_P(0) P(0) = e^-A y

P(x) = (A^xe^-A)/x!

± Así, si la llegada de llamadas tiene una distribución de POISSON, así lo será las llamadas en progreso.

± Esto requiere de un número infinito de troncales para manejar las llamadas.

± Si el número de troncales disponibles es finita, entonces algunas llamadas pueden perderse o demorarse y la distribución no es de

(36)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA



Erlang determinó el grado de servicio, (ejm:

probabilidad de pérdida) de los sistemas con

pérdidas cuando se tiene N troncales, un

tráfico ofrecido de A como se muestra en la

(37)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA



La solución de Erlang dependió de las

siguientes premisas:

± Disponibilidad completa

± Llamadas que encuentran congestión se pierden

 P

remisa de tráfico puramente aleatorio

± Las llegadas y terminación de las llamadas son aleatorias e independientes

 P

remisa de Equilibrio estadístico implica

(38)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA



La solución de Erlang dependió de las

siguientes premisas:

± Disponibilidad completa

± Llamadas que encuentran congestión se pierden

 P

remisa de tráfico puramente aleatorio

± Las llegadas y terminación de las llamadas son aleatorias e independientes

 P

remisa de Equilibrio estadístico implica

(39)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA

 La premisa de disponibilidad completa significa:

± Cada llamada que llega puede ser conectada a cualquier troncal saliente que está libre

± Si se usan switches se debe tener los suficientes conexiones

 En la mayoría de los casos prácticos los switches no tienen la capacidad suficiente.

 La premisa de perdida de llamada implica:

± Que cualquier intento de llamada que encuentra congestión es eliminada del sistema

 Cuando esto pasa es probable que el usuario realice otra llamada un momento después.

 Tráfico ofrecido durante horas pico es mucho mayor

(40)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA



Si hay

x

llamadas en progreso

P (x) = A^x P (0)/x!

 No podemos tener números negativos de llamadas ni que estas sean mayor que N

(41)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA

 Y

resolviendo para

P

(0)



Substituyendo la ecuación, tenemos:



Esta es la

P

RI

M

ERA DISTRIB

U

CION DE

ERLANG.

± Probabilidad de congestión, grado de servicio B y es dado por el símbolo E1,N

(42)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA



E

1,N : denota la probabilidad de pérdida para un

grupo de troncales con disponibilidad completa

 También conocida como la fórmula de pérdida de llamadas, pero es un caso especial de la general

 El grado de servicio de un sistema con pérdida con N troncales con disponibilidad completa, y un

(43)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA

 E1,N(A) puede ser computado directamente o por iteraciones de una simple relación recurrente

obtenida como:

(44)

SISTE

M

A CON

P

ERDIDAS DE

LLA

M

ADAS - TEORIA



Como E

1,0 = 1, esta formula interactiva permite

que:

± E1,N(A) pueda ser computada para todos los

valores de N

(45)

Ejemplo 4.7

A un grupo de 5 troncales se le es ofrecido un trafico de 2E. Encuentre:

1. El Grado de servicio:

2. La probabilidad que solo una troncal este ocupado: 3. La probabilidad que solo una troncal este libre:

(46)

Ejemplo 4.8

Un grupo de 20 troncales proveen un grado de servicio

de 0.01 cuando el trafico ofrecido es de 12E.

1. Cuanto es mejorado el grado se servicio si se agrega una troncal adicional al grupo?

2. Cuanto se deteriora el grado de servicio se una troncal esta fuera de servicio?

(47)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

 Si el trafico ofrecido aumenta,

± El número de troncales aumenta para el mismo grado de servicio (GOS, B)

 Para la misma ocupancia de troncales

± La probabilidad de encontrar todos los troncales ocupado es menor cuando el grupo de troncales es grande y mayor cuando este es pequeño.

