MATEMÁTICAS II SISTEMAS DE ECUACIONES

(1)

SISTEMAS DE ECUACIONES

1. Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales (en él, a, b y c son datos; las incógnitas son x,y,z      = + = + = + a cy bz b az cx c bx ay

Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución.

Madrid: Junio 96 Ordenamos el sistema para trabajar con mayor comodidad:

     = + = + = + a bz cy b az cx c ay bx

El determinante de su matriz de coeficientes vale: abc b c a c a b 2 0 0 0 − = = ∆ _{y como}a, b y c son no

nulos por hipótesis, _∆_≠0_{y en consecuencia el sistema tiene solución única, que encontraremos} por el método de Cramer.

= = b c a c a b b c a a b a c x 0 0 0 0 0 c b c b a 2 2 2 2 ₊ ₊ − ; = = b c a c a b b a a b c c b y 0 0 0 0 0 c a c b a 2 2 2 2 + − ; = = b c a c a b c c c b a b z 0 0 0 0 0 0 b a c b a 2 2 2 2 − +

2. Resuelve el siguiente sistema:

2 3 4 2 3 4 2 4 2 6 8 2 2 0 x y z v x y z v x y z v x z − + − = −   ₊ ₊ ₊ ₌   − + − = −   ₊ ₌  Madrid: septiembre 2008 Aplicando el método de Gauss:

1 ₋2 1 ₋3 ₋4 1 2 1 3 4 2 ₋4 2 ₋6 ₋8 2 0 2 0 0 → 1 ₋2 1 ₋3 ₋4 0 4 0 6 8 0 0 0 0 0 0 4 0 6 8 → 1 ₋2 1 ₋3 ₋4 0 4 0 6 8 2 2 2 F→F → 1 ₋2 1 ₋3 ₋4 0 2 0 3 4

( )

*

rang _A ₌rang _A ₌2 Sistema compatible indeterminado con

tantas soluciones como elementos tiene _ℝ2 El sistema propuesto es equivalente a:

(2)

2 3 4 2 4 3 2 3 4 2 4 3 z x y z v x y y v y α ν β α β β = = − + − = − − = − − +   → ⇒   + = = −   2 3 2 x y α β = −   = − 

(

)

(

3

)

(

)

(

)

(

) (

)

2 2 , , , , 2 , , 0, 2, 0, 0 1, 0,1, 0 0, 3 2 , 0,1 , x y z v = −α − β α β = +α − +β − ∀ α β ∈ℝ

3. Dado el sistema de ecuaciones:

3 2 3 2 3 5 x y x y k x y k − =   − =   − =  :

a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro k. b) Resolverlo cuando sea posible.

Madrid: prueba tipo 08_09

a) Como 1 1 0,

2 3

− ≠

− el rango de la matriz de coeficientes es 2 para cualquier valor de k. El sistema tiene solución si y sólo si rang

( )

_A* ₌2.

1 3 rang 2 3 2 2 3 5 k k −    ₋ _{= ⇔}    ₋    1 −1 3 2 ₋3 2k 3 ₋5 k = 0 ⇔ 3k −3 = 0 ⇔k = 1

• Si k=1⇒rang

( )

A =rang

( )

A* =2⇒Sistema compatible determinado • Si k≠1⇒rang

( )

A =2≠rang

( )

A* =3⇒Sistema incompatible

b) Para k₌1_{el sistema es equivalente a:}

{

3 7 4

2 3 2 x y x y x y − = ⇒ = ∧ = − =

4. Para cada valor del parámetro real k se considera el sistema de ecuaciones:

     = − = − = − 2 5 3 2 3 2 3 k y x k y x y x

a) Discutir el sistema según los valores de k.

b) Resolver el sistema en los casos que sea compatible.

Madrid: Prueba tipo 02-03

a) Como ≠ ⇒ − − 0 3 2 1 1

el rango de la matriz de coeficientes es 2, por lo que el sistema será

compatible si y solo si rang

( )

_A* =2⇔ = ⇔ − − − 0 5 3 2 3 2 3 1 1 2 k k −k2+4k−3=0⇔ k _{= ∨}1 k ₌3

( )

_{( )}

( )

_{( )}

* *

1 3 rang 2 rang 3 Sistema incompatible

1 3 rang rang 2 Sistema compatible determinado

k k A A k k A A  ≠ ∧ ≠ ⇒ = ≠ = ⇒   = ∨ = ⇒ = = ⇒ 

(3)

b) En cualquiera de los dos casos en los que el sistema es compatible, se puede prescindir de la tercera ecuación y resolver con las dos primeras. Aplicamos el método de Gauss y después particularizamos para cada valor de k.

2 2 1 1 1 3 1 1 3 9 2 2 3 2 0 1 2 6 6 2 F F x k k k y k − − − = −      → _{⇒ }  ₋   ₋ ₋  _{= −}      1 7 4 k= ⇒x= ∧ y= y k =3⇒x=3 ∧ y=0

NOTA: También podríamos haber resuelto por separado, sustituyendo k por 1 y después por 3.

5. Dado el sistema: 2 1 3 3 2 7 x y x y a x ay + =   + = −  − + =  , se pide:

a) Discutirlo para los diferentes valores del parámetro a. b) Resolverlo cuando sea compatible.

Prueba tipo 2011_12 a) 1 2 0 rang

( )

2 . 3 1 A a ≠ ⇒ = ∀ _rang

( )

A* _{depende de} 2 1 2 1 3 1 2 12 32 3 2 7 a a a a ∆ = − = + − − 0 a 2 a 8. ∆ = ⇔ = ∨ = −

• Si a=2∨a= −8⇒rang

( )

A =rang

( )

A* =2. Sistema compatible determinado. • Si a≠2∧a≠ −8⇒rang

( )

A =2≠rang

( )

A* =3. Sistema incompatible.

b) El sistema es compatible si a₌2_∨a_{= −}8, en cuyo caso una de las ecuaciones, por ejemplo la

tercera, es combinación lineal de las otras dos, por lo que basta resolver: 2 1 1 2 3 2 1 x y x a x y y + = = −  = →_ ⇒ + = − =  2 1 3 8 3 8 1 x y x a x y y + = =  = →_ ⇒ + = = −  6. Dado el sistema 2 2 4 3 2 x y x y x y λ λ − =   − =   − =  , se pide:

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ_.

b) Resolver el sistema cuando sea posible.

Madrid: Junio de 2009

a)

2 ₋1 3 ₋1 =

1 _≠ 0⇒_rang

( )

_A =₂∀λ_{La compatibilidad del sistema depende de:}

|A∗_| ₌ 2 ₋1 λ λ −2 4 3 −1 2 = 8λ−λ2 −12 * ₀ ₂ ₆ A = ⇔λ= ∨λ=

(4)

• λ =2∨λ =6⇒rang

( )

A =rang

( )

A* =2 El sistema es compatible determinado • λ ≠2∧λ≠6⇒rang

( )

A =2≠rang

( )

A* =3. Sistema incompatible

b) Se comprueba que para λ ₌2_{la solución es}_x₌0_∧_y_{= −}2_{y para}λ₌6 :_x_{= − ∧}₄ _y_{= −}₁₄_.

7. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

{

2

1 x ay

ax y a

− =

− = + , se pide:

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo cuando la solución sea

única.

b) Determinar para que valor o valores de a el sistema tiene una solución en la que _y₌2.

Madrid: Junio 2008 a) Δ = 1 − a a ₋1 = a2 ₋1; Δ = 0 _ a = 1 a = ₋1

Caso 1: a_{≠ ∧}1 a_{≠ −}1. Sistema compatible determinado, siendo la solución:

(

)(

)

(

)(

)

2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 a a a a a a a x x a a a a a − + − + − + − + = = = ⇔ = − − + − +

(

)(

)

2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a y y a a a a a + − + − + − = = = ⇔ = − − + − + Caso 2: a₌1

{

2 2 x y x y − = − =

Sistema compatible indeterminado.

