UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE COMPUTACI ´ON MATEM ´ATICAS DISCRETAS I (6106)
Pr´actica: L´ogica Proposicional (Primera parte)
Nota Preliminar: Para la realizaci´on de esta pr´actica se requieren los siguientes conceptos: Proposiciones simples y compuestas, conectivos l´ogicos, f´ormulas bien formadas, alcance y uso de par´entesis, tablas de verdad, tautolog´ıa y contradicci´on.
1. Determinte cu´ales de los siguientes enunciados son proposiciones simples o compues-tas:
¡Eso no debe ser cierto! a2+ b2 = c2.
El autob´us derrib´o la valla.
Existen algunos hombres que son hi-jos.
Todos los n´umeros primos mayores a dos, son impares.
Juan canta si est´a contento y si est´a contento canta.
Solo estoy contento si la Vinotinto gana el juego.
Te ordeno que vengas. Le pregunt´e la hora. Siga la flecha. Ella segui´o la flecha.
Si recibe el mensaje, Pablo vendr´a, siempre que est´e todavia interesado.
“Soy hijo de mi hermano” es una proposici´on verdadera.
“El Decamer´on” es de Julio Verne. Para mi es suficiente con no tener hambre y no tener fr´ıo para estar contento.
Debe cumplir las leyes. Debe 500 BsF.
Debe hacerme caso.
El Polo Norte es fr´ıo y el Polo Sur es caliente.
Tengo una suegra extrema.
¡Adi´os muchachos, compa˜neros de mi vida!
Algunos planetas est´an habitados. 2. Traduzca las siguientes proposiciones a notaci´on simb´olica.
Vinieron pero llegaron tarde. Somos hermanos o somos primos.
La mayor´ıa de los peces son ov´ıparos, sin embargo algunos tiburones son viv´ıpa-ros.
No es cierto que, invierto mi dinero en acciones o lo pongo en una cuenta de ahorro.
Ni fumar ni beber es bueno para la salud.
Aunque va mal vestido, da gusto verlo.
Se requiere valor y preparaci´on para escalar esta monta˜na.
Si es un hombre que hace una campa˜na dura, probablemente ser´a elegido. Si eres puntual, iremos juntos, pero si llegas tarde ir´e solo.
Solo aprobar´e matem´aticas si consigo que me prestes los ejercicios de integrales. Es imposible que sea cierto lo que dices.
No es cierto que s´olo aplicando la racionalidad tenga sentido la vida. Juan no trabaja a menos que gane dinero o suceda una cat´astrofe.
El c´ancer no se cura a menos que se determine su causa y se encuentre un nuevo f´armaco.
Cuando quieras, me lo pidas y yo lo har´e.
Al menos Juan o Pedro llegaron a tiempo, pero Mar´ıa se retras´o.
Si una recta es paralela a otra recta contenida en un plano, entonces o est´a con-tenida en el plano o es paralela al plano.
Si un n´umero entero es primo, no es compuesto aunque es divisible por la unidad y, consiguientemente, tambi´en es divisible por n´umeros primos.
La mayor´ıa de las aves vuelan, excepto las que pertenecen a la familia de las avestruces, los ˜nand´ues y los ping¨uinos. Tampoco vuelan algunas aves que habi-tan es islas remotas y por no tener depredadores han perdido su capacidad de volar.
Es falso que si llueve y hay sol me mojo. Si es falso que llueve y hay sol, me mojo.
Es falso que si no sucede que llueva y hay sol, me mojo. Si no llueve y hay sol, me mojo.
Es falso que si no llueve y hay sol, me mojo.
Es suficiente que tenga un compromiso previo para que no pueda ir contigo. Si Superman fuera capaz y estuviera dispuesto a prevenir el mal, lo har´ıa. Si Superman no fuera capaz de prevenir el mal, ser´ıa impotente, si no estuviera dispuesto a prevenir el mal ser´ıa malvado. Superman no previene el mal. Si Superman existe, no es impotente ni malvado. Luego Superman no existe. 3. Escriba cada una de las siguientes proposiciones compuestas, como un condicional de
la forma “Si-Entonces”, es decir, Identifique el antecedente y el consecuente de cada una de las siguientes proposiciones condicionales.
Viene a clases si no lleve.
Sigue fumando y tendr´as c´ancer.
