Optimización en redes sensoras

(1)

Optimización en redes sensoras

Conceptos y fundamentos

(2)

Con qué les quito el tiempo hoy

Sensores, nodos y redes Teoría de grafos

Modelado matemático Programación lineal

Programación entera (mixta) Dualidad

(3)

(4)

Sensor = componente detector

ambiental (químico)

acústico (incl. ultrasonido) sísmico (vibración)

(5)

Nodo sensor = minicomputadora

una unidad de procesamiento

(CPU) de capacidad muy limitada

memoria (normalmente tipo Flash

y/o RAM) de capacidad muy limitada

una fuente de energía limitada

(pila o batería)

una unidad de comunicación

(6)

Red sensora = un conjunto de

nodos sensores en comunicación

típicamente cuenta con una

gran cantidad de sensores

no todos los nodos son necesariamente iguales

la distribución puede ser

controlada o al azar

la configuración inicial

depende del modo de

(7)

Redes ad hoc

ad hoc = para éste propósito

una red ad hoc es una red que se

autoconfigura entre los nodos

presentes

típicamente los nodos son móviles,

aunque algunos pueden ser estacionarios

cuando los nodos son móviles, la comunicación suele ser inalámbrica

(8)

Nodos móviles

En una red (sensora) inalámbrica de nodos

móviles, gran parte de la operación se complica

¿Entre cuáles nodos es posible comunicarse? ¿Cuáles nodos están “participando” (o sea, vivos)?

(9)

Usuario final: ruteo

una red sensora reporta sus

observaciones a un usuario final típicamente solamente una

fracción de los nodos pueden

comunicarse directamente con el

usuario

el resto de los nodos tiene que

propagar su comunicación a

través de la red

el proceso de propagación de mensajes se llama ruteo

(10)

OPERACION BAJO LA PRESENCIA DE FALLAS

TOMA DE DECISION PARA LA PROPAGACION DE ALARMA CON Y SIN CAUSANTE EXTERNO

FUNCIONAL ROTO USUARIO ALARMA ROTO FUNCIONAL USUARIO

(11)

Adaptación

cambios de topología por

movilidad (auto-organización geográfica)

ajuste dinámico del rango de transimisión/recepción límites de reenvio de mensajes; ruteo inteligente

(proactivo)

suspender operación o hibernar (despliegue “pseudo-incremental”)

(12)

Aplicaciones: vigilancia y control

detección de presencia o intrusión conteo, seguimiento, clasificación detección y pronóstico de fallas usos militares y ambientales

(13)

(14)

Grafo

= un conjunto de vértices con un conjunto de aristas

VERTICE

ARISTA

(15)

Tipos de grafos

dirigidos reflexivos multigrafos ponderados etiquetados hípergrafos 42.0 A C B

(16)

Conceptos esenciales

grado; distribución de grado densidad; agrupamiento

camino, ciclo; conexidad distancia; eficiencia

(17)

(18)

PARAMETROS

MODELO

FORMALISMO MATEMATICO CONFIGURACION VARIABLES RESTRICCIONES COTAS

(19)

Cotas

La

cota

de r

_i

es un valor numérico b

_i

así que la restricción

se expresa en forma

r

_i

(x

1

, . . . , x

_n

)











<

≤

=

≥

>











b

_i

.

Optimización de Redes Sensoras– p.31/59

(20)

Función objetivo

La

función objetivo

representa una

cantidad/medida de

interés

:

f

(x

1 , . . . , x

_n

) =

P ∈ R.

Funciónes

lineales

f

: D

→ R donde para todo x, y ∈ D y

todo escalar α

1. f (x + y) = f (x) + f (y) (o sea, es aditiva)

2. f (αx) = αf (x) (o sea, es homogenea)

son de muchas maneras fáciles de manejar.

Función objetivo

La función objetivo representa una cantidad/medida de

interés:

f(x1, . . . , x_n) = P ∈ R.

Funciónes lineales f : D → R donde para todo x, y ∈ D y

todo escalar α

1. f (x + y) = f (x) + f (y) (o sea, es aditiva) 2. f (αx) = αf (x) (o sea, es homogenea)

son de muchas maneras fáciles de manejar.

(21)

Programa lineal (LP)

Programa lineal

Un sistema de

m

restricciones lineales

de

n

variables

con una

función objetivo

f

_().

La

función objetivo

es una función lineal que se

maximiza

(o minimiza) sujeto a las restricciones:

f

(x

1

, . . . , x

_n

) = c

1

x

1

+ . . . + c

_n

x

_n

.

