Notas Sintéticas para un curso de Algebra Lineal y Geometría

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Notas Sint´eticas para un curso de Algebra Lineal y Geometr´ıa

Felipe Cano Setiembre 2013

1 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

1.1 Definici´ on y ejemplos. Aplicaciones con soporte finito en un cuerpo

Vamos a estudiar espacios vectoriales sobre cuerpos. Primero recordamos lo que es un cuerpo y damos algunos ejemplos.

Definici´on 1 Un cuerpo es una terna (k, +,·), donde k es un conjunto y los s´ımbolos +,· denotan dos operaciones de manera que

1. La suma (a, b)7→ a + b es conmutativa, asociativa, tiene elemento neutro que denotamos 0 y cada elemento a de k tiene un elemento opuesto, que denotamos −a tal que a + (−a) = 0 (escribimos a − b en lugar de a+(-b) si no hay confusi´on. Esta propiedad se resume diciendo que (k, +) es un grupo abeliano.

2. Si k^∗= k\{0}, entonces (k^∗,·) es un grupo abeliano. Escribimos 1/a para denotar el elemento inverso de un elemento a de k^∗. El elemento neutro para la multiplicaci´on se escribe 1. N´otese que 1̸= 0 ya que 1 ∈ k \ {0}.

Si no hay confusi´on, escribimos ab en lugar de a· b.

3. La multiplicaci´on es distributiva respecto de la suma. Simb´olicamente a(b + c) = ab + ac.

4. Se tiene que 0· a = 0 = a · 0 para todo a ∈ k.

Frecuentemente escribiremos k para denotar el cuerpo (k, +,·), dando por so- breentendidas las operaciones.

Algunos ejemplos de cuerpos, con su notaci´on:

• El cuerpo Q de los números racionales, cuyos elementos son todos de la forma m/n, donde m, n son números enteros m, n ∈ Z y el denominador n es positivo. Este cuerpo est´a ordenado por los numeradores una vez que se reducen a común denominador dos fracciones que se quieren comparar.

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• El cuerpo R de los n´umeros reales. Deﬁnimos R como el subconjunto del conjuntoP(Q) de subconjuntos de Q formado por aquellos c ⊂ Q con las siguientes propiedades

1. El conjunto c es no vac´ıo. Simb´olicamente c̸= ∅.

2. El conjunto c est´a acotado superiormente. Esto es, existe un n´umero racional q∈ Q tal que q ≥ p para todo p ∈ c.

3. Si p∈ c y r es un n´umero racional menor que p, entonces r ∈ c.

La suma se deﬁne como sigue

c + c^′={q^′′∈ Q; existen q ∈ c, q^′∈ c^′ tales que q + q^′ = q^′′}.

(El producto es un poco más complicado, pero se define siguiendo los mismos principios). También es un cuerpo ordenado por la relación

c≤ c^′ si y solamente si c⊂ c^′. Hay una aplicaci´on inyectiva

ϕ :Q → R; q ∈ Q 7→ {q^′∈ Q; q^′≤ q} ∈ R que permite considerarQ como un subcuerpo ordenado de R.

Ejercicio: A toda sucesi´on creciente y acotada de n´umeros racionales {qn}n∈Nse le puede asociar un n´umero real c como l´ımite deﬁniendo

c ={q ∈ Q; existe qn tal que q≤ qn}.

• El cuerpo C de los n´umeros complejos. Se construye haciendo C = R × R y deﬁniendo las operaciones

(a, b) + (a^′, b^′) = (a + b, a^′+ b^′); (a, b)· (a^′, b^′) = (aa^′− bb^′, ab^′+ a^′b).

El n´umero complejo z = (a, b) se suele representar z = a + bi, siendo a la parte real de z y b la parte imaginaria. N´otese que i² = ii = i· i = −1.

El cuerpo de los números reales R es un subcuerpo de C gracias a la aplicaci´on inyectiva a 7→ (a, 0) = a + 0i = a. Nótese que C no es un cuerpo ordenado. La propiedad algebraica más notable de C es que es algebraicamente cerrado, es decir todo polinomio

X^d+ λ1X^d⁻¹+· · · + λd−1X + λd, λ1, λ2, . . . , λd∈ C, de grado d≥ 1 admite al menos una ra´ız en C.

• El cuerpo primo

Fp={0, 1, . . . , p − 1},

que es el conjunto de los restos m´odulo un n´umero primo p ∈ Z. las operaciones se deﬁnen como sigue

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1. m + m^′ = m^′′, donde m^′′es el resto de dividir m + m^′ por p.

2. m· m^′= m^′′, donde m^′′ es el resto de dividir mm^′ por p.

Este cuerpo de dice de caracter´ıstica positiva p, porque sumando p veces la unidad se obtiene el cero. Los anteriores se dicen de caracter´ıstica cero, porque no tienen esa propiedad.

Ejercicio: El conjunto de los restos m´odulo un n´umero no primo m∈ Z no es un cuerpo.

• Si k es un cuerpo cualquiera y X una indeterminada, el cuerpo k(X) de las fracciones racionales con coeficientes en k est´a definido por los cocientes P (X)/Q(X), donde P (X) y Q(X) son polinomios en la variable X con coeficientes en k y además Q(X) no es id´enticamente nulo. Las operaciones se deducen de las habituales para polinomios

P (X)

Q(X)+F (X)

G(X) =P (X)G(X) + Q(X)F (X)

Q(X)G(X) ; P (X)

Q(X)·F (X)

G(X) = P (X)F (X) Q(X)G(X). As´ı tenemos ya una colección de ejemplos de cuerpos. Todo lo que hagamos a partir de ahora, salvo indicación en contra, será v´alido para cualquier cuerpo k.

Los elementos del cuerpo k se denominar´an escalares.

