ANEXO 2 LA TRANSFORMADA WAVELET

LA TRANSFORMADA WAVELET

ANEXO 2

LA TRANSFORMADA WAVELET

LaTransformada Wavelet es un útil conjunto de herramientas y técnicas que permite tratar, procesar y evaluar de forma robusta y eficiente gran variedad de señales de nuestro entorno, desde señales sísmicas hasta música y voz, pasando por las imágenes médicas y señales biológicas.

A2.1.- ORIGEN

En los últimos años han surgido, y continúan en desarrollo, distintos métodos y técnicas de procesamiento digital, para la detección y evaluación de señales biológicas, como es el caso de la señal ECG. Entre estos métodos destacan [5] los basados en el estudio de las distribuciones tiempo-frecuencia tales como la Transformada de Fourier de Corto Tiempo (STFT), o la Transformada Wavelet (WT).

El concepto de “wavelet” significa “onda pequeña”, y mientras que las senoides son suaves, regulares e infinitas, las wavelets son irregulares y asimétricas. Al igual que la Transformada de Fourier (FT) consiste en descomponer una señal en ondas senoidales de diversas frecuencias, la Transformada Wavelet (WT) consiste en trocear una señal en versiones escaladas y desplazadas de una wavelet a la que llamamos wavelet madre.

La Transformada Wavelet surge como evolución de la conocida Transformada de Fourier, y para suplir sus carencias en lo que al dominio del tiempo se refiere. Además, la FT fue ideada para aplicarse a señales estacionarias, periódicas y finitas, lo cual descarta a gran

parte de las señales que pudieran ser captadas en un entorno real. En resumen, los problemas presentados por la FT que se plantea resolver son:

Como paso intermedio entre la Transformada de Fourier y la Wavelet, Denis Gabor (1946), idea la STFT (Short Time Fourier Transform), buscando un compromiso entre las representaciones de la señal en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia, logrando una localización temporal de las componentes espectrales [5]. Consiste en enventanar la señal, dividirla en pequeños segmentos, de forma que pueda asumirse su estacionariedad y después se le aplica la FT normal a cada ventana. Se obtiene una representación tiempo – frecuencia de la señal, que permite conocer el valor de sus componentes armónicas y también su ubicación temporal.

Esto supone un avance, también la aparición de más problemas, especialmente respecto al tamaño de las ventanas: a ventanas más estrechas, mejor representación en el tiempo, pero peor en frecuencia; lo contrario ocurre con ventanas grandes. Además, la STFT no proporciona un método numérico para la reconstrucción o transformada inversa. Un resumen de las carencias de la STFT se muestra a continuación:

• Por el principio de incertidumbre de Heisenberg, cuanto más estrecha sea la ventana, mejor es la resolución en el tiempo, pero peor en frecuencia. Además si la ventana es ancha ocurre lo contrario entre frecuencia y tiempo y con el peligro añadido de violar la condición de estacionariedad. Por tanto, si la ventana es estrecha se “ciegan” las bajas frecuencias, porque las frecuencias necesitan tiempo para oscilar y poder ser detectadas.

• El dilema del enventanado: es difícil decidir la anchura de la ventana para el análisis, cuántas anchuras diferentes usar, cómo superponer las ventanas, etc.

• Por el contrario a la FT, la STFT no proporciona forma numérica de reconstruir la señal tras la transformación.

El siguiente paso es la definición de la Trasformada Wavelet, que mantiene el enventanado, pero asumiendo la posibilidad de que las ventanas tomen anchuras variables,

• Fue definida para señales estacionarias, periódicas e infinitas.

• En el dominio de la frecuencia no hay información disponible del tiempo.

• Es imposible decir el instante de tiempo en el que tiene lugar un evento particular a una frecuencia concreta.

Merece la pena destacar la versatilidad que otorga el trabajar con enventanado con regiones variables. En fragmentos de señal en los que interese información precisa de baja frecuencia, basta con tomar una ventana muy ancha; al contrario cuando requiramos más información de alta frecuencia. Se consigue así un método de trabajo más organizado en tiempo-frecuencia:

Fig A2.1.- Embaldosamiento frecuencia-tiempo de las transformaciones de Fourier, STFT y Wavelet.