Caso 3: a_{= −}1

{

2 0 x y x y + = − − = Sistema incompatible. b) y=₂⇒

{

2 2 2 2 2 1 x a x a ax a ⇒ = + − = ⇒ − = +

(

)

{

2 1 2 2 2 1 2 3 0 3 2 a a a a a a a = + − = + ⇒ + − = ⇒ = −

Para a₌1 o a_{= −}3 2 el sistema tiene una solución en la que _y₌2. A esta misma conclusión

llegamos razonando de la siguiente forma:

o Si a₌1 el sistema es compatible indeterminado, siendo sus soluciones las de la ecuación 2,

x₋y₌ una de las cuales es x₌0 e y₌2.

o Si a_{= −}1 el sistema es incompatible, por lo que no tiene solución, en particular no puede

haber una en la que y=₂.

o En cualquier otro caso el sistema es compatible determinado, siendo: 1 1 y a − = + :

(5)

1 2 3 2 1 a a − = ⇒ = − +

0 0 0 mx y x my mx my + =   + =   ₊ ₌ 

a) Discutirlo según los valores de m_.

b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado

Madrid, prueba tipo 2014-15

a) Por ser un sistema homogéneo, es compatible ∀ ∈m ℝ. El número de soluciones depende del

rango de la matriz de coeficientes, que a su vez depende de los determinantes:

2 1 1 1 1 m m m ∆ = = − y 2 2 1 m m m m m ∆ = = − 1 0 m 1 m 1 ∆ = ⇔ = ∨ = − 2 0 m 1 m 0 ∆ = ⇔ = ∨ =

( )

rang _A =1⇔ 1 0 2 0 m 1.

∆ = ∧ ∆ = ⇔ = _Param_≠₁ es rang

( )

A ₌2, pues al menos unos de los

menores anteriores es no nulo.

( )

_{( )}

( )

_{( )}

* *

1 rang rang 1 sistema compatible indeterminado

1 rang rang 2 sistema compatible determinado. Solución trivial

m A A m A A  = ⇒ = = ⇒   ≠ ⇒ = = ⇒ 

b) Es compatible indeterminado para m₌1, siendo el sistema equivalente a:

(

) (

)

(

)

(

)

0 x , , , 1, 1 x+y= =λ→ x y = λ −λ ⇔ x y =λ − ∀λ∈ℝ 9. Sea la matriz _      − − = 2 1 3 2

A . Para cada número real λ_{definimos la matriz}_B ₌ _A₋λ_I_{, donde} I_{es la matriz identidad}₂_×₂_.

a) Hallar los valores de λ_{que hacen que el determinante de}B_{sea nulo.}

b) Resolver el sistema _      =       0 0 y x

B para los diferentes valores de λ_.

a) _=      −       − − = 1 0 0 1 2 1 3 2 λ B ⇒      − − − − λ λ 2 1 3 2 1 2 1 3 2 ₂ − = − − − − = λ λ λ

B , que se anula para

1 y 1 ₌₋ = λ λ

b) Para λ ≠1 y λ ≠ −1 se trata de un sistema compatible determinado, que al ser homogéneo, su única solución es la trivial: _x₌ _y₌0

Para λ =1 el sistema es compatible indeterminado, con tantas soluciones como ℜ. Tomando

como ecuación principal: _x−3_y=0 →y=α (_x,_y)=

(

3α,α

)

∀α∈ℜ

Para λ =−1 el sistema es compatible indeterminado, con tantas soluciones como ℜ.

(6)

10. a) Resolver el sistema de ecuaciones: 2 3 1 2 2 x y z x y z + + =   + − = 

b) Hallar las constantes α y β de manera que al añadir al sistema anterior una tercera

ecuación 5x+y+αz=β, el sistema resultante sea compatible indeterminado.

Madrid: junio de 2005

a) Se comprueba que el sistema es compatible indeterminado, cuya solución es:

(

x y z, ,

) (

= 1 5 3 , 7 3 ,+ λ − λ λ

)

b) 2 3 1 2 2 5 x y z x y z x y αz β + + =   + − =   _{+ +} ₌ 

Sigue siendo compatible indeterminado si rang

( )

_A ₌rang

( )

_A* ₌2

cosa que ocurre si:

1 2 3 2 1 −1 5 1 α = 0 ⇔ −3α−18 = 0  α = −6 ∧ 1 2 1 2 1 2 5 1 _β = 0 ⇔ 15−3β = 0  β= 5

Las constantes buscadas son: _α _{= −}6 _∧ _β ₌5

Por Gauss 1 2 3 1 2 1 ₋1 2 5 1 _α _β → 1 2 3 1 0 ₋3 ₋7 0 0 −9 α−15 β−5 → 1 2 3 1 0 ₋3 ₋7 0 0 −9 α−15 β−5 → 1 2 3 1 0 ₋3 ₋7 0 0 0 _α+6 β −5

Para que el sistema sea compatible indeterminado tiene que ser

( )

_{( )}

*

rang A =rang A , cosa que

ocurre si la última fila se anula:

6 0 6 5 0 5

α+ = ⇒ α = − ∧β − = ⇒ β =

2 3 3 2 3 5 x y z x y z + − =   + + =  , se pide:

a) Calcular a_yb_{de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma}_ax₊_y₊_bz₌₁

el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el sistema original.

b) Calcular las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea igual a 4.

Madrid: septiembre de 2007

a) El sistema original es compatible indeterminado, pues rang

( )

_A ₌rang

( )

_A* ₌2. Para que esto se mantenga al ampliarlo con una nueva ecuación:

2 3 3 2 3 5 1 x y z x y z ax y bz + − =   + + =   _{+ +} ₌ 

, los dos determinantes deben ser nulos:

(7)

1 2 3 2 3 5 a 1 1 = 0  a = 0 2 ₋3 3 3 1 5 1 b 1 = 0 b = −7

b) Las soluciones pedidas en el segundo apartado son las del sistema:

x+2_y₋3_z = 3 2x+3y+_z = 5 x+_y+_z = 4 x = 25 3 ,y = − 11 3 ,z = − 2 3

12. Se considera el sistema S_{y el determinante}D_:

     = + = + = + 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a c y b x a S 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a b c D a b c a b c =

a) Si S_{es compatible, ¿se verifica entonces que}_D₌0_?

b) Si _D₌0_{, ¿se verifica entonces que}S_{es compatible?}

Madrid: prueba tipo curso 98-99

Las matrices de coeficientes y ampliada del sistema son, respectivamente:

          = 3 3 2 2 1 1 b a b a b a A _y 1 1 1 * 2 2 2 3 3 3 a b c A a b c a b c     =      

a) La primera afirmación es cierta, pues si el sistema es compatible, comorang( )_A ≤2, para que

( )

*

rang A =rang A , necesariamente tiene que ser D ₌0.

b) La segunda no es cierta, puesD= ⇒0 rang(A*)≤2_{. Es fácil encontrar un ejemplo en el que sea}

( )

* rang A =2 y r(A)₌1 1 1 0 x y x y x y + =   + =   + = 

13. Discutir según los valores de m_{el sistema:}

3 2 5 8 9 3. 2 3 1 x y z m x y z x y z − + =   − + =   ₊ ₋ _{= −}  Madrid: septiembre 97 Método de Gauss

(8)

( )

rang A _{= ∀}2 m,_rang

( )

* 2 si 1 3 3 si 1 3 m A m =  =  ≠ 

( )

_{( )}

* 1 3 rang rang m A A

• = ⇒ = Si Sistema compatible indeterminado con tantas

soluciones como elementos tiene _ℝ.

( )

_{( )}

* 1 3 rang 2 rang 3 m A A • ≠ ⇒ = ≠ = _{Sistema incompatible} Utilizando determinantes Como ≠ ⇒ − − 0 8 5 2 3

( )

A ≥2

r . Por otra parte, 0

3 1 2 9 8 5 1 2 3 = − − −

, por lo que definitivamente el rango de A_{es 2. El sistema será compatible si el rango de la matriz ampliada también es 2, y esto}

depende exclusivamente del determinante:

7 21 1 1 2 3 8 5 2 3 − = − − − m m

Resumiendo: Si 1 3 el sistema es compatibe determinado

Si 1 3 el sistema es compatible indetermindo m m ≠   = 

2 2 2 2 1 x ky k z x ky kz k x ky k z k  + + =  + − =  − + − = 

a) Discutirlo según los distintos valores de k_.

b) Resolverlo para k_{= −}1

Madrid: prueba tipo 2006_07 Método de Gauss: 1 k k2 ₁ 1 k ₋k k2 −1 k −k2 k2 → 1 k k2 1 0 0 ₋k2 −k k2−1 0 2k 0 k2+1 2 3 F↔F → 1 k k2 1 0 2k 0 k2+1 0 0 ₋k2 −k k2−1

( )

rang A _{≥ ∀}1 k_{, el valor definitivo del rango depende de lo que ocurra con las dos últimas filas.}

