Dispersión
Teoría de la Dispersión
La Teoría de la Dispersión de partículas cuánticas es uno de los temas más importantes en la Mecánica Cuántica por sus múltiples aplicaciones en la Física Nuclear, en el estudio de las partículas elementales y en la caracterización de átomos, moléculas y sólidos. Debemos recordar que las partículas cuánticas pueden ser fermiones, como los electrones, protones, neutrones; y bosones, como los diferentes tipos de fotones (Rayos X, Rayos Gammas etc.). La teoría de la dispersión se puede identi…car únicamente desde un punto de vista formal, no de contenido, con la teoría clásica de choques o colisiones. En general, existe diferencia en la teoría cuando el sistema cuántico que se dispersa y el dispersor son partículas como los electrones o son partículas como los fotones. Estas notas están enfocadas con mayor énfasis a la dispersión de fermiones. La dispersión de fotones, conocida como teoría de la dispersión de la radiación, tiene una gran importancia en muchas ramas de la Física donde es necesaria la caracterización del objeto a través de sus propiedades ópticas, con la utilización para este propósito de técnicas espectroscópicas. No es nuestro propósito introducir la teoría formal de la dispersión de la radiación, pero sí de…niremos las magnitudes generales que caracterizan una dispersión de partículas cuánticas de cualquier tipo.
Dentro del marco de la Teoría de la Dispersión son conocidos dos tipos de dispersión, la elástica y la inelástica; además, la magnitud fundamental que caracteriza la dispersión es conocida como la sección e…caz de dispersión, la cual nos da información del proceso integral de dispersión que incluye al sistema cuántico dispersado y al dispersor.
Sección e…caz de dispersión
Llamaremos proceso de dispersión a la desviación de las partículas respecto de la dirección inicial del movimiento, provocada por la interacción con un cierto sistema que se llamará dispersor.
El estudio de los procesos de dispersión de partículas cargadas y no cargadas es uno de los métodos experimentales básicos para investigar la estructura de la sustancia.
La dispersión de un ‡ujo de partículas se caracteriza por la sección e…caz elemental
diferencial. Esta magnitud se de…ne como la razón del número de partículas dNdisppor unidad
de tiempo, en el ángulo sólido d , a la densidad de ‡ujo jinc de las partículas incidentes, es
decir, la sección e…caz diferencial se de…ne por la relación
d ( ; ') = dNdisp( ; ')
jinc
,
donde los ángulos y ' determinan la dirección del movimiento de las partículas dispersadas.
El eje z está dirigido en el sentido del movimiento de las partículas incidentes, como muestra la siguiente …gura.
Esquema de la dispersión.
Para nuestros …nes, conviene representar dNdisp en la forma
dNdisp( ; ') = jdisp( ; ') dS,
donde jdisp es la densidad de ‡ujo de partículas dispersadas a grandes distancias del centro
dispersor, dS es un elemento de super…cie perpendicular al vector de posición, vector cuyo
origen coincide con el centro dispersor y forma los ángulos y ' respecto a los ejes de
coordenadas adoptados. La magnitud de dS está ligada con el elemento de ángulo sólido d por la igualdad
dS = r2d .
La sección e…caz diferencial se de…ne, pues, por la fórmula
d = jdisp
jinc
dS. (1)
En Mecánica Cuántica se entiende por densidades de ‡ujos jdispy jinclas correspondientes
densidades de ‡ujo de probabilidad.
Integrando la expresión (1) sobre todos los ángulos obtenemos la cantidad
= 1 jinc I jdisp(r; ; ') dS = disp jinc , (2)
llamada sección e…caz total de dispersión y disp es el ‡ujo de partículas dispersadas que
atraviesa la super…cie cerrada que rodea al centro dispersor. La super…cie sobre la cual se realiza la integración es asumida a gran distancia del centro dispersor por lo que podemos considerar que en cada punto de esta super…cie las partículas dispersadas viajan en dirección radial.
De acuerdo a la ecuación (2), la sección e…caz total de dispersión es la razón de la proba-bilidad total de dispersión de una partícula (en la unidad de tiempo) a la densidad de ‡ujo de probabilidad en el haz incidente.
En la dispersión mutua de dos sistemas mecánico-cuánticos debemos distinguir la disper-sión elástica de la inelástica. En la disperdisper-sión elástica el estado interno, tanto del sistema dispersor como del dispersado, permanece invariable. Por ejemplo, en la dispersión elástica de electrones por átomos el estado de éstos no varía. En la dispersión inelástica sí cambia el estado interno de uno o de ambos sistemas. Por ejemplo, la dispersión de los electrones por átomos será inelástica si en el proceso de dispersión los átomos pasan a un estado excitado. En la dispersión inelástica una parte de la energía cinética se convierte en energía interna o, recíprocamente, la energía interna se transforma en energía cinética.
Comenzaremos la exposición de la teoría con el caso más simple, el de la dispersión elástica. En la dispersión elástica es posible prescindir del estado interno de los sistemas y, simplemente, llamar partículas a sistemas cualesquiera en interacción.
En el proceso de dispersión tiene lugar la interacción de dos partículas, la dispersada y la dispersora. Además, muy a menudo la energía de interacción depende sólo de la distancia entre partículas. En este caso, el problema del movimiento de las dos partículas en interacción
puede siempre reducirse al estudio del movimiento de una partícula (con masa reducida )
en el campo de un centro de fuerzas inmóvil y al del movimiento del centro de masa del sistema.
En la práctica, siempre es necesario conocer cómo se desarrolla el proceso en el sistema de coordenadas del laboratorio. Por ello, si se ha resuelto el problema del movimiento de una partícula en el campo de fuerzas externas, en las fórmulas habrá que pasar al sistema del laboratorio. Esto se puede hacer fácilmente sabiendo que la sección e…caz (1) permanece invariante ante una transformación que lleve de un sistema inercial a otro y sabiendo que los ángulos se transforman mediante las relaciones
tan 1 =
m1sin
m1+ m2cos
; 2 =
2 ,
donde es el ángulo de dispersión de las dos partículas en el sistema del centro de masa,
1 y 2 son los ángulos de dispersión de la primera y segunda partícula en el sistema del
laboratorio, en el cual la segunda se encontraba en reposo antes de la colisión.
En lo siguiente vamos a detallar lo que sucede en el sistema del centro de masa de las partículas que colisionan.
Amplitud de dispersión
Vamos a considerar un problema estacionario de dispersión.
El movimiento de la partícula dispersada es no acotado y consecuentemente la energía del sistema es siempre positiva y no cuantizada, por lo que en la teoría de dispersión el espectro de energía es siempre continuo.
Si tomamos el origen de coordenadas en el centro dispersor …jo podemos describir la interacción de la partícula con este centro a través de la función potencial V (r), donde
asumimos que esta función es no nula sólo en una parte limitada del espacio, r a, que
nosotros llamaremos rango de fuerza, donde el movimiento de la partícula que está siendo considerada obedece a la ecuación de Schrödinger,
~2
2mr
2 (r) + V (r) (r) = E (r), (3)
(m es la masa de la partícula dispersada). Introduciendo la cantidad
k2 = 2m
~2 E =
p2
~2, (4)
la ecuación (3) toma la forma
r2+ k2 (r) = 2m
Fuera del rango de fuerza, la partícula se mueve libremente y su estado es descrito por una onda plana. Adoptando la dirección de movimiento de la partícula incidente como el eje z, la función de onda que describe el estado de la partícula antes de su interacción con el centro dispersor es
inc = eikz. (6)
No es difícil ver que esta función es una de las soluciones posibles de la ecuación (5) cuando el miembro derecho se anula.