 Para un grado de servicio dado

± Un grupo grande de troncales puede tener una mayor

ocupancia que un grupo menor

 Ejm: 2E de tráfico requiere de 7 troncales y su ocupancia es 0.27E, sin embargo 20E requiere de 32 troncales y su ocupancia es de 0.61E. FIG 4.6

(48)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

Fig. 4.6 Ocupaciones de troncales para grupos disponibles de varios tamaños. Grado de servicio = 0.002

(49)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO



Grupos grandes de troncales son mas

eficientes que grupos pequeños

± Es mejor concentrar tráfico en un solo grupo de troncales que manejar varios pequeños.

± El principio de concentración es usado ampliamente.

 Ejm: en una central el tráfico de un gran número de

usuarios con baja ocupancia se concentra en un número pequeño de troncales de alta ocupancia.

 Ejm: En centrales Tandem se permite una única ruta

de alta ocupancia para ser usada para el tráfico a varios destinos. Así se requiere menos troncales que para rutas separadas.

(50)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

 P

enalidad pagada por la alta eficiencia de

grandes grupos de troncales.

± Es que el grado de servicio (GOS) se deteriora mas con sobrecarga de tráfico comparada con los grupos de troncales pequeñas.

(51)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

 La siguiente gráfica (fig. 4.7) muestra como el

grado de servicio varía con el tráfico ofrecido para diferentes grupos de troncales.

 Para un grupo de 5 troncales, un 10% de sobrecarga incrementa el GOS por 40%.

 Sin embargo para un grupo de 100 troncales, el 10% de sobrecarga hace que el GOS se

(52)

Fig. 4.7 Efecto de sobrecarga sobre grado

de servicio

(53)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

 Por esta razón la mayoría de las compañías operadoras de telecomunicaciones adoptan un criterio dual.

± Dos GOS son especificados

 Uno para el tráfico normal

 Otro mas grande para un porcentaje dado de sobrecarga

± Ejm: GOS de B para el tráfico normal y de 5B para un 20% de sobrecarga.

 El número de troncales a ser proveídos es determinado por cual criterio requiere el mayor número de troncales

± Para grupos pequeños el número es determinado por el criterio

normal de carga.

± Para grupos grandes el número es determinado por el criterio de

(54)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO



Ejemplo: 4.9

± Grupos de troncales son dimensionados para proveer un grado de servicio de 0.002 bajo carga normal y 0.01 bajo 20% de sobrecarga. ± ¿Para que rango de carga de tráfico nominal el

criterio de carga normal aplica y cuando el criterio de sobrecarga?

± De la Fig. 4.7 el grado de servicio se deteriora a un 0.01 para el 20% de sobrecarga cuando hay 19 troncales.

± De la fig. 4.6, 19 troncales pueden manejar 9.5E con un grado de servicio de 0.002.

(55)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO



Ejemplo 4.9 (cont.)

± Luego los rangos serían

± Criterio de carga normal aplica para:

 A <= 9.5E

± Criterio de sobrecarga aplica para

(56)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

 En muchas sistemas de conmutación las troncales en un grupo son seleccionadas por medio de una búsqueda secuencial

± Una llamada no es conectada a la troncal No.2 al menos

que la troncal No. 1 esté ocupada y así sucesivamente. ± Las llamadas que encuentran la última troncal ocupada

se pierden

± Como resultado la primera troncal tiene un muy alto índice de ocupancia y el tráfico para las subsecuentes troncales es menor.

± La última troncal en muy liviana en tráfico. ± Ver GRAF 4.8

(57)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

Gráfica 4.8

Distribución de tráfico sobre troncales de un grupo con

(58)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO



El rendimiento de tales arreglos pueden ser

analizados de la siguiente manera

± Asumamos un tráfico A ofrecido a un grupo de troncales.

