DESCRIPCIÓN DEL DISEÑO DE UN ACELERÓMETRO A ESCALA MICROMÉTRICA

(1)

DESCRIPCIÓN DEL DISEÑO DE UN

ACELERÓMETRO A ESCALA MICROMÉTRICA

REALIZADA POR

JORGE FRANCISCO TOBAR DE LA PAVA

ASESORADA POR

ALBA ÁVILA

TESIS PRESENTADA A LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES COMO REQUISITO PARCIAL DE GRADO

PROGRAMA DE PREGRADO EN INGENIERÍA ELECTRÓNICA

AGOSTO DE 2004 BOGOTÁ, COLOMBIA

(2)

AGRADECIMIENTOS

Este proyecto hubiera sido imposible de llevar a cabo de no ser por las siguientes personas a las cuales les tendré por siempre un infinito agradecimiento:

A mi asesora Alba Ávila, quien siempre estuvo atenta al desarrollo de este proyecto y quien dedicó tiempo del cual no disponía para revisar este documento.

Al ingeniero Luis Ignacio Lopera, quien presto todas las herramientas computacionales, y anímicas durante todo el desarrollo del proyecto en ANSYS.

A los ingenieros Giancarlo Santos, Nestor Serrano , Gonzalo Baca y Rafael Beltrán quienes dedicaron su tiempo a revisar conceptos en mecánica y eléctrica que fueron fundamentales para el desarrollo de las ecuaciones teóricas.

Al ingeniero Humberto Campanella quien muy amablemente me entregó una copia de la tesis de doctorado del ingeniero José Antonio Plaza Plaza, la cual sirvió como base para la organización de este proyecto de grado.

A mis padres y hermanas, que hicieron posible poder llegar hasta estas instancias de mi carrera.

(3)

RESUMEN

LAS MODERNAS TÉCNICAS DE FABRICACIÓN DE LOS CIRCUITOS INTEGRADOS HAN LOGRADO LA CREACIÓN DE MICRO ESTRUCTURAS QUE SON UTILIZADAS PARA CREAR ESTRUCTURAS MECÁNICAS A NIVELES MICROMÉTRICOS. ESTAS MICRO ESTRUCTURAS SE CONOCEN COMO MICRO ELECTRONIC MECHANICAL SYSTEMS (MEMS). LOS SISTEMAS QUE MÁS AUGE HAN TENIDO EN EL MERCADO HAN SIDO LOS MICRO ACELERÓMETROS. CON ESTE PROYECTO SE DESCRIBE LA TEORÍA NECESARIA PARA LA REALIZACIÓN DE UN DISEÑO DE UN ACELERÓMETRO, ESPECIFICANDO LOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE UNO CUYA ESTRUCTURA ES DE TIPO VOLADIZO CON UN ACTUADOR PIEZORRESISTIVO PEGADO A SU BASE; A LA VEZ SE PRESENTA LOS RESULTADOS DE LA EVALUACIÓN DE CARACTERÍSTICAS FUNDAMENTALES, TALES COMO LO SON EL ANCHO DE BANDA, SENSIBILIDAD Y DEFLEXIÓN MÁXIMA, ENTRE OTROS, CON LA UTILIZACIÓN DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS; CON ESTOS RESULTADOS SE MUESTRA EL COMPORTAMIENTO DE ESTAS CARACTERÍSTICAS EXPONIENDO LOS FACTORES LAS INFLUENCIAN. POR ULTIMO SE MUESTRA COMO SE PUEDE LLEVAR UN ACELERÓMETRO PIEZORRESISTIVO A SER FABRICADO.

(4)

TABLA DE CONTENIDO

1 INTRODUCCION ... 3

1.1 OBJETIVOS DEL PROYECTO ... 4

1.2 MICROSISTEMAS ... 5

2 ACELEROMETROS ... 9

2.1 INTRODUCCIÓN ... 9

2.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ... 9

2.2.1 FUNCIÓN de transferencia MECÁNICA... 10

2.2.1.1 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE UNA ACELERÓMETRO... 17

2.2.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA MECÁNICA-ELÉCTRICA ... 18

2.2.2.1 BASADOS EN DEFORMACIÓN... 18

2.2.2.2 BASADOS EN ESFUERZO MECÁNICO ... 21

2.2.3 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ELÉCTRICA ... 22

3 ACELEROMETROS

PIEZORRESISTIVOS ... 24

3.1 PIEZORRESISTIVIDAD ... 24

3.2 ACELERÓMETRO

PIEZORRESISTIVO ... 31

3.2.1 DISEÑO

TIPO

VOLADIZO ... 33

3.2.1.1 DEFLEXIÓN ... 34

3.2.1.2 ESFUERZO ... 36

3.2.1.3 FRECUENCIA NATURAL Y ANÁLISIS MODAL ... 38

3.3 ELEMENTO

SENSOR ... 40

4 RESULTADOS ... 41

4.1 DEFINICION DE LA GEOMETRIA ... 41

4.2 ANALISIS

ESTATICO ... 45

4.2.1 CREACIÓN DEL MODELO EN ANSYS... 45

4.2.1.1 ELEMENTOS ... 45

4.2.1.2 PROPIEDADES DEL MATERIAL... 46

4.2.1.3 ENMALLADO... 49

4.2.1.4 CARGAS ... 50

4.2.2 RESULTADOS DEL ANALISIS ESTATICO ... 52

(5)

4.2.2.2 CALCULO DEL CAMBIO RELATIVO DE LA RESISTENCIA SIN

ACELERACIÓN APLICADA... 54

4.2.2.3 CALCULO DE LA SENSITIVIDAD PARA DIFERENTES VALORES DEL

ESPESOR DEL PUENTE... 54

4.2.2.4 COMPORTAMIENTO DE LA DEFLEXIÓN MÁXIMA... 56

4.2.3 ANÁLISIS

MODAL ... 57

4.2.4 CALCULO DE LAS CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DEL

ACELERÓMETRO ... 61

4.2.4.1 ANCHO DE BANDA... 61

4.2.4.2 SENSIBILIDAD

MECÁNICA ... 62

4.2.4.3 SENSIBILIDAD ... 62

4.2.4.4 RANGO Y SOBRECARGA... 62

4.2.4.5 MASA... 65

4.2.5 CÁLCULO DE ERROR DE LOS RESULTADOS DE ANSYS... 65

5 FABRICACION... 67

6 CONCLUSIONES ... 70

7 PROPIEDADES DEL SILICIO ... 72

8 APENDICE ... 77

8.1 HOJA DE CALCULO PARA LA GEOMETRÍA CON J=3 ... 77

8.2 HOJA DE CALCULO PARA LA GEOMETRÍA CON J=4 ... 84

(6)

INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1: Proyección de Ingresos por ventas de MEMS a nivel mundial. ________________6

Figura 1.2: Aplicaciones de los acelerómetros dependiendo de la aceleración y de su

frecuencia. ___________________________________________________________________7

Fig. 2.1: Esquema de la función de transferencia mecánica ___________________________11

Figura 2.2: Sistema masa-muelle ________________________________________________11

Figura 2.3: Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden para diferentes valore de

ζ

. __________________________________________________________________________15

Figura 2.4: Respuesta en fase de un sistema de segundo orden para diferentes valore de

