G
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í
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a
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GRACIAS A LOS PRIMOS
GRACIAS A LOS PRIMOS
Dentro de la familia de los cicádicos, más conocidos como
Dentro de la familia de los cicádicos, más conocidos como
cigarras, sobresalen dos especies particulares por
cigarras, sobresalen dos especies particulares por
vivir uno
vivir uno
de los ciclos de vida más particulares, tanto dentro del
de los ciclos de vida más particulares, tanto dentro del
reino de los insectos como fuera de este: la
reino de los insectos como fuera de este: la
MagicicadaMagicicadatredecim
tredecim
que tiene un ciclo de 13 años y la
que tiene un ciclo de 13 años y la
MagicicadaMagicicadaseptendecim
septendecim
que tiene uno de 17 años
que tiene uno de 17 años
.
.
La supervivencia de las cigarras
La supervivencia de las cigarras
depende de las propiedades
depende de las propiedades
de los números más fundamentales de las matemáticas:
de los números más fundamentales de las matemáticas:
los números primos, números que son solo divisibles por
los números primos, números que son solo divisibles por
sí mismos y por 1
sí mismos y por 1
.
.
La elección de un ciclo de 13 y 17 años no parece muy
La elección de un ciclo de 13 y 17 años no parece muy
arbitraria ya que estos permiten a las cigarras tener una
arbitraria ya que estos permiten a las cigarras tener una
ventaja evolutiva, pues estos números primos ayudan a
ventaja evolutiva, pues estos números primos ayudan a
evitar a otros animales de ciclos de vida periódicos
evitar a otros animales de ciclos de vida periódicos
.
.
Por
Por
ejemplo: si un depredador aparece cada seis años en el
ejemplo: si un depredador aparece cada seis años en el
bosque, una cigarra con un ciclo de ocho o nueve años
bosque, una cigarra con un ciclo de ocho o nueve años
coincidiría con el depredador mucho más frecuente que
coincidiría con el depredador mucho más frecuente que
una cigarra con una ciclo de siete años
una cigarra con una ciclo de siete años
.
.
Intelectum Intelectum Aritmética Aritmética
I
I
A
A
Indicadores
Indicadores
de logro
de logro
•• Identica las claIdentica las clases de proposes de proposiciones lógisiciones lógicas (simples y compucas (simples y compuestas) yestas) y
los operadores lógicos (negación, conjunción, disyunción, condicional
los operadores lógicos (negación, conjunción, disyunción, condicional
y bicondicional).
y bicondicional).
•
• Determina el valor Determina el valor de verdad de verdad de los de los esquemas moleculares, aplicandoesquemas moleculares, aplicando
los operadores lógicos.
los operadores lógicos.
•
• Comprende la Comprende la relación de relación de pertenencia entre elemento pertenencia entre elemento y conjunto.y conjunto.
•
• Determina la Determina la inclusión e inclusión e igualdad entre igualdad entre conjuntos.conjuntos.
•
• Realiza las Realiza las operaciones básicas entre operaciones básicas entre conjuntos (unión, conjuntos (unión, interseccióintersección,n,
diferencia, diferencia simétrica y complemento).
diferencia, diferencia simétrica y complemento).
•
• Aplica las distintas leyes Aplica las distintas leyes de idempotencia, conmutativa, asociativa yde idempotencia, conmutativa, asociativa y
distributiva al resolver problemas sobre conjuntos.
distributiva al resolver problemas sobre conjuntos.
•
• Identica Identica el el orden, lugar orden, lugar y base y base de de un un numeral.numeral.
•
• Realiza correctamente Realiza correctamente la la conversión de conversión de números entre números entre bases.bases.
•
• Expresa las Expresa las propiedades sobre propiedades sobre adición, adición, sustraccsustracción, ión, multiplicacimultiplicación ón yy
división en el
división en el conjunto de los conjunto de los números naturales.números naturales.
•
• Identica las propiedades de Identica las propiedades de los números enteros los números enteros en la en la recta numérica.recta numérica.
•
• Identica los principios de divisibilidad y Identica los principios de divisibilidad y hace uso hace uso de cada de cada uno de uno de sussus
criterios.
criterios.
•
• Utiliza los principios de la divisibilidad en Utiliza los principios de la divisibilidad en la adición, sustracción yla adición, sustracción y
multiplicación de múltiplos.
multiplicación de múltiplos.
•
• Utiliza los Utiliza los criterios de divisibilidad en criterios de divisibilidad en la resolución de la resolución de problemas.problemas.
•
• Discrimina Discrimina entre núentre números primmeros primos y complos y complejos.ejos.
•
• Identica números Identica números primos entre primos entre sí sí (PESÍ).(PESÍ).
•
• Evalúa los divisores de Evalúa los divisores de los números utilizando la los números utilizando la descomposicdescomposición caión ca- -nónica.
nónica.
•
• Aplica las Aplica las propiedades de propiedades de los números los números primos.primos.
•
• Comprende los métodos Comprende los métodos utilizados para el utilizados para el cálculo del MCD cálculo del MCD y MCM.y MCM.
•
• Demuestra las Demuestra las propiedades propiedades del del MCD MCD y y el el MCM.MCM.
•
• Comprende la Comprende la denición de denición de densidad en densidad en los racionales.los racionales.
•
• Analiza las Analiza las operaciones entre operaciones entre números racionales.números racionales.
•
• Aplica Aplica operaciones operaciones de de adición, adición, multiplicacimultiplicación ón división división y y multiplicacmultiplicaciónión
en las
en las diferentes clases de diferentes clases de fracciones.fracciones.
U
Contenido:
Contenido:
Unidad 1 Unidad 1
•
• Lógica proposicional.Lógica proposicional.
•
• Teoría de conjuntos.Teoría de conjuntos.
•
• Numeración.Numeración.
•
• Operaciones básicas en elOperaciones básicas en el
conjunto (
conjunto (ZZ++).).
Unidad 2 Unidad 2
•
• Teoría de divisibilidad.Teoría de divisibilidad.
•
• Números primos.Números primos.
•
• Máximo común divisor yMáximo común divisor y
mínimo común múltiplo.
mínimo común múltiplo. •
• Conjunto de númerosConjunto de números
racionales(
racionales(qq).).
Unidad 3 Unidad 3
•
• Potenciación y radicaciónPotenciación y radicación
en
enZZ++..
•
• Razones y Razones y proporciones.proporciones.
•
• Magnitudes proporcionalesMagnitudes proporcionales..
•
• Regla de tres.Regla de tres.
•
• Tanto por ciento.Tanto por ciento.
Unidad 4 Unidad 4 • • Promedios.Promedios. • • Estadística.Estadística. •
• Análisis combinatorio.Análisis combinatorio.
•
• Probabilidad.Probabilidad.
•
• Evalúa los criterios de Evalúa los criterios de inclusión y exclusión de inclusión y exclusión de cuadrados y cubos cuadrados y cubos per per - -fectos.
fectos.
•
• Comprende el proceso de Comprende el proceso de extracción de la raíz extracción de la raíz cuadrada y cúbica decuadrada y cúbica de
números naturales por defecto y exceso.
números naturales por defecto y exceso.
•
• Calcula la raíz Calcula la raíz cuadrada y cúbica, así cuadrada y cúbica, así como las potencias de como las potencias de númerosnúmeros
naturales.
naturales.
•
• Identica las Identica las clases de clases de razón y razón y proporción.proporción.
•
• Utiliza la denición de Utiliza la denición de razones, proporciones y las series razones, proporciones y las series de razonesde razones
geométricas equivalentes.
geométricas equivalentes.
•
• Evalúa las Evalúa las propiedades sobre razones, proporciones y propiedades sobre razones, proporciones y serie de serie de razorazo- -nes
nes geométricas equivalentes.geométricas equivalentes.
•
• Analiza las Analiza las propiedades sobre propiedades sobre las magnitudes las magnitudes directas e directas e inversas inversas enen
problemas con
problemas con engranajes engranajes y reparto y reparto proporcional.proporcional.
•
• Diferencia entre regla Diferencia entre regla de tres de tres directa e directa e inversa.inversa.
•
• Evalúa el Evalúa el tanto por tanto por ciento relacionado ciento relacionado con aumentos con aumentos o o descuentosdescuentos
únicos.
únicos.
