Repaso de conocimientos de 1 o. Cinemática de la partícula... 2

Mec´ anica Cl´ asica

Repaso de conocimientos de 1 ^o Cinem´ atica de la Part´ıcula

EIAE

4 de septiembre de 2011

Cinem´ atica de la part´ıcula. . . 2

Definiciones . . . 3

Part´ıculas y s´ olidos . . . 4

Sistema de referencia . . . 5

Definiciones . . . 6

Trayectoria . . . 7

Trayectorias: definici´ on geom´etrica . . . 8

Trayectorias: ecuaciones param´etricas . . . 9

Trayectorias: ecuaciones impl´ıcitas . . . 10

Ecuaciones horarias, ley horaria . . . 11

Ecuaciones horarias, ley horaria . . . 12

Vector velocidad . . . 13

Vector velocidad: coordenadas intr´ınsecas . . . 14

Vector velocidad . . . 15

Hod´ ografa . . . 16

Vector aceleraci´ on . . . 17

Vector aceleraci´ on: coordenadas intr´ınsecas . . . 18

Vector aceleraci´ on: coordenadas intr´ınsecas . . . 19

Vector aceleraci´ on . . . 20

Vector aceleraci´ on . . . 21

Coordenadas cil´ındricas. . . 22

Derivaci´ on de los versores: geom´etrica . . . 23

Derivaci´ on de los versores: anal´ıtica . . . 24

Vector velocidad en cil´ındricas . . . 25

Vector aceleraci´ on en cil´ındricas . . . 26

Velocidad areolar: conceptos previos . . . 27

Velocidad areolar . . . 28

Movimientos centrales . . . 29

Movimientos centrales . . . 30

Consecuencias de la ley de ´ areas . . . 31

1

^a

F´ ormula de Binet. . . 32

2

^a

F´ ormula de Binet. . . 33

Cinem´ atica de la part´ıcula

Definiciones: Cinem´ atica, punto, s´ olido

Definiciones: Sistemas de referencia, posici´ on, coordenadas Definiciones: Reposo, movimiento

Definiciones: Trayectoria, ley horaria, ecuaciones horarias Vector velocidad

Vector aceleraci´ on

Coordenadas cil´ındricas: velocidad y aceleraci´ on Velocidad areolar

Movimientos centrales:

• Definici´ on y propiedades

• F´ ormulas de Binet, 1

^a

y 2

^a

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 2 / 35

Definiciones

Cinem´ atica: Es la parte de la Mec´ anica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin entrar a considerar su causa.

Se puede ver como una extensi´ on de la Geometr´ıa en la que, adem´as de la posici´on, se considera el tiempo.

No se estudia la masa, fuerza, o energ´ıa; de eso se ocupa la Din´amica, que relaciona el resultado (movimiento) con su causa (fuerzas).

Las magnitudes fundamentales que intervienen en cada una de ellas son:

Geometr´ıa L

Cinem´ atica L T

Din´ amica L T M

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 3 / 35

Part´ıculas y s´ olidos

Cuerpo material: Cualquier objeto con masa. La Mec´ anica Cl´asica no estudia el movimiento de cuerpos de masa nula o despreciable (solo como ligaduras o para transmitir fuerzas).

Part´ıcula o Punto: Cuerpo material que se representa como un punto geom´etrico del espacio, sin considerar para nada su extensi´ on, orientaci´ on (actitud) o distribuci´on de masa.

Sin masa en Cinem´ atica, con masa en Din´ amica.

No es necesario que sean peque˜ nos: basta con que su orientaci´ on no influya en el movimiento.

En Mec´ anica Celeste, por ejemplo, se tratan los planetas como puntos.

S´ olido r´ıgido: Conjunto de part´ıculas cuyas distancias no var´ıan.

La Mec´ anica Cl´ asica no estudia los s´ olidos deformables (Resistencia de Materiales y Elasticidad) ni los fluidos (Mec´ anica de Fluidos). Excepci´ on: cables o hilos (enlaces) y muelles (fuerzas conocidas).

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 4 / 35

Sistema de referencia

En Mec´ anica Cl´ asica los cuerpos se mueven en el espacio eucl´ıdeo tridimensional, R

³

(RE: M

³⁺¹

, RG: Riemann, S/Cuerdas: 1+3+6+. . . ).

