Solución [ ] [ ] = = = 2HI(g) Solución = = = = =

7HUPRTXtPLFD\&LQpWLFD

5(62/8&,Ï1'(&8(67,21(6

&XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ (VFULEHODH[SUHVLyQGHYHORFLGDGGHUHDFFLyQHQIXQFLyQGHODFRQFHQWUDFLyQGH FDGDXQDGHODVHVSHFLHVTXHLQWHUYLHQHQHQHOSURFHVRGHREWHQFLyQGHDPRQLD FRVHJ~QODUHDFFLyQ 3 2 21+ 1 + + → Solución

[ ]

[ ]

[ ]

GW 1+ G GW 1 G GW + G 9 2 2 3 2 1 3 1 = − = − =

(OUHVXOWDGRPXHVWUDTXHODYHORFLGDGGHUHDFFLyQVHSXHGHFDOFXODUDGLVWLQWRV

LQWHUYDORVGHWLHPSRDWUDYpVGHODHVSHFLHPiVIiFLOGHDQDOL]DU\DVHDHO1HO

+RHO1+ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ (VFULEHODH[SUHVLyQGHYHORFLGDGSDUDODVVLJXLHQWHVUHDFFLRQHVHQWpUPLQRVGH GHVDSDULFLyQGHORVUHDFWLYRV\GHODDSDULFLyQGHORVSURGXFWRV D2J→223J E,J+J 2HI(g) Solución D

[ ]

[ ]

GW 2 G GW 2 G 9 2 3 2 1 3 1 = − = E

[ ]

[ ]

[ ]

GW +, G GW + G GW , G 9 2 1 2 2 _{= − =} − = &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ

/D HQHUJtD GH DFWLYDFLyQ FRUUHVSRQGLHQWH D OD UHDFFLyQ $%ĺ&' HV GH ·N-PROPLHQWUDVTXHSDUDODUHDFFLyQLQYHUVDHOYDORUGHGLFKDHQHUJtDHV GH·N-PRO

D¢4XpUHDFFLyQHVPiVUiSLGDODGLUHFWDRODLQYHUVD" E/DUHDFFLyQGLUHFWD¢HVH[RWpUPLFDRHQGRWpUPLFD" F'LEXMDXQGLDJUDPDHQWiOSLFRGHDPERVSURFHVRV"

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

Solución

D/DUHDFFLyQGLUHFWDHVPiVUiSLGDDOVHUPHQRUVX(D \SRUWDQWRPHQRUOD

HQHUJtDTXHWLHQHQTXHDEVRUEHUORVUHDFWLYRVHQVXHVWDGRIXQGDPHQWDOSDUD

SHUPLWLUDOFDQ]DUHOHVWDGRGHWUDQVLFLyQ

E([RWpUPLFDSRUTXHHOSDVRGHUHDFWLYRVDSURGXFWRVGDFRPRUHVXOWDGRXQD

OLEHUDFLyQQHWDGHHQHUJtDVHGHYXHOYHPiVHQHUJtDDOHQWRUQRTXHODHQHUJtD

GHOHVWDGRGHWUDQVLFLyQ F + FRRUGHQDGDGHUHDFFLyQ $% &' (D (¶D (_D ¶N-PRO (_D ¶N-PRO + FRRUGHQDGDGHUHDFFLyQ $% &' (D (¶D (_D ¶N-PRO (_D ¶N-PRO &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ 'DGDODVLJXLHQWHHFXDFLyQGHYHORFLGDG

v k A

= ⋅

[ ] [ ]

·

B

2FRUUHVSRQGLHQWHDOD VLJXLHQWHUHDFFLyQTXtPLFD$%ĺ&LQGLTXHUD]RQDGDPHQWHVLFDGDXQDGHODV VLJXLHQWHVSURSRVLFLRQHVHVYHUGDGHUDRIDOVD D/DFRQVWDQWHNHVLQGHSHQGLHQWHGHODWHPSHUDWXUD E/DUHDFFLyQHVGHSULPHURUGHQUHVSHFWRGH$\GHSULPHURUGHQFRQUHVSHFWR GH%SHURGHVHJXQGRRUGHQSDUDHOFRQMXQWRGHODUHDFFLyQ F/DYHORFLGDGGHUHDFFLyQSRVHHXQYDORUFRQVWDQWHPLHQWUDVGXUDODUHDFFLyQ TXtPLFD

7HUPRTXtPLFD\&LQpWLFD

Solución

D)DOVRODFRQVWDQWHGHYHORFLGDGHVSHFtILFDHVWiUHODFLRQDGDFRQODWHPSHUD WXUDDWUDYpVGHODHFXDFLyQGH$UUKHQLXV

_k

=

_{A e}

·

−EaRT_{SRUWDQWRVLGHSHQGH}

GHHOOD

E)DOVRVHJ~QODHFXDFLyQGHYHORFLGDGODUHDFFLyQHVGHSULPHURUGHQUHVSHFWR GH$\GHVHJXQGRRUGHQUHVSHFWRGH%\GHRUGHQSDUDHOFRQMXQWRGHODUHDF FLyQ

F)DOVRSXHVWRTXHODYHORFLGDGGHSHQGHGHODFRQFHQWUDFLyQGH$\GH% &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ

6H KD FRPSUREDGR H[SHULPHQWDOPHQWH TXH OD UHDFFLyQ $%ĺ& HV GH SULPHU RUGHQUHVSHFWRDOUHDFWLYR$\GHSULPHURUGHQUHVSHFWRDOUHDFWLYR% D(VFULEHODHFXDFLyQGHYHORFLGDG E¢&XiOHVHORUGHQWRWDOGHODUHDFFLyQ" F¢4XpIDFWRUHVSXHGHQPRGLILFDUODYHORFLGDGGHODUHDFFLyQ" Solución DY N $= ⋅

[ ][ ]

Ċ%

E(ORUGHQWRWDOHVVXPDGHORVH[SRQHQWHVGH$ \GH%HQODHFXDFLyQGH YHORFLGDG

F/DQDWXUDOH]D \HOHVWDGRItVLFRGHORVUHDFWLYRVODVFRQFHQWUDFLRQHVGHORV UHDFWLYRVODWHPSHUDWXUDODSUHVHQFLDGHFDWDOL]DGRUHV

&XHVW &XHVW &XHVW &XHVWLLLLyQyQyQyQ ,QGLTXHUD]RQDGDPHQWHVLFDGDXQDGHODVVLJXLHQWHVSURSRVLFLRQHVHVYHUGDGHUD RIDOVD D/DNGHYHORFLGDGSDUDXQDHFXDFLyQGHSULPHURUGHQVHH[SUHVDHQXQLGDGHV GHPROĊO_ĊV E/DVXQLGDGHVGHODYHORFLGDGGHXQDUHDFFLyQGHSHQGHQGHORUGHQWRWDOGHOD UHDFFLyQ F(QODHFXDFLyQGH$UUKHQLXV

_k

=

_{A e}

·

−EaRT_{(DQRGHSHQGHGHODWHPSHUDWXUD}

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

Solución

D )DOVR SDUD XQD UHDFFLyQ GH SULPHU RUGHQ OD HFXDFLyQ GH YHORFLGDG

[ ]

v k A

= ⋅

\SXHVWRTXHYWLHQHXQLGDGHVGHPROĊO_{ĊV\ODFRQFHQWUDFLyQYLH}

QHH[SUHVDGRHQPROĊO_{OD.GHEHVHUGHV}

E)DOVRSXHVWRTXHODVXQLGDGHVGHODYHORFLGDGVRQVLHPSUHGHFRQFHQWUDFLyQ

SRUXQLGDGGHWLHPSR

F9HUGDGHUROD(DHVODHQHUJtDGHOHVWDGRGHWUDQVLFLyQRGHOFRPSOHMRDFWLYD

GR\QRGHSHQGHGHODWHPSHUDWXUD &XHVW &XHVW &XHVW &XHVWLLLLyQyQyQyQ ,QGLTXHFXiOHVGHODVVLJXLHQWHVSURSRVLFLRQHVVRQFRUUHFWDV D/DDGLFLyQGHXQFDWDOL]DGRUUHEDMDODHQHUJtDGHDFWLYDFLyQ E/DDGLFLyQGHXQFDWDOL]DGRUPRGLILFDODYHORFLGDGGHUHDFFLyQGLUHFWD F/DDGLFLyQGHXQFDWDOL]DGRUPRGLILFDHOHVWDGRGHHTXLOLEULRGHODUHDFFLyQ Solución

D&RUUHFWDXQFDWDOL]DGRUSURSRUFLRQDXQPHFDQLVPRGLIHUHQWHGHHQHUJtD

PiVEDMDSDUDODIRUPDFLyQGHORVSURGXFWRV

E&RUUHFWDORVFDWDOL]DGRUHVDOUHEDMDUODHQHUJtDGHDFWLYDFLyQSHUPLWHQTXH

PD\RUQ~PHURGHPROpFXODVDOFDQFHQHOFRPSOHMRDFWLYDGRDXPHQWDQGRODYHOR FLGDGGHODUHDFFLyQ

F)DOVDORVFDWDOL]DGRUHVPRGLILFDQODVYHORFLGDGHVGHUHDFFLyQSHURQRDOWHUDQ

HOHVWDGRGHHTXLOLEULRGHODPLVPD &XHVW &XHVW &XHVW &XHVWLLLLyQyQyQyQ (QODUHDFFLyQ$%ĺ&'VHFRPSUXHEDH[SHULPHQWDOPHQWHTXH

v

=

k

⋅

[ ][ ]

