Unidad_didactica_I_Parte.pdf

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La enseñanza de la Estadística:

más allá de procedimientos y técnicas.

Unidad didáctica.

Segunda Parte.

Curso bimodal de capacitación para docentes de la

Educación Secundaria.

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Contenidos

Introducción ... 2

Representación estadística ... 3

Análisis didáctico. ... 8

Distribuciones de frecuencia. ... 11

Análisis didáctico ... 16

Relaciones entre variables ... 20

Análisis didáctico ... 29

Uso de medidas estadísticas ... 32

Medidas absolutas ... 32

Medidas ponderadas ... 41

Medidas relativas. ... 45

Análisis didáctico ... 47

Predicciones estadísticas ... 51

Análisis didáctico ... 54

Anexo: cálculo de medidas de variabilidad. ... 56

Bibliografía ... 61

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Proyecto Reforma de la Educación matemática en Costa Rica, 2015

Introducción

Este documento constituye la segunda parte de la unidad didáctica del Curso Bimodal de Estadística para Educación Secundaria.

Los contenidos del texto complementan los conocimientos incluidos en la primera parte, incorporando el análisis de tópicos que directa o indirectamente se relacionan con los elementos incluidos en los Programas de Estudio del Ministerio de Educación Pública. En cada sección se proponen diferentes actividades cuyo análisis requiere del uso de varias técnicas estadísticas y ante todo de una reflexión acerca del mensaje de los datos en relación con el problema que les dio origen.

Además de estos componentes, en cada sección se realiza un análisis didáctico que consiste en la propuesta de un problema y una reflexión sobre los principales componentes pedagógicos que participan en su resolución. Algunas de las actividades necesitan una adaptación pedagógica para ser implementadas en secundaria. Se incluyen algunas orientaciones en este sentido.

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Proyecto Reforma de la Educación Matemática en Costa Rica, 2015

3 Representación estadística

Una vez que se cuenta con datos pertinentes, válidos y confiables, se requiere aplicar la o las técnicas por medio de las cuales se utilizan los datos para describir el fenómeno estudiado y buscar una solución al problema que les dio origen. Hay que recordar que la Estadística es una disciplina científica que fundamentalmente permite describir los patrones de variabilidad de los datos con el propósito de comprender el comportamiento del problema y extraer las conclusiones correspondientes.

Las representaciones tabulares y gráficas son formas sencillas que se emplean para describir estos patrones. Sin embargo, tal como se indicó en la primera parte de esta unidad, es necesario prestar mucha atención al mensaje de los datos y no quedarse con la primera impresión.

Analice la siguiente situación.

Actividad 1.

La representación gráfica que se incluye a continuación fue publicada en un periódico de un país de Latinoamérica. Hace referencia a un movimiento sindical que estaba pidiendo la reivindicación de ciertos derechos.

Opinión de las personas entrevistadas en relación con una serie de reivindicaciones laborales que solicita un sindicato de empleados públicos.

Estado de Miramoya, 2010

Fuente: Periódico El Mirón, 25 de julio del 2010

Nota: los nombres del lugar y del periódico fueron cambiados para guardar confidencialidad

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4 Análisis de la actividad 1.

En una primera lectura, pareciera que no existen contradicciones en la representación; su título revela la información que comunica la gráfica, siendo esta última y la fuente bastante claras. No obstante, al sumar los porcentajes se tiene que el total es 107,6%. Con este error, la información del gráfico no es consistente. Una vez que un lector identifica este error, pierde confianza no solamente en la información del gráfico sino en cualquier otra que se haya incluido en el reportaje.

El manejo de la información en este gráfico es incorrecto. El problema de estos errores y otros del mismo tipo consiste en que toda la información que se está presentando pierde validez, pues como dijo Bob Marley:

“Basta tan solo una mentira para poner en duda todas las verdades”.

Por esta razón, quien elabora o interpreta la información de una representación estadística debe ver mucho más allá de lo que se encuentra en primera instancia, debe analizar la consistencia y la pertinencia de la información en relación con los diferentes elementos que incluye. La siguiente actividad discute otros aspectos por tomar en cuenta dentro de las representaciones estadísticas.

Actividad 2.

Analice la siguiente representación tabular, que corresponde a precipitación pluvial (en milímetros) en la zona de Las Pailas, en Liberia, Guanacaste, para el período comprendido entre marzo del 2002 y diciembre del 2007. La información ha sido obtenida de la Estación Meteorológica Las Pailas, del Instituto Costarricense de Electricidad (ICE). En el cuadro se incluye la media y la desviación estándar (D.E.) por año. Para los meses de enero y febrero del 2002 no se obtuvo información.

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a.) Indique los elementos que hacen falta al cuadro anterior, para facilitar la comprensión de la información que comunican los datos.

b.) Reelabore el cuadro, de modo que comunique información que pueda ser de fácil comprensión para un lector cualquiera.

c.) Debido a que la lluvia es factor clave para los cultivos, es necesario que los agricultores de la zona tomen en cuenta los datos sobre precipitaciones pluviales para evitar pérdidas. La información estadística se puede convertir en una herramienta muy útil para disminuir los riesgos por pérdidas en las cosechas. Algunos estudios indican que una precipitación promedio mensual alrededor de 150 mm es adecuada para diferentes cultivos, pero se requiere adicionalmente que la variabilidad no sea muy alta de un año a otro. Según esta información, ¿en cuáles meses la región donde se ubica la Estación Meteorológica Las Pailas cumple con estos requerimientos para el cultivo?

Análisis de la actividad 2.

Para analizar el cuadro en términos de sus diferentes componentes, se debe considerar si éste incluye suficiente información que permita a un lector independiente comprender el significado de los datos en su contexto, así como la fuente que proporcionó dicha información.

Puede notarse que el título no es suficientemente explicativo en relación con varios elementos.

• El título no incluye el lugar exacto donde se tomaron los datos. El cantón de Liberia es muy grande, no es lo mismo que los datos sobre precipitación pluvial sean tomados en el parque central, en la playa Nacascolo o en las cercanías del Volcán Rincón de la Vieja. Las condiciones climatológicas son muy diferentes en estos lugares.

• Con respecto al período, aunque la información que aparece dentro del cuadro es explícito en este punto, no está de más incluir en el título el período de tiempo en que la información se recabó. • La unidad de medida no es la adecuada. Normalmente la precipitación pluvial se mide en milímetros

(o centímetros) pues corresponde a una medida de longitud. En la introducción del cuadro se indica que las mediciones se realizaron en milímetros. Sin embargo, en el cuadro se indica mL o sea mililitros, esto denota una falta de consistencia en la información. En este sentido el título del cuadro debe corregirse para aclarar que la unidad de medida es mm.

• La fuente responsable de recolectar los datos no se incluye. Este es un elemento de crucial importancia. En materia climatológica existen instituciones especializadas que cuentan con equipo sofisticado para realizar esta labor, lo cual es una muestra de la calidad de la información. Además, conocer la institución responsable de recabar la información, permite determinar a quién acudir en caso de dudas o de requerir información complementaria.