Definici´on 2 Sea k un cuerpo. Un espacio vectorial sobre k es una cuaterna (V, k, +,·), donde V es un conjunto y los s´ımbolos +, · denotan dos operaciones de manera que

1. La suma (v, w)7→ v+w es una operaci´on interna en V que hace de (V, +) un grupo abeliano.

2. El producto simboliza el “producto por un escalar”. Es una operaci´on externa

k× V → V ; (λ, v) 7→ λv con las siguientes propiedades:

(a) λ(λ^′v) = (λλ^′)v, para cualquier λ, λ^′ ∈ k y v ∈ V . (b) (λ + λ^′)v) = λv + λ^′v, para cualquier λ, λ^′ ∈ k y v ∈ V . (c) λ(v + v^′) = λv + λv^′, para cualquier λ,∈ k y v, v^′∈ V .

(d) 0v = 0, para cualquier v ∈ V , donde 0, 0 son respectivamente los elementos neutros para la suma de k y de V .

(e) 1v = v, para cualquier v∈ V .

Frecuentemente escribiremos V para denotar el espacio vectorial, dando por sobreentendidos el cuerpo base y las operaciones. Los elementos de V se de- nominar´an vectores.

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Observación 1 Un vector v∈ V no tiene necesariamente definido un “módulo”

o tamaño, as´ı como tampoco está definido el concepto de “ángulo entre dos vectores”. Estas nociones exigirán para ser formalizadas estructuras suplementarias y tendrán sentido solamente para el caso de algunos cuerpos base. No obstante, es útil la imagen intuitiva de vector como “un segmento con una punta de flecha en un extremo”.

Con el fin de producir una clase muy amplia de ejemplos, establezcamos previa- mente algunas notaciones. Dado un conjunto B, finito o infinito, denotamos por k^B el conjunto de las aplicaciones f : B → k. Decimos que una aplicación f : B→ k tiene soporte finito si y solamente si el conjunto

Sopf ={b ∈ B; f(b) ̸= 0} ⊂ B

es finito. Denotaremos por k^|B| el conjunto de las aplicaciones de B en k con soporte finito. Nótese que

k^|B|⊂ k^B,

pero ambos conjuntos son diferentes en el caso de que B sea inﬁnito.

Tanto k^|B| como k^B tienen estructura de k-espacio vectorial, con las opera- ciones

(f + g)(b) = f (b) + g(b); (λf )(b) = λ(f (b)).

La familia de ejemplos k^|B| es universal, en el sentido de que cualquier espa- cio vectorial V se puede identiﬁcar con uno del tipo k^|B|, como veremos m´as adelante.

Es interesante precisar c´omo son y podemos denotar los conjuntos k^|B| en casos espec´ıﬁcos:

1. Insistimos en que si B es un conjunto finito se tiene k^|B|= k^B. Decimos que un conjunto es finito cuando existe un número natural n∈ N y una aplicación biyectiva

ϕ :{1, 2, . . . , n} → B.

N´otese que el conjunto vac´ıo∅ se considera ﬁnito al tomar n = 0.

2. Una aplicaci´on biyectiva ϕ : {1, 2, . . . , n} → B se interpreta pues como una manera de “numerar” los elementos de B. Si denotamos b_i = ϕ(i) para i = 1, 2, . . . , n, el dato de esta enumeraci´on se puede representar por la n-tupla

(b1, b2, . . . , bn).

Cuando deseemos referirnos a un conjunto ﬁnito B junto con una de estas enumeraciones ϕ escribiremos

B = (b1, b2, . . . , bn),

salvo ciertas excepciones. Atenci´on, esto es un abuso de lenguaje, ser´ıa m´as preciso escribir ϕ = (b1, b2, . . . , bn), pero es menos compatible con las notaciones habituales.

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3. De manera m´as general, toda aplicaci´on ψ : {1, 2, . . . , n} → k se puede representar como una n-tupla

ψ = (λ1, λ2, . . . , λn),

donde λ_i= ψ(i), para i = 1, 2, . . . , n. En ese sentido, el conjunto k{1,2,...,n}

de tales aplicaciones ψ se identiﬁca con el de las n-tuplas con coeﬁcientes en k, dicho de otro modo, con el producto cartesiano

kⁿ = k× k×n veces

· · · ×k.

As´ı, en adelante, sin dar pie a confusi´on, identiﬁcaremos k{1,2,...,n}= k|{1,2,...,n}|= kⁿ.

4. As´ı ya sabemos dar una estructura de espacio vectorial sobre kⁿ. Por ejemplo, en el caso particular de k = R y n = 2, tenemos el plano real R² con su estructura de espacio vectorial. En este plano real se pueden interpretar los vectores como segmentos que empiezan en el origen (0, 0) y terminan con una punta de ﬂecha en el correspondiente (a, b)∈ R². Las operaciones formalemente son

(a, b) + (a^′, b^′) = (a + a^′, b + b^′); λ(a, b) = (λa, λb).

Es de se˜nalar que la suma se interpreta como la diagonal del paralelogramo de lados (a, b) y (a^′, b^′).

1.2 Dependencia e independencia lineales. Subespacios y bases.

Consideremos un k-espacio vectorial V . Un subconjunto W ⊂ V se dice que es un subespacio vectorial de V si y solo si se tienen las siguientes propiedades

1. W ̸= ∅.

2. Para todos w, w^′∈ W se tiene w − w^′∈ W . 3. Para todos λ∈ k, w ∈ W se tiene λw ∈ W .

Esto es equivalente a decir que W es un k-espacio vectorial con las operaciones inducidas.

Sea {Wi}i∈I una familia cualquiera de subespacios vectoriales de V . Una mera comprobación lógica permite demostrar que la intersección de la familia

∩

i∈I

Wi

es tambi´en un subespacio vectorial de V .

