La hoja de SAGE que corresponde a la práctica puede obtenerse de:
http: // personal. us. es/ ebriand/ practica4. sws
En esta práctica estudiamos algunos aspectos del algoritmo de Euclides para hallar el Mcd de dos enteros.
Figura1: Euclides de Alejan-dria.
La división euclídea
En SAGE, el resto en la división deaporbconb >0 se obtiene con:a %b, y el cociente, cona//b. Por ejemplo:
341//23 14 341%23
19
En efecto, la división euclídea de 341 entre 23 es: 341=14×23+19. Podemos obtener el cociente y el resto de una división euclídea a
la vez, con el comandoquo_rem: Comoquotientyremainder.
(q,r)=341.quo_rem(23) print q,r
14 19
Ejercicio1. Calcular, primero a mano y luego comprobando con SAGE, el cociente y el resto en:
la división de−341 entre 23.
la división de 341 entre−23.
la división de−341 entre−23.
Lo que da SAGE, ¿ Corresponde bien a la definición de división euclídea en todos los casos ?
Algoritmo de Euclides
Recordamos en un ejemplo el funcionamiento del algoritmo de Euclides, que calcula el Mcd de dos enterosayb. Aquía = 1482, b=517 y se obtiene 1 como Mcd. 1483=2×517+449, por lo tanto Mcd(1483, 517) =Mcd(517, 449) 517=1×449+68, por lo tanto Mcd(517, 449) =Mcd(449, 68) 449=6×68+41, por lo tanto Mcd(449, 68) =Mcd(68, 41) 68=1×41+27, por lo tanto Mcd(68, 41) =Mcd(41, 27) 41=1×27+14, por lo tanto Mcd(41, 27) =Mcd(27, 14) 27=1×14+13, por lo tanto Mcd(27, 14) =Mcd(14, 13) 14=1×13+1, por lo tanto Mcd(14, 13) =Mcd(13, 1) 13=13×1+0, por lo tanto Mcd(13, 1) =Mcd(1, 0).
La función siguiente implementa el algoritmo de Euclides para ayb(se supone queb > 0) y además imprime la sucesión de los restos.
def euclides(a,b):
(penultimoResto,ultimoResto)=(a,b) while not (ultimoResto == 0):
print penultimoResto
(penultimoResto,ultimoResto)=(ultimoResto, penultimoResto % ultimoResto) return penultimoResto
Explicación: cada etapa del algoritmo de Euclides consiste en dividir el penultimo resto por el ultimo resto. Esto produce un nuevo resto. Luego se cambian los papeles:
El nuevo resto pasa a llamarse “ultimo resto”
y al mismo tiempo, lo que era el “ultimo resto” pasa a llamarse “penultimo resto”.
Ejercicio2. Utilizar esta funcióneuclidespara calcular los Mcd y
los mcm de los pares de enteros siguientes: El mcm deaybse deduce de su Mcd gracias a la relación: Mcd(a,b)× mcm(a,b) =a×b. 729 y 243. 729 y 512. 210+1 y 310+1 21000+1 y 31000+1.
Calcular también esta función los Mcd de dos enteros aleatorios de Ncifras paraN = 100, N = 1000,N = 10000 . . . hasta que el ordenador tarde un poco (digamos unos segundos). ¿ Es eficiente el algoritmo de Euclides ?
Para producir un entero entre pyqse utilizarandint(p,q). Para producir un entero de Ncifras (es decir entre 10Ny 10N+1) se utiliza por lo tantorandint(10^N,10^(N+1)).
Pares de números coprimos
Recordamos que dos enterosaybson coprimos si su Mcd vale 1. Si elegimos dos enteros aleatoriamente ¿ es muy probable que sean coprimos ?
Queremos evaluar la probabilidad que dos enteros sean copri-mos. Para esto, construimos Mpares de enteros(a,b)entre 1 yN (Mes el tamaño de la muestra,Nes el valor máximo de los en-teros), calculamos el Mcd de cada par(a,b)y contamos los Mcd iguales a 1. La proporción de pares coprimos de la muestra estima la proporción de pares de enteros inferiores o igual a Nque son coprimos.
N=100 ## valor maximo para a y b c=0 ## contador de pares coprimos M=10000 ## tamaño de la muestra for i in [1..M]: a=randint(1,N) b=randint(1,N) d=euclides(a,b) if d == 1: c=c+1
print float(c/M) ## proporción de pares coprimos
Ejercicio3. Ejecutar el bucle varias veces, con valoes más y más grandes deN. ¿ Se observa alguna tendencia ?