Cerca del centro de fuerzas, la partícula experimenta dispersión y se modi…ca la forma de su función de onda.
Sin embargo, una vez que la partícula dispersada se aleje y salga del rango de fuerza, ésta se moverá nuevamente como partícula libre. A grandes distancias de esta región las partículas dispersadas se mueven en dirección radial a partir del centro de fuerza, por lo que el movimiento de las partículas dispersadas deberá describirse por una onda esférica divergente,
disp = A ( ; ')
eik r
r , (7)
donde r, , ' son coordenadas esféricas.
Debemos notar que, en la dispersión elástica, la cantidad k en las expresiones (6) y (7) es la misma y está determinada por la relación (4).
La función A ( ; ') es llamada amplitud de dispersión y depende, por lo general, de
ambos ángulos, y '. Cuando V (r) = V (r) la amplitud de dispersión depende solamente
del ángulo .
La función de onda total que describe el movimiento de las partículas incidentes y
dis-persadas a grandes distancias del centro dispersor (cuando r a) puede presentarse en la
forma
= eikz + A ( ; ')e
ikr
r , (8)
donde el primer término describe el movimiento de las partículas incidentes y el segundo, el de las dispersadas.
Debemos notar que el primer término en esta expresión está escrito en coordenadas cartesianas, y el segundo en coordenadas esféricas.
Según (1), hay que calcular las densidades de ‡ujo de las partículas incidentes y disper-sadas. Como sabemos, el ‡ujo incidente está dado por
jinc= ~
2mi( incr inc incr inc);
teniendo en cuenta que inc depende sólo de z obtenemos
jinc = ~ 2mi inc d dz inc inc d dz inc = ~k m = p m = v, (9)
donde v es la velocidad de las partículas incidentes. Aquí la función (6) está normalizada. El gradiente, en coordenadas esféricas, está dado por la expresión
r = @ @r^er+ 1 r @ @ ^e + 1 rsin @ @'^e'.
Estamos interesados en la componente radial jr del ‡ujo de partículas dispersadas. Esta
puede ser encontrada sustituyendo r por la componente radial @ @r, esto es,
jr = ~ 2mi disp @ disp @r disp @ disp @r = ~k mr2 jA ( ; ')j 2 . (10)
Sustituyendo (9) y (10) en (1) se obtiene la siguiente expresión para la sección e…caz diferencial de dispersión:
d ( ; ') =jA ( ; ')j2d ; (11)
es decir, la determinación de la sección e…caz diferencial de dispersión consiste en encontrar la amplitud de dispersión.
El cálculo de esta última se realiza de la siguiente forma:
Se obtiene la solución de la ecuación de Schrödinger para el movimiento de una partícula en el campo del centro dispersor tal que a grandes distancias del mismo tenga la forma (8).
Entonces el coe…ciente del factor eikr=r dará la amplitud de dispersión.
La representación de la función de onda que describe el movimiento de una partícula lejos del centro dispersor en la ecuación (8), es decir, como suma de las ondas incidente y divergente, se ha llevado a cabo tomando como base consideraciones físicas simples e intuitivas; sin embargo, se puede demostrar que lejos del centro dispersor inmóvil V (r), la solución de la ecuación de Schrödinger puede efectivamente escribirse en la forma (8).
Ejercicio resuelto:
Demostrar que la amplitud de dispersión de una partícula en un campo externo arbitrario está relacionada con su función de onda a través de la ecuación
f (k) =
2 ~2
Z
e ikrV d :
Respuesta.
La ecuación de Schrödinger del problema es de la forma ~2
2 r
2
+ V = E :
Introduciendo, como es usual, k2 = 2 E
~2 , la ecuación se transforma en
r2 + k2 = 2
~2V : (12)
Consideremos el lado derecho como una inhomogeneidad. Debemos entonces encontrar una solución de una ecuación inhomogénea que satisface las siguientes condiciones de con-torno:
r!1
exp [i (k0 r)] + f
exp (ikr)
r :
Usando la expresión para la función de Green de la ecuación (12),
G (r r0) = 1
4
exp (ikjr r0j)
fácilmente encontramos la solución requerida: = exp [i (k0 r)] 2 ~2 Z V (r0) (r0)exp (ikjr r 0j) jr r0j d 3r0:
Para valores grandes de r tenemos exp (ikjr r0j) jr r0j exp (ikr) r exp [ i (k r 0)] (~r ! 1) ; donde k = kr r: Luego, exp [i (k0 r)] 2 ~2 exp (ikr) r Z d3r0exp [ i (k r0)] V (r0) (r0) ; entonces f (k) = 2 ~2 Z d3r exp [ i (k r)] V (r) (r) :
Esta ecuación es convenientemente utilizada en varios cálculos aproximados.
Por ejemplo, sustituyendo (r) exp [i (k0 r)] se obtiene la amplitud de dispersión en
la primera aproximación de Born, la cual estudiaremos a continuación.
Aproximación de Born
La resolución exacta de la ecuación de Schrödinger y el obtener A ( ; ') entrañan, en la mayoría de los problemas, grandes di…cultades matemáticas; por ello, en la teoría de la dispersión se aplican métodos aproximados, siendo el más importante de ellos la aproximación de Born. Este método se basa en la hipótesis de que la energía potencial de interacción de la partícula dispersada con el centro de fuerzas es pequeña, por lo que es posible considerarla como una perturbación. En este caso, la función de onda que describe el estado de una partícula dispersada puede ser descrita como
= (0)+ (1), (13)
donde (0) es la función de onda del problema no perturbado que describe el comportamiento
de la partícula antes de interactuar con el centro dispersor, luego,
(0)
= eik0r.
Para encontrar la función de onda en primera aproximación se introduce (13) y E = E(0)
en la ecuación del problema perturbado, esto es, ~2
2mr
2+ V (0)+
4 (1) = E(0) (0)+4 (1) ,
de donde se obtiene que
r24 (1)(r) + k20 4 (1)(r) = 2m
~2 V (r)
(0)
donde
k02 = 2mE
(0)
~2 .
Ahora bien, de la Electrodinámica se sabe que un potencial escalar ' (r; t) producido por
una densidad de carga (r; t) satisface la ecuación de D’Alembert,
r2' (r; t) 1
c2
@2' (r; t)
@t2 = 4 (r; t), (15)
cuya solución es el potencial retardado ' (r; t) = Z r0; R ct R dV 0, siendo R =jr r0j .
Si consideramos que la densidad de carga en cada punto varía según una ley armónica,
(r; t) = 0(r) e i!t, (16) entonces, ' (r; t) = Z 0(r0) ei !R c e i!t R dV 0 = ' 0(r) e i!t, (17) donde '0(r) = Z 0(r0) ei !R c R dV 0. (18)
Introduciendo las funciones (16) y (17) en (15) y cancelando el factor e i!t, obtenemos
una ecuación diferencial para '0(r),
r2'0(r) + !
2
c2'0(r) = 4 0(r), (19)
cuya solución es la función (18).
La ecuación (14) que estamos interesados en resolver es similar a la ecuación (19), luego,
su solución puede ser obtenida reemplazando en la expresión (18) !c por k0 y 0(r0) por
m 2 ~2V (r0) (0)(r0), esto es, 4 (1)(r) = m 2 ~2 Z 1 RV (r 0) ei(k0r0+k0R)dV0. (20)
Estamos interesados en una expresión asintótica para 4 (1)(r), esto es, la forma de la
función para grandes distancias r del centro dispersor. Esta integral está evaluada sobre el
rango de fuerzas, para r0 a; luego, r r0. Para grandes distancias una partícula viaja en
una dirección radial con origen en el centro dispersor, esto es, su vector de onda k coincide en dirección con r.
