4. Integral de línea de funciones escalares de dos y tres variables

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Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias Exactas AN ÁLISIS MATEM ÁTICO II (CiBEx - F´ısica Médica)

(2014 – Segundo Semestre)

GU´IA Nro. 5 (PARTE B) INTEGRACI ´ON DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

4. Integral de l´ınea de funciones escalares de dos y tres variables

En la Sección 3 de la Gu´ıa 2 hemos visto la manera de calcular la longitud de una curva C en el plano o el espacio. Si~r(t), con t∈[a, b], es una parametrización de la curva, su longitud está dada por

LC =

Z b

a

|~r 0(t)|dt

Una curva arbitraria puede ser aproximada por una poligonal (ver Figura 11 de la Gu´ıa 2), esto es una sucesi´on de n “peque˜nos segmentos” de longitud ∆s= LC

n =|~r

0₍_t₎_|_∆_t_{. Para calcular la longitud total de la} curva construimos una suma de Riemann, sumando la longitud de esos segmentos:Pn

1 ∆s; en el l´ımite paran

tendiendo a infinito, los segmentos son infinitesimalmente peque˜nos y midends. Escribimos simb´olicamente

LC = Z C ds= Z C 1ds

donde, en la última expresión, indicamos que cada término de la suma de Riemann tiene un valor (o peso) igual a 1 a lo largo de la curva. Podemos imaginar una función de dos o tres variables, que asigna el valor 1 en cada punto de la curva.

Ahora supongamos que la curva traza un camino en una región del plano o del espacio donde está definida una función no necesariamente igual a 1, ni siquiera constante. Podemos ir sumando el valorf de la función a medida que se sigue una trayectoria. Ser´ıa como en un juego de pacman, en el que se van acumulando los puntos que se encuentran en distintas ubicaciones (x, y) de la pantalla; ¿cuál es (= cómo se calcula) el puntaje total acumulado en una partida?

Esta discusión nos lleva a la definición de integral de una función escalar de varias variables a lo largo de una trayectoria, conocida como integral de l´ınea, de camino, o de curva.

La integral de una funciónf de dos o de tres variables (no necesariamente la función constante 1, como en la introducción) a lo largo de una curvaC del plano o del espacio, respectivamente, se denominaintegral de l´ınea o de curva o de camino, con respecto a la longitud de arco. Se denota simbólicamente como

Z

C

f ds

y se define formalmente como el l´ımite de las sumas de Riemann de la funci´on f evaluada en puntos de la curva por la longitud del elemento de arco de la curva, ∆s, que puede expresarse como|~r 0(t)|dt siendo~r(t) una parametrizaci´on deC (recordar Gu´ıa 2).

DEFINICI ´ON:

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Sea~r(t), cont∈[a, b], una parametrizaci´on de C. Entonces se define laintegral de l´ınea de f (con respecto a la longitud de arco) a lo largo de C como

Z C f ds = = Z b a f(~r(t))|~r 0(t)|dt= Z b a f(x(t), y(t))p[x0₍_t_)]2_{+ [}_y0₍_t_)]2_dt

Escriba una definición análoga para una función de tres variables y una curva en el espacio.

Observe que en la definici´on se da una “receta” concreta para hacer la cuenta: la integral de l´ınea se expresa y se calcula como una integral “simple” en la variable t, que es una integral definida entre t=ay t=b, y por lo tanto da como resultado un n´umero.

Se puede probar que si f es continua en C y si la curva C es suave (a trozos), entonces la integral de l´ınea existe.

Veamos algunos ejemplos t´ıpicos de integral de l´ınea de una función escalar. A partir de estos ejemplos, aprovechamos para mencionar algunas propiedades y caracter´ısticas de este tipo de cálculo, as´ı como una interpretación geométrica. Continuaremos el estudio de integrales de l´ınea en la Gu´ıa 6, pero aplicado a otro tipo de funciones (los campos vectoriales), que presentan propiedades y caracter´ısticas algo diferentes.

EJEMPLO 25:Determinar el valor deR

Cf ds, dondef(x, y) =xy4 y Ces la porci´on en el semiplano derecho de la circunferencia de radio 4 alrededor del origen.

Una parametrización posible para la curva es C :~r(t) = (4 cost,4 sent), t∈[−π₂,π₂], que le asigna sentido antihorario. Los dos ingredientes necesarios para el cálculo son: i) la función evaluada en los puntos de la curva, esto es, la cantidad xy4 cuando x = x(t) = 4 cost, e y = y(t) = 4 sent; ii) el módulo del vector tangente a la curva, esto es, la norma de~r 0(t) = (−4 sent,4 cost). Luego

Z

C

xy4ds=

Z π/2

−π/2

[4 cost(4 sent)4]p(−4 sent)2_{+ (4 cos}_t₎2_dt_{= 4}6 Z π/2

−π/2

cost sen4t dt

que se resuelve por el m´etodo de sustituci´on, conu= sent, y da R

Cf ds= 4

6 2

5 = 1638,4.

