Algebra de vectores

Texto completo

(1)Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. UNIDAD 3 Algebra de Vectores. 3.1 Algebra de Vectores Los vectores son instrumentos matemáticos ideales para la exposición y simplificación de diversas ideas importantes de la Física. Recordemos que cuando un vector se encuentra en el plano x-y, figura 3.1, se puede expresar también, mediante notación vectorial así:. r A = A1iˆ + A2 ˆj. y. A. x. A Figura 3.1 Componentes rectangulares de un vector en el plano.. r La magnitud o módulo del vector A se puede calcular por medio de:. A = A1 + A2 2. 2.

(2) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r La dirección del vector A se calcula con la ayuda de:. θ = tan −1. Ay Ax. Si el vector está en el espacio de tres dimensiones x-y-z, figura 3.2, se podrá definir la suma mediante la siguiente notación vectorial:. r A = A1iˆ + A2 ˆj + A3 kˆ. 3.1. La magnitud o módulo del vector, también se llama norma del vector y se calcula mediante la siguiente expresión:. A = A1 + A2 + A3 2. 2. 2. 3.2. La dirección del vector esta asociada con el ángulo que formado con cada uno de los ejes de coordenadas x, y, z. Estos ángulos reciben el nombre de cosenos directores o cosenos direccionales, los cuales se pueden calcular utilizando las siguientes expresiones:. y. A. A. A. z. x. Figura 3.2 Componentes rectangulares de un vector en tres dimensiones.. α = cos −1. A1 A. Donde α es el ángulo que forma el vector con el eje x.. β = cos −1. A2 A. Donde β es el ángulo que forma el vector con el eje y.. γ = cos −1. A3 A. Donde γ es el ángulo que forma el vector con el eje z.. -2-.

(3) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. EJEMPLO 3.1 Sea el vector definido por:. r A = 3iˆ − 4 ˆj + 2kˆ Calcular: a) la norma del vector, b) los cosenos directores.. Solución La norma o módulo, será:. A = 32 + (−4) 2 + 2 2 = 29 = 5.38 Cálculo de los cosenos directores: Angulo eje x. α = cos −1. A1 3 = cos − = 56º A 5.38. Angulo eje y. β = cos −1. A2 −4 = cos −1 = 138º A 5.38. Angulo eje z. γ = cos −1. A3 2 = cos −1 = 68º A 5.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sean los vectores:. r A = 4iˆ + 2 ˆj − 8kˆ r B = −6iˆ + 3 ˆj + 2kˆ r C = 5iˆ − 2 ˆj + 5kˆ Calcular: a) La norma de cada uno de los vectores, b) Los cosenos directores. 2. Un avión despega y viaja 10.4 km al Oeste, 8.7 km al Norte y 2.1 km hacia arriba. ¿A qué distancia está de su punto de parida?. 3.1.1 Suma y resta de vectores por componentes Consideremos dos vectores se pueden definir como:. r r A y B que se encuentran en un sistema de coordenadas x-y-z. Estos vectores. -3-.

(4) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r A = A1iˆ + A2 ˆj + A3 kˆ r B = B1iˆ + B2 ˆj + B3 kˆ La suma de los vectores, se define como sigue:. r r A + B = ( A1iˆ + A2 ˆj + A3 kˆ) + ( B1iˆ + B2 ˆj + B3 kˆ) Sumando los términos semejantes, se obtiene:. r r A + B = ( Ax + Bx )iˆ + ( Ay + B y ) ˆj + ( Az + Bz )kˆ Para la resta, se resta algebraicamente las cantidades de los paréntesis. Una fórmula general, sería la siguiente:. r r A ± B = ( Ax ± Bx )iˆ ± ( Ay ± B y ) ˆj ± ( Az ± Bz )kˆ. 3.3. EJEMPLO 3.2 Sean los vectores definidos por:. r A = 5iˆ + 6 ˆj − 4kˆ r B = −2iˆ − 4 ˆj + 5kˆ r. r. Calcular: a) la suma de A + B , b) la norma del vector resultante. Solución a) La suma se realiza de la siguiente manera:. r r A + B = (5 − 2)iˆ + (6 − 4) ˆj + (−4 + 5)kˆ r r A + B = 3iˆ + 2 ˆj + kˆ Observe que el resultado es otro vector, que se puede denominar el vector b) La norma del vector resultante. r R será:. R = 32 + 2 2 + 12 = 14 = 3.74. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sean los vectores definidos por:. -4-. r R..

