PR ´ACTICO No2
Introducci´on a la L´ogica Proposicional Ejercicio 1:
Dadas las siguientes frases identifique e indique cu´ales son proposiciones simples:
1. ¿Pedro es alto?
2. La cantante triunfa inesperadamente.
3. ¡corre!
4. Ll´evame a pasear.
5. 35 es un n´umero par.
6. Los senadores debaten con tranquilidad.
7. Z > 68.
8. Todo n´umero real elevado a la cero da uno.
9. Salta la cuerda.
10. -34 * 10 = 340.
Ejercicio 2:Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique las proposiciones elementales represent´andolas con las letras (A, B, C, . . .) respectivamente.
1. Ustedes pueden usar las c´amaras digitales o las c´amaras de sus tel´efonos celulares o ambas.
2. Siempre que llueve, las plantas se riegan.
3. A pesar de que el coche no aceler´o, hubo un accidente.
Ejercicio 3:Dadas las siguientes proposiciones simples:
A = El matem´atico estudia.
B = El problema es sencillo.
C = La soluci´on es correcta.
Reemplace en las siguientes proposiciones compuestas, tratando de obtener dos versiones de las mismas:
(B∧ C) (A⇒ (B ∧ C)) (A⇐⇒ (B ∧ C))
Ejercicio 4:
Indique si las siguientes son f´ormulas bien formadas (fbfs), en caso de no serlo justifique:
1. P∧ ∧ Q ∧ R 2. ¬¬((Q (P ∨ R)∧ P) 3. ((P∧¬ Q) ⇐⇒ (S ∨ R)) 4. (¬(R ⇒ (¬ Q)))
Ejercicio 5:Identifique con letras (A, B, C, . . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los s´ımbolos de la l´ogica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. El Sr. Perez es feliz si la Sra. Perez es feliz y la Sra. Perez es feliz si el Sr. Perez es feliz.
2. El´ıas toma caf´e o t´e y toma caf´e solamente si contiene az´ucar.
3. Resuelvo los pr´acticos s´olo si leo los manuales.
Ejercicio 6:
Dadas las siguientes frases:
1. Si aumenta la inflaci´on y quiebran algunas empresas, entonces aumentar´a la criminalidad.
2. No es verdad que Jim y Tom sean ambos estrellas de rock.
3. Las interfaces permiten la interacci´on usuario-sistema s´olo si son inteligentes.
a) Escriba fbfs que las representen.
b) Niegue las fbfs escritas en a).
c) Escriba frases que representen las fbfs escritas en b).
Ejercicio 7:
Para cada una de las f´ormulas bien formadas que siguen, sugiera las proposiciones elementales para P, Q, R y S respectivamente y escriba las frases que representen cada fbfs.
1. ( ( P∨ R ) ⇒ Q ) 2. ¬(P ∧ Q)
3. ((P∨(S ∧ R))∨ Q) Ejercicio 8:
Construya la tabla de verdad para las siguientes proposiciones:
a. (A∧ A) b. (A∧ ¬ A)
d. (A∨ ¬ A)
1. Decida si cada una de las siguientes f´ormulas cumple con ser tautolog´ıa, contradicci´on, contin- gencia, o consistente.
2. Determine, en caso de existir, los pares de f´ormulas l´ogicamente equivalentes.
Ejercicio 9:
Para cada una de las f´ormulas bien formadas que siguen, escriba otra l´ogicamente equivalente:
1. ¬(P ∨ Q) 2. ((P∨Q) ⇒ R ) 3. ¬(R ⇒ Q) Ejercicio 10:
Use una tabla de verdad para determinar si bajo las premisas P⇒Q y ¬P⇒R es v´alido concluir Q∨R.
Nota: Esto es equivalente a verificar que sea una tautolog´ıa.
(((P⇒Q)∧ (¬P⇒R))⇒(Q∨R)) Ejercicio 11:
Teniendo en cuenta la siguiente situaci´on:
Cuatro amigos, Federico, Diego, Mabel y Laura van al cine y eligen entre dos pel´ıculas diferentes.
Formalice cada enunciado usando las letras de proposici´on que se indican:
P = Federico ve la pel´ıcula de terror.
Q = Diego ve la pel´ıcula de terror.
R = Mabel ve la pel´ıcula de terror.
S = Laura ve la pel´ıcula de terror.
1. S´olo si Mabel no ve la misma pel´ıcula que Laura, Federico y Diego ven la pel´ıcula de terror.
2. Diego no ve la pel´ıcula de terror a menos que Laura, Mabel y Federico vean la misma pel´ıcula.
Ejercicio 12:
Sabiendo que v( P →Q) = V, ¿qu´e puede decir del valor de verdad de las siguientes f´ormulas, conociendo el comportamiento de cada conectivo?