ζ

. _16

Figura 2.5: Esquema de un acelerómetro capacitivo. ________________________________19

Figura 2.6: Esquemas de un Acelerómetro Óptico. __________________________________20

Figura 2.7: Efecto de la deformación sobre la resistencia. ____________________________21

Figura 2.8: Esquema de un acelerómetro piezoeléctrico.______________________________21

Figura 2.9: Esquema de la función de transferencia eléctrica _________________________22

Figura 3.1: Eje de coordenadas alineado con el eje <100> del cristal. ___________________25

Figura 3.2: Definición de los esfuerzos en un elemento cúbico. ________________________26

Figura 3.3: Fuerzas aplicadas a un material polarizado eléctricamente__________________27

Figura 3.4: Dependencia de los coeficientes piezorresistivos con respecto a la dirección del

cristal. (a) Para el silicio tipo p en el plano <001> (10e-12 cm

2

/dinas). (b) Para el silicio tipo n

en el plano <011> (10e-12 12 cm

2

/dinas) __________________________________________29

Figura 3.5: Dependencia de los coeficientes piezorresistivos con respecto al dopaje a diferentes

temperaturas. ________________________________________________________________30

Figura 3.5: Vista lateral y superior del acelerómetro construido por Roylance y Angell. ____32

Figura 3.6: Diagrama conceptual de una acelerómetro tipo voladizo. ___________________34

Figura 3.7: Geometría del acelerómetro tipo voladizo.________________________________34

Figura 3.7: Vista del área transversal del voladizo. __________________________________35

Figura 3.8: Ejemplo de curva esfuerzo vs. Deformación. _____________________________37

Figura 3.9: Modos para un voladizo. _____________________________________________40

Figura 3.10: Mecanismo sensor para el cambio de la resistencia ______________________40

(7)

Figura 4.1: Modelo a simular. ___________________________________________________42

Figura 4.2: Forma de la Resistencia y sus dimensiones_______________________________43

Figura 4.3: Forma del Voladizo y sus Dimensiones. _________________________________43

Figura 4.4: Forma de la Masa de prueba con sus dimensiones. ________________________43

Figura 4.5: Enmallado del modelo _______________________________________________50

Figura 4.6: Empotramiento de la base del voladizo.__________________________________51

Figura 4.7: Voltajes aplicados sobre la resistencia___________________________________51

Figura 4.8: Modelo con todas las cargas aplicadas. __________________________________52

Figura 4.9: Densidad de corriente en la resistencia. _________________________________53

Figura 4.10: Sensibilidad de la resistencia tipo p, para diferentes valores de J. ____________55

Figura 4.11: Deflexiones para diferentes valores de J. _______________________________57

Figura 4.12: Valor de la frecuencia para diferentes valores de J. _______________________58

Figura 4.13: Primer modo para el modelo con J=3.__________________________________59

Figura 4.14: Desplazamiento de la pieza para el primer modo._________________________59

Figura 4.15: Segundo modo para el modelo con J=3. ________________________________60

Figura 4.16: Tercer modo para el modelo con J=3. __________________________________60

Figura 4.17: Respuesta del acelerómetro en V/[# de aceleración]. ______________________63

Figura 4.18: Extrapolación de la esfuerzo, para el modelo con J=3 _____________________63

Figura 4.19: Extrapolación de la deflexión, para el modelo con J=3 ____________________64

Figura 4.20: Salida del acelerómetro amplificada.___________________________________65

Figura 4.21: Resaltado de ANSYS para la relación entre las características del acelerómetro.

____________________________________________________________________________66

Figura 5.1: Vistas de la masa y el voladizo. ________________________________________69

(8)

INDICE DE TABLAS

Tabla 1.1: Aplicaciones de los MEMS según los usuarios finales... 6

Tabla 3.1: Valores de coeficientes piezorresistivos a 25

°

C, para diferentes materiales. ... 31

Tabla 4.1 FACTORES DE CONVERSIÓN MECÁNICOS PARA MKS A µMKSV ... 46

Tabla 4.2 FACTORES DE CONVERSION TERMICOS PARA MKS A µMKSV ... 47

Table 4.3 FACTORES DE CONVERSION ELECTRICOS PARA MKS A µMKSV... 47

Tabla 4.4 FACTORES DE CONVERSION MAGNETICOS PARA MKS A µMKSV ... 48

Tabla 4.5 FACTORES DE CONVERSIÓN PIEZOELÉCTRICO PARA MKS to µMKSV .... 48

Tabla 4.7: Resultado del comando VSUM para el modelo de la Figura 4.1. ... 52

Tabla 4.7: Sensibilidad para diferentes para diferentes valores de J ... 56

Tabla 4.8: Frecuencias de Resonancia par J = 3... 58

Tabla 4.9: Frecuencia máxima de operación para diferentes valores de J. ... 61

Tabla 4.10: Sensibilidad Mecánica para diferentes valores de J. ... 62

(9)

1 INTRODUCCION

1.1 OBJETIVOS DEL PROYECTO

El objetivo principal de este proyecto de grado es mostrar la teoría necesaria para describir el diseño de un acelerómetro en una escala micrométrica. Para alcanzar este objetivo, se centro la atención en un acelerómetro piezorresistivo tipo voladizo.

Para cumplir con este objetivo general, se definieron 3 objetivos específicos con los cuales se busca reunir información que pueda ser utilizada en futuros proyectos desarrollados por la Universidad, estos objetivos son:

1. Estudiar una metodología de diseño para la descripción de un acelerómetro de escalas micrométricas.

2. Modelar el dispositivo mediante la utilización de ANSYS MULTIPHYSICS para obtener sus propiedades mecánicas y geométricas.

3.

Describir el proceso de fabricación de un acelerómetro utilizando los resultados obtenidos.

Con el primer objetivo se busca dar a conocer los conceptos básicos sobre los acelerómetros, explicando su funcionamiento y características, siguiendo con los diferentes tipos de actuadores que pueden ser utilizados para su fabricación y terminando con un detallado recorrido sobre el efecto piezorresistivo.

Con el segundo objetivo se busca aprovechar la poderosa herramienta CAD de elementos finitos para validar el análisis teórico, y dar a conocer los problemas y las respectivas soluciones que se encontraron durante el trabajo con ANSYS, para así reducir el tiempo de iniciación de futuros proyectos.

(10)

Con el tercer objetivo se busca describir como se puede llevar a la realidad un acelerómetro tipo voladizo piezorresistivo.

1.2 MICROSISTEMAS

La definición de microsistema esta supeditada al continente en que se este desarrollando, esto debido a que esta tecnología ha tenido diferentes aproximaciones. Para los europeos, un microsistema se define como un sistema miniaturizado inteligente que comprende funciones sensitivas, procesado y/o actuación, y debe tener integradas, en un mismo dado o en varios dados, dos o más de estos campos: eléctrico, mecánico, óptico, químico, biológico, magnético, etc. En este continente su acrónimo es MST.

Los americanos lo definen como un sistema micro electromecánico o MEMS que es un microsistema o micro dispositivo integrado que combina componentes eléctricos o mecánicos, fabricados utilizando técnicas de fabricación en lotes, batch-processing, compatibles con las técnicas de fabricación de circuitos integrados.

Para los japoneses las micromáquinas están compuestas por elementos funcionales de pocos milímetros capaces de realizar complejos trabajos microscópicos1.

