Modelación e Identificación de un Motor de C.C. de excitación Independiente

Modelación e Identificación de un Motor de

C.C. de excitación Independiente

Rodrigo Fernández, Matías Bustos, Jorge Estrada {rfernad, mbustos, jestrada}@ing.uchile.cl

Ab ract—En este reporte se presentan la modelación fenomenológica de un motor de corriente continua de excitación independiente, la identificación de parámetros de este modelo a partir de mediciones de entrada-salida del motor, y la identificación de modelos lineales caja negra ARX, a partir de datos de entrada y salida.

st

E

I. INTRODUCCIÓN

ntre los distintos tipos de máquinas eléctricas que actualmente se emplean en aplicaciones de control, se encuetra la maquina de corriente continua.

La primera máquina de C.C., fue ideada por el belga Gramme alrededor de 1860 y empleaba un enrollado de rotor especial (anillo de Gramme) para lograr la conmutación o rectificación del voltaje alterno generado. Posteriormente, el físico W. Siemens y otros, contribuyeron al desarrollo de estas máquinas realizando rectificaciones en su construcción, hasta llegar a la máquina de CC que se conoce hoy.

Pese a las mejoras que han sido desarrolladas en su diseño, la máquina de corriente continua es constructivamente más compleja que las máquinas de corriente alterna, el empleo de escobillas, colector, etc., la hace comparativamente menos robusta, requiere mayor mantenimiento y a la vez tiene un mayor volumen y peso por kilo-watt de potencia.

No obstante a lo anterior, la máquina de C.C. tiene múltiple aplicaciones, especialmente como motor, debido principalmente a:

• Amplio rango de velocidades (ajustables de modo continuo y controlables con alta precisión).

• Característica de torque-velocidad variable, constante o bien una combinación ideada por tramos.

• Rápida aceleración, desaceleración y cambio de sentido de giro.

• Posibilidad de frenado regenerativo.

Este reporte esta dirigido a alumnos y profesores de los distintos departamentos que utilizan el Laboratorio de Automática del edificio de Elctro-tecnologías de la Facultad

de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile. En el capitulo II de este informe, se revisará la modelación fenomenológica de un motor de C.C. de excitación independiente. En el capitulo III se presenta la medición experimental de los parámetros del motor. En el capitulo IV se muestran los resultados de la estimación de los parámetros del modelo fenomenológico obtenido en el capitulo II, mediante mediciones de entrada y salida ( modelo caja gris). En el capitulo V se presentan los resultados de la identificación de modelos ARX del motor basado únicamente en información de entrada y salida (modelo caja negra). El Capitulo VI presenta comparaciones de los distintos modelos obtenidos con información real del motor.

II. MODELACIÓN FENOMENOLÓGICA MOTOR DE CC Considerando el modelo circuital (lineal) del motor de C.C. (figura 1) es fácil obtener las siguientes expresiones en el dominio de Laplace [1], que representan el comportamiento eléctrico del motor:

(

)

a a a a

V

=

R

+ ⋅

s L

⋅ +

I

(1.1)

f

E

= ⋅ ⋅

G I

ω

(1.2)

Dado que el motor tiene excitación independiente,

f

I

=

cte

, por lo que (1.2) se puede escribir como

Figura 1. Modelo circuí tal motor de C.C. de excitación independiente

E

= ⋅

K

ω

(1.3) despejando la corriente de armadura al combinar (1.3) y

(1.1) resulta que: a a a a

V

K

I

R

s L

ω

− ⋅

=

+ ⋅

(1.4)

En las condiciones de excitación de la maquina de corriente continua, el torque que genera el motor es

(1.5) e a

T

= ⋅ ⋅

G I

I

f f (1.6) e

T

= ⋅

K I

Por otro lado, al utilizar la segunda ley de Newton

n

d

T

J

dt

ω

=

(1.7)

donde representa el torque mecánico neto en el eje del motor y J corresponde al momento de inercia del eje del motor y su carga. El torque mecánico neto se relaciona con el torque eléctrico de la siguiente manera:

m

T

n e

T

= − ⋅

T

b

ω

(1.8) de (1.7) y (1.8) se tiene que : e

d

T

J

b

dt

ω

_ω

=

+

(1.9)

al calcular la transformada de laplace de (1.9) e igualarla con (1.6) se obtiene:

(

)

a a a

V

K

K

J s

R

sL

b

ω

_ω

− ⋅

⋅

=

⋅ +

+

⋅

a (1.10) reacomodando términos :