± El GOS de un grupo de troncales es:

E1,1 (A) = A/(1+A)

± El tráfico que sobra de la primera troncal a la segunda es:

A E1,1 (A) =(A^2)/(1+A)

± Tráfico acarreado por la primera troncal es

(59)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

 En general

± Tráfico acarreado por la Kth troncal = tráfico perdido del grupo de las primeras k-1 troncales menos el tráfico

perdido del grupo de las primeras k troncales

 Y es igual A{E1,k-1 (A) ± E1,k(A)}

 Hubiese sido mas simple considerar cada troncal como un grupo individual al cual se le ofrece el

tráfico que sobra de la troncal previa. Es incorrecto hacerlo así porque:

± El tráfico ofrecido a la primera troncal es POISSON

(60)

RENDI

M

IENTO DEL TRAFICO

 Ejm 4.10

Si una selección secuencial es usada para un grupo de troncales en el ejem.4.7, cuánto tráfico es acarreado por:

1. La primera troncal 2. La última troncal

(61)

SISTE

M

AS CON

P

ÉRDIDA EN

TANDE

M

 Los usuarios están interesados en el GOS de una conexión completa (varios enlaces).

 Si una conexión consiste de dos enlaces con grados de servicios B1 , B2 , y con un tráfico

ofrecido de A Erlangs, entonces:

± Tráfico ofrecido al segundo enlace = A(1- B1)

± Tráfico que alcanza el destino = A(1- B1) (1- B2)

= A(1- B1B2 - B1 - B2)

Y el grado de servicio total es B = B1+ B2- B1B2.

 Si B1 , B2<< 1, como deben ser, entonces B1B2 es

insignificante y el grado de servicio total es sim lemente B= B1 + B2 .

(62)

SISTE

M

AS CON

P

ÉRDIDA

 En general, para una conexión de n-enlaces:

 Esta ecuación es una simplificación excesiva por dos motivos:

 Los grados de servicio están especificado para la

hora pico y las horas pico de los diferentes enlaces no pudiesen coincidir.

 Cuando el tráfico está creciendo en un sistema, no es

económico instalar equipos para emparejar el crecimiento.

§

! ! n k k B B 1

(63)

TABLAS

DE

TRÁFICO

Tabla 4.1 Capacidad de trafico para grupos disponibles ERLANG B

(64)

U

SO DE TABLAS

DE TRÁFICO

 Ejemplo 4.11

La compañía en el ejemplo 4.1 desea obtener un grado de servicio de 0.01 para las llamadas entrantes y salientes. ¿Cuántas líneas de centrales debe alquilar si:

1. Las llamadas entrantes y salientes son dirigidas en grupos de líneas separadas?

De la tabla 4.1 4E de tráfico saliente necesita 10 líneas 10E de tráfico entrante necesita 18 líneas

El número total de líneas requeridas es 28.

2. Un grupo común de líneas es usado para ambas (llamadas entrantes y

salientes).

(65)

SISTE

M

AS DE COLA

 Erlang encontró la probabilidad de encontrar retardo cuando el tráfico A es ofrecido a

sistemas de cola con N troncales.

Fig4.9 Sistema de espera

 En los sistemas de colas las troncales con frecuencia son llamadas servidores.

± Esto es porque la teoría ha sido aplicada en muchos otros campos.

(66)

SISTE

M

AS DE COLA

 La solución de Erlang (Segunda distribución de Erlang) depende de las siguientes asunciones:

1. Tráfico puro

2. Equilibrio estadístico 3. Disponibilidad total

4. Llamadas que encuentran congestión entran en una cola y son almacenadas allí hasta que haya un

servidor libre.



Tales sistema son conocidos como

(67)

SISTE

M

AS DE COLA

 Deje que x sea el número total de llamadas en el sistema

 Cuando entonces x llamadas han sido servidas y no hay demoras.

 Si donde todos los servidores están

ocupados y las llamadas entrantes encuentran demora.

± Hay N llamadas siendo servidas, y ± (x ± N) llamadas en la cola.