La última fila se anula para k₌0_∨k_{= −}1_{, mientras que la segunda se anula para}k₌0_{, por lo que}

( )

3 si 0 1 rang 2 si 1 1 si 0 k k A k k ≠ ∧ ≠ −   =_ = −  ₌  0 1

(9)

0 k= ⇒ A₌ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ₋1 → 1 0 0 1 0 0 0 1

( )

* rang _A = ≠1 rang _A =2 Sistema incompatible 1 k= − ⇒ A ₌ 1 −1 1 1 0 −2 0 2 0 0 0 0 → 1 ₋1 1 1 0 −2 0 2

( )

_{( )}

* rang _A =rang _A =2 Sistema compatible indeterminado,

tantas soluciones como elementos de _ℝ b) Si k_{= −}1_{, el sistema es equivalente a} 2 2 z x y z y α = − + =  →  − = 

(

x y z, ,

) (

1 , 1,

)

α α α = − − − ∀ ∈ℝ

Método de los menores: A = 1 k k2 1 k ₋k −1 k −k2  detA= 2k2+2k3 det

( )

0

{

0 1 k A k = = ⇒ = − 0 1 k_≠ _∧k _{≠ −} _rang

_{( )}

_rang

( )

* ₃

A = A = Sistema compatible determinado.

0 k ₌ A= 1 0 0 1 0 0 −1 0 0 , M= 1 0 0 1 1 0 0 0 −1 0 0 0 * A =

( )

* rang _A = ≠1 rang _A =2 Sistema incompatible 1 k _{= −} _A₌ 1 ₋1 1 1 ₋1 1 −1 −1 −1 , _M₌ 1 ₋1 1 1 1 ₋1 1 1 −1 −1 −1 1 * A =

( )

_{( )}

* rang _A =rang _A =2 Sistema compatible indeterminado

Tomando como menor de orden 2 no nulo: 1 1

1 1 −

− − , tenemos como ecuaciones principales:

(

) (

)

1 1 , , 2 , 1, 1 1 z x y z x y z x y z x y z x y z α α α α = − + = − + =   → ⇒ = − − ∀ ∈   − − − = − − − =   ℝ

(

)

5 2 1 0 2 3 x y mz x y m z x y z + − =   − + + =   + − =  , se pide: a) Discutirlo según los valores del parámetro m.

b) Resolverlo cuando sea posible.

c) Encontrar todas las soluciones de la forma

(

x,1,z

)

.

Madrid junio de 2011 a) Por Gauss 1 1 −m 5 2 −1 m+1 0 1 2 −1 3 → 1 2 −1 3 2 −1 m+1 0 1 1 −m 5 → 1 2 ₋1 3 0 ₋5 m+3 ₋6 0 ₋1 1₋m 2 → 1 2 −1 3 0 −1 1−m 2 0 −5 m+3 −6 →

(10)

→ 1 2 ₋1 3 0 ₋1 1₋m 2 0 0 6m −2 −16

( )

2 si 1 3 rang 3 si 1 3 m A m =  =  ≠ 

( )

* rang A _{= ∀}3 m Utilizando determinantes

( )

1 1 0 rang 2 . 2 −1 ≠ ⇒ A ≥ ∀ ∈m ℝ 1 1 ₋m 2 ₋1 m+1 1 2 ₋1 = 2₋6m ⇒

( )

2 si 1 3 rang 3 si 1 3 m A m =  =  ≠  1 1 5 2 ₋1 0 1 2 3 = 16 ⇒ ⇒rang

( )

A* = ∀3 m∈ℝ

si 1 3 sistema compatible determinado si 1 3 sistema incompatible m m ≠   = 

b) El sistema tiene solución si m_≠1 3, siendo en ese caso: 5 1 0 1 1 3 2 1 5 1 2 6 3 1 m m m x m m − − + − + = = − − 1 5 2 0 1 1 3 1 2 6 2 6 3 1 m m m y m m − − + − − = = − − 1 1 5 1 1 0 1 2 3 8 2 6 3 1 z m m − − = = − −

c) Para que la solución sea del tipo

(

x,1,z

)

, debe verificarse

4 12 1 1 6 2 m y m − = ⇔ = ⇒ − 5 m_{= −} , siendo en ese caso 10 2 3 6 2 2 m x m + = = − y 16 1 6 2 2 z m − = = − .

La única solución de la forma

(

x,1,z

)

es

(

3 2 ,1,1 2

)

y se da cuando m_{= −}5

16. Se considera el sistema de ecuaciones lineales

          =           − − +                 − − 6 0 3 2 1 3 3 5 1 1 1 z y x m

a) Discutirlo según los valores de m

b) Resolverlo para el caso m=2

(11)

La relación dada se convierte en un sistema de ecuaciones lineales al hacer las operaciones entre matrices: ⇔           =           − − +                 − − 6 0 3 2 1 3 3 5 1 1 1 z y x m ⇔           =           − − +           − − + 6 0 3 2 3 3 5 _z z z y x y x y mx      = − − = − − = + + 6 2 3 5 0 3 3 z y x z y x z y mx

La matriz de coeficientes es:

          − − − − = 2 3 5 1 1 1 3 1 m

A _{, cuyo determinante vale:} A ₌₃₋m_.

Se pueden presentar dos casos:

3 ≠

m ⇒ A ≠0⇒ rang( )A ₌rang(A*)₌3 sistema compatible determinado 3 = m rang( )_A ₌2 y como 18 0 6 3 5 0 1 1 3 1 3 ≠ − = −

− , rang(A*)=3 sistema incompatible. Para m=2 es un sistema de Cramer con A ₌3₋2₌1:

     = − − = − − = + + 6 2 3 5 0 3 3 2 z y x z y x z y x

Y sus soluciones son:

9 2 3 6 1 1 0 3 1 3 = − − − − = A x _; 21 2 6 5 1 0 2 3 3 2 = − − = A y ; 12 5 3 5 0 1 2 3 1 2 − = − − = A z

17. Se considera el sistema de ecuaciones:

     = + + = − = + + 1 1 z y x y x z y x λ λ λ

a) Discutir su compatibilidad en función del parámetro λ_.

b) Hallar, cuando existan, sus soluciones.

Como en la matriz de coeficientes

          − = 1 1 0 1 1 1 1 λ λ A es 0 0 1 1 1 ≠

− , rang( )A ≥2. Este rango podría ser tres, dependiendo de A .

Se comprueba que − = ∀λ∈ℜ λ λ 0 1 1 0 1 1 1 1

(12)

El sistema será compatible cuando el rango de la matriz ampliada también sea 2, es decir cuando 0 1 1 0 1 1 1 1 2 = − = − λ λ λ

λ _{, o lo que es lo mismo, cuando}λ ₌0 o λ ₌1

0 = λ

*

rang( )_A =rang(_A )=2⇒sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como ℝ

Como 1 0 0 1 1 1 ≠ =

− , tomamos como ecuaciones principales las dos primeras e

y, z como incógnitas principales.  →     = − = + =α x y x z y 0 1 α α α − = = = 1 z y x 1 = λ *

rang( )_A =rang(_A )=2⇒sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como ℝ

Seguimos tomando como ecuaciones principales las dos primeras e y, z como incógnitas principales.  →     = − = + + =α x y x z y x 1 1 α α α 2 2 1 − = + − = = z y x

18. Discutir el sistema según los valores del parámetro a.

     − = + + = + + = + + 2 6 2 2 4 2 0 6 2 a z ay x z ay x z y ax Resolverlo para a₌2. Madrid, junio 99 ⇒ ≠0 6 2 4 2 rang( )_A ≥2∀a. 2 8 6 2 4 2 6 2 2₋ = a a a a ; A =0⇒ a ₌₋2 o a ₌2 Si a_≠ 2 y a_≠ ₋2 ⇒ ≠0

A rang( )_A =rang(_A*)=3⇒Sistema compatible determinado:

Si a₌₋2 2 2 6 2 2 4 2 2 6 A −     → =_ − _  ₋    y * 2 2 6 0 2 2 4 2 2 2 6 4 A −     =_ − _  ₋ ₋   

En este caso observamos que en ambas matrices es C₂ ₌₋C₁_{, por lo que prescindimos de una de}

(13)

128 4 6 2 2 4 2 0 6 2 = − −

por lo que r(M)=3 y en consecuencia el sistema es incompatible.