(

2

)

(

J s

⋅ +

b R

)(

a

+ ⋅

s L

a

)

−

K

ω

= ⋅

K V

(1.11) de (1.11) la función de transferencia

( )

( )

( )

a

s

H s

V s

ω

=

es 2

( )

(

_{a a}

)(

)

K

H s

R

s L

J s b

K

=

+ ⋅

⋅ + +

(1.12)

III. MEDICIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DEL MOTOR

Primero se midieron las resistencias de armadura y de campo del motor. Estas presentaron variaciones dependiendo del angulo del rotor (efecto de las escobillas y delgas), por lo que se realizaron varias mediciones de estas. En la Tabla 1 se presentan las mediciones.

Valor Min. [

Ω

] Valor Máx. [

Ω

] Valor Típico [

Ω

]

Ra 19.8 22.3 21.05

Rc 7.9 10.8 9.35

Tabla 1. Mediciones de las resistencias del Motor

De la misma forma se midieron las inductancias de campo y de armadura. Las mediciones de inductancia se presentan en la Tabla 2.

Valor Min. [mH] Valor Máx. [mH] Valor Típico[mH]

La 91.7 97 94.4

Lc 30.4 99.8 65.1

Tabla2. Mediciones de las inductancias del Motor

El siguiente paso fue determinar la constante G. Para esto se midió experimentalmente la constante K, La corriente de campo se mantuvo constante

I

_f

=

0.34 [A]

.

Para determinar K utilizaremos el hecho de que en régimen permanente a a a

V

=

R

⋅ +

I

E

(1.13) o bien: a a

V

R I

K

a

ω

−

=

(1.14)

en la Tabla 3 se presentan las mediciones realizadas para determinar K. Va [V] Ia [V] w[rpm] w[rad/s] K G 4,70 0,14 296 30,98 0,056 0,16 7,10 0,14 647 67,71 0,061 0,17 9,60 0,15 1028 107,59 0,059 0,17 12,15 0,15 1416 148,20 0,060 0,17 14,68 0,16 1790 187,35 0,060 0,17 17,11 0,16 2199 230,16 0,059 0,17 19,70 0,17 2540 265,85 0,060 0,17 21,90 0,17 2922 305,83 0,059 0,17 24,40 0,17 3246 339,74 0,061 0,17

Tabla 3. Mediciones para determinar las constantes K y G del Motor

Lamentablemente las constantes mecánicas no pueden ser medidas directamente. No obstante se estimaron de forma experimental. Se estimo la constante de tiempo mecánica,

m

J

b

desconectar la alimentación el motor y su detención. El experimento se realizo 10 veces. La constante de tiempo mecánica obtenida fue

τ

_m

=

3[ ]

s

. Notar que el experimento se realizo para 10 velocidades iniciales (antes de desconectar la energía) distintas y que el resultado no cambio en mas de un 1%. Por ultimo se calculo el momento de inercia del rotor mediante integración numérica en MATLAB (despreciando la masa de los enrollados c/r al eje). Se determino que el momento de inercia es

J

=

7.7463 10

⋅

-4

[

Kgm

2

]

.

Con esto el valor del coeficiente de fricción b es

-4

2.5821 10

b

=

⋅

[

N m s

⋅ ⋅

]

Con estos parámetros medidos o estimados en forma experimental, y aplicando un factor de escala, debido a lo simple que resulta trabajar con las entradas y salidas del modelo en el rango de 0 a 10 debido a la implementación en Simulink y Opto22, la función de transferencia (1.12) es:

1 2

79.2

( )

231.9

86.6

H s

s

s

=

+

⋅ +

(1.15)

En la Figura 2 se muestra el comportamiento del motor y su predicción a un paso con el modelo fenomenológico lineal. IV. ESTIMACIÓN DE LOS PARAMETROS DEL MOTOR BASADA EN

INFORMACION DE ENTRADA – SALIDA

En esta sección se describirá el procedimiento utilizado para estimar los parámetros del modelo a partir de información de entrada / salida del motor. Este enfoque, conocido en la literatura de identificación de sistemas como caja gris [2], permite mezclar el conocimiento fenomenológico con la información disponible en mediciones experimentales.

