TEMA: ECUACIONES Y SISTEMAS
4.1.- CONCEPTOS GENERALES:
.- Igualdad algebraica: es una expresión algebraica que tiene dos miembros separados por el signo igual.
3x + 4y = 27 + 2x
1º miembro 2º miembro
.- Identidad algebraica: es una igualdad que se cumple para cualquier valor que se asigne a las letras.
a · (b + c) = a· b + a · c (se cumple para cualquier valor de a, b, y c.) .- Ecuación: es una igualdad que expresa una condición que se debe cumplir y sólo se cumple para un único valor de las letras (incógnitas)
Grado: es el mayor exponente que presentan las incógnitas;
Nº incógnitas: nº de letras diferentes que aparecen en la ecuación.
2x + 10 = 18 – 6x Ec. de 1º grado con una incógnita [Grado: 1 (x1) ; Incógnita: 1 (x)]
Ecuaciones equivalentes: son aquellas que tiene la misma solución, es decir, se cumplen para el mismo valor de la incógnita.
Principios de equivalencia:
Regla de la suma: si sumamos un mismo número o expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente.
2x + 4 = 14
2x + 4 – 4 = 14 – 4 Regla de la suma 2x = 14 – 4
2x = 10
Aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando.
Regla del producto: si multiplicamos o dividimos por un mismo número o expresión los dos miembros de una ecuación obtenemos una ecuación equivalente.
2x = 10
2x : 2 = 10 : 2 Regla del producto x = 10 : 2
x = 5
Aplicación práctica: para cambiar de miembro, lo que está multiplicando pasa dividiendo y lo que está dividiendo pasa multiplicando.
* Estas dos reglas se pueden reducir a una única regla.
Regla de las operaciones: Si realizas la misma operación a ambos lados del igual, en ambos miembros, la ecuación obtenida es una ecuación equivalente.
Aplicación práctica: para cambiar de miembro, aquello que pasa al otro lado del igual (pasa por encima de =) aprece en su nuevo lugar haciendo la operación inversa que hacía respecto a la incógnita x.
- Si estaba sumando, pasa restando - Si está restando pasa sumando.
- Si está multiplicando pasa a dividir.
- Y si está dividiendo pasa a multiplicar.
Transponer miembros: se puede cambiar el orden de los dos miembros, dando lugar a una ecuación equivalente.
3+2x=1 1=3+2x
Resolución de una ecuación: resolver una ecuación es determinar el valor de la incógnita que hace que se cumpla la igualdad (hallar la solución). Para ello se aplican el concepto de ecuación equivalente y los principios de equivalencia. El objetivo final es llegar a una ecuación del estilo x= nº.
Ecuación polinómica: aquella que se puede reducir a otra en la que un miembro es un polinomio y el otro es cero.
4.2 TIPOS DE ECUACIONES.
.- Ec. polinómicas de 1º grado: una ec. es de 1º grado con una incógnita, x, si equivale a otra de la forma ax+b=0.
Resolución de una Ec. de 1º grado:
Ec. de 1º grado con una incógnita: 3 · (2x + 1) = 5 · (3x – 4) – 13 1.- Eliminar paréntesis:(P. distributiva) 3 · 2x + 3 · 1 = 5 · 3x – 5 · 4 – 13
6x + 3 = 15x – 20 -13 2.- Reducir (si se puede) los dos miembros: 6x + 3 = 15x – 33
3.- Trasponer términos: 3 + 33 = 15x - 6x
pasar a un miembro todos los términos con incógnita y al otro los términos que no la contengan (aplicación de la regla de la suma: cambiar el signo a lo que cambia de miembro).
4.- Volver a reducir: 36 = 9x
5.- Despejar la incógnita: 36:9 = x 4 = x
(aplicación de la regla del producto: lo que está multiplicando pasa dividiendo).
Ecuaciones con fracciones:
1.- Se halla el m.c.m. de los denominadores de los dos miembros y se reduce a común denominador.
6 10 3 3 20 5
3x x
m.c.m. (3,5 y 6) = 30
30 15 300 30
200
18
x
x
2.- se quitan los denominadores y se continúa con la resolución de la ecuación (si los dos miembros de la ecuación tienen el mismo denominador, para que se cumpla la igualdad los numeradores tienen que ser iguales. Por eso se sigue trabajando únicamente con los numeradores).
18x + 200 = 300x + 15 se resuelve como el caso anterior Interpretación/Resolución gráfica de una ecuación de 1º grado: la solución de una Ec. de 1º grado del tipo ax + b = 0, está relacionada con el punto de corte de la recta correspondiente a la Ec. y = ax + b con el eje OX.
.- Ec. polinómicas de 2º grado o cuadráticas: aquellas que se pueden reducir a la forma ax2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0. Estas ec. pueden ser completas (a, b y c ≠ 0) o incompletas (b = 0, c = 0 ó b y c = 0) según lo sea el trinomio ax2 + bx + c.
Resolución de ec. de 2º grado:
Ec. 2º grado incompleta del tipo ax2 = 0 (b y c = 0).
1.- Despejar la incógnita: x2 = a 0 = 0
x = 0 Ec. 2º grado incompleta del tipo ax2 + bx = 0 (c = 0)
1.- Factorizar: sacando factor común x · (ax + b) = 0
2.- Buscar soluciones: para que una multiplicación sea igual a 0, alguno de los dos factores tienen que ser 0 => x = 0 ó ax + b = 0
a x b
Ec. de 2º grado incompleta del tipo ax2 + c = 0 (b = 0)
1.- Despejar x2: x2 = a
c
2.- calcular x:
a x c
Ec. de 2º grado completa:
1.- Se calcula el m.c.m. de los denominadores en el caso de que haya fracciones en algún término y se eliminan paréntesis; se pasan todos los términos al primer miembro y se agrupan términos hasta conseguir una ecuación equivalente del tipo
ax2 + bx + c = 0.
2.- Se aplica la fórmula general:
a ac b
x b
2
2 4
3.- Se comprueban las soluciones en la ecuación inicial.
*Obtención de la fórmula general para resolver Ec. de 2º grado:
Partimos de ec. general ax2 + bx + c = 0
Multiplicamos por 4ª y sumamos y restamos b2 para obtener un cuadrado perfecto: 4a2x2 4abx4ac0
0 4 4
4a2x2 abxb2 b2 ac
Despejamos el cuadrado perfecto:
ac b
b ax
ac b
b ax
4 2
4 2
2 2 2
Llegamos a la fórmula general:
a ac b
x b
2
2 4
.- Ec. polinómicas bicuadradas: aquellas que se pueden reducir a la forma ax4 + bx2 + c = 0, es decir, una ec. de 4º grado incompleta en la que faltan los términos con exponente impar.
Resolución de una Ec. bicuadrada: se resuelven como Ec. de 2º grado ya que basta con hacer un cambio de variable.
1.- Se hace el cambio de variable: z=x2 => az2 + bz +c = 0 2.- Se resuelve la ec. de 2º grado resultante, a través de la fórmula general.
3.- Se deshace el cambio de variable para calcular x: x z
.- Ec. polinómicas de grado mayor que 2 factorizables: el método de factorización de polinomios permite resolver ec. polinómicas de cualquier grado escritas de la forma P(x) = 0, siempre que se pueda realizar la factorización del polinomio P(x).
Resolución de la ec. :
1.- Se factoriza el polinomio.
2.- Se resuelve la ec.: un producto es cero si lo es alguno de sus factores.
.- Resolución algebraica de problemas:
1.- Leer atentamente el enunciado.
2.- Extraer datos, relacionando datos desconocidos con una incógnita. un mismo problema puede ser interpretado de formas diferentes.
3.- Plantear la ecuación.
4.- Resolverla.
5.- Interpretar y comprobar las soluciones del problema: las soluciones de una ec. no son necesariamente las soluciones del problema, por lo que es conveniente comprobar su validez.
4.4 SISTEMAS DE EC. LINEALES.
Un sistema de ec. lineales es un conjunto de varias ec. de grado 1 que deben verificarse simultáneamente.
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a todas las ec. que lo componen.
Un sistema de ec. es equivalente a otro si ambos poseen las mismas soluciones.
Las siguientes reglas nos permiten transformar un sistema en otra equivalente: cambiar el orden de las ec.; sustitución de una ec. por otra equivalente; sustituir una ec. por la suma o resta de ambas.
.- Compatibilidad de un sistema de ec.: dado un sistema de ec
' ' 'x b y c a
c by ax
- es compatible determinado si tienen una única solución. Si nos fijamos, los coeficientes de sus incógnitas no son proporcionales:
' ' b
b a a
- es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones. Está formado por ec. equivalentes que se reducen a una sola ecuación lineal.
En este caso, los coeficientes de susu incógnitas y los terminos independientes son proporcionales entre si.
' '
' c
c b
b a
a
- es incompatible si no tiene ninguna solución. En este caso, los coeficientes de las incógnitas son proporcionales, pero no existe proporcionalidad entre estos y los términos independientes:
' '
' c
c b
b a
a
.- Resolución algebraica:
.- Sustitución: se despeja una incógnita de una de las ec., se sustituye en la otra, se resuelve la ec., se calcula la incógnita despejada y se comprueba la solución.
.- Igualación: se despeja la misma incógnita de ambas ec., se igualan las expresiones resultantes, se resuelve la ecuación, se calcula la otra incógnita y se comprueba la solución.
.- Reducción: se multiplican las ec. por los nºs apropiados para que , al sumar o restar las ec., se elimine una de las incógnitas, luego se resuelve la ecuación, se calcula la otra incógnita y se comprueba la solución.
Si las ec. tienen paréntesis o denominadores, se desarrollan los paréntesis, con la ayuda del m.c.m. se eliminan los denominadores y se simplifican todo lo posible las dos ecuaciones para resolver el sistema resultante por el método más adecuado.
.-Resolución gráfica:
En los sistemas lineales, las ec. se pueden transformar en funciones lineales y, por tanto, sus gráficas son líneas rectas. la solución del sistema, si existe, es el punto de intersección de ambas.
- un sistema es compatible, es decir, tiene solución, si las rectas se cortan en un punto (compatible determinado) o son coincidentes (compatible indeterminado).
- un sistema es incompatible, es decir, no tiene solución, si las rectas son paralelas, no tienen punto de corte.
