LEYES DE NEWTON

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Pr´actica “Leyes de Newton”

Eduardo Rodr´ıguez S.

Departamento de F´ısica, Universidad de Concepci´on

19 de mayo de 2003

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La Inercia

¿Por qu´e caemos hacia adelante cuando un autob´us en movimiento desacel-era hasta detenerse y sentimos un impulso hacia atr´as cuando aceldesacel-era desde el reposo? Las personas que viajan de pie en el metro hallan a menudo conveniente situarse de frente al costado del carro cuando el tren arranca o se detiene y viendo hacia el frente o la parte trasera cuando el tren est´a corriendo a velocidad constante. ¿Por qu´e?

Ambos fen´omenos —la ca´ıda hacia adelante cuando el autob´us frena y hacia atr´as cuando acelera desde el reposo— responden a la existencia de

inercia. Llamamos inercia a la tendencia de un objeto a permanecer en

reposo o en movimiento uniforme. Se requiere de una fuerza para sacar a un cuerpo del reposo, pero no se requiere de ninguna para mantenerlo en movimiento uniforme. La masa de un cuerpo es una medida de su inercia; mientras mayor sea la masa de un cuerpo, mayor ser´a la fuerza necesaria para producir en ´el una aceleraci´on dada.

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La Fuerza y la direcci´

on del movimiento

¿Qu´e relaci´on existe, si la hay, entre la fuerza que act´ua sobre un objeto y la direcci´on en que se mueve el objeto?

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La direcci´on en que se mueve un objeto est´a dada en cada instante por la direcci´on de su vector velocidad. De acuerdo a la segunda ley de Newton,

F = ma = mdv

dt, (1)

por lo que podemos afirmar que la fuerza que act´ua sobre un objeto provoca un cambio en la velocidad del mismo, lo cual redunda, en general, en un cambio en la direcci´on del movimiento. La magnitud de este cambio est´a dada por la ec. (1), y es proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del objeto.

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El auto chocador

Un autom´ovil que viaja a raz´on de 53 km/h choca contra el pilar de un puente. Un pasajero que viaja en el autom´ovil se mueve hacia adelante una distancia de 65 cm (con respecto a la carretera) mientras es llevado al reposo por un coj´ın de aire inflado. ¿Qu´e fuerza (supuesta como constante) act´ua sobre la parte superior del torso del pasajero, quien tiene una masa de 39 kg?

Escogemos el eje x paralelo a la direcci´on del movimiento y apuntando en el sentido de avance del autom´ovil. Dado que la fuerza que act´ua sobre el pasajero es constante (hip´otesis del problema), de la segunda ley de Newton deducimos que su aceleraci´on tambi´en es constante. Por lo tanto, la ecuaci´on del movimiento para el torso del pasajero es

x = v0t − 1 2at

2, (2)

donde hemos escogido como t = 0 el instante en que el autom´ovil choca contra el pilar del puente y como x = 0 la posici´on del torso del pasajero en ese instante. Aqu´ı a > 0 es la magnitud de la aceleraci´on (constante); el signo menos proviene de que la componente x del vector aceleraci´on es negativa, ya que el pasajero est´a siendo frenado por el coj´ın de aire. De acuerdo con los datos del problema, la velocidad inicial es de v0 = 53 km/h. Por otro lado, sabemos que el torso del pasajero se desplaz´o 65 cm antes de detenerse por completo. Derivando en (2) obtenemos su velocidad instant´anea:

(3)

Poniendo v = 0 en (3) hallamos el instante t = tf en que el pasajero alcanza el reposo:

tf =

v0

a.

Reemplazando t = tf en (2) podemos encontrar una expresi´on para la dis-tancia recorrida por el automovilista hasta ese instante. Llamando xf =

x (t = tf) = 65 cm, nos queda

xf =

v2 0

2a. (4)

Tanto xf = 65 cm como v0 = 53 km/h son datos del problema; por lo tanto, podemos escribir la aceleraci´on en la forma

a = v

2 0 2xf

. (5)

Esto significa que la fuerza F que act´ua sobre el torso del pasajero (cuya masa es de m = 39 kg) est´a dada por

F = mv

2 0 2xf

. (6)

Reemplazando los valores num´ericos m = 39 kg, v0 = 14.72 m/s, xf = 0.65 cm, encontramos F = 6502 N. A modo de comparaci´on, esta es la fuerza que se necesita para levantar una masa de 663 kg cerca de la superficie de la Tierra.

4

El viento del Sol

El yate solar Diana, dise˜nado para navegar en el sistema solar usando la presi´on de la luz del Sol, tiene una vela con un ´area de 3.1 km2 y una masa de 930 kg. Cerca de la ´orbita de la Tierra, el Sol puede ejercer una fuerza de radiaci´on de 29 N sobre la vela. (a) ¿Cu´al es la aceleraci´on que tal fuerza impartir´ıa al veh´ıculo? (b) Una aceleraci´on peque˜na puede producir efectos grandes si act´ua continuamente durante un per´ıodo de tiempo suficiente-mente grande. Partiendo del reposo, ¿qu´e tan lejos se habr´ıa movido el veh´ıculo despu´es de 1 d´ıa en estas condiciones? (c) ¿Cu´al ser´ıa entonces su velocidad? (V´ease “The Wind from the Sun”, un fascinante relato de ciencia-ficci´on por Arthur C. Clarke, sobre una carrera de yates solares).