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Con la información proporcionada en el inciso b) de esta actividad, la representación podría ser mejorada de la siguiente manera:

Precipitación mensual en milímetros en la zona de Las Pailas, Liberia-Guanacaste. Período marzo del 2002 - diciembre del 2007

Fuente: Información obtenida en la Estación Meteorológica Las Pailas, Instituto Costarricense de Electricidad (ICE)

Notas:

1. Los valores correspondientes a la media y D.E., representan la precipitación mensual promedio para cada año y su desviación estándar.

2. No se obtuvo información para los meses de enero y febrero del 2002.

Para responder la última interrogante según la experiencia recabada en estos seis años, se tiene la siguiente información estadística sobre precipitación pluvial por mes:

Precipitación mensual promedio en milímetros en la zona de Las Pailas, Liberia-Guanacaste. Período marzo de 2002 - diciembre de 2007

Fuente: Información obtenida en la Estación Meteorológica Las Pailas, Instituto Costarricense de Electricidad.(ICE).

Notas:

1. Los valores D.E. representan la desviación estándar por mes. 2. No se obtuvo información para los meses de enero y febrero del 2002

Mes Promedio Mensual (mm)

D.E.

(mm)

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La información anterior muestra que los meses comprendidos entre mayo y noviembre constituyen las mejores alternativas para la siembra y cosecha de productos agrícolas, según el requerimiento establecido. Aunque se podría considerar el mes de enero cuya precipitación promedio supera los 150 mm, su desviación estándar es muy alta, lo que indica que es riesgoso debido a que presenta fuertes fluctuaciones de un año a otro. Agosto y octubre son meses que también tienen una alta variabilidad en la precipitación pluvial. Pese a ello, su promedio es muy alto, lo que reduce los riesgos.

Otra representación que puede ayudar a comprender de mejor manera lo descrito anteriormente es la siguiente:

Como puede notarse, los meses de mayo, junio, agosto setiembre y octubre son los que mejor se adaptan a los requerimientos establecidos, de un mínimo de lluvia de 150 mm.

Este es un ejemplo en el que se muestra la importancia de que las representaciones que se utilizan en los análisis de datos, deben ser suficientemente explícitas en relación con la información que comunican. Este hecho brinda la oportunidad al lector, para que extraiga sus propias conclusiones sobre los datos resumidos en la representación.

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8 Análisis didáctico.

Las representaciones tabulares y gráficas pueden considerarse un tema transversal en la enseñanza de la Estadística en cualquier nivel, debido a que las diferentes técnicas estadísticas se apoyan en representaciones para simplificar los análisis y presentar los principales resultados generados. En la educación secundaria, los Programas de Estudio incluyen estas representaciones prácticamente en todos los años. A manera de ejemplo, a continuación se incluyen los conocimientos y habilidades específicas de los niveles de sétimo y octavo año, en el área de Estadística.

Sétimo año Habilidades específicas

Frecuencia *Absoluta *Porcentual

Representación Tabular:

Cuadros de frecuencia absoluta y porcentual

Analizar información estadística que ha sido resumida y presentada en cuadros, gráficas u otras representaciones vinculadas con diversas áreas. Utilizar representaciones tabulares para resumir un conjunto de datos.

Octavo año Habilidades específicas

Frecuencia *Absoluta *Porcentual

Representación Tabular:

Cuadros de frecuencia absoluta y porcentual

Gráfica: barras, circulares, lineales y diagramas de puntos.

Utilizar representaciones tabulares o gráficas con frecuencias absolutas o porcentuales, simples o comparativas.

Los problemas planteados en esta sección pueden ser replicados sin problemas para estudiantes de estos niveles, aunque se debería eliminar el concepto de desviación estándar que aparece en la actividad 2 de la I parte de este documento. Seguidamente, se realiza una adaptación de dicha actividad para que sea implementada con estudiantes de octavo año.

Problema.

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Fuente: Información suministrada por xx.1

En el análisis del gráfico, la empresa consultora señala que resulta preocupante la cantidad de hectáreas que se han venido deforestando anualmente, la cual ha ido en creciente en el período estudiado. Manifiesta además que el período de mayor crecimiento de la deforestación de la región fue entre los años 1982 y 1993, donde el aumento en las hectáreas deforestadas superó las tendencias previas y posteriores a ese período, tal como se logra observar en la gráfica.

Analice la congruencia del análisis realizado por la empresa consultora en relación con la información del gráfico y con el mensaje de los datos ¿A qué conclusión se llega?

Mediante este problema se combinan diferentes elementos didácticos que están incluidos en los Programas de Estudio. Aparte del proceso matemático de representar que está claramente incorporado al análisis, el problema permite conectar con el área de Relaciones y Álgebra, específicamente con la representación de pares ordenados en un plano cartesiano y la identificación de relaciones. A la vez se promueven los dos procesos de comunicar y razonar y argumentar. Por otro lado, en cuanto a la incorporación de los ejes disciplinares, además de la resolución de problemas se debe resaltar la contextualización activa y el uso de

tecnología, que puede aprovecharse para mejorar la representación original.

En el cierre de la actividad, el docente debe centrar la discusión sobre la representación gráfica y la información que ha pretendido ser resumida en ella. Entre otros aspectos, deberían considerarse los siguientes:

a.) Uso de la escala en los ejes de un plano cartesiano. Debe evidenciarse el problema de adoptar una escala inadecuada en uno de los ejes (en este caso eje de las abscisas), y analizar la forma en que se tergiversa la información que comunican los datos cuando la escala es incorrecta.

1 _{No se incluyeron los nombres de las empresas involucradas, ni de la región correspondiente, debido a que resultan}

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0

b.) Los supuestos que implica la elaboración de un gráfico de este tipo. Los autores del gráfico supusieron que el comportamiento del número de hectáreas deforestadas por año era lineal, para el período en que no tenían datos. Este elemento debe considerarse al momento de analizar la información, pues no necesariamente puede resultar verdadero.

c.) Se debe analizar el principal problema que conlleva la representación gráfica utilizada. Consiste en el abuso que hicieron los autores del documento de la información que poseían. Únicamente se tenían datos para cinco años, tres de ellos correspondientes a los primeros años de la década de los ochenta y dos de mediados de la década del noventa. Por medio de la gráfica, sobredimensionaron esta información tratando de mostrar un patrón de deforestación para un período de 15 años. Tal como se indicó en el punto anterior, esto implica asumir supuestos muy riesgosos con respecto a la realidad de los hechos. No se puede sobredimensionar la información que comunican los datos.

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1 Distribuciones de frecuencia

.

Las distribuciones de frecuencia constituyen una forma particular de representaciones. Se utilizan para representar en forma tabular datos cuantitativos que, por la variabilidad que presentan, normalmente se tienden a agrupar en clases para determinar de una mejor manera los patrones de variabilidad de los datos.

Actividad 3.

Suponga que una compañía de hardware para computadoras está realizando un concurso para ascender a uno de los agentes de ventas al puesto de administrador de una de sus sucursales. Para tal efecto, el Gerente General decidió aplicar una prueba de conocimientos básicos de Estadística a todos sus agentes vendedores y seleccionar en una primera etapa a aquellos que obtengan calificaciones más altas que el puntaje promedio. La prueba tuvo un valor total de 120 puntos, se desarrolló sin contratiempos, fue calificada y devuelta a los concursantes para que lo tuvieran como comprobante para las siguientes etapas. Se les indicó que se estaría comunicando la nota mínima de aprobación para la etapa de entrevistas. Desafortunadamente, el funcionario que realizaba el trabajo extravió los datos, por lo que fue despedido: únicamente se recuperó la información incompleta que aparece en el siguiente cuadro.