•
• Identica el Identica el promedio aritmético, ponderado, promedio aritmético, ponderado, geométrico y geométrico y armónico,armónico,
además
además evalúa evalúa sus sus propiedades.propiedades.
•
• Calcula el Calcula el promedio de promedio de un conjunto un conjunto de números.de números.
•
• Discrimina eDiscrimina entre variabntre variable cualitatle cualitativa y cuantitiva y cuantitativa.ativa.
•
• Dene y Dene y comprende las comprende las medidas de medidas de posición (media, mediana posición (media, mediana y y moda).moda).
•
• Emplea cuadros Emplea cuadros estadísticestadísticos os para para presentar datos presentar datos ordenadamente.ordenadamente.
•
• Calcula la media, la Calcula la media, la mediana y la mediana y la moda de moda de datos clasicados y no cladatos clasicados y no cla- -sicados.
sicados.
•
• Organiza los datos en un gráOrganiza los datos en un gráco estadístico (histogco estadístico (histogramas, pictograramas, pictogra- -mas, diagrama de barras).
mas, diagrama de barras).
•
• Utiliza Utiliza los los principios fundamentales principios fundamentales de de conteo conteo de de adición adición y y multiplimultipli- -cación.
cación.
•
• Utiliza el principio dUtiliza el principio de multiplicación y ae multiplicación y adición en los probledición en los problemas propuestos.mas propuestos.
•
• Dene y Dene y discrimindiscrimina a entre variación, entre variación, permutación y permutación y combinación.combinación.
•
• Analiza el experimento aleatorio Analiza el experimento aleatorio y dene correctamente un y dene correctamente un espacioespacio
muestral.
muestral.
U
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n
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i
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d
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a
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3
3
U
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d
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4
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DEBERÍAS SABER QUE
DEBERÍAS SABER QUE
...
...
Las hembras ponen sus huevos antes de
Las hembras ponen sus huevos antes de
morir, es ahí cuando los insectos jóvenes
morir, es ahí cuando los insectos jóvenes
(o ninfas) caen al suelo y penetran en la
(o ninfas) caen al suelo y penetran en la
tierra pudiendo vivir dentro de ella de 4 a
tierra pudiendo vivir dentro de ella de 4 a
17 años (dependiendo de la especie)
17 años (dependiendo de la especie)
alimen-tándose de la savia de las raíces
tándose de la savia de las raíces
.
.
Después
Después
de ese período empiezan a cavar túneles
de ese período empiezan a cavar túneles
para luego subir en masa a los árboles para
para luego subir en masa a los árboles para
transformarse en adultos con alas y genitalia
transformarse en adultos con alas y genitalia
desarrollada, listos para el apareamiento. El
desarrollada, listos para el apareamiento. El
momento crítico y más débil se da en las
momento crítico y más débil se da en las
primeras tres horas después de que salen
primeras tres horas después de que salen
a la superficie ya que sus alas y su nueva
a la superficie ya que sus alas y su nueva
piel aún no están listas. Finalmente mueren,
piel aún no están listas. Finalmente mueren,
otra vez en masa, dejando sus larvas
otra vez en masa, dejando sus larvas
ente-rradas para la secuela
rradas para la secuela
.
.
De acuerdo a los estudios realizados, los
De acuerdo a los estudios realizados, los
ci-clos de vida de sus principales depredadores
clos de vida de sus principales depredadores
en la superficie son de 2 y 3 años
en la superficie son de 2 y 3 años
.
.
¿Se imaginan lo que pasaría si cada vez que
¿Se imaginan lo que pasaría si cada vez que
salen las cigarras de su morada subterránea
salen las cigarras de su morada subterránea
esto coincidiera con el momento de
esto coincidiera con el momento de
repro-ducción de sus depredadores una y otra vez
ducción de sus depredadores una y otra vez
sin parar? La respuesta es simple las cigarras
sin parar? La respuesta es simple las cigarras
se extinguirían. al tener un ciclo primo de
se extinguirían. al tener un ciclo primo de
vida es imposible que esto ocurra
PROPOSICIÓN LÓGICA
Es aquella expresión en la que se arma algo y se caracteriza por tener un solo valor veritativo, es decir, puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez.
Si una proposición es verdadera se le asignará la letra V y si es falsa la letra F.
Notación
Representaremos a las proposiciones mediante las letras minúsculas de la segunda mitad del alfabeto: p, q, r, s, ... A estas se les denominavariables proposicionales.
Ejemplos:
• p: Ricardo es ingeniero industrial. • q: Inés estudia matemática.
CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS
a) Proposiciones simples o atómicas. Son aquellas que están constituidas por una sola proposición.
Ejemplos:
• 7 es un número impar. • Johana viajó a Cusco.
b) Proposiciones compuestas o moleculares. Son aquellas que están constituidas por dos o más
proposiciones enlazadas entre sí por conjunciones gramaticales o afectadas por el adverbio de negación no.
Ejemplos:
• Voy a la bibliotecao al teatro.
• Si estudioentonces aprobaré el curso de Aritmética.
CONECTIVOS LÓGICOS
Llamados también operadores. Son símbolos que reemplazan a las conjunciones gramaticales y al adverbio de negaciónno.
Los conectivos lógicos que más usaremos son los siguientes:
En el lenguaje común Símbolo Nombre de la proposición
No es cierto que... + Negación ... y... / Conjunción ... o... 0 Disyunción Si... entonces... & Condicional
... si y solo si... + Bicondicional
PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
La negación ( + )
Dada una proposición p. Se denomina negación de p a la proposición denotada por +p, la cual niega a la proposición inicial, convirtiéndola en falsa cuando es verdadera y viceversa.
Su tabla de verdad es:
p +p
V F F V
+p se lee: “no p” o “no es cierto que p”.
LÓGICA PROPOSICIONAL
unidad 1
Las conjunciones
gramaticales son palabras que enlazan proposiciones, sintagmas o palabras. Por ejemplo: y, e, ni, o, etc.
Nota
Ejemplos:
• p: 2 es un número primo. (V)
• +p: 2 no es un número primo. (F) • q: un rectángulo tiene 3 lados. • +q: no es cierto que un rectángulo tiene 3 lados. (V)(F)
Nota
A la veracidad o falsedad de una proposición se le denomina valor de verdad.
Atención
Por convención+ se coloca a
la izquierda de la proposición que se niega.
Ten en cuenta Una tabla de verdad es un diagrama que permite expresar todos los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus proposiciones simples. Observación Los enunciados: • Prohibido jugar • ¡Cuidado! • ¿Qué hiciste? no son proposiciones.
La conjunción (/ )
Es la proposición compuesta por las proposiciones p y q, relacionadas mediante el conectivo lógico y.
Se denota: p/ q (se lee: p y q).
Su tabla de verdad es:
p q p/ q V V V V F F F V F F F F Ejemplo:
• Miguel piensa y Juan actúa.
p / q
La disyunción (0 )
Es la proposición compuesta por las proposiciones p y q, relacionadas mediante el conectivo lógicoo.
Se denota: p0 q (se lee: p o q).
Su tabla de verdad es:
p q p0 q V V V V F V F V V F F F Ejemplo:
• Hoy es viernes o es mayo.
p 0 q
La condicional ( & )
Es aquella proposición en la que dos proposiciones simples: p y q se relacionan mediante el conectivo lógico
si... entonces...Se denota: p& q (se lee: si p entonces q).
Su tabla de verdad es:
p q p& q V V V V F F F V V F F V Donde: p: antecedente Ejemplo:
• Si estudio, entonces aprobaré.
p & q
q: consecuente
La bicondicional (+ )
Es aquella proposición en la que dos proposiciones simples: p y q, se relacionan mediante el conectivo lógico
si y solo si. Se denota: p+ q (se lee: p si solo si q).
Su tabla de verdad es:
p q p+ q V V V V F F F V F F F V Ejemplo:
• Habrá desle si y solo si hay garantías.
p + q
La disyunción exclusiva (9 )
Es aquella proposición en la que se relacionan dos proposiciones simples: p y q, mediante el conectivo lógico
o... o... Se denota: p9 q (se lee: o p o q).
Su tabla de verdad es:
p q p9 q V V F V F V F V V F F F Ejemplo: • Oganamos o empatamos. p 9 q
Una proposición disyuntiva será falsa, si sus
proposiciones componentes (p y q) son falsas.
En otros casos, será verdadera.
