Método de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Ingenier´ıa Electr´

onica

M´

etodo de Newton-Raphson para

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Asignatura: An´

alisis Num´erico

Docente: M.C. Julio C´

esar Gallo Sanchez

Alumno: Jos´

e Armando Lara Ramos

Equipo: 9

4o _Semestre

M´

etodo de Newton-Raphson para

Sistemas de Ecuaciones No Lineales

Resumen

En el presente documento se presenta la construcci´on del m´etodo de Newton-Raphson para Sistemas de Ecuaciones No Lineales desde un punto de vista meramente matricial, haciendo uso primeramente del polinomio de Taylor has-ta llegar a hacer uso de la matriz Jacobiana en cada una de las iteraciones. Posteriormente se desarrollan tres ejemplos de aplicaci´on del presente m´etodo.

1.

Desarrollo del M´

etodo

Considerense dos ecuaciones con dos incognitas f0(x0, x1) = 0

f1(x0, x1) = 0 (1)

cada una define una curva en el plano (¯x = [x0x1]T ∈ R2). Las soluciones a (1) son

puntos de intersecci´on de las dos curvas en R2. Denotaremos un punto de intersecci´on por ¯p = [p0P1]T ∈ R2, el cual es ra´ız del sistema (1).

Suponiendo que ¯x0 = [x0,0x0,1]T es un punto inicial de aproximaci´on a la ra´ız ¯p.

Asumiendo que f0 y f1 son lo suficientemente suaves para procesar una expansi´on de

series de Taylor de dos dimensiones, f0(x0, x1) = f0(x0,0, x0,1) + ∂f0 ∂x0 (x0,0, x0,1)(x0− x0,0) + ∂f0 ∂x1 (x0,0, x0,1)(x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2_f 0(x0,0, x0,1) ∂x2 0 (x0− x0,0)2 + 2∂ 2_f 0(x0,0, x0,1) ∂x0∂x1 (x0− x0,0)(x1− x0,1) +∂ 2_f 0(x0,0, x0,1) ∂x2 1 (x1− x0,1)2 ) + · · ·

f1(x0, x1) = f1(x0,0, x0,1) + ∂f1 ∂x0 (x0,0, x0,1)(x0− x0,0) + ∂f1 ∂x1 (x0,0, x0,1)(x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2_f 1(x0,0, x0,1) ∂x2 0 (x0− x0,0)2 + 2∂ 2_f 1(x0,0, x0,1) ∂x0∂x1 (x0− x0,0)(x1− x0,1) +∂ 2_f 1(x0,0, x0,1) ∂x2 1 (x1− x0,1)2 ) + · · · (2)

las cuales tienen una forma m´as comparta usando la notaci´on de vectores como f0(¯x) = f0( ¯x0) + ∂f0( ¯x0) ∂x0 (x0− x0,0) + ∂f0( ¯x0) ∂x1 (x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2f0( ¯x0) ∂x2 0 (x0− x0,0)2+ 2 ∂2f0( ¯x0) ∂x0∂x1 (x0 − x0,1) + ∂ 2_f 0( ¯x0) ∂x2 1 (x1− x0,0)2 ) + · · · f1(¯x) = f1( ¯x0) + ∂f1( ¯x0) ∂x0 (x0− x0,0) + ∂f1( ¯x0) ∂x1 (x1− x0,1) + 1 2! ( ∂2f1( ¯x0) ∂x2 0 (x0− x0,0)2+ 2 ∂2f1( ¯x0) ∂x0∂x1 (x0 − x0,1) + ∂ 2_f 1( ¯x0) ∂x2 1 (x1− x0,0)2 ) + · · · (3)