Si a=2 2 2 6 2 2 4 2 2 6 A     → _{= } _     y * 2 2 6 0 2 2 4 2 2 2 6 0 A     =      

En este caso es rang( )_A =2 y el de _A*_{depende del determinante:}

0 6 2 2 4 2 0 6 2

, que es nulo, pues son iguales la primera y tercera fila, por lo que rang(_A*)₌2

El sistema es compatible indeterminado con tanta soluciones como elementos tieneℝ.

0 4 2

6 2

≠ , tomamos como incógnitas principales y, z y como no principal x₌α. Las ecuaciones

principales serán entonces las dos primeras:

⇔    − = + − = + α α 2 2 4 2 2 6 2 z y z y ⇒    − = + − = + α α 1 2 3 z y z y ⇒    + − = − − − = + α α 1 2 3 z y z y α − = − = 3 1 y z .

Es decir, las soluciones son las ternas de la forma:

(

_x,_y,_z

) (

= α,3−α,−1

)

=

(

0,3,₋1

)

₊α

(

1,₋1,0

)

19. Dado el sistema      = + − = − + = + + − λ λ λ λ λ z y x z y x z y x 2 2 2 2

a) Discutirlo según los valores de λ.

b) Resolverlo para λ =−1

c) Resolverlo para λ =2

a) ≠ ⇒ − − 0 1 2 2 1 λ ∀ ≥2 ) (A r _{y como} 3 2 6 3 3

(

1

)

2 2 1 1 2 2 1 + − = − − − = − − − λ λ λ λ λ λ , resulta: 1 − = λ           − − − − − − = 2 1 1 1 1 2 2 1 1 A y * 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 A − − −     =_ − − _ ₋ ₋ ₋   

rang( )_A ₌rang(_A*)₌2 Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como ℝ

1

− ≠

λ _{rang( )} _rang( *₎ ₃

(14)

b) λ =−1 Es evidente que en este caso la primera y la tercera ecuación son iguales, por lo que

prescindimos de una de ellas. Aplicando Gauss:

→        − − − − − 2 1 1 2 1 2 1 1 ⋮ ⋮ _⇒       − − − − 0 3 3 0 1 2 1 1 ⋮ ⋮ α α α = = + = z y x 1

c) Para λ =2, comoλ ≠−1, el sistema es compatible determinado.

Resolviendo para λ =2 resulta: x=2 3, y =2 3, z= 23

20. Discutir el sistema según los valores del parámetro a y resolverlo cuando sea posible.

(

)

     + = + + = + + = + + + 2 3 3 2 1 a z y ax a y ax a z y x a Madrid, septiembre 99 ⇒ ≠0 1 3 0 1 a A r₍ ₎_≥₂_∀ _{y como} 1 1 3 0 1 1 2 1 + = + a a a a

, hay que distinguir dos casos:

1 − ≠

a Se trata de un sistema de Cramer, siendo sus soluciones:

1 1 1 3 2 0 1 1 2 3 = + + + = a a a a x , 0 1 1 2 0 1 3 1 = + + + + = a a a a a a a y , 2 1 2 3 1 3 2 1 = + + + + = a a a a a a a z 1 − = a En este caso:           − − = 1 3 1 0 1 1 1 2 0 A y * 0 2 1 2 1 1 0 1 1 3 1 1 A     = −_ − _ ₋   

Ya sabemos querang( )_A =2 y para encontrar el de A* sólo hay comprobar que: 0 1 1 3 1 0 1 2 1 2 = − ,

por lo que _{rang( )} _rang( *₎ ₂

A = A = ⇒ Sistema compatible indeterminado, con tantas soluciones

como elementos tiene ℜ_.

(

)

     + = + + = + + = + + + 2 3 3 2 1 a z y ax a y ax a z y x a 1 2 2 1 3 1 a y z x y x y z =− + =   → − +_ = − − + + =  0 2 0 1 1 ≠

− determina las ecuaciones e incógnitas principales

2 2 1 z y z x y α = + =  →  − + = −  1 2 2 2 x y z α α α α = = − ∀ ∈ = − ℝ

(15)

21. Consideramos el sistema de ecuaciones:

(

)

(

1

)

0 1 1 = − − + = + + − = + z y x z y x z y λ λ λ

a) Discutir según los valores del parámetro λ

b) Resolver para λ ₌0. c) Resolver para λ ₌3. Madrid: septiembre de 2000 a) = − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 λ λ A − = 0 1 0 0 1 1 1 0 λ λ λ⋅

(

λ−1

)

⇒      = = ⇔ = 1 o 0 0 λ λ A

Si λ ≠0 y λ ≠1 rango(A)=rango(M)=3⇒ sistema compatible determinado

Si λ ₌0_:           − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 0 A y           − − − = 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 M

En este caso es inmediato comprobar que rango(A)₌rango(M)₌2, porque en ambas es

2 3 F

F =− , por lo que es un sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como

elementos tiene ℜ_. Si λ =1:           − = 1 0 1 1 1 0 1 1 0 A y           − = 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 M

En este caso rango(A)=2 con 0

0 1

1 0

≠ . También rango(M)=2, pues F1 = F2 . También

ahora se trata de un sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene ℜ_.

b) Vimos en el apartado anterior que para λ ₌0_{tenemos un sistema compatible indeterminado, y}

observando la matriz M_{, equivalente a:}   →  = + = − − =α z z y z y x 1 0

(

_x,_y,_z

) (

= 1,1−α,α

) (

= 1,1,0

)

+α

(

0,−1,1

)

∀α∈ℜ

c) También por el apartado anterior sabemos que para λ ₌3_{el sistema es compatible determinado:}

⇒ = − + = + + = + 0 2 3 2 1 z y x z y x z y 1 0 1 = = = z y x

(16)

22. a) Discutir en función del parámetro k_{y resolver el sistema.}      = + − = − = + + 0 0 2 0 5 1 z y x ky x z y x S

b) Discutir en función de λ_{y resolver cuando sea posible.}

       = + + = + − = − = + + λ λ_z y x z y x y x z y x S 2 2 0 0 3 2 0 5 2 Madrid: septiembre 2000

a) El sistema es homogéneo, por lo que siempre tiene solución, el número de éstas depende de:

12 4 1 1 1 0 2 5 1 1 − = − − = ∆ k k

Si k _≠3_{, el sistema es compatible determinado, cuya única solución es la trivial}_x₌ _y ₌ _z ₌₀_.

Si k ₌3_{el sistema es compatible determinado con}ran₍A₎₌ran₍M₎₌₂_.

Tomando como ecuaciones principales la primera y tercera: ⇒ − = − − = + α α y x y x 5 α α α = − = − = z y x 2 3

b) Si comparamos este sistema con el anterior, vemos que las tres primeras ecuaciones de este segundo, es el caso anterior con k ₌3_{, es decir, precisamente el caso en el que una de las}

ecuaciones era combinación lineal de las demás, por lo que podemos prescindir de una de ellas. Prescindimos de la segunda.      = + + = + − = + + λ λ_z y x z y x z y x 2 2 0 0 5 λ λ 4 14 2 2 1 1 1 1 5 1 1 − = −

Si λ _≠7 2_{el sistema es compatible determinado, siendo su solución:}

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 2 7 4 14 2 1 0 1 1 0 1 1 , 2 7 2 4 14 2 1 1 0 1 5 0 1 , 2 7 3 4 14 2 2 1 1 0 5 1 0 − − = − − = − = − = − = − − = y z x

(17)

23. Dado el sistema:      = + − = + + = − 1 0 2 2 az y x z y ax y x

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro a

b) Resolver el sistema para a=−1

c) Resolver el sistema para a₌2

Madrid: Junio 2002 a)    →            − − ↔ 2 1 1 1 1 0 2 1 2 0 1 1 C C a a z y x ⋮ ⋮ ⋮ →            − − 1 1 1 0 2 1 2 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ a a z x y           − + − 1 0 0 2 2 1 0 2 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ a a z x y

Para a₌0 r(A)=2≠ r(A+)=3⇒ Sistema incompatible.