Para definir la posici´ on de una part´ıcula, se toma un

Sistema de referencia: Triedro o referencia triortogonal orientado a derechas, formado por El origen de coordenadas, un punto O ∈ R

³

Tres ejes Ox, Oy, Oz seg´ un los versores i, j, k

Unitarios i · i = 1 j · j = 1 k · k = 1 Ortogonales i · j = 0 i · k = 0 j · k = 0

A derechas k = i ∧ j

x y

z

i j

k O

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 5 / 35

Definiciones

x

y z

b

x y

z M r

O

Vector posici´ on de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz r

^M

= OM = x i + y j + z k

Coordenadas cartesianas de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz

x = r

^M

· i, y = r

^M

· j, z = r

^M

· k

Reposo de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz: sus coordenadas se mantienen constantes ∀ t

x = x

0

, y = y

0

, z = z

0

Cte. ∀ t

Movimiento de la part´ıcula M respecto a la referencia Oxyz: una o m´as coordenadas var´ıan con el tiempo

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 6 / 35

Trayectoria

x

y z

b M

r

O

Curva C del espacio, lugar geom´etrico de las posiciones sucesivas de la part´ıcula M en ejes Oxyz.

El tiempo no es necesario: la trayectoria es un concepto geom´etrico.

Se puede definir de varios modos:

definici´ on geom´ etrica: Dar los datos geom´etricos suficientes para identificar la curva en el espacio.

ecuaciones impl´ıcitas: Se dan dos ecuaciones correspondientes a superficies, cuya intersecci´on define la curva C:

f (x, y, z) = 0, g(x, y, z) = 0

ecuaciones param´ etricas: Se dan tres ecuaciones x = x(u), y = y(u), z = z(u) que determinan las coordenadas en funci´ on de un par´ ametro u.

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 7 / 35

Trayectorias: definici´ on geom´ etrica Avi´ on en vuelo circular horizon-

tal a una altura constante

Planeador en vuelo circular en una corriente ascendente (t´ermica)

Tiro parab´olico en el vac´ıo

x

y z

b b

M O

x y

z

b

M

O

x

y z

b M

O

Circunferencia horizontal de centro (0, 0, h) y radio R

H´elice circular, eje Oz, pasa por (R, 0, 0), pendiente α

Par´abola que pasa por tres puntos dados

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 8 / 35

Trayectorias: ecuaciones param´ etricas

x

y z

b b

M O

θ

x y

z

b

M

O

θ

x

y z

b M

O

x = R cos θ y = R sin θ z = h

x = R cos θ y = R sin θ z = Rθ tan α

x = 0

y = v

₀

cos α u z = v

₀

sin α u −

^gu₂²

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 9 / 35

Trayectorias: ecuaciones impl´ıcitas

x

y z

x

y z

x

y z

x

²

+ y

²

= R

²

z = h

x

²

+ y

²

= R

²

tan

_{Rtan α}^z

=

^y_x

x = 0 z =

_{cot α}^y

−

_2v2^gy2

0cos α²

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 10 / 35

Ecuaciones horarias, ley horaria

Ecuaciones horarias: Ecuaciones param´etricas de la trayectoria, tomando como par´ametro el tiempo: x(t), y(t), z(t)

Ley horaria: (sentido amplio) par´ ametro u de las ecuaciones param´etricas de la trayectoria, como funci´ on del tiempo : u(t)

Ley horaria: (sentido estricto) par´ ametro natural s de las ecuaciones param´etricas de la trayectoria (longitud de arco recorrido), como funci´ on del tiempo: s(t)

Trayectoria x(u), y(u), z(u)

x(s), y(s), z(s) +

Ley horaria u(t) s(t)

⇒

Ecuaciones horarias x(t), y(t), z(t) x(t), y(t), z(t)

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 11 / 35

Ecuaciones horarias, ley horaria

x

y z

b b

M

O

θ s

x y

z

b

M

θ

x

y z

b M

O

x = R cos ω t y = R sin ω t z = h

x = R cos ω t y = R sin ω t z = Rω t tan α

x = 0

y = v

₀

cos α t z = v

₀

sin α t −

^g₂^t2

θ = ω t

s = Rω t

θ = ω t

s =

^Rω

t cosα

α Rωt

Rωttanα

u = t s = . . .