N x e

N

(68)

SISTE

M

AS DE COLA

 Si , No hay cola, y el sistema es igual al de

perdidas, y: (Ec. 4.7)

 Si

± La probabilidad de que una llamada llegue en un corto período de tiempo, , está dada por:

donde h es el tiempo promedio de servicio.

± La probabilidad de transición de x-1 a x llamadas en el sistema durante está dada por:

N x e    0 ! P x A x P x ! N x u t H _{ } h t A a P ! H t H     h t A x P x x P 1p ! 1 H

(69)

SISTE

M

AS DE COLA

 Como todos los servidores están ocupados, solo las N llamadas que se están sirviendo se pueden terminar y la ecuación se modifica así:

 Y la probabilidad de transición de x a x-1, esta dada por:

 P

ara el equilibrio estadístico

P  x 1p x! P  x p x1

  h t A x P h t N x P H ! ( 1) H   h t N e P ! H   h t N x P e P x P x x P ( p 1) ! ( ) ( ) ! H

(70)

SISTE

M

AS DE COLA

 Y:

 Pero:

 Y

así las demás

 ! P (x 1) N A x P    0 ! P N A N P N !   0 ! * ) ( 1 1 P N N N P N N P N  ! !    0 ! * ) 1 ( 2 ₂ 2 P N A A N P N A N P N  !  ! 

(71)

SISTE

M

AS CON ES

P

ERA

 En general, para : Si no hay limite en el tamaño de la Cola.  Donde ya que Entonces: N x u      0 ! 0 ! . N P A N N P N N A x P x N N x x ¹ º ¸ © ª ¨ ! !          1 1 0 0 1 0 0 ! ! 0 ! ! 0 1 1   ! g !  ! g ! ¼ ½ » ¬ -«   ! ¹ º ¸ © ª ¨ ¹ º ¸ © ª ¨  ! !

§

N x x N k k N N N x x x x N N N P N N N N x P x P N x k !  1 e N

(72)

P

ROBABILIDAD DE DELA

Y  El delay ocurre si todos los servidores están

ocupados, i.e _x

_u

_N           0 ! 1 0 ! 0 ! ) ( 1 P N N N N N z x P N P N N N z x P N x k dond _e N P N N x P z x P z N x N z x x N z x  ¹ º ¸ © ª ¨ ! u ¼½ » ¬-« _ ¹ º ¸ © ª ¨ ! u  ! ¹ º ¸ © ª ¨ ! ! u  g ! g !

§

(73)

P

ROBABILIDAD DE DELA

Y  Finalmente, la probabilidad de delay es:

 Esta formula es conocida como L A FORMU L A

DE DEMORA DE ER L ANG

 La probabilidad de delay aumenta hacia 1.0 así como A aumenta hacia N. Donde A>N, la

longitud de la cola crece indefinidamente.

Microsoft Editor de ecuaciones 3.0





 

E

 

A P A N N N A P N x P P N N D D , 2 0 ! . !  ! u !

(74)

P

ROBABILIDAD DE DELA

Y

Fig4.10 Probabilidad de delay para sistemas de espera (A=tráfico en Erlangs,

(75)

CA

P

ACIDAD FINITA DE LA COLA

 Un sistema practico no puede tener colas infinitas

 Cuando la cola está llena, las llamadas que van llegando

se pierden.

 Si la cola puede soportar solamente Q llamadas,

entonces y la ecuación llega a ser:

 La probabilidad de pérdida puede ser estimada primero

asumiendo que la capacidad de cola es infinita y

entonces calculando y ahora la ecuación

N Q x e   

   

 

N N N x N N N N x P Q N N x x Q x k N N x x    !  !   ! !  !

§

1 1 ! ! ! ! 0 1 1 1 0 0 1 0  x Q N  P u      _D Q N Q N P N P N N N N N N Q x P ¹ º ¸ © ª ¨ !  ¹ º ¸ © ª ¨ !  u  0 !

