P O L I E D R O S
P A R A P R A C T I C A R
Indica cuáles de los siguientes cuerpos geométricos son poliedros.
La pirámide y el prisma son poliedros.
Escribe el nombre de los siguientes poliedros según el polígono de su base.
a) b) c) d)
a) Prisma triangular b) Prisma octogonal c) Pirámide pentagonal d) Pirámide cuadrangular
Identifica los elementos señalados en estos poliedros.
a) b)
a) Vértice, cara y arista. b) Vértice, arista y cara.
Ejercicio resuelto
Dibuja el desarrollo plano de una pirámide cuadrangular cuya altura mide 9 centímetros, y el lado de su base, 3 centímetros.
13.4 13.3 13.2 13.1
3 cm
La altura de un prisma triangular mide 10 centímetros, y su base es un triángulo equilátero de 5 centí-metros de lado. Dibuja su desarrollo plano.
Una pirámide tiene por base un hexágono regular de 4 centímetros de lado, y la altura de una cara mide 7 centímetros. Dibuja su desarrollo plano.
13.6 13.5
10 cm
5 cm 5 cm
4 cm
4 cm
P A R A A P L I C A R
Dibuja el desarrollo plano de este tetra brik.
Un gorro tiene forma de pirámide cuadrangular de forma que el lado de la base mide 14 centímetros y una arista lateral, 30 centímetros. Dibuja dicha pirámide y su desarrollo plano.
Dibuja el desarrollo plano e identifica los elementos de un envase de caramelos con forma de pirámi-de como muestra la figura.
Las alturas de una pirámide y de un prisma hexagonal miden 12 centímetros, y sus bases son hexá-gonos regulares de 7 centímetros de lado. Dibuja ambos cuerpos y sus desarrollos planos.
13.10 13.9 13.8 13.7
5 cm 12,5 cm
12,5 cm 5 cm
16 cm
30 cm
14 cm 30 cm
14 cm
193 cm 7 cm
12 cm
7 cm 7 cm
12 cm 12 cm
7 cm Vér tice
Cara
C U E R P O S R E D O N D O S
P A R A P R A C T I C A R
Clasifica los siguientes cuerpos geométricos en poliedros y cuerpos redondos
a) Pirámide pentagonal. b) Esfera. c) Cono. d) Cubo.
Identifica los elementos señalados en estos cuerpos redondos.
a) b)
a) Bases, altura, radio y generatriz. b) Base, altura, radio y generatriz.
Ejercicio resuelto
La altura de un cilindro mide 10 centímetros, y el radio de su base es de 6 centímetros. Dibuja el cilindro y su desarrollo plano.
La generatriz de un cono mide 11 centímetros, y el radio de su base, 7 centímetros. Dibuja el cono y su desarrollo plano.
13.14 13.13 13.12 13.11
•
•
•
•
10 cm 6 cm
11 cm
7 cm
7 cm 11 cm
¿Cuál de las siguientes figuras engendra una esfera al girar sobre uno de sus lados?
Únicamente engendra una esfera el semicírculo.
Las alturas de un cilindro y un cono miden 15 centímetros, y el radio de sus bases, 6 centímetros. Di-buja los dos cuerpos y sus desarrollos planos.
Dibuja el cilindro que se obtiene al girar el rectángulo ABCD sobre el lado AD. Indica las medidas más importantes del cuerpo obtenido.
Dibuja el cono que se obtiene al girar el triángulo ABC sobre el lado AC. Indica las medidas más im-portantes del cuerpo obtenido.
13.18 13.17 13.16 13.15
261 cm
15 cm
6 cm
12. cm
15 cm
6 cm
6 cm
6 cm
15 cm
6 cm
A
4 cm
8 cm
B
D C
A
4 cm
8 cm
B
D C
A B
D C
Radio base = AB = CD Altura = BC = AD
A
8 cm
B
C 6 cm
C A
B Radio base = BC
Altura = AC Generatriz = AB
A 6 cm
8 cm B
P A R A A P L I C A R
Se quiere formar un bote cilíndrico que tenga 9 centímetros de altura y el radio de su base mida 1,5 centímetros. Dibuja su desarrollo plano para ver el papel que necesitamos.
Un cucurucho de helado tiene forma de cono. El diámetro de su base mide 5,6 centímetros, y su ge-neratriz 10,5 centímetros. Dibuja el desarrollo plano del cono e identifica sus elementos.