A

·

B

HQ GRQGH

_k

=

_{A e}

·

−EaRT D([SOLFDHOVLJQLILFDGRGHFDGDXQRGHORVWpUPLQRVTXHDSDUHFHQHQODHFXDFLyQ GH$UUKHQLXV

E (Q XQDV GHWHUPLQDGDV FRQGLFLRQHV OD YHORFLGDG GH OD UHDFFLyQ HV Y · PROĊ/_{ĊV,QGLFDUD]RQDGDPHQWHYDULDVIRUPDVGHDFHOHUDUODUHDFFLyQ}

7HUPRTXtPLFD\&LQpWLFD

Solución

DNHVODFRQVWDQWHHVSHFtILFDGHYHORFLGDG$HVXQDFRQVWDQWHTXHWLHQHODV

PLVPDVGLPHQVLRQHVTXHODFRQVWDQWHGHYHORFLGDG \HVSURSRUFLRQDODODIUH FXHQFLDGHODVFROLVLRQHVHQWUHODVPROpFXODVUHDFFLRQDQWHV 5HVODFRQVWDQWH

XQLYHUVDOGHORVJDVHVH[SUHVDGDHQODVPLVPDVXQLGDGHVGHHQHUJtDTXHODVXVD GDVSDUD(D(DHVODHQHUJtDGHDFWLYDFLyQTXHHVODHQHUJtDDGLFLRQDOTXHGHEH

VHUDEVRUELGDSRUORVUHDFWLYRVHQVXHVWDGRIXQGDPHQWDOSDUDSHUPLWLUOHVDOFDQ

]DUHOHVWDGRGHWUDQVLFLyQ

E$XPHQWRGHODWHPSHUDWXUD$XPHQWRGHODFRQFHQWUDFLyQGHUHDFWLYRVSUH VHQFLDGHFDWDOL]DGRUHV

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

5(62/8&,Ï1'(352

%

/(0

$

6

3UREOHPD 3DUDODUHDFFLyQ

)

g

(

H

C

)

g

(

H

)

g

(

H

C

_{2 4}

+

₂

→

_{2 6}

/D HQHUJtD GH DFWLYDFLyQ HV N-PRO $ ž& OD FRQVWDQWH GH YHORFLGDG HV ·Ċ_/ĊPROĊV D¢$TXpWHPSHUDWXUDODFRQVWDQWHGHYHORFLGDGHVHOGREOHGHOYDORUDž&" E¢&XiOHVODFRQVWDQWHGHYHORFLGDGDž&" 'DWR5 ·Ċ_N-.ĊPRO Solución:

D$SOLFDQGRODHFXDFLyQGH$UUKHQLXVSDUDGHWHUPLQDUNDGRVWHPSHUDWXUDV GLIHUHQWHV 1 1 − = (D57 N $ĊH SDUD7\ 2 2 − = (D57 N $ĊH SDUDODWHPSHUDWXUD7

6HGLYLGHPLHPEURDPLHPEURDPEDVHFXDFLRQHV\SXHVWRTXH. .VXVWLWX

\HQGRORVGDWRVFRUUHVSRQGLHQWHV 1 1 2 2 1 1 1 2 a a a E E RT R T T E RT

k

e

e

k

e

− ₋ § ₋ · ¨ ¸ © ¹ −

=

=

1 1 2 2 1 1 1 1

2

a a a E E RT R T T E RT

k

e

e

k

e

− ₋ § ₋ · ¨ ¸ © ¹ −

=

=

¸¸¹ · ¨¨© § ₋ = 2 1 1 1 2 7 7 5 ( OQ D 3 ₂

181

1

1

0 6936

773

8 31 10

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§

·

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−

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N-P

R

O

N-. 7

Ċ

.Ċ

P

R

O

GHHVWDH[SUHVLyQSRGHPRVGHVSHMDU7 7 ·. ·ž&

7DPELpQSXHGHREWHQHUVHKDOODQGRHQSULPHUOXJDU$IDFWRUGHIUHFXHQFLD VXVWLWX\HQGRORVYDORUHVFRUUHVSRQGLHQWHVGHN(D \ 7HQODSULPHUDGHODV

HFXDFLRQHV 3 181 / 2 1 1 4'81·10 / · ·773

2 '5 · 10

·

·

·

kJ mol kJ K mol K

L mol

s

A e

− − − − −

₌

(QHVWHFDVR$ ·Ċ_/ĊPROĊV

7HUPRTXtPLFD\&LQpWLFD

6XVWLWX\HQGRORVYDORUHVGH$(D\NGREOHGHNHQODHFXDFLyQGH$UUKHQLXV

SDUDN 3 2 181 / 4'81·10 / · · 2 1 1 10 1 1

2 · 2 '5·10

·

·

4 '31 · 10

·

·

·

kJ mol kJ K mol T

L mol

s

L mol

s

e

− − − − −

₌

− −

'HVSHMDQGRREWHQGUHPRVHOYDORUGH7

7 ·. ·ž&

E/DFRQVWDQWHGHYHORFLGDGSDUDODWHPSHUDWXUDGHž&VHGHWHUPLQDDSDU

WLUGHODHFXDFLyQGH$UUKHQLXVVXVWLWX\HQGRORVYDORUHVGH$GHWHUPLQDGRDQWH ULRUPHQWH(D\7GDWRVGHOSUREOHPD(OYDORUGHHVWDHVN ·/ĊPROĊV

3UREOHPD 3DUDFLHUWDUHDFFLyQODFRQVWDQWHGHYHORFLGDGVHGXSOLFDDOHOHYDUODWHPSHUDWX UDGHVGHž&KDVWDž&&DOFXODU D/DHQHUJtDGHDFWLYDFLyQ(D E/DFRQVWDQWHGHYHORFLGDGDž&VLDž&NYDOH·Ċ_/ĊPROĊV 'DWR5 ·Ċ_N-Ċ.ĊPRO Solución

D$OLJXDOTXHHOHMHUFLFLRDQWHULRUVHDSOLFDODHFXDFLyQGH$UUKHQLXVSDUDGH

WHUPLQDUNDGRVWHPSHUDWXUDVGLIHUHQWHV

1 1 − = (D57 N $ĊH SDUD7\ 2 2 − = (D57 N $ĊH SDUDODWHPSHUDWXUD7 6HGLYLGHPLHPEURDPLHPEURDPEDVHFXDFLRQHV 1 1 2 2 1 1 1 2 a a a E E RT R T T E RT

k

e

e

k

e

− ₋ § ₋ · ¨ ¸ © ¹ −

=

=

\SXHVWRTXHN N 1 1 2 2 1 1 1 1

2

a a a E E RT R T T E RT

k

e

e

k

e

− ₋ § ₋ · ¨ ¸ © ¹ −

=

=

6LPSOLILFDQGRWRPDQGRORJDULWPRV \VXVWLWX\HQGRORVGDWRVFRUUHVSRQGLHQWHVD DPEDVWHPSHUDWXUDV.SDUD7\.SDUD7 3 1 1 2 8 3110− 288 298 § · = _¨ − _¸ © ¹ D ( OQ Ċ N-PROĊ. . . 3RGHPRVREWHQHU(D (D ·N-PRO

E3RGHPRVGLYLGLUPLHPEURDPLHPEURODVGRVFRQVWDQWHVGHYHORFLGDGN\N

FRUUHVSRQGLHQWHVDGLFKDUHDFFLyQSDUDODVWHPSHUDWXUDVGHž&\ž&&RQR FLGRVORVYDORUHVGH(DN\DPEDVWHPSHUDWXUDVGHVSHMDPRVGHGLFKDUHODFLyQ

ODFRQVWDQWHN

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

3UREOHPD

/D UHDFFLyQ TXtPLFD $%→& HV GH SULPHU RUGHQ UHVSHFWR GH $\ GH % &RQ ORV VLJXLHQWHVGDWRV

([SHULPHQWR [$R]PROĊ/ _{[%R]PROĊ/ 9HORFLGDGLQLFLDOGHODUHDFFLyQ}

· · _PROĊ/ĊV · · ; · ; _PROĊ/ĊV 'tJDVHVLVRQYHUGDGHUDVRIDOVDVFDGDXQRGHODVVLJXLHQWHVSURSRVLFLRQHV D; ĊPROĊ/ĊV E; ·PROĊ/

F3DUDHOHU_{H[SHULPHQWRN ĊPROĊ/ĊV}

Solución

D6HJ~QODHFXDFLyQGHYHORFLGDGFRUUHVSRQGLHQWHDXQDUHDFFLyQGHRUGHQ UHVSHFWRDDPERVUHDFWLYRVSDUDHOH[SHULPHQWRVHUiYR = ⋅N $

[ ] [ ]

0Ċ% 0 (OYDORUGHODFRQVWDQWHGHYHORFLGDGHVSHFtILFDVHFDOFXODDSDUWLUGHORVGDWRV GHOH[SHULPHQWR

Ċ_{PROĊ/ĊV NĊ·PROĊ/Ċ·PROĊ/}

'HVSHMDQGRNN /ĊPRO_ĊV

6XVWLWX\HQGRORVGDWRVGHOH[SHULPHQWRHQVXHFXDFLyQGHYHORFLGDG[$R]\[%R]

MXQWRFRQHOGDWRGHNREWHQLGRDQWHULRUPHQWHSRGHPRVREWHQHUHOYDORUGHOD YHORFLGDGLQLFLDOSDUDHVWDVFRQFHQWUDFLRQHV; 9 /ĊPROĊVĊ·PROĊ/Ċ·PROĊ/ 9R ·ĊPROĊ/ĊV/XHJRODSURSRVLFLyQLQGLFDGDSDUDHVWHDSDUWDGRHV )DOVD

E/DYHORFLGDGLQLFLDOSDUDHOH[SHULPHQWRVHUiYR = ⋅N $

[ ] [ ]