Durante el desarrollo de este proyecto de grado se utilizará el acrónimo MEMS para referirse a los microsistemas.

La evolución conseguida en el mercado por la tecnología de circuitos integrados (IC), ha sido lograda por la creación de dispositivos a escalas inimaginables (e.g. microprocesadores, memorias, etc.). Estas escalas se han obtenido gracias a que sus avanzados procesos de fabricación, que además han permitido su producción en masa. La tecnología de MEMS busca lograr transformar de escala a muchos sistemas, actuadores y sensores, para ser fabricados

________________________

1

José Antonio Plaza Plaza, “µAcelerómetros de silicio”. Memoria presentada para optar por el grado de Doctor en la Universidad Autonoma de Barcelona, Octubre de 1997.

(11)

con la tecnología de IC y así lograr masificar los productos. La masificación de un producto es obtenida cuando obtiene una excelente relación entre el costo y el beneficio que entreguen con respecto a sus tecnologías competidoras. Este proceso de masificación se ha ido llevando a cabo durante los últimos diez años por parte de la industria, la cual ha logrado implementar procesos de diseño y fabricación, que hicieron posibles la venta de MEMS en diversas aplicaciones como se observa en la tabla 1.1.

Tabla 1.1: Aplicaciones de los MEMS según los usuarios finales1.

El hecho que se haya logrado llevar a diferentes áreas la aplicación, ha logrado que sus ventas registraran un constante crecimiento durante la década pasada, y sus proyecciones muestran un prometedor futuro tal como se observa en la grafica 1.2.

Pro ye c c io n e s d e In g r e s o s p o r Ve n ta s d e M EM S a n iv e l M u n d ia l 0 2 4 6 8 1 0 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 7 Año B ill o n e s d e D o la re s

Figura 1.1: Proyección de Ingresos por ventas de MEMS a nivel mundial.1

________________________

1

José Antonio Plaza Plaza, “µAcelerómetros de silicio”. Memoria presentada para optar por el grado de Doctor en la Universidad Autonoma de Barcelona, Octubre de 1997.

(12)

Para el objeto de este proyecto es importante poner atención, a que como se observa en la figura 1.1, el área más importante que ha incorporado a los MEMS, ha sido la industria automotriz, la cual se ha encargado de colocarlos a un nivel mucho más tangible, convirtiéndolos en un bien de uso común, ya que sus aplicaciones potenciales son de alrededor de 70 MEMS en un solo automóvil, como por ejemplo, suspensión automática, sistemas anticolisión, sistemas de autodiagnóstico, etc. Esta industria empezó con la incorporación de los micro acelerómetros, al ser utilizada como sensor para la activación de las bolsas de aire a principio de los años 90. Para el final del 2003 los acelerómetros lograron ventas de alrededor de $1 billón de dólares en sus diversas aplicaciones2, convirtiéndolo en el MEMS con mas aceptación en el mercado.

Los acelerómetros pueden ser utilizados en una gran variedad de aplicaciones dependiendo de la magnitud de la aceleración que se quiera medir y de la frecuencia de esta, según estos factores, las aplicaciones comerciales de los acelerómetros se encuentran en la figura 1.3.

Figura 1.2: Aplicaciones de los acelerómetros dependiendo de la aceleración y de su frecuencia.3

1_{Fuente: In-Stat/MDR}

2_{Kevin Fitzgerald, (Noviembre 2003). MEMS and compound semiconductors: Ready to take off?. Solid State}

Technology. 55-57.

3_{José Antonio Plaza Plaza, “µAcelerómetros de silicio”. Memoria presentada para optar por el grado de Doctor en la}

(13)

Todo lo anterior es incluido con el propósito de dar a conocer la importancia de los MEMS (acelerómetros, sensores de presión, etc.) en el mercado, y que aunque ya exista una gran variedad de diseños comerciales, todavía se estudian una gran cantidad de diseños en muchas universidades alrededor del mundo, las cuales continúan buscando mejores formas de realizar funciones basados en esta tecnología. Dicho esto, la Universidad de los Andes debería disponer el capital humano que sea necesario para tratar de obtener una parte de este mercado.

(14)

2 ACELEROMETROS

2.1 INTRODUCCIÓN

Con este capitulo se busca dar a conocer todos los conceptos necesarios sobre los acelerómetros, entre los cuales se mencionan sus principios de medición y su modelo matemático. Se presentará las diferentes transducciones que se deben realizar para convertir la aceleración en una señal eléctrica.

2.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia busca obtener una expresión que relacione la entrada de un sistema con su salida. Al diseñar un acelerómetro, lo que se quiere es un sistema que sea capaz de entregar una salida proporcional a una aceleración. Lo primero que se debería hacer es pensar cómo se podría medir la aceleración, sin tener en cuenta cómo se puede llevar a la realidad. Las siguientes pueden ser opciones con las que se puede empezar1:

• Midiendo la posición y derivándola dos veces con respecto al tiempo. • Midiendo la velocidad y derivándola una vez con respecto al tiempo.

• Midiendo la velocidad de la luz (diferente a c en un marco de referencia acelerado). • Midiendo la fuerza causada por la aceleración a una masa de prueba.

Dependiendo de los instrumentos con los que se cuenten algunas de estas podrían llegar a ser validas, pero para nuestro caso especifico la única que tiene posibilidad de fabricación es la de medir la fuerza causada por la aceleración a una masa de prueba, y en la realidad este es el fundamento que se utiliza en cualquier tipo de acelerómetro que utilice la tecnología de MEMS.

________________________

(15)

En el caso de este proyecto se desea convertir la fuerza causada por la aceleración a la masa de prueba en una señal eléctrica, por lo que en el acelerómetro tendrán que existir tres funciones de transferencia, las cuales son:

• Mecánica

• Mecánica-Eléctrica • Eléctrica

Las cuales serán explicadas en las siguientes secciones.

Nota: La función de transferencia que se analizará será de lazo abierto, aunque existen modelos con funciones de transferencia realimentadas, en este proyecto solo se verá el modelo de lazo abierto ya que no se busca, por el momento, controlar el sistema.

2.2.1 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA MECÁNICA

Con la función de transferencia mecánica se busca convertir la fuerza generada, en otra característica mecánica. Lo primero es tomar la definición fuerza.

(2.1)

¾ F = Fuerza ¾ m = Masa ¾ a = Aceleración

Como se sabe, cuando se ejerce una fuerza sobre un objeto se producen ciertos efectos mecánicos que varían dependiendo de las propiedades de cada material. Estos efectos pueden ser, por ejemplo:

• Esfuerzo (σ).

a

m

(16)

• Deformación (ε). • Deflexión (u). • Etc.

Según lo anterior, ya se logró el objetivo de convertir la aceleración en una característica mecánica, tal como se explica en la figura 2.1.

a m F Propiedades_{del material}

u

ε σ

Fig. 2.1: Esquema de la función de transferencia mecánica

El esquema mostrado en la figura 2.1 puede ser llevado al dominio matemático, utilizando el sistema masa-muelle mostrado en la figura 2.2.

Figura 2.2: Sistema masa-muelle

(17)

¾ b = Representa el factor de amortiguamiento.

¾ z = El desplazamiento que sufre el muelle.