(76)

OTROS RES

U

LTADOS ÚTILES

1. Número medio de llamadas en el sistema

i. Cuando hay demora, el número medio de llamadas es:

ii. Promediado sobre todo el tiempo, el numero medio de

llamadas es: N N x   ! '   A A E A N A x _N   ! ₂_, '

(77)

OTROS RES

U

LTADOS ÚTILES

2. Longitud media de la cola

i. Cuando hay demora, la longitud media de la cola es

ii. Longitud media de la cola promediada sobre todo el tiempo es A N A N x q  !  ! _' '

 

A E A N A P q q ' _D ₂_,_N  ! !

(78)

OTROS RES

U

LTADOS ÚTILES

3. Tiempo medio de demora cuando la disciplina

de la cola es FIFO (µfirst in first out¶) (primero en entrar, primero en salir):

i. Cuando hay demora, la demora media, , es

donde h es el tiempo promedio de ocupación.

ii. Promediado sobre todo el tiempo, la demora media,

es: ' T ' T  N A h T ' ! _

  _A _T _E _{  }_A h _N _A_ E T _N _N  ! ! , 2 , 2 ' '

(79)

OTROS RES

U

LTADOS ÚTILES

Fig4.11 Demoras promedios para sistemas de cola con disciplina de cola FIFO (T=delay promedio, h=tiempo de servicio promedio, N=número de servidores)

(80)

OTROS RES

U

LTADOS ÚTILES

4. Distribución de demoras (disciplina de cola

µFIFO¶). Como el tiempo promedio tiene una

distribución exponencial negativa así también la demora TD. De aquí que:

i. Cuando hay demora,

i. Promediado sobre todo el tiempo





T ' t D t e T P  ! u





 

' , 2 T t N D t E A e T P 

!

u

(81)

SISTE

M

A CON

U

N SOLO SER

_V

IDOR

 Cuando hay un solo servidor, la probabilidad de que esté siendo ocupado es simplemente su

ocupación, A, y esto es la probabilidad de delay, Ejm: E ₂_,₁  A ! A, Como resultado tenemos:

A P _D ! x' ! 1_₁__A_  A A x  ! 1   A P 0 !1     x A A P ! x 1





z A z x P u !  A A q ! _ 1 '  A h T  ! 1 '  A A q  ! 1 2  A Ah T ! ₁_

(82)

SITE

M

A CON

U

N SOLO SER

_V

IDOR

 Ejem 4.11

Una _PBX tiene 3 operadores de servicio y recibe 400 llamadas durante la hora pico. Llamadas entrantes entran en cola y son

manejadas en orden de llegada. El tiempo promedio tomado por un operador para manejar una llamada es 18 seg. Las llamadas que llegan son de Poisson y el tiempo de servicio del operador tiene una distribución exponencial negativa.

1. ¿Que porcentaje de llamadas tienen que esperar para que un operador les responda?

44% de llamadas 9 4 9 1 * 1 3 * 1 * 2 * 3 8 9 1 9 2 2 1 4 2 4 1 2 1 1 * 1 * 2 * 3 8 * 3 1 2 3600 18 * 400 0 0 ! ! ! !    !    ! ! ! D P P P E A

(83)

SITE

MM

A CON

UU

N SOLO SER

_V_V

IDOR

 Ejem 4.11 (cont.)Ejem 4.11 (cont.)

2.¿Cuál es la demora promedio, para todas las llamadas y para las cuales 2.¿Cuál es la demora promedio, para todas las llamadas y para las cuales

se encontró demora? se encontró demora?

delay promedio delay promedio 3. ¿Qué porcentaje de llamadas son demoradas por

3. ¿Qué porcentaje de llamadas son demoradas por más de 30más de 30 segundos?

segundos?

delay delay

promedio de todas las promedio de todas las llamadas

llamadas



     

s

seguegundondo_s_s

P P T T T T s

seguegundondo_s_s

A A N N h h T T D D 1818**44 99 88 '' 18 18 2 2 3 3 18 18 '' ! ! ! ! ! ! ! !   ! !   ! !