Jugamos al juego siguiente: elegimos dos grandes enteros aleato-riamente. Si son coprimos, pierdes un euro. Si no, ganas un euro. ¿ Jugarías unos cien partidos ?
El algoritmo de Euclides extendido
Recordamos en un ejemplo el algoritmo de Euclides extendido, que calcula el Mcd de dos enetrosayby al mismo tiempo una identidad de Bézout paraayb, es decir una descomposición de Mcd(a,b)de la formaxa+yb.
División Aislar el nuevo resto Sustituir Simplificar 1483=2×517+449 449=1483−2×517 =a−2b 517=1×449+68 68=517−449 =b−(a−2b) =−a+3b 449=6×68+41 41=449−6×68 = (a−2b)−6(3b−a) =7a−20b 68=1×41+27 27=68−41 = (3b−a)−(7a−20b) =−8a+23b 41=1×27+14 14=41−27 = (7a−20b)−(−8a+23b) =15a−43b 27=1×14+13 13=27−14 = (−8a+23b)−(15a−43b) =−23a+66b 14=1×13+1 1=14−13 = (15a−43b)−(−23a+66b) =38a−109b 13=13×1+0
La identidad de Bézout obtenida es: 1 = 38a−109b. A cada etapa del algoritmo se ha obtenido una descomposición del ultimo resto como combinación lineal de ayb. Las descomposisiones del ultimo resto y del penultimo resto sirven para calcular la descomposición del ultimo resto.
Ejercicio4. Programar el algoritmo de Euclides extendido, de ma-nera que devuelva, en vez de solamente el Mcd deayb, también los coeficientes xeyen la identidad de Bézout Mcd(a,b) =xa+yb.
Utilizar esta función para calular identidades de Bézout para los pares de enteros del ejercicio2.
Comprobar, en todas las identidades de Bézout obtenidas, que
|x|<|b|e|y|<|a|.
considerabamos un par:
(penultimoResto,ultimoResto)
que se modifica a cada paso. Aquí necesitaremos considerar una familia de 6 números:
(penultimoResto,penultimo_x, penultimo_y,ultimoResto, ultimo_x, ultimo_y)
que se modifica a cada paso, y tal que:
penultimoResto = penultimo_x ·a + penultimo_y ·b, ultimoResto = ultimo_x ·a + ultimo_y ·b
El teorema de Euclides (por si haz acabado todo lo anterior)
En teoría hemos demostrado que hay una infinidad de números primos (el “Teorema de Euclides”), produciendo una sucesión infi-nita de primos distintos. Esta sucesión es definida recursivamente por las condiciones siguientes:
p1=2
para cualquiern ≥ 2,pn es el menor factor primo del entero p1p2· · ·pn−1+1.
Este algoritmo esta implementado en SAGE por la función si-guiente: def DemoDeEuclides(N): res=[] producto=1 for i in [1..N]: n=producto+1
factores=n.prime_factors() # Lista de los divisores primos de n, en orden creciente
p=factores[0] # El primer elemento de esta lista. Es el menor divisor primo de n producto=producto*p
res.append(p) return res
Ejercicio5. Obtener los primeros números primos producidos de esta manera, hasta obtener por lo menos 2, 3, 5, 7 y 11. ¿ Vienen en orden ?
La criba de Eratostenes
Figura2: Eratóstenes. La función siguiente devuelve la lista de los números primos p
inferiores o igual a N, por medio del criba de Eratistenes. def criba(N):
L=[2..N] res=[]
while L<>[]:
p=L[0] ## seleccionamos el primer elemento
res.append(p) ## Lo ponemos en la lista-resultado for x in L:
if x%p == 0: ## quitamos de L todos sus multiplós L.remove(x)
return res
Ejercicio6. Utilizarla para contar los primos inferiores aN=100, N = 1000, y N = 10 000 (la longitud de una listaLse obtiene con len(L)). Comprobar en cada caso que una buena estimación de este número viene dada por N/ log(N), y que una aproximación aún mejor viene dado por:
Z N 2
1 log(t)dt
La integral del ejercicio se calcula de la manera siguiente con SAGE:
var('t')
numerical_integral(1/log(t),2,N)
La función devuelve dos números: el primero es una aproximación del valor del integral, el segundo es una cota del error.