Como ejercicio, calcule la integral de l´ınea de f(x, y) =xy4: 1) utilizando otra parametrizaci´on para la misma curvaC;

2) a lo largo del cuarto de circunferencia en el IV cuadrante y del cuarto de circunferencia en el I cuadrante, y luego sume ambos resultados;

3) a lo largo de la curva C = −C, que corresponde a la misma semicircunferencia pero recorrida en sentido horario.

Verifique que, en todos los casos, el resultado no var´ıa.

Se pueden demostrar las siguientes propiedades:

PROPIEDAD 1: La integral de l´ınea de una función escalar no depende de la parametrización utilizada para la curva, siempre que ésta sea recorrida una sola vez.

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PROPIEDAD 2:La integral de l´ınea de una función escalar a lo largo de una curva formada por dos tramos, es igual a la suma de las integrales de l´ınea de dicha función a lo largo de cada tramo. Simbólicamente,

Z C1SC2 f ds= Z C1 f ds+ Z C2 f ds

PROPIEDAD 3: La integral de l´ınea de una funci´on escalar es independiente del sentido de recorrido de la curva. Simb´olicamente,

Z −C f ds= Z C f ds

EJEMPLO 26: Calcular la integral de l´ınea de la funci´on f(x, y) =x a lo largo de la curva frontera de un c´ırculo Dcentrado en el origen.

Por ser C la frontera de una región del plano, se trata de una curva cerrada (el punto inicial y el final de la curva “coinciden”). Es común usar una notación especial en estos casos:

I

C

f ds

para indicar expl´ıcitamente que C es cerrada. (Veremos más adelante, qué relación existe entre la integral doble en una regiónD y la integral de l´ınea a lo largo de la curva frontera de D...).

Suponiendo que el radio del c´ırculo es R (fijo), una parametrizaci´on de su frontera es C : ~r(t) = (Rcost, Rsent), con t∈[0,2π], recorriendo el borde en sentido antihorario (y, por lo tanto, dejando al c´ırculo Dsiempre a la izquierda de la curva; para notar esto, imaginemos que vamos caminando en el sentido de C). Luego I C x ds= Z 2π 0 (Rcost) (R dt) =R2 Z 2π 0 cost dt= 0 cualquiera sea el radio.

En la Secci´on 1 de esta Gu´ıa 5, comentamos que la integral doble RR

Dx dA se anula si D es un c´ırculo centrado en el origen, por simetr´ıa.

Aqu´ı podemos aplicar la misma propiedad de simetr´ıa: la integral de l´ınea de una funci´on impar en x (e independiente de y, en este caso) a lo largo de una curva sim´etrica respecto del eje y, da 0 (pensar en las sumas de Riemann: a cada elemento de arco ∆s se lo multiplica por el valor de x, y hay tantos valores positivos como negativos que se cancelan).

EJEMPLO 27: Evaluar la integral de l´ınea de una funci´on positiva f(x, y) a lo largo de la curva C

que es el segmento de recta sobre el eje xdesde el puntoA(a,0) hasta el puntoB(b,0), conaybfijos. Interpretar gr´aficamente el resultado.

Una parametrización (trivial) para la curva dada es C:~r(t) =t˘i+ 0 ˘j, cont∈[a, b]. Luego ~r 0(t) = ˘i, que tiene módulo 1. Por otro lado, debemos evaluar la función en puntos de la curva, que son de la forma P(t,0); esto da f(x(t), y(t)) =f(t,0). Luego, definiendo F(x) =f(x,0), tenemos

Z C f ds= Z b a f(t,0) 1dt= Z b a F(x)dx

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La ´ultima integral simple, siendo F(x) positiva, sabemos que puede interpretarse gr´aficamente como el ´

area bajo la gráfica de dicha función de una variable. Por otro lado, si lo que calculamos es la integral doble de f(x, y) en una región D del plano, obtenemos el volumen del sólido encerrado debajo de la gráfica (3D) de dicha función de dos variables.

Nos preguntamos: ¿qu´e interpretaci´on podemos darle a R

Cf(x, y)ds ? Volviendo (otra vez) a la noción de sumas de Riemann, esto es una suma de pequeños intervalos ∆s por el valor de la función en algún punto elegido de dicho segmento. Pensando en la gráfica (en el espacio) de la función f(x, y), observamos que estamos sumando las áreas de rectángulos de base ∆s y altura f. Luego la integral de l´ınea de f(x, y) (positiva) a lo largo de una curvaC del planoxy, da el valor del área de la “pared curva” que sigue la forma de C en la base y tiene altura dada por el valor def en los puntos de la curva. Ver Figura 12. (Al principio de esta sección dimos otra interpretación cuando se trata de la función constante 1, como la longitud de la curva. Ambas interpretaciones son válidas: R_C1ds da el valor numérico LC de la longitud de la curva C, y también da el valor numérico del área de la pared lateral con base C y altura 1: LC1; sólo cambian las unidades de medida).

Figura 12: Integral de l´ınea de f(x,y) como área de la pared curva con base C y altura f(x, y). Imagine un tinglado cuyo techo tiene forma de cilindro parabólico. Las paredes laterales (los lados hacia donde el techo cae) son rectangulares y su área es fácil de calcular. Pero la pared del frente y del fondo no son rectángulos: realice un dibujo de la situación, luego proponga una función y una curva adecuadas de modo que la integral de l´ınea dé el área de cada una de estas paredes.