Si ¯x0 est´a cerca de ¯p, entonces de (2) y (3), tenemos

0 = f0(¯p) ≈ f0( ¯x0) + ∂f0( ¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) + ∂f0( ¯x0) ∂x1 (p1− x0,1) + 1 2! ( ∂2_f 0(¯x0) ∂x2 0 (p0− x0,0)2+ 2 ∂2_f 0(¯x0) ∂x0∂x1 (p0− x0,1)(p1− x0,1) + ∂ 2_f 0(¯x0) ∂x2 1 (p1− x0,0)2 ) · · · (4)

0 = f1(¯p) ≈ f1( ¯x0) + ∂f1( ¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) + ∂f1( ¯x0) ∂x1 (p1− x0,1) + 1 2! ( ∂2_f 1(¯x0) ∂x2 0 (p0− x0,0)2+ 2 ∂2_f 1(¯x0) ∂x0∂x1 (p0− x0,1)(p1− x0,1) + ∂ 2_f 1(¯x0) ∂x2 1 (p1− x0,0)2 ) · · · (5)

Si ignoramos los t´erminos de ´ordenes m´as altos (segundas derivadas y derivadas de mayores ´ordenes), entonces obtenemos

∂f0(¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) + ∂f0(¯x0) ∂x1 (p1− z0,1) ≈ −f0(¯x0), ∂f1(¯x0) ∂x0 (p0− x0,0) + ∂f1(¯x0) ∂x1 (p1− z0,1) ≈ −f1(¯x0). (6)

Para una notaci´on m´as compacta, definimos fi,j = (¯x0) =

∂fi(¯x0)

∂xj

as´ı las ecuaciones (6) se convierten en

(p0− x0,0)f0,0(¯x0) + (p1− x0,1)f0,1(¯x0) ≈ −f0(¯x0), (7)

(p0− x0,0)f1,0(¯x0) + (p1− x0,1)f1,1(¯x0) ≈ −f1(¯x0). (8)

Multiplicando (7) por f1,1(¯x0), y multiplicando (8) por f0,1(¯x0). Extrayendo la

segunda ecuaci´on de la primera nos da

(p0− x0,0)[f0,0(¯x0)f1,1(¯x0) − f1,0(¯x0)f0,1(¯x0)] ≈ −f0(¯x0)f1,1(¯x0) + f1(¯x0)f0,1(¯x0). (9)

Ahora multiplicando (7) por f1,0(¯x0), y multiplicando (8) por f0,0(¯x0). Extrayendo

la segunda ecuaci´on de la primera nos da

(p1− x0,1)[f0,1(¯x0)f1,0(¯x0) − f0,0(¯x0)f1,1(¯x0)] ≈ −f0(¯x0)f1,0(¯x0) + f1(¯x0)f0,0(¯x0).

(10) Ahora de (9) y (10), obtenemos

p0 ≈ x0,0+ −f0(¯x0)f1,1(¯x0) + f1(¯x0)f0,1(¯x0) f0,0(¯x0)f1,1(¯x0) − f0,1(¯x0)f1,0(¯x0) , (11) p1 ≈ x0,1+ −f1(¯x0)f0,0(¯x0) + f0(¯x0)f1,0(¯x0) f0,0(¯x0)f1,1(¯x0) − f0,1(¯x0)f1,0(¯x0) . (12) Debemos asumir que el miembro derecho de (11) y (12) es la siguiente aproxima-ci´on a ¯p x1,0 ≈ x0,0+ −f0f1,1+ f1f0,1 f0,0f1,1− f0,1f1,0      ¯ x0 , (13) x1,1 ≈ x0,1+ −f1f0,0+ f0f1,0 f0,0f1,1− f0,1f1,0      ¯ x0 . (14)

(¯x1 = [x1,0x1,1]T), donde las funciones y derivadas est´an evaluadas en ¯x0.

