DIVISIÓN DE POLINOMIOS

DIVISIÓN ALGEBRAICA

Cuando aprendimos a dividir en el conjunto N, vimos que esta operación presentaba el siguiente esquema:

Por ejemplo:

35 8 4 3

35 = 8(4) + 3

Análogamente para polinomios:

x + 1² x - 1 x + 1 2

x + 1 (x - 1)²  (x + 1) + 2

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Operación algebraica definida para polinomios orde- nados en forma descendente que consiste en hallar dos polinomios llamados cociente y residuo a partir de otros dos llamados dividendo y divisor.

IDENTIDAD FUNDAMENTAL D(x) d(x)q(x) + R(x)

También:

D(x) Q(x) + R(x)

d(x) d(x)

Donde:

 D(x) :

 d(x) :

 q(x) :

 R(x) :

Ejemplo:

 ) x ( R ) x ( q 2 ) x ( ) d x ( D

3 3 (x 1)(x x 1) 2

x      















 





Observación r

r

r

CLASES

w División Exacta: R(x)  0

D(x)  d(x) q(x)

w División Inexacta: R(x)  0

D(x)  d(x)q(x) + R(x)

P RO P IE D AD ES

1. [q(x)]º[D(x)]º[d(x)]º

Ejm.:

6 x 2 x

7 x x

2 4 5









[qº(x)] = 5 - 2 = 3

2. [R(x)]º < [d(x)]º

Ejm.:

1 x 6 x

8 x 2 x

3 5 6









MÉTODOS PARA DIVIDIR

MÉTODO DE HORNER Ejemplo:

¬

Dividir:

4 x 3 x

4 x 3 x 5 x 3 x

2 2 3 4













Colocamos los coeficientes del dividendo y divisor.

1 1 -3 5 -3 4

3 -4

Como el divisor es de grado 2, trazamos la línea divi- sora 2 lugares hacia la izquierda.

1 1 -3 5 -3 4

3 -4

1 0 1 0 0

3 -4

0 0 0

1 3 -4

x







q(x) = 1x² + 0x + 1 = x² + 1 R(x) = 0x + 0 = 0

 La división es exacta.

Ejemplo:

-

Dividir:

2 x x 2 x 3

5 x x 17 x 3 x 10

3 2

2 3 4 5















2 10 3 -17 -1 0

-3 1

5 -6 3 -6 -9

-15 5

-12 18 -6

6 -9

x 2 

-5

1 10

-12

3 6



q(x) = 5x² - 6x + 3 R(x) = -6x² - 9x + 1

MÉTODO DE RUFFINI

Es un caso particular del Método de Horner. Se aplica para dividir un polinomio D(x) entre un divisor que tenga o adopte la forma lineal:

d(x) = Ax + B, A  0

Ejemplo:

¬

Dividir:

3 x 4

5 x x 10 x

8 ^{4 3}









Colocamos los coeficientes del dividendo e igualamos a cero el divisor.

4x - 3 = 0 8 10 0 -1 5

x = 3/4 6 12 9 6

x 8 16 12 8 11

4 2 4 3 2

Luego:

Q(x) = 2x³ + 4x² + 3x + 2 R(x) = 11

Ejemplo:

-

Dividir:

2 x

18 x 6 x 5 x

3 ^{4 3 2}









x + 2 = 0 3 5 -6 0 18

x = -2 -6 2 8 -16

3 -1 -4 8 2

q(x) = 3x³ - x² - 4x + 8 R(x) = 2

TEOREMA DEL RESTO

Nos permite hallar el resto de una división, sin efectuarla:

Enunciado:

En toda división de la forma P(x)  (Ax + B), el residuo es igual al valor numérico de P(x) cuando

A xB.

Es decir: 



 



 

  _A

–B

P sto B Re

Ax ) x ( P

d(x) = Ax + B, A



REGLA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL RESTO DE UNA DIVISIÓN

I. El divisor se iguala a cero.

II. Se elige una variable conveniente y se despeja esta variable.

III. La variable elegida se busca en el dividendo para re- emplazarlo por su equivalente, luego se realizan las operaciones indicadas y obtenemos el resto.