(5) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r A = 4iˆ + 2 ˆj − 8kˆ r B = −6iˆ + 3 ˆj + 2kˆ r C = 5iˆ − 2 ˆj + 5kˆ r D = −3iˆ + 4 ˆj − 6kˆ Calcular: a) las sumas indicadas a continuación. r r r r A+ B+C + D r r r r ( A − B) + (C − D) r r r r 2 A − 3B + 5C − 2 D a) En cada caso, la norma del vector resultante, c) Los cosenos directores del vector resultante. 2. Cuatro vectores coplanares en el plano x-y, cuyas magnitudes son: 8, 12, 10 y 6 unidades respectivamente. Los tres últimos vectores forman con el primero, ángulos de 70º, 150º y 200º respectivamente. Exprese los vectores en términos de los vectores unitarios y calcule la resultante, su módulo y dirección 3. La figura 3.3 muestra tres vectores. Sus magnitudes están expresadas en unidades arbitrarias y corresponden a: A = 44 u ; B = 26.5 u y C = 31 u .. y. 56º. 28º. x. Figura 3.3 Ilustración gráfica del ejercicio propuesto 3. Determinar: a) El vector resultante, su magnitud y su dirección. b). r r r 2 A − 3B + C. 4. Una persona realiza el siguiente paseo: camina 100 m hacia el Oriente; 300 m hacia el Sur; 150 m hacia el Sur–Oeste y finalmente 200 m hacia el Nor–Occidente. Utilice los vectores unitarios para determinar el vector desplazamiento, s magnitud y su dirección. 5. Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50º, mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75º. Determinar la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor.. -5-.

(6) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. 3.1.2 Producto entre un escalar y un vector r cA = cA1iˆ + cA2 ˆj + cA3 kˆ Es un vector cuya magnitud es c veces la del. r A , posee la misma dirección y el mismo sentido.. EJEMPLO 3.3 Sea el escalar 5 y el vector. r A = 8iˆ − 6 ˆj − 2kˆ. El producto entre el escalar y el vector será:. r 5 A = 5(8iˆ − 6 ˆj − 2kˆ) r 5 A = 40iˆ − 30 ˆj − 10kˆ. 4.1.3 Producto escalar (Producto punto) Operacionalmente, el producto escalar entre dos vectores se define así:. r r A ⋅ B = AB cos θ. Primera definición. 3.4. θ , es el ángulo entre los dos vectores. r r r r La notación A ⋅ B , se lee A multiplicado escalarmente por B . Donde. Algunos conceptos de la Física se pueden expresar como productos escalares entre vectores, como el trabajo, los flujos de campo, la ley de Ampere, entre otros. El producto escalar puede ser positivo si el ángulo entre los vectores está entre 0 y 90º, negativo si el ángulo está entre 90 y 180º o cero De la definición de producto escalar, se puede despejar el ángulo para calcularlo.. r r A⋅ B cosθ = AB. 3.5. Veamos dos aplicaciones de esta ecuación:. EJEMPLO 3.4 Tenemos dos vectores expresados así: vectores.. r A = 5iˆ − 6 ˆj y B = 7iˆ + 5.5 ˆj . Calcular el ángulo entre los dos. -6-.

(7) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. Solución Usando la ecuación 4.5, se tiene:. r r A⋅ B θ = cos AB r r A ⋅ B = 35 − 33 = 2 −1. A = 25 + 36 = 61 = 7.8 B = 49 + 30.25 = 79.25 = 8.9. θ = cos −1. 2 2 = cos −1 = cos −1 0.02881 = 88.3º (7.8)(8.9) 69.42. Verificación Para hacer la verificación, ilustramos el problema mediante la figura 3.5:. y. θΒ. x. θΑ. Figura 3.4 Ilustración del ejemplo 3.4. Calculamos el ángulo que forma el vector. θ A = tan −1. r A con el eje horizontal. Para ello usamos la función tangente.. −6 = tan −1 (1.2) = −50º 5 r. Calculamos el ángulo que forma el vector B con el eje horizontal. Para ello usamos la función tangente.. θ B = tan −1. 5.5 = tan −1 0.785714 = 38.2º 7. La figura 4.4 nos indica que sumando estos dos resultados obtenemos el ángulo entre los dos vectores:. -7-.