Teniendo esto en cuenta obtenemos, para r r0, R2 = (r r0)2 = r2 2r r0+ r02 r2 1 2r r 0 r2 , o bien, R r 1 r r 0 r2 = r k r0 k , ya que r=r = k=k.
Sustituyendo este valor aproximado de R en la integral (20), y en el factor fraccional usando simplemente r en lugar de R, se obtiene que
4 (1)(r) = m
2 ~2re ikr
Z
V (r0) ei(k0 k) r0dV0.
Comparando esta expresión con (8) vemos que la amplitud de dispersión en la aproxi-mación de Born está dada por la expresión
A ( ; ') = m
2 ~2
Z
V (r0) eiq r0dV0, (21)
donde q = (k0 k) es denominado vector colisión, cuya magnitud es
q = kjn n0j = 2ksin
2 =
2mv
~ sin2, (22)
donde es el ángulo entre los vectores k0 y k, es decir, el ángulo de dispersión (k0 está
dirigido a lo largo del haz incidente y el vector k a lo largo del vector de posición que va desde el centro dispersor al punto de observación de las partículas dispersadas).
Si la función V (r0) es esféricamente simétrica, V (r0) = V (r0), en (21) podemos integrar
sobre los ángulos y ' (donde el ángulo es medido desde la dirección del vector k0 y el
ángulo ' es medido desde la dirección del vector q). En este caso, la amplitud de dispersión no depende de ' A ( ) = m 2 ~2 Z 1 0 V (r0) r02dr0 Z 0
eiqr0cos '2 sin'd'
= 2m ~2 Z 1 0 V (r0)sinqr 0 qr0 r 02dr0. (23)
Sustituyendo (23) en (11) obtenemos la expresión para la sección e…caz diferencial de dispersión, d = 4m 2 ~4 Z 1 0 V (r0)sinqr 0 qr0 r 02dr0 2 d ; (24)
esta expresión es conocida como fórmula de Born.
Prosiguiendo con las aproximaciones sucesivas cabría hallar la función de onda y la ampli-tud de dispersión en segunda aproximación. El término adicional a la ampliampli-tud de dispersión
se determinaría en segunda aproximación por la integral del cuadrado de la energía potencial de interacción. De la misma manera se pueden hallar correcciones de orden superior.
Para valores pequeños del ángulo de dispersión, de (24) tenemos que
d = 4m 2 ~4 Z 1 0 V (r0) r02dr0 2 d ,
luego, la sección e…caz resulta independiente de la velocidad de la partícula.
La aplicabilidad de la aproximación de Born está dada para una rápida convergencia de la serie de aproximaciones sucesivas, por lo que es necesario que la corrección en primera
aproximación a la función de onda, (1), sea pequeña comparada con la función de onda de
la aproximación de orden cero, (0), esto es,
(1) (0) , es decir, m 2 ~2 Z eikz0eikjr r0j jr r0j V (r 0) dV0 1. (25)
Dado que (1)(r0) disminuye al aumentar la distancia desde el centro de dispersión, la
condición (25) se cumplirá si se cumple en el origen de coordenadas. Por lo tanto, la condición (25) se puede sustituir por la desigualdad
(1) (0) = m 2 ~2 Z eik(r0+z0)V (r0) r0 dV 0 1. (26)
También se pueden analizar dos casos límites:
1. Cuando se cumple la condición ka 1. Esto corresponde a una pequeña energía de
las partículas,
E ~
2
ma2.
2. Cuando se cumple la desigualdad opuesta ka 1. Esto corresponde a la condición
E ~
2
ma2.
En el primer caso, al estimar la integral (26) se puede hacer eik(r0+z0) 1. Entonces,
m 2 ~2 Z V (r0) r0 dV 0 m 2 ~2 jV0j Z dV0 r0 = m ~2 jV0j a 2 1,
donde V0 es un cierto valor medio de la energía de interacción en la región de radio a, luego,
jV0j ~
2
ma2.
La expresión ma~22 es igual, en orden de magnitud, a la profundidad mínima de un pozo de
aplicabilidad de la fórmula de Born a la dispersión de partículas lentas tiene un signi…cado sencillo: la energía media de interacción debe ser pequeña comparada con la energía potencial mínima de la partícula en el pozo para la cual se forma el estado ligado.
En el segundo caso, la región de aplicabilidad de la aproximación de Born se amplía considerablemente. El factor exponencial en (26) oscila rápidamente, lo que conduce a una disminución del valor total de la integral. Si sacamos fuera de la integral el factor lentamente variable tenemos que
(1)(0) = m 2 ~2 jV0j Z eikz0 eikr0 r0 dV 0 = mjV0j ~2 Z a 0 Z 0
eikr0(1+cos )sin d r0dr0
= mjV0j ~2k Z a 0 1 e2ikr0 dr0 mjV0j a ~2k 1. (27)
Además, hemos omitido la integral de la cantidad rápidamente oscilante eikr0 por ser
pequeña frente a la integral que se conserva. De (27) tenemos que
jV0j a
~v 1. (28)
Luego, la aproximación de Born es válida para partículas que tengan una energía tanto
mayor cuanto mayor sea el producto V0a determinado por las propiedades del centro
disper-sor.
En el caso del campo de Coulomb, el potencial Zer2 disminuye tan lentamente que es
imposible introducir el concepto de tamaño efectivo del rango de fuerza a.
Sin embargo, para V0 = Ze
2
a el producto V0a que aparece en (28) no depende de a, luego,
en un campo de Coulomb se cumple,
Ze2
~v 1; (29)
esta desigualdad signi…ca que si se introduce la velocidad del electrón en la primera órbita
de Bohr de un átomo hidrogenoide con carga del núcleo Ze (es decir, la cantidad k = Ze
2
~ ),
la desigualdad (29) se convierte en
k
v 1;
es decir, la velocidad de la partícula debe ser grande comparada con la del electrón en la primera órbita de Bohr.
La desigualdad (29) exige, para la aplicabilidad de la aproximación de Born, energías tanto mayores cuanto mayor sea la carga del núcleo dispersor.
Ejercicios resueltos:
Respuesta.
Asumiremos que el núcleo del átomo, con carga Ze, se encuentra en el origen de coor-denadas y que la carga de la envoltura atómica está distribuida en el espacio con densidad n (r); consideraremos, además, que el núcleo es puntual.
La sección e…caz diferencial de dispersión viene dada por (11), que para V = e', donde
e es la carga y ' el potencial del campo eléctrico que actúa sobre la partícula dispersada,
toma la forma d = m 2e2 4 2~4 Z ' (r0) eiq r0dV0 2 d ;
esta integral conviene expresarla en función de la distribución de densidad de carga en el átomo. Como R ' (r0) eiq r0
dV0 es la componente de Fourier del potencial, esta componente
puede expresarse en función de la componente de Fourier de la densidad de carga, la cual liga la componente de Fourier de la densidad de corriente con la componente de Fourier del potencial; tenemos entonces,
d = 4m 2e2 q4~4 Z (r0) eiq r0dV0 2 d .
La densidad de carga en el átomo puede escribirse en la forma
(r) = Ze (r) en (r),
que al sustituir en la sección e…caz diferencial nos da
d = 4m 2e4 ~4q4 Z Zeiq r0 (r0) dV0 Z n (r0) eiq r0dV0 2 d = 4m 2e4 ~4q4 jZ F (q)j 2 d , (30) donde F (q) = Z n (r0) eiq r0dV0. (31)
La cantidad F se llama factor de forma atómico. Su valor se determina por la distribución de densidad de la carga electrónica.