(4)

De la segunda ley de Newton, F = ma, tenemos que la aceleraci´on a provocada en un cuerpo de masa m por una fuerza F est´a dada por a = F/m. Luego, la aceleraci´on impartida al yate solar por una fuerza de radiaci´on de magnitud 29 N es a = 31.18 × 10−3 m/s2. Si el yate parte desde el reposo con esta aceleraci´on, su ecuaci´on del movimiento ser´a

x = 1

2at

2. (7)

Para escribir esta ecuaci´on hemos escogido convenientemente el instante t = 0 y el origen del eje x. Cuando t = 1 d´ıa = 86400 s, la distancia recorrida por el veh´ıculo es de

x1 = 116.4 × 106 m,

es decir, unos 116 mil kil´ometros. La velocidad del yate en cada instante es dada por la derivada temporal de su posici´on:

v = at. (8)

Reemplazando a = 31.18 × 10−3 m/s2 y t = 86400 s, podemos calcular su velocidad luego de un d´ıa de viaje. Esta es

v1 = 2694 m/s,

o aproximadamente 2.7 km/s. Estas distancias y velocidades son altas en escala humana, pero ellas deben ser comparadas con las distancias t´ıpicas en el Sistema Solar. Por ejemplo, la distancia promedio entre la Tierra y el Sol es de 149.6 × 109 m, es decir, casi 1300 veces m´as que la distancia recorrida por el yate en un d´ıa. Sin embargo, el yate acelera continuamente. ¿Cu´anto tardar´a, siempre con la misma aceleraci´on, en recorrer 150 millones de kil´ometros?

5

El Obrero

Un obrero arrastra una caja por el piso de una f´abrica jalando de una cuerda atada a la caja. El obrero ejerce una fuerza de 450 N sobre la cuerda, la cual est´a inclinada a 38.0o sobre la horizontal. El suelo ejerce una fuerza resistiva horizontal de 125 N, como se muestra en la figura. Calcule la aceleraci´on de la caja (a) si su masa es de 96.0 kg y (b) si su peso es de 96.0 N.

(5)

       

x

y

38º Fobrero Fsuelo

mg

 

N

Figure 1: Diagrama de cuerpo libre para la caja.

La fuerza total ejercida sobre la caja es la suma vectorial de las fuerza ejercidas por el obrero y por el suelo. Escogemos el eje x horizontal y apun-tando en la direcci´on en que el obrero jala la cuerda, y el eje y vertical y apuntando hacia arriba. Con estas elecciones, las fuerzas involucradas son

Fobrero = 450 ³

cos 38oˆi+ sin 38oˆj´ N, (9)

Fsuelo = −125ˆi N, (10)

N = Nˆj, (11)

mg = −mgˆj. (12)

Sumando obtenemos la fuerza total:

Ftotal = 230ˆi+ (277 + N − mg)ˆj. (13)

La segunda ley de Newton relaciona la fuerza total ejercida sobre un cuerpo de masa m con la aceleraci´on producida sobre ´el. Si la caja se desplaza s´olo en la direcci´on horizontal, entonces su aceleraci´on estar´a confinada al eje

x. Por lo tanto, podemos escribir

a = aˆi. (14)

Introduciendo (13) y (14) en Ftotal = ma, hallamos

(6)

o bien,

(230 − ma)ˆi+ (277 + N − mg)ˆj = 0. (16)

De aqu´ı obtenemos las ecuaciones

230 − ma = 0, (17)

277 + N − mg = 0, (18)

las cuales implican que

a = 230

m , (19)

N = mg − 277. (20)

Si la masa de la caja es de m = 96.0 kg, entonces su aceleraci´on ser´a

a = 2.40 m/s2. (21)

En este caso el m´odulo de la fuerza normal es de N = 664 N.

En cambio, si su peso es mg = 96.0 N, entonces su masa ser´a de m = 9.8 kg. Esto significa que el m´odulo de la fuerza normal se vuelve negativo; N =

−181 N. Lo que este signo est´a se˜nalando es la imposibilidad de mantener

una aceleraci´on puramente horizontal cuando se aplica una fuerza de estas caracter´ısticas a un cuerpo de masa tan peque˜na. Ciertamente la caja se levantar´a bajo la acci´on de Fobrero, invalidando todo el an´alisis precedente.

Es importante notar que la segunda ley de Newton relaciona la fuerza que act´ua sobre un cuerpo con su aceleraci´on a trav´es de la masa, no del peso. El peso no es m´as que la fuerza ejercida por la Tierra sobre un objeto en su superficie, y es proporcional a la masa.

Figure

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