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 12 / 35

Vector velocidad

Vector velocidad de un punto M relativa a un sistema de referencia es la derivada respecto al tiempo de su vector posici´ on en esos ejes,

considerados como fijos .

v

^M

= l´ım

∆t→0

r

^M

(t + ∆t) − r

^M

(t)

∆t = dr

^M

dt = ˙r

^M

x

y z

b v

M

r

O

Siempre se define respecto a unos ejes determinados, pero puede proyectarse en otros distintos Conocidas las ecuaciones horarias en ejes fijos, su c´ alculo es trivial:

r

^M

= OM = x(t) i + y(t) j + z(t) k

v

^M

= ˙r

^M

= ˙x i + ˙y j + ˙z k + x

˙i + y

˙j + z ^{ } ˙k =

= v

^M

= ˙x i + ˙y j + ˙z k

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 13 / 35

Vector velocidad: coordenadas intr´ınsecas

∆t→0

l´ım

r(t + ∆t) − r(t)

∆t = l´ım

∆t→0

∆r

∆t = d r d t = ds

dt · d r

ds = ˙s ~τ = v = v ~τ

˙s = v = |v| = p

˙x

²

+ ˙y

²

+ ˙z

²

|~τ | = 1

r(t)

r(t+∆t)

∆r t

t+ ∆t

∆r Vector unitario tan-

gente ~τ

∆r

∆s

M ~τ

v(t)

r(t)

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 14 / 35

Vector velocidad

x y

z

b b

M

~

O τ v

θ s

r=





 Rcos ωt Rsin ωt

h







v= Rω







− sin ωt cos ωt

0







˙s=v= Rω

~ τ=







− sin ωt cos ωt

0







x y

z

b

M

~

τ v

θ

r=







Rcos ωt Rsin ωt Rωttan α







v= Rω







− sin ωt cos ωt tan α







˙s=v= _{cos α}^Rω

~τ= cos α







− sin ωt cos ωt tan α







x y

z

b

M

~τ v

O

r

=







0 v

0

cos α

t

z

0

+ v

0

sin α

t

−

^gt2

2







v

=





 0 v

0

cos α v

0

sin α − g

t







˙s

= pv

0²

− 2v

0

sin αg

t

+ g

²t²

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 15 / 35

Hod´ ografa

Hod´ ografa Es la curva descrita por el extremo de un vector equipolente al vector velocidad, llevado al origen (indicatriz).

Si se considera el vector velocidad como vector posici´ on de un punto, la Hod´ografa ser´ıa la trayectoria de este punto ficticio. No aparece el tiempo.

x y

z

b b

M

~

O τ v

θ s

v= Rω







− sin ωt cos ωt

0







˙x ˙y

˙z

ϕ

x y

z

b

M ~τ v

θ

v= Rω







− sin ωt cos ωt tan α







˙x ˙y

˙z

ϕ

v

x y

z

b

M

~ τ O v

v=





 0 v0cos α v0sin α − gt







˙x ˙y

˙z

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 16 / 35

Vector aceleraci´ on

Vector aceleraci´ on de un punto M relativa a un sistema de referencia es la derivada respecto al tiempo de su vector velocidad en esos ejes,

considerados como fijos .

a

^M

= dv

^M

dt = d

²

r

^M

dt

²

= ˙v

^M

= ¨r

^M

x

y z

b v

M r

O a

Siempre se define respecto a los mismos ejes que la velocidad, pero puede proyectarse en otros.

Conocidas las ecuaciones horarias en ejes fijos, su c´ alculo es trivial

v

^M

= ˙x(t) i + ˙y(t) j + ˙z(t) k

a

^M

= ˙v

^M

= x ¨ i + y ¨ j + z ¨ k + ˙x

˙i + ˙y

˙j + ˙z   ˙k =

= a

^M

= x ¨ i + y ¨ j + z ¨ k

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 17 / 35

Vector aceleraci´ on: coordenadas intr´ınsecas a = l´ım

∆t→0

∆v

∆t = d v d t = d

dt ( ˙s ~τ ) = ¨ s ~τ + ˙s ˙~τ = a

t

+ a

n

= s ¨ ~τ + v

²

ρ ~n

˙~τ = d s d t · d ~τ

d s = ˙s ~τ

^′

= ˙s ρ ~n = v

ρ ~n = v ~κ

dϕ ρ

~τ + d~τ

~τ ~τ + d~τ

|d~τ | = |~τ| · dϕ = 1 ·

^ds_ρ

ds

ρ

dϕ =

^ds_ρ

= ds κ

( Tangencial: a

_t

= s ¨ ~τ = ˙v ~τ Normal: a

n

=

^˙s_ρ²

~n = v

²

κ ~n

~n

a

t

a

n

a

M

~

τ v(t)

~n en Mec´ anica: hacia el centro de curvatura

~n en Geometr´ıa Diferencial: (~τ, ~n) a derechas.

