a 1. x 1 + a 2 x a n.x n =

(1)

TEMA 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.1 – ECUACIÓN LINEAL

1.1.1 – DEFINICIÓN: Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado uno con una o varias incógnitas:

1.1.2 – ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución o soluciones.

“Si a los miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la primera”.

1.1.3 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de las incógnitas que la cumplen.

Llamamos grados de libertad o de incertidumbre al número de incógnitas menos uno y es el número de parámetros que debemos utilizar para resolver la ecuación.

Solución general

Soluciones particulares: Dándoles valores a los parámetros obtenemos las soluciones particulares.

coeficientes incógnitas Término

independiente a

_{1 .}

x

₁

+ a

₂

x

₂

+ … + a

_n

.x

_n

= b





















...

3 y 2 x

12 y 8 x 4 6 y 4 x 2

solución 2 !

x 5 0 l . g 5 x

2       

soluciones infinitas

Existen R

5 2 y 1 x l . g 5 y x

2  













 









soluciones inita

inf R

, 5 2 5 z y x 2

l . g 5 z y 5 x

2      

 

 































(2)

1.1.4 – INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

 Dos incógnitas: ax + by = c  Una recta en el plano 

 Tres incógnitas: ax + by + cz = d  Un plano en el espacio 

 Más de tres incógnitas  “Hiperplanos”

1.2 – SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1.2.1 – DEFINICIÓN: Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es un conjunto de ecuaciones como:

1.2.2 – SISTEMAS EQUIVALENTES

Coeficientes del sistema

incógnitas n

incógnitas

términos independientes

(3)

Transformaciones que convierten un sistema en otro equivalente:

I. Intercambiar entre si dos ecuaciones (ordenarlas)











 













3 y x 2

5 y 4 x 5 y 4 x

3 y x 2

II. Multiplicar ambos miembros de una ecuación por un número, distinto de cero.











 













4 y x 2

6 y 4 x 2 4 y x 2

3 y 2 x

III. Añadir (suprimir) una ecuación que sea combinación lineal de las demás .

































7 y x 3

4 y x 2

3 y 2 x 4 y x 2

3 y 2 x

IV. Sustituir una ecuación por el resultado de sumarle una combinación lineal de las demás.











 













7 y x 3

3 y 2 x 4 y x 2

3 y 2 x

1.2.3 – SOLUCIÓN DE UN SISTEMA

Una solución de un sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, s3, … , sn) tales que:

Resolver un sistema es encontrar todas sus soluciones o decidir que no tiene ninguna.

1.2.4 – SOLUCIONES





 

















m n mn 2

2 m 1 1 m

2 n n 2 2

22 1 21

1 n n 1 2

12 1 11

b x . a ...

x . a x . a ...

b x . a ...

x . a x . a

b x . a ...

x . a x . a





 

















m n mn m

m

n n

b s a s

a s a

b s a s

a s a

b s a s

a s a

. ...

. .

...

. ...

. .

. ...

. .

2 2 1

1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

(4)

 Discutir un sistema es decidir a cuál de estas tres categorías pertenece.

 Un sistema de ecuaciones lineales no puede tener exactamente dos soluciones, tres soluciones, cuatro soluciones,… (Tiene una solución, infinitas o ninguna)

1.2.5 – INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

 Sistema de ecuaciones con 2 incógnitas : Posición relativa de rectas en el plano.

 Sistema Compatible determinado: Se cortan en un punto

 Sistema Compatible indeterminado: Rectas coincidentes

 Sistema Incompatible: Rectas paralelas

 Sistema de ecuaciones con 3 incógnitas: Posición relativa de planos en el espacio.

 Sistema Compatible determinado: Se cortan en un punto.

 Sistema Compatible indeterminado:

 1 grado de libertad: Se cortan en una recta

 2 grados de libertad: Se cortan en un plano (planos coincidentes)

 Sistema Incompatible: No se cortan

1.3 – SISTEMAS HOMOGÉNEOS

 Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos los términos independientes son 0. (En caso contrario, algún término independiente no nulo, no es homogéneo)

 Estos sistemas son siempre compatibles ya que x₁ = x₂ = … = x_n = 0, llamada solución trivial, es siempre solución del sistema.

 Será determinado si ésta es la única solución del sistema.

1.4 – SISTEMAS ESCALONADOS

Un sistema escalonado es aquel en el que los coeficientes de las incógnitas situados por debajo de la diagonal principal (elementos que repiten subíndice) son nulos:

Los sistemas escalonados son fácilmente resolubles (De abajo a arriba)























0 x

. a

...

x . a

x . a ...

0 x

. a ...

x . a x

. a

0 x

. a ...

x . a x

. a

n mn

2 2 m 1

1 m

n n 2 2

22 1

21

n n 1 2

12 1

11



























5 2 0 0

14 8

3 0

9 2

z y x



























5 z 2

14 z 8 y 3

9 z 2 y x

(5)

 Sistema escalonado compatible determinado

 Sistema escalonado compatible indeterminado

 Sistemas incompatibles

Este sistema es incompatible porque no hay ninguna solución (x,y,z) que pueda cumplir la tercera ecuación (la última ecuación no tiene sentido).

1.5 – MÉTODO DE GAUSS

Para convertir un sistema en un sistema escalonado:











































m n mn

2 n n 2 3

23 2 22

1 n n 1 3

13 2 12 1 11

m n mn 3

3 m 2 2 m 1 1 m

2 n n 2 3

23 2 22 1 21

1 n n 1 3

13 2 12 1 11

b x a ....

b x a ...

x a x a

b x a ...

x a x a x a

b x a ...

x a x a x a ....

b x a ...

x a x a x a

b x a ...

x a x a x a



























m mn

3 n 3 33

2 n 2 23

22

1 n 1 13

12 11

m mn 3

m 2 m 1 m

3 n 3 33

32 31

2 n 2 23

22 21

1 n 1 13

12 11

b a ...