Sustituyendo en (31) el valor del vector colisión, según (22), tenemos la sección e…caz diferencial en la forma d = e 2 2mv2 2 jZ F (q)j2 d sin42. (32)
Si la dispersión se produce por un núcleo puntual privado de capas electrónicas, n (r) = 0, se tendrá en consecuencia, F = 0; entonces obtenemos para la sección e…caz diferencial
d = Ze 2 2mv2 2 d sin42.
Llegamos así a la conocida fórmula de Rutherford que tiene la misma forma que la obtenida en en la Mecánica Clásica.
El hecho de que la sección e…caz tienda a in…nito para dispersiones según ángulos in-…nitesimales, está vinculado con la lenta variación del potencial coulombiano. Por ello, las partículas serán dispersadas aún cuando pasen lejos del centro dispersor. Sin embargo, en realidad la acción de pantalla debida a la envoltura electrónica garantiza, conforme veremos más adelante, un valor …nito para la sección e…caz de dispersión.
Consideremos ahora el factor de forma atómico (31). La región efectiva de integración tiene dimensiones que son del orden del tamaño del átomo a. Fuera de esta región n (r) se
anula. Por lo tanto, para ángulos pequeños, cuando sea ka 1, en la integral (31) se
podrá desarrollar el exponente en serie. Tenemos entonces,
Z F (q) = Z Z iq Z n (r0) r0dV0+ 1 2 Z n (r0) (q r0)2dV0,
los dos primeros términos se anulan puesto que la carga de la envoltura electrónica del átomo es igual a la carga del núcleo. El tercer término representa el momento dipolar del átomo, que es igual a cero. En el último término, integrando respecto de los ángulos, se obtiene
Z F = 2 q 2 3 Z 1 0 n (jrj) r4dr.
La sección e…caz diferencial en el caso límite ka 1 tendrá la forma
d = 4 me 2 3~2 2 Z n (r) r4dr 2 d .
De esta manera, gracias al apantallamiento debido a la envoltura electrónica, la sección e…caz diferencial resulta …nita para pequeños ángulos de dispersión y constante (independi-ente de los ángulos). Por el contrario, en el caso de ángulos de dispersión grandes, cuando se
cumple la desigualdad opuesta, ka 1, el exponente en la integral (31) comienza a oscilar
rápidamente y el factor de forma resulta ser una cantidad pequeña. Despreciándolo frente a Z, llegamos a (32).
El apantallamiento de la carga del núcleo no se mani…esta para ángulos de dispersión grandes.
2) Evaluar la sección e…caz diferencial de dispersión por un campo repulsivo V = rB2
apli-cando la aproximación de Born y el mecanismo clásico. Determinar el límite de aplicabilidad de la fórmula obtenida.
Respuesta.
La amplitud de dispersión en la aproximación de Born está dada por la ecuación
ABorn = 2 ~2 Z d3r exp [ i (q r)] V (r) = B ~2q ; donde q = k0 k, q = 2k sin1
2 . Luego, considerando que d = 2 sin d , entonces
d Born=jA ( )j2d =
3 B2
2~2E cot
1
En el mecanismo clásico tenemos la siguiente relación entre el ángulo de dispersión y el parámetro de impacto : Z 1 r0 v dr r2 q 2 (E V ) vr 2 = 2 ;
donde r0 es el cero de la expresión bajo el símbolo de la raíz. Si integramos obtenemos
2 = B E 1 ( )2 2 ; y entonces d = 2 d d d = 2 3B E 2(2 )2d :
Si 8 B~2 1 podemos aplicar la aproximación de Born para todos los ángulos.
En el caso del límite opuesto, donde 8 B~2 1 el resultado clásico se mantiene también
para ángulos no pequeños, & 8 B~2 , mientras que para ángulos pequeños, . 8 B~2 , el
resultado de la aproximación de Born es válido.
3) Utilizar la aproximación de Born para hallar la sección e…caz diferencial y total para dispersión elástica de electrones rápidos por: a) un átomo de hidrógeno; b) un átomo de helio.
Respuesta.
a) Evaluamos el factor de forma para el átomo de hidrógeno, F (q) = Z exp [i (q r)] n (r) d = 1 a3 Z exp i (q r) 2r a d = 1 1 + q24a2 2,
donde a = ~e22 es el radio de Bohr.
Entonces, considerando la ecuación (30), la sección e…caz diferencial es
d = 4a
2(8 + q2a2)2
(4 + q2a2)4 d q = 2k sin
1
2 (33)
y la sección e…caz total
= a
2
3
7k4a4+ 18k2a2+ 12
(k2a2+ 1)3 :
En este caso la aproximación de Born puede ser aplicada, con tal de que ka 1, tal que
podemos simpli…car la última expresión a
= 7
b) Para el átomo de helio, utilizando el método variacional, se obtiene la siguiente expre-sión para la densidad de electrones:
n (r) = 2 b3exp 2 rb ; b = 1 2 6 7a:
La sección e…caz diferencial y total para la dispersión elástica para el átomo de helio tiene en esta aproximación la misma forma que para el átomo de hidrógeno. Necesitamos
solamente reemplazar a por b en las ecuaciones (33) y (34), e introducir un factor Z2 = 4.
En particular, = 283k2:
4) Evaluar la sección e…caz para la dispersión elástica por el potencial V (r) = Ber{r en
la aproximación de Born. Discutir la aplicabilidad de esta aproximación. Respuesta.
Es bien conocido que la solución del problema de dispersión elástica por un potencial
V (r) en la aproximación de Born lleva a la siguiente expresión para la función de onda:
(0)+ (1) (35) donde (0) (r) = exp [i (k r)] ; (1)(r) = 2 ~2 R V (r0) (0)(r0)exp(ikjr r0j) jr r0j d3r0; (36) así que asintóticamente tenemos
(1)
(r)
r!1 2 ~2
Z
V (r0) exp [i (q r0)] d3r0 exp (ikr)
r A ( )
exp (ikr)
r (37)
donde q = k k0 es el cambio en el vector de onda de la partícula durante la dispersión y
es el ángulo de dispersión.
La sección e…caz diferencial para la dispersión en un ángulo sólido d sobre un ángulo
con la dirección k de la partícula entrante es igual a
d = jA ( )j2d = 2 4 2~4 Z V (r0) exp [i (q r0)] d3r0 2 d : (38)
Evaluemos la integral en la ecuación (38). Tomando el eje polar de nuestro sistema de
coordenadas polares esféricas a lo largo del vector q y sustituyendo para V (r0)obtenemos
Z exp [ {r0+ i (q r0)]d 3r0 r0 = 2 Z 1 0 exp ( {r 0) r0dr0 Z 1 1 exp (iqr0x) dx = 4 {2+ q2; y entonces d = 2B ~2 2 d ({2 + q2)2; q = 2k sin 1 2 : (39)
Integrando la expresión (39) sobre el ángulo sólido obtenemos la sección e…caz total = 4 {2+ 4k2 2B {~2 2 : (40)
Consideremos algunos casos límite de la ecuación (39).
i) k {, de manera que también q {:
d 2B
{2~2 2
d ; (41)
que es, la sección e…caz de dispersión, en completo acuerdo con la teoría de la dispersión de partículas lentas, no existiendo dependencia sobre el ángulo de dispersión ni sobre la energía de la partícula.
ii) k { (partículas rápidas).
Existen ahora dos rangos característicos del ángulo de dispersión,
a) {k, ó q {; la sección para esos ángulos pequeños de dispersión tiende, para
! 0, al límite constante (41);
b) {k, ó q { (de‡exión grande). En este caso tenemos que introducir la energía
de la partícula E = ~22k2, d B 4E 2 d sin2 1 2 : (42)
Esta es en esencia la fórmula de la dispersión de Rutherford, como debía esperarse, dado
que en la región fundamental de distancias, r s 1q, el campo es prácticamente el campo de
Coulomb.
