Teorema de Baire para espacios m´ etricos completos

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Teorema de Baire para espacios m´ etricos completos

Agradezco a Carlos Fernando Berm´udez Torres por corregir un error en estos apuntes.

Objetivos. Introducir el concepto de espacios de Baire y demostrar el teorema de Baire para espacios m´etricos completos.

Prerrequisitos. Bolas abiertas y cerradas en espacios m´etricos, criterio de espacios m´etri- cos completos en t´erminos de sucesiones anidadas de conjuntos.

Aplicaciones. Algunos teoremas fundamentales sobre espacios de Banach, incluso el principio de acotaci´on uniforme y el teorema de la transformaci´on lineal abierta.

1 Definici´on. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico. Un subconjunto Y de X se llama denso (en X) si cl(Y ) = X.

2 Proposici´on. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea Y ⊆ X. Entonces Y es denso si y s´olo si para cualquier A en τ \ {∅}, la intersecci´on A ∩ Y es no vac´ıa.

Demostraci´on. 1. Supongamos que Y es denso. Sea A ∈ τ \ {∅} y sea a ∈ A. Entonces A ∈ τa. Como cl(Y ) = X y a ∈ X, A ∩ Y 6= ∅.

2. Supongamos que A ∩ Y 6= ∅ para cualquier A en τ \ {∅}. Vamos a demostrar que Y es denso. Sea x ∈ X y sea A ∈ τx. Entonces, por la suposici´on, A ∩ Y 6= ∅. Esto significa que x ∈ cl(Y ).

3 Definici´on. Un espacio topol´ogico X se llama espacio de Baire si para cualquier su- cesi´on (Uk)k∈N de subconjuntos de X, abiertos y densos, su intersecci´onT

k∈NUk tambi´en es densa.

Hay dos teoremas de Baire. El primero dice que todos los espacios m´etricos completos son de Baire. El segundo dice que todos los espacios de Hausdorff localmente compactos son de Baire. En estos apuntes demostramos solamente el primero de estos dos teoremas. Si (X, d) es un espacio m´etrico, x ∈ X, r > 0, entonces ponemos

B(x, r) := {y ∈ X : d(x, y) < r}, C(x, r) := {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.

4 Lema. Sean X un espacio m´etrico, A un subconjunto abierto de X, a ∈ A y R > 0.

Entonces existe r tal que 0 < r ≤ R y C(a, r) ⊆ A.

Teorema de Baire, p´agina 1 de 4

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Demostraci´on. Como A es abierto y a ∈ A, elegimos δ > 0 tal que B(a, δ) ⊆ A. Pongamos r := m´ın {R, δ/2} .

Entonces 0 < r ≤ R y r < δ. Mostremos que C(a, r) ⊆ A. Si x ∈ C(a, r), entonces d(x, a) ≤ r < δ, as´ı que x ∈ B(a, R) y x ∈ A.

Recordemos una propiedad importante de espacios m´etricos (en realidad, es una condici´on necesaria y suficiente).

5 Proposici´on (sobre una sucesi´on anidada de subconjuntos cerrados no vac´ıos, cuyos di´ametros tienden a cero, repaso). Sea X un espacio m´etrico completo y sea (Gn)n∈N una sucesi´on de conjuntos cerrados no vac´ıos tal que para cada n en N se cumple Gn+1⊆ Gn y l´ımn→∞diam(Gn) = 0. Entonces T

n∈NGn6= ∅.

6 Teorema. Cada espacio m´etrico completo es un espacio de Baire.

Demostraci´on. Sean (X, d) un espacio m´etrico completo, (Uk)k∈N una sucesi´on de sub- conjuntos de X, abiertos y densos, y V = T

k∈NUk. Sea A un subconjunto abierto de X, A 6= ∅. Vamos a demostrar que A ∩ V 6= ∅.

Construiremos una sucesi´on (xk)k∈N en X y una sucesi´on (rk)k∈N en (0, +∞).

Como A es abierto y U1 es denso, A ∩ U1 6= ∅. Elegimos x1 ∈ A ∩ U1. Como A ∩ U1 es abierto, aplicamos Lema 4y encontramos r1 en (0, 1] tal que C(x1, r1) ⊆ A ∩ U1.