Esto favorece especialmente el tratamiento de señales que contienen componentes armónicas de alta frecuencia durante intervalos de tiempo cortos, y componentes armónicas de baja frecuencia durante la mayor parte del tiempo.

Otra característica de la WT que la hace más adecuada que la FT para el procesamiento de señales reales directamente extraídas de nuestro entorno es que, en lugar de emplear una descomposición de las señales en una colección de senoides de distintas frecuencias, descompone estas señales, irregulares y con cambios bruscos, en “wavelets” así mismo irregulares. La aptitud de un método de transformación para procesar una determinada señal se puede medir en función de la correlación existente entre dicha señal de interés y la función en la que se basa la descomposición. La ventaja de la Transformada Wavelet es, por tanto, que sus funciones base se adaptan mejor a las características de las señales reales que las senoides en las que se basa la Transformada de Fourier.

Fig A2.2.- Función base de la transformada de Fourier (senoide) y ejemplo de función base de la transformada Wavelet (db10) de la familia Daubechies.

A2.2.- TRANSFORMADA WAVELET CONTINUA:

Si hacemos una comparación entre la FT y la Transformada Wavelet, laTransformada Continua de Fourier se calcula mediante la expresión:

(Ecuación A2.1)

Es decir, como ya se avanzó en el capítulo anterior, la trasformada continua de Fourier descompone la señal en senoides de distintas frecuencias. Gráficamente:

Fig A2.3.- representación de la descomposición temporal de la señal en senoides de distintas frecuencias, según la Transformada de Fourier.

La expresión matemática de la Transformada Wavelet Continua (CWT) se define como la suma para todo instante de tiempo de la señal f(t) multiplicada por versiones escaladas y desplazadas de una función wavelet base ? :

∫

∞

−

Ψ

= f t escala posicion dt posicion

escala

Coef( , ) ( ) ( , )

Es decir, el procedimiento es análogo al de la FT: la señal se descompone en versiones escaladas y desplazadas de la función base escogida, que en lugar de ser una senoide será la función wavelet madre escogida. Gráficamente:

Fig A2.4.- representación de la descomposición temporal de la señal en wavelets madre escaladas y desplazadas, según la Transformada Wavelet-.

El resultado de la CWT son loscoeficientes wavelet, función de la escala y la posición.

A partir de ellos puede reconstruirse la señal original.

Existe una correspondencia entre elescalado de las wavelets y la frecuencia:

• Escalado pequeño => wavelet comprimida => capta los detalles que cambian rápidamente => altas frecuencias.

• Escalado grande => wavelet expandida => capta los detalles que cambian lentamente

=> bajas frecuencias.

Fig A2.5.- Correspondencia de la frecuencia de la señal y el escalado de la wavelet madre.

A2.3.- TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA:

La WT tiene como fin tratar gran variedad de señales para su transmisión, estudio,… La mayor parte de las señales de interés que será necesario manejar se almacenan en formato digital, más eficiente y manejable. En caso de ser señales directamente captadas del entorno, lo más frecuente es que, antes de pasar a la etapa de procesamiento, las señales sean preprocesadas, muestreadas y digitalizadas.

Para aplicar la transformación Wavelet a señales discretas nace la Transformada Wavelet Discreta (DWT), que, además, resuelve los problemas de redundancia y de definición analítica de las funciones wavelet que sufre la CWT . Por tanto, es más frecuente el empleo de la DWT; concretamente, en el tratamiento de señales electrocardiográficas, se empleará la DWT, ya que las señales de las que disponemos gracias a las bases de datos están digitalizadas.

Además, en los sistemas de monitorización remota cuyo estudio nos ocupa la señal se procesará en forma de muestras previamente digitalizadas, también.

Su expresión matemática es la siguiente:

∫

=

R

a dt b t t a

s b a

C 1 ( )

) ( ) ,

( ψ (Ecuación A2.2)

, donde a representa la escala y b el desplazamiento.

La principal diferencia con la CWT radica en que se escogerán desplazamientos y escalados potencia de dos, para un análisis mucho más eficiente y preciso.