₀Ċ% ₀6XVWLWX\HQ GRORVGDWRVDSRUWDGRVGH[$R]\YHORFLGDGLQLFLDOMXQWRDOGDWRREWHQLGRDQWH

ULRUPHQWHGHN

Ċ_{PROĊ/ĊV /ĊPROĊVĊ·PROĊ/Ċ[%} R]

GHVSHMDPRV[%R] ;

[%R] ·PROĊ//XHJRODSURSRVLFLyQLQGLFDGDSDUDHVWHDSDUWDGRHV9HUGDGH

UD

F(OYDORUGHN\DKDVLGRREWHQLGRSDUDHODSDUWDGRDN /ĊPRO_ĊV/XHJROD

7HUPRTXtPLFD\&LQpWLFD

3UREOHPD

6H KD PHGLGR OD YHORFLGDG HQ OD UHDFFLyQ $%→& D ž& SDUD OR TXH VH KDQ GLVHxDGR FXDWUR H[SHULPHQWRV REWHQLpQGRVH FRPR UHVXOWDGR OD VLJXLHQWH WDEOD GHYDORUHV

([SHULPHQWR [$R]PROĊ/ _{[%R]PROĊ/ 9PROĊ/ĊV}

· · · · · · · · · · · · 'HWHUPLQH DODOH\GHYHORFLGDGSDUDODUHDFFLyQ EVXFRQVWDQWHGHYHORFLGDG Solución D/DOH\GHYHORFLGDGWHQGUiODIRUPD

[ ] [ ]

α β =NĊ$ Ċ% Y 6HKDGHFDOFXODUα\β

'LYLGLHQGRPLHPEURDPLHPEURODOH\GHYHORFLGDGSDUDORVH[SHULPHQWRV\ 6 1 exp(1) 5 1 exp( 2) 5'5·10 · 1 ·(0 '10 ) ·(0 '10 ) (0 '10 ) (1) 1 1 4 2 4 2 ' 2·10 · ·(0 ' 20 ) ·(0 '10 ) (0 ' 20 ) (2) V mol L k M M M V mol L k M M M α α β α α α β α α − − − − § · = = = = = Ÿ_{¨ ¸} = © ¹ 'HGRQGHVHGHGXFHTXHα SRUWDQWRODUHDFFLyQHVGHVHJXQGRRUGHQUHVSHFWR GH$

'HIRUPDVLPLODUVHRSHUDSDUDFDOFXODUβSHURHQHVWHFDVRVHFRPELQDQODV HFXDFLRQHVGHYHORFLGDGGHOH[SHULPHQWR\GHOGHHVDIRUPDVHHOLPLQDα\ TXHGDFRPRLQFyJQLWDβTXHDOGHVSHMDUODGDβ \TXHODUHDFFLyQHVGHRUGHQ UHVSHFWRGH%

E6HJ~QVHKDGHGXFLGRHQHODSDUWDGRDQWHULRUODHFXDFLyQGHYHORFLGDGVHUi

[ ] [ ]

$ Ċ%

Ċ N

Y ₌ 2

'HHVWDHFXDFLyQSRGHPRVGHVSHMDUODFRQVWDQWHGHYHORFLGDGN\VXVWLWXLUORV GDWRVGHFXDOTXLHUDGHORVFXDWURH[SHULPHQWRV

N ·Ċ_PROĊ/ĊV

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

3UREOHPD

/D UHDFFLyQ $%→$% HV GH SULPHU RUGHQ UHVSHFWR D FDGD UHDFWLYR &XDQGR OD FRQFHQWUDFLyQGH$HV·0\ODGH%HV·0ODYHORFLGDGGHIRUPDFLyQGH$% HV·Ċ_{PROĊ/YDORUGHODFRQVWDQWHGHYHORFLGDG}

E ¢&XiQWR YDOGUi OD YHORFLGDG GH UHDFFLyQ HQ HO PRPHQWR HQ TXH[$] · PR OHV/\[%] ·PROHV/" Solución D/DHFXDFLyQGHYHORFLGDGHVY NĊ[$]Ċ[%]SRUWDQWR

[ ][ ]

3 1 1 2 1 1 1 1 5 '6·10 · · 3'5·10 · · · 0 ' 2 · ·0 '8 · v mol L s k mol L s A B mol L mol L − − − − − − − − = = = E(QHVWHFDVR

[ ][ ]

2 1 1 1 1 3 1 1

·

·

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· ·

·0 '1

·

·0 ' 4

·

1' 4·10

·

·

v

=

k A B

=

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mol

−

L s

−

mol L

−

mol L

−

=

−

mol L s

− −

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

7

HPD

(

TXLOL

E

ULR

4XtPLFR

$

VS

HFWR

V

7HyULFR

V

4.1 Introducción

En los problemas de cálculos estequiométricos tratados en el tema 1, hemos supuesto que las reacciones químicas se detienen cuando uno o más reactivos se agotan. A estas reacciones que transcurren en un solo sentido se denominan irreversibles. Sin embargo, ocurre con frecuencia que los productos que se obtienen reaccionan entre sí dando lugar de nuevo a los reactivos. A estas reacciones que transcurren en los dos sentidos se denominan reversibles y para representarlas se utiliza una doble flecha en las ecuaciones químicas correspondientes:

Reactivos ' productos

Al principio, la velocidad con que tiene lugar la reacción directa es mucho mayor que la de la reacción inversa, debido a la diferencia de concentraciones entre reactivos y productos; pero, a medida que disminuye la cantidad de los reactivos y aumenta la de los productos, las velocidades tienden a hacerse iguales. Cuando esto ocurre, se dice que se ha alcanzado el equilibrio químico. A partir de ese instante, las concentraciones de los reactivos y de los productos permanecen constantes.

El equilibrio químico tiene un carácter dinámico, ya que a nivel microscópico, en un intervalo de tiempo dado, se rompen y se forman el mismo número de moléculas de cualquiera de las especies químicas, no observándose a nivel macroscópico ninguna variación en sus concentraciones.

4.2 Constante de equilibrio

A partir de las leyes de la termodinámica se deduce que en las reacciones en disolución o en fase gaseosa1, cuando se alcanza el equilibrio químico, el cociente entre el

1

Suponemos un comportamiento ideal (disoluciones diluidas y gases a baja presión y temperatura suficientemente alta).

(TXLOLEULRTXtPLFR

producto de las concentraciones molares de los productos y de los reactivos elevados a sus respectivos coeficientes estequiométricos es una cantidad constante que depende solo de la temperatura, denominada constante de equilibrio.

Para una reacción genérica:

a A b B+ ' c C d D+

[ ] [ ]

[ ] [ ]

c d eq eq C a b eq eq C D K A B ⋅ = ⋅

La constante de equilibrio Kc no tiene unidades, ya que es una simplificación para sistemas ideales de la constante de equilibrio termodinámica que es adimensional.

4.3 Cociente de reacción

La expresión matemática del cociente de reacción es similar a la expresión de la constante de equilibrio pero en ella figuran las concentraciones de las especies químicas que intervienen en la reacción en cualquier instante.

[ ] [ ]

[ ] [ ]

⋅ = ⋅ F G D E & ' 4 $ %

En las reacciones reversibles el cociente de reacción nos indica si la reacción está en equilibrio y, si no lo está, el sentido en que evolucionará para alcanzarlo:

- Si Q = Kc, el sistema está en equilibrio.

- Si Q < Kc, el sistema evolucionará hacia la derecha; aumentarán las concentraciones de los productos y disminuirán las de los reactivos hasta que Q se iguale con Kc y se alcance el equilibrio.

- Si Q >Kc, el sistema evolucionará hacia la izquierda; aumentarán las concentraciones de los reactivos y disminuirán las de los productos hasta que Q se haga igual a Kc y se alcance el equilibrio.

4.4 Presiones parciales

Cuando la presión no es muy alta ni la temperatura muy baja, la presión que ejerce una mezcla de gases encerrada en un recipiente depende del número total de moléculas (número de moles) y de la temperatura y no de la naturaleza de los gases que forman la mezcla. Por tanto, una mezcla de gases obedece a la misma ecuación de estado que un gas puro:

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

T T

P V⋅ =n ⋅ ⋅R T

donde PT es la presión total y nT es la suma de los moles de todos los gases que componen la mezcla.

Como cada uno de los gases se expande hasta ocupar toda la capacidad del recipiente, podemos definir la presión parcial de cada componente como la presión ejercida por éste si estuviera sólo en el mismo:

i i

P V⋅ = ⋅ ⋅n R T

siendo Pi y ni la presión parcial y el número de moles del componente “i”, respectivamente.

La presión total de la mezcla gaseosa es igual a la suma de las presiones parciales de todos sus componentes:

T i

P =

¦

P

La presión parcial de un componente de la mezcla se puede calcular también multiplicando su fracción molar “xi” por la presión total “PT”:

i i T P = ⋅x P

La fracción molar de un componente “xi” indica los moles de éste por cada mol de la mezcla y se halla dividiendo los moles del componente entre los moles totales:

i i i n x n =

¦

La suma de las fracciones molares de todos los componentes de una mezcla es igual a 1: i x =1

¦

4.5 Constante de equilibrio KP

En las reacciones en fase gaseosa se suele expresar la constante de equilibrio en función de las presiones parciales de los componentes, al ser estas directamente proporcionales a sus concentración molares. Se representa por KP y es adimensional por la misma razón que lo es KC:

c d C D p a b A B P P K P P ⋅ = ⋅

(TXLOLEULRTXtPLFR

La relación entre KC y KP se obtiene sustituyendo en la expresión anterior las presiones parciales de cada componente en función de su concentración molar

( i i n R T P V ⋅ ⋅ = ):

( )

n P P K =K ⋅ RT Δ

siendo Δn = c + d – a – b; es decir, la diferencia entre la suma de los coeficientes estequiométricos de los productos y de los reactivos en estado gaseoso.