El funcionamiento de éste sistema consiste en que cuándo el marco de referencia es acelerado, la aceleración es transmitida a través del resorte hacia el muelle. La elongación del resorte es medida por la escala representada por el eje coordenado z, la cual sería la salida del sistema, ya que con esto se tiene información suficiente para determinar la magnitud de la aceleración, dado que la fuerza del resorte esta expresada como:

(2.2)

e igualando con la ecuación 2.1 tenemos que la aceleración es igual a:

(2.3)

de donde se puede definir la sensibilidad mecánica (Sm), tomando la relación entre la salida y la entrada:

(2.4)

Introduciendo la fuerza que genera el amortiguador que está expresado como:

(2.5)

Realizando una sumatoria de fuerzas en el eje z, y utilizando la primera ley de Newton, tenemos una ecuación de segundo orden que describe el sistema en termino de z y sus derivadas, la cual es: (2.6)

z

k

F

=

⋅

m

z

k

a

=

⋅

k

m

S

_m

=

v

b

F

=

−

⋅

ma

kz

z

b

z

m

+

=

. ..

(18)

Con el fin de encontrar la función de transferencia, es necesario encontrar la transformada de Laplace, asumiendo condiciones iniciales igual a cero, llegando a que la función de transferencia es igual a:

(2.7)

La función de transferencia se puede rescribir, utilizando las siguientes definiciones:

(2.8)

¾

ω

n = Frecuencia Natural

(2.9)

¾ bcr = Amortiguamiento Critico

(2.10)

¾ ζ = Factor de Amortiguamiento Critico

Rescribiendo:

(2.11)

El análisis más importante que se puede hacer con la función de transferencia es la respuesta en frecuencia del sistema, dado que la frecuencia es una de las variables que más influyen en el diseño de un acelerómetro ya que limita su ancho de banda. Para realizar este análisis se

m

k

s

m

b

s

a

s

z

+

=

2

1 )

(

)

(

m

k

n

=

2

ω

km

b

_cr

=

2 km

b

cr

2 =

=

ζ

2 2

₂

1 )

(

)

(

n n

s

a

s

z

ω

ζω

+

=

(19)

rescribe la ecuación de transferencia, reemplazando “s” por “jω”, donde “j” es el operador imaginario, resultando la siguiente ecuación:

(2.12)

Si se trabaja a frecuencias relativamente mas bajas que la frecuencia natural del sistema, es decir, se cumple que ωn2>>ωωn>>ω2 la función de transferencia se aproxima a:

(2.13)

Esto significa que la ganancia es constante (m/k) y la fase es 0°. Este fue el mismo resultado que obtuvimos en la ecuación 2.4 la cual obtuvimos suponiendo que el amortiguador no tenía ningún efecto en el sistema, lo cual lleva a la conclusión que no se necesita de un amortiguador si trabajamos a frecuencias muy bajas comparados con la frecuencia natural.

A altas frecuencias comparadas con la frecuencia natural, es decir, se cumple que ω2_>>ωω

n>>ωn2 la función de transferencia se aproxima a:

(2.14)

Esto significa que la ganancia depende del cuadrado de la frecuencia y que la fase es de –180°, en el caso que se desee trabajar a una frecuencia alta, se necesitará compensar el sistema.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ω

ζ

ω

n n

_j

j

a

j

z

2

1

1 )

(

)

(

2 2

k

m

j

a

j

z

_≅

)

(

)

(

ω

2

1 )

(

)

(

ω

_≅

−

j

a

j

z

(20)

Por último, en el caso que se este trabajando a ω=ωn la función de transferencia estaría dada por:

(2.15)

La ganancia es la dada a bajas frecuencia dividida entre 2ζ. Dado que ζ tiende a ser un numero pequeño, la salida tiende a estar amplificada. Y su fase es de –90°.

Realizando una simulación en Matlab1, las características antes descritas se puede observar en las figuras 2.3 y 2.4, donde se grafica la ecuación 2.12 con respecto a ωn/ω,, utilizando los valores de m = k = 1, por lo que se obtiene una ωn = 1rad/sec.

Figura 2.3: Respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden para diferentes valore de ζ.

________________________

1

Programa basado, en el gerado por, Michael R. Hatch (2001). Vibration Simulation Using Matlab and ANSYS. Estados Unidos: Chapman & Hall/CRC

ζ

ω

2 )

(

)

(

_k

jm

j

a

j

z

−

=

(21)

Figura 2.4: Respuesta en fase de un sistema de segundo orden para diferentes valore de ζ.

Con estas graficas es posible obtener, dependiendo del valor de ζ, la que fracción de la respuesta natural a la cual se debe trabajar para evitar tener ganancias debidas a la frecuencia y retardos no deseados. Así que con estas graficas se obtiene el limite superior de frecuencia de un acelerómetro.

Es importante notar que la multiplicación entre la sensibilidad mecánica y la frecuencia natural es siempre una constante, lo que significa que siempre se tendrá un compromiso entre una y otra, al ser inversamente proporcionales.

(22)

2.2.1.1 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE UNA ACELERÓMETRO

Mecánicamente, las especificaciones que definen un acelerómetro son1:

¾ Ancho de banda, fm: Rango de frecuencias en las que se puede trabajar, depende de la

masa, m, la rigidez del muelle, k y el amortiguamiento, ζ. Unidades [Hz].

¾ Sensibilidad mecánica, Sm: Desplazamiento en función de la aceleración aplicada,

depende de m y k. Unidades [m/(m/s2)] o más comúnmente [m/g], donde g es la aceleración de la gravedad( g = 9.8m/s2, standard gravity).

¾ Sensibilidad S: La salida eléctrica del sensor en función de la aceleración. Si la salida es en voltaje las unidades más habituales son [V/g] o [mV/g]. Para diferenciarla de sensibilidades en direcciones perpendiculares a la que se quiere medir, si se supone que se quiere determinar la aceleración en dirección z se le llamará Sz.

¾ Factor de amortiguamiento, ζ:: Según las necesidades se tendrá un sistema sobreamortiguado, con amortiguamiento crítico o subamortiguado. Para la mayoría de aplicaciones se quiere ζ =0.7.

¾ Rango, amax: Aceleración máxima que se puede medir correctamente. Unidades de aceleración [m/s2] o [g].

¾ Sobrecarga: Máxima aceleración a la que se puede someter al acelerómetro sin que sea dañado, depende del amortiguamiento. Normalmente unidades de aceleración [m/s2] o

[g].

¾ Masa, m: Masa del acelerómetro. Unidades [Kg], [g] o [mg]. ¾ Sensibilidades cruzadas:

o Lineales: Sx o Sy sensibilidades perpendiculares a la que se quiere medir, Sz.

Unidades [%] con respecto a Sz o [g/g].

o Rotacionales: Sxy, Sxz o Syz sensibilidades a rotaciones en los planos que se

indican. Unidades [m/(rad/s)].

________________________

(23)

Se busca que al terminar este proyecto se puedan definir todas estas características para el acelerómetro piezorresistivo diseñado.

2.2.2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA MECÁNICA-ELÉCTRICA

Esta función de transferencia busca convertir la magnitud mecánica que ya obtuvimos en la sección 2.2.1, en una magnitud eléctrica. Dependiendo del tipo de magnitud mecánica que se utilice para la conversión, se agrupan en dos categorías1:

¾ Basados en deformación.