Nota
La proposición condicional será falsa únicamente cuando el antecedente sea verdadero y el consecuente sea falso. Nota
Recuerda
Una proposición conjuntiva será verdadera, si sus proposiciones componentes (p y q) son verdaderas. En otros casos, será falsa.
Atención
La proposición bicondicional será verdadera en los casos en que las proposiciones que la conforman tengan el mismo valor de verdad.
Observación Una proposición disyuntiva exclusiva es verdadera si las proposiciones que la conforman tienen valores de verdad diferentes.
A
Observación
ESQUEMAS MOLECULARES
Un esquema molecular es la combinación de variables proposicionales, conectivos lógicos y signos de agrupación. Ejemplos:
Atención
Para evaluar una tabla de verdad de 2 variables proposicionales se necesitan 4 valores de verdad. Para evaluar una tabla de verdad de 3 variables proposicionales se necesitan 8 valores de verdad. En general, el número de valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la formula 2n, donde
n es el número de variables proposicionales que hay en el esquema molecular.
• p/ (q&+p) • [(+q0+p)/ p]& q • (p9 q)/ (+p+ q)
Evaluación de esquemas moleculares
Consiste en obtener los valores delconectivo principal a partir de los valores de cada una de las variables
proposicionales. Ejemplo:
Evalúa el siguiente esquema molecular: (q/ p)& (p0+q)
Resolución: p q (q / p) & (p 0 +q) V V V V V V V V F V F F F V V V V V F V V F F V F F F F F F F F V F V V Conectivo principal Matriz principal Procedimiento: 1.° Negamos q:+q 2.° Evaluamos (q/ p) y (p0+q). 3.° Evaluamos (q/ p)& (p0+q).
Clasificación de los esquemas moleculares
Según los valores obtenidos en la matriz principal, los esquemas moleculares se clasican en:
Tautológicos. Cuando los valores de la matriz principal, son todos verdaderos.
Ejemplo:
` El esquema es tautológico.
p q [(p 0 q) / +p] & q V V V V V F F V V V F V V F F F V F F V F V V V V V V F F F F F F V V F Tautología
Contradictorios. Cuando los valores de la matriz principal, son todos falsos.
Ejemplo:
` El esquema es contradictorio.
p q + (+q) 9 [q / (+p 0 q)] V V V F F V V F V V V F F V F F F F F F F V V F F V V V V V F F F V F F F V F F Contradicción
Consistentes. Cuando en la matriz principal hay por lo menos una verdad y una falsedad.
Ejemplo:
` El esquema es consistente.
p q (+p 0 q) / (+q + +p) V V F V V V F V F V F F F F F V F F F V V V V F F F V F F V V F V V V V Consistencia En un esquema molecular, el conectivo principal es el ope
-rador de mayor jerarquía que se encuentra libre de signos de colección.
También, denominamos ma
-triz principal de una tabla de verdad, a la columna que con
-tiene los valores de verdad correspondientes al conectivo principal. Ejemplo: p q q + (+p / q) V V V F F F V V F F V F F F F V V V V V V F F F V V F F Conectivo principal Matriz principal
Problemas resueltos
Problemas resueltos
1
1 De los siguientes enunciados, indica cuáles son proposicionesDe los siguientes enunciados, indica cuáles son proposiciones
lógicas.
lógicas.
a)
a) Los gatos Los gatos son mamíferoson mamíferos.s.
b)
b) ¿Cuál es ¿Cuál es tu edad?tu edad?
c)
c) El ácido sulfúrico cEl ácido sulfúrico corroe la madera.orroe la madera.
d)
d) Sé honesto Sé honesto y trabajador.y trabajador.
e)
e) 8 es un número 8 es un número par y mayor que 7par y mayor que 7.. Resolución:
Resolución:
Los enunciados a, c y e son proposiciones lógicas, ya que se les
Los enunciados a, c y e son proposiciones lógicas, ya que se les
puede asignar un valor de verdad o
puede asignar un valor de verdad o falsedad.falsedad.
Los enunciados b y d no son proposiciones lógicas.
Los enunciados b y d no son proposiciones lógicas.
`
` a, c y a, c y e son proposiciones lógicas.e son proposiciones lógicas.
2
2 Al construir la tabla de verdad de:Al construir la tabla de verdad de:
(p
(p&&++q)q)//++qq
El número de valores verdaderos en el
El número de valores verdaderos en el operador principal es:operador principal es: Resolución:
Resolución:
Elaboramos la tabla de verdad:
Elaboramos la tabla de verdad:
p p qq (p(p && ++q)q) // ++qq V V V F F F F V V V F F F F V F V V V V V V F V V V V V F V F V F F F F V F V F F F F F F V V V V F F F V V V V `
` En el En el operador principal hay dos valores verdaderos.operador principal hay dos valores verdaderos.
3
3 ¿Cuántas posibles combinaciones en los valores de verdad de p,¿Cuántas posibles combinaciones en los valores de verdad de p,
q, r, s y t
q, r, s y t existen?existen? Resolución: Resolución:
El número de posibles combinaciones de los
El número de posibles combinaciones de los valores de verdad devalores de verdad de
n proposiciones componentes es 2
n proposiciones componentes es 2nn..
En el problema se tiene 5 proposiciones: p, q, r, s, y
En el problema se tiene 5 proposiciones: p, q, r, s, y t.t.
Entonces:
Entonces:
n.º de
n.º de posibles combinacionesposibles combinaciones== 2 255== 32 32
4
4 Halla el valor de Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones:verdad de las siguientes proposiciones:
I.
I. Si Si 44++ 2 2== 6 entonces 7 6 entonces 722 8. 8.
II.
II. 5 es mayor que 5 es mayor que 2 ó 4 es menor qu2 ó 4 es menor que 1.e 1. Resolución:
Resolución:
En el problema:
En el problema:
I.
I. Si Si 44++ 2 2== 6, 6, entonces entonces 77 22 8.8.
V
V && FF
F
F
II.
II. 5 es mayor que 5 es mayor que 2 ó 4 es menor qu2 ó 4 es menor que 1.e 1.
V
V 00 FF
5
5 Sea la Sea la proposición compuesta:proposición compuesta:
(p
(p00 q) q)++ ( (++pp&& q) q)
Indica qué tipo de
Indica qué tipo de esquema es.esquema es. Resolución:
Resolución:
Construimos la tabla de verdad y evaluamos el esquema
Construimos la tabla de verdad y evaluamos el esquema
molecular: molecular: p p qq (p(p00 q) q) ++ ((++pp && q)q) V V VV VV VV FF VV VV V V FF VV VV FF VV FF F F VV VV VV VV VV VV F F FF FF VV VV FF FF Tautología Tautología `
` El El esquema es tautológico.esquema es tautológico.
6
6 Sabiendo que (rSabiendo que (r&& q) q)00++p es falso; halla los valores de verdadp es falso; halla los valores de verdad
de p, q y r. de p, q y r. Resolución: Resolución: Se tiene: Se tiene: (r (r && q)q) 00 ++pp 1 1 F F
Para que (1) sea falso se debe cumplir:
Para que (1) sea falso se debe cumplir:
F F 00 FF F F Entonces: Entonces: (r (r && q)q) 00 ++pp 2 2 F F F F FF
Para que (2) sea falso se debe cumplir:
Para que (2) sea falso se debe cumplir:
V V && FF F F Luego: Luego: (r (r && q)q) 00 ++pp (p (p== V) V) F F F F F F V V F F ` ` pp== V; q V; q== F; r F; r== V V V V
A
A
7
7 Halla la tabla de Halla la tabla de verdad del siguiente esquema molecular.verdad del siguiente esquema molecular.
(p
(p&& q) q)++ ( (++pp00 q) q)
Resolución: Resolución:
Construimos la tabla de verdad y
Construimos la tabla de verdad y evaluamos el esquema molecular:evaluamos el esquema molecular:
p p qq (p(p && q)q) ++ ((++pp 00 q)q) V V VV VV VV VV VV FF VV VV V V FF VV FF FF VV FF FF FF F F VV FF VV VV VV VV VV VV F F FF FF VV FF VV VV VV FF Matriz principal Matriz principal 8
8 Determina el valor de verdad de los siguientes esquemasDetermina el valor de verdad de los siguientes esquemas
moleculares, si p
moleculares, si p== V; q V; q== F y r F y r== V. V.
