GEOMETRIA ANALITICA PLANA

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GEOMETRIA ANALITICA PLANA

1. Indica un punto y un vector de las siguientes rectas • (𝑥, 𝑦) = (2,4) + 𝑡(5, −3) • !"# # = $%& & • .𝑥 = −1 + 9𝑡_{𝑦 = −8 − 6𝑡} • 2𝑥 − 3𝑦 + 8 = 0

2. Calcula la pendiente de las siguientes rectas: • 𝑦 = −3𝑥 + 2

• 𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 • '_#𝑥 +#₍𝑦 − 1 = 0 • ._{𝑦 = −1 + 3𝑡}𝑥 = −2 + 𝑡 • !"&_& =$%'_"#

• Recta que pasa por los puntos 𝐴(2, −𝑎)𝑦 𝐵(2,5𝑎) • Recta cuyo vector director es 𝑢9⃗(1,2)

• Recta cuyo vector normal es 𝑛9⃗(3, −2)

• Recta que pasa por los puntos 𝐴(1, −2)𝑦 𝐵(3,1) • Recta que pasa por los puntos 𝐴(3,4)𝑦 𝐵(−1,4) 3.

• Escribe las ecuaciones generales de los ejes coordenados. ¿Cuál es la ecuación paramétrica de cada uno?

• Escribe la ecuación paramétrica y explicita de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Escribe también la de la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.

4.

• Dibuja la recta que pasa por el punto 𝐴(−1,2) y que tiene de pendiente −#₎. Halla la ecuación de dicha recta.

• Hallar y representar la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,1)𝑦 𝐵(3,4). 5. Calcula la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de cada una de las

siguientes rectas:

• La recta que pasa por los puntos 𝐴(2, −1)𝑦 𝐵(3,4)

• La recta que pasa por el punto 𝑃(3,3) y lleva la dirección del vector 𝑢9⃗(2,1)

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• La recta que tiene como uno de sus vectores de dirección el 𝑢9⃗(−1,2) y corta a la parte positiva del eje de abscisas en un punto que dista 2 unidades del origen de coordenadas.

• La recta que tiene como vector director 𝑢9⃗(1, −4) y corta a la parte negativa del eje de abscisas en un punto que dista 5 unidades del origen de coordenadas.

• La recta que tiene por dirección la del vector 𝑢9⃗(5,6) y corta al eje de ordenadas en un punto que dista 1 unidad negativa del origen de coordenadas.

6. Representa y halla las distintas ecuaciones de la recta que pasa por el punto 𝐴(3,1)𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣⃗(1, −2).

7. Encuentra la ecuación vectorial, paramétrica, continua, general, explicita, punto pendiente y segmentaria de la recta que pasa por los puntos 𝐴(3,2)𝑦 𝐵(1, −1) 8. Dada la recta 𝑟: 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 en forma general, escribirla en forma explicita,

normal, continua y vectorial.

9. Dada la recta 3𝑥 + 2𝑦 = 4, ¿Qué tipo de ecuación es? Hallar un punto, un vector normal, un vector director y la pendiente. Realizar también la representación gráfica.

10. ¿Cuál es la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,1)𝑦 𝐵(1, −2)?

11. Calcular:

• ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2,2)𝑦 𝐵(0,4)?

• La ecuación explicita e implícita o general de la recta que pasa por los puntos 𝑃(1,4)𝑦 𝑄(2,3)

12. Hallar todas las formas de la ecuación de la recta cuyos puntos de intersección con los ejes son 𝐴 = (6,0) 𝑦 𝐵 = (0, −2)

13. Escribe en forma explicita y continua la ecuación de la recta 2𝑥 + 3𝑦 = 6. 14.

• Determinar si los puntos 𝐴(3,1)𝐵(5,2)𝐶(1,0) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta que los contiene.

• Verifica si los puntos (2,1)(1,5)𝑦 (12,3) están alineados. En caso afirmativo, escribe la ecuación de la recta

15.