4.6 Grado de disociación

En muchos equilibrios químicos, una especie química se disocia en otras más sencillas; en ellos se suele utilizar el concepto de grado de disociación, que está relacionado con la constante de equilibrio, la concentración inicial de la especie y la estequiometría de la reacción, e indica la extensión en que tiene lugar el proceso directo. El grado de disociación es la fracción de mol que se ha disociado o reaccionado cuando se alcanza el equilibrio. Se designa con la letra “α ” y se calcula dividiendo los moles (o moles/L) que han reaccionado “x” entre los moles (o moles/L) iniciales “n”(o “c”). Su valor está comprendido entre 0 (cuando no hay reacción) y 1 (cuando la reacción es completa).

x x

n (x y n, en moles) ; c (x y c, en moles/L)

α = α =

A veces se suele expresar en porcentaje: 100 x 100 c x % = n α ⋅ = ⋅ 4.7 Equilibrios heterogéneos

Hasta ahora hemos estudiado reacciones reversibles en las que los reactivos y los productos se encuentran en estado gaseoso. A estos equilibrios los denominamos homogéneos, porque todas las especies químicas están en la misma fase. En cambio, en los equilibrios heterogéneos participan especies químicas que se encuentran en más de una fase.

Cuando en una reacción intervienen sólidos o líquidos puros, sus concentraciones no se incluyen en la expresión de la constante de equilibrio2.

2

En la expresión de la constante de equilibrio deberían figurar las actividades de las especies químicas que en condiciones ideales pueden ser sustituidas por las concentraciones molares o las presiones parciales. Para sólidos y líquidos puros a=1 y no se incluye por tanto en Kc y Kp.

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4.8 Principio de Le Chatelier

Un sistema en equilibrio responde a cualquier acción exterior que lo altere, alcanzando un nuevo estado de equilibrio que contrarreste dicha perturbación.

Las acciones que pueden alterar el equilibrio son: los cambios en la concentración de alguna de las especies químicas, los cambios en la presión y los cambios en la temperatura.

El principio de Le Chatelier nos permite predecir cuál será el sentido del desplazamiento del equilibrio de un modo cualitativo. Decimos que el equilibrio se desplaza hacia la derecha o hacia los productos cuando, para alcanzar el nuevo estado de equilibrio, los reactivos reaccionan dando lugar a una cantidad mayor de los productos. Se desplazará hacia la izquierda o hacia los reactivos cuando los productos reaccionen para originar más cantidad de reactivos.

El estudio cuantitativo del desplazamiento del equilibrio debido a cambios en la concentración o en la presión se puede realizar comparando la constante de equilibrio con el cociente de reacción.3

Cambios en la concentración

La variación de la concentración de un componente del sistema por adición o eliminación del mismo es seguida de un desplazamiento del equilibrio en el sentido que contrarreste dicha variación. Es decir, en el sentido que se consuma el componente, si su concentración aumenta, o en el que se obtenga, si su concentración disminuye.

Cambios en la presión

Los cambios de presión sólo afectan a los gases, ya que los líquidos y los sólidos son prácticamente incompresibles.

La presión del sistema en equilibrio se puede modificar de varias formas:

1º- Añadiendo o eliminando un componente gaseoso; con lo cual se produce un cambio en la concentración del componente, que hemos estudiado en el apartado anterior.

2º- Modificando la presión por un cambio de volumen. De la ecuación de los gases ideales se deduce que la presión de un sistema gaseoso es inversamente proporcional al volumen y directamente proporcional a los moles del mismo.

3

El estudio cuantitativo del desplazamiento del equilibrio debido a un cambio de temperatura se hace aplicando las leyes de la termodinámica (ecuación de Van ´t Hoff).

(TXLOLEULRTXtPLFR

Un aumento de la presión producido por una disminución del volumen del sistema provoca que el equilibrio se desplace en el sentido que se contrarreste ese aumento de presión; es decir, en el sentido en que disminuyen los moles (moléculas) de las sustancias gaseosas (a menos moles, menor presión). Una disminución de la presión (producida por un aumento del volumen del sistema) provoca que el equilibrio se desplace en el sentido en el que aumentan los moles (moléculas) de las sustancias gaseosas, para así contrarrestar la perturbación producida (a más moles, mayor presión). Si en el proceso no hay variación en los moles (moléculas), el equilibrio no se ve afectado por los cambios de presión por variación de volumen.

3º- Añadiendo un gas inerte al sistema a volumen constante. La presión total aumenta sin modificar las presiones parciales, que dependen de los moles de cada componente y del volumen total, no afectando al equilibrio.

Cambios en la temperatura

Al aumentar la temperatura, el equilibrio se desplaza en el sentido en el que se absorba calor para contrarrestar dicho aumento; es decir, hacia la izquierda en las reacciones exotérmicas y hacia la derecha en las endotérmicas. Si disminuye la temperatura, el equilibrio se desplaza en el sentido en que se desprenda calor; es decir, hacia la derecha en las reacciones exotérmicas y hacia la izquierda en las endotérmicas.

Adición de un catalizador

La adición de un catalizador produce la misma variación en la velocidad del proceso directo y del inverso, y no afecta, por tanto, a las concentraciones en el equilibrio, aunque sí modifica el tiempo que tarda en alcanzarse el estado de equilibrio.

4.9 Equilibrios de precipitación

Un caso particular de equilibrio heterogéneo se presenta cuando, en el transcurso de una reacción en disolución acuosa, se forma un compuesto iónico poco soluble, por lo que aparece una fase sólida, denominada precipitado, que estará en equilibrio con una disolución muy diluida de los iones constitutivos del sólido.

Este tipo de reacción se produce cuando, en el seno de una disolución acuosa, se adiciona un reactivo químico (usualmente una especie química de naturaleza iónica) que interacciona con otra especie química disuelta de carga opuesta a la del reactivo añadido, formándose un compuesto neutro insoluble, el cual es perceptible de forma visible.

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Cuando el sólido está en equilibrio con sus iones constitutivos en disolución a una temperatura determinada, se dice que esa disolución está saturada, y a la concentración de soluto disuelto se denomina solubilidad de esa especie química, a esa temperatura.

La existencia de un compuesto insoluble en disolución da lugar, inmediatamente, al establecimiento de un equilibrio entre el compuesto en estado sólido y la parte del mismo que se disuelve, estando completamente disociado el compuesto disuelto, tal como se indica en la siguiente expresión:

AmBn (s) ' AmBn (sol) m An+(dis) + n Bm-(dis)

En este caso particular, a la constante de equilibrio se le denomina producto de solubilidad, Ks, y, tal como se ha indicado, las especies sólidas no aparecen en la

expresión de la constante.

Ks = [An+]m [Bm-]n

En lo que sigue, se usará el valor de Ks a partir de las concentraciones molares de las especies disueltas.

4.9.1 Expresión de solubilidad

Si se dispone de una disolución saturada de la sustancia AmBn, se tiene el equilibrio dado por:

AmBn (s) ' AmBn (sol) m An+(dis) + n Bm-(dis) s m·s n·s

en la que si la concentración de compuesto disuelto es s, las concentraciones de sus iones vienen dadas por m·s y n·s para An+(dis) y Bm-(dis), respectivamente. Sustituyendo estos valores en la expresión de Ks:

Ks = (m·s)m · (n·s)n = mm · nn ·sm+n

y despejando, llegamos al valor del parámetro de la solubilidad en función de Ks s = ( Ks / mm · nn)1/(m+n)

(TXLOLEULRTXtPLFR SUSTANCIA KS s AgCl BaSO4 AlPO4 Ag2S Tl2CrO4 PbCl2 CaF2 As2S3 NH4MgPO4 [Ag+] · [Cl-] = s · s [Ba2+] · [SO42-] = s · s [Al3+] · [PO4 3-] = s · s [Ag+]2 · [S2-] = (2 · s)2 · s [Tl+]2 · [CrO42-]2 = (2 · s)2 · s [Pb2+] · [Cl-]2 = s · (2 · s)2 [Ca2+] · [F-]2 = s · (2 · s)2 [As3+]2 · [S2-]3 = (2 · s)2 · (3 · s)3 [NH4+] · [Mg2+] · [PO43-] = s · s · s Ks1/2 Ks1/2 Ks 1/2 (Ks/4)1/3 (Ks/4)1/3 (Ks/4)1/3 (Ks/4)1/3 (Ks/108)1/5 Ks1/3

4.9.2. Efecto de ion común

Es la influencia que ejerce la disolución de un ion sobre una disolución saturada de un compuesto insoluble, uno de cuyos iones debe ser el mismo, cuando se la adiciona a la disolución saturada. El efecto producido es el de la disminución de la solubilidad, es decir, el desplazamiento del equilibrio hacia la izquierda, o sea, hacia la formación de más compuesto insoluble, tal como se puede deducir de la aplicación del principio de Le Chatelier.

Supongamos que disponemos de una disolución saturada del compuesto insoluble, veamos como varía la solubilidad cuando a la suspensión se le añade una disolución de An+ o del ion Bm-, es decir uno de los iones que forma la fase sólida.

Estimemos que adicionamos Bm- hasta una concentración x M, entonces el sistema ya no está en equilibrio, con lo que

[An+] = m · s y [Bm-] = n · s + x

y el sistema se habrá desplazado hacia la formación de más cantidad de compuesto insoluble y, en consecuencia, la solubilidad disminuye.

En el caso de que n·s sea inferior al 5% de x, puede despreciarse n · s frente a x, con lo que las concentraciones de los iones serán:

[An+] = m · s y [Bm-] ≅ x y sustituyendo Ks = (m · s)m · xn = mm · sm · xn y de aquí s = (Ks / mm · xn)1/m

Si hubiéramos añadido An+ hasta una concentración x M y también ocurre que 0’05 · x > m · s, entonces: s = (Ks / nn · xm)1/n

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Ejemplo 1. Supongamos AmBn con m = n = 1: AgCl↓↓↓↓, PbS↓↓↓↓, BaCrO4↓↓↓↓, CaCO3↓↓↓↓, etc.