(8) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. El resultado es: 88.2º, el cual es consistente con el primer método donde hemos utilizado el producto escalar.. EJEMPLO 4.5 Ahora tenemos los siguientes dos vectores expresados así:. A = 5iˆ − 6 ˆj r B = 3.5iˆ + 7 ˆj . Calcular el ángulo entre los dos vectores. Usando el mismo procedimiento anterior, se tiene:. r r A⋅ B θ = cos AB r r A ⋅ B = 17.5 − 42 = −25 −1. A = 25 + 36 = 61 = 7.8 B = 49 + 30.25 = 79.25 = 8.9. θ = cos −1. − 25 − 25 = cos −1 = cos −1 0.409836 = 114º (7.8)(8.9) 69.42. Verificación Para hacer la verificación, ilustramos el problema mediante la figura 3.5:. y. θΒ. x. θΑ. Figura 3.5 Ilustración del ejemplo 3.5.. -8-.

(9) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r Calculamos el ángulo que forma el vector A con el eje horizontal. Para ello usamos la función tangente.. −6 = tan −1 (1.2) = −50º 5 r Calculamos el ángulo que forma el vector B con el eje horizontal. Para ello usamos la función tangente.. θ A = tan −1. θ B = tan −1. 7 = tan −1 2 = 63º 3.5. La figura 2.27 nos indica que sumando estos dos resultados obtenemos el ángulo entre los dos vectores: El resultado es: 113º, lo cual es consistente con el primer método donde hemos utilizado el producto escalar.. Propiedades De la definición del producto escalar se obtienen las siguientes propiedades: Si el ángulo θ = 0º, entonces: Si. θ =π /2. Si. r r r r A⋅ B = B ⋅ A. entonces. r r r r r r r A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C. Si. r r A = B , entonces. r r A ⋅ B = AB r r A⋅ B = 0. Condición de paralelismo Condición de perpendicularidad.. El producto escalar cumple la ley conmutativa. El orden de los dos vectores no importa. El producto punto cumple la ley distributiva respecto de la suma. La magnitud de un vector se calcula hallando el producto escalar consigo mismo y luego extrayendo la raíz cuadrada.. r r A ⋅ A = A2. Las propiedades anteriores permiten evaluar las propiedades del producto escalar entre los vectores unitarios: Con el mismo vector unitario. iˆ ⋅ iˆ = ii cos 0º = i 2 = 1 Repitiendo para los otros dos vectores unitarios, se obtiene:. iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1 Con otro vector unitario. iˆ ⋅ ˆj = ij cos 90º = 0. -9-.

(10) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. Realizando las otras dos opciones, se obtiene:. iˆ ⋅ ˆj = ˆj ⋅ kˆ = kˆ ⋅ iˆ = 0. 4.1.3.1 Orta forma del producto escalar Cuando los vectores están expresados mediante notación vectorial, por ejemplo:. r A = A1iˆ + A2 ˆj + A3 kˆ r B = B1iˆ + B2 ˆj + B3 kˆ El producto escalar se puede expresar así:. r r A ⋅ B = ( A1iˆ + A2 ˆj + A3 kˆ) ⋅ ( B1iˆ + B2 ˆj + B3 kˆ) r r A ⋅ B = ( A1 B1iˆ ⋅ iˆ + A1 B2iˆ ⋅ ˆj + A1 B3iˆ ⋅ kˆ ) + ( A B ˆj ⋅ iˆ + A B ˆj ⋅ ˆj + A B ˆj ⋅ kˆ ) 2. 1. 2. 2. 2. 3. + ( A3 B1kˆ ⋅ iˆ + A3 B2 kˆ ⋅ ˆj + A3 B3 kˆ ⋅ kˆ) Teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar de los vectores unitarios, se obtiene una nueva expresión para el producto punto:. r r A ⋅ B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3. Segunda definición. 3.6. El producto escalar entre dos vectores es la suma de los productos aritméticos de sus respectivas componentes.. EJEMPLO 3.6 Sean los vectores definidos por:. r A = 5iˆ + 6 ˆj − 4kˆ r B = −2iˆ − 4 ˆj + 5kˆ a) Calcular el producto escalar, b) El ángulo que forman los dos vectores.. Solución a) Usando la fórmula de la segunda definición, para el producto punto, se obtiene:. r r A ⋅ B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3. - 10 -.