• ¿Pertenece el punto 𝑃(3,3) a la recta que pasa por los puntos 𝐴(1, −1) 𝑦 𝐵(2,1)?

• ¿Pertenece el punto 𝑃(0,5) a la recta determinada por el vector (1,3) y el punto (2,3)?

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16. Escribe en la forma normal las rectas

𝑟: 4𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0 𝑦 𝑠: √3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 17. ¿Cuál es el vector dirección y la pendiente de las siguientes rectas?

• !"'_& =$%&₍ • 𝑦 = 3𝑥 − 2

18. Calcula la recta que pasa por el punto 𝐴(2,5) y forma con el eje de abscisas un ángulo de 30 grados. Explicar los pasos a seguir.

19.

• Halla un vector normal y otro director de la recta 𝑟: 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 • Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto (7,3) y es

paralela a la recta que tiene por ecuación 3𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 20.

• Calcula la recta que es paralela al eje X y que pase por el punto 𝐴(2,3). Escribe su ecuación vectorial.

• Calcula la recta que es paralela al eje Y y que pasa por el punto 𝐴(−1,3). Escribe su ecuación paramétrica.

• Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 𝐴(5, −1) y es paralela a la siguiente recta:

𝑟: .𝑥 = 2 − 3𝑡_{𝑦 = 4 + 𝑡} 21.

• Calcular la ecuación general de la recta que pasa por 𝐴(−2,5) y es paralela al vector 𝑣(−1,3)

• Averigua la ecuación general de la recta que pasa por el punto 𝑃(2, −2) y cuya pendiente es 𝑚 = −3

• Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 que pasa por el punto 𝐴(1,1)

22. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por 𝐴(2, −1) y es perpendicular a la recta de ecuación 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0

23. Calcula la ecuación de la recta perpendicular a r que pase por el punto P en los siguientes casos:

• .𝑥 = 2 − 3𝑡_{𝑦 = 1 + 𝑡 → 𝑃(3,1)} • !"'_& =$_# → 𝑃(0,5) • 𝑦 = 2𝑥 − 1 → 𝑃(1,2) • 2𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0 → 𝑃(0,0)

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24. Calcular:

• ¿Cómo seria la ecuación de una recta cualquiera que pase por el punto (2, −1)?

• ¿Cuál de todas estas pasarían por el punto (0,3)? • ¿Cuál de ellas seria paralela a la recta 𝑥 + 2𝑦 = 5? 25. Calcular la ecuación de las siguientes rectas:

• Paralela a 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 y que pasa por el punto (0,2) • Paralela al eje de abscisas y que pasa por el punto (2, −2) • Paralela al eje de ordenadas y que pasa por el punto 2, −2)

• Paralela a la recta 2𝑥 − 𝑦 + 8 = 0 y que pase por el origen de coordenadas.

• Paralela a la siguiente recta .𝑥 = −1 + 2𝑡_{𝑦 = 5 + 𝑡 y pase por el punto (−3,2)} • Paralela a la bisectriz del primer cuadrante y que tiene ordenadas en el

origen igual a 2.

26. Calcula la ecuación de las siguientes rectas:

• Perpendicular a 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0 y que pase por el punto (3,3). • Perpendicular al eje de abscisas y que pase por el punto (−2,7). • Perpendicular al eje de ordenadas y que pasa por el punto (5, −1). • Perpendicular a 3𝑥 − 6𝑦 + 2 = 0 y que pase por el origen de ordenadas. • Perpendicular a la siguiente recta: .𝑥 = −1 + 2𝑡_{𝑦 = 5 + 𝑡 y que pase por (−1,0)} • Perpendicular al segmento AB con 𝐴(0,2)𝑦 𝐵(3,1) y que pase por

(−3,3).

27. Determina el valor de t para que las siguientes rectas sean perpendiculares: 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0

𝑡𝑥 + 8𝑦 = −15 = 0 28.

• Halla la ecuación general de la recta paralela a 3𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 y que pasa por el punto 𝐴(−2,1).

• Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 que pasa por el punto 𝐴(1,1)

29. Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas y si son secantes, hallar su punto de corte:

• ._{𝑠: 2𝑥 + 5𝑦 − 16 = 0}𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − −1 = 0 • .𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − −1 = 0_{𝑠: 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0} • .𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0_{𝑠: 6𝑥 + 8𝑦 − 24 = 0}

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30. Halla los valores de B y C para que las siguientes rectas sean paralelas: • .2𝑥 + 𝐵𝑦 − 3 = 0_{4𝑥 + 5𝑦 + 𝐶 = 0}

31. Hallar la posición relativa y el punto de corte, si existe, de estas rectas:

𝑟: .𝑥 = 3 − 𝑡_{𝑦 = 2𝑡 𝑠: .}𝑥 = −2 + 4𝑡_{𝑦 = 1 + 2𝑡}

𝑟: ._{𝑦 = 3 − 3𝑡 𝑠: .}𝑥 = 4 + 𝑡 _{𝑦 = 1 − 9𝑡}𝑥 = 3𝑡

𝑟: ._{𝑦 = 5 − 3𝑡 𝑠: .}𝑥 = 2 + 𝑡 _{𝑦 = 11 − 6𝑡}𝑥 = 2𝑡

34. Dadas las siguientes rectas, averigua la posición relativa dos a dos: 𝑟: 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0

𝑠: .𝑥 = −2 + 𝑡_{𝑦 = 3 + 2𝑡}

𝑡: .𝑥 = −2 + 3𝑡_{𝑦 = 3 + 𝑡}

𝑢: .𝑥 = −1 + 3𝑡_{𝑦 = 2 + 𝑡}

35. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos 𝐴(3,4)𝑦 𝐵(1,2). 36. Calcula la distancia del punto 𝑃(1, −1) a cada una de las siguientes rectas:

• 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 • 𝑦 = 2𝑥 − 1 • !%'_& =$"&_# • 4𝑥 + 3𝑦 = 2

37. Calcula la distancia entre las siguientes rectas paralelas: 𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0

𝑠: 𝑥 − 2𝑦 + 1 = 40

38. Calcula las longitudes de las tres alturas del triángulo determinado por los puntos 𝐴(1,1), 𝐵(1,3)𝑦 𝐶(3,2)

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39. Dados los puntos 𝐴(1,4)𝑦 𝐵(−2,3) y la recta 𝑟: 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0, hallar un punto P que equidiste de A y sea incidente con r.

40.

• Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que distan del eje de abscisas el doble que del eje de ordenadas.

• Halla un punto P equidistante de 𝐴(3,1)𝑦 𝐵(3,5) y que dista el triple del eje de abscisas que del eje de ordenadas.

41. Dada la ecuación 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 hallar la ecuación de una paralela a dicha recta a una distancia de dos unidades.

42. Hallar las coordenadas de un punto de la recta 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 que diste una unidad de la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0

43. Hallar las coordenadas de un punto P equidistante de 3 puntos dados 𝐴(4,4), 𝐵(5,3)𝑦 𝐶(−1,3)

44. Hallar las ecuaciones de la recta que son incidentes con el punto 𝐴(2,3) y distan dos unidades del origen de coordenadas.

45.

• De todas las rectas que pasan por el punto 𝐴(1,2), calcular la pendiente de aquellas cuya distancia al origen es de una unidad.

46. Determina la recta que dista 3 unidades del punto 𝑃(1,2) y es perpendicular a 𝑟: 3𝑥 − 4𝑦 + 10 = 0

47. Encuentra un punto en la recta −𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 que equidiste de los ejes de coordenadas.

48. Halla el punto de la recta 3𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0 que diste de 𝐴(−4,0)𝑦 𝑑𝑒 𝐵(0, −4) 49. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto (2,1) y forma con la recta

𝑦 = 2𝑥 − 1 un ángulo de 45 grados.

50. Calcula la distancia del punto 𝑃(1, −1) a cada una de las siguientes rectas: • (𝑥, 𝑦) = (1,3) + 𝑡(1, −3) • 𝑦 = 3𝑥 − 2 • 3𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 • 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 • .𝑥 = 2 + 7𝑡_{𝑦 = 3𝑡} • !%'_* =$"'₍

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52. Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección de las rectas 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑦 3𝑥 + 𝑦 = 2 formando un ángulo de 45 grados con la segunda de ellas.

53. Las rectas 2𝑥 + 3𝑦 − 3 = 0 𝑦 𝑎𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 forman un ángulo de

+

, 𝑟𝑎𝑑 ¿Cuánto vale a?

54. Dadas las rectas 𝑟: 3𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 𝑦 𝑠: 2𝑥 − 3𝑦 + 1 = 0, hallar: • El ángulo que forman

• Las ecuaciones de las bisectrices

55. La recta 𝑟: −7𝑥 + 10𝑦 − 1 = 0 es la bisectriz de un ángulo recta cuyo vértice 𝑉(−3, −2). Halla las ecuaciones de los lados del ángulo.

56.

• Dados los puntos 𝑀(−1,7)𝑦 𝑁(5,4), hallar un punto P en el segmento MN tal que la distancia de M a P sea la mitad de la distancia de P a N. • Sabiendo que 𝐴(2,4)𝑦 𝐶(6,0), hallar las coordenadas del punto B de

modo que 𝐴𝐵 ='₍𝐴𝐶 57.

• Halla los puntos que dividen al segmento de extremos 𝐴(−2,3)𝑦 𝐵(6,2) en tres partes iguales.

• Divide en 5 partes iguales el segmento que tiene por extremos 𝐴(−5,1) 𝑦 𝐵(5,6)

58. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la siguiente recta 𝑥 + 2

2 =

𝑦 − 2 2

59. Encuentra las coordenadas del punto simétrico de 𝐴(1,1) respecto a la recta 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0

60. Las coordenadas del punto medio del segmento AB son (2,1) . Calcula las coordenadas del punto A sabiendo que las coordenadas de 𝐵 𝑠𝑜𝑛 (1,2)

61. Encuentra la ecuación de la recta simétrica de r respecto de la recta s.

𝑟: 𝑦 =𝑥 − 4

3 ; 𝑠: 𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0

62. Calcula la recta simétrica de 𝑟: 3𝑥 − 𝑦 = 0 respecto de la simetría central con centro 𝑀(2, −1)

63. Calcula la recta simétrica de 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 respecto de la recta 𝑠: 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0

64. Decir que clase de triangulo es cada uno de los siguientes grupos de coordenadas:

• 𝐴(0,0), 𝐵(1,2), 𝐶(2,1) • 𝐴(10,4), 𝐵(3,6), 𝐶(2,5)

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• 𝐴(2,4), 𝐵(10,4), 𝐶(2,14)

65. Hallar las coordenadas de los tres vértices del triángulo ABC, sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: 𝑀(3,3), 𝑁(2,2)𝑦 𝑃(2,4) 66. Halla los vértices del triangulo cuyos lados están sobre las rectas 𝑟 , 𝑠 𝑦 𝑡 de

ecuaciones:

𝑟: 𝑥 = 1 𝑠: 𝑥 + 𝑦 = 2 5𝑥 + 𝑦 − 2 = 0

67. Sea el triangulo con los siguientes vértices 𝐴(5,1), 𝐵(−2,4), 𝐶(−1, −2). Calcular las longitudes de las tres medianas.

68. Sea el triangulo con los siguientes vértices 𝐴(1, −2), 𝐵(13,3), 𝐶(1,9). Calcular las ecuaciones de las tres alturas y determinar el ortocentro del triangulo. 69. Dado el triangulo que tiene los siguientes vértices 𝐴(2,2), 𝐵(9,7), 𝐶(11, −3)

calcular su circuncentro, baricentro y ortocentro.

70. Dado el triangulo que tiene los siguientes vértices 𝐴(−1, −1), 𝐵(7,5), 𝐶(2,7) calcular su circuncentro, baricentro y ortocentro.

71. Calcula el área limitada por la recta !_#+$_, = 1 el eje de abscisas y el eje de ordenadas.

72. Calcula el área del triangulo definido por las siguientes ecuaciones: • 3𝑥 + 𝑦 − 8 = 0

• 𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 • 5𝑥 − 3𝑦 + 10 = 0

73. Calcula el área del triangulo de vértices: • 𝐴(4, −7), 𝐵(6,3), 𝐶(−2,5)

74. Calcular la distancia del baricentro del triangulo a cada uno de sus lados, sabiendo que sus vértices son 𝐴(5,1), 𝐵(1,7)𝑦 𝐶(−1, −3)

75. Dos de los vértices del triangulo ABC son 𝐴(1,5)𝑦 𝐵(7,1).

• Calcular las coordenadas de C sabiendo que la recta 𝑥 − 4 = 0 es la mediatriz del segmento BC.

• Calcula la ecuación de la altura h que parte de C.

76. Determinar la ecuación de una recta de pendiente −3/2 que forma con los ejes un triangulo de área igual a 3. ¿Cuántas soluciones hay?

77. En un triangulo cuyos vértices son los puntos 𝐴(2,5), 𝐵(8,3)𝑦 𝐶(1, −2), calcula: • Baricentro

• Circuncentro • Ortocentro

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79. Un triángulo isósceles tiene por lado desigual el segmento que une los puntos 𝐴(3,2)𝑦 𝐵(4,7). El otro vértice está situado sobre la recta 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 . Halla las coordenadas de este vértice y el área del triángulo.

80. Los puntos 𝐴(2,4)𝑦 𝐵(5,2) son vértices de un triangulo rectángulo en A. El tercer vértice C esta situado sobre la recta 𝑟: 𝑥 + 𝑦 − 11 = 0 determinalo. 81. Dados los puntos 𝐴(5,4), 𝐵(7,3)𝑦 𝐶(3, −1) halla el punto D de modo que ABCD

sea un paralelogramo.

82. Un rombo tiene vértices A en el eje de abscisas. Otros dos vértices opuestos son 𝐵(3,1)𝑦 𝐷(−5, −3). Hallar A y C.

83. Dados los puntos 𝐴(2,1)𝑦 𝐵(4,3) determinar un punto C para que el triangulo ABC sea isósceles y su área sea 4.

84. En el triangulo ABC conocemos • El vértice 𝐴(−2,3)

• La ecuación de la altura que parte del vértice C: 7𝑥 − 2𝑦 − 11 = 0 • La ecuación del lado CB: 2𝑥 + 𝑦 − 11 = 0

Hallar los vértices B y C.

85. Comprobar que el cuadrilátero de vértices 𝐴(4,5), 𝐵(9,0), 𝐶(4,1), 𝐷(2,3) es un trapecio rectángulo y halla si área.

86. Los puntos 𝐴(6,3)𝑦 𝐵(8,1) son los vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. Sabiendo que el vértice C esta en la bisectriz del cuarto cuadrante, hallar los vértices C y D y el área del rectángulo.

87. Calcula el área del cuadrilátero de vértices 𝐴(6,4), 𝐵(3, −1), 𝐶(−3, −2)𝑦 𝐷(−2,2)

88. Un paralelogramo tiene un vértice en el punto 𝐴(7,5) y dos lados en las rectas 2𝑥 − 3𝑦 − 15 = 0 y 6𝑥 − 𝑦 − 21 = 0 . Halla los restantes vértices del paralelogramo y su área.

89. Un cuadrado tiene dos lados situados sobre las rectas 𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 y 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0. Calcula su área.

90. Calcula el área y el perímetro del cuadrilátero que forman las rectas 𝑟: 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0 𝑦 𝑠: 2𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0 con los ejes de coordenadas.

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