Veamos ahora un ejemplo para una curva en el espacio y una funci´on de tres variables.

EJEMPLO 28: Hallar R_Cxeyzds, donde C es el segmento de recta que une el origen con el punto (1,2,3).

El segmentoCpertenece a la rectaLque pasa por el origen y tiene vector director~v= (1,2,3)−(0,0,0). Luego un conjunto de ecuaciones param´etricas paraL es

L:      x= 0 + (1−0)t y= 0 + (2−0)t z= 0 + (3−0)t , t∈_R

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Si queremos describir el segmento C, basta con restringir tal intervalo[0,1](revea en las Gu´ıas 1 y 2 la forma de parametrizar un segmento de recta entre dos puntos dados). El vector ~r 0(t) cuyo m´odulo necesitamos, no es m´as que~v, que tiene norma constante igual a √14. Luego

Z C xeyzds= Z 1 0 te2t3t (√14dt) cuyo valor es √14 (e6−1)/12 (compru´ebelo, integrando por partes).

PARA PENSAR: Analice cuánto vale la integral de l´ınea de una función de dos variables a lo largo de una curva de nivel de dicha función; apl´ıquelo a la función f(x, y) =x2+ 2y2, grafique.

¿Y si se trata de una funci´on de tres variables, y la curva se encuentra sobre una superficie de nivel? D´e ejemplos.

Completamos esta sección definiendo otras integrales que utilizaremos más adelante. DEFINICI ÓN:

Sea f(x, y) una funci´on escalar de dos variables con dominio D⊂_R2_{, y sea}_C _⊂_D _{una curva en el plano.}

Sea~r(t), con t∈[a, b], una parametrizaci´on de C. Entonces se define la integral de l´ınea de f con respecto a la variable x a lo largo deC como

Z C f dx = = Z b a f(x(t), y(t))x0(t)dt

y la integral de l´ınea de f con respecto a la variabley a lo largo deC como

Z C f dy = = Z b a f(x(t), y(t))y0(t)dt

Escriba una definición análoga para una función de tres variables y una curva en el espacio. EJEMPLO 29: Evaluar R

C(xy+ lny)dy, donde C es el arco de la par´abola y = x

2 _{que va desde} A(1,1) hasta B(3,9).

En primer lugar, notemos que la funci´on a integrar, f(x, y) = xy + lny, tiene como dominio de continuidad todo el semiplano superior, sin el eje x; entonces f es continua a lo largo de la curva C

dada, ya que ´esta no contiene ning´un puntoP(x, y)cony≤0. Luego, podemos asegurar que la integral existe.

Consideremos la parametrizaci´on trivial para la curva: ~r(t) = (t, t2), t∈[1,3]. De esta funci´on vecto-rial, necesitaremos en este caso solamente la derivada de su segunda componente, y0(t) = 2t. Luego

Z C (xy+ lny)dy= Z 3 1 [tt2+ ln(t2)](2t dt)

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Completar la cuenta.

Repetir el cálculo para la curva−C, o sea el arco de parábola que va desde B hastaA. ¿Qué observa?

Es importante notar que en el caso de las integrales de l´ınea con respecto a una variable (y no con respecto a la longitud de arco), el sentido de recorrido de la curva s´ı afecta el resultado. As´ı, por ejemplo, en lugar de la Propiedad 3 dada antes, se tiene:

La integral de l´ınea de una funci´on escalar con respecto a una variable depende del sentido de recorrido de la curva. Simb´olicamente,

Z −C f dx=− Z C f dx , Z −C f dy=− Z C f dy

Esto se ve claramente en la definici´on, donde aparecen los factoresx0(t) ey0(t), cuyo signo se invierte cuando cambia el sentido de recorrido de la curva.

EJEMPLO 30: Se desea calcular H_C[y dx−x dy], dondeC es la curva frontera de un rectángulo en el plano con uno de sus vértices en el origen y el vértice opuesto en (3,5) (ver Figura 13), recorrida en sentido “antihorario”. Podemos aclarar que en el caso de curvas cerradas en el plano, si no se especifica el sentido del recorrido supondremos que es “antihorario” (o sea, dejando a la región a su izquierda).

Figura 13: Curva frontera a trozos para el rect´angulo

Antes de hacer ningún cálculo, conviene analizar qué tramos de la curva contribuyen a cada una de las integrales. Empezando por el origen, llamemos C1, C2, C3 y C4 respectivamente, a los lados del

rect´angulo con sentido antihorario. Ver figura. Tomemos C1 y C3 que son dos tramos horizontales: se

parametrizan por medio de funciones vectoriales con segunda componente constante, luego y0 = 0 en ambos casos y por lo tanto la integral de l´ınea de la funci´on−x respecto dey para los tramosC1 yC3

no contribuye.

An´alogamente ocurre con la integral de l´ınea de la funci´ony respecto dex para los tramosC2 yC4.

Tampoco contribuyen R_C

1y dx pues y= 0, ni

R

C4(−x)dy pues x= 0.

De las 8 integrales de l´ınea que se deb´ıan resolver, solo quedan 2. Termine el ejercicio, sin hacer c´alculos de integrales!