La condición de aplicabilidad de las fómulas de Born, (38) y (39), es que el término
de la corrección (1), el cual describe la in‡uencia del campo de dispersión, es pequeño
comparado con el término principal (0). Esta condición siempre se satisface si (1)
r=0 (0)
= 1. Esta condición de aplicabilidad es su…ciente; sin embargo puede ser demostrado que resulta ser demasiado fuerte, especialmente para ángulos pequeños de dispersión.
Tenemos (1) jr=0 = B 2 ~2 Z exp [i (k r)]exp ( {r 0+ ikr0) r02 d 3r0 = 2 B ~2 Z 1 0 exp ( {r 0 + ikr0)sin kr0 kr0 dr 0: (43)
Para partículas lentas (k . {) la región importante en la integral es r0 s 1
{, donde
exp (ikr0) (sin kr0=kr0) s 1, así que la integral es del orden de magnitud de 1
{ y la condición
requerida de aplicabilidad de la ecuación (39) es de la forma jBj
{~2 1: (44)
Para las partículas rápidas (k {) la presencia de la función rápidamente oscilante,
[exp (ikr0) sin kr0], signi…ca que la región importante es r0 s 1
de magnitud de 1k, y la condición de aplicabilidad de la ecuación de Born será (introduciendo
la velocidad de la partícula v = ~k):
jBj
~v 1: (45)
El signi…cado de las desigualdades (44) y (45) viene a ser muy obvio si las consideramos en conjunto con los casos límites de la expresión (40) para la sección e…caz total. Eliminando
coe…cientes numéricos vemos que ambas desigualdades son equivalentes a la condición 1
{2
o bien p {1.
La condición de aplicabilidad de la aproximación de Born es entonces que la sección e…caz de dispersión sea pequeña comparada al cuadrado del rango efectivo del campo de dispersión,
o en otras palabras, que la amplitud de dispersión p sea pequeña comparada al rango del
campo {1.
Los resultados de este problema pueden utilizarse para considerar el caso particular de la dispersión de electrones por un átomo neutro (que es el caso del campo de Coulomb
apantallado). Para ello, debemos reemplazar B por Ze2 y {1 por el radio de Thomas-Fermi
del átomo, el cual es del orden de magnitud de ~2=Z13 e2:
Método de ondas parciales
Este método se utiliza cuando el campo del centro dispersor presenta simetría esférica, esto es, V (r) = V (r), el cual admite que lejos del centro de dispersión la función de onda de la partícula dispersada tenga la forma
= eikz+ A ( )e
ikr
r , (46)
donde la amplitud de dispersión no depende de ' debido a la simetría del campo.
Como V (r) = V (r), este método está relacionado con la solución del problema del movimiento de una partícula en un campo de fuerza central. Como estamos considerando movimiento no acotado, la solución debe satisfacer condiciones de frontera de…nidas, estas condiciones consisten en que la forma asintótica de la solución (para r ! 1) debe estar determinada por la ecuación (46).
Como sabemos, la solución general de la ecuación de Schrödinger para un campo de fuerza central es
(r; ; ') =X
l;m
blmRl(r) Ylm( ; '),
donde blm son coe…cientes constantes que se determinan por las condiciones de frontera y
condición de normalización. Como estamos interesados en soluciones que no dependen del ángulo ' debemos tomar sólo los términos con m = 0, luego,
(r; ) =
1
X
l=0
blRl(r) Pl(cos ), (47)
donde Pl(cos )son los polinomios de Legendre.
Cada término de la serie (47) lo denominaremos onda parcial, o más concretamente, onda parcial l-ésima, al término l-ésimo.
Podemos obtener una forma asintótica de la función (47) introduciendo en ella la forma asintótica de Rl, Rl(r) = al sin kr + l l2 r , luego, (r ! 1) 1 X l=0 blPl(cos ) alsin kr + l l2 r (48)
(por razones que veremos después, hemos tomado la fase l en la forma l l2).
Introduciendo la notación blal = cl k, tenemos que (r! 1) = 1 X l=0 clPl(cos ) sin kr + l l2 kr . (49)
Para encontrar la expresión de la amplitud de dispersión A ( ) en términos de los
coe…-cientes cl y las fases ldebemos expresar (46) en la forma (49). Para hacer esto tenemos que
desarrollar la expresión (46) en serie de polinomios de Legendre (los polinomios de Legendre forman un sistema completo).
Para el primer término de (46),
eikz = eikr cos =
1
X
l=0
fl(r) Pl(cos ), (50)
donde fl(r) son coe…cientes a determinar. Para abreviar hacemos x = cos , luego,
eikrx =
1
X
l=0
fl(r) Pl(x). (51)
Multiplicando (51) por Pl0(x)e integrando sobre x de 1 a 1,
Z 1 1 eikrxPl0(x) dx = 1 X l=0 fl(r) Z 1 1 Pl(x) Pl0(x) dx; pero, Z 1 1 Pl(x) Pl0(x) dx = 2 2l + 1 ll0, (52) luego, fl(r) = 2l + 1 2 Z 1 1 eikrxPl(x) dx;
integrando por partes y teniendo en cuenta que Pl(1) = 1 y Pl( 1) = ( 1)l obtenemos,
para valores grandes de r,
fl(r) =
2l + 1 2
eikr ( 1)le ikr
Para simpli…car tomamos ( 1)l = ei l = eil2eil2; esto es, fl(r) = 2l + 1 2 e il2 e i(kr l2) e i(kr l2) ikr , pero, ei2 l = il, luego, fl(r) = il(2l + 1) sin kr l 2 kr . (53)
Ahora queda claro por qué escribimos la fase l en la forma l l2 en la fórmula (48).
Sustituyendo (53) en (50) se obtiene la expresión asintótica para el primer término de la función (46), eikz = 1 X l=0 il(2l + 1) Pl(cos ) sin kr l 2 kr . (54)
Para el segundo término de (46) desarrollamos el coe…ciente A ( ) en serie de polinomios de Legendre, A ( ) = 1 X l=0 glPl(cos ), (55)
donde gl son números.
Sustituyendo las expresiones (54) y (55) en (46) obtenemos la forma asintótica de la función de onda de una partícula dispersada,
= 1 X l=0 il(2l + 1) Pl(cos ) sin kr l 2 kr + 1 X l=0 glPl(cos ) eikr r . (56)
Igualando las expresiones (56) y (49) y expresando las funciones sin (x) en términos de
la diferencia de exponenciales, así como il en la forma eil2 obtenemos,
1 X l=0 1 2ikrcl h ei(kr+ l l2) e i(kr+ l l2) i Pl(cos ) = 1 X l=0 1 r e il 2 (2l + 1) 1 2ik h ei(kr l2) e i(kr l 2) i + gleikr Pl(cos )
Esta igualdad debe cumplirse para cualquier valor de , luego, es necesario que los
coe…-cientes Pl en ambos miembros sean iguales,
1 2ikcl h eikrei( l l2) e ikre i( l l2) i = 2l + 1 2ik e ikr e ikreil + g leikl.
Como esta igualdad debe cumplirse para toda r, los coe…cientes de ambos miembros de
eikr y e ikr deben ser iguales; igualando estos coe…cientes obtenemos dos relaciones,
1 2ikcle i( l l2) = 2l + 1 2ik + gl ; 1 2ikcle i( l l2) = 2l + 1 2ik e il .
De la segunda relación encontramos que
cl = (2l + 1) ei( l+
l
2). (57)
Introduciendo este valor en la primera relación encontramos la expresión para gl,
gl =
2l + 1
2ik e
2i l 1 .