13.20 13.19
3. cm
1,5 cm
9 cm
5,6.π cm Generatriz 10,5
cm
5,6 cm Vér tice
Super ficie lateral
V O L U M E N . U N I D A D E S D E V O L U M E N
P A R A P R A C T I C A R
¿Cuántos cubos se necesitan para formar los siguientes cuerpos geométricos?
a) b)
a) 9 cubos. b) 8 cubos.
Tomando como unidad de volumen 1 cubo, calcula el volumen de estos cuerpos geométricos.
a) b)
a) 8 cubos. b) 8 cubos.
Ejercicio resuelto
Halla el volumen de este cuerpo geométrico tomando un cubo como unidad.
La figura tiene 4 pisos, formados por cubos. 1.er piso: 49 cubos 3.er piso: 9 cubos
2.o piso: 25 cubos 4.opiso: 1 cubo
49 25 9 1 84 El volumen es 84 unidades.
Halla el volumen de estos cuerpos geométricos si el volumen de cada cubo es 1 centímetro cúbico.
a) b)
a) 2 (5 4 3 2 1) 30 cm3 b) 2 (4 3 3) 20 cm3
El cubo soma es un puzle formado por las piezas que reproducimos aquí. El juego consiste en unir las 7 pie-zas y obtener un cubo sin dejar ningún hueco entre ellas.
a) Determina el volumen de cada pieza.
b) ¿Cuál será el volumen del cuerpo que se obtiene al unirlas todas sin huecos?
a) Todas las piezas están formadas por 4 cubos; por tanto, su volumen es de 4 unidades menos la cuarta pieza de la primera fila, que está formada por 3 cubos, por lo que su volumen es de 3 unidades.
b) 6 4 3 27 unidades.
Indica a cuántos centímetros cúbicos equivalen:
a) 61 m3 b) 7 dm3 c) 9 128 mm3
a) 61 m361 000 000 cm3 b) 7 dm37 000 cm3 c) 9 128 mm39,128 cm3
Pasa a metros cúbicos los siguientes volúmenes.
a) 34 dm3 c) 458 dam3
b) 63,7 cm3 d) 0,37 hm3
a) 34 dm30,034 m3 c) 458 dam3 458 000 m3
b) 63,7 cm3 0,0000637 m3 d) 0,37 hm3 370 000 m3
13.27 13.26 13.25
P A R A A P L I C A R
Se han empaquetado 12 novelas de igual tamaño de la forma que muestra la ilustración.
Halla las medidas de cada novela.
3162 3 cm
Por tanto, las medidas de cada novela son: 18 11,5 3 cm
Las dimensiones del envase de una medicina son 9, 2 y 2 centímetros, respectivamente. ¿Cuántos me-dicamentos se podrán guardar en una caja de 36, 10 y 16 centímetros, respectivamente?
Como 3 9
6
4 1 2
0
5 1 2
6 8
Se podrán guardar: 4 5 8 160 envases de medicamento en la caja.
Las medidas, en centímetros, de una caja de canelo-nes son las que aparecen en la figura.
a) Si se quieren empaquetar 24 cajas, dibuja tres ti-pos distintos de empaquetados que se pueden realizar.
b) Calcula las medidas de esos paquetes.
c) A pesar de ser muy diferentes, ¿tendrían todos ellos el mismo volumen?
a)
b) i) 12 18 32 cm ii) 16 18 24 cm iii) 16 27 16 cm
c) Todas las cajas tienen igual volumen, ya que:
12 18 32 6 912 cm3 16 18 24 6 912 cm3 16 27 16 6 912 cm3
Volumen de cubos y de ortoedros
Problema resuelto
Para enviar ayuda humanitaria tras un maremoto, se empaquetan los medicamentos en cajas de dos tipos, como muestran las figuras. Halla el volumen de cada una de ellas.
a) b)
a) V4364 dm3 b) V 5 3 2 30 dm3
13.31 13.30 13.29 13.28 1,8 dm 36 cm 115 mm 8 cm 4 cm 9 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 8 cm 9 cm 9 cm 4 cm 4 cm
4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 9 cm
P A R A P R A C T I C A R
Halla el volumen de los siguientes cuerpos.
a) b)
a) 2 2 2 3222 cm3 b) 3 4 42 23 cm3
Calcula el volumen de estos cubos.
a) b)
a) V 23 8 cm3 b) V63 216 cm3
Determina el volumen de los siguientes ortoedros.
a) b)
a) V 8 4 10 320 cm3 b) V
3 7 12 252 cm3
Ejercicio resuelto
El volumen de un cubo es 125 centímetros cúbicos, ¿cuánto mide su arista?