I. (p
I. (p00 q) q)// r r&& ( (++pp//++r)r)
II. [p
II. [p&& (q (q// r)] r)]&& ( (++pp00 r) r)
Resolución: Resolución: I. (p I. (p 00 q)q) // rr && ((++pp // ++r)r) F F FF FF F F F F V V V V V V V V II. [p
II. [p && (q(q // r)] r)] ++ ((++pp 00 r)r)
V V FF VV V V F F F F V V F F F F 9
9 Se define el conectivo lógicoSe define el conectivo lógico aa mediante la siguiente tabla de mediante la siguiente tabla de
verdad: verdad: p p qq pp aa qq V V VV FF V V FF VV F F VV FF F F FF VV
Evalúa el siguiente esquema molecular y da como respuesta los
Evalúa el siguiente esquema molecular y da como respuesta los
valores de verdad de la
valores de verdad de la matriz principal.matriz principal.
(
(++qqaa p) p)aa++( p( paa q) q)
Resolución: Resolución:
Elaboramos la tabla de verdad:
Elaboramos la tabla de verdad:
Matriz principal Matriz principal p p qq ( (++qq aa p)p) aa ++ (p(p aa q)q) V V F F V F V V F V V V F F V F V V F V V F V F V V F V V F V F V F V V F V V F F V F V F F V F F V F V F V F F V F F V F F V V F V F F V F F F V V F V F F V F 10
10 Si (pSi (p // q) es verdadero y (q q) es verdadero y (q && t) es falso, ¿cuántas de las t) es falso, ¿cuántas de las
siguientes proposiciones son verdaderas?
siguientes proposiciones son verdaderas?
I.
I.++[[++(q(q// p) p)// p] p]
II.
II.++((++pp00 t) t)00 q q
III. [
III. [++pp00 (q (q//++t)]t)]++++(q(q&& t) t)
Resolución: Resolución:
Primero determinamos los valores de verdad de p, q y
Primero determinamos los valores de verdad de p, q y t.t.
Del enunciado: Del enunciado: p p // q q qq && tt V V FF Para que (p
Para que (p// q) sea verdadero, se debe cumplir: q) sea verdadero, se debe cumplir: p
p==V V y y qq== V V
Para que (q
Para que (q&& t) sea falso, se debe cumplir: t) sea falso, se debe cumplir:
q q==V V y y tt== F F Luego: Luego: I. I. ++[[++(q(q// p) p)// p] p] + +[[++(V(V// V) V)// V] V] + +[[++(V)(V)// V] V] + +[F[F// V] V] + +(F)(F) V V II. II. ++((++pp00 t) t)00 q q + +((++(V)(V)00 F) F)00 V V + +(F(F00 F) F)00 V V + +(F)(F)00 V V V V00 V V V V III. [
III. [++pp00 (q (q//++t)]t)]++++(q(q&& t) t)
[ [++(V)(V)00 (V (V//++(F))](F))]++++(V(V&& F) F) [F [F00 (V (V// V)] V)]++++(F)(F) [F [F00 V] V]++ V V V V++ V V V V `
` Todas son verdaderas. Todas son verdaderas.
11
11 Representa simbólicamente la siguiente Representa simbólicamente la siguiente proposición compuesta:proposición compuesta:
"Iré de vacaciones o estaré sin hacer nada si tengo tiempo
"Iré de vacaciones o estaré sin hacer nada si tengo tiempo
para ello y no tengo que ir
para ello y no tengo que ir a trabajar".a trabajar". Resolución:
Resolución:
Reconocemos las proposiciones:
Reconocemos las proposiciones:
p: iré de vacaciones
p: iré de vacaciones
q: estaré sin hacer mada
q: estaré sin hacer mada
r: tengo tiempo
r: tengo tiempo
s: tengo que ir a trabajar
s: tengo que ir a trabajar
De la proposición compuesta, se observa que p y q son
De la proposición compuesta, se observa que p y q son
consecuencia de r y
consecuencia de r yaas.s.
Por lo tanto, la proposición compuesta se puede representar
Por lo tanto, la proposición compuesta se puede representar
simbólicamente de la siguiente manera:
simbólicamente de la siguiente manera:
(r
NOCIÓN DE CONJUNTO
NOCIÓN DE CONJUNTO
Se entiende por conjunto a
Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de objetos distinguidos entre sí; la colección, agrupación o reunión de objetos distinguidos entre sí; los cuales recibenlos cuales reciben
el nombre de
el nombre deelementoselementos..
Ejemplos:
Ejemplos:
•
• Los Los tigres. tigres. • • Libros Libros de de aritmética aritmética en en una una biblioteca.biblioteca.
•
• Letras Letras de de la la palabra palabra GENIO. GENIO. • • Meses Meses del del año.año.
N
Noottaacciióónn RReepprreesseennttaacciióón n ggrrááffiiccaa
Nombre del conjunto
Nombre del conjunto
(letra mayúscula)
(letra mayúscula)
A
A== { j; o; s; u; e} { j; o; s; u; e}
Elementos del conjunto A
Elementos del conjunto A
(letras
(letras minúsculas minúsculas separadasseparadas
por punto y coma).
por punto y coma).
Diagrama de Venn
Diagrama de Venn--Euler:Euler:
A A • • j j •• o o • • s s •
• u u •• e e
RELACIÓN
RELACIÓN
DE
DE
PERTENENCIA
PERTENENCIA
Si x es un elemento del conjunto A, entonces se dice que “x pertenece al conjunto A” y se denota:
Si x es un elemento del conjunto A, entonces se dice que “x pertenece al conjunto A” y se denota: xx!!AA
En el caso de no pertenecer x al
En el caso de no pertenecer x al conjunto A, se denota:conjunto A, se denota: xx""AA
Ejemplo:
Ejemplo:
Sea el conjunto I
Sea el conjunto I== {4; 9; {4; 9; 16; 25}; entonces:16; 25}; entonces:
•
• 44!!I: I: 4 4 pertenece pertenece al al conjunto conjunto I. I. • • 1616!! I: 16 pertenecI: 16 pertenece al conjune al conjunto I.to I.
•
• 1010""I: I: 10 10 no no pertenece pertenece al al conjunto conjunto I. I. • 21• 21"" I: 21 no pertenece I: 21 no pertenece al conjunto I.al conjunto I.
DETERMINACIÓN DE
DETERMINACIÓN DE
UN CONJU
UN CONJU
NTO
NTO
P
Poor r eexxtteennssiióónn PPoor r ccoommpprreennssiióónn
Es cuando se nombran todos y cada
Es cuando se nombran todos y cada
uno de los elementos del
uno de los elementos del conjunto.conjunto.
Ejemplo:
Ejemplo:
P
P== {4; 5; 6; 7; 8} {4; 5; 6; 7; 8}
Es cuando se indica una característica particular y común a
Es cuando se indica una característica particular y común a sussus
elementos.
elementos.
Ejemplo:
Ejemplo:
P
P== {Los número naturales mayores que 3 y menores que 9} {Los número naturales mayores que 3 y menores que 9}
Se puede escribir: Se puede escribir: P P== {x / x {x / x!!NN// 3 3<< x x<< 9} 9}
CARDINAL DE UN CONJUNTO
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Indica el número de elementos diferentes que posee un conjunto. Se denota por n(A) y se lee “cardinal de A”.
Indica el número de elementos diferentes que posee un conjunto. Se denota por n(A) y se lee “cardinal de A”.
RELACIONES
RELACIONES
ENTRE CONJ
ENTRE CONJ
UNTOS
UNTOS
Inclusión
Inclusión
Sean los conjuntos A y B. Si todos los elementos de A son también elementos del conjunto B, decimos que “el
Sean los conjuntos A y B. Si todos los elementos de A son también elementos del conjunto B, decimos que “el
conjunto A está incluido en B”. Se denota por A
conjunto A está incluido en B”. Se denota por A11 B. B.
Ejemplo:
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
Sean los conjuntos:
M
M=={4; {4; 5; 5; 6} 6} y y NN== {4; 5; 6; 7} {4; 5; 6; 7}
se tiene: M
se tiene: M11NN
se lee: “M está incluido en N”.
se lee: “M está incluido en N”.
Igualdad
Igualdad
Dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. Se denota A
Dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos. Se denota A == B. B.