Hay

n

restricciones adicionales

de forma x

_i

_{≥ 0, o sea,}

que los valores asignados a las variables

no sean

negativos

.

la función objetivo y las restricciones son lineales

restricciones adicionales de rango de variables

conversión a restricciones de igualdad con variables de

holgura y excedente

Variables de holgura y excedente

Se puede transformar todas restricciones en

igualdades

.

Para

cada restriccion

de tipo

_{≤, se añade una}

variable

de holgura

s

_i

:

a

_i,1

x

1

+ a

_i,2

x

2

+ . . . + a

_i,n

x

_n

+ s

_i

= b

_i

.

Para una restricción de tipo

_{≥, ponemos −s}

_i

y la llamamos

variable de excedente

.

Para incluir estas las variables en el

vector de variables

,

los renombramos:

s

1

= x

_n+1

, . . . , s

_m

= x

_n+m

.

Programa lineal

Un sistema de

m

restricciones lineales

de

n

variables

con una

función objetivo

f

().

La

función objetivo

es una función lineal que se

maximiza

(o minimiza) sujeto a las restricciones:

f

_(x

1

, . . . , x

_n

) = c

1

x

1

+ . . . + c

_n

x

_n

.

Hay

n

restricciones adicionales

de forma x

_i

_{≥ 0, o sea,}

que los valores asignados a las variables

no sean

negativos

.

(22)

Forma estándar

Representacion con matrices x = (x1, x2, . . . , xn) c = (c1, c2, . . . , cn) A =      a1_,1 a1_,2 . . . a1_,n a2,1 a2,2 . . . a2,n .. . ... ... ... a_m,1 a_m₂ . . . a_m,n      b =      b1 b2 .. . b_m     

Forma estándar

m´ax

x∈R

c

T

x

s.a. Ax = b, x

≥ 0

un vector de variables

x

un vector de cotas (los lados derecha)

b

una matriz de coeficientes

A

un vector de los coeficientes de la función objetivo

c

(23)

Complejidad de PL

existen algoritmos polinomiales

método de elipsoide

algoritmo de Karmarkar

el “de facto” industrial es el algoritmo Simplex

no se conoce demostración de ser polinomial eficiente en la práctica

(24)

REGION FACTIBLE

(25)

Programa entero (mixto)

en muchos problemas, por lo menos algunas

variables son por naturaleza enteras

en un programa entero, todas las variables son

enteras

en un programa entero mixto, algunas son enteras

(26)

Variable de decisión

Necesitamos una variable que indica

si o no alguna

condición aplica

x

=

! 1, si aplica la condición,

0, en otro caso.

En un PL, se incluye las restricciones siguientes en

_R:







x

≥ 0

x

≤ 1

x

∈ Z

Este concepto se generaliza a

variables enteras

.

PROGRAMACION ENTERA (MIXTA) CORRESPONDE A UN PROBLEMA NP-DURO

(27)

Dualidad

Cada programa lineal tiene un programa dual

Si el problema original es de maximización, el dual es de minimización y viceversa

Las variables del programa primal se convierten en restricciones en el dual, y las restricciones del primal serán representados por las variables del dual

Función objetivo del dual:

Variables del dual

Cada

restricción

r

_i

del programa primal está

representada por una

variable

y

_i

en el programa dual.

Las cotas b

_i

del programa primal corresponden a los

coeficientes de la función objectivo dual:

g

(y

_i

, . . . , y

_m

) =

m

!

i=1

b

_i

y

_i

.

(28)

Transformación a variables

Restricciones de signo

Las restricciones de las variables del dual y_i dependen del tipo de restricción del primal r_i a la cual corresponden,

i _{= 1, . . . , m:} r_i _: n ! j=1 a_i,jx_j ≤ b_i ⇒ y_i ≥ 0 r_i : n ! j=1 a_i,jx_j ≥ b_i ⇒ y_i ≤ 0 r_i _: n ! j=1

a_i,jx_j _{= b}_i ⇒ y_i no restringida en signo

(29)

Transformación a restricciones

Restricciones del dual

Cada variable xi del primal corresponde a una restricción

t_i en el dual, i = 1, . . . , n: x_i ≥ 0 ⇒ t_i _: m ! j=1 a_j,iy_j ≥ c_i x_i ≤ 0 ⇒ t_i _: m ! j=1 a_j,iy_j ≤ c_i x_i no restringida en signo ⇒ t_i _: m ! j=1 a_j,iy_j _{= c}_i

(30)