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 18 / 35

Vector aceleraci´ on: coordenadas intr´ınsecas

v a

a

t

a

_n

a ∧ v

Conocidas a y v, las componentes intr´ınsecas se obtienen usando el desarrollo del producto triple

⊥v

z }| {

v ∧ (a ∧ v) = v

²

a −

kv

z }| { (a · v) v

a

t

= (a · v) v

v

²

|a

t

| = ˙v = |a · v|

v a

_n

= v ∧ (a ∧ v)

v

²

|a

n

| = v

²

ρ = |a ∧ v|

v

Intr´ınsecas: se ve el sentido f´ısico de cada t´ermino:

v = v ~τ

a

_t

= ˙v ~τ Var´ıa el m´odulo de v ( T 0) a

n

=

^v_ρ²

~n Var´ıa la direcci´ on de v ( ≧ 0)

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 19 / 35

Vector aceleraci´ on

x y

z

b b

M

~ τ a n

O v

θ s

v= Rω







− sin ωt cos ωt

0







a= Rω²







− cos ωt

− sin ωt 0







v= Rω ˙v= 0 a= 0 ·~τ+^v_R²n

a≡an ρ= R

x y

z

b

M

~ τ n a

v θ= ωt

v= Rω







− sin ωt cos ωt tan α







a= Rω²







− cos ωt

− sin ωt 0







v=_{cos α}^Rω ˙v= 0 a= 0 ·~τ+^v_R²n

a≡an ρ=_cos^R_2α

x y

z

b

M

~ τ O v

a

r=







0 v0cos αt z0+ v0sin αt−^g₂^t2







v=





 0 v0cos α v0sin α − gt







a=





 0 0

−g







˙s=q

v²₀− 2v0sin αgt+ g²t²

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 20 / 35

Vector aceleraci´ on

x

y z

b bM

O

r

θ s

x y

z

b b

O

~τ

v

θ s

x

y z

b b

τ n a_n

a_t a

τ n a_t

> 0

a_n

˙v

> 0

τ n

a_t

< 0

a_n

˙v

< 0

Un punto se mueve con velocidad de m´ odulo variable

v(t); su trayectoria es una circunfe-

rencia horizontal de radio R y centro a una altura h.

˙s

=

v

→

s

=

Z

t 0

v(t) dt

→

r

= R





 cos

s/R

sin

s/R

h







θ

=

s

R

v

=

˙r

=

˙s







− sin

s/R

cos

s/R

0







=

v~τ

a

=

˙v

=

s¨







− sin

s/R

cos

s/R

0





 +

^s˙_R²







− cos

s/R

− sin

s/R

0







=

˙v~τ

+

^v_ρ²n

Coordenadas cil´ındricas

Plano π que contiene a M y a Oz Coordenadas cartesianas r, z en π Coordenada θ : ∠ ( π , Oxz)

Versores en las direcciones en que crecen las coordenadas:

m´oviles

z }| { u

r

, u

θ

,

cte.

z}|{ u

z

Polares: cil´ındricas sin z, planas

y z

π

x

θ

M

z

r u_θ

u_r

u

_z

O

r

r

^M

= r u

r

+ z u

z

= r cos θ i + r sin θ j + z k v

^M

= ˙r u

_r

+ r ˙u

_r

+ ˙z k = ˙r u

_r

+ r ˙θ u

_θ

+ ˙z k a

^M

= 

¨

r − r ˙θ

²



u

_r

+ 

r ¨ θ + 2 ˙r ˙θ 

u

_θ

+ z ¨ k

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 22 / 35

Derivaci´ on de los versores: geom´ etrica

π

θ θ

∆uθ ∆θ uθ

u^r u^r

+∆u^r

∆ur

O y

x

ur u_θ

∆θ 1

1

∆ur

˙u

r

= du

r

dt = l´ım

∆t→0

∆u

r

∆t =

=



∆t→0

l´ım

|∆u

r

|

∆t

 u

_θ

=



∆t→0

l´ım

∆θ

∆t



u

_θ

= ˙u

r

= ˙θ u

_θ

∆t→0

l´ım

∆u

θ

∆t =



∆t→0

l´ım

|∆u

θ

|

∆t



(−u

r

) =

=



∆t→0

l´ım

∆θ

∆t



(−u

r

) = ˙u

θ

= − ˙θ u

r

π

θ θ

∆θ

∆θ u_θ

u^r

O y

x

˙ ur

˙ u_θ

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 23 / 35

Derivaci´ on de los versores: anal´ıtica

Proyectar en ejes fijos, y derivar:

u

r

= cos θ i + sin θ j u

θ

= − sin θ i + cos θ j

M π

θ θ

uθ

u^r O

y

x

        