Ejemplo:
Ejemplo:
Dados los conjuntos A
Dados los conjuntos A== {a; c; l} y B {a; c; l} y B== {c; l; a}; se observa que A {c; l; a}; se observa que A== B. B.
TEORÍA
TEORÍA
DE CONJU
DE CONJU
NT
NT
OS
OS
Atención Atención
N
N representa al conjunto de representa al conjunto de
los números naturales:
los números naturales:
N N== {0; 1; 2; 3; ...} {0; 1; 2; 3; ...} Observación Observación Recuerda Recuerda Grácamente, la inclusión Grácamente, la inclusión de dos conjuntos A y B se de dos conjuntos A y B se representa así: representa así: B B A A A AffBB Del ejemplo: Del ejemplo: • •77 • •44 ••55 N N M M • •66
En general, los conjuntos
En general, los conjuntos
determinados por determinados por comprensión tienen la comprensión tienen la siguiente estructura: siguiente estructura: Tal que Tal que Forma general Forma general del elemento
del elemento CaracterísticasCaracterísticascomunes de loscomunes de los
elementos
elementos
F
F= = //
•
• Los Los elementos de elementos de unun
conjunto pueden ser
conjunto pueden ser
abstractos (número, letras,
abstractos (número, letras,
etc.) o concretos (personas,
etc.) o concretos (personas,
animales, etc.).
animales, etc.).
•
• Los Los conjuntos se conjuntos se reprerepre-
-sentan mediante guras
sentan mediante guras
geométricas cerradas
geométricas cerradas
llamadas: “Diagramas de
llamadas: “Diagramas de
Venn
Venn--Euler”.Euler”.
•
• La La relación de relación de pertenenciapertenencia
es una relación exclusiva
es una relación exclusiva
de elemento a conjunto.
de elemento a conjunto.
Nota Nota
A
Conjuntos comparables
Dos conjuntos A y B son comparables cuando uno de ellos está incluido en el otro, es decir: A es comparable con B+ A1 B0 B1 A
Ejemplo:
Sean los conjuntos: A= {x / x es un mamífero}; B= {x / x es un cuy}
Sabemos que B1 A (todo cuy es mamífero) pero Aj B (no todo mamífero es un cuy). Por lo tanto, A y B son
conjuntos comparables.
Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. Ejemplo:
Sean los conjuntos: A={x / x es par} y B= {x / x es impar}
Se observa que A y B no tienen elementos comunes. Por lo tanto, A y B son disjuntos.
CONJUNTOS ESPECIALES
Conjunto vacío. Es aquel conjunto que no posee elementos. Se denota por Qo { }.
Ejemplo: A= { x / x!N/21 x1 3}=Q
Conjunto unitario. Es aquel conjunto que consta de un solo elemento.
Ejemplo: P= {x / x!N / x2= 9}= {3}
Conjunto universal. Es aquel conjunto de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en él. Se denota
generalmente por U. Ejemplo:
U= {x / x es un perro}
P= {x / x es un pastor alemán} & U es el conjunto universal para el conjunto P.
Conjunto de conjuntos. También llamado familia de conjuntos. Es aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos.
Ejemplo: C= {{2; 3}; {3}; {1; 2}; {6};Q}
Conjunto potencia. Sea un conjunto A. El conjunto potencia de A es aquel que está formado por todos los
subconjuntos posibles que posee el conjunto A. Se denota: P(A)= {x / x1 A}
Ejemplo:
Sea el conjunto A= {1; 2}, entonces: P(A)= {φ; {1}; {2}; {1; 2}}, se observa que n[P(A)]= 4= 22.
En general, para cualquier conjunto A, se cumple: n[P(A)]= 2n(A)
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Unión (U)
Dados los conjuntos A y B, la unión de ellos es el conjunto formado por los elementos del conjunto A o los elementos del conjunto B.
A, B= {x / x!A0 x!B}
Representación gráfica
No disjuntos Disjuntos Comparables
A B A B
A
B
A, B=B
A= B , A1 B/ B1 A
Nota
• El vacíoó es subconjunto
de todo conjunto. • Al conjunto U, general
-mente se le representa de manera gráca por un rectángulo.
Nota Atención
Sean A y B dos conjuntos disjuntos. Grácamente se representan:
A B
Nota • Todo conjunto es un subcon
- junto de sí mismo.
• La no inclusión se denota: j
Observación A cualquier subconjunto de A que no sea igual a este, se denomina subconjunto propio de A.
Del ejemplo:
ó; {1}; {2} son subconjuntos
propios de A.
También observamos que A tiene 22- 1 subconjuntos
propios.
En general, para cualquier conjunto A se cumple:
n.º de subconjuntos
Intersección (+)
Dados los conjuntos A y B, la intersección de ellos es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.
A+ B= {x / x! A / x! B}
Representación gráfica
No disjuntos Disjuntos Comparables
A B A B A+ B=Q A B A+ B= A Diferencia (-)
Dados los conjuntos A y B, la diferencia de ellos es aquel conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B.
A- B= {x / x! A/ x" B}
Representación gráfica
No disjuntos Disjuntos Comparables
A B A B A-B= A A B A-B=Q Diferencia simétrica (9)
Dados los conjuntos A y B, la diferencia simétrica es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o B pero no a ambos.
A9 B= {x / x! (A- B)0 x! (B- A)}
Representación gráfica
No disjuntos Disjuntos Comparables
A B A B
A9B= A,B
A
B
A9 B= B-A
Complemento de un conjunto (Ac o A')
Dado un conjunto A, el complemento de A es el conjunto formado por los elementos del universo que no están en A.
A
U
A'= Ac={x / x" A}
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Idempotencia A, A= A A+ A= A A9 A= A Conmutativa A, B= B, A A+ B= B+ A A9 B= B9 A Asociativa A, (B, C)= (A, B), C A+ (B+ C)= (A+ B)+ C A9 (B9 C)= (A9 B)9 C Distributiva A, (B+ C)= (A, B)+ (A, C) A+ (B, C)= (A+ B), (A+ C) Recuerda • Si A+ B≠Q, entonces:
A9 B= (A, B)- (A+ B)
• B1 AC, A y B son disjuntos.
BC 1 AC, A1 B • UC=Q QC=U Atención Los conjuntos (A- B); (A+ B)
y (B- A) son mutuamente disjuntos.
• Sean A, B y C tres conjuntos disjuntos. Se cumple: n(A, B)= n(A)+ n(B)
n(A, B, C)= n(A)+ n(B)+ n(C)
• Para dos conjuntos
cualesquiera A y B, se cumple: n(A, B)= n(A)+ n(B)- n(A+B)
• Para dos conjuntos cualesquiera A y B, se cumple: n[P(A)+P(B)]= n[P(A+B)]
Nota
Observación Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. • Si A1 B, entonces: Ai B= B- A • Si A y B son disjuntos; entonces: Ai B= A, B
Problemas resueltos
A
1 Sea el conjunto:
S= {Q; a; {a}}
Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones: • a!S • {a}1 S • {Q}! S • {a}!S • a1 S • Q! S
Resolución:
• a! S (verdadero)
a es un elemento del conjunto S. • {a}! S (verdadero)
{a} es un elemento del conjunto S. • {a}1 S (verdadero)
a es un elemento del conjunto S, entonces {a} es un subconjunto de S.
• a1 S (falso)
a es un elemento del conjunto S, entonces la relación que corresponde debe ser de pertenencia.
• {Q}! S (falso)
{Q} es un subconjunto del conjunto S, entonces la relación
correcta es: {Q}1 S • Q! S (verdadero)
Q es un elemento del conjunto S.
2 Sean los conjuntos A y B tales que:
A= {Q; {Q}; {{ }}; { }} y [2n(A)]n(B)+ [2n(B)]n(A)= 8192
Halla n(B).
Resolución:
Sabemos que:Q= { }&{Q}= {{ }}
Luego:
A= {Q; {Q}}& n(A)= 2 ... (I)
Además: [2n(A)]n(B)+ [2n(B)]n(A)= 8192 2n(A) . n(B)+ 2n(B) . n(A)= 213 2# 2n(A)# n(B)= 213 2n(A)# n(B) = 2 213 2n(A)# n(B)
= 212 & n(A)# n(B)=12 ...(II)
De (I) y (II):
2# n(B)= 12 ` n(B)= 6
3 Si los conjuntos {(2n+ 1)n; m2+ m} y {12; 25} son iguales, halla
mn. Además {m; n}
1N.