Para a= −1 las dos últimas filas son proporcionales: r(A)=2=r(A+)⇒ Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como ℜ

Para a≠0 y a ≠−1 r(A)=(A+)=3⇒ Sistema compatible determinado.

b) Para a=−1 el sistema dado es equivalente a:   →     = = + − =α y z x y 1 2 1 2 = = + = z y x α α ⇔

(

_x,_y,_z

) (

= 2,0,1

)

+α⋅

(

1,1,0

)

∀α∈ℜ c) Para a₌2_{es equivalente a:} ⇒      − = = + = + − 1 2 2 2 3 2 z z x x y 2 1 1 1 − = − = = z y x

(

2

)

(

1

)

3 2 1 m x m y z mx y z x my z + + − − =   − + =   ₊ ₋ ₌ 

a) Discutirlo para los distintos valores de m

b) Resolverlo para m₌1 Madrid: junio de 2003 a) 2 1 1 3 1 1 2 1 1 1 m m m m + − −    ₋     ₋    2 1 1 1 1 1 1 m m m m + − − − − 2 2 1 3 3 1 F F F F→→F−+F  → 2 1 1 2 2 2 0 1 1 0 m m m m m + − − + − − − 2 A m m ⇒ = − − 0 y 1

(18)

0 m₌ rango( )A ₌2 y como 2 1 3 0 1 2 1 1 0 1 −

− = − _rango(_A*₎₌₃_{sistema incompatible}

b) Para m₌1, según el apartado anterior, el sistema es compatible determinado, resultando:

3 0 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 x y z −        ₋   _⋅ ₌         ₋            3 2 3 2 1 x y z =   ⇒_ =  = 

(

)

(

)

(

)

1 3 1 3 2 1 2 2 4 m x y z mx m y z m x y m z − + + =   + − + = −   + + − = 

a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro m_.

b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.

Madrid: junio de 2005 1 1 1 1 3 1 2 2 m A m m m −     =_ − _  ₋    ⇒ _A _m3 ₅_m2 ₂_m ₈ ₍_m ₁₎₍_m ₂₎₍_m ₄₎ = − + + = + − − 1 2 4

m≠ − ∧m≠ ∧m≠ rang

( )

A =rang

( )

A* =3⇒sistema compatible determinado.

1 m_{= −} 2 1 1 1 2 3 1 2 3 A −     = −_ − _  ₋    2 1 1 3 * 1 2 3 3 1 2 3 4 A −     = −_ − − _  ₋   

( )

_{( )}

* rang _A =2≠rang _A =3. Sistema incompatible. 2 m₌ 1 1 1 2 1 3 1 2 0 A     =       1 1 1 3 * 2 1 3 3 1 2 0 4 A     =      

( )

_{( )}

* rang _A =2≠rang _A =3. Sistema incompatible. 4 m₌ 3 1 1 4 3 3 1 2 2 A     =       3 1 1 3 * 4 3 3 7 1 2 2 4 A     =      

( )

_{( )}

* rang _A =rang _A =2. Sistema compatible indeterminado 3 3 2 2 4 z x y z x y z α = + + = ⇒ + + = 3 3 2 4 2 x y x y α α + = − ⇒ + = − 3 3 5 9 5 3 6 12 6 x y y x y α α α + = − ⇒ − = − + ⇒ − − = − + 9 5 2 5 y x α = −   =  Solución: 2 5 9 5 x y z α α =   = −   = 

(19)

(

)

(

)

1 2 1 , 1 2 1 x k y z kx y z k k x y z k + + + = −   + + =   ₋ ₋ _{− = +}  se pide: a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro k_.

b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.

Madrid: septiembre de 2007 Sea 1 1 2 1 1 1 2 1 k A k k +     =    ₋ ₋ ₋    , como 1 1 1 0 rang

( )

2 2 1 A λ = ≠ ⇒ ≥ ∀ ∈ − − ℝ. |A_| = 1 k+1 2 k ₁ ₁ k ₋₁ ₋₂ ₋₁ = 2k2 ₋5k +2 A =0⇒λ=1 2∨ λ=2 Caso I λ _≠1 2_∧ λ_≠2

( )

_{( )}

*

rang _A ₌rang _A ₌3. Sistema compatible determinado

Caso II λ₌_{1 2} A = 1 32 2 1 2 1 1 − 1 2 −2 −1 A∗ = 1 32 2 −1 1 2 1 1 1 2 − 1 2 −2 −1 3 2

( )

_{( )}

* rang _A =2≠rang _A =3 Sistema incompatible Caso III λ₌2 A = 1 3 2 2 1 1 1 ₋2 ₋1 A∗ = 1 3 2 ₋1 2 1 1 2 1 ₋2 ₋1 3

( )

_{( )}

* rang _A ₌rang _A ₌2

Sistema compatible indeterminado, con tantas soluciones como elementos

tiene _ℝ 27. Dado el sistema: 4 4 2 2 4 4 9 x y z x y x x y z λ λ λ λ λ λ λ λ + + =   + − =   + + =  , se pide:

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro λ_.

b) Resolver el sistema para λ _{= −}1

Madrid: Junio de 2009 |A| = 4 4λ ₂ λ ₁ ₋λ 4λ ₄λ λ = λ 4 4λ ₂ λ ₁ ₋λ 4 4 1 = λ24λ−4−20λ2 0 0 1 1 5 A λ λ λ =   = ⇒_ =  = 

(20)

a) Si λ_≠0_∧λ_{≠ − ∧}1 λ _≠1 5 _rang

( )

_A =_rang

( )

_A* =₃⇒ sistema compatible determinado.

Se comprueba que tanto para λ₌0_∨λ_{= − ∨}1 λ₌1 5_es _rang

( )

_A =₂≠_rang

( )

_A* =₃⇒ sistema

incompatible.

b) Para λ _{= −}1_{sabemos que el sistema es compatible determinado. Por Gauss:}

4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 2 2 4 4 1 9 4 4 1 9 − − − −     ₋ ₋ __→ ₋ ₋ __→     ₋ ₋ ₋  ₋ ₋ ₋      1 1 1 1 0 0 6 6 0 8 5 13 − −    ₋     ₋ ₋    . El sistema es equivalente a: 1 1 8 5 13 1 6 6 1 x y z x y z y z z − + + = − = −   − − = ⇒ = −   = − = − 

28. Discutir según los valores del parámetro λ_{y resolver cuando sea posible:}

6 4 2 2 2 5 3 3 2 x y z x y z x y z λ λ λ + + =   + − =   ₊ ₊ ₌ 

Madrid: prueba tipo 03/04 6 4 2 2 1 1 2 5 3 3 2 λ λ λ    ₋        Como 1 1 0 3 3 − ≠ ⇒ rang

( )

A ≥2 ∀ ∈λ ℝ 2 6 4 2 1 1 2·(3 11 8) 5 3 3 λ λ ₋ ₌ λ ₋ λ₊ ⇒ 1 0 8 3 A λ λ =   = ⇔_ ∨  = 

Para λ_≠1 _∧ λ _≠8 3_es_{un sistema compatible determinado}_{, sistema de Cramer}

2 2 2 2 4 2 2 1 1 2 3 3 2·( 3) 2·(3 11 8) 3 11 8 x λ λ λ λ λ λ λ λ − − + = = − − + − + 3 2 2 6 2 2 2 1 5 2 3 2 7 13) 2·(3 11 8) 3 11 8 y λ λ λ λ λ λ λ λ λ − − + = = − + − + 2 2 2 6 4 2 1 2 5 3 2 4 9 3) 2·(3 11 8) 3 11 8 z λ λ λ λ λ λ λ λ − + = = − − + − +

Para λ₌₁ _rang

_{( )}

_A =₂≠_rang

( )

_A* =₃⇒ sistema incompatible.

(21)

29. Dado el sistema:

(

)

(

)

1 2 4 0 1 0 0 a x y z x a y z x ay z − − + =   − + + =   _{− +} _{− =} 

a) Estudiar su compatibilidad según los valores del parámetro a_.

b) Resolver el sistema anterior cuando sea compatible indeterminado.

Madrid: junio de 2004

Se trata de un sistema homogéneo, por lo que siempre será compatible.

1 2 4 1 (1 ) 1 3 1 1 a a a a − − − + = − − − −

Si a≠ −3⇒ rang

( )

A =3⇒sistema compatible determinado, cuya única solución es la trivial.