¾ Basados en esfuerzo mecánico.

En las siguientes secciones se explicará los principales tipos de acelerómetros que pertenecen a cada categoría.

2.2.2.1 BASADOS EN DEFORMACIÓN

Estos miden la deformación del sistema que hace el muelle, la cual provoca desplazamiento en algunas de sus partes. Algunos de ellos son: capacitivos, los ópticos y los resistivos.

2.2.2.1.1 Capacitivos

Se basan en el hecho de que la capacidad entre dos electrodos es función de la distancia entre ellos. Un esquema de un acelerómetro capacitivo se muestra en la figura 2.5.

________________________

1

(24)

Figura 2.5: Esquema de un acelerómetro capacitivo.

La aceleración aplicada sobre el sistema causa la placa que se encuentra pegada al resorte se desplace, cambiando así la distancia entre los electrodos.

Características:

¾ Bajo costo de producción ¾ Alta sensitividad.

¾ Buena respuesta DC.

¾ Buen desempeño ante ruido. ¾ Baja disipación de potencia. ¾ Estructura sencilla.

¾ Buen rango de temperatura. ¾ Dominan el mercado.

¾ Tiene problemas de linealidad para grandes desplazamientos.

2.2.2.1.2 Ópticos

Miden un cambio de fase o intensidad debido a la diferencia de camino que sufre un rayo de luz al desplazarse la masa.

(25)

(a)

(b)

Figura 2.6: Esquemas de un Acelerómetro Óptico1.

En la figura 2.6, se muestra un tipo de diseño el cual funciona transportando un onda a través de una guía de una onda ubicada en la parte superior del voladizo, así que cuando ocurre un desplazamiento debido a la aceleración hay un cambio en la onda que es recibida en el extremo que se encuentra fijo.

________________________

(26)

2.2.2.1.3 Resistivos

Se basan en el cambio del valor de una resistencia debido al cambio de dimensiones de la misma como se muestra en la figura 2.7. El cambio en la resistencia viene dado por la ecuación 2.16, donde G es el factor de galga.

(2.16)

Figura 2.7: Efecto de la deformación sobre la resistencia1.

2.2.2.2 BASADOS EN ESFUERZO MECÁNICO

Miden el esfuerzo mecánico del sistema causado por el muelle.

2.2.2.2.1 Piezoeléctricos

Se basan en la aparición de cargas en un cristal piezoeléctrico cuando es sometido a una presión. En la figura 2.8 se muestra el esquema de una acelerómetro piezoeléctrico.

Figura 2.8: Esquema de un acelerómetro piezoeléctrico.

________________________

Universidad Autonoma de Barcelona, Octubre de 1997.

MARCO DE REF.

MASA

Salida

Eléctrica

Material

Piezoeléctrico

ε

*

G

R

dR =

(27)

Al ser sometido el marco de referencia a una aceleración, la masa ejerce presión sobre el material piezoeléctrico, generando una señal eléctrica.

Características:

¾ En teoría no requieren excitación externa. ¾ Tienen problemas a bajas frecuencias.

¾ Excelente rango de temperatura (escogiendo adecuadamente el material piezoeléctrico para cada aplicación).

2.2.2.2.2 Piezorresistivos

Al contrario de los resistivos, en los piezorresistivos la variación de resistencia no se debe a cambios geométricos, sino a los esfuerzos mecánicos inducidos. La variación de la resistencia viene dada por los esfuerzos mecánicos que sufre. De esta manera se tiene que la variación en la resistencia depende del esfuerzo mecánico, σ, a través de los coeficientes piezorresistivos, π:

(2.17)

Este será el método que se estudiará con detalle en este proyecto, por lo que un análisis mas detallado se presentará en el capitulo 3.

2.2.3 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ELÉCTRICA

Con esta función de transferencia se busca obtener una medida de corriente o de voltaje a partir de las funciones de transferencia obtenidas en la sección anterior.

Figura 2.9: Esquema de la función de transferencia eléctrica

πσ

=

∆

R

I

V

Capacitancia

Piezoeléctrico

Piezorresistivo

Otros

(28)

Los tipos de actuadores visto en la sección anterior necesitan que se les realice un acondicionamiento a la respuesta que entregan para así poder entregar una salida en la escala y forma que se desee, como por ejemplo amplificarla o convertirla en una señal digital, dependiendo del dispositivo.

Después de conocer el describir el funcionamiento general de un acelerómetro, se centrará la atención en los acelerómetros piezorresistivos.

(29)

3 ACELEROMETROS PIEZORRESISTIVOS

3.1 PIEZORRESISTIVIDAD

La piezorresistivad es la propiedad de un material que describe el cambio de la resistencia eléctrica como función como una función del esfuerzo mecánico aplicado al material. Existen muchos materiales que presentan este efecto, pero en el los semiconductores es mucho mas fuerte. Fue descubierto C. S. Smith en 19541.

Teóricamente la piezorresistividad se demuestra de la siguiente forma2:

(3.1)

¾ E = Potencial Eléctrico ¾ ρ = Resistividad

¾ J = Densidad de Corriente

La ecuación 3.1 es la muy conocida ley de Ohm, que en su forma tridimensional para un material anisotrópico. Al escribir sus componentes sería igual a:

(3.2)

Por simetría los nueve coeficientes ρ se reducen a seis, y definiendo x como 1, y como 2 y z como 3, se definen estos seis como:

(3.3)

________________________

1

C.S. Smith, “Piezoresistive effect in germanium and silicicon”, Physical Review, vol. 94 Pag. 42-29.1954. 2

La explicación teórica se basó en la desarrollada por Hui-Kai Xie. EEL5225: Principles of MEMS Transducers (Fall 2003).

J

E

=

ρ

⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎥

⎢

⎣

⎢

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x

J

E

ρ

ρ1 = ρ11 ρ2 = ρ22 ρ3 = ρ33 ρ4 = ρ23 ρ5 = ρ13 ρ6 = ρ12

(30)

Se va a suponer que el sistema de coordenadas se encuentra en alineado con la dirección <100> del cristal, como se muestra en la figura 3.1, se tiene que:

(3.4)

Figura 3.1: Eje de coordenadas alineado con el eje <100> del cristal.

El caso en el que el material no este sometido a ninguna fuerza la ecuación 3.2 esta dada por:

(3.5)

Ahora se necesita definir cual seria la nueva resistencia, si se le aplica una fuerza al material. Se tiene que la nueva resistencia va a ser igual a:

(3.6)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥

⎦

⎥

⎢

⎣

⎢

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

3 2 1 3 2 1 3 2 1

0

0 J

J

E

ρ

(31)

La ecuación 3.6 puede ser rescrita, teniendo en cuenta los esfuerzos que actúan sobre el material, ya que los esfuerzos están relacionados con el cambio de resistencia por medio de la matriz piezorresistiva de la siguiente forma:

(3.7)

¾ σi = Esfuerzos por tensión. ¾ τi = Esfuerzos cortantes.

¾ πij = Coeficientes Piezorresistivos

Los esfuerzos por tensión y cortantes se definen en un elemento cúbico en la figura 3.2.