Sustituyendo esta expresión en (55) obtenemos que la amplitud de dispersión está dada por A ( ) = 1 2ik 1 X l=0 (2l + 1) e2i l 1 P l(cos ). (58)
Luego, la sección e…caz diferencial estará dada por
d ( ) = 1 4k2 1 X l=0 (2l + 1) e2il 1 P l(cos ) 2 d . (59)
Es decir, la sección e…caz diferencial de dispersión está determinada por el conjunto de fases l.
Integrando (59) sobre el ángulo sólido total 4 obtenemos la sección e…caz total de
dis-persión.
El cuadrado del módulo de un número complejo es igual al producto de este número y
su complejo conjugado y como d = 2 sin d = 2 d (cos ),
= Z d ( ) = 1 4k2 Z (X1 l=0 (2l + 1) e2i l 1 P l(cos ) ) ( 1 X l;=0 (2l0+ 1) e 2i l0 1 P l0(cos ) ) 2 [ d (cos )] = 1 4k2 X ll0 (2l + 1) (2l0+ 1) e2i l 1 e 2i l0 1 ( 2 ) Z 1 1 Pl(x) Pl0(x),
donde se ha hecho x = cos . Teniendo en cuenta (52) obtenemos = k2 1 X l=0 (2l + 1) e2i l 1 e 2i l 1 = (2i) 2 k2 1 X l=0 (2l + 1) e i l ei l e i l e i l e i l ei l (2i)2 , luego, = 4 k2 1 X l=0 (2l + 1) sin2 l; (60)
haciendo l= 4 k2 (2l + 1) sin 2 l tenemos que = 1 X l=0 l,
la sección e…caz total puede ser escrita como la suma de las secciones parciales l.
Cada sección e…caz parcial corresponde a la dispersión de una partícula con un momento angular de…nido (determinado por el número cuántico l).
El máximo valor de la sección e…caz de dispersión de una partícula con momento angular
l está dado por
( l)max=
4
k2 (2l + 1).
El cálculo de las fases l, de manera general, es un problema muy difícil. El valor práctico
de las expresiones (59) y (60) aparece cuando el número de términos de la serie que juegan un papel fundamental es pequeño (cuando la serie converge rápidamente).
Un razonamiento simple prueba que a medida que aumenta la energía de la partícula,
crece el número de fases l que es necesario tener en cuenta en las series (59) y (60). Por
ello, este método es particularmente útil para el estudio de la dispersión de partículas lentas.
Debemos notar que introduciendo el valor (57) para cl en la fórmula (49) obtenemos la
expresión asintótica para la función de onda, = 1 X l=0 (2l + 1) ei( l+l2)P l(cos ) sin kr + l l2 kr .
Expresando la función sin (x) en términos de exponenciales y eliminando el factor de fase igual a i, podemos dar a esta expresión la forma
= 1 2k 1 X l=0 (2l + 1) Pl(cos ) ( 1) le ikr r Sl eikr r , (61) donde Sl= e2i l. (62)
El primer término en el corchete de la fórmula (61) es una onda esférica convergente de
amplitud ( 1)l y el segundo término es una onda esférica divergente con amplitud Sl. El
valor absoluto de ambas amplitudes es la unidad. Luego, la función de onda que describe la dispersión elástica tiene la forma de una onda estacionaria formada por la superposición de ondas esféricas convergentes y divergentes.
La densidad de corriente de probabilidad correspondiente a una onda convergente es
jconv = ~ 2mi ( 1) l 2 eikr r r e ikr r e ikr r r eikr r = ~k mr2^er, (63)
donde ^er es el vector unitario del vector posición r.
De manera similar se obtiene la densidad de corriente de probabilidad de una onda divergente,
jdiv =jSlj2 ~k
mr2^er. (64)
Como jSlj
2
= 1, los vectores (63) y (64) di…eren solamente en su dirección. La densidad de corriente de probabilidad a través de cualquier super…cie, incluyendo una esfera de radio
R correspondiente a la función (61), es cero. Esto está de acuerdo con el hecho de que en
la dispersión elástica el número de partículas que viaja desde el centro dispersor es igual al número de partículas que viaja hacia este centro.
Ejercicios resueltos:
1) Encontrar la sección e…caz diferencial para la dispersión de partículas lentas por un pozo de potencial (considere la longitud de onda de De Broglie grande comparada con las dimensiones del pozo).
Respuesta.
La energía potencial de las partículas está dada por la expresión:
V (r) = V0 (r < a)
0 (r > a):
Es necesario encontrar los corrimientos de fase; esto es, la forma asintótica de las funciones radiales que satisfacen las ecuaciones
00 l + k 2 l (l + 1) r2 l = 0; k 2 = 2 E ~2 ; r < a y 00 l + k02 l (l + 1) r2 l = 0; k 02 = 2 (E + V0) ~2 ; r > a
con la condición de frontera l(0) = 0.
Cuando la longitud de onda de De Broglie es considerablemente mayor que las dimen-siones del pozo, la contribución principal a la dispersión surge de la onda S, esto es, para
l = 0. La solución 0 que satisface la condición de frontera es de la forma
0 = A sin k0r (r < a)
0 = sin (kr + 0) (r > a):
La fase 0 y el coe…ciente A se obtienen de la condición de que tanto la función de onda
como su derivada sean continuas en r = a. De esta forma obtenemos:
0 = arctan
k k0 tan k
0a ka:
La sección e…caz para l = 0 es entonces
0 = 4 k2 sin 2( 0) = 4 k2 sin 2 arctan k k0 tan k 0a ka :
Para velocidades pequeñas de las partículas incidentes (k ! 0) 0 será proporcional a k 0 ka tan k0a k0a 1 ; k02 = 2 V0 ~2 : Debido al factor 1
k2 la sección e…caz 0 será
4 a2 tan k0a
k0a
1
2
(para k pequeña).
Consideremos la sección e…caz 0 como una función de la profundidad del pozo, la cual
determina k0. Si el pozo es angosto (k0a 1), tenemos
0 = 4 a2 k4 0a4 9 = 16 9 a6V2 0 2 ~4 :
Notemos que de la teoría de perturbaciones obtenemos
A ( ) = 1 4 2 ~2 Z V (r) d = 2 ~2V0 a3 3 y así, después de integrar obtenemos
= 4 jA ( )j2 = 16
9 a6V2
0 2
~4 :
La sección e…caz crece con el incremento de V0 y diverge para k0a = 2. La condición
k0a = 2 es la condición para la aparición del primer nivel energético en el pozo. Si se aumenta
la profundidad del pozo, la sección e…caz empieza a decrecer otra vez y tiende a cero para
tan k0a = k0a. Cuando V0 se incrementa aún más, la sección e…caz continua oscilando entre
0e 1, llegando a ser in…nita cuando aparece un nuevo nivel en el pozo. La oscilación aguda
de la sección e…caz de dispersión de partículas lentas explica por qué la sección e…caz de dispersión de electrones lentos por un átomo puede diferir apreciablemente de la sección transversal geométrica.
2) Encontrar los corrimientos de fase en el campo V = rB2. Determine la sección e…caz
diferencial de dispersión para ángulos pequeños. Respuesta.
La función radial satisface la ecuación
00 l + k2 l (l + 1) r2 2 B ~2r2 (r) = 0
así como las condiciones de frontera l(0) = 0 y …nita cuando r ! 1. La solución que
satisface estas condiciones es
l = p rJ (kr) ; donde = s l + 1 2 2 +2 B ~2 :
A partir del comportamiento asintótico de J (kr) obtenemos los corrimientos de fase: l = 2 l 1 2 = 2 8 < : s l + 1 2 2 +2 B ~2 l + 1 2 9 = ;:
La independencia de l sobre k signi…ca que para la amplitud de dispersión obtenemos
A ( ; k) = 1
kA0( ) ;
donde A0( ) es independiente de la energía de las partículas dispersadas. La sección e…caz
de dispersión
d = 1
k2 jA0( )j 2
d
es inversamente proporcional a la energía y está caracterizada por una distribución angular universal.