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Tomemos ahora un subconjunto cualquiera A⊂ V y consideremos la familia LA={W ; W es un subespacio vectorial con A ⊂ W }.

Denotemos por LA la intersecci´on de esta familia LA= ∩

W∈LA

W.

Se tiene que LA es un subespacio vectorial de V con A ⊂ LA. Adem´as si W ⊂ V es un subsepacio vectorial que contiene A, entonces W ∈ LA y por consiguiente LA ⊂ W . Es ese sentido, el subespacio LA puede considerarse como el subespacio vectorial “m´as peque˜no” que contiene A. Diremos que LA

es el subespacio vectorial generado por A. N´otese que en el caso particular de que A sea el conjunto vac´ıo, todo subespacio vectorial de V contiene A, en particular, el m´as peque˜no de ellos, el formado ´unicamente por el vector nulo 0.

As´ı pues L_∅={0}.

Una primera observaci´on es que si A1⊂ A2 entonces LA1 ⊂ LA2.

Definici´on 3 Sea A⊂ V un subconjunto de V . Diremos que un vector v ∈ V es una combinación lineal finita de elementos de A si y solo si existen un número natural n≥ 1, escalares λ1, λ2, . . . λn∈ k y vectores v1, v,. . . , vn∈ A tales que

v = λ1v1+ λ2v2+· · · + λnvn.

Proposici´on 1 Sea A⊂ V , A ̸= ∅, un subconjunto de V . El subespacio vecto- rial LA generado por A coincide con el conjunto de las combinaciones lineales finitas de elementos de A.

Demostraci´on: Denotemos por CLA ⊂ V el conjunto de las combinaciones lineales ﬁnitas de elementos de A. Debemos probar que LA = CLA. Para ello probaremos que L_A⊂ CLA y que L_A⊃ CLA.

L_A ⊂ CLA. Es suficiente probar que CL_A es un subespacio vectorial que contiene A, esto es CL_A∈ LA. Ciertamente A⊂ CLA, pues todo elemento de A es una combinación lineal finita de elementos de A. En particular CL_A̸= ∅.

Sean w, w^′ elementos de CL_A que se escriben

w = λ1v1+ λ2v2+· · · + λnvn; w^′= λ₁^′v₁^′ + λ^′₂v₂^′ +· · · + λ^′n^′v_n^′′

con v₁, v₂, . . . , v_n, v₁^′, v^′₂, . . . , v^′_n_′ ∈ A y sea λ ∈ k. Las f´ormulas

w− w^′ = λ1v1+ λ2v2+· · · + λnvn+ (−λ1^′)v^′₁+ (−λ^′2)v₂^′ +· · · + (−λ^′n^′)v^′_n′

λw = (λλ₁)v₁+ (λλ₂)v₂+· · · + (λλn)v_n

muestran que CLAes un subsepacio vectorial, pues se cumplen las condiciones 1,2 y 3 de la deﬁnici´on de subespacio.

LA ⊃ CLA. Una combinaci´on lineal ﬁnita de elementos de un subsepacio vectorial W pretenece a W pues las operaciones de sumar y multiplicar por un

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escalar dan como resultado elementos de W . As´ı pues, toda combinaci´on lineal ﬁnita de elementos de A pertenece a cualquier subespacio vectorial que contiene A, por tanto a la intersecci´on de los mismos. CQD.

Consideremos dos subespacios W₁ y W₂ de V . El conjunto suma de W₁ y W₂se denota por W₁+ W₂ y se deﬁne por

W1+ W2={v ∈ V ; existen w1∈ W1y w2∈ W2tales que v = w1+ w2}.

El conjunto suma es el subespacio generado por la uni´on W₁∪W2. Precisamente Proposici´on 2 Dados dos subespacios vectoriales W1 y W2 de V se tiene que LW₁∪W2 = W1+ W2.

Demostraci´on: Los elementos de W₁+ W₂ son algunas combinaciones lineales ﬁnitas de elementos de W₁∪W2, por consiguiente W₁+W₂⊂ LW1∪W2. Rec´ıpro- camente, tomenos un elemento v de LW₁∪W2. Sabemos que se escribe

v = λ1u1+ λ2u2+· · · + λnun

donde u1, u2, . . . , un∈ W1∪ W2. Alterando el orden de los vectores si es necesario (esto no produce ning´un efecto en el c´alculo de v por la conmutatividad), podemos suponer que existe un n´umero natural t con 0≤ t ≤ n tal que

u₁, u₂, . . . , u_t∈ W1, u_t+1, u_t+2, . . . , u_t+n_−t∈ W2. Ahora, si hacemos

w₁= λ₁u₁+λ₂u₂+· · ·+λtu_t; w₂= λ_t+1u_t+1+λ_t+2u_t+2+· · ·+λt+n−tu_t+n_−t tenemos que w1 ∈ W1 y que w2 ∈ W2. Por consiguiente v = w1+ w2 es un elmento de W1+ W2. Esto prueba que LW₁∪W2 ⊂ W1+ W2. Concluimos pues que LW₁∪W2 = W1+ W2. CQD.

Corolario 1 Si A1 y A2 son dos subconjuntos de V , entonces L_A₁_∪A₂ = L_A₁+ L_A₂.

Demostraci´on: Como A1∪ A2 ⊂ LA₁ + LA₂ y LA₁ + LA₂ es un subsepacio vectorial de V , tenemos que LA₁∪A2 ⊂ LA₁+ LA₂. Por otro lado, los elementos de LA₁+ LA₂ son combinaciones lineales ﬁnitas de elementos de A1∪ A2, por consiguiente LA₁∪A2 ⊃ LA₁+ LA₂. CQD.

En el caso de que el conjunto A satisfaga V = L_A decimos que A ⊂ V es un sistema de generadores de V , o bien que A genera V . En este caso todo elemento de V es una combinaci´on lineal ﬁnita de elementos de A.