A2.3.1.- Descomposición Wavelet:

En la mayor parte de las aplicaciones se tiene diferente interés en los contenidos de alta o baja frecuencia de las señales. Dado que el enventanado escogido para aplicar la DWT dependerá de las componentes de interés, podemos establecer una clasificación de la información conseguida en cada caso. Por tanto, los coeficientes Wavelet resultantes de la descomposición podrán clasificarse, tal y como se muestra en la Figura A2.6, en:

• coeficientes de detalle (alta frecuencia).

• coeficientes de aproximación (baja frecuencia).

Fig A2.6.- Proceso de descomposición Wavelet.

La Transformada Wavelet se implementa mediante un árbol jerárquico de filtrado, organizado en etapas denominadas niveles de descomposición. Cada etapa consta a su vez de dos fases: un filtrado de alta frecuencia y un filtrado de alta frecuencia. De cada uno de ellos, tras un diezmado, se obtienen los coeficientes de detalle y los coeficientes de aproximación respectivamente. El diezmado consiste en descartar una de cada dos muestras, escogiendo muestras intercaladas.

El árbol se compone pasando a la siguiente etapa los coeficientes de aproximación obtenidos, y así sucesivamente, como se observa en la Figura A2.7:

Fig A2.7.- Etapas de filtrado jerárquico del árbol de descomposición de la Transformada Wavelet

A la salida de cada etapa i se obtienen los coeficientes de aproximación, Ai, y los coeficientes de detalle, Di. La entrada de la siguiente etapa (i+1) son los coeficientes de aproximación de la etapa anterior, Ai.

D₂

: : X

A_M-1 A₂

A_M 2

LPF 2 D₁

D_M A₁

HPF

2

2 LPF HPF

2 2 LPF HPF

Todos estos coeficientes, convenientemente ordenados, se almacenan en el vector de coeficientes como sigue:

Vector de coeficientes = [AM, DM, DM-1,…D3, D2, D1] (Ecuación A2.3)

A partir de la información contenida en los coeficientes Wavelet, se puede llevar a cabo lareconstrucción de la señal original mediante un procesamiento con una estructura de filtros de espejo en cuadratura.

A2.3.2.- Síntesis Wavelet:

Una vez tenemos la información de la señal contenida en el vector de coeficientes Wavelet ordenados, podemos reconstruir la señal original completa, sin pérdida de información, mediante un proceso similar al de la descomposición, mediante una estructura de filtros. Es el procedimiento de reconstrucción o síntesis (IDWT):

Fig A2.8.- Proceso de reconstrucción o síntesis Wavelet.

La definición matemática de la IDWT es la siguiente:

∑ ∑

=

Z

j k ZC j k jk t

t

s( ) ( , )ψ _. ( ) (Ecuación A2.4)

En cada etapa se emplea ahora, para compensar el diezmado de la descomposición, un sobremuestreo, que inserta ceros intercalados entre las muestras. De esta forma, se tiene a la salida el doble de coeficientes que a la entrada. Gráficamente:

Fig A2.9.- Proceso de sobremuestreo o upsampling.

En resumen, la representación simplificada de las estructuras de coeficientes de la descomposición y síntesis de la Transformada Wavelet muestra la distribución en árbol del proceso:

Fig A2.10.- Estructura de filtros de la descomposición Wavelet (a) y de la síntesis Wavelet (b) considerando 3 niveles de descomposición (M=3).

A2.4.- TRANSFORMADA WAVELET POR PAQUETES:

Es una variante de la Transformada Wavelet que consiste en descomponer iterativamente no solo los coeficientes de aproximación obtenidos de la etapa anterior, sino también los de detalle, dando lugar a una estructura en árbol doble, tal y como se puede ver en la figura:

Señal

A1 D1

A2 D2

A3 D3 Señal

A1 D1

A2 D2

A3 D3

(a) (b)

Fig A2.11.- Estructura de descomposición Wavelet por paquetes.

A2.5.- FAMILIAS DE FUNCIONES WAVELET

La Transformada Wavelet se basa en una función, que se escogerá de entre múltiples opciones, denominada función Wavelet madre: la señal se descompondrá en base a esta función. Las funciones Wavelet se distribuyen en familias, que comparten ciertas características, y la correcta elección de la función condicionará la correcta u óptima transformación. No se puede afirmar que exista una función Wavelet óptima, sino que en cada caso particular, existirá una función Wavelet mejor adaptada a la señal de interés.