Dado que la suma
A ( ) = 1
2ik
1
X
l=0
(2l + 1) Pl(cos ) [exp (2i l) 1] ;
que determina la amplitud de dispersión, diverge para ! 0, es claro que los valores grandes
de l son esenciales para la evaluación de A ( ) en valores pequeños de . Ahora, para valores grandes de l tenemos l B (2l + 1) ~2 1; tal que A ( ) 1 k 1 X l=0 (2l + 1) Pl(cos ) l B ~2k 1 X l=0 Pl(cos ) = B k~2 1 2 sin12 :
Si 8 B~2 1, la expresión para l es válida para toda l y así para todos los valores de
A ( ) B k~2 1 2 sin12 y d = 3 B2 2~2E cot 1 2 d :
3) Calcular la sección e…caz diferencial de dispersión de partículas por una esfera perfec-tamente rígida e impenetrable de radio a.
Podemos modelar el efecto dispersor de la esfera con el potencial central
V (r) = 1 r a
0 r > a:
La condición de total impenetrabilidad se puede expresar alternativamente como la condición
de frontera que corresponde a re‡exión total (r) jr=a= 0:
La ecuación radial de Schrödinger está dada por la ecuación (19.1) y es R00+ 2 rR 0+ k2 l (l + 1) r2 R = 0; k 2 = 2mE ~2 ; r a:
La solución para r > a puede escribirse en términos de las funciones esféricas de Bessel.
En este caso es conveniente tomar como soluciones independientes a las funciones jl(kr) y
h(1)l (kr), en donde la función esférica de Hankel de primer tipo está de…nida como de la
forma usual: h(1)l (x) = r 2xH (1) l+1=2(x)
y se comporta asintóticamente como una onda esférica saliente, según sigue:
h(1)l (kr) !
kr!1( i) l+1eikr
kr :
Esta es precisamente la propiedad que hace especialmente útil a esta función en problemas de dispersión. Por lo tanto, escribimos para r > a:
= 1 X l=0 (2l + 1) iljl(kr) + Clh (1) l (kr) Pl(cos ) :
El coe…ciente del primer término se ha escogido apropiadamente para reproducir la onda plana incidente, como se pondrá en claro un poco más adelante. La condición de frontera sobre la super…cie de la esfera se puede cumplir sólo si el coe…ciente de cada polinomio de Legendre se anula por separado en r = a. Por tanto, cada una de las ecuaciones
(2l + 1) iljl(ka) + Clh (1)
l (ka) = 0
debe satisfacerse por separado; de ellas obtenemos el valor de los coe…cientes Cl. Despejando
y sutituyendo en la función se obtiene = 1 X l=0 (2l + 1) il " jl(kr) jl(ka) h(1)l (ka)h (1) l (kr) # Pl(cos ) = eikz 1 X l=0 (2l + 1) il jl(ka) h(1)l (ka)h (1) l (kr) Pl(cos ) :
La segunda igualdad se obtuvo usando el desarrollo de la onda plana en ondas esféricas eikz =
1
X
l=0
y justi…ca la selección anterior de los coe…cientes de las funciones jl. Esta es una solución
exacta de la ecuación de Schrödinger, cuyo comportamiento asintótico es
(r; )jr!1= eikz+ i k eikr r 1 X l=0 (2l + 1) jl(ka) h(1)l (ka)Pl(cos ) :
Comparando esta expresión con la forma general de la solución asintótica del problema dis-persivo, ecuación (8), obtenemos la siguiente expresión exacta para la amplitud de dispersión por una esfera impenetrable:
A ( ) = i k 1 X l=0 (2l + 1) jl(ka) h(1)l (ka)Pl(cos ) : (65)
De (65) siguen, inmediatamente, la sección e…caz diferencial d d = 1 k2 1 X l=0 (2l + 1) jl(ka) h(1)l (ka)Pl(cos ) 2
y la sección e…caz total elástica
= 4 k2 1 X l=0 (2l + 1) jl(ka) h(1)l (ka) 2 :
Debido a la interferencia entre los términos que componen a la sección e…caz diferencial, notamos que ella presenta una serie de máximos y mínimos conforme cambia el ángulo .
Para ka 1 hay un máximo muy acentuado en la dirección hacia adelante y oscilaciones
que decrecen rápidamente alrededor de la sección e…caz diferencial clásica a42 (ver …gura).
Sección e…caz diferencial para la dispersión por una esfera dura, en el caso ka 1:
Para ka 1 se cumple que jl(ka) =h
(1)
l (ka) (ka) 2l+1
, por lo que la contribución dominante proviene de la onda s. En este caso, y como es usual a bajas energías, la dispersión por el potencial central de corto alcance es isotrópica:
d
d = a
2
y la sección e…caz total es cuatro veces la sección clásica de una esfera impenetrable o dos veces la sección e…caz total de una esfera perfectamene absorbente
Dispersión inelástica
El término inelástico es aplicado a procesos en los cuales el estado interno de las partículas que intervienen en éste cambia, por ejemplo, la excitación de átomos, ionización de átomos, desintegración del núcleo, desintegración o creación de partículas.
Cada uno de los procesos que tiene lugar en la colisión de partículas es llamado canal de reacción. Si el proceso es compatible con las leyes de conservación, el canal se cali…ca de abierto.
Si hay varios canales de reacción diferentes la expresión asintótica de la función de onda de las partículas que colisionan es la suma de términos, cada uno de los cuales corresponde a uno de los canales de reacción. Estos canales también incluyen un canal de entrada correspondiente a la dispersión elástica.
Como en la dispersión elástica, la función de onda correspondiente al canal de entrada puede ser representada como la suma de una onda esférica convergente y una divergente,
= 1 2k 1 X l=0 (2l + 1) Pl(cos ) ( 1) le ikr r Sl eikr r . (66)
Ahora, los Slno están determinados por la fórmula (62) pero son generalmente cantidades
complejas con módulo menor que la unidad. Luego, el ‡ujo de partículas en el canal de entrada que viaja desde el centro dispersor es menor que el ‡ujo de partículas incidentes en el centro (ver (63) y (64)).
Cálculos similares al utilizado para obtener la fórmula (58) dan la siguiente expresión para la amplitud de dispersión,
A ( ) = 1 2ik 1 X l=0 (2l + 1) (Sl 1) Pl(cos ).
Ésta di…ere de (58) en que contiene la cantidad Sl como un valor absoluto menor que la
unidad, en lugar de e2i l.
Introduciendo esta expresión en la fórmula de d ( ; ') obtenemos la sección e…caz difer-encial de dispersión elástica,
d el = jA ( )j 2 d = 1 4k2 X ll0 (2l + 1) (2l0+ 1) (Sl 1) (Sl0 1) PlPl0d , luego, el = 1 4k2 X ll0 (2l + 1) (2l0+ 1) (Sl 1) (Sl0 1) 2 2 2l + 1 ll0 = k2 X l (2l + 1)jSl 1j2 = k2 1 X l=0 (2l + 1)j1 Slj2.
La sección e…caz parcial de dispersión elástica es
l;el =
k2 (2l + 1)j1 Slj 2
. (67)
Para encontrar la sección e…caz de dispersión inelástica vamos a rodear el centro dispersor
con una super…cie esférica imaginaria de radio grande R y a evaluar el ‡ujo de partículas ,
determinado por la función (66), a través de esta super…cie; tenemos así,
= ~ 2mi I @ @r @ @r RR 2d (68)
(tomamos la componente radial del gradiente a la distancia R desde el centro).