(32)

(3.8)

Donde el primer termino es la resistencia sin el efecto de fuerzas, el segundo es debido al esfuerzo normal al eje, el tercero es debido al esfuerzo transversal al eje y el tercero es debido al esfuerzo cortante. Este es el caso en el que ocurren todos los tipos de esfuerzos, pero como se sabe de la teoría de mecánica sólida, si la fuerza es aplicada en un solo eje, dependiendo de la dirección del flujo de la corriente en el material con respecto a la fuerza, tal como se puede apreciar en la figura 3.2, se definen 2 tipos de coeficiente piezorresistivos, el longitudinal, ecuación 3.9, y el transversal, ecuación 3.10, por simplicidad.

(a) (b)

Figura 3.3: Fuerzas aplicadas a un material polarizado eléctricamente (a) Fuerza aplicada en la misma dirección de la corriente (b) Fuerza aplicada perpendicular a la dirección de la corriente

(3.9)

(33)

¾ l1, m1 y n1 son el conjunto de cósenos directores entre la dirección longitudinal del material y los ejes del cristal.

(3.10)

¾

¾ l2, m2 y n2 son el conjunto de cósenos directores ente la dirección transversal del material y los ejes del cristal.

Por ejemplo si se tiene una resistencia en la dirección <110> en una wafer <100>. Los cósenos directores serían l1 =

2 ₂

, m1=

2 ₂

y n1=0. por lo que el coeficiente piezorresistivo longitudinal sería igual a:

(3.11)

Como es claro en las ecuaciones 3.9 y 3.10, los coeficientes piezorresistivos dependen de la orientación del cristal, pero esta es solo uno de los factores que afectan a los coeficientes piezorresistivos, también son función de:

¾ Orientación del material. ¾ Del tipo de dopaje y su nivel. ¾ Temperatura.

La dependencia debida a la orientación es descrita por la figura 3.4.

)

(

2

1

44 12 11

π

_l

=

+

(34)

(a)

(b)

Figura 3.4: Dependencia de los coeficientes piezorresistivos con respecto a la dirección del cristal. (a) Para el silicio tipo p en el plano <001> (10e-12 cm2/dinas). (b) Para el silicio tipo n en el plano <011>

(10e-12 12 cm2/dinas)1

________________________

1_{Para una explicación detallada de los coeficientes piezorresistivos del silicio incluyendo su efecto en todos los}

planos referirse a: “A Graphical Representation of the Piezoresistance Coefficients in Silicon”. Yoko Kanda. IEEE Transactions on Electron Devices. Vol Ed. 29 No.1.Enero 1982.

(35)

La mitad superior de las graficas indican valores positivos de los coeficientes, lo que significa que la resistencia aumenta con los esfuerzos, ocurriendo lo contrario con la mitad inferior. Al analizar todas las graficas se ve que la dirección <110> en el tipo p tiene el máximo coeficiente, mientras que el tipo n lo tiene en la dirección <100> y su magnitud es mayor que para el silicio tipo p.

La dependencia debida al dopaje y a la temperatura se muestra a continuación.

Figura 3.5: Dependencia de los coeficientes piezorresistivos con respecto al dopaje a diferentes temperaturas.

En la figura 3.4 N es el dopaje, T es temperatura y P es el factor de los coeficiente piezorresistivos que depende de estos dos. Se observa que los coeficientes piezorresistivos son cercanos a ser constantes pero al aumentar demasiado el dopaje sufren una fuerte disminución y además a medida que aumenta la temperatura disminuye su valor.

(36)

Tabla 3.1: Valores de coeficientes piezorresistivos a 25 °C, para diferentes materiales1

.

3.2 ACELERÓMETRO PIEZORRESISTIVO

Ya que se ha definido claramente en que consiste el efecto piezorresistivo, se procederá a explicar el funcionamiento de un acelerómetro bajo este principio, explicando las diferentes estructuras que se han concebido y se finalizará con una detallada explicación del acelerómetro tipo voladizo (cantiliver).

El primer diseño de un acelerómetro piezorresistivo micrométrico fue hecho por Lynn Michelle Roylance en el año de 19772, el cual fue concebido para aplicaciones biomédicas (medir las pulsaciones del corazón), sus vistas se encuentran la grafica 3.5. Este diseño pasó a ser una realidad a mediados de 1979 cuando la mismo Roylance acompañado por James B. Angell lograron su fabricación3. Este acelerómetro pesaba menos de 0.02 gramos y se encontraba en un encapsulado de 2mm x 3 mm x 0.6 mm, el cual era capaz de medir aceleraciones desde 0.01 hasta 50 veces la aceleración de la gravedad, con un ancho de banda de 100 Hz.

________________________

1 Smith, “Piezoresistance effect in Germanium and Silicon”, p. 43-44, 1951. 2

L. M. Roylance, “A miniature integrated circuit accelerometer for biomedical applications” Ph.D. dissertation. Departament of Electrical Engineering . Stanford, CA, pp. 47-80, 1977.

3

L. M. Roylance y J. B. Angell, “A batch fabricated silicon accelerometer”. IEEE Trans. Electrón Devices, vol. ED-26 no. 12 pp. 1911-1917, Diciembre 1979.

(37)

Figura 3.5: Vista lateral y superior del acelerómetro construido por Roylance y Angell1.

Desde entonces se han presentado gran variedad de mejoras, así como nuevos diseños que han mejorado significativamente su desempeño en ancho de banda, frecuencia natural, sensibilidad cruzada y se les han incorporado sistemas de auto prueba. Todos los diseños de estos acelerómetros se basan en crear estructuras en las cuales se maximice los esfuerzos que

________________________

1_{L. M. Roylance y J. B. Angell, “A batch fabricated silicon accelerometer”. IEEE Trans. Electrón Devices, vol.}

(38)

se crea en el material piezorresistivo, estas diferentes estructuras también buscan aumentar el valor de la frecuencia natural.

A continuación se muestra el análisis teórico para obtener las principales características de un acelerómetro de tipo voladizo, con la misma estructura que el diseñado por Roylance.

3.2.1 DISEÑO TIPO VOLADIZO

Este diseño consiste simplemente en un voladizo el cual se encuentra empotrado en uno de sus extremos y en el otro extremo tiene una masa sujeta, como se muestra en la figura 3.6. La idea es recrear el mismo modelo visto en el capitulo dos, donde el voladizo hace las veces de resorte y amortiguador y la masa pegada en la punta es la masa de prueba. Al ser aplicada una aceleración sobre su encapsulado, se ejerce una fuerza sobre este sistema, la cual se asume que esta totalmente distribuida sobre toda la pieza, por lo que puede ser reemplazada por una fuerza equivalente en su centro de masa. Esta fuerza hace que la masa de prueba se desplace, y ya que se le impide el desplazamiento en la base, se generan esfuerzos en ella, estos esfuerzos son “medidos” por un material piezorresistivo que se encuentra en la base, que al cambiar su resistencia es posible encontrar su relación con la fuerza aplicada y dado que conocemos la masa de prueba, tenemos su aceleración.

¾ l es la longitud total incluyendo la masa de prueba.

¾ a es la distancia desde la base hasta el centro de masa.

¾ b es la distancia desde el centro de masa hasta el final de la masa de prueba

(39)

Figura 3.6: Diagrama conceptual de una acelerómetro tipo voladizo.