Para cada k en N, k ≥ 2, suponiendo que xj y rj con j < k ya est´an elegidos, eli- giremos xk y rk de la siguiente manera. Como Uk es denso y B(xk−1, rk−1) es abierto, Uk∩ B(xk−1, rk−1) 6= ∅. Elegimos xk ∈ Uk∩ B(xk−1, rk−1). Usando el Lema 4 y el hecho que el conjunto Uk ∩ B(xk−1, rk−1) es abierto, encontramos rk tal que 0 < rk ≤ 1/k y C(xk, rk) ⊂ Uk∩ B(xk−1, rk−1).

Notamos que (C(xk, rk))k∈Nes una sucesi´on decreciente de conjuntos cerrados y no vac´ıos.

Adem´as, diam(C(xk, rk)) ≤ 2rk, as´ı que diam(C(xk, rk)) tiende a 0 cuando k tiende a ∞.

Usando la suposici´on que X es completo y aplicando la Proposici´on5, encontramos y tal que y ∈ C(xk, rk) para cada k en N.

Como C(x1, r1) ⊆ A, obtenemos que y ∈ A.

Adem´as, como C(xk, rk) ⊆ Ukpara cada k en N, hemos demostrado que y ∈T

k∈NUk.

Teorema de Baire, p´agina 2 de 4

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7 Definici´on (conjunto denso en ninguna parte). Sea X un espacio topol´ogico y sea Y un subconjunto de X. Se dice que Y es denso en ninguna parte, si el interior de su cerradura es vac´ıo.

8 Definici´on (conjunto magro). Sea X un espacio topol´ogico y sea Y un subconjunto de X. Se dice que Y es magro (o conjunto de la primera categor´ıa) si existe una sucesi´on (Ek)k∈N de conjuntos densos en ninguna parte tal que Y = S

k∈NEk. Los conjuntos no magros tambi´en se llaman conjuntos de la segunda categor´ıa.

9 Proposici´on (criterio de espacio de Baire). Sea X un espacio topol´ogico. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) X es de Baire, esto es, para cualquier sucesi´on (Uk)k∈N de subconjuntos de X, abiertos y densos, su intersecci´on T

k∈NUk tambi´en es densa;

(b) cualquier subconjunto magro de X tiene interior vac´ıo, esto es, para cualquier suce- si´on (Ek)k∈N de conjuntos densos en ninguna parte, el interior de su uni´onS

k∈NEk es vac´ıa.

Demostraci´on. Idea de demostraci´on: aplicar las f´ormulas de De Morgan y la f´ormula X \ cl(Y ) = int(X \ Y ).

Supongamos (a) y demostremos (b). Sea (Ek)k∈N una sucesi´on de conjuntos densos en ninguna parte y sea D = S

k∈NEk. Para cada k en N pongamos Uk := X \ cl(Ek).

cl(Uk) = X \ int(cl(Ek)) = X, as´ı que (Uk)k∈N es una sucesi´on de conjuntos abiertos densos. Por la condici´on (a),

cl \

k∈N

Uk

!

= X.

Luego

int(D) = int [

k∈N

Ek

!

⊆ int [

k∈N

(X \ Uk)

!

= ∅.

Supongamos (b) y demostremos (a). Sea (Uk)k∈N una sucesi´on de subconjuntos de X, abiertos y densos. Para cada k en N pongamos Ek := X \ Uk. Entonces int(cl(Ek)) = X \ cl(int(Uk)) = ∅, as´ı que (Ek)k∈N es una sucesi´on de conjuntos densos en ninguna parte. Por la condici´on (b),

int [

k∈N

Ek

!

= ∅,

Teorema de Baire, p´agina 3 de 4

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luego

cl \

k∈N

Uk

!

= X.

10 Corolario. Sea X un espacio m´etrico completo y no vac´ıo. Entonces X no es magro.

Este corolario se utiliza en demostraciones de algunos teoremas importantes sobre ope- radores lineales acotados en espacios de Banach. A saber, lo usamos para demostrar el teorema de la transformaci´on lineal abierta y el principio de acotaci´on uniforme.

Teorema de Baire, p´agina 4 de 4

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