Resolución:
Por dato:
{(2n+ 1)n; m2+ m}= {12; 25}; {m; n}1N
La expresión 2n+1 es un número impar, y si elevamos esta
cantidad a cualquier exponente seguirá siendo un número impar. Luego: • (2n+ 1)n= 25 • m2+ m= 12 m2+ m= 32+ 3 & m= 3 (2n+ 1)n= 52 (2n+ 1)n= [2(2)+ 1]2 & n= 2 Nos piden: mn= 32= 9
4 Si el conjunto A es unitario, halla a# b# c.
A= {a+ b; b+ c; a+ c; 8}
Resolución:
Por dato, A es unitario, entonces: • a+ b= b+ c a= c • a+ b= a+ c b= c Entonces: a= b=c ...(I) Además, se cumple: a+ b= b+ c= a+ c=8 ...(II) De (I) y (II): 2a= 8 a= 4& b= c= 4 Nos piden: a# b# c= 4# 4# 4= 64
5 Sean A, B y C tres conjuntos, donde: n(A)= 15; n(B)= 20; n(C)= 25
Además:
n(A+ B+ C)= n(A+ B)- 1= n(A+ C)- 1= n(B+ C)- 1= 7
Halla: n[(A+ B)- C] Resolución: Expresamos grácamente: A(15) C(25) B(20) 6 1 11 1 7 1 16
La región sombreada representa (A+ B)- C.
` n [(A+ B)- C]= 1
6 De un grupo de 100 personas encuestadas, 40 van al cine, 35 van al teatro y 28 de los que van al cine van al teatro. ¿Cuántas personas no van al cine ni al teatro?
Resolución:
Representando grácamente tenemos:
C(40) T(35) U(100) x 12 28 7 Luego: x= 100- 12- 28- 7 x= 53
NUMERACIÓN
DEFINICIÓN
Es la parte de la aritmética que estudia las leyes y convenciones sobre la representación de los números.
CONCEPTOS PREVIOS
Número. Es un ente o abstracción matemática que nos da una idea de cantidad.
Numeral. Es la representación de un número mediante símbolos.
Cifra. Son símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales.
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de principios, reglas y convenios que rigen la formación y representación de números con una cantidad limitada de símbolos (cifras o dígitos).
PRINCIPIOS DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN
• Orden y lugar. Toda cifra que forma parte de un numeral tiene asociado un orden y un lugar.
• Orden. Se cuenta de derecha a izquierda a partir de cero.
• Lugar.Se cuenta de izquierda a derecha a partir de uno.
4 3 2 1 0 Orden
5 9 6 4 3
Lugar 1 2 3 4 5
Base. Todo sistema de numeración tiene una base que es un número natural mayor que la unidad, el cual nos
indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden inmediato superior.
Ejemplo:
Expresar 24 unidades en las bases 4 y 7. Resolución: • En base 4: 121(4) • En base 7: 34(7) Observamos que: 25= 121(4)= 34(7)
Cifra. Toda cifra que conforma un numeral, es menor que la base.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN MÁS UTILIZADOS
Base Nombre Cifras que utiliza
2 Binario 0; 1 3 Ternario 0; 1; 2 4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 11 Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10) 12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11) Observación En el ejemplo, diremos que en el numeral 59 643; la cifra 5 es de orden 4 y 1.er lugar; la cifra 9 es de orden 3 y 2.º lugar; la cifra 6 es de orden 2 y 3.er lugar; la cifra 4 es de orden 1 y 4.º lugar; la cifra 3 es de orden 0 y 5.º lugar.
Atención
Las cifras que emplearemos para la formación de numera
-les son: 0; 1; 2; ...
Recuerda
En un sistema de numeración de base n, la cifra máxima será (n – 1).
A
+ – 512(7)= 312(9) – + Nota Numeral capicúa. Es aquel número cuyas cifras equidistantes son iguales. Ejemplos:1221(4); aba(6); 23432; axxa Nota Recuerda
Debes tener en cuenta que: • Toda expresión entre parén
-tesis representará una cifra. • La primera cifra de un nu
-meral debe ser distinta de cero.
• Las letras diferentes no ne
-cesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo indi
-quen.
Observación Para expresar un numeral de base n! 10 en base m ! 10; primero se convierte a base 10; y el resultado se convierte a base m.
Debemos considerar que:
• En una igualdad de numerales, a mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor numeral aparente le corresponde mayor base.
• Las cifras permitidas en la base n son: 0; 1; 2; …; (n- 1)
• En número de cifras que se puede utilizar para la formación de numerales en cierta base, es igual a la base.
Valores de las cifras. Toda cifra que forma parte de un numeral tiene dos valores:
• Valor relativo (VR). Es el valor que representa la cifra por la posición u orden que ocupa dentro del número.
• Valor absoluto (VA). Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.
Ejemplo:
Sea el numeral 4236(7); entonces:
VA(6)=6 VR(6)= 6# 70
VA(3)=3 VR(3)= 3# 71
VA(2)=2 VR(2)= 2# 72
VA(4)=4 VR(4)= 4# 73
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NÚMERO
Cada cifra de un numeral puede ser representada por una letra minúscula; todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlas de las expresiones algebraicas.
Ejemplos:
• ab(n): representa cualquier número de dos cifras en base n. • abc: representa cualquier número de tres cifras en base 10.
• ab4(6): representa cualquier número de tres cifras en base 6 que termina en 4.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Todo numeral se puede descomponer como un polinomio, es decir, como la suma de los valores relativos de las cifras que conforman dicho numeral.
Ejemplos: • Base 10 5479= 5# 103+ 4# 102+ 7# 10+ 9 • Base 4 2031(4)= 2# 43+ 0# 42+ 3# 4+ 1 • Base 7 235(7)= 2# 72+ 3# 7+ 5 • Base 8 4523(8)= 4# 83+ 5# 82+ 2# 8+ 3
CONVERSIÓN DE UN NÚMERO DE UNA BASE A OTRA
De base n a base 10 De base 10 a base n
Ejemplo:
Convertir 435(6) a base 10.
Ejemplo: Convertir 1723 a base 8. Resolución: 1723 8 1720 215 8 3 208 26 8 7 24 3 2 1723= 3273(8)
Por descomposición polinómica Por el método de Ruffini
435(6)= 4# 62+ 3# 6+ 5 435(6)= 144+ 18+ 5 435(6)= 167 4 3 5 6 24 162 # 4 27 167 435(6)= 167
PROPIEDADES
Numeral de cifras máximas
(n – 1) (n – 1) ... (n – 1)(n)= nk- 1 k cifras Bases sucesivas 1a1b1c 1z(n) = n+ a+ b+ c+ ...+ z Atenció n La descomposición polinómica también se puede realizar por bloques. Ejemplos: mnmn(k)= mn(k)# k2 + mn(k) aaabb(3)= aaa(3)# 32 + bb(3) 232323(5)= 23(5)# 54 + 23(5)# 52 + 23(5) Nota Caso particular: 1a 1a 1a(n) "m" veces = n+ ma
Problemas resueltos
1 Calcula a2+ b2 si: 17ab= 101#ab
Resolución: Descomponiendo por bloques, tenemos: 17ab= 101#ab 1700+ab= 101#ab 1700= 101ab-ab 1700= 100ab 17=ab Nos piden: a2+ b2= 12+ 72= 50 2 Halla x si: 54(x)- 31(x)= 19 Resolución:
Por descomposición polinómica: 54(x)- 31(x)= 19 5x+ 4- (3x+ 1)= 19 2x+ 3= 19 2x= 16 ` x= 8 3 Si se cumple 105(n)= 321(5); calcula n + 1. Resolución: Expresamos en base 10: 1# n2+ 5= 3# 52+ 2# 5+ 1 n2+ 5= 75+ 10+ 1 n2= 81 & n= 9 Nos piden: n + 1= 9 + 1 = 3+ 1 = 4 4 Halla a b +c; si: abc (7)= 53 Resolución: Expresamos 53 en base 7: 53 7 49 7 7 4 7 1 0 Luego: abc(7)= 53= 104(7) & a= 1; b= 0; c= 4 Nos piden: a b +c = 1 0 +4 = 4
5 Representa correctamente el numeral N en base 7; si 0< a< c< 6.
N= a# 76+ 49+ 3# 74+ c# 75
Resolución:
Por dato, a y c son cifras positivas menores que 6. Entonces:
N= a# 76+ c# 75+ 3# 74+ 0# 73+ 1# 72+ 0# 7+ 0
N=ac30100(7)
6 Un número escrito en la base 3 y 8 tiene la formapqpqqpr y 1457
respectivamente. Calcula p+ q+ r.