Compañía Hardware: Resultado de la evaluación de una prueba de conocimientos estadísticos básicos a los agentes vendedores de la compañía

Acumulado Puntajes Número de

empleados

Porcentaje de

empleados

No. de empleados

% de empleados De 60 a menos de 70 4,65

De 70 a menos de 80 8

De 80 a menos de 90 37,21 De 90 a menos de 100 25,58

De 110 a menos de 120 7 43 100,00 Total 43

Para la siguiente etapa del proceso de selección, se requiere invitar a los agentes vendedores que tienen derecho a continuar con la etapa de entrevista. El gerente general no sabe cómo proceder con el proceso. Por el prestigio de la empresa, no desea comunicar a los 43 empleados lo que ha ocurrido, por lo que requiere de un análisis estadístico que le permita resolver el problema.

a.) Complete la información del cuadro y ofrezca al gerente de la empresa una solución al problema.

b.) Indique el número de agentes vendedores que (aproximadamente) deberán participar en la etapa de

entrevistas.

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2 Análisis de la actividad 3

Una adecuada lectura de los datos del cuadro permite, mediante cálculos matemáticos simples, completar la información de la distribución de frecuencias. Por ejemplo, el hecho de que el número total de empleados es 43 permite utilizar los porcentajes 4,65 y 25,58 para determinar que el número de empleados con calificación de 60 a menos de 70 es 0,0465∙43≈2, mientras que el número de empleados con calificación de 90 a menos de 100 es 0,2558∙43≈11. Este mismo principio aplicado al porcentaje acumulado 0,3721 muestra que el número acumulado de empleados con calificación menor de 90 es 0,3721∙43=16. Por ello se tendría:

Acumulado

Puntajes Número de _empleados _deempleadosPorcentaje _empleadosNo. de Porcentaje de _empleados De 60 a menos de 70 2 4,65

De 80 a menos de 90 16 37,21 De 90 a menos de 100 11 25,58

De 110 a menos de 120 7 43 100,00 Total 43

Para obtener el número acumulado de empleados, se suma el número simple de empleados. Aplicando la operación inversa (la resta) se obtiene que el número de empleados con puntajes de 70 a menos de 80 sería:

8−2=6, de 80 a menos de 90 sería: 16−8=8. El número acumulado de empleados con puntaje menor de 100 es: 16+11=27, entonces el número de empleados con puntaje de 100 a menos de 110 es: 36−27=9. Con esto se completan los valores correspondientes al número de empleados. Los demás valores faltantes se completan tomando como referencia estos datos. Por lo que se obtendría:

Compañía Hardware: Resultado de la evaluación de una prueba de conocimientos estadísticos básicos a los agentes vendedores de la compañía

Acumulado Puntajes Número de _empleados Porcentaje de

empleados

No. de

empleados empleados % de De 60 a menos de 70 2 4,65 2 4,65 De 70 a menos de 80 6 13,95 8 18,60 De 80 a menos de 90 8 18,60 16 37,21 De 90 a menos de 100 11 25,58 27 62,79 De 100 a menos de 110 9 20,93 36 83,72 De 110 a menos de 120 7 16,28 43 100,00 Total 43 100,00

Fuente: Compañía Hardware

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Puntajes mediode Puntaje clase (X)

Número deEmpleados

(f) 𝑿∙𝒇 De 60 a menos de 70 65 2 130 De 70 a menos de 80 75 6 450 De 80 a menos de 90 85 8 680 De 90 a menos de 100 95 11 1045 De 100 a menos de 110 105 9 945 De 110 a menos de 120 115 7 805

Total 43 4055

El puntaje promedio es !!∙!! ! !!! !_! ! !!! = !"##

!" =94,30

La estimación del puntaje promedio de los 43 empleados es 94,30. Por lo tanto tendrían que seleccionar a todos los empleados de las últimas dos clases y de la clase que va de 90 a menos de 100, se esperaría que hubieran superado el promedio un poco más de la mitad. Como la frecuencia es 11 se podría suponer que lo superaron 6 agentes. El número aproximado de agentes vendedores que deberían ser entrevistados es:

7+9+6=22.

Para resolver el problema de la identificación de los agentes vendedores, se puede recomendar al gerente general de la empresa que informe a los participantes que el puntaje mínimo de aprobación es 94,30. Además, se puede solicitar a los empleados que tienen una nota superior a ese valor que se presenten a la secretaría de la gerencia para que se inscriban para la entrevista. Con esto se resuelve el problema generado en la empresa.

Como puede notarse, el uso de distribuciones de frecuencia va más allá de la simple elaboración de un cuadro que agrupa datos cualitativos o de los gráficos correspondientes, sino que presupone una lectura integral de los diferentes datos que se incluyen en el cuadro y el análisis acerca de la forma en que se pueden aprovechar los datos para extraer información que resulte útil para un problema particular. Esto quedó evidenciado con el cálculo del promedio ponderado en esta actividad.

Actividad 4

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Fuente: Escuela de Psicología, Universidad de Pitujaya

a) Analice la información del gráfico. ¿Es adecuada esta representación para realizar el análisis comparativo que pretende el investigador?

b) Utilice la información de gráfico para aplicar algunas técnicas estadísticas que ayuden al investigador a valorar con mayor precisión su hipótesis de que no existe diferencia entre hombres y mujeres en el comportamiento de este índice.

Análisis de la actividad 4.

El problema planteado nuevamente hace referencia a un grupo de datos que han sido agrupados en una distribución de frecuencias, por lo que no se tiene conocimiento de sus valores individuales sino solamente en el comportamiento grupal. La representación gráfica adoptada no es adecuada para efectuar un análisis comparativo por sexo. Las comparaciones entre dos grupos de datos de tamaños diferentes requieren recurrir a valores relativos o porcentuales, pero no a comparaciones con datos absolutos, como se hizo en esta representación gráfica. Las muestras utilizadas fueron de 200 mujeres y 500 hombres.

No obstante, del gráfico se puede extraer que hay presencia de valores extremos que corresponden a unas pocas personas con un índice de agresividad mayor del común, tanto en los hombres como en las mujeres. Aunque los datos no son comparables, se observa un índice ligeramente mayor en las mujeres que en los hombres, debido a que en el caso de las mujeres el máximo se alcanza en la tercera clase, mientras que en los hombres ese máximo se obtiene en la segunda clase.