Continuando este proceso para generar (¯xn) para n ∈ Z+ (as´ı en general ¯xn =

[xn,0xn,1]T) de acuedo a xn+1,0= xn,0+ −f0(¯xn)f1,1(¯xn) + f1(¯xn)f0,1(¯xn) f0,0(¯xn)f1,1(¯xn) − f0,1f1,0(¯xn)      ¯ x0 , (15) xn+1,1 = xn,1+ −f1(¯xn)f0,0(¯xn) + f0(¯xn)f1,0(¯xn) f0,0(¯xn)f1,1(¯xn) − f0,1(¯xn)f1,0(¯xn)      ¯ x0 . (16) Ahora definimos F (¯xn) = f₀(xn,0, xn,1) f1(xn,0, xn,1)  =f0(¯xn) f1(¯xn)  (17) Tambi´en F(1)(¯xn) = f_0,0(¯xn) f0,1(¯xn) f1,0(¯xn) f1,1(¯xn)  = JF(¯xn), (18)

la cual es la Matriz Jacobiana JF evaluada en ¯x = ¯xn. Vemos que

[JF(¯xn)]−1 = 1 f0,0(¯xn)f1,1(¯xn) − f0,1(¯xn)f1,0(¯xn)  f1,1(¯xn) −f0,1(¯xn) −f1,0(¯xn) f0,0(¯xn)  , (19) as´ı que en notaciones de vectores (15) y (16) se convierten

¯

para n ∈ Z+_{. Si ¯x}

n ∈ Rm (por ejemplo, si consideramos m ecuaciones con n

inc´ognitas), entonces JF(¯xn) =      f0,0(¯xn) f0,1(¯xn) · · · f0,m−1(¯xn) f1,0(¯xn) f1,1(¯xn) · · · f1,m−1(¯xn) .. . ... ... fm−1,0(¯xn) fm−1,1(¯xn) · · · fm−1,m−1(¯xn)      , (21) y F (¯xn) =      f0(¯xn) f1(¯xn) .. . fm−1(¯xn)      . (22) Por supuesto, ¯xn= [xn,0 xn,1 · · · xn,m−1]T ∈ Rm.

Debemos notar que el m´etodo falla si JF(¯xn) es singular en ¯xn. Tal como en el caso

de una dimensi´on, el ´exito del m´etodo depende en la buena elecci´on de un punto ini-cial ¯x0. Si converge, entonces es cuadr´atica como en el caso de una dimensi´on (escalar).

Es posible en ocasiones forzar el m´etodo a converger incluso si el punto inicial no es muy bien seleccionado, pero esto no lo consideraremos aqu´ı. La complexidad computacional del m´etodo es demasiado alta. Si ¯xn ∈ Rm, entonces en (20), (21)

y (22), requerimos evaluaciones evaluaciones en m2+ m, y necesitamos invertir una matriz Jacobiana en cada iteraci´on.

2.

Ejemplos

Ejemplo 1.- Se requiere resolver

f0(x0, x1) = x0− x20− 1 4x 2 1 = 0 f1(x0, x1) = x1− x20+ x 2 1 = 0. (23) Consecuentemente f0(¯xn) = xn,0− x2n,0− 1 4x 2 n,1= 0 f1(¯xn) = xn,1− x2n,0− x2n,1= 0, (24)

f0,0(¯xn) = 1 − 2xn,0 = 0, f1,0(¯xn) = −2xn,0

f0,1(¯xn) = −

1

2xn,1, f1,1(¯xn) = 1 + 2xn,1. (25) V´ıa (15) y (16), las ecuaciones deseadas son

xn+1,0 = xn,0+ −(xn,0− x2n,0− 1 4x 2 n,1)(1 + 2xn,1) + (xn,1− x2n,0+ x2n,1)(− 1 2xn,1) (1 − 2xn,0)(1 − 2xn,1) − xn,0xn,1 , xn+1,1 = xn,1+ −(xn,1− x2n,0+ x2n,1)(1 − 2xn,0) + (xn,0− x2n,0−14x 2 n,1)(2xn,1) (1 − 2xn,0)(1 − 2xn,1) − xn,0xn,1 . (26) Si ejecutamos el proceso iterativo en (26), obtenemos

x0,0 = 0,8000 x0,1 = 0,500

x1,0 = 0,9391 x1,1 = 0,5562

x2,0 = 0,9193 x2,1 = 0,5463

x3,0 = 0,9189 x3,1 = 0,5461

Con lo cual vemos que la respuesta es correcta en cuatro cifras decimales en solo tres iteracones.