˙u

r

= ˙θ

uθ

z }| {

− sin θ i + cos θ j

˙u

θ

= ˙θ − cos θ i − sin θ j

| {z }

−ur

        

⇒ ˙u

r

= ˙θ u

θ

˙u

_θ

= − ˙θ u

r

que coincide con las expresiones obtenidas anteriormente.

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 24 / 35

Vector velocidad en cil´ındricas

Se deriva el vector posici´ on teniendo en cuenta las deri- vadas de los versores m´ oviles, ˙u

_r

= ˙θ u

_θ

:

r

^M

= r u

r

+ z u

z

v

^M

= ˙r u

r

+ r ˙u

r

+ ˙z u

z

=

= ˙r u

r

+ r ˙θ u

θ

+ ˙z u

z

x

y z

r ˙θ

b

˙r

˙z

M

O

r θ

z

v

^M

= ˙r u

_r

+ r ˙θ u

_θ

+ ˙z u

_z

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 25 / 35

Vector aceleraci´ on en cil´ındricas

Se deriva el vector velocidad, teniendo en cuenta las deri- vadas de los versores m´ oviles, ˙u

_r

= ˙θ u

_θ

, ˙u

_θ

= − ˙θ u

_r

:

v

^M

= ˙r u

r

+ r ˙θ u

θ

+ ˙z u

z

a

^M

= r ¨ u

r

+ ˙r ˙u

r

+ ˙r ˙θ u

_θ

+ + r ¨ θ u

θ

+ r ˙θ ˙u

θ

+ z ¨ u

z

=

x

y z

b

¨ r

−r ˙θ²

r ¨θ

¨ z

2˙r ˙θ

˙r r ˙θ

˙z

M

O

r θ

z

= ¨ r u

r

+ ˙r ˙θ u

θ

+ ˙r ˙θ u

θ

+ r ¨ θ u

θ

− r ˙θ ˙θ u

θ

+ z ¨ u

z

= a

^M

= 

¨

r − r ˙θ

²

 u

r

+ 

r ¨ θ + 2 ˙r ˙θ 

u

_θ

+ z ¨ u

z

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 26 / 35

Velocidad areolar: conceptos previos

Area de un tri´ ´ angulo en el espacio, con un v´ertice en el origen:

A = 1

2 r ∧ ∆r Vector normal al tri´ angulo, de m´ odulo

|A| = 1

2 |r| · |∆r| sin α = 1 2 b h

x

y z

A

r ∆r

r

α

∆r h

Se usar´ an para definir la velocidad areolar: concepto abstracto, pero muy ´ util en movimientos centrales

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 27 / 35

Velocidad areolar

Area barrida por un punto en un tiempo ∆t ´

∆A = 1

2 r ∧ ∆r

Velocidad areolar: ´ area barrida por un m´ ovil en la unidad de tiempo:

v

ar

= l´ım

∆t→0

∆A

∆t = 1

2 r ∧ l´ım

∆t→0

∆r

∆t =

v

_ar

= 1 2 r ∧ v

x

y z

b

∆A

r ∆r

x

y z

b

var

r v

Aceleraci´ on areolar:

a

ar

= dv

ar

dt = 1

2 ( ^ v ∧ v + r ∧ a) ⇒ a

ar

= 1 2 r ∧ a

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 28 / 35

Movimientos centrales

x

y z

b

v

r

a C

x

y z

b

var

r v

El vector aceleraci´ on pasa siempre por un punto fijo, el Centro.

La velocidad areolar respecto al Centro es un vector constante (r k a)

˙v

ar

=

¹₂

r ∧ a = 0 ⇒ v

ar

= ~ Cte.