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absoluta). De este modo, las clases empleadas para resumir la información son: de 20 a menos de 22, de 22 a menos de 24, y así sucesivamente. Entonces la distribución es:

Índice de agresividad correspondiente en una muestra aleatoria de 500 hombres y 200 mujeres de Ciudad Pitujaya, 2015

Número de personas Porcentaje de personas Hombres Mujeres Hombres Mujeres De 20 a menos de 22 45 13 9,0 6,5 De 22 a menos de 24 179 28 35,8 14,0 De 24 a menos de 26 124 80 24,8 40,0 De 26 a menos de 28 52 33 10,4 16,5 De 28 a menos de 30 40 17 8,0 8,5 De 30 a menos de 32 35 12 7,0 6,0 De 32 a menos de 34 15 7 3,0 3,5 De 34 a menos de 36 10 10 2,0 5,0 Total 500 200 100,0 100,0

Cuando se analizan los porcentajes correspondientes a cada sexo, se observa que los mayores porcentajes en los hombres se presentan en clases con más bajo índice que en las mujeres. Esto se puede observar más claramente mediante la siguiente representación gráfica:

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Hombres Mujeres Hombres Mujeres

X 𝒇𝑯 𝒇𝑴 𝑿∙𝒇𝑯 𝑿∙𝒇𝑴

De 20 a menos de 22 21 45 13 945 273 De 22 a menos de 24 23 179 28 4117 644 De 24 a menos de 26 25 124 80 3100 2000 De 26 a menos de 28 27 52 33 1404 891 De 28 a menos de 30 29 40 17 1160 493 De 30 a menos de 32 31 35 12 1085 372 De 32 a menos de 34 33 15 7 495 231 De 34 a menos de 36 35 10 10 350 350 Total 500 200 12 656 5254

El índice promedio para hombres es !!∙!!!

! !!! !!! ! !!! = !" !"!

!"" =25,31. El índice promedio para mujeres es

!_!∙!_!_! ! !!! !_!_! ! !!! = !"!#

!"" =26,27.

Como puede notarse, el índice de agresividad promedio es ligeramente mayor en las mujeres que en los hombres. Pese a ello, las diferencias son muy pequeñas y que pueden ser ocasionadas por el azar.

A manera de conclusión, del análisis gráfico y lo observado en las medidas estadísticas, podría indicarse que para las muestras estudiadas, el índice de agresividad es ligeramente superior en las mujeres.

Análisis didáctico

Las representaciones por medio de distribuciones de frecuencias aparecen como conocimiento específico en noveno año, aunque a nivel general las distribuciones de frecuencias como tales se han venido utilizando desde primaria, debido a que el cuadro que incluye los valores que la variable puede tomar y las frecuencias correspondientes (absolutas o porcentuales) corresponde a un cuadro de frecuencias.

Los problemas que fueron analizados en esta sección pueden ser desarrollados con estudiantes de noveno o décimo año, realizando las adaptaciones correspondientes a cada nivel. Por ejemplo, suponga que se plantea la actividad 3 a estudiantes de décimo año.

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Décimo año Habilidades específicas

Representaciones tabulares y gráficas Medidas de posición

*Mediaaritmética Media aritmética ponderada

1. Utilizar diferentes tipos de representaciones gráficas o tabulares para el análisis de datos cualitativos y favorecer la resolución de problemas vinculados con diversas áreas.

2. Resumir un grupo de datos mediante el uso de la moda, la media aritmética, la mediana, los cuartiles, el máximo y el mínimo, e interpretar la información que proporcionan dichas medidas. 5. Determinar la media aritmética en grupos de datos que tienen pesos relativos (o ponderación) diferentes entre sí.

6. Utilizar la media aritmética ponderada para determinar el promedio cuando los datos se encuentran agrupados en una distribución de frecuencias.

Mediante la implementación del problema, debe rescatarse la integración de habilidades específicas que se realiza, debido a que se promueven al menos cuatro habilidades en las actividades que realizan los estudiantes para buscar una solución.

En la resolución del problema se incorporan los diferentes ejes disciplinares, pero resaltan el uso de las

tecnologías (calculadora y computadora) y la contextualización activa, pues aunque la situación considerada

sea hipotética se requiere dar respuesta a un problema que enfrenta el gerente de una empresa. También se activan diferentes procesos matemáticos: razonar y argumentar, debido a los retos que deben enfrentar los estudiantes; representar, pues además de la representación tabular dada al inicio del problema se requieren incorporar otras formas de representación para extraer información pertinente y así resolver el problema. Al mismo tiempo, se realizan conexiones con el área de Relaciones y Álgebra, en el entendido de que los elementos del cuadro incluyen diferentes relaciones matemáticas.

En el cierre de la actividad, el docente debe tener presente al menos los siguientes aspectos:

a.) El significado matemático de cada uno de los componentes del cuadro. En la representación tabular dada al inicio se ofrecen las frecuencias: absoluta, porcentual y acumuladas (absoluta y porcentual). Estos elementos están relacionados matemáticamente, por lo que se deben emplear estas relaciones matemáticas para completar la información del cuadro.

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Puntajes medio de Puntaje clase (X)

Número de Empleados

(f) De 60 a menos de 70 65 2 De 70 a menos de 80 75 6 De 80 a menos de 90 85 8 De 90 a menos de 100 95 11 De 100 a menos de 110 105 9 De 110 a menos de 120 115 7

Total 43

El mayor reto que tendrían los estudiantes consiste en establecer la mejor estrategia para estimar el promedio, para ello deberían suponer que todos los datos de cada clase son iguales a su representante, o sea al punto medio de clase. De esta manera se supondría, entones que la primera clase tiene dos exámenes con puntaje de 65, la segunda clase tendría seis valores iguales a 75 y así sucesivamente, por lo que el puntaje promedio sería entonces:

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜=2∙65+6∙75+8∙85+11∙95+9∙105+7∙115

43 =

4055

43 =94,3

En esta etapa de clausura, el docente debería indicar que, gracias a la información del cuadro, aunque se pueden destacar siete clases y por ende siete puntos medios, cada uno de ellos debe ponderarse de acuerdo con la frecuencia de cada clase, pues el peso relativo de cada punto medio es diferente.

Puntajes medio de Puntaje clase (X)

Número de Empleados

(f)

𝑿∙𝒇

De 60 a menos de 70 65 2 130 De 70 a menos de 80 75 6 450 De 80 a menos de 90 85 8 680 De 90 a menos de 100 95 11 1045 De 100 a menos de 110 105 9 945 De 110 a menos de 120 115 7 805 Total 43 4055

De esta manera la fórmula para determinar el promedio es:

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜= 𝑿∙𝒇

𝒇

El símbolo Σ representa la suma de todos los valores que aparecen seguidamente, tal como se realizó arriba. Por ahora no es necesario profundizar mucho en el concepto de sumatoria, sino que el énfasis debe centrarse en el concepto de media aritmética ponderada.

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que corresponde a una entrevista. Si los estudiantes lograron determinar el promedio, se espera entonces que puedan recomendar al gerente de la empresa que invite a aquellos agentes participantes que tuvieron un puntaje superior a 94,3 a presentarse para ser entrevistados, para lo cual deben traer el comprobante de su calificación. A los demás se les debe agradecer por su participación.

En la etapa de clausura es esencial reflexionar sobre este punto, porque permite hacer evidentes los ejes disciplinares

:

l

a contextualización activa como un componente pedagógico especial y la potenciación de actitudes y creencias positivas en torno a las Matemáticas.

Para responder la pregunta 2), los estudiantes debieron ubicar el promedio en la clase que incluyen los puntajes de 90 a menos de 100.