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4.1. Aplicaciones de las integrales de l´ınea

Sabemos que conociendo la densidad de masa, podemos calcular la masa y el centro de masa de una lámina delgada mediante integrales dobles, o la masa y el centro de masa de un cuerpo sólido usando integrales triples. Veremos a continuación que las integrales de l´ınea nos permiten calcular la masa total y el centro de masa de un alambre delgado, si conocemos la densidad lineal de masa (masa por unidad de longitud).

4.1.1. C´alculo de la masa total y coordenadas del centro de masa de un alambre delgado

Supongamos un alambre que toma la forma de una curva C en el plano y tiene densidad lineal de masa en un punto (x, y)∈Cdada porρ(x, y), donde ρ(x, y) es una funci´on continua. Se demuestra que la masa total del alambre es:

m=

Z

C

ρ(x, y)ds

Tambi´en puede calcularse el centro de masa de un alambre con densidadρ(x, y) a lo largo de una curvaC, estando dadas sus coordenadas (xCM, yCM), por:

xCM = 1 m Z C x ρ(x, y)ds yCM = 1 m Z C y ρ(x, y)ds

donde mes la masa total del alambre.

Si el alambre toma la forma de una curva C en el espacio y conocemos su densidad lineal de masaρ(x, y, z) en cada punto de la curva, mediante integrales de l´ınea semejantes a las dadas, podemos calcular la masa y el centro de masa del alambre tambi´en en este caso. Escriba las correspondientes ecuaciones, teniendo en cuenta que ρ es una funci´on de tres variables y C es una curva en el espacio.

EJEMPLO 31:Un arco de metal delgado (alambre), m´as denso en la parte inferior que en la superior, se encuentra a lo largo de la semicircunferenciax2+y2 = 1,y≥0, en el planoxy. Determinar la masa y el centro de masa del arco, si la densidad en el punto (x, y) del arco es ρ(x, y) = 2−y

Utilizamos la parametrizaci´on de la semicircunferencia dada por ~r(t) = cost ˘ı+ sent ˘, cont∈[0, π]. Luego~r 0(t) =−sent ˘ı+ cost ˘, que tiene m´odulo 1. La masa es:

Z C ρ(x, y)ds= Z π 0 (2−sent)dt= 2(π−1)

Notamos que xCM = 0 ya que ρ no depende de x y el arco es sim´etrico con respecto al eje y. Para calcular yCM, hacemos primero:

Z C yρ(x, y)ds= Z π 0 (sent)(2−sent)dt= −2 cost− 1 2t+ 1 4sen 2t π 0 = 8−π 2 Por lo que, yCM = 8−π 4(π−1)

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El centro de masa es entonces: CM : 0, 8−π 4(π−1) EJERCICIOS DE LA SECCI ´ON 4:

1. Eval´ue las siguientes integrales de l´ınea dondeC es la curva dada: a) R_C yexds,C es el segmento de recta que une (1,2) a (4,7). b) R

C x

2_{z ds}_,_C _{es el segmento de recta que va de (0}_,₆_,₋_{1) a (4}_,₁_,_5).

c) R

C xz ds,C:x= 6t, y= 3 √

2t2_{, z}_{= 2}_t3_{, 0}_≤_t_≤_1.

2. Encuentre la integral de l´ınea def(x, y) = 5x2+ 5y2 a lo largo de la circunferencia de radio 3 centrada en el origen (utilice alguna de las propiedades estudiadas).

3. Calcule las siguientes integrales de l´ınea:

a) R_C senx dx,C es el arco de la curvax=y4 que va de (1,−1) a (1,1).

b) R_C[x√y dx+ 2y√x dy], donde C est´a formada por el arco m´as corto del c´ırculo x2+y2 = 1 de (1,0) a (0,1) y el segmento de recta de (0,1) a (4,3).

c) R_C[yz dy+ xy dz], donde C:x=√t, y=t, z =t2, 0≤t≤1.

4. Determine H_C[xydx+x2dy], siendoC el borde del tri´angulo con v´ertices en (0,0), (1,0) y (1,2). 5. Un alambre delgado se dobla en forma de semicircunferencia x2+y2= 4, x≥0. Si la densidad lineal

es una constante kg/cm, encuentre la masa y el centro de masa del alambre.

6. Halle la masa y centro de masa de un alambre en forma de h´elice ~r(t) = 2 sent ˘ı+ 2 cost ˘+ 3t k˘, 0≤t≤2π, si la densidad lineal del alambre es una constante k.

5. Integral de superficie de funciones escalares de tres variables

Hasta aqu´ı hemos trabajado la integración de funciones escalares de dos y de tres variables, cuando la región de integración es una región del plano [integral doble], una región sólida del espacio [integral triple], y una curva [integral de l´ınea]. En esta sección introducimos la noción de integral de superficie, que –pensado en términos de sumas de Riemann– consiste en dividir una superficie en pequeños “parches” y acumular el valor de una función (de tres variables) multiplicado por el área de cada elemento de superficie.