Son movimientos planos

r ∧ v = 2 v

ar

= ~ Cte. ⇒ r ⊥ ~ Cte.

r · ~ Cte. = 0 ⇒ A x + B y + C z = 0

Coordenadas polares en el plano del movimiento, origen (polo) en el Centro

a = a

r

u

_r

+  a

θ

u

_θ

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 29 / 35

Movimientos centrales

Velocidad areolar en cartesianas:

v

_ar

=

¹₂

     

i j k

x y 0

˙x ˙y 0      

=

¹₂





 0 0 x ˙y − y ˙x







x

y z

b

var

r v θ

Velocidad areolar en polares: Ley de ´ areas

v

ar

=

¹₂

     

u

r

u

θ

u

z

r 0 0

˙r r ˙θ 0      

=

¹₂





 0 0 r

²

˙θ







⇒ r

²

˙θ = C (Cte. de ´areas)

Por otro camino:

a

_θ

= r ¨ θ + 2 ˙r ˙θ = 0 −→

^r·

r

²

θ ¨ + 2r ˙r ˙θ = d

dt r

²

˙θ = 0 → r

²

˙θ = C

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 30 / 35

Consecuencias de la ley de ´ areas

˙θ no cambia de signo: r

²

˙θ = C

 r

²

> 0 ⇒ ˙θ 6= 0

˙θ = 0 ⇒ r → ∞

¡No!

bb

θ˙ +

- 0

0

˙θ→0

r→∞

Trayectoria r(θ) y C determinan v, a → F´ ormulas de Binet

b b

θ r C r =r ˙θ

τ

r²˙θ= C → r ˙θ=^C_r =vθ(θ)

r(θ) → τ(θ)

b b

θ r

r ˙θ τ v

r ˙θ τ(θ)



→ v(θ)

θ=˙ _r2^C

−→ a(θ)

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 31 / 35

1

^a

F´ ormula de Binet

Conocidas r(θ) y C, hallar v(θ) , o v(θ) Usar r

^{2 dθ}_dt

= C para eliminar t : dθ =

_r^C2

dt

v = dr

dt u

_r

+ r ˙θ u

_θ

= dr dθ

C

r

²

u

_r

+ r C r

²

u

_θ

Introduciendo

^dr_{dθ r}¹2

= −

_dθ^{d 1}_r

, queda m´ as compacto:

v = −C d dθ

 1 r



u

r

+ C

r u

θ

⇒ v

²

= C

²

"

d dθ

 1 r



2

+  1 r



2

#

1

^a

F´ormula de Binet

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 32 / 35

2

^a

F´ ormula de Binet

Conocidas r(θ) y C, hallar a(θ) (solo a

r

, pues a

θ

= 0 ).

Usar r

^{2 dθ}_dt

= C para eliminar t : dθ =

_r^C2

dt

^a

a = a

r

= d

²

r

dt

²

− r ˙θ

²

= d

dt ˙r − r  C r

²



2

=

= d dθ

h

−C

_dθ^{d 1}_r

i C r

²

− C

²

r

³

=

a = − C

²

r

²

 d

²

dθ

²

 1 r

 +  1

r



2

^a

F´ormula de Binet

a

No se puede sustituir en la derivada 2

^a

, solo en la 1

^a

b

Otro camino: derivar

v

(θ) y eliminar

t. Pero se pierde tiempo calculandoaθ

.

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 33 / 35

Ejemplo: problema de Kepler

Aplicar la 2

^a

f´ ormula de Binet a la aceleraci´ on gravitatoria:

F = m a = − GM m

r

²

u

r

(GM = µ) a = − µ r

²

− µ

r

²

= − C

²

r

²

 d

²

dθ

²

 1 r

 +  1

r



Cambio: 1 r = u

u

^′′

+ u =

_C^µ2







Homog´enea: u

_h

= A cos (θ + ϕ) Particular: u

p

=

_C^µ2

r = 1 u

c

= 1

u

p

+ u

h

= 1

µ

C²

+ A cos (θ + ϕ)

r = C

²

/µ

1 +

^AC_µ²

cos (θ + ϕ) = p

1 + e cos (θ + ϕ)

Ecuaci´on polar de una c´onica

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 34 / 35

Ejemplo: problema de Kepler

C´ onica: la distancia r de un punto P de la curva a un punto fijo (Foco), partida por la distancia de P a una recta fija (Directriz) es una constante (excentricidad):

r

D − r cos θ = e ; r =

p

z}|{ eD − er cos θ →

→ r = p

1 + e cos θ

b

b

F r

P

D θ

Directriz

p

b

e = 0 Circunferencia e < 1 Elipse

e = 1 Par´abola r(π) → ∞

e > 1 Hip´erbola r(arccos

⁻¹_e

) → ∞

EIAE - Mec´ anica Cl´ asica 35 / 35