0 0 0

...

b a ...

a 0 0

b a ...

a a 0

b a ...

a a a

b a ...

a a a

...

b a ...

a a a

b a ...

a a a

b a ...

a a a

Haciendo ceros debajo de la diagonal (en la columna Ci con la fila Fi)

 

 























5 0

14 z

8 y 3

9 z 2 y x

 

 























5 0

14 z

8 y 3

9 z 2 y x

 

 





















5 z 2

14 z

8 y 3

9 z 2 y x



















 























2 z 5

3 2 20 14 3

z 8 y 14

6 5 2 9 z 2 y 9 x

(x,y,z) = (6,-2,-5/2)

 

















14 z

8 y 3

9 z 2 y x

z

3 14 8 3

14 z y 8

3 2 2 13

3 14 9 8

z 2 y 9 x



















 

 



 



 

 









R 3 ,

14 ,8 3

2 ) 13 z , y , x

(  



 



    



(6)

Tipos de sistemas























0 0 0

_ _ 0

0

_ _ _ 0

_ _ _ _

















arriba abajo de Resolver :

Solución

solución

! o determinad compatible

Sistema :

ión Clasificac

0 4 - 4 ecuac Nº - incog Nº g.l incógnitas Nº

ecuaciones Nº

















_ _ 0

0

_ _ _ 0

_ _ _ _



















) de valor el incógnitas las

de una a (dándole arriba

abajo de Resolver :

Solución

soluciones infinitas

ado indetermin compatible

Sistema :

ión Clasificac

1 3 - 4 ecuac Nº - incog Nº g.l incógnitas Nº

ecuaciones Nº

















* 0 0 0 0

_ _ _ 0

_ _ _ _





 

solución tiene

No : Solución

le Incompatib Sistema

: ión Clasificac

resolver puede

se No 0

Nota: Si al triangularizar hay un “rectángulo de ceros” hay que continuar haciendo ceros:

Hacer un cero “aquí

1.6.1 – GAUSSS: COMPATIBLE DETERMINADO Ejemplo:

Clasificación: Sistema compatible determinado   ! solución Solución: (x,y,z) = (6,-2,-5/2)

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en un punto.

















1 6 1 2

4 4 1 2

9 2 1 1

















1 6

1 2

4 4 1 2

9 2 1

1 

















19 10

3 0

14 8

3 0

9 2 1

1

















5 2 0 0

14 8

3 0

9 2 1 1

1 2

2

F 2 F

F  

Hacer ceros

2 3

3 F F

F  

























5 z 2

14 z 8 y 3

9 z 2 y x



















 























2 z 5

3 2 20 14 3

z 8 y 14

6 5 2 9 z 2 y 9 x

Hacer ceros

1 3

3

F 2 F

F  











 

_ _ _ 0 0

_ _ _ _











 

_ _ 0 0 0

_ _ _ 0 0

_ _ _ _

(7)

1.6.2 – GAUSS: COMPATIBLE INDETERMINADO Ejemplo:

Clasificación: Sistema compatible indeterminado   infinitas soluciones

Solución:

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

1.6.3 – GAUSS: INCOMPATIBLE Ejemplo

Clasificación: Sistema Incompatible Solución: No existe solución

Interpretación geométrica: Tres planos que no se cortan.























22 y x 4

4 z 4 y x 2

9 z 2 y x

















22 0 1 4

4 4 1 2

9 2 1 1

















14 8

3 0

14 8

3 0

9 2 1

1

















0 0 0 0

14 8 3 0

9 2 1 1

1 2

2

F 2 F

F  

Hacer ceros

2 3

3 F F

F  



















14 z 8 y 3

9 z 2 y

x

z

3 14 8 3

14 z y 8

3 2 2 13

3 14 9 8

z 2 y 9 x



















 

 



 



 

 







 1 3

3

F 4 F

F  

















1 4 1 2

4 4 1 2

9 2 1 1

















1 4 1 2

4 4 1 2

9 2 1 1

















19 8

3 0

14 8

3 0

9 2 1 1

















5 0 0 0

14 8 3 0

9 2 1 1

1 2

2

F 2 F

F  

Hacer ceros Hacer ceros

2 3

3 F F

F  

























5 0

14 z 8 y 3

9 z 2 y x

R

3 , 14 ,8

3 2 ) 13

z , y , x

(  



 



    



1 3

3

F 2 F

F  

(8)

1.6.4 – CASO ESPECIAL Ejemplo:

Clasificación: Sistema compatible indeterminado   infinitas soluciones Solución: (x,y,z) = (2 - , , 1)    R

Interpretación geométrica: Tres planos que se cortan en una recta

1.6 – RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Se identifican las incógnitas

2. Se expresa el enunciado del problema mediante sistemas de ecuaciones.

3. Se resuelve el sistema (Gauss)

4. Se comprueba que las soluciones del sistema tienen sentido con respecto al enunciado del problema.

1.7 – SISTEMAS CON PARÁMETROS

1. Se ordenan las ecuaciones e incógnitas. El parámetro lo más abajo y la derecha posible.

2. Se aplica el método de Gauss teniendo en cuenta que la fila que cambiamos no podemos multiplicarla por el parámetro.