Definici´on 4 Sea A un subconjunto de V . Diremos que A es una parte libre de V si todo elemento v de A cumple que v̸∈ LA^′, donde A^′= A\ {v}.

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Obs´ervese que la l´ogica formal permite decir que el conjunto vac´ıo es una parte libre de V . Por otro lado A ={0} no es una parte libre de V , ya que L_∅={0}.

M´as generalmente, si 0∈ A entonces A tampoco es parte libre de V .

Si A es una parte libre de V diremos tambi´en que los vectores de A son linealmente independientes entre s´ı. Por el contrario, si A no es una parte li- bre diremos que sus vectores son linealmente dependientes. M´as precisamente, diremos que un vector v es linealmente dependiente de los vectores de un sub- conjunto A⊂ V si y solo si se tiene que v ∈ LA.

Observaci´on 2 Sea A⊂ V un subconjunto. Son equivalentes 1. A es una parte libre de V .

2. Si v1, v2, . . . , vs es una lista ﬁnita de vectores distintos en A y tenemos que

λ1v1+ λ2v2+· · · + λsvs= 0 entonces necesariamente λ1= λ2=· · · = λs= 0.

Definici´on 5 Sea B un subconjunto de V . Diremos que B es una base de V si es simult´aneamente un sistema de generadores y una parte libre de V . Observaci´on 3 Supongamos que B es una base de V . Como es un sistema de generadores, cualquier vector v∈ V se escribe

v = ∑

b∈B

λ_bb,

donde la suma es finita, es decir, todos los coeficientes λ_bsalvo un número finito son iguales a cero. Por otro lado, como es una parte libre, la suma anterior es

´

unica. Es decir, si tenemos dos sumas ﬁnitas igualadas

∑

b∈B

λ_bb = ∑

b∈B

λ^′_bb

entonces λ_b= λ^′_bpara todo b∈ B. Esto se deduce de las propiedades anteriores, observando que

0 = ∑

b∈B

(λ_b− λ^′b)b.

Dada una familia F de subconjuntos de V se dice que un elemento A de F es minimal si y solo si se tienen que si A^′∈ F y A^′⊂ A entonces A^′ = A.

Proposici´on 3 SeaG la familia de sistemas de generadores de V . Un elemento B deG es una base si y solo si es un elemento minimal de G.

Demostraci´on: Sea B ∈ G una base y sea B^′∈ G con B^′ ⊂ B, B^′̸= B. Entonces existe un vector v∈ B \ B^′. Dado que B^′ es un sistema de generadores se tiene que v∈ LB^′. Esto contradice que B es un sistema libre. Por tanto una base

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cualquiera es necesariamente un elemento minimal deG. Rec´ıprocamente, sea B un elemento minimal de G, si existe u ∈ B con u ∈ LB^′, donde B^′ = B\ {u}, entonces B^′ es un sistema generador de V , pues todo vector v de V se escribe como combinaci´on lineal de vectores de B, entre los que puede estar u, pero podemos reescribir v como combinaci´on lineal de elementos de B^′. M´as precisamente, tenemos

u = λ₁u^′₁+ λ₂u^′₂+· · · + λmu^′_m,

donde v^′₁, v^′₂, . . . , v^′_m∈ B^′. Consideremos ahora un vector cualquiera v∈ V . Sabemos que v es combinaci´on lineal de los elementos de B y por tanto tenemos

v = λu + µ2w^′2+ µ3w^′3+· · · + µsw^′s

donde w^′2, w^′3, . . . , w^′s∈ B^′. Escribiendo

v = λλ1u^′1+ λλ2u^′2+· · · + λλmu^′m+ µ2w^′2+ µ3w^′3+· · · + µsw^′s

se concluye que v∈ LB^′. CQD.

Vamos a ver ahora un ejemplo de base de un espacio vectorial. Se trata de un ejemplo pr´acticamente universal. Consideremos el espacio vectorial V = k^|B|. A cada elemento b∈ B le podemos hacer corresponder la aplicaci´on caracter´ıstica ξb: B→ k deﬁnida por

ξb(b) = 1; ξb(b^′) = 0, si b^′∈ B \ {b}.

Es evidente que ξb∈ k^|B|. El conjunto ˜B ={ξb; b∈ B} es un subconjunto de V = k^|B|que se identiﬁca con B mediante la biyecci´on b7→ ξb.

Proposici´on 4 El conjunto ˜B ={ξb; b∈ B} es una base de V = k^|B|.

Demostración: Veamos que es un sistema de generadores. Dado un elemento ϕ : B→ k de k^|B|consideremos la combinación lineal finita

ψ = ∑

b∈Sopϕ

ϕ(b)ξb.

de elementos de ˜B. Para cualquier b^′ ∈ B tenemos ψ(b^′) = ∑

b∈Sopϕ

ϕ(b)ξb(b^′) = ϕ(b^′)

por consiguiente ψ = ϕ y tenemos que ˜B es un sistema de generadores. Veamos que es un sistema libre. Supongamos que se tiene una combinaci´on lineal ﬁnita

ξb=

∑s i=1

λiξb_i; bi∈ B \ {b}, i = 1, 2, . . . , s

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Aplicando a b ∈ B ambos lados de la igualdad, llegamos a que 1 = 0, con- tradicci´on. CQD.

Llamaremos base est´andar o cartesiana de k^|B| a la base ˜B ={ξb; b∈ B}.

Esta nomenclatura no está completamente consolidada y en otros textos puede aparecer bajo la denominación de “base canónica” u otras denominaciones.

1.3 Dimensi´ on. F´ ormula de las dimensiones

A continuaci´on abordamos uno de los resultados clave en el estudio de los espacios vectoriales: la existencia de bases y el hecho de que dos bases cualesquiera tienen el mismo n´umero de elementos.