Ejemplo:

1. Hallar el resto en:

2 x

1 x 3 x 3

x^{3 2}









Solución:

P(x) = x³ - 3x² + 3x - 1

Aplicamos regla práctica:

x + 2 = 0  _{x = -2}

Luego:

R = P(-2) = (-2)³ - 3(-2)² + 3(-2) - 1 R = -8 - 12 - 6 - 1 = -27

R = -27

2. Halle el resto en:

1 x

1 x x x x x

4

2 6 18 24 60













Solución:

P(x) = x⁶⁰ + x²⁴ + x¹⁸ + x⁶ + x² - 1

Aplicamos regla práctica.

x⁴ + 1 = 0  _x⁴ _{= -1}

Luego:

P(x) = (x⁴)¹⁵ + (x⁴)⁶ + (x⁴)⁴ . x² + (x⁴)x² + x² - 1

Reemplazando:

R = (-1)¹⁵ + (-1)⁶ + (-1)⁴x² + (-1)x² + x² - 1 R = -1 + 1 + 1 . x - x + x - 1^{2 2 2}

R = x² - 1

T E O R E M A S

1. Si al dividendo y al divisor se le multiplica por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio.

2. Si al dividendo y al divisor se le divide por un polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera pero el res- to queda dividido por dicho polinomio.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Calcular: a + b; si x⁵ + ax + b es divisible por (x - 1)²

a) -1 b) 0 c) 1

d) 2 e) N.A.

2. Hallar: m + n

Si: x⁴ - 3x³ + mx + n - 3 es divisible entre:

x² - 2x + 4

a) 4 b) -13 c) 7

d) -9 e) N.A.

3. Hallar el término independiente del cociente si al dividir:

2 x 3

2 bx x 5 x x x

3 ^{5 4 3 2}













Deja de resto cero.

a) -2 b) -3 c) -4

d) -1 e) N.A.

4. Calcular el resto de dividir:

2 3 x

4 x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 2

x^{6 5 3 2}















a) 2 b) 3 c) 4

d) -4 e) 5

5. Calcular:

n

m si la división:

n x 2 x 3

m x 10 x 5 x 4 x 6

2 2 3 4













Es exacta:

a) 1/2 b) 2 c) 3/10

d) 3 e) -5

6. Calcular A + B; si la división:

3 x 6 x 2

5 x 29 Bx Ax x 14

2 2 3 4













Deja como resto: 2x + 1

a) -12 b) -13 c) -14

d) -15 e) -16

7. Determinar el valor de “k” para que el coeficiente del término lineal del cociente entero valga (-45) en la división:

3 x

7 kx x 6 x

2 ^{5 3 2}









a) 81 b) -81 c) 72

d) -72 e) 0

8. Hallar la suma del cociente entero y del residuo de la división:

2 2 3 4 5

) 1 x (

1 x x 4 x 4 x 2 x













a) x³ + 4x - 7 b) x³ - 3x + 9 c) x³ + 5x - 1 d) x³ - 6x + 2 e) N.A.

9. Calcular: m + n; si: x⁶ + mx + n es divisible entre:

x² - 2x + 1

a) -2 b) -1 c) 1

d) 2 e) 0

10. Calcular la suma de coeficientes del cociente de dividir:

1 x

1 n x ) 2 n ( x^{n 1}









 

a) n b) n + 1 c) -3

d) 1 e) N.A.

11. Determinar el cociente entero que resulta al dividir:

1 x 3

1 x x 6 x x

3 ^{20 19 2}











a) x¹⁹ - 6x + 2 b) x¹⁹ - 19x + 1 c) x¹⁹ + x - 11 d) x¹⁹ + 2x - 1 e) N.A.

12. Hallar el residuo de la división indicada:

1 x

1 x 6 x x x 2 x 3

3 5 13 47 55













a) 4x² - 7x + 2 b) -3x² + 8x - 1 c) -4x² + x - 1 d) 3x² + 7x + 1 e) N.A.