Si a= −3⇒ rang

( )

A =2⇒sistema compatible indeterminado, que resolvemos por Gauss. 4 2 4 0 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 4 2 4 0 0 10 0 0 1 3 1 0 1 3 1 0 0 1 0 0  −            → − → −       ₋ ₋ ₋  ₋ ₋ ₋   ₋        El sistema es equivalente a 2 0 0 0 x x x y z y y z α α α α = =  + + = _ →_ = ∀ ∈ = _{ = −}  ℝ 30. Dado el sistema: 2 0 2 0 2 0 x y z x y z x y z λ λ λ + + =   − + =   − + =  , se pide:

a) Obtener los valores del parámetro λ_{para los cuales el sistema tiene soluciones distintas}

de _x₌_y₌_z₌0.

b) Resolver el sistema para λ₌5

a) El sistema homogéneo tiene solución distinta de la trivial si y sólo si rang

( )

_A ≤3⇔ _A =0

|A| =

λ ₂ ₁

λ −_{1 2} 1 −λ ₂

= λ2 −₆λ+5, |A| = 0 ⇔ λ = 1∨λ = 5

El sistema tiene solución distinta de la trivial si λ_{= ∨}1 λ ₌5_.

b) Para λ ₌5_es_rang

_{( )}

_rang

( )

* ₂

A = A = . 5 2 0 2 5 5 2 0 2 5 3 x x x y z y z y x y z y z z α α α α α α = =  + + = + = −  → ⇒_ = − − + = − + = − _{ = −} 

(22)

31. Discutir razonadamente, en función del parámetro k_{, el siguiente sistema:}

(

)

2 2 1 x ky z k kx y z k x y kz k + + = +   + + =   + + = − + 

Madrid: prueba tipo 09_10 1 k 1 k 1 1 1 1 k = 2+k 2+k 2+k k 1 1 1 1 k =k+2 1 1 1 k 1 1 1 1 k = k+2 1 1 1 k₋1 0 0 0 0 k −1 = −k+2k−12

Para k _{≠ − ∧}2 k_≠1_{el sistema es}_{compatible determinado}

1 k ₌ 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ₋4

( )

* rang _A _{= ≠}1 rang _A ₌2 Sistema incompatible. 2 k _{= −} 1 −2 1 0 −2 1 1 −2 1 1 ₋2 2

( )

_{( )}

* rang _A ₌rang _A ₌2

Sistema compatible indeterminado

32. Dado el sistema homogéneo:

0 2 2 0 4 0 x ky z x y z x y kz + − =   − + =   − + =  ,

a) Determínese para qué valores de k_{el sistema tiene soluciones distintas de la trivial.}

b) Resuélvase para el caso k₌3

Madrid: junio de 2010, general: A-3

a) El sistema tiene soluciones distintas de la trivial cuando _A ₌0

|A_| =

1 k ₋₁

2 ₋1 2 1 −4 k

= ₋2k2 +k+15 ⇒ |A| = 0 _ ₋2k2+k+15 = 0 ⇒ k= −5 2∨k =3

No se pide, pero podemos añadir que dado que 2 1 7 0 rang

( )

2 1 4

A k

−

= − ≠ ⇒ ≥ ∀ ∈

− ℝ:

• Si k≠ −5 2∧k ≠3⇒ rang

( )

A ₌rang

( )

A* ₌3. Sistema compatible determinado, cuya

única solución es la trivial.

• Si k= −5 2∨k=3⇒ rang

( )

A ₌rang

( )

A* ₌2. Sistema compatible indeterminado con

tantas soluciones como elementos tiene _ℝ.

b) Como se ha dicho anteriormente, parak₌3_{el sistema es compatible indeterminado, equivalente}

(23)

2 2 0 2 2 2 4 3 0 4 3 3 z x y z x y z x y z x y z α α α = − + = − + = −   → ⇒   − + = − + = −   5 7 4 7 x y z α α α = −   =   =  7 β α α = ∀ ∈_ℝ ⇔ 5 4 4 x y z β β β β = −   = ∀ ∈   =  ℝ 33. Dado el sistema: +2 2 2 x ay z a ax z x z + − =   = −   ₊ _{= −}  , se pide:

a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro a.

b) Resolverlo para a₌0.

Madrid: junio de 2010, general: B-2

a) Discusión del sistema: 1 1 2 0 rang

( )

2 . 1 1 A a − = ≠ ⇒ ≥ ∀ |A_| ₌ 1 a ₋₁ a ₀ ₂ 1 0 1 = 2a−a2; |A| = 0 ⇔ a=0∨a=2

• Si a_≠0_∧a_≠2,entonces rang

( )

A ₌rang

( )

A* ₌3. Sistema compatible determinado.

• Si a=0⇒ rang

( )

A ₌2 y * 1 0 1 0 0 0 2 2 1 0 1 2 A −     =_ − _  ₋    .

( )

* 1 1 0 0 2 2 0 rang 2 1 1 2 A − − = ⇒ = − .

( )

*

rang _A =rang _A =2⇒sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como

elementos tiene _ℝ • Si a=2⇒ rang

( )

A ₌2 y * 1 2 1 2 2 0 2 2 1 0 1 2 A −     =_ − _  ₋    .

( )

* 1 2 2 2 0 2 4 0 rang 3. 1 0 2 A − = ≠ ⇒ = −

( )

_{( )}

*

rang _A =2≠rang _A =3⇒sistema incompatible.

b) Resolución para a₌0. Hemos visto que en este caso el sistema es compatible indeterminado,

equivalente a:

(

) (

)

(

)

1 0 , , 1, 0, 1 0,1, 0 2 2 1 x x z y y x y z z z α α α = −  − =   ∀ = ⇒ = ⇔ = − − +   = −  _{ = −}  34. Se considera el sistema: 2 3 3 2 0 5 ( 1) 9 x my z x y z x m y z + + =   + − =   ₊ ₊ _{+ =}  . a) Discútase según los valores de m_.

b) Resuélvase para m₌0.

(24)

a) Discusión del sistema: 2 3 0 rang

( )

2 1 2 A m ≠ ⇒ ≥ ∀ − . |A_| = 2 m ₃ 1 1 −2 5 m+1 1 = ₋4m₋6. A =0⇔m= −3 2

• Si m_{≠ −}3 2, rang

( )

A ₌rang

( )

A* ₌3. Sistema compatible determinado. • Si m_{= −}3 2, rang

( )

A ₌2 y * 2 3 2 3 3 1 1 2 0 5 1 2 1 9 A −     =_ − _  ₋    .

( )

* 2 3 3 1 2 0 0 rang 3 5 1 9 A − ≠ ⇒ = Sistema incompatible. b) Resolución para m₌0. 2 3 3 2 0 5 9 x z x y z x y z + =   + − =   _{+ + =} 

. Para este valor de m _{el sistema es compatible}

determinado. 2 0 3 3 1 1 ₋2 0 5 1 1 9 → 1 1 ₋2 0 2 0 3 3 5 1 1 9 → 1 1 ₋2 0 0 ₋2 7 3 0 ₋4 11 9 → 1 1 ₋2 0 0 ₋2 7 3 0 0 ₋3 3 Sistema equivalente a: 2 0 2 7 3 3 3 x y z y z z + − =   − + = ⇒   ₋ ₌  3 5 1 x y z =   = −   = −  35. Dado el sistema: 3 2 2 2 4 4 0 , x y k k x k y kz x ky k + =   − + + =   ₊ ₌  se pide: a) Discutirlo según los valores del parámetro k_.

b) Resolverlo para k₌1. c) Resolverlo para k₌2 Septiembre de 2012: B-2 a) 2 4 0 −k3 k2 k 1 k 0 = −k 2 4 1 k = − k_2k₋4_

• Si k ≠0∧k≠2⇒rang

( )

A =rang

( )

A* =3. Sistema compatible determinado.