Suponiendo que en el modelo de la figura 3, la fuerza F esta aplicada en el centro de masa, además esta tiene componente únicamente en la dirección del eje y, y además suponiendo que la densidad en cualquier punto es uniforme, es posible deducir las ecuaciones para las siguientes características del acelerómetro.

La geometría descrita por Roylance y mostrada en la figura 3.5, será el diseño que se utilizara en este proyecto, con las dimensiones que se muestran en la figura 3.7, y que junto a las variables descritas en la figura 3.6, serán las utilizadas para definir las ecuaciones de las características del acelerómetro tipo voladizo.

Figura 3.7: Geometría del acelerómetro tipo voladizo1.

3.2.1.1 DEFLEXIÓN

La deflexión es una característica importante por varias razones. Primero tiene una relación directa con los esfuerzos que se generen en el voladizo, variable que queremos maximizar y segundo porque el voladizo estará en un encapsulamiento que le obligara a que este no tenga absoluta libertad de desplazamiento.

________________________

1

(40)

Para determinar la deflexión de un voladizo se utilizara la ecuación de Euler – Bernoulli, utilizada para describir el comportamiento de la deflexión en una viga, esta según la cual:

(3.12)

¾ x es la dirección perpendicular a la fuerza aplicada

¾ y es la dirección en que se aplica la fuerza ¾ E es el modulo de Young

¾ I es el momento de inercia del área transversal del voladizo.

¾ M(x) es el momento flector.

Como se menciono lo que nos importa es la deflexión máxima y esta será igual a:

(3.13)

Lo único que no se conoce es el momento de inercia del área transversal, para el diseño se tomará que el área transversal es de la siguiente forma:

Figura 3.7: Vista del área transversal del voladizo.

Se escogió esta forma por simplicidad, aunque se sabe que no es posible fabricarla, la diferencia con el área transversal trapezoidal, en cálculos no es muy grande.

h

t

(41)

El momento de inercia de esta área transversal respecto al eje z, que en la figura 3.6 quedaría saliendo del papel, sería igual a:

(3.14)

3.2.1.2 ESFUERZO

Cuando se aplican fuerzas externas a un cuerpo, se establecen dentro de el unas fuerzas internas equilibradas. El esfuerzo es una medida de la intensidad de estas fuerzas internas equilibradas. El esfuerzo, que actúa sobre cualquier área de cualquier superficie dentro del cuerpo, se puede resolver en una componente normal de esfuerzo perpendicular a la superficie, y una componente tangencial o de cizalla en el plano de la superficie.

Un cuerpo sujeto a esfuerzo sufre un cambio de forma y/o tamaño denominado deformación. Hasta un cierto límite de esfuerzo, conocido como resistencia elástica de un material (yield strength), la deformación se relaciona de un modo lineal con el esfuerzo aplicado y se denomina elástica (Ley de Hooke). Esta deformación elástica es reversible, por lo que cuando se deja de aplicar el esfuerzo la deformación desaparece. Si la resistencia elástica de un cuerpo es superada, la deformación comienza a no ser lineal, y parcialmente irreversible (produce deformación permanente), y pasa a ser conocido como deformación plástica o dúctil. Si el esfuerzo aumenta aún más, se produce la fractura del cuerpo. Un ejemplo de curva esfuerzo / deformación aparece en la figura 3.8.

3 1

12

1 h

b

I

_z

=

⋅

(42)

Figura 3.8: Ejemplo de curva esfuerzo vs. Deformación1.

Según lo anterior, el esfuerzo que siente el voladizo no debe superar la resistencia elástica ya que ocasionaría que se saliera de su zona elástica causando que se dañara.

Para comenzar hay que definir el esfuerzo en el voladizo como:

(3.15)

¾ M es el momento respecto al eje z.

¾ I es el momento del área transversal respecto z.

¾ y es la distancia desde el centro de masa del área transversal hasta el borde

Lo anterior se cumple si se supone una pequeña deflexión.

El esfuerzo con respecto al eje x, para puntos cercanos a la base del voladizo, se tiene que:

(3.16)

________________________

1_{Definición y grafica tomados de ELEMENTOS DE PROSPECCIÓN SÍSMICA, Alfonso Muñoz Martín.}

)

(

6 )

(

₂

a

x

t

h

F

x

⋅

−

⋅

=

σ

(43)

Esta ecuación servirá para calcular el valor del cambio en la resistencia en algún punto en especifico a lo largo del eje x.

Como se hablo al principio de la sección, además de calcular el cambio en la resistencia, se tiene que asegurar que el voladizo se mantendrá en la zona elástica. Para ello hay que retomar la ecuación 3.17 y buscar su valor máximo.

(3.17)

El esfuerzo máximo es igual a la resistencia elástica, que para el silicio se encuentra referenciado en el capitulo seis, que como dato interesante es 3.3 veces mayor que el del acero.

La formula para el esfuerzo cortante máximo esta dada por:

(3.18)

Pero dado que asumimos que la fuerza es aplicada en el centro de masa y solamente tiene componente en el eje y, el calor del esfuerzo cortante es cero.

3.2.1.3 FRECUENCIA NATURAL Y ANÁLISIS MODAL

Como se analizó en el capitulo 2, la frecuencia en una variable fundamental para evitar que existan errores en la medida a entradas que varían en el tiempo. Volviendo a la grafica 2.3, se debe buscar un punto donde la respuesta de la función de transferencia tenga un “overshoot” bajo, para evitar que se tome la medida en uno de esos picos. De esta grafica se puede llegar a que se querría un ωn/ω en lo posible menor al 0.4 y un ζ que este cerca a 0.7. Para propósitos de este proyecto no se analizara como se puede optimizar el amortiguamiento en el sistema, solo se analizara como varia la frecuencia natural del acelerómetro cambiando sus propiedades geométricas. A modo de información, en acelerómetros reales se coloca un liquido en el

3 max

12

1

2 )

(

max

t

h

t

F

M

b

l

I

y

M

z x

⋅

+

=

⋅

=

σ

t

h

F

M

⋅

=

τ

(44)

volumen que rodea el voladizo, escogiendo muy cuidadosamente su viscosidad, para así conseguir el amortiguamiento dependiendo la aplicación para la cual se este diseñando1.

Para conseguir definir la frecuencia en termino de los parámetros geométricos del voladizo, se utiliza la aproximación de Rayleigh2, la cual se basa en igual la energía cinética máxima con la energía potencial máxima. La frecuencia natural de un voladizo que tiene una masa (m) en su extremo libre esta dada por:

(3.19)

El análisis modal busca obtener el comportamiento del acelerómetro cuando es sometido a una entrada que tenga la misma frecuencia natural o frecuencias resonantes del sistema. La importancia de este análisis radica en que los modos al generar comportamientos “extraños (en la figura 3.9 se muestran para el caso de un voladizo que se aplica una fuerza senoidal), ocasionan esfuerzos y deflexiones que pueden dañar el voladizo. Este análisis es obtenido teóricamente utilizando procedimientos matemáticos que están mas allá del alcance de este proyecto, pero con la ayuda del algoritmo de elementos finitos se pueden obtener estos resultados.

________________________

1_{L. M. Roylance y J. B. Angell, “A batch fabricated silicon accelerometer”. IEEE Trans. Electrón Devices, vol.}

ED-26 no. 12 pp. 1911-1917, Diciembre 1979.

2_{W. T. Thomson, “Theory of vibration with applications”. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. 1972. p 200.}

3

6379

.