Se añade A+ hasta una concentración x M a una disolución saturada de AB↓↓↓↓. Podemos escribir:

AB (s) ' AB (sol) A+(dis) + B-(dis)

s s s antes de añadir A+ s’ s’ + x ≅ x s’ después de añadir A+ Por tanto, Ks = s’ · x y de aqui s’ = Ks / x

Después se efectúa la siguiente comprobación: Si 0’05 · x > s’ La simplificación es correcta

Si 0’05 · x ” s’ La simplificación es incorrecta. En este caso, se resuelve la ec. de 2º grado que resulta:

Ks = (s’ + x) · s’ y de aquí s’2 + x · s’ - Ks = 0, siendo la raíz positiva la

solución correcta

Si se adicionara B- la sistemática de resolución es análoga, tal como lo puede comprobar el alumno.

Ejemplo 2. Supongamos AmBn con m = 1 y n = 2: PbCl2↓↓↓↓, CaF2↓↓↓↓, etc.

Se añade la especie A2+ hasta una concentración x M a una disolución saturada de AB2↓↓↓↓.

Podemos escribir:

AB2(s) ' AB2 (sol) A+(dis) + 2 B-(dis)

s s 2 s antes de añadir A+ s’ s’ + x ≅ x 2 · s’ después de añadir A+ Por tanto, Ks = x · (2 · s’)2 y de aqui s’ = (Ks /4 · x)1/2

Después se efectúa la siguiente comprobación: Si 0’05 · x > s’ La simplificación es correcta

Si 0’05 · x ” s’ La simplificación es incorrecta. En este caso, se obtiene una ec. de 3er grado que puede resolverse:

(TXLOLEULRTXtPLFR

Se adiciona B - hasta una concentración x M a una disolución saturada de AB2↓↓↓↓. Podemos

escribir: AB2(s) ' AB2 (sol) A + (dis) + 2 B-(dis) s s 2 s antes de añadir B s’ s’ 2 · s’ + x ≅ x después de añadir B -Por tanto, Ks = s’ · x2 y de aqui s’ = Ks / x2

Después se efectúa la siguiente comprobación: Si 0’05 · x > 2 · s’ La simplificación es correcta

Si 0’05 · x ” 2 · s’ La simplificación es incorrecta. En este caso, se obtiene una ecuación de tercer grado que resulta:

Ks = s’ (2 · s’ + x)

2

Ejemplo 3. Supongamos AmBn con m = 2 y n = 1: Ag2CrO4↓↓↓↓, Hg2S↓↓↓↓, Cu2[Fe(CN)6], etc.

El efecto de ion común de An+ o de Bm- sobre una disolución saturada de A2B se resuelve de modo similar al ejemplo 2. Dejamos como ejercicio para el alumno la resolución de este ejemplo.

4.9.3 Formación de precipitados

Cuando se mezclan dos disoluciones con iones que pueden dar lugar a un compuesto insoluble, se formará o no éste, dependiendo de las concentraciones actuales de los iones que forman la sustancia insoluble.

Ejemplo 4. Supongamos que disponemos de dos disoluciones, una de Pb2+ cuya concentración es x M y otra de S2- cuya concentración es y M. Si estimamos, para facilitar los cálculos, que se mezclan volúmenes iguales de ambas disoluciones y que los volúmenes son aditivos, tendremos que las concentraciones de los iones en la disolución resultante son:

[Pb2+] = x / 2 M y [S2-] = y / 2 debido a la dilución que experimenta cada disolución cuando se mezclan.

Puesto que Ks = [Pb2+] · [S2-] debemos comprobar el producto iónico actual de los iones mezclados, es decir

(x / 2) · (y / 2) > Ks. Se forma un precipitado

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(x / 2) · (y / 2) < Ks. No se forma un precipitado

4.9.4 Disolución de precipitados

La solubilidad de un compuesto insoluble puede aumentar por medio de la ejecución de diversos tipos de reacciones en las disoluciones saturadas de los compuestos insolubles. Entre ellas, podemos citar las reacciones ácido-base, precipitación, complejación y redox. De ellas, vamos a examinar muy brevemente y de forma cualitativa la disolución de compuestos insolubles por medio de una reacción ácido – base.

Ejemplo 5. Sea un compuesto insoluble tal como el Fe(OH)3, cuya ecuación de equilibrio con el hidróxido sólido en disolución acuosa es:

Fe(OH)3 (s) ' Fe(OH)3 (dis) Fe3+ (dis) + 3 OH- (dis) Si se añade un ácido (H+) este reaccionará con la base presente, según

H+ + OH- ' H2O

con lo que el equilibrio se desplaza a la derecha para restablecer la concentración de iones OH- del medio, disolviéndose más precipitado.

Ejemplo 6. Sea un compuesto insoluble tal como el CaCO3, cuya ecuación de equilibrio con el carbonato sólido en disolución acuosa es:

CaCO3 (s) ' CaCO3 (dis) Ca2+ (dis) + CO32- (dis) En medio ácido, los protones reaccionarán con la base presente, según

H+ + CO32- ' HCO3-

con lo que tiende a disolverse más carbonato de calcio para restablecer la concentración de carbonato del medio.

4.9.5 Orden de precipitación

Cuando se dispone de una disolución que contiene dos iones con cargas de igual signo y se adiciona una disolución de otro ion cuya carga sea de signo contrario a la de los iones existentes en la disolución y que formen sales insolubles, es de interés, en muchos casos, conocer cuál de los iones inicialmente presentes en la disolución empieza a precipitar primero.

Sea un volumen V de una disolución que contiene los iones Aa+ y Bb+, a concentraciones 2 · x y 2 · y M de cada uno, respectivamente. Se le adiciona poco a poco

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un volumen V, de una disolución de otro ion, Cc-, cuya concentración es 2 · z, después de mezcladas bien las dos disoluciones las concentraciones de los iones serán:

[Aa+] = x, [Bb+] = y, [Cc-] = z debido a la dilución que se ha producido y las reacciones que pueden ocurrir son:

c Aa+ (dis) + a Cc- (dis) AcCa (dis) ' AcCa (s) c Bb+ (dis) + b Cc- (dis) BcCb (dis) ' BcCb (s)

La condición que debe probarse para averiguar que ion precipita primero es: Aquel que necesita menos concentración de Cc- para alcanzar el producto de solubilidad y por tanto basta con comparar

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&yPR VH PRGLILFDUi OD VROXELOLGDG GHO FDUERQDWR GH FDOFLR VyOLGR EODQFR LQVROXEOH&D&2VLDXQDGLVROXFLyQVDWXUDGDGHHVWDVDOVHOHDGLFLRQD D&DUERQDWRGHVRGLR1D&2 E&D&2 F&ORUXURGHFDOFLR Solución

(OFDUERQDWRGHFDOFLRHVXQVyOLGRLyQLFRPX\SRFRVROXEOHHQDJXDTXH

HVWDUiHQHTXLOLEULRFRQORVLRQHVSURFHGHQWHVGHXQDSHTXHxDIUDFFLyQGHODVDO

TXHVHKDGLVXHOWR

&D&2V'&D&2GLV&DGLV&2GLV

6 VV

D 'LVPLQX\HQGR(OFDUERQDWRGHVRGLRHVVROXEOHHQDJXD \DODxDGLUORDOD

GLVROXFLyQHVWHVHGLVXHOYH\VHGLVRFLDFRPSOHWDPHQWHHQVXVLRQHVVHJ~Q

1D&2V1DGLV&2GLV

/RTXHKDFHTXHODFRQFHQWUDFLyQGHLRQHVFDUERQDWRHQODGLVROXFLyQ

DXPHQWHSURYRFDQGRTXHHOHTXLOLEULRGHVROXELOLGDGGHOFDUERQDGRGHFDOFLR

VHGHVSODFHKDFLDODL]TXLHUGDGHDFXHUGRFRQHO3ULQFLSLRGH/H&KDWHOLHU\

HQFRQVHFXHQFLDGLVPLQX\HQGRODVROXELOLGDG

E 3HUPDQHFH LQDOWHUDEOH3XHVWRTXHHOFDUERQDWRGHFDOFLRHV XQVyOLGR

LQVROXEOHTXHVHDGLFLRQDDXQDGLVROXFLyQVDWXUDGDGHVXVLRQHVQRDIHFWDD

ODVROXELOLGDGGHOFDUERQDWRGHFDOFLR

F'LVPLQX\HQGR(OHIHFWRGHOFORUXURGHFDOFLRHVDQiORJRDOTXHUHDOL]DHO

FDUERQDWRGHVRGLRVLHQGRHQHVWHFDVRHOLRQFDOFLRHOTXHSURYRFDHOHIHFWR

GHLRQFRP~Q\GHVSOD]DHOHTXLOLEULRKDFLDODL]TXLHUGD

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ 'HWHUPLQHVLVHSURGXFHXQSUHFLSLWDGRDSDULFLyQGHXQDIDVHVyOLGDHQHOVHQR GH XQD GLVROXFLyQ FXDQGR VH PH]FODQ GRV YRO~PHQHV LJXDOHV GH GLVROXFLRQHV · 0 GH XQ FDWLyQ LRQ FDUJDGR SRVLWLYDPHQWH\ XQ DQLyQ LRQ FDUJDGR QHJDWLYDPHQWHGHODVVLJXLHQWHVHVSHFLHV D$J_\&O E3E_\, F%L_\6 'DWRV.V$J&O ·Ċ_{.V3E, Ċ.V%L6 ·Ċ} Solución