Puntajes Número de Empleados (f) De 90 a menos de 100 11 De 100 a menos de 110 9 De 110 a menos de 120 7

Hay 16 agentes que tuvieron notas de 100 o más, los cuales deberían estar clasificados entre los 11 agentes que están entre 90 y 100, debido a que la media es 94,3. Entonces se esperaría que aproximadamente 6 de ellos tengan nota superior a la media. Por esta razón, el número aproximado de agentes clasificados para la entrevista sería 17. Acá nuevamente el docente debe resaltar el uso y significado de la media aritmética en situaciones concretas.

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2

0 Relaciones entre variables

Al igual que se observó en las actividades 1 y 2, las representaciones tabulares y gráficas pueden ser utilizadas para visualizar relaciones estadísticas entre variables: esto significa que puede observarse la forma en que una variable influye sobre la otra.

Actividad 5.

La esperanza de vida al nacer representa el número de años que en promedio viviría una persona que ha nacido recientemente y que estará sometida a condiciones de salud idénticas al momento en que nació. Esta medida estadística es un indicador demográfico de mucho valor práctico, y es considerado en el ámbito internacional como un indicador del desarrollo en salud de un país. Observe el siguiente gráfico sobre el comportamiento de la esperanza de vida al nacer del país para un período de 80 años.

Fuente: Centro Centroamericano de Población, UCR. http://ccp.ucr.ac.cr/observa/CRindicadores/evida.html

Analice el gráfico y extraiga las principales conclusiones sobre el comportamiento de la esperanza de vida al nacer entre hombres y mujeres, para el periodo 1930-2010.

a.) ¿Qué relaciones puede identificar?

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2

1 Análisis de la actividad 5

El gráfico muestra una relación demográfica que es bien conocida y que se menciona regularmente en los medios de comunicación: las mujeres tienden a ser más longevas que los hombres. Hay otro aspecto relevante que debe resaltarse sobre esta relación: a medida que aumenta la esperanza de vida al nacer, la brecha en el indicador entre hombres y mujeres también se amplía, llegando a ser de aproximadamente cinco años para el 2010.

Pero la gráfica muestra relaciones notables; observe que con el pasar de los años se ha venido experimentando un aumento en la esperanza de vida al nacer de las personas en Costa Rica. Mientras en los años treinta del siglo pasado la esperanza de vida al nacer estaba entre los 40 y 45 años, para el año 2010 este indicador rondaba los 80 años. Casi se ha duplicado en las ocho décadas que se representan. Este hecho obedece a las mejoras en el sistema de salud que se han vivido durante este período. Los resultados del indicador en el año 2010 son similares a los que poseen los países desarrollados, tal como se puede comprobar en la página del Banco Mundial: http://datos.bancomundial.org/indicador/SP.DYN.LE00.IN.

Analice las relaciones que presentan los problemas .

Actividad 6.

Observe el siguiente cuadro que muestra el comportamiento sobre el fumado y el consumo de café en una muestra aleatoria de mujeres.

Relación entre el consumo de café y el fumado en una muestra aleatoria de mujeres

Porcentaje de mujeres Fumado Alto consumo

de café consumo de café Bajo o ningún Fumadoras 60,0 6,7 No fumadoras 40,0 93,3 Total 100,0 100,0

Fuente: Centro Centroamericano de Población, UCR. http://ccp.ucr.ac.cr/

Con base en la información del cuadro, determine lo siguiente:

a.) ¿Se observa alguna relación entre el consumo de café y el fumado en esta muestra aleatoria?

b.) Entre las mujeres con alto consumo de café, determine el porcentaje de ellas que fuma, asimismo

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2

2 Análisis de la actividad 6.

Los datos del cuadro demuestran que aquellas mujeres que tienen la tendencia al fumado tienden al consumo de café y viceversa. Entre las mujeres con alto consumo de café el 60% fuma, pero este porcentaje baja a un 6,7% entre las que no consumen café o tienen un bajo consumo.

Los datos parecieran confirmar la existencia de una relación causal (causa y efecto) entre el fumado y el consumo de café. Sin embargo, estas presunciones son muy aventuradas, debido a que el análisis estadístico refleja simplemente un patrón en la variabilidad de datos, pero no justifica la relación causal. Una tendencia estadística no es suficiente para garantizar la causalidad.

Lo que ratifica la causalidad en este problema se debe al hecho de la existencia de ciertos estudios científicos que han demostrado que las personas fumadoras tienen una mayor tendencia a consumir café que las personas no fumadoras.

Relación causa y efecto:

El principio de causa y efecto a menudo no ha sido bien empleado en los medios de comunicación y por profesionales de diferentes campos, debido a que se tienden a confundir las relaciones estadísticas que muestran alguna tendencia matemática con una relación de causalidad.

En los análisis de datos, el principio básico de causalidad consiste en establecer si los resultados y tendencias observadas en el patrón de los datos obedecen a la aleatoriedad o al efecto que le provoca el comportamiento de alguna otra variable.

Para identificar si una relación estadística entre variables es causal se necesitan análisis científicos que lo corroboren.

Muchas veces, una relación estadística entre dos variables aparenta ser una relación causal; sin embargo, obedece a la participación de una tercera variable que confunde la relación. Estas variables reciben el nombre

de confusoras.

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2

3 Actividad 7.

Observe la siguiente información que se publicó en el periódico El País de España.

EL PAÍS

MARTES, 18 de octubre de 2005

El fracaso escolar es más alto en las zonas con menor renta.

Los municipios más desfavorecidos de la Comunidad son también los que tienen las tasas más altas de fracaso escolar -estudiantes de 16 años que no terminan cuarto de ESO-, según los datos del curso 2003/2004 que la Consejería de Educación ha facilitado al diputado socialista Adolfo Navarro. Los municipios con mayores tasas de fracaso -Arganda (36,5%), Torrejón de Ardoz (31%), Alcalá de Henares (27,8%) y Fuenlabrada (26,8%)- están entre las diez grandes poblaciones con la renta más baja de la región.

Fuente: http://elpais.com/diario/2005/10/18/madrid/1129634667_850215.html

Esta información fue utilizada por la Universidad Autónoma de Madrid para analizar la relación entre las variables.

Fuente: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/abaillo/AlimEst/EstAlimTema4.pdf

a) Con la información del reportaje, construya algún tipo de representación estadística que permita

evidenciar una posible relación entre la renta per cápita anual y el porcentaje de fracaso escolar en la localidad.

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4

c) ¿Será la relación anterior una relación causal? Justifique.

Análisis de la actividad 7

La publicación del Periódico El País se reproduce la representación empleada por la Universidad Autónoma de Madrid para resumir la información, se muestra que las barras más altas en renta se relacionan con las barras más bajas en fracaso escolar y viceversa. Esta es una forma muy particular de representación.

En el caso de dos variables cuantitativas, una forma de mostrar la presencia o ausencia de relación entre ellas consiste en dibujar un diagrama de puntos igualmente conocido como diagramas de dispersión.

Fuente: Periódico El País, Martes 18 de octubre del 2005.

http://elpais.com/diario/2005/10/18/madrid/1129634667_850215.html

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Fuente: Periódico El País, Martes 18 de octubre del 2005.

http://elpais.com/diario/2005/10/18/madrid/1129634667_850215.html

No todos los puntos estarían sobre esa línea debido a que no existe una relación perfecta entre las variables, lo que existe es una tendencia en forma curvilínea que modela la relación.

