Aritmética: Es la diferencia (-) entre una cantidad y otra, se denota de la forma ó

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PREUNIVERSITARIO POPULAR FRAGMENTOS COMUNES

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Proporcionalidad

Razones

 Aritmética: Es la diferencia (-) entre una cantidad y otra, se denota de la forma ó

 Geométrica: Es el cuociente entre dos cantidades, es la razón más utilizada, por ello cuando te enfrentes a un problema que implique razones, se referirá a la razón geométrica. Se anota como ó

En ambos casos recibe el nombre de antecedente y es conocido como consecuente, se lee de la forma “ es a ”.

Proporciones

 Aritmética: Es la igualación entre dos razones aritméticas.

 Geométrica: Es la igualación de dos razones geométrica equivalentes, esto es

ó

Donde y son los extremos; y son los medios. Se lee “ es a como es a ” Para comprobar si se cumple la relación de proporción se puede verificar si el producto de los medios es igual al producto de los extremos, esto es conocido como “Teorema fundamental de las proporciones” y corresponde a:

sí y sólo sí

Proporcionalidad directa

Decimos que dos cantidades y son directamente proporcionales si su cuociente es constante, es decir:

es un valor constante.

Proporcionalidad inversa: Decimos que dos magnitudes y son inversamente proporcionales

si su producto es constante, es decir:

es un valor constante.

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Proporcionalidad compuesta

Es la combinación de los dos tipos de proporciones, directa e inversa.

Porcentaje

Cuando nos referimos a porcentaje, no es otra cosa que a una razón, cuyo consecuente (denominador) es 100, es decir:

Por lo tanto el tratamiento que se haga con un porcentaje es el mismo que con una razón.

Relación en porcentajes

Permite calcular porcentaje o cantidad según la siguiente relación:

Variación porcentual

Donde es la cantidad inicial y la final.

Porcentaje de ganancia y pérdida

Donde es el precio de compra y es el de venta. Si el signo de es positivo indicará porcentaje de ganancia, si es negativo indicará porcentaje de pérdida.

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Interés

Es una forma de pago por el uso de dinero según el tiempo transcurrido. El capital inicial lo representaremos como , a la tasa de interés simple como , la tasa de interés compuesto como , al capital final como y a la cantidad de períodos transcurridos como t.

Existen dos formas básicas de intereses, el simple y el compuesto.

Simple

Corresponde al caso en el cual la ganancia provocada por el capital inicial se percibe después de pasados períodos iguales de tiempo, sin que el capital varíe en el proceso. Está dado por:

Donde es el capital inicial, es la tasa de interés simple y corresponde a los períodos de tiempo transcurridos.

Compuesto

Corresponde al caso en el cual las ganancias se suman al capital después de cada período, aumentando a éste y a la ganancia que se sumará al próximo periodo pues ésta es un porcentaje del nuevo capital.

Éste es el tipo de interés que se ocupa usualmente pues a mayor tiempo trae mayores ganancias que el interés simple. Está dado por:

Donde es el capital inicial, es la tasa de interés compuesto y corresponde a los períodos de tiempo transcurrido.

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Ejercicios PSU

1. Una docena de pasteles cuesta , y media docena de queques cuesta , ¿cuál de las expresiones siguientes representa el valor en pesos de media docena de pasteles y dos docenas de queques? A) B) C) D) E)

2. En un curso hay 36 alumnos, si 24 son hombres, entonces la razón entre hombres y mujeres respectivamente es:

A) 1 : 2 B) 2 : 3 C) 24 : 12 D) 36 : 12 E) 36 : 24

3. La diferencia entre dos números es 48, y están a razón de 5 : 9, ¿cuál es el menor de ellos? a) 5 b) 9 c) 12 d) 60 e) 108

4. 48 obreros construyeron un puente en 5 meses y 10 días trabajando 9 hrs al día. ¿En qué tiempo habrían concluido este trabajo 72 obreros, trabajando en las mismas condiciones, 10 hrs diarias? (1mes = 30 días) A) 3 meses 6 días.

B) 88, meses. C) 3 meses 9 días. D) 7 meses 6 días

E) Ninguna de las anteriores.

5. Las edades de Gonzalo y Cristian están a razón de 1 : 3, si Gonzalo tiene 10 años, ¿cuántos años suman sus edades?

A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

6. La suma de 6 enteros pares consecutivos es 90, ¿en qué razón están los 2 números centrales? A) 1 : 2 B) 3 : 4 C) 6 : 7 D) 7 : 8 E) 8 : 9

7. Cristian tiene que pagar $90.000, si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto le queda por cancelar todavía?

A) $450 B) $4.550 C) $85.500 D) $89.500 E) $94.550

8. De 125 alumnos de un colegio, el 36% son damas, ¿cuántos varones hay?

A) 89 B) 80 C) 45 D) 36 E) 25

9. ¿Qué porcentaje de rebaja se hace sobre una deuda de $4.500 que se reduce a $3.600? A) 80% B) 60% C) 40% D) 20% E) 10%

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PREUNIVERSITARIO POPULAR FRAGMENTOS COMUNES 5 10. ¿Qué porcentaje es 1/3 de 1/6? A) 50% B) 100% C) 150% D) 200% E) 400%

11. ¿De qué cantidad 80 es el 25 %? A) 160

B) 200 C) 240 D) 320 E) 400

12. Una tercera proporcional geométrica entre 4 y 8 podría ser:

A) 1 B) 4 C) 8 D) 16 E) 32

13. Un televisor se vende en con un porcentaje de pérdida de . Entonces su precio de compra es:

A) B) C) D) E)

14. La edad de Juan y la de Pedro están en la razón de 6:2 y la de Pedro con la de Diego en la razón de 4:3.Si las edades suman 38 años. ¿Qué edad tiene Pedro?

A) 24 años B) 12 años C) 8 años D) 6 años

E) 4 años

15. Una persona deposita en un banco una cantidad de dinero con un interés simple anual del 10%. Si después de tres años, recibe 2.600.000 ¿Cuál fue su capital inicial? A) $ 86.667

B) $ 200.000 C) $ 20.000 D) $ 2.000.000

E) Ninguna de las anteriores. 16. La gráfica representa:

A) Proporcionalidad inversa

B) Datos para graficar una recta que pasa por el origen

C) Datos para graficar una recta que intersecta al eje X en 3.

D) Proporcionalidad directa E) Ninguna de las anteriores.

17. 7 obreros cavan en 2 horas una zanja de 10m, ¿cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 42 obreros? A) 6 B) 30 C) 60 D) 69 E) 90

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6 18. Se aplica una prueba especial a un grupo de 12 alumnos de 4º medio. Los resultados obtenidos están representados en la tabla de frecuencia que muestra la figura. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo nota mayor que 4?

A) 25% B) 45% C) 75% D) 55%

E) Ninguna de las anteriores.

19. Una persona paga tres quintos de una cuota más $1.300 y queda debiendo los dos décimos. ¿Cuál era el valor de la cuota? A) $ 6.500

B) $ 7.000 C) $ 7.500 D) $ 7.850 E) $ 8.500

20. Un padre tiene la edad equivalente al 120% de la suma de las edades de sus dos hijas. Si las edades de las niñas están en la razón 2 : 3 y la diferencia entre éstas es 9 años. ¿Qué edad tiene el padre?

A) 27 años B) 36 años C) 45 años D) 54 años E) 60 años

21. Si hombres hacen un trabajo en días, entonces hombres pueden hacer el mismo trabajo en:

A) días B) días C) D) E)

22. Tres obreros hacen un hoyo en 2 días. ¿En cuánto tiempo harán 50 hoyos una cuadrilla de 10 obreros?

A) No se puede calcular B) 30 días

C) 333,33… días D) 25 días

E) Ninguna de las anteriores

23. Un artículo que cuesta se vende con 20% de descuento; otro que cuesta el doble, se vende con un descuento del 35%. Si a una persona por la compra de los dos artículos se le hace un descuento de $810, ¿cuál es el valor de ? A) 850 B) 900 C) 950 D) 100 E) Otro valor

El material de ejercicio fue desprendido de Apuntes de Preparación para la Prueba de Selección Universitaria

Matemática disponible en http://www.sectormatematica.cl