'HEHSUREDUVHVLHOSURGXFWRLyQLFRDFWXDOGHORVLRQHVHVPD\RUPHQRU RLJXDODOYDORUGHVX.V'HEHWHQHUVHHQFXHQWDTXHODFRQFHQWUDFLyQGHFDGD LRQGLVPLQX\HDODPLWDGSRUFDXVDGHODGLOXFLyQ

D 3UHFLSLWDHOFORUXURGHSODWD

>$J_@

DFWXDOĊ>&O@DFWXDO ·Ċ· !.V$J&O ·Ċ

E 1RSUHFLSLWDHOLRGXURGHSORPR

>3E_@

DFWXDOĊ>,@DFWXDO ·Ċ· .V3E, ·Ċ F 3UHFLSLWDHOVXOIXURGHELVPXWR >%L_@ DFWXDOĊ>6@DFWXDO ·Ċ· !.V%L6 ·Ċ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ ,QGLTXHVLVRQFLHUWDVRIDOVDVODVVLJXLHQWHVDVHYHUDFLRQHV D(OYDORUGHODFRQVWDQWHGHOSURGXFWRGHVROXELOLGDGDOFDQ]DVXPi[LPRYDORU GHVSXpVGHYDULRVPLQXWRV

E 8QD GLVROXFLyQ VDWXUDGD GH XQ FRPSXHVWR LQVROXEOH $P%Q WLHQH XQD FRQFHQWUDFLyQGHVDOGLVXHOWDTXHHVPQYHFHVODVROXELOLGDG

F (O YDORU GH OD FRQVWDQWH GHO SURGXFWR GH VROXELOLGDG GHSHQGH GH OD WHPSHUDWXUD

Solución

(TXLOLEULRTXtPLFR

E )DOVR/DVROXELOLGDGVHGHILQHFRPRODFRQFHQWUDFLyQGHXQDGLVROXFLyQ VDWXUDGD

F &LHUWR.VHVXQDFRQVWDQWHGHHTXLOLEULR\VyORGHSHQGHGHODWHPSHUDWXUD &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ ,QGLTXHVLVRQFLHUWDVRIDOVDVODVVLJXLHQWHVDILUPDFLRQHV D6LDXQDGLVROXFLyQVDWXUDGDGHXQDVDOLQVROXEOHVHOHDxDGHXQRGHORVLRQHV TXHODIRUPDGLVPLQX\HODVROXELOLGDG

E 'RV HVSHFLHV LyQLFDV GH FDUJDV RSXHVWDV IRUPDQ XQ SUHFLSLWDGR FRPSXHVWR LQVROXEOH FXDQGR HO SURGXFWR GH VXV FRQFHQWUDFLRQHV DFWXDOHV HV LJXDO DO SURGXFWRGHVROXELOLGDG F3DUDGHVSOD]DUXQHTXLOLEULRGHVROXELOLGDGKDFLDODIRUPDFLyQGHPiVFDQWLGDG GHVyOLGRLQVROXEOHVHH[WUDHGHODGLVROXFLyQXQDSRUFLyQGHOSUHFLSLWDGR Solución

D 9HUGDGHURSRUHOHIHFWRGHOLRQFRP~Q

E )DOVRSXHVSDUDTXHSUHFLSLWHHVQHFHVDULRTXHVXSHUHHOSURGXFWRGH VROXELOLGDG

F )DOVRSRUTXHODFDQWLGDGGHVyOLGRHQHTXLOLEULRFRQODGLVROXFLyQQRDIHFWD DODFDQWLGDGGLVXHOWD &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ &XHVWLyQ ,QGLTXHVLVRQFLHUWDVRIDOVDVODVVLJXLHQWHVDILUPDFLRQHV

D(OGHVSOD]DPLHQWR GH XQHTXLOLEULRGHVROXELOLGDGGH XQFRPSXHVWRLQVROXEOH KDFLD OD VROXELOL]DFLyQ GHO SUHFLSLWDGR SXHGH KDFHUVH UHWLUDQGR XQR GH ORV LRQHVTXHIRUPDQODVDOLQVROXEOH E6LDXQHTXLOLEULRGHVROXELOLGDGGHXQVyOLGRLQVROXEOHVHOHDxDGHPiVVyOLGR LQVROXEOHHOHTXLOLEULRQRVHGHVSOD]DKDFLDQLQJ~QODGR F/DPRODULGDGGHXQDGLVROXFLyQVDWXUDGDGHXQDVDOLQVROXEOHHVVXVROXELOLGDG Solución D 9HUGDGHUR E 9HUGDGHUR F 9HUGDGHUR

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

5(62/8

&

,Ï1'(352

%

/(0

$

6

Vamos a seguir los pasos que se indican a continuación: 1º- Escribimos la ecuación química ajustada.

2º- Indicamos:

- Los moles o las concentraciones molares iniciales de todas las especies químicas que intervienen.

- La variación que se produce en las cantidades iniciales hasta alcanzar el equilibrio teniendo en cuenta la estequiometría de la reacción.

- Los moles o las concentraciones molares en el equilibrio.

Utilizamos incógnitas para designar las cantidades desconocidas: moles iniciales “n”; variación “x”; etc.

3º- Sustituimos los moles o las concentraciones molares en el equilibrio en las expresiones matemáticas que los relacionan con los datos dados en el enunciado del problema (expresión de la constante de equilibrio, ecuación de los gases ideales, expresión de la fracción molar de un componente, etc.

4º- Resolvemos las ecuaciones correspondientes. 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD

(Q XQ UHFLSLHQWH GH OLWURV D XQD FLHUWD WHPSHUDWXUD VH LQWURGXFHQ ODV FDQWLGDGHV GH +&O 2\ &O LQGLFDGDV HQ OD WDEOD HVWDEOHFLpQGRVH HO VLJXLHQWH HTXLOLEULR +&O J +2 J '+ 2 J +&O J

+&O 2 +2 &O PROHVLQLFLDOHV    PROHVHQHTXLOLEULR  &DOFXOH D /RVGDWRVQHFHVDULRVSDUDFRPSOHWDUODWDEOD E (OYDORUGH.FDHVDWHPSHUDWXUD Solución

D+D\TXHUHFRUGDUTXHORVFRHILFLHQWHVHVWHTXLRPpWULFRVGHXQDHFXDFLyQ TXtPLFDLQGLFDQODUHODFLyQHQWUHORVPROHVGHORVUHDFWLYRVTXHUHDFFLRQDQ\ORV PROHVGHORVSURGXFWRVTXHVHIRUPDQ

(QODUHDFFLyQDQWHULRUSRUFDGDPROHVGH+&OTXHUHDFFLRQDQORKDFHPROGH 2\VHREWLHQHQPROHVGH+2\PROHVGH&O

6LLQLFLDOPHQWHWHQHPRVPROHVGH+&O\HQHOHTXLOLEULRTXHGDQPROHV KDEUiQUHDFFLRQDGR− PROGH+&O$SDUWLUGHHVWHGDWR

(TXLOLEULRTXtPLFR

KDOODPRV ORVPROHVTXH UHDFFLRQDQ \TXHVHIRUPDQ GH ODVRWUDV HVSHFLHV TXtPLFDVTXHLQWHUYLHQHQHQODUHDFFLyQ

⋅ =

PRO2

PROHV2 TXHUHDFFLRQDQ PRO+&O PRO2 PRO+&O

⋅ =

PRO+ 2

PROHV+ 2TXHVHIRUPDQ PRO+&O  PRO+ 2 PRO+&O

⋅ =

PRO&O

PROHV&O TXHVHIRUPDQ PRO+&O  PRO&O PRO+&O

/RVPROHVHQHOHTXLOLEULRVHKDOODQUHVWDQGR D ODVFDQWLGDGHVLQLFLDOHVGH UHDFWLYRV ODV FDQWLGDGHV TXH KDQ UHDFFLRQDGR \ VXPDQGR D ODV FDQWLGDGHV LQLFLDOHVGHORVSURGXFWRVODVFDQWLGDGHVTXHVHKDQIRUPDGR

−

2

Q HT PRO PRO PRO2

Q &O HT PROPRO PRO&O

+

Q 2 HT PROPRO PRO+ 2

E 6XVWLWXLPRV ODVFRQFHQWUDFLRQHVPRODUHV GH ODVHVSHFLHV TXtPLFDV HQ OD H[SUHVLyQPDWHPiWLFDGHODFRQVWDQWHGHHTXLOLEULR

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

§ · §_⋅ · ¨ ¸ ¨ ¸ ⋅ _{© ¹ © ¹} = = = ⋅ § · §_⋅ · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹  PRO  PRO / /  PRO  PRO / / HT HT & HT HT + 2 &O . +&O 2 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD (O12VHGLVRFLDHQ12VHJ~QODHFXDFLyQ 1 2 J ' 12 J 6LHQXQUHFLSLHQWHGHOLWURVHQHOTXHVHKDKHFKRHOYDFtRVHLQWURGXFHQ PROHVGH12\PROHVGH12\VHFDOLHQWDDž& D &DOFXOHHOFRFLHQWHGHUHDFFLyQHQHOLQVWDQWHLQLFLDO E 3URQRVWLTXHHOVHQWLGRHQHOTXHRFXUULUiODUHDFFLyQSDUDDOFDQ]DUHO HTXLOLEULR 'DWR.F Dž&

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

Solución:

D6XVWLWXLPRVODVFRQFHQWUDFLRQHVLQLFLDOHVHQODH[SUHVLyQGHOFRFLHQWHGH UHDFFLyQ

[

]

[

]