Resulta difícil determinar si la relación anterior es causal o no, debido a que se requieren estudios más especializados; no obstante, pareciera lógico pensar que al aumentar la inversión en educación se disminuya el fracaso escolar, debido a que las el sistema educativo podría ofrecer mejores condiciones académicas a los estudiantes.

Actividad 8.

En la revista cubana Salud Pública, se publicó el artículo denominado “Bajo peso al nacer y tabaquismo”. La principal conclusión a la que llegó el estudio es: “Este estudio confirma los reportes anteriores de que los niños nacidos de madres fumadoras son significativamente de menor peso que aquellos cuyas madres no fuman. El riesgo fue 2 y media veces mayor en el grupo de fumadoras.” http://bvs.sld.cu/revistas/spu/vol25_1_99/spu08199.pdf

Al respecto, un famoso ginecólogo estadounidense llamado Robert Welch ha señalado:

Fumar durante el embarazo expone al bebé a sustancias dañinas como la nicotina, el monóxido de carbono y otras toxinas que pueden afectar su desarrollo físico y cerebral. El bebé de una embarazada que fume un paquete de tabaco al día pesará al nacer media libra (226 gramos) menos como promedio (Tenga presente que “promedio” significa que algunos bebés se verán más afectados que otros). Esto es muy serio porque nacer con poco peso es uno de los principales factores asociados con enfermedades, posibles discapacidades e incluso la muerte del recién nacido.

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6

https://elestanquillo.wordpress.com/2012/10/31/la-nicotina-provoca-enfermedades-en-varias-generaciones-de-madres-fumadoras/

Al respecto hace unos unos años se realizó un estudio para determinar algunas de las causas del bajo peso al nacer (BPN) en los niños. Se dio seguimiento a una gran muestra aleatoria de mujeres embarazadas; surgió una interesante paradoja para la que a diferencia de lo anterior, no existían estudios científicos que la respaldaran. Se logró determinar que las mujeres con alto consumo de café presentaban un riesgo relativo de niños con BPN, aproximadamente el doble con respecto a las que tienen consumo bajo o del todo no consumen café.

Relación entre el consumo de café de una muestra aleatoria de madres embarazadas y el nacimiento de niños con bajo peso al nacer (BPN)

Consumo de café en madres Porcentaje de niños con BPN Bajo o ningún consumo de café _5,7

Alto consumo de café _11,0

Fuente: Centro Centroamericano de Población, UCR. http://ccp.ucr.ac.cr/

a) Con base en la información del cuadro, ¿es cierto que, para esta muestra de mujeres, el riesgo

relativo de que nazca un niño con bajo peso es el doble entre las mujeres que tienen un alto consumo de café respecto de aquellas que no tienen esa costumbre?

b) ¿Qué opina usted de estos resultados?

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2

7 Análisis de la actividad 8.

Observe que, entre las madres con bajo o ningún consumo de café, solamente el 5,7% tuvo niños con bajo peso, mientras que entre las madres con alto consumo el porcentaje de niños con bajo peso es del 11,0%, lo que efectivamente evidencia una relación del dos a uno.

Con un carácter sensacionalista se podría llegar a recomendar a las mujeres que disminuyan el consumo de café mientras se encuentren en la condición de embarazo. Sin embargo, la relación estadística presente en el estudio debe ser analizada en un contexto mayor y buscar respuestas científicas que pudieran justificarla.

En la actividad 6 se pudo determinar que las mujeres con alto consumo de café tienen una mayor tendencia al fumado. La información que aparece al inicio de la actividad indica que se ha demostrado científicamente que el fumar durante el embarazo es una clara causa de que los niños nazcan con bajo peso (es decir, existe una relación de causa y efecto entre el fumado durante el embarazo y el bajo peso en los niños al nacer). Los estudios citados demuestran que las madres fumadoras tienen un riesgo relativo de tener niños con bajo peso, entre dos y tres veces superior al que presentan las madres no fumadoras.

Tomando en cuenta estos elementos, se podría pensar que la relación estadística presente en el cuadro entre el consumo de café y el bajo peso de los niños al nacer no obedece a una relación causa y efecto, sino que responde más bien a un efecto indirecto del fumado. Observe el siguiente cuadro, en el cual se analiza nuevamente el fenómeno en estudio, pero ahora incluyendo las tres variables involucradas.

Relación entre el consumo de café de una muestra aleatoria de madres embarazadas y el nacimiento de niños con bajo peso al nacer (BPN),controlando por fumado

Condición de fumado

Alto consumo de café Bajo o ningún consumo de café Tamaño de

muestra (%) Niños con BPN (%) muestra (%) Tamaño de Niños con BPN (%) Fumadoras 60,0 15,0 6,7 15,0 No fumadoras 40,0 5,0 93,3 5,0 Total 100 11,0 100 5,7

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8

Puede notarse que al realizar el análisis incluyendo la variable fumado (se controla la relación con el fumado), desaparece la relación estadística entre consumo de café y el nacimiento de niños de bajo peso. Este hecho pone de manifiesto que la paradoja proviene de que las madres con alto consumo de café tienen una mayor tendencia al fumado que aquellas con bajo o ningún consumo de café. Observe que entre las mujeres que tuvieron un alto consumo de café, el porcentaje de niños con bajo peso fue de 15% entre las fumadoras y 5% entre las no fumadoras; cifras que también se presentaron entre aquellas con bajo o ningún consumo de café.

Igualmente, resulta interesante rescatar que, entre las madres observadas, el riesgo relativo de que un niño nazca con bajo peso es tres veces mayor entre madres fumadoras respecto a las no fumadoras, valor que se asemeja alcitado en la revista cubana Salud Pública.

Por todo lo anterior, se deduce que la relación entre el consumo de café durante el embarazo y el nacimiento de niños con bajo peso corresponde a una relación espuria que responde a la participación del fumado, el cual actúa como variable confusora.

El análisis anterior deja en evidencia que quien elabora o interpreta la información de una relación estadística debe ver mucho más allá de lo que se encuentra en primera instancia. De lo contrario, puede caer en errores y conclusiones equivocadas.

Riesgo relativo y relaciones causales perfectas:

Además del concepto de relaciones de causa y efecto, el análisis de las actividades anteriores involucró otros que merecen la atención del lector.

En primer lugar, el concepto de riesgo relativo que se menciona en la revista cubana Salud Pública, afirmando que “El riesgo fue 2 y media veces mayor en el grupo de fumadoras”, y que a la vez se comenta en el análisis de la actividad. En términos generales, este concepto proviene de la razón de probabilidades entre dos fenómenos. En el ejemplo anterior, el último cuadro demuestra que la probabilidad frecuencista de que una madre tenga un niño de bajo peso es 0,15 para las madres fumadoras, mientras que esta probabilidad es de 0,05 para las madres no fumadoras. Entonces el riesgo relativo entre madres fumadoras y no fumadoras de tener un niño de bajo peso es !_!,!"_,!"=3. Se interpreta que es tres veces más probable que una madre fumadora tenga un niño de bajo peso que una madre no fumadora.