Resolución:
Del enunciado se tiene:
pqpqqpr (3)= 1457(8)
Expresando en base 10 tenemos:
1457(8)= 1# 83+ 4# 82+ 5# 8+ 7= 185 Pasamos a base 3: 815 3 813 271 3 2 270 90 3 1 90 30 3 0 30 10 3 0 9 3 3 1 3 1 0 Luego: 1010012(3)= pqpqqpr (3)& p+ q+ r= 1+ 0+ 2= 3 7 Halla m, si: n61(m)=n15(8) Resolución: Observamos que: + -n61(m)=n15(8) - + Luego: 61 m1 8 & m= 7
8 Halla el valor de a+ b, si se cumple que:
abbb(6)=5ba(8)
Resolución:
Si descomponemos polinómicamente ambos miembros:
a# 63+ b# 62+ b# 6 + b= 5# 82+ b# 8+ a 216a+ 36b+ 6b+ b= 320+ 8b+ a 215a+ 35b= 320 43a+ 7b= 64 1 3 Luego: a+ b= 1+ 3= 4
9 Un ganadero utiliza cierto sistema de numeración para administrar su ganado.
En sus apuntes lleva escrito: • n.° de toros= 24
• n.° de vacas= 32
• Total de cabezas = 100
¿Qué sistema de numeración está utilizando?
Resolución:
Sea n el sistema de numeración que utiliza el ganadero:
& 24(n)+ 32(n)= 100(n) Descomponiendo polinómicamente: 2n+ 4+ 3n+ 2= n2 n2-5n -6= 0 n -6 n +1 & n= 6 0 n= -1
Pero como n es base, debe ser positiva.
A
OPERACIONES BÁSIC AS EN
EL C ONJUNTO
+
ADICIÓN
Es la operación que consiste en agrupar un conjunto de cantidades homogéneas llamadas sumandos, obteniendo así otra cantidad denominada suma. Presenta la siguiente forma:
A1+ A2+ ...+ An= S
Sumandos Suma Ejemplo:
Si a+ b= 6, calcula S= a1+ba+2b.
Resolución:
Al ordenar verticalmente los términos de la adición tenemos:
a1+ ba 2b 87 En el orden 0: 1+ a+ b= 1+ 6= 7 6 En el orden 1: a+ b+ 2= 6+ 2= 8 6 Es decir: S= 87
SUSTRACCIÓN
Es la operación inversa a la adición, que consiste en calcular la diferencia entre dos números llamados minuendo y sustraendo. Presenta la siguiente forma:
M- S= D Diferencia
Sustraendo Minuendo Ejemplo:
En la sustracción: 849- 721= 128, se observa que: 849= 128+ 721
Recuerda Sumas notables 1+ 2+ 3+ ...+ n= n n 2 1 + ^ h 2+ 4+ 6+ ...+ 2n= n(n+ 1) 1+ 3+ 5+ ...+ (2n� 1)= n2 12+ 22+ 32+ ...+ n2= n n n 6 1 2 1 + + ^ h ^ h 13+ 23+ 33+ ...+ n3= n n 2 1 2 + ^ h
;
E
Observación La propiedad 1 nos permitirá vericar si la sustracción ha sido efectuada correctamente.Propiedades
1. El minuendo es igual a la suma del sustraendo y la diferencia.
M= S+ D
2. La suma de los términos de una sustracción es igual al doble del minuendo.
M+ S+ D= 2M
3. Siab-ba= pq, donde a> b, entonces:
p+ q= 9 pq= 9(a- b)
4. Siabc-cba=xyz, donde a> c, entonces:
x+ z= 9 y= 9
xyz= 99(a- c) a- c= x+ 1 Complemento aritmético (CA)
Se define como la cantidad de unidades que le falta a un número entero positivo para ser igual a una unidad del orden inmediato superior, con respecto de su cifra de mayor orden.
Ejemplo:
Halla el CA de 57. Resolución:
La cifra de mayor orden del número 57, corresponde a las decenas (orden 1), entonces tenemos que calcular la cantidad que le falta para completar una centena (orden inmediato superior: orden 2), es decir:
CA(57)= 100- 57= 43
En general :
Sea N un número de k cifras, entonces: CA(N)= 10k� N
Propiedades de la adición enZ Clausura 6 a, b!Z: a+ b!Z Conmutativa 6 a, b!Z: a+ b= b+ a Asociativa 6 a, b, c!Z: (a+ b)+ c= a+ (b+ c)
Del elemento neutro aditivo
6 a!Z: a+ 0= 0+ a= a
Del elemento inverso aditivo
6 a!Z: a+ (�a)= 0
Método práctico para hallar el CA de un número
1. Cuando el número termina en cifras signicativas, se resta la última cifra de 10 y los demás de 9. Las cifras obtenidas forman parte del CA que buscamos.
CA(abcde)= (9- a) (9- b) (9- c) (9- d) (10- e)
Ejemplo:
CA(84 316)= (9- 8)(9- 4)(9- 3)(9- 1)(10- 6)= 15 684
2. Cuando el número termina en cero(s), se repite el procedimiento anterior a partir de la última cifra signicativa, y colocamos los ceros que al nal tenía el número inicial.
CA(abcd000)= (9- a)(9- b)(9- c)(10- d)000
Ejemplo:
CA(45 200)= (9- 4)(9- 5)(10- 2)00= 54 800
MULTIPLICACIÓN
Es la operación que consiste en adicionar abreviadamente una cantidad llamada multiplicando, tantas veces
como lo indica otra cantidad llamadamultiplicador . Al resultado de la operación se le llamaproducto.
A# B= A+ A+ ...+ A= P
Multiplicando B veces Producto Multiplicador Ejemplo: 45# 7= 45+ 45+ 45+ 45+ 45+ 45+ 45= 315 Multiplicando Producto Multiplicador Algoritmo de la multiplicación Multiplicando 8 47 # 3 4 5 4 2 3 5 847# 5 3 3 8 8 847# 4 2 5 41 847# 3 2 9 2 215 Multiplicador Productos parciales Producto Se verifica: 847# 345= 847# (300+ 40+ 5)= 847# 300+ 847# 40+ 847# 5= 292 215
DIVISIÓN
Es la operación matemática inversa a la multiplicación, en la que dados dos números enteros positivos cualesquiera, llamadosdividendo ydivisor se obtiene un tercer número llamadocociente.
Ejemplos: • 24 8 24 3 -• 38 7 35 5 3 Residuo 24= 8#3 38= 7# 5+ 3 Clases de división División exacta
Es aquella división en la que no se obtiene un residuo.
D d q & D= d# q ...0 n(n+ 1)= ...2 ...6 Nota • Si abcÇ 7= ...8& c= 4 Si abcÇ 4= ...2& c 3 8 • (n.º impar)Ç (...5)= ...5 (n.º par)Ç (...5)= ...0 • Atención
Recuerda las propiedades de la multiplicación enZ Clausura 6 a, b!Z: aÇ b!Z Conmutativa 6 a, b!Z: aÇ b= bÇ a Asociativa 6 a, b!Z: (aÇ b)Ç c= aÇ (bÇ c)
Del elemento neutro multiplicativo
6 a!Z: aÇ 1= 1Ç a= a
Del elemento inverso multiplicativo 6 a!Z � {0} : aÇ a -1= 1 Distributiva 6 a, b, c!Z: aÇ (b+ c)= aÇ b+ aÇ c Observación De los ejemplos, observamos que al dividir dos números enteros la división podrá ser exacta o inexacta.