(11) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r r A ⋅ B = −10 − 24 − 20 = −54 El resultado es un escalar, de ahí su nombre. b) Despejando θ de la primera definición:. r r A⋅ B θ = cos AB −1. Debemos calcular primero la norma o módulo de cada vector: Norma del vector. r A. A = 5 2 + 6 2 + (−4) 2 = 76 = 8.7 r Norma del vector B. B = (−2) 2 + (−4) 2 + 5 2 = 45 = 6.7 Reemplazando:. θ = cos −1. − 54 = cos −1 0.5970149 = 82.9º (8.7)(6.7). EJERCICIOS PROPUESTOS Sean los vectores definidos por:. r A = 4iˆ − 4 ˆj + 3kˆ r B = −4iˆ − 3 ˆj + 2kˆ r C = −2iˆ − 2 ˆj + 3kˆ r D = −3iˆ − 4 ˆj − 6kˆ 1. Calcular: a) los productos escalares indicados,. r r. r r. r r. r. r. r. r. r. r. r. a) A ⋅ B b) B ⋅ A c) B ⋅ C d) C ⋅ ( A − B ) d) ( A + C ) ⋅ ( D − A) b) Usando la definición del producto escalar, calcular el ángulo formado por los vectores:. r r r r r r A y B ; B y C ; C y D 2. Obtenga el producto escalar de dos vectores cuyas magnitudes y direcciones son: A = 4 u, 53º al Este del Norte; B = 5 u, 50º al Oeste del Norte.. - 11 -.

(12) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. 3. Determine el ángulo entre los vectores:. r r A = 2iˆ + 3 ˆj + kˆ , B = −4iˆ + 2 ˆj − kˆ. 3.1.4 Producto vectorial (Producto cruz) Operacionalmente, el producto vectorial entre dos vectores se define así:. r r r producto vectorial A× B ≡ C r r r r La notación A × B , se lee A multiplicado vectorialmente por B .. 3.7. Algunos conceptos de la Física se pueden expresar como productos vectoriales entre vectores, como el momento de rotación, el momento angular, entre otros. La definición nos dice que, al multiplicar vectorialmente dos vectores resulta otro vector, el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores implicados, figura 3.6a. La dirección del vector producto vectorial se determina, según la regla de la mano derecha, de la siguiente manera: se colocan los dedos extendidos siguiendo la dirección del primer vector, luego se hace rotar el vector hacia el segundo cerrando los dedos al mismo tiempo que se extiende el dedo pulgar, la dirección que indique este último dedo, será la dirección del vector producto vectorial, figura 3.6a. La dirección del vector. r. r. producto cruz también es aquella en la cual avanza un tornillo con rosca derecha si se gira de A hacia B .. a). b). r A. r. r B. r. y están en un plano. El producto vectorial A × B , es perpendicular a este plano y su dirección se determina por la regla de la mano derecha. b). Figura 3.6 a) Los vectores. El producto vectorial. r r r r B × A , es igual a − A × B .. Al cambiar el orden del producto, la dirección del vector producto cruz también cambia, figura 3.6b. El producto vectorial no es conmutativo, esto es:. r r r r A× B = − A× B. 3.8. El módulo o magnitud del vector producto cruz se calcula mediante:. r r A × B = ABsenθ. Módulo producto vectorial. - 12 -. 3.9.

(13) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Donde. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. θ , es el ángulo entre los dos vectores.. Propiedades De la anterior definición se obtienen las siguientes propiedades:. r r A× B. senθ =. Despejando θ se puede calcular el ángulo. AB. Si. r r A× B = 0. El producto vectorial de dos vectores paralelos siempre es cero. Condición de paralelismo. Si. r r A × B = AB. Condición de perpendicularidad. Las propiedades anteriores permiten evaluar las propiedades del producto cruz entre los vectores unitarios:. Con el mismo vector unitario. iˆ × iˆ = 0 iˆ × iˆ = ˆj × ˆj = kˆ × kˆ = 0 Con otro vector unitario Usando la definición matemática del producto cruz y la regla de la mano derecha, obtenemos el producto cruz entre los vectores unitarios.. iˆ × ˆj = kˆ. ˆj × kˆ = iˆ. ˆ kˆ × iˆ = ˆj. ˆj × iˆ = − kˆ. kˆ × ˆj = −iˆ. iˆ × kˆ = − ˆj. r. r. Si se expresan los vectores A y B , en términos de las componentes y de los vectores unitarios, la magnitud del vector producto cruz se puede calcular mediante un arreglo matricial:. r r A × B = ( A1iˆ + A2 ˆj + A3 kˆ) × ( B1iˆ + B2 ˆj + B3 kˆ) r r A × B = ( A1 B1iˆ × iˆ + A1 B2 iˆ × ˆj + A1 B3iˆ × kˆ) + ( A2 B1 ˆj × iˆ + A2 B2 ˆj × ˆj + A2 B3 ˆj × kˆ) + ( A B kˆ × iˆ + A B kˆ × ˆj + A B kˆ × kˆ 3. 1. 3. 2. 3. 3. Aplicando las propiedades del producto cruz entre los vectores unitarios y reordenando los términos, el producto cruz entre dos vectores, se puede calcular mediante la siguiente ecuación matricial:. - 13 -.