Algunas de lasfamilias de funciones Wavelet más usadas son [6]:

• Haar: la más sencilla y primera en usarse. Es una función escalón:

Señal

A1 D1

AA2

AAA3 DAA3

DA2

ADA3 DDA3

DD2

ADD3 DDD3

AD2

AAD3 DAD3

Fig A1.12.- Familia Haar.

• Daubechies: se denominan dbN, donde N es el orden.

• Coiflets: coifN, siendo N el orden.

• Biortogonales: se caracterizan por su fase lineal, lo cual es requisito fundamental de cara a la reconstrucción. A diferencia de las demás familias, provee una función para descomposición y otra para reconstrucción.

• Sombrero mejicano: esta Wavelet carece de función de escalado.

Fig A1.16.-Familia Sombrero mejicano.

Fig A1.15.- Familia Biortogonal.

Fig A1.14.-Familia Coiflets.

Fig A1.13.-Familia Daubechies.

• Morlet: función explícita, aunque de nuevo sin escalado.

• Meyer: wavelet y función de escalado definidos en el dominio de la frecuencia.

A2.6.- FILTROS WAVELET

Como se ha esbozado en el apartado anterior, existen infinidad de wavelets, que pueden emplearse para múltiples aplicaciones en función de sus características. Los filtros wavelet se han de escoger atendiendo a las necesidades particulares de la aplicación a la que vayan destinados. Así mismo, de la correcta elección de los filtros wavelet dependerán los resultados del procesamiento.

Para que pueda llevarse a cabo una descomposición y reconstrucción completa y perfecta de la señal, es necesario que los filtros de las estructuras wavelet posean un número finito de coeficientes (filtros FIR) y que sean regulares. También es importante conseguir que los filtros presenten linealidad de fase. Esto impide el uso de filtros ortogonales no triviales, pero permite el empleo de losfiltros biortogonales.

Éste es el motivo por el cual es muy frecuente, siempre que se trabaje con miras a la implementación electrónica del algoritmo y las características de la aplicación lo permitan, la elección de las familia de funciones biortogonales para el desarrollo de la transformación y

Fig A1.17.-Familia Meyer.

Fig A1.16.-Familia Morlet.

Fig A2.18.- Representación de las wavelet madre de la familia Biortogonal disponible en MATLAB^TM.

Se puede observar que se para cada tipo hay dos wavelets, una para la descomposición (a la izquierda) y otra para la reconstrucción (a la derecha).

A2.6.1.- Condiciones de los filtros:

A continuación se incluye un resumen de lascondiciones requeridas por los filtros Wavelet. Las características para la implementación de los filtros están estrechamente

relacionadas con las condiciones que nos impone la descomposición de las señales en bases de wavelets discretas [39]. Vamos a llamar a los filtros de análisis h0 y h1 y a los filtros de síntesis g0 y g1, y los cuatro son filtros FIR:

Fig A2.19.- Proceso de descomposición- recuperación para un nivel.

En el dominio Z, estos filtros deben cumplir:

) ( )

( ₁

0 z z H z

G = ^j − - (Ecuación A2.5)

) ( )

( ₀

1 z z H z

G =− ^j −

O lo que es lo mismo:

) 1 ( ) 1 ( )

( ₁

0 n = − h n−

g ⁿ (Ecuación A2.6)

) 1 ( ) 1 ( )

( ¹ ₀

1 n = − ⁺ h n−

g ⁿ

Es decir, si uno de los filtros de síntesis es un paso de baja (LP), el de análisis opuesto debe ser un paso de alta (HP), y viceversa.

Para conseguir una reconstrucción perfecta también se debe conseguir que:

2 ) ( ) ( ) ( )

( _{0 0 0}

0 z H z +G −z H −z =

G (Ecuación A2.7)

Y también, como se adelantó en apartados anteriores, los filtros deben ser biortogonales, es decir:

n i i kl

i

i n k h l n g n k h l n

g ⁽ −^{2 ) ∗(2} − ⁾ =

∑