• Si k=0⇒rang

( )

A =rang

( )

A* =2. Sistema compatible indeterminado con tantas

• Si _k₌₂_⇒_rang

( )

_A ₌_rang

( )

_A* ₌_2. _{Sistema compatible indeterminado}_{con tantas}

(25)

1 3 2 1 3 2 3 2 1 2 4 0 4 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1 1 0 1 2 4 0 4 0 2 0 2 0 0 1 1 F F F F F F F F ↔ + − −                 − → − → →                ₋         

El sistema propuesto es equivalente a:

1 0 2 1 1 1 1 x y x y z y z z + = =   + = ⇒ =   _{− =} _{= −} 

c) Para k₌2,_{y operando como en el caso anterior:} 2 4 0 4k −k3 k2 k 0 1 k 0 k2 k=2  2 4 0 8 −8 4 2 0 1 2 0 4 1 3 2 2 2 2 F F F F = →  → 1 2 0 4 −4 2 1 0  1 2 0 4 0 10 1 16

El sistema propuesto es equivalente a:

4 2 2 4 10 16 16 10 y x x y y y z z α α α α α = = − + =  → = ∀ ∈  + =  ₌ ₋ ℝ 36. Dado el sistema: 7 5 0 3 , 2 ax y z x ay z y z + + =   + + =   ₊ _{= −}  se pide: a) Discutirlo según los valores de a.

b) Resolverlo cuando a₌4. c) Resolverlo cuando a₌2 Junio 2013 a) 2 7 5 1 1 2. 0 1 1 a a a a ∆ = = − − ∆ =0⇒a=2∨a= −1 2 1

a_≠ _∧a_{≠ −} rang

( )

A ₌rang

( )

A* ₌3 _{Sistema compatible determinado.}

2 a₌ 2 7 5 0 1 2 1 3 0 1 1 ₋2 → 1 2 1 3 2 7 5 0 0 1 1 ₋2 → 1 2 1 3 0 3 3 ₋6 0 1 1 ₋2 → 1 2 1 3 0 1 1 −2

( )

_{( )}

*

rang _A ₌rang _A ₌2. Sistema compatible indeterminado, con tantas soluciones como elementos tiene ℝ.

b) Para a₌4, es sistema es compatible determinado: 4 7 5 0 1 4 1 3 0 1 1 ₋2 → 1 4 1 3 4 7 5 0 0 1 1 ₋2 → 1 4 1 3 0 ₋9 1 ₋12 0 1 1 ₋2 → 1 4 1 3 0 1 1 ₋2 0 ₋9 1 ₋12 → 1 4 1 3 0 1 1 ₋2 0 0 10 ₋30

(26)

El sistema es equivalente a 4 3 2 2 1 10 30 3 x y z x y z y z z  + + = =  + = − ⇒ =   _{= −} _{= −} 

c) Para a₌2 el sistema es compatible indeterminado.

2

7

5

0

1

2

1

3

0

1

1 −

2 →

1

2

1

3

2

7

5

0

1

1 −

2 →

1

2

1

3

0

3

3 −

6

0

1

1 −

2 →

1

2

1

3

0

1

1 −

2

Equivalente a 7 2 3 2 2 x x y z y y z z α α α = + + + =  ⇒ = − −  + = −  ₌

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 1 2 3 2 1 3 4 x y mz m x m y m z m m x y m z m  + + = +  + + + + = −   ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ ₊  , se pide:

a) Discutirlo según los distintos valores del parámetro real m

b) Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones.

Madrid: Prueba tipo curso 2007_08

a) Δ = 1 1 m 2 m+1 m+1 m+2 3 2m+1 = 3m₋m3 ₋2⇔ ∆ =0⇒m=1∨m= −2 Caso I m_{≠ ∧}1 m_{≠ −}2

( )

*

rang _A ₌rang _A ₌3 Sistema compatible determinado Caso II m₌₁ A = 1 1 1 2 2 2 3 3 3

( )

rang _A 1 ⇒ = _A∗ = 1 1 1 3 2 2 2 ₋1 3 3 3 7

( )

* rang _A 2 ⇒ = Sistema incompatible. Caso III m_{= −}2 A = 1 1 ₋2 2 −1 −1 0 3 −3

( )

rang _A 2 ⇒ = _A∗ = 1 1 ₋2 0 2 −1 −1 2 0 3 −3 −2

( )

* rang _A 2 ⇒ =

(27)

b) Hay que resolver para m_{= −}2. Tomando como ecuaciones principales las dos últimas: 2 3 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 z x x y z x y y y z y z α α α α α α α = = +  − − =  − = +   → ⇒ = − + ∀ ∈    − = − _ = − + _  =  ℝ

38. Se considera el sistema en las incógnitas x, y, z, t

     = − + = + + = + + 0 2 2 0 2 0 2 t y x t z y z y x λ

a) Encuentra los valores de λ_{para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema}

es 2

b) Resolver el sistema anterior para λ ₌0

Madrid: junio 1998

Es un sistema homogéneo, por lo que tiene solución _∀λ_{, su número depende del rango de:}

          − = 1 0 2 2 1 2 1 0 0 1 2 1 λ A

El estudio de este rango lo hacemos por el método de Gauss, para lo que conviene desplazar el parámetro λ_{todo lo posible hacia la parte inferior derecha de la matriz:}

   →            − ↔ 4 2 0 1 0 2 2 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 C C ⋮ ⋮ ⋮ λ →            −1 0 2 0 2 0 1 2 1 0 0 2 1 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ λ y z t x →            − − −1 2 2 4 0 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ λ y z t x           −3 0 2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ λ y z t x

( )

rang _A =2⇔λ=3 2

NOTA: También podríamos haberlo hecho con menores. Como 0 1 0

2 1

≠ , para que rang(A)=2

deben anularse simultáneamente:

λ λ 4 6 0 2 2 2 1 0 1 2 1 − = _y λ λ 2 3 1 2 2 1 1 0 0 2 1 − = −

Ambos se anulan para λ ₌3 2_{. Para este valor del parámetro es}_{rang( )}_A ₌₂

(28)

          −3 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 2 1 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ y z t x El sistema es equivalente a:  →       = − = + + = + + + =α z y y z t y z t x 0 3 0 2 0 2 α α α 2 0 − = = = = t z y x

              =                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ λ λ λ z y x

a) Discutirlos según los valores de λ

b) Resolverlo para λ ₌₋3 c) Resolverlo para λ₌1

Madrid, junio de 2001

a) La matriz A no es cuadrada, pero sí A*, por lo que podemos empezar calculando

* A

(

)

4 * 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i C C A λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ − + + + + = = = + =

(

)

(

)(

)

4 ₃ 0 0 0 1 0 0 1 1 3 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 i C C _λ λ λ λ λ λ − − = + = + − − − 3 1

λ _{≠ − ∧}λ_≠ _rang

( )

_A* =₄>_rang

_{( )}

_A ≤₃⇒ _{Sistema incompatible}_.

3 λ _{= −} 4 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 1 1 0 0 0 0 F F λ λ λ λ → − −          ₋   ₋  ∑  _→ __→ _→    −   −        −       1 1 1 3 0 0 4 4 0 4 0 4 −    ₋ _→    ₋    1 1 1 3 0 4 0 4 0 0 4 4 −    ₋     ₋   

( )

_{( )}

*

(29)

1 λ ₌ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 λ λ λ λ          _→             

( )

_{( )}

* rang _A =rang _A =1⇒ Sistema compatible indeterminado con tantas soluciones como elementos tiene

2 . ℝ

b) Para λ ₌₋3_{el sistema dado es equivalente a:}

→  − = − = − = + + 1 1 3 z y z y x 1 1 1 − = − = − = z y x

c) Para λ =1 la única ecuación independiente es: + + =  →= = β α z y z y x 1 β α β α = = − − = z y x 1

NOTA: Discusión por Gauss

1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i F F λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ → + + + +         ∑  __→              3

λ _{≠ −} _{En ese caso podemos dividir la primera fila por}3₊λ_≠0_:

4 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 F F F F λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ → + +             − −  _→ _{}_→     ₋   ₋           ₋ ₋ ₋   ₋       

Si además de ser λ_{≠ −}3 _es λ_≠1 ,_{ninguna de las filas de la matriz es nula, por lo que tanto}_A

como A* tienen el máximo rango que sus dimensiones permiten: _rang

( )

₃ _rang

( )

* ₄ A = ≠ A = ⇒

sistema incompatible.

Para finalizar el estudio de la compatibilidad habría que analizar los casos λ_{= −}3_y λ₌_1,_que

haríamos como se ha visto anteriormente.

40. Dada la matriz 1 1 1 1 1 1 , 1 1 2 1 m m A m m m −     =_ − _  ₋    se pide:

a) Estudiar el rango de A_{según los valores del parámetro}m_.

b) En el caso m₌0, resolver el sistema

0 0 0 x y A z t           ⋅ _{=  }   _{ }       . Madrid: septiembre de 2010

(30)

a) Si nos fijamos en las columnas, vemos que C₃ =C₁+C₂, por lo que podemos prescindir de ella al estudiar el rango:

( )

1 1 1 rang rang 1 1 1 . 1 1 1 m A m m −     = _ − _  ₋   

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m m m m m m m m − + + + ∆ = − = − = + − = − − −

(

)

1 1 1 1 0 2 0 0 0 2 m m m + − = −

(

m₊1

)(

m₋2

)

2. ∆ =0⇔m= − ∨1 m=2 1 2

m_{≠ − ∧}m_≠ En este caso rang

( )

A ₌3.