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2

9

anteriormente se ha mencionado que existe una relación causal entre el fumado durante el embarazo y el nacimiento de niños con bajo peso; y aunque dicha relación es verdadera, no puede garantizarse que una mujer que fuma durante el embarazo va a tener un niño de bajo peso. Lo único que se sabe es que al fumar aumenta las probabilidades de que esto ocurra, pero no lo garantiza. En el caso contrario, una madre que no fuma durante el embarazo no puede garantizar que no tenga un niño con bajo peso. Esto se debe a que, además del fumado, existen muchas otras causas que pueden provocar que nazca un niño con bajo peso.

Análisis didáctico

El tema de relaciones entre variables no aparece como un contenido independiente en los Programas de Estudios, debido a que no representa un contenido en sí mismo, sino que el análisis de relaciones entre variables debería aparecer en problemas con diferentes conceptos estadísticos

Los ejemplos planteados en esta sección se concentraron en el uso de representaciones tabulares y gráficas; pero también pueden ser analizadas relaciones entre variables mediante el uso de otros conceptos estadísticos. Considere el siguiente problema que se propone plantear para estudiantes de décimo año.

Problema.

Según información publicada en la página web elmundo.es SALUD

(http://www.elmundo.es/elmundosalud/2005/06/30/medicina/1120155622.html), se establece que la situación de la salud en los países africanos es realmente crítica. Múltiples enfermedades y poca inversión en salud amenazan a los habitantes de estos países generando una alta mortalidad en todas las edades. Entre los países que viven esta situación está Costa de Marfil, país que se encuentra en África Occidental.

Por otro lado, estudios del Banco Mundial, publicados en la página Web

http://www.infobae.com/2014/02/01/1540842-por-que-los-paises-escandinavos-e-islandia-encabezan-todos-los-rankings-mundiales, indican que en materia de salud los países escandinavos encabezan los ranking mundiales. Por ejemplo, Dinamarca aparece entre los países con la mayor inversión per cápita en esta área y con excelentes índices de salud.

Una medida estadística que se utiliza para establecer el comportamiento de la mortalidad de un país es la tasa bruta de mortalidad (TBM), que se determina dividiendo el número de defunciones ocurridas en un lugar en un período de tiempo (normalmente un año) entre la población del lugar a mitad del período; el resultado se multiplica por mil.

𝑇𝐵𝑀= 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

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3

0

Se interpreta como el número de defunciones durante el período por cada mil habitantes.

Si se analiza el comportamiento de esta medida en el año 2012, según se ha publicado en el anuario CIA World Factbook de la Agencia Central de Inteligencia de los Estados Unidos, la tasa bruta de mortalidad de Dinamarca y de Costa de Marfil se indica a continuación:

País Tasa Bruta de Mortalidad(por _{mil habitantes)} Dinamarca 10,19

Costa de Marfil 9,96

a.) Analice la información del cuadro, interprete la tasa bruta de mortalidad de Dinamarca y de Costa de Marfil.

b.) Discuta con sus compañeros sobre las posibles razones por las cuales la tasa bruta de mortalidad es un poco más baja en Costa de Marfil que en Dinamarca, a pesar de que las condiciones de salud son mucho mejores en Dinamarca.

Este problema se puede implementar en décimo año para promover habilidades vinculadas con el uso e interpretación de representaciones estadísticas. El proceso de razonar y argumentar es el que está más afianzado para lograr una respuesta lógica al problema. Por otro lado, debido a que el problema obedece a hechos reales, la contextualización activa resalta sobre los otros ejes disciplinares que están presentes en el análisis, más aún si se considera que la respuesta al problema debe deducir que tanto la mortalidad de un país como sus condiciones de salud se deben al contexto general de cada país.

El docente debe prestar mucha atención al trabajo estudiantil, de modo que las reflexiones que se realicen converjan a situaciones concretas y realistas. Podría ocurrir que los estudiantes no logren encontrar elementos que expliquen la paradoja planteada, lo que implicaría que el docente brinde alguna información adicional sobre el contexto demográfico en que se encuentran ambos países. Podría solicitarles que analicen la conformación por edad de los países, en cuál de ellos hay más población joven y en cuál hay más población adulta mayor.

En la etapa de cierre, el docente debe volver sobre la paradoja estudiada, en el sentido de que sería de esperar que exista una relación causal entre la mortalidad de un país con las condiciones de salud. El hecho de que Costa de Marfil tenga una tasa de mortalidad menor que Dinamarca puede tener su explicación en el contexto de cada país.

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3

1

envejecidas que experimentan una natalidad muy baja y porcentajes de adultos mayores muy altos. Por esta razón, la población de Dinamarca, al ser de mayor edad, está más expuesta al riesgo de morir, de allí que la tasa de mortalidad sea mayor. Entonces la edad de los habitantes es la variable confusora, que generó la paradoja del problema.

Puede complementar lo anterior enseñando el siguiente cuadro, que evidencia las diferencias en la distribución de la población entre los países y explica la paradoja.

Distribución de la población por grupos de edad en Dinamarca y Costa de Marfil para el 2012

Población Dinamarca Costa de Marfil De 0 a 14 años 17,6% 39,8% De 15 a 64 años 65,3% 57,2% 65 años y más 17,1% 3,0% Total 100% 100%

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3

2 Uso de medidas estadísticas

Medidas absolutas

En general, muchos de los ejemplos acá expuestos demuestran que el análisis de la información estadística trasciende la técnica adoptada, por lo que el proceso educativo debe preparar a los estudiantes para ir más allá de su mera implementación.

Actividad 9.

Carlos Mora es propietario de una empresa agrícola productora de maíz. Recientemente ha adquirido una finca de gran cantidad de hectáreas que desea utilizar para cosechar el grano. El principal problema que enfrenta consiste en decidir cuál variedad de maíz es no solamente más productiva sino también la que contenga menor variabilidad en la producción: esto pues debe buscar un equilibrio entre producción y variabilidad, para reducir así los riesgos y planificar mejor las ganancias esperadas. En la preparación de la finca va a necesitar varios meses, razón por lo que decidió aprovechar el tiempo y trabajar con pequeñas parcelas para realizar un experimento con el cultivo de las tres variedades que, por experiencia pasada, aparentemente son las que han tenido el mejor comportamiento productivo en la zona: Tico-V9, Diamantes y Guarare.

De este modo, cultivó 90 pequeñas parcelas de igual tamaño con estas variedades. Dividió aleatoriamente las parcelas en grupos de 30 y las cultivó con una de las tres variedades. La preparación de la tierra, el abono aplicado y el sistema de riego fueron los mismos para las 90 parcelas. Al final del proceso recolectó la cosecha. Seguidamente se incluyen los resultados en kilogramos de maíz producidos por parcela:

No. de parcela

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3

12 54 59 61 27 62 65 66 13 61 62 53 28 48 49 53 14 55 60 62 29 61 63 56 15 49 54 59 30 62 66 63

Realice un análisis estadístico que le permita al señor Carlos Mora tomar una decisión sobre la variedad de maíz que debería sembrar en su finca? Los argumentos empleados por usted deben ser suficientemente convincentes para que el señor Mora pueda elegir con mayor seguridad.

Análisis de la actividad 9.