Para integrales de l´ınea vimos que, a los fines prácticos, se busca una parametrización para la curva sobre la que se va a integrar, por medio de una función vectorial~r(t), cont en cierto intervalo; esto permite evaluar la función en puntos de la curva y además calcular la longitud del elemento de arco. Para integrales de superficie se procede de manera análoga. Como primer paso, entonces, buscamos una descripción paramétrica para la superficie sobre la cual que se va a integrar. Esto se logra por medio de una función vectorial de dos parámetros ~r(u, v), con u y v en cierta región. Debemos encontrar también el área de un elemento de superficie.

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5.1. Superficies param´etricas y funciones vectoriales de 2 variables

¿Cómo describimos una superficie en el espacio? Podemos, por ejemplo, usar coordenadas cartesianas y expresar z como una función de x e y [z=g(x, y), como z=x2+y2], o también x como una función de y

y de z, ó y en términos de x yz. Otra opción es dar una relación entrex, y, z que defina impl´ıcitamente a una de las variables como una función de las otras dos [G(x, y, z) = 0, como x2y+zy2−3xz3= 0]. Algunas superficies se describen mejor cuando las coordenadas x, y, z están dadas en términos de dos parámetros [x=x(u, v), y =y(u, v), z=z(u, v)], de manera análoga a las curvas que se describen dandoxeyen función de un parámetrot.

En esta sección discutimos la forma paramétrica de describir una superficie en el espacio, por medio de una función vectorial ode valores vectoriales, cuyo rango es un conjunto de vectores enV3 y cuyo dominio es un

conjunto de pares ordenados en el plano de par´ametros.

Veamos un ejemplo de superficie param´etrica (o parametrizable):

EJEMPLO 32: Hallar una funci´on vectorial apropiada que parametrice la superficie esf´erica S de radio 3 centrada en el origen.

Conocemos la ecuaci´on cartesiana de la cu´adrica

S: x2+y2+z2= 9 Tambi´en sabemos que en coordenadas esf´ericas se tiene

S : ρ= 3

y de la transformaci´on entre coordenadas esf´ericas y cartesianas, en este caso con ρ fijo, se tiene

x= 3 senφcosθ y= 3 senφsenθ z= 3 cosφ

Vemos que las coordenadas (x, y, z) de un punto cualquiera de la superficie esférica S quedan bien determinados dando el valor de dos cantidades:φyθ, que toman valores en los intervalos[0, π]y[0,2π], respectivamente. EntoncesS puede ser descripta mediante una función que a cada par de valores de los parámetrosφyθle asigne el vector que va deO a P: −OP−→= 3 senφcosθ ˘ı+ 3 senφsenθ ˘+ 3 cosφ ˘k, es decir, mediante una función con valores vectoriales. Escribimos entonces

S : ~r(u, v) = (3 senucosv,3 senusenv,3 cosu), conu∈[0, π], v∈[0,2π]

donde~r(u, v) es una función vectorial de dos variables, que tiene como dominio paramétrico la región

Duv={(u, v) : 0≤u≤π,0≤v≤2π}

del plano de par´ametros. Grafique el dominio D en un plano cuyos ejes sonu yv.

¿Cómo describir´ıa paramétricamente la parte deS conzpositivo? ¿Y la porción en el primer octante? ¿Qué parte de la superficie esférica está representada por ~r(u, v) con dominio paramétrico [π₄,3₄π]× [0,2π]? Grafique en cada caso el dominio en el plano paramétrico.

Por último, discutimos otra parametrización paraS. Podr´ıamos elegir por ejemploxeycomo par´ amet-ros, y expresar zen términos de ellos. Para la esfera completa, dado que z=±p9−x2₋_y2_{, debemos}

dar dos funciones vectoriales:

S+: ~r(x, y) = (x, y, p

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para la semiesfera superior, y

S− : ~r(x, y) = (x, y,−

p

9−x2₋_y2₎

para la semiesfera inferior, en ambos casos con dominio paramétricoDxy ={(x, y) : 0≤x2+y2≤9}. Grafique el dominio paramétrico; observe que para esta elección de parámetros (la “parametrización trivial”), D es la proyección de la superficie en el plano xy. Finalmente, S = S+SS− (¿cuál es la intersección entre ambas superficies?).

Hagamos ahora un ejercicio inverso. Dada una funci´on vectorial de dos par´ametros, encontrar la forma cartesiana de la superficie que representa.

EJEMPLO 33: ¿Qu´e superficie en el espacio representa la funci´on vectorial ~r(u, v) = (2 senucosv,

3 senusenv,4 cosu), con (u, v)∈[0, π]×[0,2π]?

Las componentes cartesianas de un punto P(x, y, z) de la superficie están relacionadas entre s´ı a través de los parámetros u y v, de la siguiente manera

x(u, v) = 2 senucosv y(u, v) = 3 senusenv z(u, v) = 4 cosu

Para obtener la forma cartesiana de la superficie, que vincula solamente x, y, z, es necesario eliminar los par´ametros u, v entre estas tres ecuaciones.

Observamos primero que la función vectorial es similar a la que representa a la superficie esférica, pero con coeficientes diferentes en cada componente, por lo que podemos sospechar que se trata de la superficie de un elipsoide. Para confirmarlo, hacemos el siguiente cálculo:

x(u, v) 2 2 + y(u, v) 3 2 + z(u, v) 4 2

= sen2ucos2v+ sen2usen2v+ cos2u= 1

De esta forma, hemos logrado eliminar los par´ametros y obtener la relaci´on deseada entre x, y, yz:

S: x 2 4 + y2 9 + z2 16 = 1

La funci´on vectorial cubre toda la superficie de este elipsoide, una sola vez.