Ejemplo: 26 13 26 2
A
División inexacta
Es aquella división en la cual se va a obtener un nuevo término llamadoresiduo. A su vez se subclasifica en:
División inexacta por defecto División inexacta por exceso
D d
r q & D= d# q+ r
Donde: D es el dividendo, d el divisor, q el cociente y r el residuo. Ejemplo: 46 8 40 5 6 & 46= 8# 5+ 6 D d r e qe & D= d# qe- r e
Donde: D es el dividendo, d el divisor,
qe el cociente por exceso y r e el residuo
por exceso. Ejemplo: 46 8 48 6 2 & 46= 8# 6- 2
Propiedades de la división inexacta
1. 01 residuo1 d 2. r máximo= d- 1 r mínimo= 1 3. r+ r e= d 4. qe= q+ 1
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es un conjunto de números, ordenados de tal manera que la diferencia entre dos términos consecutivos es una cantidad constante llamadarazón aritmética.
Ejemplos: • 15; 19; 23; 27; ... • 37; 39; 41; 43; ... • 102; 108; 114; 120; ... +4 +4 +4 +2 +2 +2 +6 +6 +6 En general: t1; t2; t3; t4; ...; tn; ... r r r
Donde: t1 es el primer término; tn el término enésimo; r es la razón y n el número de términos.
Elementos 1. Término general: tn= t 1+ r#(n- 1) 2. Razón: r= tn- tn- 1 3. Número de términos: n= r t n -t1 +1 4. Suma de términos: S= t t 2 n 1+
d n
# nConteo de cifras usadas en una progresión aritmética
Dado un número entero positivo N de k cifras. La cantidad de cifras que se utiliza al escribir todos los números enteros desde 1 hasta N, está dado por:
Cantidad de cifras usadas= (N+ 1)k- 11 ... 11
k cifras
MÉTODO COMBINATORIO
Sirve para determinar cuántos números de k cifras existen en base n. Para esto, se halla para cada cifra el número de valores que puede asumir en basen. El producto de estos valores nos da el número de combinaciones.
Atención Alteraciones de la división
entera para cualquier n!Z
Si: D d r q Entonces: • DÇ n dÇ n rÇ n q • D+ d d q+ 1 Ejemplo:
¿Cuántos números de 3 cifras existen en el sistema cuaternario?
Resolución: a b c(4) 1 0 0 2 1 1 3 2 2 3 3 3#4#4= 48
Por lo tanto, en el sistema cuaternario existen 48 números de 3 cifras.
Recuerda
Para una progresión aritmética cuya cantidad de términos es impar se tiene:
tc= t t 2
n + 1
Observación • Cuando aparezcan cifras
repetidas o dependientes, solo se analiza una de ellas. • Se debe tener en cuenta que la cifra de mayor orden en un numeral, es diferente de cero. Para la sucesión: 15; 19; 23; 27; ...; 95 Se tiene: r= 19- 15= 4; t1= 15 tn= 15+ 4(n – 1)= 11+ 4n & 95= 11+ 4n n= 21 Luego: S= 2 15 +95
c
m
# 21= 1155 NotaProblemas resueltos
1 Si: x+ y+ z= 23
Halla: xxy+zzx+yyz
Resolución:
Ordenando los sumandos y utilizando el dato, se tiene: x x y + z z x y y z 2 2 2 5 5 3 ` xxy+zzx+yyz= 2553 2 Halla: a# b+ c Si: a7ab+3c73= 9027 Resolución: a 7 ab + 3 c 7 3 9 0 2 7 1 1 b+ 3 = 7 & b = 4 a+ 7 =...2 & a = 5 1+ 7+ c=...0 & c= 2 ` a# b+ c= 5# 4+ 2= 22
3 Halla la suma de las 3 últimas cifras de: 3+ 33+ 333+ 3333+ ...+ 33...33
35 cifras
Resolución:
Ordenando los sumandos:
... ... 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 h + b c a 35 sumandos 3+ 3+ 3+ ...+ 3= 3# 35= 105 Colocamos 5 y llevamos 10. & c= 5 35 cifras 10+ 3+ 3+ ...+ 3= 10+ 3# 34= 112 Colocamos 2 y llevamos 11. & b= 2 34 cifras Llevo 11+ 3+ 3+ ...+ 3= 11+ 3# 33= 110 Colocamos 0. & a= 0 33 cifras Llevo ` a+ b+ c= 7
4 Halla (x+ y), si:
abc-cba=6xy
Resolución: a b c -c b a 6 x y Por propiedad: x= 9/ 6+ y= 9 & y= 3 ` x+ y= 12
5 Si el minuendo es el triple de la diferencia, además el sustraendo es 32, halla el minuendo. Resolución: Sea la sustracción: M- S= D Reemplazando datos: 3D- 32= D 2D= 32 D= 16 ` M= 3D= 48 6 Calcula: a+ b+ c Si: CA(abc)= (a- 1)(b+ 5)(c+ 2) Resolución: CA(abc)= (a- 1)(b+ 5)(c+ 2) (9- a)(9- b)(10- c)= (a- 1)(b+ 5)(c+ 2)
& 9- a= a- 1& a= 5 & 9- b= b+ 5& b= 2 & 10- c= c+ 2 & c= 4
` a+ b+ c= 11
7 Halla el valor de: a+ b+ c+ d
Si: ...abcd# 7= ...2531 Resolución: ... ... a b c d 2 5 3 7 1 6 2 2 # ... ... ... ... d d c c b b a a 7 1 3 7 2 3 3 7 2 5 9 7 6 2 8 & & & & # # # # = = + = = + = = + = = ` a+ b+ c+ d= 23 8 Si: m# abc= 1760 n# abc= 2464 p# abc= 2112 Calcula: mnp#abc
A
Resolución: a b c# m n p 2 1 1 2 p # abc 2 4 6 4 n # abc 1 7 6 0 m #abc 2 0 2 7 5 2 ` mnp#abc= 202 7529 En una división inexacta el divisor es 17 y el cociente 25. Halla el dividendo si el residuo es máximo.
Resolución:
Se tiene: d= 17; q= 25 y r máximo= d- 1= 16
Reemplazando estos datos en la fórmula:
D= d# q+ r= 17# 25+ 16
` D= 441
10 La suma de los cuatro términos de una división es 175, el cociente es 5 y el residuo 4. Calcula el divisor.
Resolución:
D+ d+ q+ r= 175 / D d
4 5 Reemplazando los valores: (5d+ 4)+ d+ 5+ 4= 175
6d+ 13= 175
6d= 162
&d= 27
Por lo tanto, el divisor es: 27
11 La suma de dos números es 426 y al dividirlos se obtiene 15 como cociente y 10 como residuo. Halla el mayor de ellos.
Resolución:
Sean los números: a y b Entonces: a+ b=426 ...(1) a b 15 & a= 15b+ 10 ...(2) 10
Reemplazandoa de la ecuación (2) en la ecuación (1):
(15b+ 10)+ b= 426
16b+ 10= 426
16b= 416
& b= 26
Reemplazando este valor en la ecuación (1), se tiene: a= 400
Por lo tanto, el número mayor es: 400
12 En una división el residuo por defecto es 17, el residuo por exceso es 11 y el cociente por exceso es 13. Calcula el dividendo.
Resolución:
Se tienen los datos:
r= 17; r e= 11 y qe=q+ 1= 13 & d= r+ r e= 28 y q= 12 D 28 17 12 D= 28# 12+ 17 D= 336+ 17 & D= 353
Por lo tanto, el dividendo es: 353
13 ¿Cuántos números impares de 3 cifras existen en el sistema decimal?
Resolución:
Considerando los valores de las cifras de acuerdo a la base:
a b c 1 0 1 2 1 3 3 2 5 7 9 9 9 9#10#5 = 450 números
Nota:para que un número sea impar, la última cifra debe ser impar.
Por lo tanto, existen 450 números impares de 3 cifras.
14 ¿Cuántas cifras (o tipos de imprenta) se han empleado al enumerar las primeras 746 páginas de un libro?
Resolución:
Páginas numeradas: 1; 2; 3; ...; 746
Último término: N= 746 y la cantidad total de sus cifras: k= 3
La cantidad total de cifras empleadas será: Cc= k(N+ 1)- 111...1
k cifras Cc= 3(746+ 1)- 111
Cc= 2130 cifras
Por lo tanto, el total de cifras empleadas es 2130.
15 Calcula la suma de las cifras de un número de 2 dígitos, sabiendo que su CA es igual al producto de sus cifras.
Resolución: Sea el numeral: ab CA(ab)= a# b 100-ab = a# b 100- (10a+ b)= ab 100= 10a+ b+ ab 100= 10a+ b (1+ a) 9 9 & b= 1, luego: a+ b= 9+ 1= 10