13. Calcular el resto de la división:

2 x

x 6 ) 3 x ( ) 3 x 2

( ^{5 4}











a) 1 b) -6 c) -3

d) 12 e) N.A.

14. Hallar el resto que resulta de dividir:

1 x

5 x 7 x x 3 x x 4

3 4 6 22 44













a) 4x² + 5x - 8 b) 3x² - 6x + 1 c) 5x² + x - 6 d) 6x² + 4 e) N.A.

15. Al dividir:

7 x

m x 5 x 3 x 5

2 3 4









Se obtuvo de residuo: ax + 218 Hallar: “a + m”

a) 2 b) 5 c) 8

d) 10 e) 11

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

1. En la división:

1 x x

a ax x 2 x x 3

2 2 3 4













el residuo es un término independiente. Calcular dicho resto.

a) 13 b) 20 c) 22

d) 32 e) 24

2. Para efectuar una división según la regla de Paolo Ruffini se planteó el siguiente esquema:

2a²

4 -3 -b a

8a c e

4 b d f

Calcular el residuo.

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

3. Determinar el resto en la división:

n m 3 x m

10 mnx

nx 3

7 n 2 3 m 5







 ^



Sabiendo que el dividendo es ordenado y completo.

a) 13 b) 18 c) 22

d) 26 e) N.A.

4. Hallar el cociente, si la siguiente división:

3 x 7 x 5 x

c x 17 bx ax x

2 3

2 3 4















Es exacta:

a) x + 1 b) x - 1 c) x² + 1

d) 2x + 3 e) x - 2 5. Proporcionar el resto de:

6 x 5 x

) 3 x ( ) 2 x (

2

3 7











a) x + 5 b) x - 5 c) 2x - 5

d) 2x + 5 e) x - 3 6. Calcular el resto de:

8 x 5 x

2 ) 5 x ( x ) 9 x 5 x (

2

2 2 n 2















a) 66 b) 62 c) 64

d) 8 e) N.A.

7. Si la división:

2 2

4 3 2 2 3 4

y 2 xy x 2

y 3 xy 5 y x 6 y x x 6













Deja el resto (-16) Hallar “y”

a) 1 b) 3 c) 2

d) -1 e) 4

8. Hallar el resto en:

1 x

16 n 3 x ) 3 n ( x ) 1 n (

nx^{n n 1 n 2}













 ^{ }

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

9. Hallar el resto de:

3 z y x

) 1 z ( z ) 1 z 2 )(

y x ( ) y x

( ²



















a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) 9

10. Para que la división de:

1 x x

b ax x

2 2 4









Sea exacta, señale los valores de “a” y “b”

respectivamente.

a) 1; -1 b) -2; 1 c) 1; 1

d) 1; -2 e) -1; 1

11. Si (x + 1) es un factor de: x² + cx + 2 y (2x - 1) es un factor de: dx² + 5x - 4 entonces el valor de

d es:c

a) 1/2 b) 4 c) -1/2

d) -6 e) 6

12. Calcular el valor de (A + B + C) si la división:

3 x x 2

C Bx Ax x 4 x 8

2 3

2 3 5













Deja como resto: 3x² + 2x + 1

a) 12 b) 18 c) 24

d) 30 e) 36

13. Calcular “a” si la suma de coeficientes del cociente es 161, tal que el resto es 16.

1 x

a b 2 bx 2 ax⁵¹









a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

14. Hallar el valor de m . n sabiendo que:

P(x) = 10x⁵ + x⁴ - 9x³ + 16x² + mx + n es divisible por (x - 1)(2x + 3)

a) 9 b) 18 c) 81

d) 27 e) 243

15. Hallar el resto de dividir:

b a x

b a x ) b ab a ( x ) b a ( x x ) a – b (

x^{5 4 3 2 2 2 3 3}























a) a³ b) b³ c) 2a³

d) 2b³ e) a + b