Para estos efectos se excitó el motor con ruido blanco uniforme en el rango de 0 a 10 [V] y de un periodo 10 [s]. Para estimar los parámetros se tomaron 4000 datos (2000 para identificaron y 2000 para validación) con un periodo de muestreo de 330 [ms]. Se utilizó mínimos cuadrados para estimar los parámetros del modelo [3], utilizando la estructura del modelo fenomenológico (segundo orden). El modelo identificado en esta forma resulto:

Figura 2. Predicción a un paso modelo fenomenológico

2 2

0.0282

( )

z - 1.587 z + 0.615

H z

=

(1.16)

utilizando anti-transformada Z y considerando que los datos fueron muestreados con un retenedor de orden cero, la versión continua de (1.16) es : 2 2

0.3967

( )

s + 1.62 s + 0.395

H s

(1.17)

En la figura 3 se presenta la predicción a 1 paso del modelo “caja gris” (verde) v/s el motor (azul).

Motor v/s modelo Caja Gris

V. IDENTIFICACIÓN DEL MOTOR

En la modelación del motor se desprecio la dinámica de sensores y actuadores. Si bien las constantes de tiempo de estos son bastante pequeñas, vale la pena incluir estos efectos en el modelo del motor. Dada la gran dificultad de modelar analíticamente la respuesta del sensor de velocidad y del puente H (chopper) que alimenta la armadura del motor se opto por hacer un modelo caja negra del conjunto, es decir un modelo de entrada y salida en el cual se debe seleccionar la estructura y los parámetros de este.

Para generar el modelo se utilizaron los mismos 4000 datos que fueron utilizados en la estimación de (1.16). A diferencia del caso anterior el problema ahora consiste en determinar no solo los parámetros del modelo, sino que también su

estructura, es decir, que regresores y autoregresores son considerados en el modelo. Este tipo de modelo recibe el nombre de modelo caja negra [4]. Para esto se consideraron modelos del tipo ARX. Se generaron todos los modelos ARX con un denominador de orden entre 1 y 8, numerador de orden entre 0 y 5 y retardo puro entre 0 a 5 periodos, y se calculan sus parámetros con los primeros 2000 datos (conjunto de entrenamiento). Posterior mente se evalúa el error cuadrático medio normalizado NSSE de cada modelo en los últimos 2000 datos (conjunto de validación) y se escoge aquel que tenga el menor NSSE.

El resultado de este procedimiento fue el siguiente modelo:

3 2 3 3 2

0.027 z + 0.063 z - 0.046 z - 0.006

( )

z - 1.3 z + 0.131 z + 0.205

H z

=

(1.18)

el cual utilizando el mismo procedimiento que en el capitulo anterior puede transformarse a tiempo continuo, resultando:

3 2 3 4 3 2

0.58 s + 7.43 s + 46.72 s + 49.17

( )

s + 9.09 s + 135.8 s + 184.1 s + 49.02

H s

=

(1.19)

En la Figura 4 se aprecia el desempeño del modelo obtenido mediante este enfoque.

.

VI. COMPARACIONES DE LOS MODELOS OBTENIDOS De las figuras 2, 3 y 4 podemos ver que el desempeño de los modelos es similar. No obstante podemos ver que los modelos cuyos parámetros fueron estimados resultaron más certeros. En la tabla 3 se presenta el error NSSE de los modelos. Modelo Fenomenológic

o

Caja Gris Caja Negra

Error NSSE 2.88 2.75 2.73

Figura 4. Predicción a 1 paso del mejor modelo ARX

Figura 5. Error de predicción a 1 paso de los Modelos Cabe destacar que si bien el error típico del modelo obtenido en el capitulo 5 (caja negra) es el menor, el modelo de mas utilidad para el diseño de una estrategia de control para el motor es el obtenido en el capitulo IV (caja gris) debido a que presenta un desempeño bastante similar al modelo caja negra, pero tiene una baja complejidad (2do orden) lo que facilita su tratamiento matemático. En la figura 5. se presenta el error de los tres modelos en el conjunto de validación ( azul fenomenológico, rojo modelo caja gris, verde modelo caja negra).

Por ultimo es importante recalcar que aun cuando el modelo caja negra tiene el menor error NSSE de los modelos, su complejidad (4to orden) dificulta su utilización para el diseño de estrategias de control para el motor, se recomienda utilizar el modelo caja gris de segundo orden que presenta un rendimiento similar para estos efectos.

REFERENCIAS [1] Apunte C5.

[2] Modelos caja gris,buscar algun paper de esto.

[3] Touraj Assefi, “Stochastic Prosseses and Stimation Theory with Applications”, John Wiley & Sons 1979