V a3125 →a5 cm
La arista del cubo mide 5 centímetros.
El volumen de un ortoedro es igual a 5 160 centímetros cúbicos. Si las dimensiones del rectángulo de su base son 43 y 15 centímetros, respectivamente, ¿cuánto mide su altura?
h
4 5 3 1
6 1 0
5 8 cm La altura mide 8 cm.
La base de un ortoedro mide 654,75 centímetros cuadrados. Halla su altura, sabiendo que su volumen es 5 238 centímetros cúbicos.
h
6 5
5 2 4 3 ,7
8
5 8 cm La altura mide 8 cm. 13.37
13.36 13.35 13.34 13.33 13.32
1 cm3
1 cm3
2 cm 6 cm
8 cm 10 cm
4 cm
3 cm 7 cm
Copia y completa esta tabla, que muestra las di-mensiones y el volumen de varios ortoedros.
13.38
A B C D
Largo (cm) 3,2 6,3 4,5
Ancho (cm) 5 4,5 3,4
Alto (cm) 6,3 3,7 11,5
Volumen (cm3) 61,2 120 95,7
A B C D
Largo (cm) 3,2 3,676 6,3 4,5
Ancho (cm) 5 4,5 1,66 3,4
Alto (cm) 6,3 3,7 11,5 6,25
P A R A A P L I C A R
Se tiene un cubo de 5 centímetros de arista y se duplica la medida de la arista. a) ¿Se duplica el área de la base?
b) ¿Se duplica el volumen del cubo? c) ¿Cuánto mide el volumen de cada cubo?
a) Si se duplica la arista, el área de la base se multiplica por 4 22.
b) Si se duplica la arista, el volumen del cubo se multi-plica por 8 23.
c) Vpequeño 125 cm
3;V
grande 1 000 cm
3
La arista de una caja cúbica que contiene bolsas de manzanilla para infusiones mide 5 centímetros. Halla el volumen de una caja ortoédrica que permita empaquetar 36 cajas cúbicas sin ningún hueco entre ellas.
Vcaja cúbica 53 125 cm3 Vcaja ortoédrica 36 125 4 500 cm3
Un envase ortoédrico de detergente en polvo tiene un volumen de 3 decímetros cúbicos. Las dimen-siones de su base son 12,5 y 6,4 centímetros, respectivamente.
a) Halla la altura de dicho envase.
b) Se quiere construir un envase de igual base que tenga la mitad del volumen del envase anterior ¿cuál será la medida de su altura?
a) h
12 3 ,5
0
006,4 37,5 cm
b) La altura deberá ser la mitad de la anterior:h 18,5 cm
Calcula el volumen de este paquete de cereales.
Si se duplica una de las dimensiones de la caja, ¿se duplica también su volumen?
V 5 19,2 22,75 2 184 cm3
Si se duplica una de las dimensiones, también se duplica su volumen.,
Las dimensiones de una de las salas de un museo son 30, 20 y 10 metros, respectivamente. a) Halla el volumen de la sala.
b) Si se decide ampliar un 30 % cada una de sus dimensiones, ¿en cuánto se incrementa su volumen?
a) V 30 20 10 6 000 m3
b) V 30 1,3 20 1,3 10 1,3 13 182 m3
El volumen se incrementa en un 1,33%.
La base de un envase ortoédrico mide 36,8 centímetros cuadrados y su altura 6,5 centímetros. a) ¿Cuánto mide su volumen?
b) Si se construye otro envase duplicando todas sus dimensiones, ¿se duplica el volumen?
a) V 36,8 6,5 239,2 cm3
b) Al duplicar cada una de las dimensiones, el volumen se multiplica por 23 8.
13.44 13.43 13.42 13.41 13.40 13.39
Cubo Cubo duplicada inicial la arista
Arista 5 cm 10 cm
Área de la base 25 cm2 100 cm2
Volumen y capacidad
Problema resuelto
Las dimensiones de un tetra brik de leche son 9,5; 6 y 16,5 centímetros, respectivamente. ¿Puede contener un litro?