Despre-ciando términos del orden de r12 en comparación con términos del orden de
1
r (R es grande),
obtenemos la siguiente expresión para la derivada de la función (66) con respecto a r, @ @r = 1 2kr 1 X l=0 (2l + 1) Pl(cos ) h
ik ( 1)le ikr ikSleikr
i .
La derivada @ @r di…ere de la anterior sólo en los signos de i. Sustituyendo en (68),
= ~ 2mi 1 4k2 1 X l=0 (2l + 1)2( 2ik) 1 jSlj 2 I Pl2d = ~ 4mk 1 X l=0 (2l + 1)2 1 jSlj 2 2 2 2l + 1 = ~ mk 1 X l=0 (2l + 1) 1 jSlj2 . (59.4)
El ‡ujo es negativo porque jSlj < 1. Viendo que un cierto número de partículas
experi-mentan dispersión inelástica o absorción, el ‡ujo de partículas dispersadas elásticamente es menor que el de partículas incidentes en el centro dispersor.
El ‡ujo de partículas que experimenta dispersión inelástica es evidentemente igual al ‡ujo (59.4) tomado con signo opuesto,
inel = ~ mk 1 X l=0 (2l + 1) 1 jSlj 2 .
Dividiendo este ‡ujo por la densidad de ‡ujo de partículas incidentes jinc, obtenemos, a
partir de
= disp
jinc
;
la sección e…caz total de dispersión inelástica (sobre todos los canales inelásticos),
inel= k2 1 X l=0 (2l + 1) 1 jSlj2 . (69)
Cada término de la suma es una sección e…caz parcial de dispersión inelástica,
l;inel =
k2 (2l + 1) 1 jSlj
2
. (70)
Cuando Sl = 1, la expresión (70) se anula -la dispersión inelástica de partículas con un l
dado está ausente. El caso Sl = 0 corresponde a la absorción completa de partículas con l
dado. En este caso, por las fórmulas (67) y la (69) tenemos
l;el = l;inel =
k2 (2l + 1).
Cuando la sección e…caz (70) es no nula, la sección (67) es también no nula. Aquí, la existencia de canales de reacción inelásticos siempre conduce a dispersión elástica.
Ejercicio resuelto:
Demuestre que en el caso general de la dispersión inelástica, la siguiente fórmula, que
relaciona la sección e…caz de dispersión total = el+ inel y la amplitud de dispersión
elástica para = 0, es válida:
= 4
k Im A (0)
Respuesta.
Usamos el desarrollo de A ( ), el y inel en términos correspondientes a los diferentes
valores del momento angular orbital en la siguiente forma:
A ( ) = 1 2ik 1 X l=0 (2l + 1) (Sl 1) Pl(cos ) ; el= k2 1 X l=0 (2l + 1)j1 Slj2; inel= k2 1 X l=0 (2l + 1) 1 jSlj 2 :
Para = 0 =) Pl(1) = 1y consideremos que podemos escribir Sl como la suma de una
parte real SlR y otra imaginaria SlI. De esta forma es fácil ver que la parte imaginaria de
A (0)es igual A (0) = 1 2k 1 X l=0 (2l + 1) (1 SlR) :
La sección e…caz total , según el desarrollo de el y inel, es
= k2 1 X l=0 (2l + 1) j1 Slj 2 + 1 jSlj 2 ; donde j1 Slj2+ 1 jSlj2 = 2 (1 SRl) :
Sustituyendo este resultado en la expresión anterior se obtiene la forma de que se buscaba. Problemas Propuestos
1. Demuestre que cuando una partícula de masa m colisiona elásticamente con una partícula en reposo de masa M , el retroceso de ésta es siempre dentro del hemisferio frontal en el sistema L (sistema de laboratorio).
2. Supóngase que en la situación descrita en el problema anterior, la dispersión tiene simetría esférica en el sistema CM (sistema centro de masa). ¿Cuál es la distribución angular de las partículas del blanco en el sistema L?
3. Usar la aproximación de Born para encontrar la amplitud de dispersión además de la sección total y diferencial para el potencial exponencial
V = V0e
r R.
4. Lo mismo que en el problema 3 pero considerando un pozo de potencial,
V = V0, r < R
0, r R.
5. El efecto de apantallamiento de los electrones en un átomo neutro modi…ca la inter-acción electrostática entre un átomo y una partícula incidente cargada. Una aproximación razonable a este efecto de apantallamiento del potencial coulombiano es,
V (r) = Zze
2
r e
r R,
que en la forma es igual al conocido potencial de Yukawa. En esta expresión, Z es el número atómico del átomo, ze es la carga de la partícula incidente y R es el radio atómico efectivo. a) Demostrar que de la aproximación de Born se obtiene el resultado exacto para la sección e…caz de Rutherford en el límite de R ! 1.
b) Usando la aproximación de Born estimar el intervalo angular para el cual la sección e…-caz diferencial de dispersión de un potencial coulombiano de este tipo di…ere de la dispersión de Rutherford en los casos siguientes:
i ) una partícula alfa de 5 MeV dispersada por oro; ii ) un protón de 1 MeV, dispersado por carbón; iii ) un electrón de 100 eV dispersado por carbón.
Por facilidad tomar R = 1Å en todos los casos y suponer que todas las energías se toman en el sistema del centro de masa.
6. Muestre que la sección e…caz diferencial de dispersión en la aproximación de Born
debida a una barrera esférica de radio R y altura …ja V0 es
d d = 2mV0 ~2 2 [sin qR qR cos qR]2 q6 .
7. a) Para una energía de 5 MeV en el centro de masa, los desfasamientos que describen la dispersión elástica de un neutrón por un núcleo, tienen los valores siguientes:
Suponiendo que todos los demás son despreciables, dibujar dd como función del ángulo
de dispersión. ¿Cuál es la sección e…caz total ? Por sencillez, tomar la masa reducida del
sistema como la masa del neutrón.
b) Hacer lo mismo en el caso de cambiar los signos de los tres desfasamientos.
c) Hacer lo mismo en el caso en que se cambia sólo el signo de 0:
d) Usando los resultados de la parte a), calcular el número total de neutrones dispersados
por segundo de un haz de 1010 neutrones por cm2 por seg, y área transversal de 2 cm2, que
incide sobre una lámina conteniendo 1021 núcleos por cm2. ¿Cuántos neutrones se dispersan
por segundo hacia un contador a 900respecto al haz incidente que subtiende un ángulo sólido
de 2 10 5 esterradianes?
8. Protones con energía de 0:3 MeV son dispersados por una hoja delgada de aluminio. Se observa que el número de protones dispersados hacia atrás es 0:96 veces el valor predicho para un potencial de interacción coulombiano. Interpretando esta discrepancia como debida a los efectos de apantallamiento y suponiendo que esta modi…cación del potencial afecta
sensiblemente sólo a la onda s, determine el cambio en el valor de 0. Especi…que si se trata
de una interacción atractiva o repulsiva.
9. Neutrones con energía de 4 MeV en el sistema CM son dispersados por una hoja …na
de núcleos pesados. Se observan los siguientes corrimientos importantes de fase: 0 = 26:10,
1 = 7:60, 2 = 0:30. El ‡ujo incidente es de 1011 neutrones/cm2 seg y el blanco posee una
densidad de 1021 núcleos/cm2. Use estos datos para determinar:
a) la sección e…caz total de dispersión;
b) el número medio de neutrones que inciden cada segundo sobre sendos detectores con