Ejemplo

_{Ejemplo: primal y dual}

m´ax x (3x1 − x2) m´ın y (5y1 + 3y2 + 6y3) s.a. s.a.    2x1 − 3x2 ≤ 5 x1 + x2 ≤ 3 3x1 − x2 ≥ 6 $ 2y1 + y2 + 3y3 ≥ 3 −3y1 + y2 − y3 ≥ −1 x1, x2 ≥ 0 y1, y2 ≥ 0 y3 ≤ 0 x∗ = (2,8, 0,2) y∗ = (0,8, 1,4, 0) P∗ = 8,2 D∗ = 8,2

(31)

Forma estándar

Dual en forma estándar

m´ax

x

c

T

x

sujeto a

Ax

≤ b

"

m´ın

_y

b

T

y

sujeto a

A

T

y

≥ c

Nota: el PL dual del dual es igual al primal.

UNA VERSION PUEDE RESULTAR MAS FACIL DE RESOLVER QUE LA OTRA, AUNQUE LA SOLUCION ES LA MISMA

(32)

Optimización más allá

funciones o restricciones no lineales

regiones factibles no convexas

inexactitud de parámetros estimados

estabilidad de la solución (análisis de sensibilidad)

múltiples objetivos incertidumbre

(33)

Optimización en

redes sensoras

(34)

Conservación de energía

Características deseables de protocolos de ruteo

poca pérdida de mensajes en camino

llegada rápida de mensajes al destinario final redundacia mínima de comunicación

conservación máxima de la energía de los

nodos participantes

(35)

Un modelo muy simple

Cada nodo tiene una cantidad fija de energía inicial E

Limitaciones de ancho de banda e interferencia ignoradas

La topología es un grafo aleatorio geométrico en un cuadro unitario con N nodos Cada nodo puede ajustar su rango de transmisión entre cero y R

El rango de recepción es siempre R

Cada s segundos los nodos envian un mensaje “faro” para establecer su vecindario

La transmisión de un mensaje consume energía t y la recepción de un mensaje r La operación normal de un nodo consume una cantidad despreciable de energía Objetivos posibles

minimizar el uso total de energía

(36)

Optimización distribuida

No es siempre realista suponer que una entidad externa pueda realizar la optimización de una

manera centralizada utilizando información

global de la red sensora entera

Es más factible suponer que cada nodo busca

optimizar localmente su propio comportamiento

basado en información sobre su estado y la

información que recibe de sus vecinos a través de

(37)

Modelo para PL distribuida

La optimización está hecha por agentes independientes

El objetivo es llegar al óptimo global utilizando información localmente disponible

Los agentes conocen el coeficiente de su variable en la función objetiva Cada agente está a cargo de asignar el valor a una sola variable,

conociendo únicamente las restricciones donde la variable tiene coeficiente no cero

Dos agentes son vecinos si conocen una o más restricciones en común Cada agente puede comunicarse con sus vecinos inmediatos con

mensajes de tamaño fijo

(38)

Ruteo a un sólo sumidero

Estudiamos el problema de elegir rutas de comunicación de varios nodos fuentes a un nodo sumidero único en una red de nodos con energía limitada

El objetivo era maximizar el número de paquetes recibidos por el sumidero

Al trasmitir un mensaje, los nodos añaden en el paquete información del estado de su pila

Modificamos en protocolo DNS (Dynamic Source Routing) para manejar un conjunto de rutas alternativas de

manera no determinista

A. Schumacher, H. Haanpää, S.E. Schaeffer y P. Orponen.Load balancing by distributed

optimisation in ad hoc networks, enProcedings of the Second International Conference on

(39)

Operación bajo reemplazos

Con mi tesista de licenciatura, Carlos Castillo, estamos estudiando el problema de operar una red sensora de tal manera que los sensores serán reemplazados al “morir” Queremos minimizar el costo total de los reemplazos

Los nodos conocen su ubicación, la ubicación del usuario y su propio costo de reemplazo

El ruteo toma en cuenta además la energía restante de los

nodos

Los costos de reemplazo dependen del “terreno” en el cual se ubica en nodo (para modelar dificultad de acceso)

(40)

Temas de investigación

Diseño del hardware

Modelado del comportamiento Arquitectura, topología

Procesos de desplegamiento Auto-organización

Control de consumo de energía por modos de operación

Algoritmos de ruteo Diseño de protocolos de comunicación Sincronización Generación de “identidad” Estimación de posiciones Recolección de datos Procesamiento de datos Almacenaje de datos Escalabilidad Coordinación de cooperación Computación distribuida Armazones de simulación

Diseño de experimentos para comparasión y validación

Diseño y construcción de redes “a medida” para aplicaciones

(41)

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