El estudio diario es una condici´on suficiente para tener chance de aprobar el curso.
Terminar de escribir esta pr´actica es necesario para que pueda preparar mi clase de ´Algebra.
Arreglo el motor del carro o no ir´e al cine. Estudia y trabaja y triunfar´as en la vida.
No ir´e al cine a menos que termine todos los ejercicios de la pr´actica. Si quiero jugar f´utbol, es necesario que primero termine todas mis tareas. Si vas y trabajas, comes y duermes.
Es necesario que vayas y trabajes para que comes y duermas. Si vas, trabajas, comes y duermes.
Es suficiente que vayas y trabajes si quieres dormir y comer. Ejemplo:
“Viene a clases si no llueve”: “SI viene a clases
| {z } Antecedente ENTONCES no llueve | {z } Consecuente ”
4. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones y determine cu´ales de ellas son tautolog´ıas, contradicciones o contingencias.
¬(p ∨ ¬q) → ¬p (p → q) → (q → p) p ∧ (q ∧ ¬p) q ↔ (¬p ∨ ¬q) (p ∧ q) → p (p → q) → r p → (q → r) [p ∧ (p → q)] → q
5. Algunas de las siguientes proposiciones compuestas usan par´entesis y/o corchetes innecesarios, teniendo en cuenta las reglas de precedencia de los conectores l´ogicos. En caso que sea necesario, reescriba cada proposici´on compuesta, tal que use la m´ınima cantidad de par´entesis y/o corchetes.
6. Considere la siguiente proposici´on compuesta
¬[(p ∧ s → q) → (¬q ↔ ¬p ∨ q)]. (1)
La siguiente tabla, que denominaremos Tabla de alcance de conectores, permite identificar el alcance de cada uno de los conectores presentes en la proposici´on 1. La
Conector Alcance
¬ (p ∧ s → q) → (¬q ↔ ¬p ∨ q) ∧ Conecta a las proposiciones p y s
→ El antecedente es p ∧ s y el consecuente es q → El antecedente es p ∧ s → q y el consecuente es ¬q ↔ ¬p ∨ q ¬ q ↔ El antecedente es ¬q y el consecuente es ¬p ∨ q ¬ p ∨ Conecta ¬p con q
Cuadro 1: Tabla de alcance de conectores de la proposici´on (1)
Tabla tiene tantas filas como conectores l´ogicos aparecen en la proposici´on, listados por orden de aparici´on. En la columna “Alcance”se indica qu´e proposiciones se ven afectadas por el conector.
Para cada una de las siguientes proposiciones compuestas, elabore la Tabla de alcance de conectores en caso de ser posible1.
¬[[(p ∨ q) → ¬p] → ¬q] ∧ q ¬[(p → r ∧ ¬q ∨ p) ∨ [¬(q ↔ p ∨ r) → (p → q)]] ¬¬(p ∧ q) ∧ ¬(¬p ∨ q) → (r ↔ (p ↔ p)) ¬[(q → p) ∧ (r → q) ↔ ¬[¬(¬q ∨ p) ∨ ¬(r → q)]] [(p → q) ∧ q] ∨ r ↔ ¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(¬q ∧ ¬r) ¬[¬(q → p) ∧ (r ∨ (p ↔ p) → ¬q)] ¬p ∧ ¬[(p ∨ q) ∧ [¬q ∨ r → ¬(p → q) ∧ ¬r ↔ p] ↔ r] p → q ∧ ¬r ↔ [p ∨ ¬r ∧ p ∨ (r ↔ ¬q) ∧ ¬p] → p ∨ ¬r
7. Construya la tabla de verdad para cada una de las siguientes proposiciones y determine cu´ales de ellas son tautolog´ıas, contradicciones o contingencias
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) ¬(p → q) ∨ [p → (r ∨ ¬q → r)] ¬(p ∨ ¬q) → q ∨ (¬r ∨ ¬p → ¬r) ¬(p ∧ ¬q) → r ↔ ¬(¬p ∨ q) ∨ r
1
(p → q ∧ r) → ¬p ∨ [¬t ∨ ¬q → (t ∨ s → s)]
(p ∨ q → q ∨ s) → r ∧ p ∧ ¬(p ∨ q) ∨ (r ∧ p → q ∨ s)
8. Compare las tablas de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: P, Q, Q → P, P → Q y Q ↔ P. Comente acerca de los resultados obtenidos