1 m_{= −}

( )

2 1 1 rang rang 1 2 1 2, 1 1 2 A −     = _ − _=  ₋    pues 2 1 0 1 2 − ≠ − . 2 m=

( )

1 1 1 rang rang 1 1 1 1. 1 1 1 A     = _ _=    

b) Se trata de resolver un sistema homogéneo, y lo hacemos por Gauss:

1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 1 2 1 0 0 2 2 0 0 − −      ₋ _→       ₋        . El sistema es equivalente a:

(

) (

)

0

2 2 0 , , , , , , 0 es solución del sistema

2 0 0 y x y t x y y z z y x y z t t t λ λ λ λ λ = − + + =  =  + = ⇒_ = − → = − ∀ ∈  = _ = ℝ

41. Se consideran las matrices _

     − − = 1 1 1 2 1 λ A y           = 2 0 0 3 1 λ B con λ_∈_ℝ_.

a) Encuentra los valores de λ_{para los que}_A_B_{es invertible.}

b) Encuentra los valores de λ_{para los que}_BA_{es invertible.}

c) Dados a_y b_{números reales cuales quiera, ¿puede ser compatible determinado el sistema:} ? x a A y b x       ⋅_{ }_{=  }       Madrid, junio 99

(31)

a) 1 2 1 1 1 AB λ   =  ₋ ₋             ⋅ 2 0 0 3 1 λ _⇒      − + + = 1 1 2 3 2 1 λ λ λ 2 3 2 2₊ ₋ = ⋅B λ λ A

(

⋅

)

⇔ ∃ −1 B A 2λ2+3λ−2≠0, es decir, si λ ≠ −2 y λ ≠1 2. b)           = ⋅ 2 0 0 3 1 λ A B _=      − − ⋅ 1 1 1 2 1 λ ⇒           − − − − 2 2 2 2 3 1 4 2 λ λ λ λ 1 3 2 4 4 1 3 2 1 2 1 1 1 F F F F B A λ λ λ − − − − ⋅ = = − − 0 3 1 2 0 3 1 1 1 1 λ λ λ + = + = − λ λ λ λ ₌ _∀ + + 0 1 3 1 3

2 _{. Es decir,}_B_⋅_A_{nunca tiene inversa.}

c) El sistema nunca puede ser compatible determinado, ya que tiene tres incógnitas mientras que

2 ) (A =

r _∀λ_,a_,b

42. Dadas las matrices:

2 4 2 1 , 1 2 1 A m m −     = −_ _ ₋    2 0 , 1 B −     =   ₋    , x X y z     =       0 0 0 O     =       , se pide: a) Estudiar el rango de A_{según los valores de}m_.

b) Calcular el determinante de 20

.

A

c) Para m_{= −}2, resolver el sistema AX =O.

d) Para m₌0,_{resolver el sistema}AX =B.

Madrid prueba tipo 2014-15

a) Aplicando Gauss −2 4 2 −1 m m −1 2 1 → −1 m m −1 2 1 → 1 ₋2 ₋1 −1 m m → 1 ₋2 ₋1 0 m₋2 m₋1

( )

rang A = ∀2 m , porque la segunda fila no se anula para ningún valor de m_.

Usando determinantes

( )

1 rang rang 1 , 1 2 1 m m A = − ≥ ∀m −

  siendo 1 si se anulan simultáneamente:

1 1 2 1 2 m m − ∆ = = − − y 2 1 1 1 1 m m − ∆ = = − − Como ∃ ∈m ℝ 1 2 0, ∆ = ∆ = definitivamente rang

( )

A = ∀2 m b) 1 2 2 20 0 0 F F A m A m = = ∀ ⇒ = ∀

(32)

−2 4 2 0 −1 −2 −2 0 −1 2 1 0 → 1 2 2 0 −1 2 1 0 → 1 2 2 0 0 4 3 0 El sistema es equivalente a: 4 2 2 2 2 0 3 4 3 4 3 0 4 z x x x y z y y y z z z λ α λ λ α λ λ α α λ α =− = = − =   + + = _ _ →_ = − ∀ ∈ ⇔ _ = ∀ ∈ + = _ _ = = −   ℝ ℝ

d) Hacemos m₌0_{y aplicamos Gauss} −2 4 2 −2 −1 0 0 0 −1 2 1 −1 → − 1 0 0 0 −1 2 1 −1 → 1 0 0 0 0 2 1 ₋1 El sistema es equivalente a: 0 0 2 1 1 2 y x x y y z z λ λ λ λ = =  = _ → _ = ∀ ∈ + = − _{ = − −}  ℝ

43. Siendo las matrices:

          − − = 2 2 1 1 0 1 A y _      − − = 1 1 3 0 2 2 B

a) ¿Se cumple la igualdad rango

(

A⋅B

)

=rango

( )

A ⋅rango

( )

B ? Justifica la respuesta.

b) Encuentra todas las matrices _

     = f e d c b a X tales que _X_A= _I

c) ¿Existe alguna matriz Y _{cuadrada de orden 2, tal que} t

B Y

A = ? Justifica la respuesta.

a) Es inmediato comprobar que r(A)=r(B)=2⇒r(A)_⋅r(B)₌4, mientras que A_⋅B es una matiz 3

3_× _{, por lo que su rango es menor o igual que 3, por lo es imposible que se cumpla la igualdad}

b) XA=I ⇔ _⋅      f e d c b a ⇔       =           − − 1 0 0 1 2 2 1 1 0 1        = + − = − + = + − = − + 1 2 0 2 0 2 1 2 f e f e d c b c b a

Este sistema, si observamos dos a dos sus ecuaciones, sumando las dos primeras se obtiene que

1 =

a _{y de la segunda se obtiene}b₌₂c_{. Sumando las dos últimas se obtiene que}d ₌₁_{y de la}

cuarta ecuación resulta e=2f −1

Resumiendo, la matriz X_{es de la forma:}

      − = β β α α 1 2 1 2 1 X

(33)

              − − − − 1 2 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ f e d c b a

Que se convierte en triangular, si llevamos la columna de los coeficientes de c_{al final.}

Efectivamente:               − − − − 1 0 2 1 0 0 0 0 0 2 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c f e d b a

Al resolverlo se obtiene el resultado anterior, pero siempre que sea posible separarlo en “sistemas independientes”, será más cómoda su resolución.

44. Estudia, en función de m_{, el rango de}

          = m m m m m m M 1 1 1 1 1 1 . Para m₌0_{, comprueba si}

existe una matriz

              = d b d b a c c d b a c a X tal que M⋅X =I .

Hacemos la discusión por el método de Gauss

  →            ↔ 3 2 1 1 1 1 1 1 F F m m m m m m     →            − → − → 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 mF F F F F F m m m m m m           − − − − 2 2 ₁ 1 0 0 0 1 1 0 1 1 m m m m m m

La última fila se anula para m=±1. Para m₌1 también se anula la segunda, pero no para m₌₋₁,

por lo que el rango es:

     = − = − ≠ ≠ = 1 si 1 1 si 2 1 y 1 si 3 ) ( m m m m A r

(34)

⇔ = ⋅X I M ⋅           0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 =               d b d b a c c d b a c a ⇔           1 0 0 0 1 0 0 0 1           =           + + + + + + + + + 1 0 0 0 1 0 0 0 1 b a c a c a d b b a d c c a d c b a Es decir:        = + = + = + = + 0 0 0 1 d b c a d c b a

, cuya matriz de coeficientes es:

→                0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ →                − − 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ →                − − 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ →                − − − 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮               − − − 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

El sistema es incompatible, es decir no existe la matriz X_. 45. Se considera la matriz           = 0 1 0 2 1 1 1 ) (t t t2 A

a) Determina los valores del número real t_{para los que el determinante de}A₍t₎_{es cero.}

b) Hallar la inversa de la matriz A(t)_parat ₌₋1

c) Resolver para t ₌1 el sistema:

          − =           1 0 1 ) ( z y x t A

Prueba tipo curso 96-97

a) 2 2 0 1 0 2 1 1 1 ) (t t t t t

A ₌ ₌ ₋ _{, que se anula para}t ₌₀_yt ₌₁.

b) Como A(−1) =−2≠0, A(−1) tiene inversa. Llevando t =−1 en la expresión de A(t) y

obteniendo la correspondiente matriz de adjuntos, resulta:

          − − =           − − 2 3 2 1 2 1 1 0 0 2 1 2 1 2 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1 1