1. ( P∨ R ) → ( Q ∨ R ) 2. ( P∧ R ) → (Q∧ R) Ejercicio 13:
Examine cada una de las ´ultimas 5 columnas de la siguiente tabla de verdad y verifique si alguna representa la tabla de verdad de la f´ormula ((P→ Q ) ∨ ( R ∨¬ Q)).
P Q R 1 2 3 4 5
V V V F V V V V
V V F V V V V F
V F V F F F V V
V F F V V V V V
F V V F V V V F
F V F V V V V F
F F V F F V V V
F F F V V V V V
Ejercicio 14:
Dadas las siguientes expresiones, elimine tantos par´entesis como le sea posible de manera que, considerando la jerarqu´ıa y la propiedad asociativa de los conectivos, se mantenga el significado de la f´ormula original:
1. (( P→ (¬ Q ))∧ R ) 2. (( P∨( Q ∨ R ))
3. ((( P∧(¬ Q ))∧ R )∨ S )
4. (¬((¬(¬( P ∨ Q ))) → ( P ∧ Q )))
Ejercicio 15:
Encuentre en la siguiente lista de f´ormulas c´ual se corresponde con el significado de:
¬ P → ¬ Q ∧ R.
1. ¬ P → ¬( Q ∧ R ) 2. ¬ P → (¬ Q ∧ R ) 3. ¬( P → (¬ Q ∧ R ))
Ejercicio 16:
a. Pruebe que los conectivos de negaci´on y disyunci´on forman un conjunto adecuado de conectivos.
Es decir, que se puede expresar el resto de los conectivos s´olo usando el conjunto{¬, ∨}.
b. ¿Qu´e pasa si ahora se usa¬ y ∧?
Ejercicio 17:
Dada las siguientes f´ormulas bien formadas:
(P⇒ (Q ⇒ (P ∧ Q))) (AY¬ B)
Exprese f´ormulas bien formadas equivalentes a cada una de ellas:
1. Usando s´olo los conectivos∧ y ¬.
2. Usando s´olo el conectivo|.
4. Usando s´olo el conectivo↓.
En la determinaci´on de las nuevas fbfs indique, en cada paso, cu´ales fueron las fbfs equivalentes utilizadas para lograrlas.
Ejercicio 18:
Determine la expresi´on l´ogica que describa los siguientes problemas:
1. La alarma suena si la llave est´a en el contacto, o la puerta est´a abierta y el motor no est´a funcio- nando; o si las luces est´an encendidas y la llave no est´a en el contacto, o el cintur´on de seguridad del conductor no est´a ajustado y el motor est´a funcionando; o el asiento del pasajero est´a ocupado y su cintur´on de seguridad no est´a ajustado.
2. Si llueve las calles est´an vac´ıas. Si las calles est´an vac´ıas el comercio obtiene p´erdidas. Los m´usicos no podr´ıan sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes contratan canciones publicitarias cuando tienen p´erdidas. Por tanto, si llueve los m´usicos pueden sobrevivir.
Ejercicio 19:
En L´ogica Proposicional existen reglas, llamadas reglas de inferencia, que sint´acticamente permiten asegurar que ciertas f´ormulas bien formadas tomar´an el valor de verdad Verdadero , a partir de asumir con valor de verdad Verdadero a otras f´ormulas tomadas como hip´otesis. Estas reglas pueden aplicarse independientemente del significado de las proposiciones que cada una representa. Las reglas de inferen- cia m´as conocidas son:
Sean P, Q y R f´ormulas bien formadas cualesquiera:
Modus Ponens (MP): de la veracidad de ( P⇒ Q) y de P, se puede asegurar la veracidad de Q.
Modus Tollens (MT): de la veracidad de ( P⇒ Q) y de ¬Q, se puede asegurar la veracidad de ¬P.
Silogismo Hipot´etico (SH): de la veracidad de ( P⇒ Q) y de (Q ⇒ R), se puede asegurar la veracidad de (P⇒ R).
Silogismo Disyuntivo (SD): de la veracidad de ( P∨ Q) y de ¬P, se puede asegurar la veracidad de Q.
Adjunci´on (ADJ): de la veracidad de P y de Q, se puede asegurar la veracidad de ( P∧ Q).
Simplificaci´on (SIMP): de la veracidad de ( P∧ Q), se puede asegurar la veracidad de P y de Q.
Adici´on (ADI): de la veracidad de P y para cualquier otra proposici´on Q, se puede asegurar la veracidad de ( P∨ Q).
Resuelva utilizando las reglas de inferencia:
1. Por medio de las reglas de inferencia pruebe ¬T a partir de las siguientes premisas: P → ¬ Q, Q∨¬R, P ∧ S y T → R ∧ S.