₃₀₃₀



₁₈₁₈_..₉₉_*_*₀₀_..₄₄₄₄ ₈₈_..₃₃%% % % 9 9 .. 18 18 18 18 // 30 30 '' // ! ! ! ! u u ! ! ! ! ! ! u u   D D T T t t D D T T P P ee ee t t T T P P

(84)

SITE

MM

A CON

UU

N SOLO SER

_V_V

IDOR

 Ejem 4.13Ejem 4.13

U

Un centro de mensajes de circuitos envía mensajes sobre un n centro de mensajes de circuitos envía mensajes sobre un circuitocircuito de salida a una razón

de salida a una razón de 480 caracteres por segundo. El númerode 480 caracteres por segundo. El número promedio de caracteres por mensaje es 24 y la

promedio de caracteres por mensaje es 24 y la longitud del mensajelongitud del mensaje tiene una distribución exponencial negativa. La entrada de

tiene una distribución exponencial negativa. La entrada de mensajes es un proceso

mensajes es un proceso PPoisson y oisson y ellos son ellos son servidos en servidos en orden deorden de llegada .

llegada .

¿Cuántos mensajes pueden ser dirigidos por segundo si la d

¿Cuántos mensajes pueden ser dirigidos por segundo si la demoraemora media (promediado sobre t

media (promediado sobre todos los mensajes) no excede de odos los mensajes) no excede de 0.50.5 segundos? segundos? 2 2 .. 18 18 05 05 .. 0 0 // 9 90099 .. 0 0 # # 9 90099 .. 0 0 )) 5 5 .. 0 0 05 05 .. 0 0 /( /( 5 5 .. 0 0 05 05 .. 0 0 4 48080 // // 2 244 )) /( /( )) 1 1 /( /( ! ! ! ! ! ! ! ! ! !   ! ! ! ! ! !   ! !   ! ! C C egu egundondo m m_eenn_saj_sajee s_s_x_x_s_s C C C C hh A A s

seguegundondo_s_s

h h T T h h T T A A A A Ah Ah T T

(85)

COLAS EN TANDE

M



 Cuando los sistemas de espera son cCuando los sistemas de espera son conectados en tandem,onectados en tandem,

las demoras son acumulativas.



 Si la primera etapa tienes una entradaSi la primera etapa tienes una entrada PPoisson y un tiempooisson y un tiempo

promedio con distribución exponencial negativa, la entrada

a la segunda etapa será también de

a la segunda etapa será también de PPoisson. Las colasoisson. Las colas

pueden ser consideradas como independientes para

calcular éstas demoras.



 La probabilidad de demora y la demora media para elLa probabilidad de demora y la demora media para el

sistema completo es la suma de éstos

sistema completo es la suma de éstos por etapaspor etapas

individuales.

(86)

TABLAS DE DE

M

ORA



Es

posible

calcular

desde

de

la

siguiente forma:

   A A E

E ₂₂_,,_N_N E E ₁₁_,,_N_N  A A

                        

   E E    A A A A N N N N A A E E A A N N A A AE AE A A E E A A N N A A N N A A N N N N N N A A A A E E A A E E A A N N A A N N A A AE AE N N A A P P N N A A A A E E N N A A k k A A A A E E N N A A k k A A N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N k k k k N N N N N N k k k k ,, 1 1 ,, 2 2 ,, 2 2 ,, 1 1 ,, 2 2 ,, 1 1 ,, 1 1 ,, 1 1 1 1 0 0 ,, 1 1 0 0 )) (( )) (( !! !! )) (( )) (( !! 0 0 1 1 !! !! !! !! !!   ! !         ! !       ! !   ! ! ! !