P : p ∧ (p → q) y Q : q P : p ∧ (q ∨ r) y Q : (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) P : ¬q ∧ (p → q) y Q : ¬p P : ¬(p ∨ q) y Q : ¬p ∧ ¬q P : (p → q) ∧ (q → r) y Q : p → r P : p → q y Q : ¬q → ¬p P : (p ↔ q) ∧ (q ↔ r) y Q : p ↔ r P : p ↔ q y Q : (p → q) ∧ (q → p) P : (p → q) ∧ (¬p → q) y Q : q P : p ∧ q → r y Q : p → (q → r) P : (p → q) ∧ (r → s) y Q : p ∨ q → r ∨ s P : p y Q : p ∧ (p ∨ q) P : (p → q) ∧ (r → s) y Q : ¬q ∧ ¬s → ¬p ∧ ¬r Ejemplo: P : p ∧ (p → q) y Q : q P Q p q p → q p ∧ (p → q) q P → Q Q → P P ↔ Q V V V V V V V V V F F F F V V V F V V F V V F F F F V F F V V V
9. La siguiente tabla de verdad define tres conectores l´ogicos p q p > q p f q p ? q
V V F F V
V F V V V
F V V V V
F F F V F
Teniendo es cuenta a estos nuevos conectores, compare las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
p ? q y p ∨ q
(p f q) > p y p → q ¬p ? (q → ¬p) y p f q
10. Sean p = “7 es un entero par” y q = “3+1=4” y r = “24 es divisible por 8”. Simbolice y determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
3 + 1 6= 4 y 24 es divisible por 8. No es cierto que 7 es impar o 3+1=4. 3+1=4 pero 24 no es divisible por 8.
No es cierto que 3+1 =4, y tampoco es cierto que 24 es divisible por 8.
11. Sean p, q proposiciones simples para las cuales la implicaci´on ¬p → q es falsa. Deter-mine los valores de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
p ∧ q q → p ¬p ∨ q ¬q → ¬p (p → q) ∧ (p → ¬q) (p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ p) [(q ∧ p) ∨ (q ∨ ¬q)] ∧ ¬p
12. Suponga que la proposici´on q tiene valor de verdad verdadero. Determine todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones simples p, r y s tal que las siguientes proposiciones compuestas sean verdaderas:
¬q ∨ [p ∨ (r ∧ s)] q ↔ p ∧ r ∧ s (q → [(¬p∨r)∧¬s])∧[¬s → (¬r ∧q)] ¬q → [(p → q ∨ ¬s) ↔ (s ∧ r ↔ q)] (p ↔ ¬s) → (p ∨ q) ∧ (s → r) (¬s ∧ ¬q) ∧ (¬s → q)
13. Considere las siguientes proposiciones simples p; “2 + 4 = 6”.
q : “2 + 8 = 10”. r : “3 × 4 = 12”. s : “2 × 0 = 2”.
Halle los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) (p ∧ q) ∧ (r ∧ s) → (p ∨ s)
b) (p ∧ q) ↔ (r ∧ ¬s) c) (p → ¬q) ↔ (p ∨ q) ∧ s d ) ¬q ∨ p → [(¬r ∨ q) ∧ s → ¬q]
b : Bol´ıvar naci´o antes que Sucre. (verdadera) s : Sucre naci´o en el siglo dieciocho. (verdadera)
t : Jos´e Tomas Boves naci´o antes que Francisco de Miranda. (falsa) m : Medina Angarita vivi´o durante el mismo per´ıodo que Bol´ıvar. (falsa) Simbolice y determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas2:
a) Si Bol´ıvar naci´o antes que Sucre, entonces Jos´e Tomas Boves no naci´o antes que Francisco de Miranda.
b) Si Medina Angarita vivi´o durante el mismo per´ıodo que Bol´ıvar o Jos´e Tomas Boves naci´o antes que Francisco de Miranda, entonces Sucre naci´o en el siglo dieciocho.
c) Si Medina Angarita no vivi´o durante el mismo per´ıodo que Bol´ıvar, entonces Sucre no naci´o en el siglo dieciocho o Jos´e Tomas Boves naci´o antes que Francisco de Miranda.
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