1 a

m

I

E

n

_⋅

⋅

=

ω

(45)

Figura 3.9: Modos para un voladizo.

Parte superior: empotrado en un extremo. Parte Inferior: Empotrado en sus dos extremos. Los números en las graficas representan fracciones de su longitud1.

3.3 ELEMENTO SENSOR

Se utilizará un sensor conformado por medio puente resistivo, como se muestra en la figura 3.10.

Figura 3.10: Mecanismo sensor para el cambio de la resistencia

Ro es el valor de la resistencia piezorresistiva cuando no esta sometida a ningún esfuerzo, la resistencia variable es quien sufre los esfuerzos. V+ es el voltaje de polarización. El voltaje de salida es el voltaje en el nodo que forman las dos resistencias.

En el diseño original de Roylance, la resistencia Ro estaba ubicada al lado de la resistencia que se encontraba en la superficie del voladizo, y tenia el objetivo de realizar una compensación en temperatura.

________________________

1_{Common Device Elements. B. Stark. Página 99.}

0 V

+

R

variable

R

o

(46)

4 RESULTADOS

Ya que se ha desarrollado todas las herramientas teóricas para describir las variables de diseño, se abordara una aproximación “practica”. Esta aproximación se realizará utilizando el método elementos finitos, implementado en la herramienta CAD, ANSYS.

La idea básica del método de elementos finitos consiste en encontrar la solución de un problema complejo, remplazándolo por uno mas simple. En el método de elementos finitos, un dominio es reemplazado por una colección de simples subdominios, llamados elementos finitos, Sobre cada elemento finito, el proceso físico es aproximado por una función del tipo deseado, y ecuaciones algebraicas relacionan las cantidades físicas en puntos seleccionados, llamados nodos, del elemento desarrollado. Finalmente las ecuaciones son ensambladas usando continuidad o cantidades físicas de balance.1

4.1 DEFINICION DE LA GEOMETRIA

Lo primero que se debe hacer para realizar el análisis es crear la geometría en un programa CAD. La universidad cuenta con programas como Solid Edge o Micro Station, para crear modelos, y dependiendo de la complejidad de la geometría valdría la pena crearlos allí y exportarlos a ANSYS. El modelo utilizado en este proyecto es muy sencillo, por lo que puede ser creado a base de hexaedros pegados y sobrelapados unos con otros. El modelo consta de siete volúmenes iniciales, de los cuales tres son para definir la resistencia, dos para el voladizo y dos para la masa de prueba. Estos volúmenes iniciales son reducidos a cuatro al realizar operaciones de adición de volúmenes y áreas. Es importante utilizar la herramienta de sobrelapamiento en el caso de la resistencia, para evitar problemas en la creación de los elementos. Cada volumen tiene sus dimensiones definidas como variables, que hace posible variar alguna dimensión sin tener que volver a dibujar. El modelo completo se encuentra en la figura 4.1.

________________________

(47)

Figura 4.1: Modelo a simular.

La resistencia tiene la siguiente forma y dimensiones:

D

A

B

E

(48)

Figura 4.2: Forma de la Resistencia y sus dimensiones

El voladizo tiene la siguiente forma y dimensiones:

F

G

J

Figura 4.3: Forma del Voladizo y sus Dimensiones.

La masa de prueba tiene la siguiente forma y dimensiones:

H I

J

K

(49)

La figura es mejor construirla usando comandos de texto, ya que permite la definición por variables de la geometría. El texto para construir el modelo de la figura 4.1 es el siguiente:

*SET,C,2 *SET,D,50 *SET,F,300 *SET,G,100 *SET,H,500 *SET,I,500 *SET,J,3 *SET,K,12 *SET,A,G/9 *SET,B,D-G/9 *SET,E,G/3 BLOCK,0,B,0+J,-C+J,E+A-G/2,(E+2*A)-G/2 BLOCK,0,D,0+J,-C+J,E-G/2,E+A-G/2 BLOCK,B,D,0+J,-C+J,E+A-G/2,E+2*A-G/2 BLOCK,0,D,0+J,-C+J,E+2*A-G/2,2*E-G/2 BLOCK,0,F,0+J,-J+J,0-G/2,G-G/2 BLOCK,F,F+H,0+J,-J+J,-(I-G)/2-G/2,(I+G)/2-G/2 BLOCK,F,F+H,-J+J,-J-K+J,-(I-G)/2-G/2,(I+G)/2-G/2 ! * FLST,2,3,6,ORDE,2 FITEM,2,2 FITEM,2,-4 VADD,P51X FLST,2,3,5,ORDE,3 FITEM,2,47 FITEM,2,49 FITEM,2,52 AADD,P51X FLST,2,3,5,ORDE,3 FITEM,2,45 FITEM,2,50 FITEM,2,-51 AADD,P51X FLST,2,2,6,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,5 VADD,P51X FLST,2,2,6,ORDE,2 FITEM,2,2 FITEM,2,8 VOVLAP,P51X

(50)

FITEM,2,5 FITEM,2,18 AADD,P51X FLST,2,2,6,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 VGLUE,P51X FLST,2,2,6,ORDE,2 FITEM,2,3 FITEM,2,7 VGLUE,P51X FLST,2,2,6,ORDE,2 FITEM,2,2 FITEM,2,6 VGLUE,P51X FLST,2,3,5,ORDE,3 FITEM,2,12 FITEM,2,43 FITEM,2,46 AADD,P51X

El texto en azul se encarga de crear los hexaedros, según el valor de las variables definidas en el texto rojo y colocarlos respecto al eje de coordenadas. El texto en verde se encarga de adicionar los hexaedros para formar los volúmenes mostrados en las figuras 4.2, 4.3 y 4.4.

Esta configuración geométrica se creó con el objetivo de describir

4.2 ANALISIS ESTATICO

4.2.1 CREACIÓN DEL MODELO EN ANSYS

4.2.1.1 ELEMENTOS

Los elementos que se escogieron para este análisis fueron el SOLID95 y el SOLID226. El SOLID95 tiene 20 nodos con tres grados de libertad por nodo, los cuales son las deflexiones en respecto a cada eje, y se utilizará para enmallar el voladizo y la masa de prueba. El SOLID226

(51)

es un elemento de 20 nodos con capacidades estructurales, eléctricas, piezorresistivas, este será el elemento que se utilizará para enmallar la resistencia.

4.2.1.2 PROPIEDADES DEL MATERIAL

Lo primero que se debe hacer es revisar que información del material necesitan los elementos para funcionar, esta información se encuentra en la ayuda de ANSYS. Los datos que se necesitarán son los siguientes:

¾ Densidad ¾ Modulo de Young ¾ Resistividad ¾ Razón de Poisson

¾ Matriz piezorresistiva (Únicamente para la resistencia)

Los datos se encuentran en el apéndice A, aunque hay que tener en cuenta que al estar trabajando en unidades muy pequeñas, el algebraico de ANSYS podría llegar a presentar problemas de punto flotante. Para solucionar este problema, las unidades no se calculan en MKS si no en µMKS-V, lo que significa que todo lo que no dependa del voltaje estará en Voltios y las unidades básicas estarán en se multiplicaran por 1e-6. En las tablas 4.1, 4.2, 4.3, 4.41, se encuentran los factores de conversión