(14) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r r A × B = (A 2 B3 − A3 B2 )iˆ + ( A3 B1 − A1 B3 ) ˆj + ( A1 B2 − A2 B1 ) kˆ. Fórmula matricial. 3.10. El producto vectorial tiene una sencilla e importante interpretación geométrica que resuelve bastantes problemas. La norma (o módulo) del vector producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por los vectores que lo definen, figura 3.7.. B sen θ. Figura 3.7 El producto vectorial es equivalente al área del paralelogramo formado por los dos vectores.. EJEMPLO 3.7 Sean los vectores definidos por:. r A = 5iˆ + 6 ˆj − 4kˆ r B = −2iˆ − 4 ˆj + 5kˆ a) Calcular el producto vectorial, b) Calcular el ángulo que forman los dos vectores. c) Los cosenos directores del vector producto cruz.. Solución Antes de usar la fórmula, es recomendable expresar las componentes rectangulares (o coordenadas) de cada vector de la siguiente manera:. A1 = 5 A2 = 6 A3 = 4. B1 = −2 B2 = −4 B3 = 5. a) Usando la fórmula matricial (ecuación 3.10) para el producto cruz, se obtiene:. r r A × B = (A 2 B3 − A3 B2 )iˆ + ( A3 B1 − A1 B3 ) ˆj + ( A1 B2 − A2 B1 ) kˆ. - 14 -.

(15) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r r A × B = (30 − 16)iˆ + (8 − 25) ˆj + (−20 − 12)kˆ r r A × B = 14iˆ − 17 ˆj − 32kˆ c) Para calcular el ángulo entre los dos vectores, usamos la expresión: d). senθ =. r r A× B AB. Para lo cual debemos calcular primero la norma de cada vector y la del vector producto cruz. Norma del vector. r A. A = 5 2 + 6 2 + (−4) 2 = 76 = 8.7. Norma del vector. r B. B = (−2) 2 + (−4) 2 + 5 2 = 45 = 6.7. Norma del vector. r r A× B. r r A × B = 14 2 + (−17) 2 + (−32) 2 = 38.8. Calculo del ángulo. θ = cos −1. 38.8 = cos −1 0.665637 = 48.2º 58.29. c) Cálculo de los cosenos directores Debemos calcular la norma del vector producto cruz. Si denotamos por. r C al vector producto cruz, entonces:. C = (14) 2 + (−17) 2 + (32) 2 = 38.84. α = cos −1. C1 14 = cos −1 = cos −1 0.3603988 = 68.87º C 38.84. β = cos −1. C2 − 17 = cos −1 = cos −1 − 0.437693 = 116º C 38.84. γ = cos −1. C3 32 = cos −1 = cos −1 0.823892 = 34.52º C 38.84. EJEMPLO 3.8 r r y A tiene una magnitud de 6 unidades y está sobre el eje x. B tiene una magnitud der4 unidades r está en el plano x-y formando un ángulo de 30º con el eje +x, figura 3.8. Calcular el producto A × B .. El vector. Solución Este ejercicio tiene dos enfoques:. - 15 -.