2. Demuestre U a partir de P∧ T, P → Q, Q → (R ∧ S), ¬R ∨¬T ∨ U.
3. Demuestre que R→ ¬ Q a partir de ¬(R ∧ S) y ¬S → ¬Q.
Ejercicio 20:
Dadas los siguientes razonamientos:
1. Si Juan es comunista, Juan es un ateo. Juan es comunista. Por lo tanto, Juan es un ateo.
2. Renato ser´a contratado si pasa todas las entrevistas. Si Renato tiene experiencia previa y no par- ticipa activamente en las reuniones, ser´a contratado. Renato tiene experiencia previa. Adem´as, Renato pasar´a todas las entrevistas si participa activamente en las reuniones. Renato participa activamente de las reuniones. Entonces Renato ser´a contratado.
Represente cada frase como una f´ormula bien formada y luego verifique si la ´ultima frase (la conclu- si´on) puede ser verdadera. Para esta ´ultima parte utilice de ser posible las reglas de inferencia anteriores y, en caso de no ser posible, utilice las tablas de verdad.
Ayuda: En general, para verificar si una conclusi´on es verdadera a partir de las hip´otesis, se pueden utilizar las reglas de inferencia o verificar si es tautolog´ıa la implicaci´on de la conjunci´on de las supo- siciones o hip´otesis (f´ormulas que representan las frases anteriores) con la f´ormula que representa la
´ultima frase o conclusi´on. Es decir, si el conjunto de proposiciones que representan las frases tomadas como hip´otesis es{P1, P2, . . . , Pn} y la conclusi´on se representa por la proposici´on Q, entonces se de- be demostrar que la f´ormula ((∧n
i=1Pi)⇒ Q) es una tautolog´ıa (o rec´ıprocamente tambi´en se puede mostrar que¬ ((∧n
i=1Pi)⇒ Q) es una contradicci´on).
EJERCICIOS ADICIONALES Ejercicio 1:
Designe con letras (A, B, C, . . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los s´ımbolos de la l´ogica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. No es cierto que los platos est´en sobre la mesa y la comida est´a servida.
2. Tiene coche y, sin embargo, no sabe conducir.
3. Si Ram´ırez no es elegido como dirigente del partido, entonces Gonz´alez o Fern´andez dejar´an el gabinete ministerial y perderemos las elecciones.
4. Google y You tube son las p´aginas m´as visitadas por Emanuel.
5. Los planetas giran alrededor del Sol.
6. O bien el asesino ha abandonado el pa´ıs o, en caso contrario, alguien est´a encubri´endole.
7. Los animales con pelo o que dan leche son mam´ıferos.
8. Ya sea que vaya en colectivo o caminando, voy a ir.
9. Si tanto la temperatura como la presi´on atmosf´erica permanecen contantes,no llueve.
10. Si Mar´ıa aprueba l´ogica har´a una fiesta y sino estudiar´a durante el verano.
11. O Andr´es estaba equivocado y Sof´ıa ten´ıa raz´on o Sof´ıa no ten´ıa raz´on.
Ejercicio 2:
Dadas las siguientes proposiciones:
Ma˜nana no ir´e a Ingl´es.
O la luna es mayor que el sol o el sol es mayor que la luna.
1. Identifique las proposiciones simples.
2. Determine cu´ales son los conectivos l´ogicos.
3. Exprese formalmente en s´ımbolos.
Ejercicio 3:
Identificar con letras (A, B, C, . . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los s´ımbolos de la l´ogica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. Puedo verte en la webcam ´unicamente si vos pon´es video-llamada.
2. Si el formato apropiado para fotos o im´agenes es JPG, no usar formato BMP.
3. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
4. Yo no voy, ni el Lunes ni el Martes, voy el Mi´ercoles.
5. Estudio o trabajo, pero si tomo mis vacaciones no trabajo.
Ejercicio 4:
Verifique, usando tablas de verdad, que las f´ormulas bien formadas F y G son equivalentes:
F = (((¬A ∧(B ∧ C)) ∨ ((¬ A ∧ B) ∧ ¬ C)) ∨ ((A ∧ B)∧ C)) G = (B∧(¬ A ∨(A ∧ C)))
Ejercicio 5:
Determine el valor de verdad de las siguientes f´ormulas, asumiendo que P y Q son verdaderos mien- tras que S y T son falsos:
1. (¬ P ∨ Q)
2. ((Q∨ S) ∧ (T ∨ Q))
3. (((P∨ S) ∧ (T ∨ Q)) ⇐⇒ ((P ∨(S ∧ T))∨ Q)) Ejercicio 6:
Dada la siguiente tabla de verdad:
P Q ?
F F F
F V V
V F V
V V F
1. ¿Qu´e conectiva representa?
2. ¿Es equivalente a la siguiente proposici´on? Justifique usando leyes de De Morgan.
¬(¬(¬(P ∧ P)∧ Q) ∧ ¬( P ∧¬( Q ∧ Q)))