 PRO / _  PRO / 12 4 1 2 § · ¨ ¸ © ¹ = = =

E(OVLVWHPDQRHVWiHQHTXLOLEULRSRUTXHHOFRFLHQWHGHUHDFFLyQQRHVLJXDOD ODFRQVWDQWHGHHTXLOLEULR&RPR4 ! .F HOFRFLHQWHGHUHDFFLyQWLHQHTXH GLVPLQXLUDPHGLGDTXHWUDQVFXUUHODUHDFFLyQKDVWDKDFHUVHLJXDOD.FFXDQGR VH DOFDQFH HO HTXLOLEULR 3DUD TXH 4 GLVPLQX\D WLHQH TXH DXPHQWDU OD FRQFHQWUDFLyQ GH 12 TXH ILJXUD HQ HO GHQRPLQDGRU \ GLVPLQXLU OD FRQFHQWUDFLyQGH12TXHILJXUDHQHOQXPHUDGRU3RUWDQWRODUHDFFLyQWHQGUi OXJDUKDFLDODL]TXLHUGD 3UREOHPD $.ODVFRQFHQWUDFLRQHVGH3&O3&O\&OHQHTXLOLEULRSDUDODUHDFFLyQ 3&OJ'3&OJ&OJ VRQ00\0UHVSHFWLYDPHQWH&DOFXOHDHVDWHPSHUDWXUD D/DVSUHVLRQHVSDUFLDOHVGHODVWUHVHVSHFLHVHQHOHTXLOLEULR E/DFRQVWDQWH.SGHODUHDFFLyQ Solución

D &DOFXODPRV OD SUHVLyQ SDUFLDO GH FDGD FRPSRQHQWH VXVWLWX\HQGR VX FRQFHQWUDFLyQPRODUHQODHFXDFLyQGHORVJDVHVLGHDOHV

⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =  PRO⋅  DWPĊ/⋅ . =  DWP / .ĊPRO 3&O 3&O 3&O Q 5 7 3 F 5 7 9 ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =  PRO⋅  DWPĊ/⋅ =  DWP / .ĊPRO 3&O 3&O 3&O Q 5 7 3 F 5 7 . 9 ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =  PRO⋅  DWPĊ/⋅ . =  DWP / .ĊPRO &O &O &O Q 5 7 3 F 5 7 9

(TXLOLEULRTXtPLFR E (VFULELPRVODH[SUHVLyQGH.S\VXVWLWXLPRV ⋅ _⋅ = =  DWP  DWP=  DWP 3&O &O 3 3&O 3 3 . 3 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD (QXQUHFLSLHQWHGH/\DXQDWHPSHUDWXUDGHƒ&VHDOFDQ]DHOVLJXLHQWH HTXLOLEULR &+J+2J'&2J+J

&DOFXOH D /RVGDWRVTXHIDOWDQHQODWDEOD &+ +2 &2 + PROHVLQLFLDOHV    YDULDFLyQHQORVPROHVKDVWDHOHTXLOLEULR − PROHVHQHOHTXLOLEULR  E/DFRQVWDQWHGHHTXLOLEULR.S 'DWR5 ·DWPĊ/Ċ._ĊPRO Solución

D3RUFDGDPROGHDJXDTXHUHDFFLRQDORKDFHXQPROGHPHWDQR\VHIRUPDQ XQPROGHPRQy[LGRGHFDUERQR\WUHVPROHVGHKLGUyJHQR&RPRUHDFFLRQDQ· PROHVGHDJXDORKDUiQFRQ·PROHVGHPHWDQR\VHIRUPDUiQ·PROHVGH&2 \·PROHVGHKLGUyJHQR

YDULDFLyQPROHV&+ −PRO YDULDFLyQPROHV&2 PRO

YDULDFLyQPROHV+ Ċ PRO

,QLFLDOPHQWHQRKD\QDGDGH&2\DTXHORVPROHVGH&2HQHOHTXLOLEULRVRQ ORVTXHVHIRUPDQGXUDQWHODUHDFFLyQ

PROHVLQLFLDOHV&2 PRO

/RVPROHVGHFDGDHVSHFLHHQHOHTXLOLEULRVHREWLHQHQDSDUWLUGHORVPROHV LQLFLDOHV\ODYDULDFLyQTXHVHSURGXFHHQHVWRVKDVWDDOFDQ]DUHOHTXLOLEULR

&+

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

+ 2

Q HT=  PRO−PRO =  PRO+ 2

+

Q HT=  PRO +  PRO = PRO+

E.SVHSXHGHFDOFXODUVXVWLWX\HQGRHQVXH[SUHVLyQPDWHPiWLFDODVSUHVLRQHV SDUFLDOHVHQHOHTXLOLEULRRELHQDSDUWLUGHODUHODFLyQHQWUH.S\.F

žSURFHGLPLHQWR

&DOFXODPRVODVSUHVLRQHVSDUFLDOHVHQHOHTXLOLEULR ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = DWPĊ/  PRO  . .ĊPRO _DWP / &2 &2 Q 5 7 3 9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = DWPĊ/  PRO  . .ĊPRO _DWP / + + Q 5 7 3 9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = DWPĊ/  PRO  . .ĊPRO _DWP / &+ &+ Q 5 7 3 9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = DWPĊ/  PRO  . .ĊPRO _{ DWP} / + 2 + 2 Q 5 7 3 9 6XVWLWXLPRVHQODH[SUHVLyQPDWHPiWLFDGH.S

(

)

⋅ = = = ⋅ ⋅ DWPĊ DWP _ DWPĊ  DWP &2 + 3 &+ + 2 3 3 . 3 3 žSURFHGLPLHQWR &DOFXODPRV.F

[ ]

[ ]

[

] [ ]

§ · §_⋅ · ¨ ¸ ¨ ¸ ⋅ _{© ¹ © ¹} = = = ⋅ § · §_⋅ · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹  PRO  PRO / /  PRO  PRO / / & &2 + . &+ + 2 +DOODPRV.SWHQLHQGRHQFXHQWDTXHΔQ −−

(TXLOLEULRTXtPLFR

( )

Δ

(

)

= ⋅ Q = ⋅  ⋅ =  ⋅ 3 & . . 57 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD (QXQPDWUD]GHXQOLWURGHFDSDFLGDGVHLQWURGXFHQPROHVGHQLWUyJHQR\ PROHVGHKLGUyJHQRVHFDOLHQWDD.\VHHVWDEOHFHHOHTXLOLEULR 1J+J'1+J (QFRQWUiQGRVHTXHVHKDQIRUPDGRPROHVGHDPRQLDFR&DOFXOH D/DFRPSRVLFLyQGHODPH]FODJDVHRVDHQHTXLOLEULR E.F\.SDODFLWDGDWHPSHUDWXUD 'DWR5 DWPĊ/Ċ._ĊPRO Solución

D'HODHVWHTXLRPHWUtDGHODUHDFFLyQVHGHGXFHTXHSRUFDGDPROGH1TXH UHDFFLRQDORKDFHQWUHVPROHVGH+SDUDIRUPDUGRVPROHVGH1+&RPRVH KDQIRUPDGRPROHVGH1+KDEUiQUHDFFLRQDGR

PRO1

PROHV1 TXHUHDFFLRQDQ  PRO1+  PRO1 PRO1+ = ⋅ = PRO+

PROHV+ TXHUHDFFLRQDQ  PRO1+  PRO+ PRO1+

= ⋅ =

/RVPROHVHQHOHTXLOLEULRGH1H+VHREWLHQHUHVWDQGRDORVPROHVLQLFLDOHVORV TXHKDQUHDFFLRQDGR

1

Q HT=  PRO−  PRO =  PRO1

+

Q HT= PRO−  PRO =  PRO+ E6XVWLWX\HQGRHQODH[SUHVLyQGH.F

[ ]

[ ] [ ]

§ · ¨ ¸ © ¹ = = = ⋅ § · §_⋅ · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹  PRO /   PRO  PRO / / HT & HT HT 1+ . 1 +

3DUDFDOFXODU .SXWLOL]DPRVODH[SUHVLyQTXHODUHODFLRQDFRQ .FWHQLHQGRHQ FXHQWDTXHΔQ −− −

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

( )

Δ

(

)

− − = ⋅ Q=  ⋅  ⋅ =  ⋅ 3 & . . 57 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD (QXQUHFLSLHQWHGHOLWURVVHLQWURGXFHQPROHVGHQLWUyJHQR\PROHV GHR[tJHQR6HFDOLHQWDHOUHFLSLHQWHKDVWDž&HVWDEOHFLpQGRVHHOHTXLOLEULR 1J2J'12J (QHVWDVFRQGLFLRQHVUHDFFLRQDHOGHOQLWUyJHQRH[LVWHQWH&DOFXOH D(OYDORUGH.FDGLFKDWHPSHUDWXUD E/DSUHVLyQWRWDOHQHOUHFLSLHQWHXQDYH]DOFDQ]DGRHOHTXLOLEULR 'DWR5 ·DWPĊ/Ċ._ĊPRO Solución

D+DOODPRVORVPROHV1 \GH2TXH UHDFFLRQDQ \ORVPROHVGH12TXHVH IRUPDQ

PROHVGH1 TXHUHDFFLRQDQ  PRO  PRO1 = ⋅ = PRO2

PROHVGH2 TXHUHDFFLRQDQ  PRO1  PRO1

PRO1 = ⋅ = PRO12

PROHVGH12TXHVHIRUPDQ  PRO1  PRO12

PRO1

= ⋅ =

/RVPROHVHQHOHTXLOLEULRVHFDOFXODQDSDUWLUGHORVPROHVLQLFLDOHV \GHOD YDULDFLyQSURGXFLGDHQORVPLVPRV

1

Q HT =PRO−  PRO= PRO1

2

Q HT = PRO−  PRO=  PRO2

= + = 12 Q HT  PRO  PRO12 6XVWLWXLPRVHQODH[SUHVLyQGH.F

[ ]