Definici´on 6 Diremos que V es de generaci´on ﬁnita si existe un subconjunto finito A de generadores de V .

Teorema 1 (Existencia de bases) Si V es de generaci´on finita, existe al menos una base de V . Adem´as, todo sistema de generadores contiene una base y dos bases cualesquiera tienen el mismo n´umero de elementos.

Demostración: Sea A un sistema finito de generadores de V . Supongamos que tiene n elementos. Consideremos la familiaGA de subconjuntos de A que son sistemas de generadores. Como A es un conjunto finito, esta familia, que no es vac´ıa, tiene por lo menos un elemento minimal B⊂ A, que también es minimal de la familiaG de sistemas de generadores de V . As´ı pues el conjunto B es una base, que es finita pues B⊂ A.

Consideremos ahora un sistema finito o infinito de generadores A de V y sea B una base finita de V . Para cada e∈ B escribamos

e = λ_1,ef_1,e+ λ_2,ef_2,e+ . . . + λ_s_e_,ef_s_e_,e

donde f_1,e, f_2,e, . . . , f_s_e_,e∈ A. El subconjunto A^′ ⊂ A formado por los vectores de la forma f_ℓ,edonde 1≤ ℓ ≤ sey e∈ B es ﬁnito y es un sistema de generadores por serlo B. Utilizando el argumento anterior, encontramos una base ﬁnita B^′⊂ A^′ y por tanto B^′⊂ A.

Sean ahora B una base finita de V y B^′una base cualquiera. Dado que B^′ es un sistema de generadores, argumentando como antes, se tiene una base finita B^′′⊂ B^′. Ahora bien, como B^′es una base necesariamente B^′′= B^′ y entonces B^′ es finita.

Veamos ahora que dos bases finitas B y B^′ tienen el mismo número de elementos, donde elegimos B^′ con el m´ınimo número posible de elementos de entre todas las bases. Escribamos B = (B∩ B^′)∪ (B \ B^′). Si B\ B^′ = ∅ hemos terminado, pues B ⊂ B^′ y como dos bases distintas no tienen relación de inclusi´on estricta, se tiene que B = B^′. Supongamos que existe f ∈ B \ B^′, escribimos

f = λ₁e^′₁+ λ₂e^′₂+· · · + λse^′_s,

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donde suponemos λi ̸= 0 y e^′i ∈ B^′ para i = 1, 2, . . . , s. N´otese que podemos suponer e^′₁ ∈ B. En efecto, si tenemos e/ ^′i ∈ B ∩ B^′ para cada i = 1, 2, . . . , s, de la unicidad de la expresi´on de un vector de V en la base B se concluir´ıa que f = e^′₁ y λ1= 1, en contra de que f /∈ B^′. Podemos escribir

e^′₁= 1

λ1{f − λ2e^′₂− · · · − λse^′_s}

y entonces B₁^′ = (B^′\ {e^′1}) ∪ {f} es un sistema de generadores. Por la minima- lidad de B^′ tambi´en se tiene que B^′₁es una base. N´otese que B₁^′ tiene el mismo n´umero de elementos que B^′ y que adem´as B\ B^′1tiene un elemento menos que B\ B^′. Procediendo de este modo llegamos al caso en el que B\ B^′ =∅, que ya sabemos resolver. CQD.

Definici´on 7 Si V es de generaci´on finita llamamos dimensión de V al número natural n ∈ N que indica el número de elementos de cualquiera de sus bases.

Escribimos dim V = n. Si V no es de generación finita, diremos sin más que V es de dimensión infinita.

El siguiente objetivo es probar el teorema de la base incompleta. Antes de ello haremos unas consideraciones generales sobre las partes libres, que permitir´ıan probar el teorema de existencia de bases y el de la base incompleta en la situación totalmente general de espacios vectoriales de dimensión finita o infinita.

Dado un conjunto X y una familia F = {Yi}i∈I de subconjuntos de X, diremos queF est´a totalmente ordenada por inclusi´on si y solamente si dados dos ´ındices cualesquiera i, j∈ I se tiene que Yi⊂ Yj o bien Y_j ⊂ Yi.

Proposici´on 5 Sean V un espacio vectorial y{Ai}i∈I una familia de sistemas libres de V totalemente ordenada por inclusi´on. Entonces la uni´on

A =∪

i∈I

Ai

es un sistema libre.

Demostración: Demostraremos este resultado por reducción al absurdo. Si A no fuera un sistema libre, deber´ıa existir un vector v∈ A que es combinación lineal finita de vectores en A^′= A\ {v}. Esto es, podemos escribir

v = λ1w1+ λ2w2+· · · + λmwm

donde w_i̸= v para i = 1, 2, . . . , m y adem´as, para ciertos ´ındices i1, i₂, . . . , i_m tenemos que v_j ∈ Aij. Cambiando el orden de los vectores w₁, w₂, . . . , w_m si es necesario, podemos suponer que

A_i₁ ⊂ Ai2 ⊂ · · · ⊂ Aim.

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Supongamos que v ∈ Ai₀. Tenemos que B = Ai₀∪ Ai_m es un elemento de la familia, pues o bien B = Ai₀ o bien B = Ai_m según se tenga respectivamente que Ai₀ ⊃ Ai_m o Ai₀ ⊂ Ai_m. Por consiguiente v ∈ B y además todos los vectores wi∈ B^′ = B\ {v}, para i = 1, 2, . . . , m. Se concluye que v ∈ LB^′, lo cual es una contradicción con la hip´otesis de que B es un sistema libre. CQD.

Dado un conjunto X y una familiaF de subconjuntos de X diremos que B es un elemento maximal de la familia si se tiene que B∈ F y adem´as para todo A∈ F con A ⊃ B se tiene A ⊂ B.