V9,5 6 16,5 940,5 cm3
940,5 cm30,9405 dm3 0,9405 L
1 0,9405 0,0595 L
No contiene exactamente 1 litro de leche; le faltan 0,0595 litros, es decir, 5,95 centilitros.
13.45
P A R A P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
Calcula, en litros, la capacidad de los siguientes envases.
a) b)
a) 27 cm30,027 dm30,027 L b) 32 m332 000 dm3 32 000 L
Determina, en decímetros cúbicos, el volumen total de estos envases.
V 5 5 11 2 47 L
El volumen total es de 47 dm3.
Expresa en litros los siguientes volúmenes.
a) 3 200 cm3 b) 45 m3 c) 324 000 mm3 d) 0,6 hm3
a) 3,2 dm33,2 L c) 0,324 dm3 0,324 L
b) 45 000 dm3 45 000 L d) 600 000 000 dm3 600 000 000 L
Expresa en decímetros cúbicos estas capacidades.
a) 23 L b) 540 cL c) 357 cL d) 0,002 L
a) 23 L 23 dm3 c) 357 cL 0,357 L 0,357 dm3
b) 540 cL 5,4 L 5,4 dm3 d) 0,002 L 0,002 dm3
Halla la medida que falta en cada uno de los siguientes ortoedros, sabiendo que su capacidad en litros es la que aparece en cada figura.
a) b) a) 3 c 3 m 84 0 4 cm 0 3
cm 32 cm b) 37
4 cm 44 0 c 2 m 4 3
cm 5 cm
En un recipiente cúbico de 9 centímetros de arista, ¿se podrá vaciar una botella de 1 litro de agua?
V 93 729 cm30,729 dm30,729 L
Luego el recipiente cúbico tiene menos capacidad que el litro; por tanto, no se puede vaciar la botella. 13.51 13.50 13.49 13.48 13.47 13.46 h 3 cm 40 cm 3,84 L h 37 cm
24 cm 4,44 L
27 cm3 32 m3
5 L
5 L 2 L 2 L 2 L
2 L 2 L 2 L2 L2 L 5 L
5 L 2 L 2 L
P A R A A P L I C A R
¿Cuál es el volumen de un frasco de corrector líquido cuya capacidad es de 20 mililitros?
20 mL 20 cm3
El volumen es de 20 cm3.
La capacidad de un frasco de jarabe es de medio litro. El médico ha recetado a un paciente tomar dosis de 1,2 centímetros cúbicos de este medicamento. ¿Cuántas dosis se podrá tomar con dicho frasco?
V0,5 L 0,5 dm3
500 cm3
510,20 416,7 Se podrá tomar 416 dosis.
El depósito de un coche tiene forma ortoédrica. Sus medidas son 60, 30 y 25 centímetros, respectivamente. a) ¿Cuál es la capacidad del depósito en litros?
b) ¿Cuánto cuesta llenarlo por completo si el litro de gasolina cuesta 95 céntimos de euro?
a) V60 30 25 45 000 cm345 dm345 L
b) 45 0,95 42,75 €
Una piscina de forma ortoédrica mide 14 metros de largo y 8 metros de ancho.
a) Calcula su profundidad en metros, sabiendo que tiene un volumen de 168 metros cúbicos.
b) ¿Cuántas garrafas de agua de 5 litros se deberían vaciar en la piscina para llenarla?
a) 14
16
88 1,5 m Tiene 1,5 m de profundidad. b) V 168 m3
168 000 dm3
168 000 L 168 5
000
33 600 Se deberían vaciar 33 600 garrafas de 5 litros.
Las aristas de dos envases cúbicos miden 5 y 10 centímetros, respectivamente. a) Expresa sus volúmenes en centímetros cúbicos.
b) ¿Qué relación hay entre sus volúmenes?
c) Expresa sus capacidades en centilitros.
d) ¿Qué relación hay entre sus capacidades?
a) V53125 cm3 V 1031 000 cm3
b) V V 11 0 2 0 5 0
8 23
c) V125 cm3125 mL 12,5 cL V 1 000 cm3 1 000 mL 100 cL
d) 1 1 2 0 , 0
5 8 2
3
La propaganda que anuncia este frigorífico indica que tiene una capacidad de 350 litros.
a) ¿Cuál es su volumen?
b) ¿A qué se debe la diferencia entre la capacidad total y la que anuncian?
a) V0,6 0,5 1,8 0,54 m3 540 dm3 540 L