(16) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. Primer enfoque Usando directamente la expresión:. y. 30º. x. z Figura 3.8 El producto vectorial es equivalente al área del paralelogramo formado por los dos vectores.. r r A × B = ABsenθ r r A × B = (6)(4)( sen30º ) = 12unidades Por la regla de la mano derecha el vector producto cruz tiene la dirección del eje +z, por lo tanto. r r A × B = 12kˆ Segundo enfoque. r. r. Lo primero que debemos hacer es expresar los vectores A y B en notación vectorial.. r A = Ax iˆ = 6iˆ r B = Bx iˆ + B y ˆj = B cos 30º iˆ + Bsen30º ˆj r B = 4 cos 30º iˆ + 4sen30º ˆj r B = 2 3iˆ + 2 ˆj Las componentes de cada vector son:. A1 = 6 A2 = 0 A3 = 0. B1 = 2 3 B2 = 2 B3 = 0. Si tomamos el producto cruz como el vector. r C , entonces tenemos:. - 16 -.

(17) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. r r r C = A × B = (A2 B3 − A3 B2 )iˆ + ( A3 B1 − A1 B3 ) ˆj + ( A1 B2 − A2 B1 ) kˆ r r A × B = (0 − 0)iˆ + (0 − 0) ˆj + (12 − 0)kˆ r r A × B = 12kˆ. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Los siguientes vectores están definidos así:. r A = 2iˆ + 3 ˆj + 4kˆ r B = 3iˆ − 2 ˆj − 8kˆ r C = 4iˆ + 4 ˆj + 4kˆ r D = −2iˆ − 3 ˆj + 3kˆ Calcular las operaciones indicadas a continuación:. r. r. a) A × B ; b). r r r r r r r r r r r r r B × C ; c) C × D ; d) A ⋅ (C × B ) ; e) A × ( B × D ) ; f) ( A × C ) ⋅ B. Calcular los cosenos directores donde sea posible. r r r B tiene magnitudes A = 3 y B = 3. Su producto cruz es A × B = −5kˆ + 2iˆ . ¿Qué r B? r r 3. Un estudiante afirma que ha encontrado un vector A tal que ( 2iˆ − 3 ˆj + 4kˆ ) × A = 4i + 3 ˆj − kˆ . ¿Cree r A y r ángulo forman A y. 2. Dos vectores. usted que esto es cierto?. Explique su respuesta. 4. Un avión comercial que se mueve se mueve inicialmente a 300 km/h hacia el Este. De pronto entra en una zona donde el viento sopla a 100 km/h en una dirección de 30º al Nor-Este: ¿Cuáles son la nueva rapidez y dirección de la aeronave?. r. 5. Tenemos dos vectores expresados así: A = 5iˆ − 6 ˆj y B = 3.5iˆ + 7 ˆj . Un tercer vector. r C está en el. r r r x-y y es perpendicular al vector A . El producto escalar entre C y B es 15. Verificar si con esta r información es posible obtener las componentes del vector C . r r 6. Dos vectores están definidos por A = 5iˆ + 12 ˆj y B = −8iˆ + 5 ˆj . Calcular el ángulo, la magnitud y plano. dirección de la resultante a) Utilizando los teoremas del seno y el coseno, b) Utilizando algebra de vectores. 7. La figura 3.9 muestra tres vectores. Sus magnitudes están expresadas en unidades arbitrarias y corresponden a: A = 44 u ; B = 26.5 u y C = 31 u .. y. 56º. 28º. Figura 3.9 Ilustración gráfica del ejercicio 7.. - 17 -. x.

(18) Universidad Surcolombiana FISICA MECANICA. Clotario Israel Peralta García Unidad 3 – Algebra de Vectores. Determinar: e). r r r A ⋅ (B × C ). f). Angulo entre A y B , utilizando vectores.. r. r. r r B×C r r r 8. a) Escriba los vectores A , B , y C representados en la figura 4.10, en términos de los vectores r r r r r r r r unitarios iˆ, ˆj , kˆ . b) Calcular los productos: a) A ⋅ B ; b) B ⋅ C ; c) ( A × B ) ⋅ ( B × C ) ; c) El ángulo entre los r r r r vectores B × A y C × B ; d) Determinar por cálculo directo si hay alguna diferencia entre los productos r r r r r r r r r r r r A × ( B × C ) y ( A × B) × C ; e) Calcular A ⋅ ( B × C ) y ( A × B) ⋅ C , determinar si hay alguna diferencia; f) r r r Calcular (C × A) ⋅ B y comparar este resultado con los dos anteriores. g) Los cosenos directores del vector. y (12 m). 37º. x 60º. 40º. (15 m). (6 m). Figura 3.10 Ilustración gráfica del ejercicio 8.. - 18 -.

(19)