Este tipo de estudios se denomina diseño de experimentos, para el cual existen técnicas inferenciales especializadas. Sin embargo, desde el punto de vista de los conocimientos estadísticos incluidos en los Programas de Estudio de Matemáticas y de las habilidades que se pretenden desarrollar, es viable concretar un análisis descriptivo que le ayude al señor Mora a tomar la decisión. Una primera aproximación puede consistir en construir una distribución de frecuencias comparativa para la producción generada de las tres variedades de maíz.

Producción de maíz por parcela para las variedades Tico-V9, Diamantes y Guarare, para una muestra aleatoria de 30 parcelas por variedad.

Finca Carlos Mora, 2015

Tico-V9 Diamantes Guarare Producción de maíz (Kg)

No. de parcelas Porcentaje de parcelas No. de parcelas Porcentaje de parcelas No. de parcelas Porcentaje de parcelas De 34 a menos de 38 - - 1 3,3 - - De 38 a menos de 42 1 3,3 3 6,7 - -

De 42 a menos de 46 ₂ _6,7 1 3,3 - - De 46 a menos de 50 ₆ _20,0 2 6,7 - - De 50 a menos de 54 ₄ _13,3 2 6,7 4 13,3 De 54 a menos de 58 ₆ _20,0 4 13,3 8 26,7 De 58 a menos de 62 ₄ _13,3 8 26,7 10 33,3 De 62 a menos de 66 ₄ _13,3 4 13,3 6 20,0 De 66 a menos de 70 ₁ _3,3 1 3,3 2 6,7 De 70 a menos de 74 ₂ _6,7 2 6,7 - - De 74 a menos de 78 - - 0 0,0 - - De 78 a menos de 82 - - 1 3,3 - - De 82 a menos de 86 - - 2 6,7 - - Total 30 100 30 100 30 100

Fuente: Información recabada por el señor Carlos Mora, 2015

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4

estos datos se presentan las frecuencias más altas para las tres variedades, aunque este rango incluye toda la producción generada por la variedad Guarare. La variedad Diamantes es la que presenta los valores de producción más altos en algunas parcelas, pero al mismo tiempo presenta los valores más bajos para otras parcelas. La variedad Tico-V9 presenta una particularidad, pues sus máximos porcentajes se obtienen en dos clases diferentes no contiguas, lo que representa una distribución bimodal (dos modas).

Los polígonos de frecuencia comparativos ayudan a visualizar mejor lo que se ha citado anteriormente:

Observe que las tres distribuciones son aproximadamente simétricas, y que la producción de la variedad Tico-V9 pareciera ser más baja que la correspondiente a las otras variedades. Por lo demás todo lo discutido arriba se ratifica en esta representación gráfica. Aunque se debe hacer notar que para llevar la información al señor Carlos Mora puede resultar más simple presentar el gráfico que el cuadro.

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Producción de maíz por parcela para las variedades Tico-V9, Diamantes y Guarare, para

una muestra aleatoria de 30 parcelas por variedad. Finca Carlos Mora, 2015

Medidas

estadísticas Variedades de maíz

Tico-V9 Diamantes Guarare Promedio 55,07 58,87 58,73 Desviación Estándar 8,10 11,83 4,10

Esta información resulta relevante, pues muestra que la producción promedio por parcela en las variedades Diamantes y Guarare es muy similar; pero se demuestra una vez más que la producción media de Tico-V9 es la más baja. Además, existen grandes diferencias en la variabilidad de producción por parcela. Este hecho pareciera inclinar la balanza hacia la producción Guarare, pues los resultados de la muestra reflejan que en general la producción media es similar pero con mucha menor variabilidad, lo cual reduce el riesgo y da mayor tranquilidad al señor Mora.

Pese a ello, debido a la gran inversión que el señor Mora va a realizar, solicita que le ofrezcan elementos visuales más simples que puedan ayudar a tomar la mejor decisión. Una estrategia consiste en construir un diagrama de cajas con la información. Para ello se requieren calcular medidas estadísticas para las cuales los datos deben estar ordenados de menor a mayor:

No. de

parcela Tico-V9 Diamantes Guarare

No. de parcela

Tico-V9 Diamantes Guarare 1 40 35 51 16 55 60 59 2 43 38 53 17 55 60 59 3 43 40 53 18 55 60 60 4 46 43 53 19 55 61 60 5 48 49 54 20 60 61 61 6 48 49 55 21 61 62 61 7 49 52 55 22 61 63 61 8 49 53 56 23 61 64 62 9 49 54 56 24 62 65 62 10 50 54 56 25 62 66 63 11 51 56 57 26 63 70 63 12 52 57 57 27 65 73 64 13 52 58 58 28 69 78 65 14 54 58 58 29 70 83 66 15 54 59 58 30 70 85 66

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3

6

Medidas Tico-V9 Diamantes Guarare Mínimo 40 35 51 Máximo 70 85 66 Recorrido 𝟕𝟑−𝟒𝟑=𝟑𝟎 𝟖𝟓−𝟑𝟓=𝟓𝟎 𝟔𝟔−𝟓𝟏=𝟏𝟓

Los valores mínimo y máximo simbolizan la menor y mayor producción de maíz entre las parcelas observadas, mientras que el recorrido representa la mayor diferencia en la producción de maíz entre las parcelas.

Una vez que los datos están ordenados, el cuartil m se ubica en la posición !!_!!!, donde n representa el

número de datos. De esta manera, el primer cuartil está en la posición !∙!"_! =!"_! =7,75. Entonces el primer cuartil se encuentra entre los datos siete y ocho. Por otro lado, el tercer cuartil se encuentra en la posición !∙!"

! =

!"

! =23,25, por lo que se sitúa entre el dato 23 y el dato 24.

Al tomar los valores de la base de datos ordenada de menor a mayor y ubicar los números de la posición 7 y 8, 23 y 24, se procede a promediarlos y completar esta tabla.

Medidas Tico-V9 Diamantes Guarare Primer cuartil 49+₂49=49 52+₂53=52,5 55+₂56=55,5 Tercer cuartil 61+₂62=61,5 64+₂65=64,5 62+₂62=62,0

Recorrido

intercuartílico 61,5−49=12,5 64,5−52,5=12,0 62,0−55,5=6,5

En el caso del primer cuartil, significa que el 25% de las parcelas tuvieron una producción inferior a los valores de la tabla valor (49 Kg en el caso de Tico-V9, 52,5 Kg en el caso de Diamantes y 55,5 Kg en el caso de Guarare) y el 75% tuvo una producción superior. En el caso del tercer cuartil, significa que el 75% de las parcelas tuvo una producción inferior a los valores de la tabla (61,5 Kg en el caso de Tico-V9 y de Diamantes y 62,0 Kg en el caso de Guarare).

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Por último la mediana puede utilizar la fórmula del segundo cuartil, o también considerar que el valor central es:

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎=

𝑋!!!

! 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑋!

! +𝑋!! !!

2 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟

Como n = 30 es par, entonces la mediana es el promedio de los datos que están en la posición 15 y en la posición 16.

Tico-V9 Diamantes Guarare Mediana 54+55

2 =54,5

59+60

2 =59,5

58+59

2 =58,5

La mediana es el valor para el cual el 50% de las parcelas tiene una producción menor o igual a ese valor y el otro 50% tiene una producción mayor. La producción de Diamantes tiene una mediana ligeramente superior.

La información de estas medidas se puede resumir en un diagrama de cajas como el siguiente: