Fisica Riart

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(1)PARA PENSAR. en CIENCIAS FISICAS. TRABAJO Y ENERGIA MECANICA. Física para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería. Prof. Ing. Gustavo Riart O.. Trabajo y Energía. 149.

(2) Trabajo y Energía. 150.

(3) DINAMICA DEL PUNTO TRABAJO Y ENERGIAS MECANICAS Después de estudiar las Leyes de Newton, conocemos la interacción entre dos cuerpos. Observando la figura afirmamos que el hombre realiza una fuerza sobre el cuerpo, que se transmite por medio de la cuerda. También podemos decir que al hacer esta fuerza, el hombre hace un trabajo. Este trabajo que hace el hombre es uno de los “mecanismos de interacción” de los cuerpos. En mecánica el trabajo no es un concepto tan amplio como se utiliza diariamente. (Trabajo muscular, trabajo mental, etc). El concepto de trabajo mecánico requiere de un movimiento del cuerpo. El cuerpo debe tener un desplazamiento para que se haga Trabajo Mecánico.. El trabajo mecánico es el producto escalar del vector desplazamiento por el vector fuerza.. W=r. F. W =r  F coseno . Es decir el trabajo es el producto del modulo del vector desplazamiento por el modulo del vector fuerza por el coseno del ángulo que forman ambos vectores entre sí. Es importante considerar cual es el "sistema" que se está estudiando y cual el medio ambiente que lo rodea. De esta forma se puede diferenciar el trabajo realizado por el medio ambiente sobre el sistema, del trabajo que hace el sistema sobre el medio ambiente. Si la fuerza que realiza el trabajo forma con la dirección del desplazamiento un ángulo  <  / 2, el trabajo es positivo; en este caso se considera que es el medio ambiente el que realiza trabajo sobre el sistema. De esta forma el sistema "recibe" o "absorbe" trabajo. Para  =  / 2, el trabajo es nulo, la fuerza no realiza trabajo; es decir ni el medio ambiente, ni el sistema realizan trabajo. Y si  >  / 2, el trabajo es negativo, es el sistema el que realiza trabajo sobre el medio ambiente. El sistema "entrega" trabajo. Hay mecanismos de interacción que pueden hacer que el sistema entregue o reciba trabajo, indistintamente; o sea realizar trabajo positivo o negativo. Pero también hay mecanismos de interacción que solo pueden hacer que el sistema entregue trabajo. Las fuerzas provenientes de estos mecanismos se denominan “Fuerzas Disipativas”. Un ejemplo es la fuerza de rozamiento. En rigor, si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas cada una de ellas efectúa un trabajo, así, para las fuerzas de la figura los trabajos de cada una de ellas cuando el cuerpo se desplaza “r” son:. W1 = r F1 coseno 1 W2 = r F2 coseno 2 W3 = r F3 coseno 3. Trabajo y Energía. F2. F3. F1. F4. r 151.

(4) W4 = r F4 coseno 4 El trabajo total que se realiza sobre el cuerpo es la suma algebraica de todos estos trabajos W =  Wi =  ( r Fi coseno i ) = r  ( Fi coseno i ) Si llamamos F a la suma de todas las fuerzas (Resultante),  ( Fi coseno i ) = F coseno  y por lo tanto W =  Wi = r F coseno  El trabajo total realizado sobre el cuerpo es igual a la suma de los trabajos que realiza cada fuerza sobre el cuerpo y es igual al trabajo de la fuerza resultante (suma vectorial de todas las fuerzas).. TRABAJO DE FUERZAS O DESPLAZAMIENTOS VARIABLES Consideremos tres casos de trabajo realizados por fuerzas aplicadas al cuerpo que se mueve sobre la superficie de la figura. En el primer caso el vector fuerza es constante, en el segundo caso el modulo de la fuerza es constante y su dirección paralela a la trayectoria y en el tercero la dirección de la fuerza es constante y su modulo varia.. r1. r2. r. r1 r3. r1. r2 r3. r2 r3. er. 1 Caso: Vector F constante Los trabajos que realiza la fuerza F para cada trayectoria son: W1 = F r1 coseno 1 El trabajo total es. W2 = F r2 coseno 2. W3 = F r3 coseno 3. W = F (r1 coseno 1 + r2 coseno 2 + r3 coseno 3 ). r1 coseno 1 + r2 coseno 2 + r3 coseno 3. = r coseno . En este caso el trabajo es igual al producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento total. W = F r coseno  2º Caso: Modulo de F constante y dirección paralela al desplazamiento W1 = F r1 coseno 0º El trabajo total es. W2 = F r2 coseno 0º. W3 = F r3 coseno 0º. W = F ( r1 + r2 + r3 ). Es decir el trabajo es, en cada tramo, el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento, resultando una suma total igual a la fuerza por el trayecto.. Trabajo y Energía. 152.

(5) er. 3 Caso: Modulo de F varia y la dirección permanece constante. W1 = F1 r1 coseno 1. W2 = F2 r2 coseno 2. W3 = F3 r3 coseno 3. El trabajo total es W = F1 r1 coseno 1 + F2 r2 coseno 2 + F3 r3 coseno 3 ellos.. Resultando en este caso que se debe calcular el trabajo en cada tramo y sumar todos. Supongamos ahora que deseamos conocer el trabajo realizado a lo largo de una trayectoria curva en cada uno de los tres casos de las fuerzas. Para el efecto se puede suponer la curva formada por pequeños segmentos de recta r. Los pequeños trabajos realizados en cada tramo serán el producto escalar del vector fuerza por los vectores desplazamientos r. W = F coseno  r El trabajo total es la integral (suma de cantidades muy pequeñas) de W. W =  F coseno  r Los resultados de este calculo para cada uno de los casos estudiados serán er. 1 Caso: Vector F constante. = F  coseno  r donde coseno  es función de r. En este caso resulta W = F r coseno  W. El trabajo es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento total, al ser er la integral, igual que en el 1 Caso anterior, el desplazamiento total por el coseno del ángulo que forma con la fuerza. 2º Caso: Modulo de F constante y dirección paralela al desplazamiento.  = 0º W. coseno 0º = 1. = F coseno   r = F S. En este caso el ángulo es constante, y el resultado de la integral es la longitud S de la curva (el trayecto). Por lo tanto el trabajo es igual a la componente tangencial de la fuerza por la longitud de la trayectoria. Este es el caso de la fuerza de rozamiento que es siempre tangente a la trayectoria. Como el vector fuerza es contrario al desplazamiento F y r siempre forman un ángulo de 180º, el trabajo es negativo. er. 3 Caso: Modulo de F varia y la dirección permanece constante. W =.  F coseno  r. El módulo de la fuerza y el ángulo que forma con el desplazamiento varían permanentemente, por lo tanto, solo se puede obtener el trabajo a partir de resolver la integral.. Trabajo y Energía. 153.

(6) ENERGIA CINETICA Si la fuerza “F”, resultante es paralela al desplazamiento, el trabajo es W=Fr 2 2 F=ma r = (V – Vo ) / 2 a entonces W = m a (v2 – vo2) resultando 2a 2. 2. F. W = m ( V – Vo ) 2. r. W =  Wi = m (V2 – Vo2) 2 Si Vo = 0. W = m V2 2. y si V = 0. W = – m Vo2 2. De forma tal que conocida la velocidad de un cuerpo podemas determinar el trabajo que se hizo sobre el mismo; o el trabajo que se necesita hacer para frenarlo (trabajo negativo en este caso). Siempre que se puede determinar el trabajo por alguna caracteristica, propiedad, interacción, etc. del cuerpo, tenemos una Energía.. ENERGÍA CINÉTICA. es la energía debida a la velocidad que tiene el cuerpo. K = m V2 2 Esta cantidad es escalar, pues para elevar un vector (la velocidad ) al cuadrado se debe realizar un producto escalar. El trabajo de las fuerzas es en consecuencia igual a. W =  Wi = m V2 – m Vo2 = K - Ko 2 2 Donde K es la energia cinetica final para la velocidad final V y Ko es la energia cinetica inicial para la velocidad Vo El trabajo mecánico es pues igual a la variación de la energía cinética.. W = K – Ko =  K. Trabajo y Energía. 154.

(7) ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA Un cuerpo de peso “P” se traslada de “A” a “C”, pudiendo hacerlo por la trayectoria “ABC” o directamente de “A” a “C”. El trabajo realizado por el peso en la trayectoria “ABC” es: Trabajo de A a B Trabajo de B a C Total trabajo ABC Por lo tanto. B W BA = P dBA cos  W CB = P dCB cos 0º = 0 W = P dBA cos  donde dBA cos  = dCA.. A. . P. ho. h. C. hf. W = P dCA. El trabajo en la trayectoria AC es W = P dCA cos 90º = P d CA El trabajo en ambos casos es el mismo y cualquier otra trayectoria que se utilice para llevar el cuerpo de “A” a “C” el trabajo será siempre el mismo. Si llevamos nuevamente el cuerpo al punto "A", por cualquier trayectoria, el trabajo hecho por el peso será – P d CA. Una vez en el punto "A" dejamos al cuerpo bajo la acción del peso solamente y el peso realiza un trabajo de tal forma a volver al punto "C" y de ser posible mas abajo del punto "C". Las fuerzas que cumplen con esta característica son fuerzas debidas a alguna propiedad inherente a los cuerpos. En este caso es la propiedad gravitatoria de los cuerpos. Igual fenómeno ocurre con otras propiedades, como la elástica, por ejemplo; que analizaremos mas adelante. Cuando se cumplen estas condiciones, la fuerza se denomina "Fuerza Conservativa". LA FUERZA ES CONSERVATIVA CUANDO TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: 1. EL TRABAJO QUE REALIZA DEPENDE DEL DESPLAZAMIENTO Y ES INDEPENDIENTE DE LA TRAYECTORIA. 2. LA FUERZA SE DEBE A UNA PROPIEDAD DE LOS CUERPOS. 3. CUANDO SOBRE EL CUERPO ACTUA SOLAMENTE ESTA FUERZA, LA MISMA REALIZA TODO EL TRABAJO QUE LE ES POSIBLE, HASTA QUE ALGUNA OTRA FUERZA EQUILIBRE EL CUERPO. Si el cuerpo se mueve sobre una trayectoria cualquiera, el mismo interactúa con el medio ambiente, entregando y recibiendo trabajo, de tal forma que si vuelve a su posición inicial la cantidad de trabajo entregado es igual a la cantidad de trabajo recibido resultando un trabajo total nulo. Esta es la acción de las fuerzas conservativas. Si el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es,  Ti = Kf – Ko,  Wi = W 1 + W 2 + W 3 + ......+ W P, donde W 1, W 2, W 3, son los trabajos de las fuerzas y W P es el trabajo del peso. Es decir W 1 + W 2 + W 3 + ......+ W P = Kf – Ko, En el caso del peso podemos predecir el trabajo que va realizar al trasladarse el cuerpo de la posición “A” a “C”, por lo tanto W 1 + W 2 + W 3 + ...... = Kf – Ko – W P En la figura se observa que. d CA = (h f — h o), Trabajo y Energía. 155.

(8) y por lo tanto – W P = –- P . d CA = – P . (hf – ho), todos productos escalares, donde P y los vectores h f (altura final) y ho (altura inicial) forman un ángulo de 180º con el Peso. El producto escalar – P hf = – P hf cos 180º = P hf y el producto escalar. P ho = P ho cos 180º = – P ho. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA es el producto escalar del vector Peso por el vector de posición vertical (altura) medida desde el cuerpo hasta el nivel de referencia.. U=Ph. LA ENERGIA POTENCIAL TIENE LAS SIGUIENTES CUALIDADES: 1. LA ENERGIA POTENCIAL SOLAMENTE PUEDE CONSERVARSE SI SE APLICA AL CUERPO OTRA FUERZA QUE MANTENGA AL CUERPO EN EQUILIBRIO. 2. CUANDO EL CUERPO SE ENCUENTRA BAJO LA ACCIÓN DE FUERZAS CONSERVATIVAS SOLAMENTE, EL MISMO SE MUEVE HASTA LA POSICIÓN DE MENOR ENERGIA POTENCIAL POSIBLE.. ENERGIA POTENCIAL ELASTICA En el Capitulo de la 2ª Ley de Newton se analizó la fuerza del resorte que responde a la Ley. F=–kx. La fuerza del resorte es una fuerza variable por lo tanto el trabajo que realiza el resorte es TRES =  F cos  x =  – k x x Siguiendo el mismo procedimiento realizado para determinar la Energía Potencial, tenemos que.  Ti =  K +  U – TRES. El trabajo que hace el resorte puede predeterminarse conociendo el alargamiento final e inicial del resorte, por lo tanto es una fuerza conservativa. Definimos como ENERGIA PÒTENCIAL ELASTICA. UE. = – TRES =  – k x x = –  k x x Al resolver una integral obtenemos el área bajo la curva. En el gráfico tenemos en el eje de abscisas el alargamiento del resorte y en el eje de ordenadas la fuerza F. La recta es la representación gráfica de la ecuación F = k x Trabajo y Energía. Ff Fo 156. Xo. Xf.

(9) Si X f indica el alargamiento final del resorte, la energía potencial final es el área triangular. Uf = F f X f = k X f2. 2 2. Y si X triangular. o. indica el alargamiento inicial del resorte, la energía potencial inicial es el área. Uo = Fo Xo = k Xo2. 2 2. UE =. k Xf 2. – k Xo2. 2 2. TRABAJO Y ENERGIA MECANICA De esta forma – TP = U f – Uo, por lo tanto  Ti = Kf – Ko + Uf – Uo o lo que es igual. T =  Ti =  K +  U Donde T es la suma del trabajo de todas las fuerzas no conservativa,  K es la variación de la energía cinética entre la posición final y la posición inicial y  U es la variación de la energía potencial gravitatoria entre ambas posiciones. Finalmente.  Ti = K + UG + UE,. El trabajo de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía cinética mas la variación de la energía potencial gravitatoria mas la variación de la energía potencial elástica. En forma más general..  Ti =  K +  U. CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA Si el cuerpo esta sujeto a la acción de fuerzas conservativas solamente o las fuerzas que actúan sobre el mismo no realizan trabajo.. Ti = 0 K + U = 0 Kf – Ko + Uf – Uo = 0 Kf + Uf = Ko + Uo Ef = Eo. De acuerdo a esta expresión la suma de las energías mecánicas se conserva en todo instante. Esta conservación es conocida como PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA. Este principio, avanzando en el análisis de la física se hace más extensivo pudiendo afirmarse que la ENERGÍA SIEMPRE SE CONSERVA, NUNCA SE PIERDE. Esto se debe a que si un sistema absorbe trabajo que le entrega el medio, en algún otro lugar hay otro sistema que entrega trabajo al medio.. Trabajo y Energía. 157.

(10) EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE Analizando, un cuerpo rígido sometido a la acción del peso y de otra fuerza que mantienen en equilibrio al cuerpo, como en las tres figuras de abajo.. Figura 1. Figura 2. Figura 3. En el caso de la figura 1, al mover el cuerpo de la posición de equilibrio, el centro de gravedad del mismo aumenta su altura, aumentando su energía potencial. Si se suelta el cuerpo desde esta posición, como no está en equilibrio, el mismo buscará la posición de menor energía potencial, volviendo a su posición inicial. En realidad el cuerpo al llegar a la posición inicial tiene velocidad razón por la cual el cuerpo no se detiene, volviendo a subir hasta una altura igual a la que tenía anteriormente, oscilando permanentemente. Se denomina equilibrio estable cuando al mover el cuerpo de la posición de equilibrio, aumenta la energía potencial, como en la figura 1, En la figura 2, al mover el cuerpo de su posición inicial el cuerpo vuelve a estar en equilibrio y su energía potencial se mantiene constante. En este caso, el cuerpo está en equilibrio indiferente. En cambio en la figura 3, al mover el cuerpo de su posición de equilibrio la energía potencial disminuye y, como, no está en equilibrio se mueve buscando la posición de menor energía potencial, alejándose de su posición inicial. En los casos en que al mover el cuerpo de la posición de equilibrio la energía potencial disminuye, el equilibrio es inestable.. POTENCIA Al aplicar una fuerza a un cuerpo y desplazarlo, se realiza un trabajo y se puede realizar el mismo trabajo con cualquier fuerza que logre desplazar al cuerpo. Sin embargo, dependiendo de la Fuerza, la forma de aplicación ( el ángulo con respecto al desplazamiento ) el trabajo a ser realizado requerirá de mas o menos desplazamiento y tiempo para realizarlo, con efectos finales diferentes. Sobre todo de un mayor o menor tiempo para hacer el trabajo. De aquí la importancia de considerar también el tiempo en que se realiza el trabajo. El mecanismo de interacción que considera el tiempo en que se realiza un trabajo es la POTENCIA. como. La potencia es la medida de la rapidez con que se realiza un trabajo, y la podemos definir. POTENCIA. Es el trabajo realizado en la unidad de tiempo.. P=. W . t. Trabajo y Energía. 158.

(11) Mediante la acción de una fuerza es posible mover un objeto. Esta fuerza realiza un trabajo igual a F r, si la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección. Definimos como potencia media a Donde. r / t es la velocidad media,. P=. W . = F r t t P= F.V. Por lo tanto la potencia media es el producto escalar. Si determinamos el límite de la expresión anterior obtenemos la potencia instantánea como el producto escalar de la fuerza por la velocidad instantánea. POTENCIA: Es el producto escalar del vector fuerza por el vector velocidad.. POTENCIA MEDIA: es el producto escalar del vector fuerza por el vector velocidad media. POTENCIA INSTANTANEA: es el producto escalar del vector fuerza por el vector velocidad instantánea. RENDIMIENTO En la realidad, cuando el medio ambiente entrega trabajo a un sistema, este sistema no puede utilizar la totalidad del trabajo que le es entregado. Esto se debe, a que las maquinas en el proceso de transformación del trabajo o la energía recibida, generan energías que son entregadas nuevamente al medio ambiente, utilizando para realizar el trabajo solamente una parte de la energía recibida. Por ejemplo, un montacargas es utilizado para alzar materiales en una obra en construcción. El montacargas funciona mediante un motor eléctrico. Si calculamos la energía eléctrica entregada al motor (la electricidad que consumió) y la comparamos con el trabajo realizado para alzar los pesos, encontramos que la primera es mayor que esta ultima. Esto se debe a que en el proceso que realiza nuestro montacargas fuerzas de rozamiento, entre otras, transforman parte de la energía en calor que es devuelto al medio ambiente. Es importante entender del trabajo realizado sobre el sistema, una parte es utilizada por el sistema para realizar un trabajo sobre el medio ambiente. La otra parte no se pierde, sino que es devuelto al sistema en distintas formas de energía antes de realizar el trabajo. En rendimiento es entonces, la relación entre el trabajo que efectivamente realizó el montacargas y el trabajo (energía en este caso) que le suministro la corriente eléctrica. Como estos trabajos se realizan al mismo tiempo, el rendimiento es la relación entre la potencia utilizada para realizar trabajo por el sistema y la potencia entregada al sistema.. RENDIMIENTO.  = W realizado = P W entregado. Trabajo y Energía. utilizada. Pentregada. 159.

(12) UNIDADES DE MEDIDA DE TRABAJO, ENERGIA Y POTENCIA TRABAJO y ENERGIA. POTENCIA. Clase. Unidad. Clase. Sistema Internacional. Derivada. 1 N x 1 m = 1 joule. Derivada. Sistema Técnico. Derivada. 1 kgf x 1 m = 1 kilográmetro. Derivada. 1 kgf m 1 s. Sistema C. G. S.. Derivada. 1 dina x 1 cm = 1 ergio. Derivada. 1 ergio 1 s. Otras Unidades. Unidad. 1 joule 1 s. 1 kw hora. –1. 76 kgm 1 s. = 1 watt. –1. –1. –1. = 1 HP. FACTORES DE CONVERSION Sistema Internacional. Sistema Técnico. Sistema C. G. S.. TRABAJO Y ENERGIA. 1 Joule =. 1 / 9,8 kgfm. 10 ergios. POTENCIA. 1 watt =. 1 / 9,8 kgfm s. Otras Unidades. 7. –1. 7. 10 ergios s. 1 / 3,6 10 –1. –6. kw h. 1 / 745.7 HP. PROBLEMAS 1. Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º. 2. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F constante de 100 N, al trasladar el cuerpo de masa m del punto A al B a lo largo de la trayectoria curva de la figura.. 3. 37º. F. A Un cuerpo de 4 kg de masa se mueve hacia arriba en un plano inclinado 20º con respecto a la horizontal. Sobre el cuerpo actúan las siguientes fuerzas: una fuerza horizontal de 80 N, una fuerza paralela al plano de 100 N favoreciendo el movimiento, una fuerza de fricción de 10 N que se opone al movimiento. 10 N El cuerpo se traslada 20 m a lo largo del plano inclinado. Calcular: a) El valor de las otras fuerzas que actúan sobre el cuerpo. b) El trabajo de cada fuerza y el trabajo total. c) La resultante y el trabajo de la resultante.. Trabajo y Energía. B 6m 8m 100 N 80 N 20º. 160.

(13) 4. El coeficiente de rozamiento con el piso de un cuerpo de masa 5 kg que se mueve sobre una circunferencia horizontal de radios 5 m, es 0,4. Determinar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento al concluir una vuelta.. 5. En el movimiento de un péndulo simple actúan tres fuerzas sobre la masa suspendida (la cuerda se considera sin masa): fuerza de la gravedad (peso), tensión de la cuerda y resistencia del aire. a) Dibujar las fuerzas y la trayectoria del péndulo. b) ¿Todas las fuerzas realizan trabajo? c) ¿Cuál de ellas realiza un trabajo negativo durante todo el tiempo que dura el movimiento? d) Escribir el principio del trabajo y la energía para el péndulo para cualquier posición.. 6. Un cuerpo de masa 1 kg desciende por la superficie sin rozamiento indicada en la figura 1. La velocidad del cuerpo en el punto A es de 3 m/s, la altura de este punto es 20 m el punto B tiene una altura de 10 m Determinar la velocidad en el punto B. A R. HA H. B HB. Figura 2 Figura 1 7. Determinar la altura H mínima desde la cual se debe soltar un cuerpo de masa para que describa la circunferencia vertical de radio R, de la figura 2.. 8. Un cuerpo se suelta sobre una superficie semicilíndrica sin rozamiento de radio R, como muestra la figura. Determinar la altura H para la cual el cuerpo se despega por primera vez de la superficie.. 9. En la figura se muestra la gráfica de la fuerza aplicada a un móvil de 2 kg de masa en función del desplazamiento. Si la velocidad inicial del móvil (en x=0) es de 5 m/s. Calcular su velocidad en las posiciones x = 4, 10, 14, 18, 22 utilizando los conceptos de este Capitulo... Fuerza. 8 6 4 2 0 -2 0 -4 -6 -8. Resp.: m/s. H R. 1m 2. 4. 6. 8. 10 12 14 16 18 20 22. Desplazamiento. a) 6,08 m / s d) 8,54 m / s. 0,5 m. b) 8,54 m / s e) 7,00 m / s. h. c) 9,22. 10 Se deja caer sobre un resorte en posición vertical una masa de 0.5 kg desde 1 m de altura. El muelle tiene una longitud de 0.5 m y una constante de 100 N/m. Calcular la longitud h del resorte cuando está comprimido al máximo Resp.: h = 13,4 cm. Trabajo y Energía. 161.

(14) 11 Una bola de 5 kg de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s, alcanza una altura de 15 m. Calcular la pérdida de energía debida a la resistencia del aire. Resp.: 265 j 12 Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es de 0.16. Determinar: a) La longitud que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se para. b) La velocidad que tendrá el bloque al regresar a la base del plano. Resp.: X = 11,5 m V = 9 m / s. 13 Un resorte horizontal tienen una constante recuperadora de 48 N/m. En el extremo del resorte se coloca una masa de 0.75 kg y se estira el resorte 0.2 m a partir de la posición de equilibrio, soltándose a continuación, momento en el que se empieza a contar el tiempo. Hallar: a) La velocidad cuando el resorte esta estirado la mitad. b) La velocidad cuando el resorte vuelve a estar en su posición de equilibrio. c) La velocidad cuando el resorte está comprimido una longitud igual al estiramiento inicial. d) La velocidad cuando el resorte está comprimido una longitud igual al estiramiento inicial. 14 Un resorte de constante 1 kgf/cm se encuentra en equilibrio sosteniendo un cuerpo de masa 5 kg. Desde esta posición se estira 10 cm el resorte con el cuerpo y se suelta. Determinar: a) La velocidad cuando el cuerpo vuelve a pasar por su posición de equilibrio inicial. b) La velocidad cuando el resorte tiene su longitud inicial, y c) La elongación del resorte cuando el cuerpo se deteine. 15 Determinar cuanto debe comprimirse un resorte de constante igual a 49 N/cm,que se encuentra en la base de un plano inclinado 30º, para que un cuerpo de masa H 500 g, que se comprime contra el resorte, alcance la 30º parte superior del plano inclinado con una velocidad igual a la cuarta parte de la velocidad con que se desprende del resorte. El borde superior del plano inclinado se encuentra a una altura de 1 m medida desde el borde del resorte en su longitud natural. El coeficiente de rozamiento cinetico entre la superficie y el cuerpo es 0,4. 16 Un pilote de masa 1000 kg. y longitud L = 3 m, se deja caer desde una altura h = 2 m y penetra en el suelo una distancia d = 50 cm. Calcular la velocidad con que la punta del pilote llega al suelo y el valor de la fuerza de resistencia del suelo, suponiendo que es constante. Resp.: V = 6,26 m F = 49 N. L. h d. Trabajo y Energía. 162.

(15) PARA PENSAR. en CIENCIAS FISICAS. IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO. Física para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería. Prof. Ing. Gustavo Riart O.. Impulso y Cantidad de Mov.. 141.

(16) Impulso y Cantidad de Mov.. 142.

(17) DINAMICA DE LA MASA PUNTUAL IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO Newton en la DEFINICIÓN II, previas al enunciado de las Leyes en su libro, “La cantidad de movimiento es la medida del mismo surgida de la velocidad y la cantidad de materia conjuntamente”. El enunciado de Newton es: "LEY II: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de la línea recta en que se imprime esa fuerza”. En las primeras interpretaciones de esta Ley, se entendió que el cambio del movimiento es el cambio de velocidad, y este es producido por la aceleración, de alli que la 2ª Ley de Newton quedo establecida como:. F = m a y por cinemática a = V – V0 , t F = m V – V0 = m V – m V 0 t t De donde. F t = m V – m V0. Al producto de la fuerza por el tiempo, se denomina IMPULSO y al producto de la masa por la velocidad CANTIDAD DE MOVIMIENTO. Estas dos magnitudes son sumamente útiles cuando las condiciones de interacción de los cuerpos no permiten medir la fuerza, ya sea porque la misma es variable y no se puede determinar la Ley que la rige, o porque el tiempo en que actúa es demasiado pequeño y no se puede medir. Esto ocurre por ejemplo en los choques de cuerpos o en las particiones de los átomos en las reacciones en cadena. Representando el Impulso por I y la cantidad de movimiento por P, la ecuación es. I = I=F t. P – P0 P=mV. Ecuación que nos indica que para que exista una variación de la cantidad de movimiento, es necesario un impulso, y que este es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Estas magnitudes son vectoriales.. EL IMPULSO El concepto de Impulso como interacción es muy útil cuando las variables fuerza y tiempo, no se pueden determinar experimentalmente. Por ejemplo cuando se golpea un cuerpo, cambia el vector velocidad, que si se puede medir antes y después del golpe. En este caso la fuerza varía desde cero en el instante en que empieza el golpe a un valor máximo, para luego volver a cero cuando termina el golpe. Y el tiempo en que ocurre todo esto es muy pequeño y por lo tanto muy difícil de medir. El gráfico muestra como varia la fuerza en el tiempo en este caso. El área bajo la curva es el Impulso. Si se conoce el impulso y el tiempo se puede calcular una fuerza media ( Fm ), tal que el impulso que produzca en el mismo tiempo sea igual al que produjo el golpe. Esto es que el área bajo la curva sea igual al área del rectángulo formado por Fm y t . Impulso y Cantidad de Mov.. F. Fm. t Fm = I / t 143.

(18) CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO El COROLARIO III, de Newton dice "La cantidad de movimiento que se obtiene tomando la suma de los movimientos dirigidos hacia la mismas de las partes, y la diferencia de aquellos dirigidos hacia partes contrarias no sufre alteración por la acción de los cuerpos entre sí", y es muy interesante su explicación de este corolario. decir. Cuando no hay impulso, no se produce una variación de la cantidad de movimiento. Es. P – P0 = 0. y resulta que. P = P0. El hecho de que la cantidad del movimiento no cambie es conocido como PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO, que es una de las conservaciones que estudia la mecánica.. Si un cuerpo de masa m tiene una velocidad Vo, el cuerpo tienen una cantidad de movimiento. P0 = m V 0. Por alguna causa interna, sin que actúe un impulso externo; una parte m1 de la masa adquiere una velocidad V1, y con ello tiene una cantidad de movimiento P1 = m1 V1; la masa m2 restante adquirirá una velocidad V2, y tiene una cantidad de movimiento P2 = m2 V2 de forma tal que la cantidad de movimiento antes de partirse el cuerpo P0 es igual a la cantidad de movimiento después P.. P1 + P2 = P = P0.. P1 P2. P1. Po. P1+ P2 = P = Po P2 Es muy importante entender que el impulso es provocado por una fuerza externa al sistema en estudio. En ningún caso se puede considerar al impulso como consecuencia de fuerzas internas. Si se quiere considerar el impulso originado por una fuerza interna, se debe separar las partes de forma tal a considerar cada parte como independiente de la otra y que la fuerza que provoca el impulso de una parte es igual y contraria a la que provoca el impulso de la otra (por acción y reacción). Esto es que los Impulsos son iguales y de sentido contrario sobre cada parte I I Figura 1 El sistema es el cuerpo completo y sobre el no actúa ningún impulso.. Figura 2 Los sistemas en estudios son dos partes del mismo cuerpo, y los Impulsos son iguales y contrarios. Impulso y Cantidad de Mov.. 144.

(19) De hecho estos son los conceptos desarrollados por Newton, que en la explicación de su LEY II dice, "... tanto si la fuerza es impresa entera y a la vez como si lo es gradual y sucesivamente." Es decir o un impulso o una fuerza.. CENTRO DE MASA La pregunta es ¿Si cada parte tiene una velocidad distinta y por lo tanto una cantidad de movimiento distinta, que significado tiene la suma de estas cantidades de movimiento?. P = P 1 + P2. Si. m V = m 1 V1 + m2 V2 Donde cada velocidad es el desplazamiento en la unidad de tiempo.. ΔV = Δr / t Entonces. Y como. m Δr = m1 Δr1 + m2 Δr2 t t t m = m1 + m2 y t es el mismo, resulta ( m1 + m2 ) Δr = m1 Δr1 + m2 Δr2 Δr = r – r0. Entonces. y. si r0 = 0. Δr = r. ( m 1 + m 2 ) r = m 1 r1 + m 2 r2. El vector de posición r indica la posición de la masa total del cuerpo (m1 + m2). Este punto, en el cual debería encontrarse una masa puntual igual a la suma de las masas de las partes del cuerpo es el Centro de Masa. De esta forma la cantidad de movimiento, suma de las cantidades de movimiento de las dos masas consideradas, es la cantidad de movimiento del centro de masa. Que la cantidad de movimiento se conserve, significa que la cantidad de movimiento del centro de masa, antes de que el cuerpo se parta en dos pedazos y después de partirse es la misma. Consecuentemente la velocidad del centro masa antes y después de que ocurra el fenómeno es la misma. Consecuencia de esto es que, si el cuerpo tiene uno de los movimientos estudiados anteriormente en cinemática, el centro de masa seguirá con el mismo movimiento después de que por algún fenómeno las partes del cuerpo cambien su movimiento, siempre que el mismo no se deba a una causa externa. Hasta esta parte, el estudio de la mecánica realizado se refiere a masas puntuales, es decir, a masas concentradas en un punto. En realidad el estudio de la mecánica de traslación, es el estudio del comportamiento del centro de masa de los cuerpos. Esta es la mecánica considerada hasta acá, excepto cuando en estática se considera el momento, pues, en este caso se consideran las dimensiones del cuerpo. En Capítulos siguientes estudiaremos las masas no puntuales.. Impulso y Cantidad de Mov.. 145.

(20) MASA VARIABLE Consideremos un barco que debe cargar en su bodega granos que caen de una tolva. Para que la distribución de carga en la bodega sea uniforme, el barco debe mantener su velocidad constante. En este caso la masa no es constante pues aumenta de acuerdo a la cantidad que cae en la unidad de tiempo. Si el barco mantiene su velocidad su cantidad de movimiento F al principio no es igual a la del final.. Pf = m f V. V. P0 = m0 V Si la masa de grano cae a un ritmo. Por lo tanto. µ = Δm / t , entonces. m f = m0 + µt. Pf = ( m0 + µ t ) V Pf > P0, entonces I ≠ 0 Como. I = P f – P0. F t =( m 0 + µ t ) V – m0 V Ft =µt V F =µ V Es decir la fuerza depende del incremento de la masa en la unidad de tiempo y la velocidad, y aunque la velocidad es constante existe una fuerza que permite que esa velocidad sea constante. Este concepto, obliga a redefinir el concepto de fuerza dado por la 2ª Ley de Newton.. La FUERZA. Es igual a la variación de la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo.. er.  1 PROBLEMA. VELOCIDAD DE LOS COHETES Para analizar la velocidad de un cohete es conveniente hacer algunas consideraciones:. V. Ve a) El cohete se mueve sin que exista fuerza externa que actúa sobre el. Por lo tanto no consideraremos el peso del mismo. b) El cohete expulsa una cantidad de gas por unidad de tiempo  c) Si Mo es la masa inicial, considerando el combustible que contiene, el cohete, su masa final es M = Mo – m. d) La velocidad inicial del cohete es Vo y su velocidad final Vo + V e) La velocidad relativa de los gases respecto al cohete es Ve (velocidad de escape). De esta forma la cantidad de movimiento inicial es igual a la cantidad de movimiento final.. Mo Vo = ( Mo –  t ) (Vo + V) +  t (Vo – Ve) Impulso y Cantidad de Mov.. 146.

(21) De donde se deduce que. ( M –  t ) V =  t Ve. Al hacer las consideraciones se introdujeron  t con signo negativo pues el cohete pierde masa y Ve también, por ser un vector negativo, por lo que V es un vector positivo. Es decir el cohete aumenta su velocidad. Si se divide ambos miembros por tiempo y se hace el límite cuando el tiempo tiende a cero, la fuerza sobre el cohete resulta.. ( M –  t ) V =  Ve t F (Empuje) =  Ve Esta fuerza es el empuje sobre el cohete, supuesta constante.. FUERZA CON MASA Y VELOCIDAD VARIABLES En este capitulo se estudia la interacción cuyo principio general es que el impulso es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Si se considera que la masa aumenta una cantidad constante en la unidad de tiempo, µ; y la aceleración a es también constante. Entonces la masa y la velocidad en cualquier instante son:. m = m0 + µ t V = V0 + a t Las cantidades de movimiento final e inicial serán. Pf = m V = (m0 + µ t ) (V0 + a t) Po = m0 V0 I = P f – P0 F t = P f – P0 De donde. F t = (m0 + µ t ) (V0 + a t) – m0 V0. Resultando. F = m0 a + µ Vo + µ a t. De acuerdo a esta expresión, la fuerza depende de la masa inicial, de la aceleración, del incremento de masa en la unidad de tiempo y del tiempo. Si la fuerza depende del tiempo, no es constante.. Impulso y Cantidad de Mov.. 147.

(22) PROBLEMAS 1 Un hombre de 85 kg de masa está montado en la popa de una barca de 12 m de largo y 200 kg de masa, que se mueve libremente en el agua. El centro de masa de la barca está situado a 6 m de cada uno de sus extremos a) ¿Dónde está el centro de masa del sistema formado por la barca y el hombre?. b) ¿Cuánto se mueve el centro de masa del sistema cuando el hombre camina hasta la proa de la barca? c) ¿Cuánto se desplaza el hombre respecto de la orilla? d) ¿Cuánto se desplaza la barca respecto de la orilla? Resp. a) a 1,79 m del centro del bote b) cero c) 4,21 m d) 1,79 m. 2 Desde el extremo de una plataforma móvil de 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40 kg corre hacia el otro extremo a una velocidad constante de 1 m/s. Determinar a) La velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. ¿Qué principio físico aplicas? b) Si la plataforma tiene inicialmente una velocidad de 5 m / s y el niño se encuentra parado sobre él, cual será la velocidad de la plataforma cuando el niño corre. c) Si el niño corre con velocidad contraria a la de la plataforma, cual es la velocidad de esta. Resp. V = 0,5 m / s contraria a la del niño V = 4,5 m / s V = 3,5 m / s 3 Una persona se encuentra en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento y lanza una piedra de 2 kg, con una velocidad de 100 m/s y formando un ángulo de 60° con la horizontal. ¿Con qué velocidad se moverá la persona si su peso es de 80 kgf ? Resp. V = 1,25 m / s 4 Una esfera inicialmente en reposo debido a una explosión interna se parte en tres pedazos iguales. Dos de los pedazos salen en direcciones perpendiculares con velocidades de 10 m/s. Determinar la velocidad del tercer pedazo. 5 Una niña patea una pelota de 500 g que sale disparada con una velocidad de 5 m/s. ¿Cual es el impulso que le dio la niña a la pelota? Si el impulso tuvo una duración de 0,02 s ¿Cuál es la fuerza media ejercida sobre la pelota? 6 Un cuerpo de 500 g cae desde una altura de 5 m, pega contra el suelo y rebota hasta una altura de 3 m. Determine el impulso y la fuerza media de contacto entre el piso y la pelota, sabiendo que la misma estuvo en contacto con el piso un tiempo de 5 ms. 7 Un bate de béisbol golpea una pelota de masa 0.15 kg de tal forma que su velocidad cambia de 48 m/s horizontal y hacia el este a 81 m/s horizontal y hacia el norte, en un intervalo de tiempo de 0.01 s. Estimar el módulo, dirección y sentido de la fuerza media ejercida por el bate sobre la pelota. Resp. F = 1412 N a = 59,53º 2. 8 Un vagón de ferrocarril está abierto por arriba y tiene un área de 10 m , se mueve sin fricción a lo largo de rieles rectilíneos con velocidad de 5 m/s, en un momento dado comienza a 2 llover verticalmente a razón de 0.001 litros/(cm s). La masa inicial es de 20000 kg. Calcular, razonando las respuestas: a) La velocidad del vagón en función del tiempo b) La aceleración. c) La fuerza necesaria para mantenerlo a velocidad constante de 5m/s. 2 Resp. V = 1000 / ( 200 + t ) a = – 100 / ( 200 + t ) 9 Un vagón lleno de granos, avanza con una velocidad de 36 km / h. Por un agujero abierto en la parte trasera del vagón empieza salir granos a razón de 5 kg. / s. Si el peso del vagón con su carga era inicialmente de 80 toneladas, determinar a) La velocidad del vagón en km / h al cabo de una hora. b) La fuerza que se necesita hacer para mantener la velocidad inicial del vagón. c) Si el agujero es en la parte inferior del vagón, calcular las mismas preguntas anteriores. Impulso y Cantidad de Mov.. 148.

(23) PARA PENSAR. en. CIENCIAS FISICAS. CHOQUE DE CUERPOS. Física para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería. Prof. Ing. Gustavo Riart O.. Choques. 163.

(24) Choques. 164.

(25) DINAMICA DE LA MASA PUNTUAL CHOQUE DE CUERPOS Una Ley fundamental de la física clásica es que dos cuerpos no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo. Y cuando dos cuerpos están en condiciones, por el movimiento que realizan, de ocupar el mismo espacio al mismo tiempo se produce el fenómeno conocido como choque. En el choque los cuerpos interactuan entre si, de forma tal que desarrollan fuerzas de acción y reacción entre ellos. Estas fuerzas inicialmente nulas, crecen hasta un valor máximo y se vuelven nuevamente nulas, ya sea que los cuerpos se separen o se muevan juntos después del choque. Como este fenómeno se produce en un tiempo muy pequeño, se lo debe estudiar como un caso de Impulso y Cantidad de Movimiento.. CHOQUE CENTRAL DE CUERPOS Iniciaremos el estudio con el caso de dos cuerpos que se mueven sobre la recta que une sus centros de masa. Uno de los cuerpos tiene masa m1 y velocidad V1 y el otro cuerpo, masa m2 y velocidad V2, de forma que el cuerpo de masa m1 va atrás de la masa m2 y las velocidades son tales que V1 > V2. Así la masa m1 alcanza a la m2 y chocan. Después del choque las masas m1 y m2 tienen velocidades U1 y U2 respectivamente. V1 m1. V2 X. m2. cm Antes del Choque.. m1 X m2 cm. U1. U2. m1 X. m2. cm. Choque.. Después del Choque.. Analizando el fenómeno para el sistema formado por ambos cuerpos en conjunto, la cantidad de movimiento del centro de masa inmediatamente antes del choque es igual a la cantidad de movimiento inmediatamente después del choque, pues no existe una fuerza exterior al sistema que realice un impulso. Entonces. P A = PD m1 V1 + m2 V2 = m1 U1 + m2 U2. Podemos, también, hacer el análisis adoptando el centro de masa como eje de referencia. La velocidad el centro de masa es constante por lo tanto este es un eje inercial, y por lo tanto se conserva la cantidad de movimiento, considerando que el impulso y la cantidad de movimiento no son mas que expresiones de la 1ª y 2ª Ley de Newton para cuerpos o sistemas no rígidos.. Choques. 165.

(26) Denominamos V1’ y V2’ a las velocidades de los cuerpos respecto al centro de masa antes de chocar; y U1’ U2’ a las velocidades después de chocar, todas respecto al centro de masa. La conservación de la cantidad de movimiento antes y después de chocar es. PA’ = PD’ m1 V1’ + m2 V2’ = m1 U1’ + m2 U2’. Como se observa en el grafico de abajo, en este eje de referencia, los cuerpos se acercan al centro de masa moviéndose en sentido contrario uno respecto al otro. Esto se debe a que la velocidad del centro de masa, cumple con la relación V1 > Vcm > V2 El choque se produce en el centro de masa; y posteriormente los cuerpos se alejan del mismo debido a que U1 < Vcm < U2. V1’. Antes del choque cm. V2’. Durante el choque cm. U1’. Después del choque cm. U2’. COEFICIENTE DE RESTITUCION Si bien en el sistema formado por ambos cuerpos no hay impulso, porque no hay fuerza externa al sistema; al considerar cada cuerpo por separado, existen fuerzas impulsivas, tanto en el proceso de deformación como en el proceso de restitución. Estas fuerzas y sus impulsos, por el principio de acción y reacción son iguales y de sentido contrario en cada cuerpo. La deformación de los cuerpos se produce hasta que ambos llegan a una velocidad común, la velocidad del centro de masa. Choques. Durante la Deformación m1. m2 FD. FD. Durante la Restitución m1. m2 FR. FR 166.

(27) Con respecto a un eje de referencia fijo en la tierra los impulsos durante la deformación para los cuerpos 1 y 2 son: – FD t = m1 Vcm – m1 V1. FD t = m2 Vcm – m2 V2. Y los impulsos durante la restitución son: – FR t = m1 Vcm – m1 U1. FR t = m2 Vcm – m2 U2. Estos impulsos de deformación y restitución en la mayoría de los casos no son iguales e, inclusive puede ocurrir que el de restitución sea nulo. De allí, que se define como coeficiente de restitución a la relación entre el impulso de restitución y el impulso de deformación. e = – FR t = m1 Vcm – m1 U1 e = FR t = m2 Vcm – m2 U2 – FD t m1 Vcm – m1 V1 FD t m2 Vcm – m2 V2 Simplificando las masas en cada igualdad, despejando la Vcm e igualando las dos ecuaciones se obtiene que:. e = U2 – U1 V1 – V2 Consideraciones respecto a un eje de referencia en el centro de masa. Considerando, como eje de referencia el centro de masa del sistema, las fuerzas impulsivas deformadoras y restauradoras, son las mismas que respecto a tierra, puesto que el centro de masa es un eje inercial, velocidad constante; no así, las velocidades, como vimos mas arriba. Por lo tanto el coeficiente de restitución es e = – FR t = – m1 U1’ – FD t m1 V1’. e = FR t = m2 U2’ FD t – m2 V2’. e = – U1’ = – U2’ V1’ V2’. De las ecuaciones de la cantidad de movimiento y del coeficiente de restitución, se deduce que las velocidades después del choque para los cuerpos son:. U1 = ( m1 – e m2 ) V1 + ( 1 + e ) m2 V2 m1 + m2 U2 = ( m2 – e m1 ) V2 + ( 1 + e ) m1 V1 m1 + m2 Cuando el coeficiente de restitución es nulo, las velocidades U1 y U2 después del choque son iguales. En este caso los cuerpos chocan, se deforman al chocar, y se mueven con la misma velocidad, la velocidad del centro de masa. En el choque las fuerzas que actúan producen un Choques 167.

(28) trabajo para deformar los cuerpos y pero no existe fuerza restauradora, por lo tanto, el coeficiente de restitución es cero y hay perdida de energía. Los choques en los que ocurren estos fenómenos se llaman PERFECTAMENTE INELASTICO o PLASTICO. Cuando el coeficiente de restitución es 1, las velocidades después del choque son diferentes. Los cuerpos chocan, se deforman y recuperan su forma durante el choque, por el efecto elástico del material que hace que el impulso de deformación sea igual al de restitución. Como el trabajo final es nulo, no hay pérdida de energía. Por esta razón el choque es ELASTICO. Para cualquier valor del coeficiente de restitución entre 0 y 1, los cuerpos chocan, se deforman y recuperan parte de su forma durante el choque; es decir, el impulso de restitución es menor que el de deformación. Estos choques son INELASTICOS y las fuerzas que actúan durante el choque realizan trabajo, produciendo una perdida de energía. En el choque inelástico, los cuerpos pueden recuperar su forma inicial después del choque; es decir cuando los cuerpos ya no están en contacto; por lo tanto no hay fuerzas que actúen entre ellos. El fenómeno se desarrolla de la Choque siguiente forma, Perfectamente (Cuadro de al lado) al Inelástico inicio del contacto los cuerpos debido a las Inicio del fuerzas sobre cada Choque uno se deforman hasta un máximo de deformación. En este instante la elasticidad Máxima de los cuerpos hace Deformación que los cuerpos empiecen a recuperar su forma. Si los Finalización cuerpos pierden el del Choque contacto antes de recuperar totalmente su forma, el choque es inelástico.. Choque Inelástico. Choque Perfectamente Elástico. LA ENERGÍA CINÉTICA EN EL CHOQUE La energía cinética del sistema, con respecto al centro de masa, antes y después del choque son: 2. Ko’ = ½ m1 V1’ + ½ m2 V2’. 2. 2. Kf’ = ½ m1 U1’ + ½ m2 U2’. 2. Sustituyendo U1’ = e V1’ y U2’ = e V2’ en Kf’ resulta 2. 2. 2. Kf’ = e ( ½ m1 V1’ + ½ m2 V2’ ) 2. Kf’ = e Ko’ Las relaciones de las velocidades de los cuerpos con respecto al centro de masa como eje de referencia y a tierra como eje fijo son:. Choques. 168.

(29) V1’ = V1 – Vcm. V2’ = V2 – Vcm. U1’ = U1 – Vcm. U2’ = U2 – Vcm. Reemplazando en las ecuaciones de energía tenemos: 2. Ko’ = ½ m1 (V1 – Vcm) + ½ m2 (V2 – Vcm) 2. 2. 2. Kf’ = ½ m1 (U1 – Vcm)’ + ½ m2 (U2 – Vcm). 2. 2. 2. 2. Ko’ = ½ m1 (V1 – 2 V1 Vcm+ Vcm ) + ½ m2 (V2 – 2 V2 Vcm+ Vcm ) 2. 2. Ko’ = ½ m1 V1 ½ m2 V2 – ( m1 V1 + m2 V2 ) Vcm + ½ (m1 + m2) Vcm. 2. La velocidad del Centro de Masa de dos cuerpos que se mueven con velocidades diferentes es ( m1 + m2 ) Vcm = m 1 V1 + m2 V2 Reemplazando esta expresión en la anterior de energía tenemos 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. Ko’ = ½ m1 V1 ½ m2 V2 – ½ (m1 + m2) Vcm De igual forma. Kf’ = ½ m1 U1 ½ m2 U2 – ½ (m1 + m2) Vcm , si denominamos Ko = ½ m1 V1 ½ m2 V2. 2. Kf = ½ m1 U1 ½ m2 U2. Ko’ = Ko – Kcm De donde. 2. Kcm = ½ (m1 + m2) Vcm. 2. Kf’ = Kf – Kcm 2. Kf – Kcm = e (Ko – Kcm ). De esta forma resulta que. e2 = Kf – Kcm Ko – Kcm. Es decir el cuadrado del coeficiente de restitución es la relación entre la energía no perdida en el choque (Kf – Kcm) y la energía máxima que puede perderse en el choque (Ko – Kcm). ANALISIS DE CASOS PARTICULARES En todos los casos de choque se cumplen las siguientes igualdades. U1 = ( m1 – e m2 ) V1 + ( 1 + e ) m2 V2 m1 + m2 U2 = ( m2 – e m1 ) V2 + ( 1 + e ) m1 V1 m1 + m2 e = U2 – U1 V1 – V2 Kf = e2 Ko + ( 1 – e2 ) KCM Choques. 169.

(30) er. 1 Problema: Por las condiciones del movimiento de uno de los cuerpos su velocidad antes de chocar y después de chocar es nula. Este caso ocurre porque la masa de ese cuerpo es muy grande con respecto al otro que choca o porque por algún sistema de sujeción el centro de masa del cuerpo no puede desplazarse. m2 = V2 = 0 De la ecuación de “e” se obtiene para la masa m1. U1 = – e V1. Calculando la velocidad del centro de masa. VC M = m1 V1 + m2 V2 m1 + m2 Dividiendo numerador y denominador por m2 y realizando las simplificaciones resulta. VCM = 0 y KCM = 0 Si lanzamos una pelota contra el suelo, esta tiene una masa y choca con una velocidad. Si se compara la masa de la tierra con la masa de la pelota, la de aquella es mucho mas grande que la de esta. Esto es la masa de la tierra comparada con la pelota es infinita. Determinando el centro de masa del sistema tierra pelota, con las dimensiones con la que se trabaja, el centro de masa coincide con el de la tierra, de forma tal que al cambiar la altura de la pelota el centro de masa del sistema sigue siendo el de la tierra, y como el mismo no cambia su velocidad es nula. Para e = 1 U1 = – V1 K f = Ko En este caso el cuerpo choca contra el otro y vuelve con la misma velocidad con la que choco pero de sentido contrario. Por esta razón su energía cinética no cambia. Para e = 0 U1 = 0 K f = KC M En este caso el cuerpo queda adherido al de masa infinita, y tendría que moverse con la velocidad del centro de masa, que como vimos es cero. 2º Problema: Las masas de los dos cuerpos son iguales.. m1 = m 2. Para e = 1 U1 = V2 U2 = V1 Es decir los cuerpos intercambian sus velocidades. Para e = 0. Donde. Kf = Ko. U1 = U2 = m1 V1 + m2 V2 m1 + m2 K f = KC M VC M =. V1 + V2 2. er. 3 Problema: Las masas de los dos cuerpos son iguales y uno de ellos esta en reposos.. m1 = m 2. V2 = 0. Para e = 1 U1 = 0 U2 = V1 Kf = Ko Es decir, el cuerpo con movimiento queda en reposo y el otro se mueve con la velocidad del primer cuerpo. Choques. 170.

(31) Para e = 0. U1 = U2 = m1 V1 m1 + m2 K f = KC M. Donde. VC M =. V1 . 2. CHOQUE EN DOS DIRECCIONES CHOQUE DE CUERPOS QUE SE MUEVEN EN DIRECCIONES PARALELAS Incluimos este choque por su importancia en la Física Cuántica. En este caso ambos cuerpos se mueven en direcciones paralelas de tal forma que la distancia entre las direcciones paralelas de su centro de masa, es menor que la suma de los radios de los cuerpos. Esta distancia “b”, se denomina parámetro de impacto. El análisis se realiza haciendo coincidir uno de los ejes coordenados, X en este caso, con la dirección de los centros de masa. Y. b. m1. V1 m2. U1 V2. . U2 X. De esta forma el ángulo que forman las velocidades antes del choque con el eje X, esta dado por la relación b = (r1 + r2) seno  Resultando V1X = V1 coseno  V1Y = V1 seno  V2X = V2 coseno  V2Y = V2 seno  Y como el choque se produce sobre el eje X, las ecuaciones son:. U1X = ( m1 – e m2 ) V1X + ( 1 + e ) m2 V2X U1Y = V1Y m1 + m2 U2X = ( m2 – e m1 ) V2X + ( 1 + e ) m1 V1X U2Y = V2Y m1 + m2 U1 = ( U1X2 - U1Y2 )1/2 , tan  = U1Y / U1XY 2 2 1/2 U2 = ( U2X - U2Y ) , tan  = U2Y / U2X Los ángulos son con respecto al eje “X” Y se denomina ángulo de dispersión Choques. 171.

(32) EL JUEGO DE BILLAR En el juego de billar las condiciones son: a) Las masas m1 y m2 de las bolas son iguales b) La masa m2 está en reposo. c) El coeficiente de restitución es e = 1.. Y m1. b. . V1. U1. m2.  U2. Adoptando los ejes coordenados de tal forma que el eje X coincide con la dirección de los centros de masa en el momento del choque, se cumplen. X. Seno  = b / (r1 + r2) V1X = V1 coseno  U2X = V1X. U2Y = 0. U1X = 0. V1Y = V1 seno  U1Y = V1Y. Es decir la dirección que adquiere la bola que es chocada es la dirección de la recta que une los centros de masa y depende del parámetro de impacto.. LA PELOTA QUE REBOTA CONTRA EL SUELO Al lanzar una pelota contra el suelo con un ángulo , se dan las siguientes condiciones: a) El cuerpo contra el que choca la pelota, la tierra, tiene masa m2 =  y velocidad V2 = 0. b) El choque se produce en la dirección perpendicular a la superficie. c) La pelota tiene después del choque una velocidad que forma un ángulo  con la vertical.. Vx Vy. . Ux. . Uy. En estas condiciones nuestras ecuaciones son: Ux = Vx. y. tg  = Vx / Vy. e = – Uy / Vy. tg  = Ux / Uy. por lo tanto,. tg  = tg  / e. En el caso en que el coeficiente de restitución sea e = 1, se cumple que  =  igual que los ángulo de incidencia y reflexión de la luz por un espejo.. Choques. 172.

(33) CHOQUE DE CUERPOS QUE SE MUEVEN EN DIRECCIONES DIFERENTES Para que ocurra un choque de cuerpos que se mueven en direcciones diferentes se deben dar varias condiciones. 1. Las trayectorias de los cuerpos deben converger para interceptarse. 2. Los cuerpos deben tener su posición en el punto de intersección de las trayectorias en el mismo instante. 3. Condicionamos el choque a que el impulso mutuo de los cuerpos que chocan se realice en la dirección de la línea que une los centros de masas. En caso contrario los cuerpos después de chocar se moverán girando alrededor de su centro de masa. La velocidad del centro de masa es. VCM = m1 V1 + m2 V2 m1 + m2 Y la cantidad de movimiento antes y después de chocar es. m1 V1 + m2 V2 = m1 U1 + m2 U2. m1. m1. m1. V1. U1 Trayectoria del CM. V2 m2. U2 m2. La cantidad de movimiento del centro de masa antes de chocar es. P A = m 1 V 1 + m2 V 2 Para analizar el choque en estas condiciones es necesario conocer los datos que permitan determinar la dirección del vector cantidad de movimiento del centro de masa. Analizaremos este choque en dos condiciones que consideramos interesantes. 1er Análisis: Hacer coincidir uno de los ejes de coordenadas con la cantidad de movimiento del sistema (resultante).. Si conocemos cantidades de movimientos P1 = m1 V1, P2 = m2 V2 y el ángulo  que forman las velocidades. Por la suma de vectores se calcula la Cantidad de movimiento resultante y la dirección que forma con cada una de las cantidades de movimientos 1 y 2.. Choques. 173.

(34) P1A .  . PA . . . . P2A. PA. P1A. P2A. PA = P1A2 + P2A2 + P1A P2A coseno . . . PA . = . P1A . = . P2A Seno  Seno  Seno . .. Después del choque los vectores son P1D .  . PD . . PD. . P1D. P2D. . P2D. PD = P1D2 + P2D2 + P1D P2D coseno  .. PD . = . P1D . = . P2D Seno  Seno  Seno . Cumpliéndose, desde luego, que. .. P A = PD. Asignado un coeficiente de restitución e, es muy practico la utilización de la relación de las energías cinéticas y el coeficiente de restitución, de forma tal a trabajar con escalares.. Kf = e2 Ko + ( 1 – e2 ) KCM Como puede observarse, es necesario conocer algún dato sobre el movimiento de los cuerpos después del choque, a fin de resolver el sistema de ecuaciones. Por ej. El vector velocidad de uno de los cuerpos.. Choques. 174.

(35) 2º Análisis: Hacer coincidir uno de los ejes de coordenadas con la dirección del Impulso entre los cuerpos en el momento del choque (la dirección de los centros de masa).. m1. m1. m1 V1. U1. V2 m2. U2. Dirección del Impulso. m2. Como es condición de nuestro estudio que el choque se produzca en la dirección de la recta que une los centros de masas, esta es la dirección del impulso. Es necesario pues conocer los ángulos que forman los vectores cantidad de movimiento con esta dirección. ( y Y. . PA2 = m2 V2. . PA. X.  PA1 = m1 V1. Y. . Vectores Cantidad de Movimiento Antes del Choque. PD2 = m2 U2 PD.  . PD1 = m1 U1. X. Vectores Cantidad de Movimiento Despues del Choque. Como sobre el eje X no se produce choque. Consecuentemente los cuerpos mantienen cada uno su cantidad de movimiento en esta dirección y se cumple que PAX = PA1X + PA2X y. PA1X = PD1X PA2X = PD2X PDX = PD1X + PD2X. Además. PAX = PDX Choques. 175.

(36) En cambio sobre el eje Y se produce el choque y por lo tanto. PA1Y + PA2Y = PD 1Y + PD 2Y Si el coeficiente de restitución es “e”, las velocidades de los cuerpos son:. V1X = U1X. U1Y = ( m1 – e m2 ) V1Y + ( 1 + e ) m2 V2Y m1 + m2 V2X = U2X U2Y = ( m2 – e m1 ) V2Y + ( 1 + e ) m1 V1Y m1 + m2 2 2 1/2 U1 = ( U1X + U1Y ) , tan  = U1X / U1Y 2 2 1/2 U2 = ( U2X + U2Y ) , tan  = U2X / U2Y Los ángulos son con respecto al eje “Y”. PROBLEMAS 1. Dos cuerpos de masa m1 = 2 kg. con velocidad de 2 m/s se mueve detrás de otro de masa m2 = 3 kg. y velocidad de 1,5 m/s; sobre la misma recta. Cual es la velocidad de cada cuerpo después de chocar cuando: a) El choque es elástico b) El coeficiente de restitución es 0,6 c) El choque es inelástico d) ¿Cuál es la energía cinética de cada cuerpo después del choque elástico? Resp: a)1,4 m / s y 1, 9 m / s b) 1,52 m / s y 1,82 m / s c) 1,70 m / s d ) 1,96 j y 5,42 j. 2. Dos cuerpos de masa m1 = 2 kg. con velocidad de 2 m/s y otro de masa m2 = 3 kg. y velocidad de 1,5 m/s; se mueven uno hacia el otro sobre la misma recta. Cual es la velocidad de cada cuerpo después de chocar cuando: a) El choque es elástico b) El coeficiente de restitución es 0,6 c) El choque es inelástico d) Determinar el coeficiente de restitución para que la masa m2 se detenga después del choque. e) ¿Cuál es la energía cinética del cuerpo después del choque? Resp: a) – 2,2 m / s y 1,3 m / s b) – 1,36 m / s y 0,74 m / s c) – 0,1 m / s d ) 0,072 d ) 4,84 j y 2,54 j. 3. Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, sujeto a un resorte. El impacto comprime el resorte 15 cm. Del resorte se sabemos que una fuerza de 2 N produce una comprensión de 0.25 cm. Calcular a) La constante elástica del resorte b) La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del choque c) La velocidad de la bala antes del choque Resp: k = 800 N / m V = 4,24 m / s Vb = 424 m / s. 4. Una bala de masa 0.3 kg y velocidad desconocida choca contra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0.5 m de larga y en reposo. Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º con la vertical, mientras tanto la bala describe una parábola, estando el punto de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1.5 m por debajo. Calcular: Choques. 176.

(37) a) La velocidad del saco y la de la bala inmediatamente después del choque b) La velocidad de la bala antes del choque y la energía perdida en el mismo c) La tensión de la cuerda cuando esta forma un ángulo de 10º con la vertical Resp: Vs = 1,15 m / s Vb = 36,15 m / s V = 51,4 m / s Ep = 197,5 j 5. Dos bloques A y B, ambos de masa M Vm = 15 kg. se hallan inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal m sin rozamiento. La masa m = 5 kg. se mueve inicialmente hacia el bloque B A B con una velocidad Vm = 4 m/s. La masa m realiza un choque perfectamente elástico con la masa B y rebota, chocando nuevamente con la masa A, a las que se adhiere definitivamente. Calcular las velocidades finales de los bloques. Resp: UA = – 0,5 m / sUB = 2 m / s Um = – 0,5 m / s. 6. Dos bloques A y B, ambos de masa M = 18 kg. se hallan inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El bloque A tiene adherida una masa m = 4 kg. El bloque A dispara la m masa con una velocidad Vm = 54 m/s. La masa m realiza A B un choque perfectamente elástico con la masa B y rebota, chocando nuevamente con la masa A, al cual se adhiere definitivamente. Calcular las velocidades finales de los bloques A y B. Resp: UB = 19,6 m / s U = – 1,6 m / s. 7. Se lanza una pelota contra el piso con una velocidad de 1,5 m/s. La pelota pega contra el misma formando un ángulo de 30º con la vertical. Determinar, la velocidad de la pelota, el ángulo que forma con la vertical y la altura que alcanza después de rebotar. a) Si el choque es perfectamente elástico. b) Si el coeficiente de restitución es 0,8 Resp: U = 1,5 m / s = 30º U = 1,28 m / s = 54,2º. 8. Una pelota cae verticalmente sobre un plano inclinado 30º. Determinar , la velocidad de la pelota y el ángulo que forma con el plano inclinado al rebotar, en los siguientes casos: a) Cuando el coeficiente de restitución es 0,5, b) Cuando el choque es totalmente elástico. Resp: U = 0,66 V = 40,9º U = V = 60º m. 9. Un cuerpo de masa m cae desde una altura h1, sobre una cuña de masa M que se encuentra h2 sobre una superficie M horizontal sin rozamiento., M 45º como muestra la figura y golpea elásticamente con la misma. Después del choque se dirige horizontalmente y choca también elásticamente, contra otra cuña idéntica a la anterior. Determinar la altura h2 que alcanza la masa. Resp: h2 = h1 ( M – m ) / ( M + m ) h1. 10 Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo. Si el choque es elástico. Hallar la velocidad de cada partícula después del choque.  Si el choque es frontal  Si la primera partícula se desvió 50º de la dirección original del movimiento. Resp.: U1 = 0,46 m / s U2 = 1, 54 m / s U1 = 1,575 m / s U2 = 0,974 m / s = 50,7º U1 = – 0,586 m / s U2 = 1,512 m / s = – 10,7º Choques 177.

(38) 11 Un cuerpo de masa m1 = 1 kg. se mueve con una velocidad de 2 m/s. Otro cuerpo de masa 2 kg., tiene una velocidad de 1,5 m/s; formando ambas velocidades un ángulo de 37º. Calcular la velocidad de ambos cuerpos en los siguientes casos: a) Cuando el choque es perfectamente inelástico. b) Cuando el coeficiente de restitución es 0,2 c) Cuando el coeficiente de restitución es 0,8 d) Cuando el choque es perfectamente elástico. Resp: a) 1,58 m / s b) 1,54 m / s y 1,61 m / s = – 5,67º y = 2,7º c) 1,50 m / s y 1,72 m / s = – 23,9º y = 10,19º d) 1,52 m / s y 1,76 m / s = – 29,96º y = 12,47º. Choques. 178.

(39) PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE DINAMICA DE TRASLACION 1. Una masa se suelta desde una altura h sobre un plano inclinado que termina en un rizo vertical. Calcular: a) La altura h necesaria para que el cuerpo tenga en el punto mas alto del rizo una velocidad del doble de la velocidad mínima que debe tener h para describir el rizo. b) La fuerza ejercida por el rizo sobre el cuerpo R en ese punto con la velocidad calculada. Resp.: a) h = 4 R b) N = 3 m g. 2. Un carro “A” de masa “m” y otro “B” de masa “3m”, unidos por un resorte de constante k inicialmente comprimido, son mantenidos en reposo sobre una superficie plana horizontal. Cuando los dos carros son liberados simultáneamente, y el carro “A” adquiere una velocidad “V”. ¿Qué velocidad adquiriere el carro “B”. Resp.: Vb = V / 3. 3. Dos cuerpos de masa m1 = 2 m2 = 2kg. están unidos por un resorte inicialmente comprimido una longitud X = 10 cm. El resorte tiene una constante k = 10 N / cm. Calcular la distancia que se mueve cada masa sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético entre la superficie y las masas es 0,3. Resp.: X1 = 0,28 m y X2 = 1,14 m. 4. Un bloque de 0.5 kg de masa comienza a descender por una pendiente inclinada 30º respecto de la horizontal hasta el vértice O en el que deja de tener contacto con el plano. a) Determinar la velocidad del bloque en dicha posición. b) Hallar el punto de impacto de la esfera en el plano inclinado 45º, situado 2 m por debajo de O, tal como se indica en la figura. c) Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde que abandona el plano inclinado hasta el punto de impacto). d) Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante T/2. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es 0.2. Resp.: a) V = 4,20 m / s b) L = 4,20 m 2 2 d) at = 8,87 m / s y an = 4,17 m / s 5. El esquema de la figura representa dos planos inclinados 60º sin rozamiento, dos planos horizontales AB =BD= 1m con rozamiento al deslizamiento de coeficiente  =0.1 y una circunferencia vertical sin rozamiento de radio R=1 m. Una partícula de masa m=300 g se abandona sin velocidad inicial y recorre el camino OABCDE. Se pide. 2m 30º 2m. L 45º. c) T = 1,15 s. O. C. 3m. PROB. DINAMICA. E A. B. D. 187.

(40) Si la altura de O es de 3 m calcular la velocidad de la partícula en A, B, C y D a) ¿Cuál será la reacción en los puntos B y C? b) ¿Cuánto ascenderá por el plano inclinado DE?. Resp.: NB = 19,8 N NC = 13,8 N h1 = 2,8 m 6. Se sujeta una masa m a una cuerda que pasa por un pequeño orificio en una mesa sin fricción (ver figura). En un principio la masa se encuentra moviéndose en un círculo de radio ro=0.3m con velocidad vo=1.5m/s. En este instante se tira lentamente de la cuerda por la parte de abajo disminuyendo el radio del círculo hasta r=0.1m. a) ¿Cuál es la velocidad de la masa para ese valor del radio? b) ¿Cuánto vale la tensión para ese valor del radio? c) Encontrar la expresión de la tensión para cualquier valor de r. d) ¿Cuánto trabajo se realiza al mover m de ro a r? 3 Resp.: a) V = 4,5 m/s b) T = 405 N c) T = 0,405 / r d) W = 18 j. 7. Una pista de patinaje tiene la forma indicada en la figura. El primer tramo lo constituye un arco de 48,20º de una circunferencia de 30 m de radio. El segundo tramo discurre por un plano inclinado tangente a la circunferencia en el punto inferior del arco. En el tramo plano se coloca un muelle (parachoques) de constante k=40 N/m cuyo extremo libre coincide exactamente con el final del tramo circular. Un patinador de 70 kg de masa se deja deslizar con velocidad inicial nula desde el extremo superior del primer tramo circular siendo detenido finalmente por la acción del resorte. A lo largo de la pista no hay rozamiento. Determinar: a) La reacción en el punto donde termina la curva y en un punto del plano inclinado. b) La distancia que habrá comprimido el muelle cuando el patinador se detiene por completo Resp.: a) NA = 0 NB = 594 N b) X = 39,63 m. 8. Enganchamos una partícula de 1 kg a un resorte de masa despreciable cuya longitud natural es de 48 cm y la constante recuperadora 10 N/cm. Lo hacemos girar como un péndulo cónico con una velocidad angular constante de 60 r.p.m. Calcular: a) El alargamiento del resorte. b) El ángulo que forma la altura del cono con la generatriz. Resp.: a) X = 2 cm b) = 60º. 9. Una granada de masa m=2 kg, se dispara con una velocidad de 600 m/s haciendo un ángulo de 60º con la horizontal. Al llegar a su altura máxima la granada hace explosión dividiéndose en dos fragmentos iguales. Un fragmento cae verticalmente. a) Determinar el alcance del segundo fragmento b) Hallar la energía de la explosión Resp.: a) X = 47700 m b) E =90000 J. 10 Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a.. La Q de la 6 reacción es de 190 MeV. (un mega M es 10 veces) Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos. PROB. DINAMICA. 188.

(41) -27. Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10 kg, 1eV = 1.6 10 Resp.: 7150 m / s 11130 m/s. -19. J. 11 Hallar la velocidad con que sale una bala después de haber atravesado una tabla de 7 cm de grosor y que opone una resistencia constante de 180 kgf. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa de 15 g. (Emplear dos métodos para resolver el problema: Dinámica y Teorema de la energía). Resp.: 431 m / s 12 El péndulo simple de la figura consta de una masa puntual m1=20 kg, atada a una cuerda sin masa de longitud 1.5 m. Se deja caer desde la posición A. Al llegar al punto más bajo de su trayectoria, punto B, se produce un choque perfectamente elástico con otra masa m2=25 kg, que se encuentra en reposo en esa posición sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Como consecuencia del choque, la masa m1 rebota hasta alcanzar la posición C a altura h del suelo. Determinar a) La velocidad de m1 al llegar a la posición B antes del choque y la tensión de la cuerda en ese instante. b) Las velocidades de m1 y m2 después del choque. c) La energía cinética que pierde m1 en el choque. d) La altura h a la que asciende la masa m1 después del choque. Resp.: a) V = 5,42 m/s b) Ui = – 0,6 m/s y U2 = 4,8 m/s c) K perd = 290 j d) 0,02 m 13 Una bala de 200 g choca con un bloque de 1.5 kg que cuelga de una cuerda, sin peso de 0.5 m de longitud, empotrándose en el bloque. A este dispositivo se le denomina péndulo balístico. Responder a las siguientes cuestiones a) ¿Cuál debe ser la velocidad de la bala para que el péndulo se desvíe 30º? b) Determinar la tensión de la cuerda en el punto más alto de la trayectoria circular, cuando la velocidad de la bala es de 45 m/s. c) ¿Describirá el bloque un movimiento circular cuando la velocidad de la bala es de 40 m/s?. Razónese la respuesta. En caso negativo, determinar su desplazamiento angular. Resp.: a) V = 9,74 m/s b) 12 N c) No y  = 32,9º 14 Desde un punto B situado a 7.65 m del suelo se deja caer una esfera de madera de 460 gr de peso; en el mismo instante, desde otro punto A situado a igual nivel que B y distante de éste 270 m se dispara un proyectil de cobre de 20 gr, el cual alcanza la esfera centralmente durante su caída, quedando empotrada en la misma y alcanzando ambos el suelo a 7.5 m del pie de la vertical que pasa por B. a) Determinar el ángulo de tiro  para que se produzca el choque en el punto C. b) Calcular la velocidad Vode disparo de la bala Resp.: a)  = 0º b) Vo = 363 m/s 15 Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, sujeto a un resorte. El impacto comprime el resorte 15 cm. Del resorte se sabemos que una fuerza de 2 N produce una comprensión de 0.25 cm. Calcular a) La constante elástica del resorte b) La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del choque c) La velocidad de la bala antes del choque Resp.: a) k = 800 N/m b) V = 4,24 m/ s Vo = 424 m/s. PROB. DINAMICA. 189.