Proposici´on 6 Sean V un espacio vectorial yL la familia de sistemas libres de V . Un elemento B∈ L es una base de V si y solamente si es un elemento maximal de la familiaL.

Demostraci´on: Veamos primero que si B es una base entonces es un elemento maximal de L. Sea A ∈ L con B ⊂ A, si A ̸= B existe v ∈ A \ B, como B es un sistema generador, tenemos v∈ LB ⊂ LA^′, donde A^′ = A\ {v}. Esto contradice que A es libre. Por consiguiente A = B y en particular A⊂ B.

Rec´ıprocamente, supongamos que B es un elemento maximal de L. Si no fuera un sistema generador, existir´ıa v∈ V \ LB. Veamos que B^′= B∪ {v} es un sistema libre, lo que contradir´ıa que B es maximal. Supongamos que B^′ no fuera libre. Existir´ıa un vector w∈ B^′ y una combinaci´on lineal

w = λ₁w₁+ λ₂w₂+· · · + λmw_m

con los wi ∈ B^′, w ̸= wi, para i = 1, 2, . . . , m. N´otese que v ̸= w, pues si no tendr´ıamos que v∈ LB. Por otro lado si, salvo reordenaci´on, tenemos que v = w1 con λ1̸= 0, entonces

w1= 1

λ1{w − λ2w2− λ3w3− · · · − λmwm}

y tendr´ıamos que B no es un sistema libre. Finalmente, si v no coincide con ninguno de los wi, tambi´en concluir´ıamos que B no es un sistema libre. Es la contradicci´on buscada. CQD.

Observaci´on 4 Las dos proposiciones anteriores permitir´ıan probar la existen- cia de base y el hecho de que todo sistema libre puede ser completado a una base.

Esto exige invocar un principio importante de lógica matemática, que es el “Ax- ioma de elección” en su versión equivalente del “Lema de Zorn”. En este curso no entraremos con profundidad en los fundamentos lógicos de la matemática y nos contentaremos con dar la versión de dimensión finita de ambos teoremas.

Teorema 2 (Base incompleta) Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y A un sistema libre de V . Existe una base B de V tal que A⊂ B.

Demostraci´on: Sea B un sistema ﬁnito de generadores de V , por ejemplo, una base de V . Ampliaremos la parte libre A con los elementos de un subconjunto

(14)

B^′ de B de modo que si A^′ = A∪ B^′entonces A^′ es una parte libre y LA^′ = V , esto es, A^′ es una base de V , como quer´ıamos. Si LA = V , entonces A es una base y hemos terminado. Si LA ̸= V , debe existir un elemento v1 ∈ B tal que v1 ∈ L/ A. Entonces A1 = A∪ {v1} es un sistema libre. Recomenzamos el argumento (a lo m´as un n´umero ﬁnito de veces) con A1 y de esta manera detectamos el subconjunto B^′ de B deseado. CQD.

Podemos utilizar los resultados anteriores para probar una serie de relaciones entre la dimensi´on de un espacio vectorial y la de sus subsepacios.

Teorema 3 (F´ormulas de las dimensiones) Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Todo subespacio vectorial W de V tiene dimensión menor o igual que la dimensión de V , además dim W = dim V si y solo si W = V . Si W1 y W2 son dos subespacios vectoriales de V tenemos la “fórmula de las dimensiones”:

dim(W1+ W2) = dim W1+ dim W2− dim(W1∩ W2).

Demostraci´on: Sea ˜B una base de W . Es un sistema libre de V y por tanto se puede completar a una base B de V con ˜B ⊂ B. Se sigue que dim W ≤ dim V y si dim W = dim V entonce ˜B = B y por tanto W = V , ya que las bases son sistemas generadores.

En relaci´on con la segunda aﬁrmaci´on. Dados sistemas generadores A₁, A₂ de W1, W2 respectivamente, tenemos que A1∪ A2 es un sistema generador de W1+W2. Tomemos una base B^′de W1∩W2y la completamos a bases respectivas B1, B2 de W1, W2. Veamos que B^′ = B1∩ B2. Ciertamente, B^′ ⊂ B1∩ B2. Tomemos un vector v∈ B1∩ B2, debemos probar que v∈ B^′. Supongamos por reducci´on al absurdo que v /∈ B^′. Como v∈ B1∩B2, en particular v∈ W1∩W2

y por consiguiente se expresa en la base B^′ como combinaci´on lineal ﬁnita de vectores de B^′, esto es

v = ∑

e∈B^′

λee.

Dicho de otro modo, la expresi´on v− ∑

e∈B^′

λee = 0

es una combinaci´on lineal finita igualada a cero de elementos distintos de B1(o de B2). Como B1 es una parte libre, todos los coeficientes deben ser cero, en particular el coeficiente de v, lo que conduce al absurdo 1 = 0.

Sabemos que B = B₁∪ B2es un sistema de generadores de W₁+ W₂. Como B^′= B₁∩ B2, se sigue que

dim(W₁+ W₂)≤ dim W1+ dim W₂− dim(W1∩ W2),

pues el n´umero de elementos ♮B de B es igual a ♮B1+ ♮B2− ♮(B1∩ B2). Ahora es suﬁciente ver que B es una parte libre de V . Toda combinaci´on lineal ﬁnita

(15)

de elementos distintos de B igualada a cero se escribe

∑

e∈B1

µee + ∑

e∈B2\B^′

δee = 0.

Tenemos que

w = ∑

e∈B1

µ_ee =− ∑

e∈B2\B^′

δ_ee∈ W1∩ W2.

Como B^′es base de W1∩W2y w∈ W1∩W2, hay una escritura w =∑

e∈B^′αee.

Tenemos pues, trabajando en W1que w = ∑

e∈B^′

αee = ∑

e∈B1

µee.

Como B1es base de W1 y B^′ ⊂ W1, se concluye que µe = αepara e∈ B^′ y que µe= 0 para e∈ B1\ B^′. Finalmente, obtenemos una relaci´on en W2

∑

e∈B^′

αee + ∑

e∈B2\B^′

δee = 0.

Como B₂= (B₂\ B^′)∪ B^′ es una base de W₂, se deduce que µ_e = α_e= 0 para todo e∈ B^′ y que δe= 0 para todo e∈ B2\ B^′. CQD.

Definici´on 8 Sea V un k-espacio vectorial y consideremos dos subespacios suyos V1 y V2. Diremos que V es suma directa interna de V1 y V2 y lo de- notaremos escribiendo

V = V1⊕ V2

si se tiene que V = V₁+ V₂ y adem´as V₁∩ V2={0}.

Proposici´on 7 Si V = V₁⊕V2, entonces todo vector v∈ V se escribe de forma

´ unica

v = v₁+ v₂,

donde vi∈ Vi, para i = 1, 2. Adem´as, si V es de dimensi´on finita, o bien V1, V2

son ambos de dimensi´on finita, se tiene dim V = dim V1+ dim V2.

Demostraci´on: La segunda parte es consecuencia directa de los teoremas en esta secci´on. Para ver la primera parte, consideremos dos escrituras

v = v1+ v2= v^′₁+ v^′₂,

se concluye que si w = v1 − v1^′ entonces w = v^′₂− v2 y por consiguiente w∈ V1∩ V2. Necesariamente w = 0 y as´ı v1= v₁^′, v₂^′ = v2. CQD.

(16)

1.4 Aplicaciones lineales

Sea f : V → W una aplicaci´on entre k-espacios vectoriales. Se dice que f es una aplicaci´on lineal si para cualquier par de vectores u, v ∈ V y de escalares λ, µ∈ k se tiene

f (λu + µv) = λf (u) + µf (v).

Toda aplicaci´on lineal f : V → V recibe el nombre de endomorfismo de V . El conjunto de aplicaciones lineales de V en W se denotar´a por Homk(V, W ).

Asimismo, denotaremos porEndk(V ) el conjunto de los endomorfismos de V . Como es habitual en Matemáticas, señalaremos los ejemplos extremos. La aplicación nula

0 : V → W ; v 7→ 0 es evidentemente lineal. La aplicaci´on identidad

Id_V : V → V ; v 7→ v

tambi´en lo es. Asimismo, una propiedad evidente de las aplicaciones lineales es que f (0) = 0.

Otro tipo de ejemplos, que en cierto modo son todos los posibles, son las proyecciones y las secciones de espacios vectoriales de la forma k^|B|. Dado un subconjunto B^′⊂ B, deﬁnimos la proyecci´on

πB′ : k^|B|→ k^|B^′^|

por πB′(ϕ)(b^′) = ϕ(b^′), para todo b^′ ∈ B^′, donde ϕ∈ k^|B|. Es decir, tenemos que πB′(ϕ) = ϕ|B′ donde

ϕ|B^′ : B^′→ k

es la restricci´on de ϕ a B^′. Asimismo, deﬁnimos la secci´on σB′ : k^|B^′^|→ k^|B|

como la aplicaci´on que a cada ϕ^′ ∈ k^|B^′^| hace corresponder σ_B′(ϕ^′) ∈ k^|B|

deﬁnido por

σ_B′(ϕ^′)(b) =

{ ϕ^′(b), si b∈ B^′ 0, si b /∈ B^′

Las proyecciones π_B′ son todas suprayectivas, mientras que las secciones σ_B′

son inyectivas. Veremos más adelante que toda aplicación lineal expresada en bases adecuadas puede considerarse como una proyección compuesta con una sección.

A continuación señalamos algunas de las propiedades básicas de las aplicaciones lineales:

• Si f : V → W y g : W → T son aplicaciones lineales, la composici´on g◦ f : V → T ; v 7→ g(f(v))

también es una aplicación lineal. En particular la composición de dos endomorfismos es un endomorfismo.

(17)

• Si f : V → W es una aplicación lineal biyectiva, la aplicación inversa f⁻¹: W → V es también lineal. Nótese que f ◦f⁻¹= IdW, f⁻¹◦f = IdV. Las aplicaciones lineales biyectivas se llaman isomorfismos de espacios vectoriales.

• Si f : V → W y g : V → W son aplicaciones lineales y λ, µ ∈ k son dos escalares, la aplicaci´on λf + µg : V → W deﬁnida por

(λf + µg)(v) = λf (v) + µg(v)

también es una aplicación lineal. Esto permite dar estructura de espacio vectorial al conjunto de las aplicaciones linealesHomk(V, W ). El espacio vectorial de los endomorfismosEndk(V ) está además enriquecido por otra operación interna, que es la composición (más adelante estudiaremos este espacio con cierto detalle).

El cuerpo k tiene estructura de k espacio vectorial. Se llamar´a forma lineal sobre V a toda aplicaci´on lineal ϕ : V → k, donde k “conserva su identidad como cuerpo”. El conjunto de formas lineales es un espacio vectorial V^∗ que se llama el espacio dual de V . As´ı se tiene

V^∗=Homk(V, k).

A continuaci´on, veremos un conjunto de relaciones b´asicas entre las aplicaciones lineales, sistemas de generadores, bases y subespacios vectoriales.

Sea f : V → W una aplicaci´on lineal. La imagen Imf de f es el subconjunto de W deﬁnido por

Imf ={w ∈ W : existe v ∈ V tal que f(v) = w}.

El n´ucleo Ker f de f es el subconjunto de V deﬁnido por Kerf ={v ∈ V : f(v) = 0}.

N´otese que la aplicaci´on lineal f es suprayectiva si y solamente si Imf = W . Proposici´on 8 Sea f : V → W una aplicaci´on lineal. Entonces

1. Imf es un subespacio vectorial de W .

2. La aplicaci´on ϕ : V → Imf definida por v 7→ f(v) es lineal.

3. Si A es un sistema de generadores de V el subconjunto f (A)⊂ Imf es un sistema de generadores de Imf .

4. Kerf es un subespacio vectorial de V . 5. Son equivalentes

(a) La aplicaci´on f es injectiva.

(18)

(b) Kerf ={0}.

(c) La imagen por f de cualquier parte libre de V es parte libre de W . 6. Son equivalentes

(a) La aplicaci´on f es suprayectiva.

(b) La imagen por f de cualquier sistema de generadores de V es tambi´en un sistema de generadores de W .

Demostraci´on: La prueba de las cuatro primeras propiedades es muy sencilla.

Probemos la equivalencia entre (a), (b) y (c) de la aﬁrmaci´on 5.

(a) ⇒ (b). Si existe v ̸= 0 con f(v) = 0, entonces f(v) = f(0) y la aplicaci´on no es inyectiva.

(b)⇒ (a). Si f(v) = f(v^′), tenemos f (v−v^′) = 0 y por tanto v−v^′∈ Kerf.

Como Kerf ={0}, se tiene que v − v^′= 0 y as´ı v = v^′.

(b) ⇒ (c). Sea A una parte libre de V . Nótese que la restricción f|A de f a A es inyectiva dado que f es inyectiva. Para ver que f (A) es una parte libre, tomemos un vector w ∈ f(A) y escribamos f(A)^′ = f (A)\ {w}. Sea v ∈ A tal que w = f (v), como la restricci´on f|A de f a A es inyectiva, tenemos que f (A)^′ = f (A^′), donde A^′ = A\ {v}. Ahora debemos ver que no puede ser que w∈ Lf (A)^′. Si w∈ f(A)^′, hay una combinación lineal

f (v) = λ₁f (v₁) + λ₂f (v₂) +· · · + λsf (v_s)

con v_i ∈ A^′, para i = 1, 2, . . . , s. N´otese que dado que A es una parte libre, tenemos u̸= v donde

u = λ1v1+ λ2v2+· · · + λsvs.

Por las propiedades de las aplicaciones lineales, tenemos f (v− u) = 0, por lo tanto el n´ucleo no se reducir´ıa al cero, contradicci´on.

(c) ⇒ (a). Si f no es inyectiva, tenemos f(v) = f(u) con v ̸= u, esto es existe un vector w = u− v ̸= 0 con f(w) = 0. Ahora bien A = {w} es una parte libre de V y sin embargo f (A) ={0} no es una parte libre de W .

Finalmente, probemos la equivalencia entre (a) y (b) de la aﬁrmaci´on 6. Sea A un sistema de generadores de V y sea w un vector de W . Existe v∈ V con f (v) = w. Escribamos

v = λ₁v₁+ λ₂v₂+· · · + λnv_n donde v_i∈ A, para i = 1, 2, . . . , n. Tenemos

w = f (v) = λ1f (v1) + λ2f (v2) +· · · + λnf (vn)

y por tanto w∈ Lf (A). El argumento es reversible y as´ı tenemos la equivalencia (a)⇔ (b) deseada. CQD.

(19)

Observaci´on 5 Puede ser que la imagen f (B) de una base particular de V sea una base de W y sin embargo f no sea un isomorﬁsmo. Por ejemplo, si V = k×k, W = k y f es la aplicaci´on f (a, b) = a + b, tomando la base B ={(1, 0), (0, 1)}.

Proposici´on 9 Sea V un espacio vectorial de dimensi´on finita y f : V → W una aplicaci´on lineal inyectiva. Sea B una base de V . Si dim W = dim V entonces f (B) es una base de W y por consiguiente f es tambi´en suprayectiva, por tanto un isomorfismo.

Demostraci´on: Consecuencia directa de la proposici´on anterior. CQD.

El siguiente resultado nos permite construir aplicaciones lineales en t´erminos de bases

Proposici´on 10 Sean B una base de V , W un subespacio vectorial y

ψ : B→ W

una aplicación cualquiera de conjuntos. Existe una única aplicación lineal f : V → W

tal que f (v) = ψ(v) para todo v∈ B.

Demostraci´on: Sabemos que todo elemento v ∈ V se escribe de forma única como combinación lineal finita

v = ∑

b∈B

λbb.

Entonces f cumple forzosamente que f (v) = ∑

b∈B

λbf (b) =∑

b∈B

λbψ(b).

Esta f´ormula permite asimismo deﬁnir f y comprobar que se trata de una apli- caci´on lineal. CQD.

1.5 Espacio cociente

Vamos ahora a estudiar relaciones de equivalencia inducidas por aplicaciones lineales. Recordamos que si A es un conjunto, una relaci´on de equivalencia R sobre A es un subconjunto R⊂ A × A con las siguientes propiedades

1. Reflexiva. Para todo a∈ A se tiene (a, a) ∈ R.

2. Sim´etrica. Si (a, b)∈ R entonces (b, a) ∈ R.

3. Transitiva. Si (a, b)∈ R y (b, c) ∈ R entonces (a, c) ∈ R.

Notas Sintéticas para un curso de Algebra Lineal y Geometría

Notas Sint´eticas para un curso de Algebra Lineal y Geometr´ıa

Felipe Cano Setiembre 2013

Contents

1 Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

1.1 Definici´ on y ejemplos. Aplicaciones con soporte finito en un cuerpo

1.2 Dependencia e independencia lineales. Subespacios y bases.

1.3 Dimensi´ on. F´ ormula de las dimensiones

1.4 Aplicaciones lineales

1.5 Espacio cociente