[ ] [ ]

§ · ¨ ¸ © ¹ = = = ⋅ § · §_⋅ · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹  PRO / _  PRO  PRO / / HT & HT HT 12 . 1 2

E&DOFXODPRVODSUHVLyQWRWDOVXVWLWX\HQGRHQODHFXDFLyQGHORVJDVHVLGHDOHV ORVPROHVWRWDOHVHQHOHTXLOLEULR

(TXLOLEULRTXtPLFR

PROHVWRWDOHV Q7  PRO ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = =  PRO  DWPĊ/Ċ. Ċ PRO .  DWP / 7 7 Q 5 7 3 9 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD (QXQUHFLSLHQWHGHOLWURVVHLQWURGXFHQPROHVGHFRPSXHVWR$\PROGHO FRPSXHVWR%6HFDOLHQWDDž&\VHHVWDEOHFHHOVLJXLHQWHHTXLOLEULR $J%J'&J

6DELHQGR TXH FXDQGR VH DOFDQ]D HO HTXLOLEULR HO Q~PHUR GH PROHV GH % HV LJXDODOGH&&DOFXOH D/DVFRQFHQWUDFLRQHVGHFDGDFRPSRQHQWHHQHOHTXLOLEULR E(OYDORUGHODVFRQVWDQWHVGHHTXLOLEULR.&\.3DHVDWHPSHUDWXUD 'DWR5 ·DWPĊ/Ċ._ĊPRO Solución

D(VFULELPRVODHFXDFLyQTXtPLFDDMXVWDGDHLQGLFDPRVORVPROHVLQLFLDOHVVX YDULDFLyQ KDVWD DOFDQ]DU HO HTXLOLEULR GHWHUPLQDGD SRU ORV FRHILFLHQWHV HVWHTXLRPpWULFRV \ORVPROHVHQHOHTXLOLEULRSDUDFDGDXQDGHODVHVSHFLHV TXtPLFDVTXHLQWHUYLHQHQ

&RPRFDGDPROGH$UHDFFLRQDFRQPROHVGH%SDUDIRUPDUPROHVGH&VL VXSRQHPRVTXHUHDFFLRQDQ´[µPROHVGH$ORKDUiQFRQ´[µPROHVGH%SDUD IRUPDU´[µPROHVGH&

$J %J ' &J

PROHVLQLFLDOHV YDULDFLyQ −[ −[ [ PROHVHTXLOLEULR −[ −[ [

(OHQXQFLDGRLQGLFDTXHHQHOHTXLOLEULRORVPROHVGH%VRQLJXDOHVDORVGH& SRUWDQWR

PROHV% PROHV& [ [ [ 

= − = Ÿ = =

6XVWLWXLPRVSDUDKDOODUODVFRQFHQWUDFLRQHVGHFDGDFRPSRQHQWHHQHOHTXLOLEULR

[ ]

[ ]

PRO  PRO  0 / / HT HT [ & % ⋅ = = = =

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

[ ]

(

)

PRO

(



)

PRO  0 / / HT [ $ − − = = =

E(VFULELPRVODH[SUHVLyQGHODFRQVWDQWHGHHTXLOLEULR.F\VXVWLWXLPRV

[ ]

[ ] [ ]

(

(

) (

)

)

= = = ⋅ ⋅ ⋅  0   0  0 HT & HT HT & . $ %

&DOFXODPRV.SDSDUWLUGH.FWHQLHQGRHQFXHQWDTXHΔQ −− −

( )

Δ

(

)

− = ⋅ Q=  ⋅ ⋅  ⋅ =  3 & . . 57 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD 3UREOHPD

6HLQWURGXFHXQDPH]FODGHPROHVGH+<PROHVGH,HQXQUHFLSLHQWH GHOLWUR\VHFDOLHQWDDODWHPSHUDWXUDGHž&&DOFXOH

D /DV FRQFHQWUDFLRQHV GH + ,\ +, HQ HO HTXLOLEULR VDELHQGR TXH D HVD WHPSHUDWXUDODFRQVWDQWHGHHTXLOLEULR.FHVSDUDODUHDFFLyQ +J,J'+,J E(OYDORUGHODFRQVWDQWH.SDODPLVPDWHPSHUDWXUD 'DWR5 DWPĊ/Ċ._ĊPRO Solución

D(VFULELPRVODHFXDFLyQTXtPLFDDMXVWDGDHLQGLFDPRVORVPROHVLQLFLDOHVVX YDULDFLyQKDVWDDOFDQ]DUHOHTXLOLEULR\ORVPROHVHQHOHTXLOLEULR

+J ,J ' +,J

PROHVLQLFLDOHV   YDULDFLyQ −[ −[ [ PROHVHTXLOLEULR −[ −[ [

6XVWLWXLPRVHQODH[SUHVLyQGHODFRQVWDQWHGHHTXLOLEULR

[ ]

[ ] [ ]

(

)

(

)

₍

( )

₎

§ · ¨ ¸ © ¹ = = = = − − ⋅ _⋅ − PRO / _  PRO  PRO _ / / HT & HT HT [ +, [ . [ [ + , [

(TXLOLEULRTXtPLFR GHGRQGH   PROHV  [ _[ [− = Ÿ =

/DVFRQFHQWUDFLRQHVHQHOHTXLOLEULRVRQ

[ ]

[ ]

  PRO  0 / HT HT + , − = = =

[ ]

HT  PRO +,  0 / ⋅

E(OYDORUGH .SVHFDOFXODDSDUWLUGHODH[SUHVLyQTXHORUHODFLRQDFRQ .F WHQLHQGRHQFXHQWDTXH

Δ

n

−−

( )

Δ = ⋅ Q =  ⋅ ⋅ =  3 & . . 57

&XDQGRHQXQDUHDFFLyQQRVHSURGXFHXQDYDULDFLyQHQORVPROHVPROpFXODV WRWDOHVGHODVHVSHFLHVHQIDVHJDVHRVD.S\.FVRQLJXDOHV 3UREOHPD (QXQDYDVLMDTXHWLHQHXQDFDSDFLGDGGHOLWURVVHKDFHHOYDFtR\VHLQWURGXFHQ JUDPRV GH + \ JUDPRV GH , 6H HOHYD OD WHPSHUDWXUD D ž& HVWDEOHFLpQGRVHHOVLJXLHQWHHTXLOLEULR

,J+J'+,J

SDUDHOTXH.FYDOH&DOFXOH D0ROHVGH+,TXHVHKDQIRUPDGR E0ROHVGH,SUHVHQWHVHQHOHTXLOLEULR 'DWRV0DVDVDWyPLFDV+ ,

Solución

D+DOODPRVORVPROHVLQLFLDOHVGH+\GH, + PRO+ Q  J+  PRO+ J+ ⋅ = , PRO, Q J,  PRO, J, = ⋅ =

,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

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6XVWLWXLPRV

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D , QGLFDPRVORVPROHVHQHOHTXLOLEULRHQIXQFLyQGHORVPROHVLQLFLDOHV \VX YDULDFLyQKDVWDHOHTXLOLEULR

(TXLOLEULRTXtPLFR

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(Q XQ UHFLSLHQWH GH / D . VH LQWURGXFHQĊ _{PROHV GH &2\ XQD} FLHUWDFDQWLGDGGH+SURGXFLpQGRVHODUHDFFLyQ

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,QLFLDFLyQDOD4XtPLFD

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b) /RVPROHVHQHOHTXLOLEULRGHWRGDVODVHVSHFLHVTXtPLFDVSUHVHQWHV 'DWRV5 ·DWPĊ/Ċ._ĊPRO.F

Solución

D3ODQWHDPRVHOSUREOHPDLQGLFDQGRFRQODLQFyJQLWD´QµORVPROHVLQLFLDOHVGH +\FRQODLQFyJQLWD´[µODYDULDFLyQHQHOQ~PHURGHPROHVKDVWDDOFDQ]DUHO HTXLOLEULR

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Q7 Q−[_{−[[[ Q}

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/RVPROHVHQHOHTXLOLEULRVRQ

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Q HT  PRO  PRO  PRO+

(TXLOLEULRTXtPLFR

− − −

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Q HT  PRO  PRO  PRO&2

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(Q XQ PDWUD] GH XQ OLWUR Dž& VH LQWURGXFHQ PROHV GH\RGXUR GH KLGUyJHQR\VHFLHUUDHVWDEOHFLpQGRVHHOHTXLOLEULR +,J ,J+J (QHVWDVFRQGLFLRQHVODIUDFFLyQPRODUGHO+,HQODPH]FODHV&DOFXOH D/DVFRQFHQWUDFLRQHVGHFDGDJDV\.F E/DSUHVLyQSDUFLDOGHFDGDJDV\.S 'DWRV0DVDVDWyPLFDV+ O, Solución

D(VFULELPRVODHFXDFLyQTXtPLFDHLQGLFDPRVORVPROHVHQHOHTXLOLEULRHQ IXQFLyQGHORVPROHVGH+,TXHUHDFFLRQDQ +,J ' ,J +J PROHVLQLFLDOHV  YDULDFLyQ −[ [ [

PROHVHTXLOLEULR −[ [ [

PROHVWRWDOHVHQHOHTXLOLEULR −[[[ PRO

6XVWLWXLPRVHQODH[SUHVLyQGHODIUDFFLyQPRODUGH+,\GHVSHMDPRV´[µ   [ PRO  +, +, +, + , Q [ [ Q Q Q − − = = Ÿ = ⋅ + +

+DOODPRVODFRQFHQWUDFLyQGHFDGDFRPSRQHQWHHQHOHTXLOLEULR

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HT

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HT

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HT  PRO  PRO +, 0 + , 0 / / − − − − ⋅ ⋅ ⋅ = = = = = ⋅ &DOFXODPRV.F