Ejemplo 2.- Dada la ecuaci´on z3 _{− 3 = 0, donde z ∈ C. Encuentre todas las}

soluciones de la ecuaci´on. Para resolver la ecuaci´on hacemos z = x + y · i, con i2 _{= −1,}

obteniendo:

(x + y · i)3− 3 = 0

Resolviendo el producto notable y agrupando t´erminos se obtiene (x3− 3xy2_{− 3) + (3x}2_{y − y}2_{) · i = 0}

Haciendo r = (x, y)t _{con P (x, y) = x}3_{− 3xy}2_{− 3 y Q(x, y) = 3x}2_{y − y}2_{, se tiene que}

F (r) =P (r) Q(r)  =0 0  = 0 Con la matriz jacobiana

J (r) =3x

2_{− 3y}2 _−6xy

6xy 3x2_{− 3y}2



Si r(0) _{= (1,5, 0)}t_{, aplicando el algoritmo, este se detiene en N = 4 y la ra´ız real}

es la parte real del vector r(4) _{= (1,44224957, 0)}t_{; z}

Con r(0) _{= (−0,5, 1,0)}t_{, el algoritmo se detiene en N = 5, y la soluci´on es dada por}

r(5) _{= (−0,72112479, 1,24902477)}t _{en donde z}

2,3 = −0,72112479 ± 1,24902477 ra´ıces

complejas conjugadas.

Ejemplo 3.- Considerando el sistema de ecuaciones no lineales f (x, y) = x2+ y2− 1 = 0,

g(x, y) = 1 4x

2_{+ 4y}2_{− 1 = 0.}

Encontrar los puntos de intersecci´on de las curvas usando como puntos iniciales [x0y0]T = [±1 ± 1]T. Usando seis iteraciones en cada caso.

Calculando la matriz Jacobiana obtenemos JR= 2x 2y 1 2x 8y  .

Y realizando las iteraciones con los diferentes [x0y0]T como punto inicial

obtene-mos:

Los resultados de las iteraciones usando [x0y0]T = [+1 + 1]T fueron las siguientes

x1 = 0,9 y1 = 0,6 x2 = 0,8944444 y2 = 0,4666667 x3 = 0,8944272 y3 = 0,447619 x4 = 0,8944272 y4 = 0,4472138 x5 = 0,8944272 y5 = 0,4472136 x6 = 0,8944272 y6 = 0,4472136

Los resultados de las iteraciones usando [x0y0]T = [+1 − 1]T fueron las siguientes

x1 = 0,9 y1 = −0,6 x2 = 0,8944444 y2 = −0,4666667 x3 = 0,8944272 y3 = −0,447619 x4 = 0,8944272 y4 = −0,4472138 x5 = 0,8944272 y5 = −0,4472136 x6 = 0,8944272 y6 = −0,4472136

Los resultados de las iteraciones usando [x0y0]T = [−1 + 1]T fueron las siguientes

x1 = −0,9 y1 = 0,6 x2 = −0,8944444 y2 = 0,4666667 x3 = −0,8944272 y3 = 0,447619 x4 = −0,8944272 y4 = 0,4472138 x5 = −0,8944272 y5 = 0,4472136 x6 = −0,8944272 y6 = 0,4472136

Los resultados de las iteraciones usando [x0y0]T = [−1 − 1]T fueron las siguientes x1 = −0,9 y1 = −0,6 x2 = −0,8944444 y2 = −0,4666667 x3 = −0,8944272 y3 = −0,447619 x4 = −0,8944272 y4 = −0,4472138 x5 = −0,8944272 y5 = −0,4472136 x6 = −0,8944272 y6 = −0,4472136