Encuentre la parametrización trivial para la misma superficie (dandoz en términos de xey); observe que, de esta manera, el dominio de parámetros es una elipse en el plano xy.

Veamos qu´e ocurre si cambiamos el dominio param´etrico para u yv.

¿A qué superficie corresponde la misma función vectorial~r(u, v), pero con dominio paramétricoDuv= {0 ≤ u ≤ π

2,0 ≤ v ≤ 4π}? La forma de la superficie es la del elipsoide, ya que se llega a la misma

ecuación cartesiana, pero la diferencia reside en que ahora no está cubierto todo el elipsoide, y se pasa más de una vez por cada punto. Efectivamente, por un lado, el parámetro u entre 0 y π₂ corresponde a puntos del semiespacio superior (pues z = 4 cosu ≥0 para esos valores de u); por el otro, dada la periodicidad de las funciones seno y coseno, el parámetro v entre 2π y 4π repite los mismos puntos que entre 0 y 2π.

O sea, se trata en este caso de la mitad superior de la superficie del elipsoide de semiejes 2, 3, 4, cubierta dos veces.

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Veamos ahora otros ejemplos de funciones vectoriales y superficies param´etricas.

EJEMPLO 34: Describir el plano que contiene al punto P0(x0, y0, z0) y es paralelo a dos vectores ~a= (a1, a2, a3) y~b= (b1, b2, b3) dados (no paralelos entre s´ı).

En la Gu´ıa 1–Secci´on 5.2, vimos que una recta que pasa por P0 y tiene vector director ~a, se puede

describir mediante ecuaciones param´etricas considerando que si P es un punto de la recta, entonces el vector −−→P0P es un m´ultiplo del vector~a. Esto es:

−−→

P0P =t ~a para alg´un t∈R.

Con la misma idea, para el caso del plano que pasa por P0 y contiene a los vectores ~a y~b, si P es

un punto del plano, entonces el vector −−→P0P es una combinaci´on lineal de los vectores ~a y~b. Esto es:

−−→

P0P =u ~a+v ~b para alg´un u∈R y alg´un v∈R.

Escribiendo −−→P0P =

−−→

OP −−−→OP0=~r−~r0, obtenemos finalmente~r(u, v) =~r0+u ~a+v ~b, con u, vreales,

de donde el plano queda parametrizado por

S :~r(u, v) = (x0+ua1+vb1, y0+ua2+vb2, z0+ua3+vb3) con (u, v)∈R2

Por ejemplo, si P0(1,2,−3), ~a = (1,1,−1) y~b = (1,−1,1), una funci´on vectorial que parametriza

este plano es~r(u, v) = (1 +u+v,2 +u−v,−3−u+v), con Duv=R2.

Encuentre un vector normal al plano, halle la ecuación lineal del plano y úsela para proponer una parametrización trivial~r(x, y). Verifique que ambas funciones vectoriales describen la misma superficie.

PLANO TANGENTE

Dada una superficie parametrizada por medio de la función ~r(u, v), con (u, v) ∈ Duv, consideremos el conjunto de puntos que se obtiene fijando uno de los parámetros. Al quedar una función vectorial en términos del otro parámetro (el que no se ha fijado), observamos que de esta forma queda descripta una curva en el espacio. Las curvas obtenidas se denominan curvas reticulares. Sus ecuaciones son

C1:~r1(u) =~r(u, v0) C2 :~r2(v) =~r(u0, v)

donde se ha fijado v=v0 yu =u0, respectivamente, siendo v0 yu0 valores en el dominio param´etrico (de

hecho se tiene un conjunto infinito de curvas de tipo C1, y de curvas de tipoC2).

Para la superficie del Ejemplo 32, las curvas reticulares son los paralelos (fijando u, o sea el ´anguloφ) y los meridianos (fijando v, esto es, θ) de la superficie esf´erica.

En el caso del plano del Ejemplo 34, son por un lado rectas paralelas entre s´ı con vector director~a, y por el otro un conjunto de rectas con vector director~b.

Estudie el caso del paraboloide el´ıptico dado por~r(u, v) = (ucosv, usenv, u2), conu∈_R₊,v∈[0,2π]. Claramente, las curvasC1yC2pasan por el puntoP0 de coordenadas~r(u0, v0) (recordemos que identificamos

el punto final de este vector ubicado en posici´on can´onica, con el puntoP0). La derivada de~r1(u) respecto deu

evaluada enu0

o sea,_∂u∂~r(u0, v0)

es un vector tangente a la curvaC1enP0, mientras que la derivada de~r2(v)

respecto devevaluada env0

o sea, ∂~_∂vr(u0, v0)

es un vector tangente a la curvaC2 enP0. Estos dos vectores

permiten generan un par de rectas tangentes, respectivamente, a las curvas reticulares fijadas, quedando por lo general determinado un plano que contiene a ambas rectas. Por construcci´on, este plano resulta ser

(12)

tangente a la superficie S en P0. El producto vectorial~n0 =~r1 0(u0)×~r2 0(v0) = ∂~_∂ur(u0, v0)×∂~_∂vr(u0, v0) es

un vector normal a dicho plano. DEFINICI ´ON:

Sea S una superficie parametrizada por la funci´on vectorial~r(u, v), y seaP0(x0, y0, z0) ∈S un punto en la

superficie correspondiente al vector posici´on~r(u0, v0). Entonces los vectores~ru(u0, v0) y~rv(u0, v0) determinan

el plano tangente ΠT a la superficieS en P0, con vector normal dado por ~

n0 =~ru(u0, v0)×~rv(u0, v0)

Luego una ecuaci´on para el plano tangente a S en P0 es

ΠT : (x−x0, y−y0, z−z0)·~n0= 0

En el Ejemplo 34, tomando (u0, v0) = (0,0) se tiene C1 : ~r1(u) = ~r(u,0) = (1 + u,2 + u,−3 −u) y C2 :~r2(v) =~r(0, v) = (1 +v,2−v,−3 +v), de donde r~1 0(0) = (1,1,−1) =~a y ~r2 0(0) = (1,−1,1) =~b.

Luego~n0= (0,−2,−2) es un vector normal al plano tangente a la superficie planaS en el puntoP0(1,2,−3).

Se trata por supuesto del mismo plano S en este caso!

¿Cu´al es el plano tangente a la superficie esf´erica del Ejemplo 32 en el punto (0,0,3)? Verifique su respuesta, hallando el vector ~n0 [utilice las dos representaciones vistas en el ejemplo,~r(u, v) y ~r(x, y)].

SUPERFICIE SUAVE

DEFINICI ´ON:

Se dice que S :~r(u, v) es una superficie suave si~ru×~rv 6=~0 para todo (u, v)∈Duv.

Una superficie suave admite plano tangente en todos sus puntos. No posee esquinas ni saltos.

ORIENTACI ´ON DE UNA SUPERFICIE

No hemos discutido a´un acerca del “sentido” de una superficie, como hemos definido en el caso de curvas. ¿Tiene “sentido” esta idea? Veremos que en este caso se habla deorientaci´on, pero que no todas las super-ficies del espacio son orientables.

En los Ejemplos 32 y 33, las funciones vectoriales dadas ~r(u, v), con dominio paramétrico (u, v) ∈ [0, π]× [0,2π], corresponden a sendas superficies que encierran regiones sólidas del espacio. Son por lo tanto su-perficies cerradas y claramente tienen dos caras o lados, una orientadahacia afuera del sólido y otra que mirahacia adentro. Por convención, la cara de una superficie cerrada cuyos vectores normales apuntan hacia afuera se dice que tiene orientación positiva. Podr´ıamos pintar una cara de un color y la otra cara de un color diferente, y los colores no se mezclan ni juntan. O podr´ıamos pensar en un objeto moviéndose sobre la superficie: si empieza de un lado, no pasará nunca del otro lado.

Si consideramos la mitad superior de una superficie esf´erica, por ejemploz= +p9−x2₋_y2_{, tambi´}_en

pode-mos distinguir dos orientaciones o caras, la que mira hacia arriba y la que mirahacia abajo; la superficie es entonces orientable; adem´as, es abierta y tiene una curva frontera (la circunferencia en el planoxydada por

x2+y2= 9, z= 0). En el caso del plano del Ejemplo 34, tambi´en es orientable (una cara da para arriba y la otra para abajo, o para la derecha ypara la izquierda –depende desde d´onde se mire–); es una superficie abierta, pero si pensamos en todo el plano, no tiene borde o frontera.

(13)

DEFINICI ´ON:

SeaSuna superficie con plano tangente en todo punto. Para cada (x, y, z)∈S, existen dos vectores normales unitarios ˘nI y ˘nII =−n˘I. Si es posible elegir un vector normal unitario de modo que var´ıe continuamente sobre S, se dice que la superficie es orientable (o est´a orientada).

Se dice que una orientaci´on est´a determinada por ~nI y la otra por~nII.

Sea S :~r(u, v) una superficie suave y orientable. Entonces la orientación inducida por la parametrización está determinada por elvector normal unitario

˘

n= ~ru×~rv |~ru×~rv|

En particular, para una superficie que es gráfica de una función de dos variables es natural usar la parametrización trivial. Esto es, si S :z =g(x, y) entonces~r(x, y) = (x, y, g(x, y)) con (x, y) en el dominio de la función g, parametriza la superficie. Dado que~rx×~ry = (−gx,−gy,+1) (notar que la tercera componente es positiva), la parametrización trivial induce laorientación hacia arriba.

5.2. Integral de superficie

El objetivo aqu´ı es definir y dar un método práctico para calcular la integral de una función escalar de tres variables sobre una superficie paramétrica, conocida comointegral de superficie. Se denota simbólicamente

Z Z

S

f dS

(donde dS indica un elemento de superficie) y se define formalmente como el l´ımite de las sumas dobles de Riemann de la función f evaluada en puntos de la superficie por el área del elemento de superficie, ∆S. Sea~r(u, v) con (u, v)∈Duv, una parametrización para la curvaS. Imaginemos que el dominio paramétrico en el plano de parámetrosuv, se subdivide en rectángulos de ancho ∆uy altura ∆v, cuya área es ∆A= ∆u∆v. Barriendo todos los valores de los parámetros dentro de un rectángulo dado, se genera un “parche” o elemento ∆Sde la superficieSen el espacio cartesianoxyz. Se puede mostrar que el área de este parche de la superficie está vinculada con el área del rectángulo de parámetros a través de la siguiente relación:

∆S=|~ru(u, v)×~rv(u, v)|∆u∆v

esto es, a través del módulo del vector normal a la superficie. Estudie la justificación en la bibliograf´ıa. Observar la analog´ıa con la relación hallada en el caso de una curva paramétricaC :~r(t), donde la longitud ∆s1 _{de un elemento de arco de la curva y la longitud del intervalo param´}_{etrico ∆}_t _est´_{an relacionados por}

∆s=|~r 0(t)|∆t, esto es, a trav´es del m´odulo del vector velocidad (que es tangente a la curva).

En particular, para una superficie que es gráfica de una función de dos variables es natural usar la parametrización trivial. Esto es, si S :z =g(x, y) entonces~r(x, y) = (x, y, g(x, y)) con (x, y) en el dominio de la función g, parametriza la superficie. En este caso, el módulo del vector normal es|~rx×~ry|=

p

(−gx)2_{+ (}₋_g_y)2_{+ 1}2_).

DEFINICI ´ON:

Sea f(x, y, z) una funci´on escalar de tres variables con dominio E ⊂_R3_{, y sea} _S _⊂_E _{una superficie en el}

1

(14)

espacio. Sea~r(u, v), con (u, v)∈Duv, una parametrizaci´on deS. Entonces se define laintegral de superficie de f sobre S, o a trav´es deS, como

Z Z S f dS = = Z Z Duv f(~r(u, v))|~ru(u, v)×~rv(u, v)|du dv

Observe que en la definición se da una “receta” concreta para hacer la cuenta: la integral de superficie se expresa y se calcula como una integral “doble” en las variables u, v, que es una integral definida en el dominio paramétricoDuv, y por lo tanto da como resultado un número.

Se puede probar que si f es continua en S y si la superficie S es suave (a trozos), entonces la integral de superficie existe.

Se pueden demostrar las siguientes propiedades:

PROPIEDAD 1: La integral de superficie de una función escalar no depende de la parametrización uti-lizada para la superficie, siempre que ésta sea cubierta una sola vez.

PROPIEDAD 2: La integral de superficie de una función escalar a través de una superficie formada por dos trozos, es igual a la suma de las integrales de superficie de dicha función a través de cada trozo. Simbólicamente, Z Z S1SS2 f dS= Z Z S1 f dS+ Z Z S2 f dS

PROPIEDAD 3: La integral de superficie de una función escalar es independiente de la orientación de la superficie. Simbólicamente,

Z Z −S f dS = Z Z S f dS

donde −S indica la misma superficie queS pero con orientaci´on opuesta. EJEMPLO 35:CalcularRR

S(x+z)dS, siendoSla superficie cil´ındrica de ejezy radio 3, entrez= 0 yz= 5.

La funci´on a integrar es f(x, y, z) =x+z, que es continua en todo R3.

La superficie puede parametrizarse mediante la funci´on vectorial ~r(α, z) = (3 cosα,3 senα, z) con α∈ [0,2π],z∈[0,5]; la superficie es suave, orientable y queda cubierta una sola vez por la parametrizaci´on dada.

Luego la funci´on evaluada en puntos de la superficie da:f(x(α, z), y(α, z), z(α, z)) =x(α, z)+z(α, z) = 3 cosα+z.

El vector normal a la superficie param´etrica resulta

~ n=~rα×~rz = ˘_i ˘_j ˘_k −3 senα 3 cosα 0 0 0 1 = (3 cosα,3 senα,0)

(15)

cuyo m´odulo es |~rα×~rz|= 3. Luego la integral de superficie resulta en la siguiente integral doble: Z Z S (x+z)dS= Z 5 0 Z 2π 0 (3 cosα+z) (3dα dz) = 0 + 3 [α]2₀π z2 2 5 0 = 75π

EJEMPLO 36:Determine la integral de superficie de la funci´onx+za trav´es de la superficie frontera del cilindro de radio 3, eje z y altura 5 apoyado en el planoxy.

En este caso, se pide la integral de superficie a trav´es de una superficie S cerrada, que denotamos por medio del siguiente s´ımbolo

ZZ

S

f dS

Esta integral puede calcularse por tramos: en el ejemplo anterior obtuvimos la integral a través de la superficie cil´ındrica lateral, resta evaluar la integral a través de las tapas superior e inferior. Observa-mos que para la base, sólo contribuye la integral del primer término de la función, x, ya que en esa tapa se tiene z = 0. Por otro lado para la tapa superior contribuyen ambos términos de la función, siendo el segundo constante e igual a 5.

Las parametrizaciones triviales para las tapas son: ~r(x, y) = (x, y,0) y ~r(x, y) = (x, y,5), con 0 ≤

x2 +y2 ≤ 9, luego el dominio paramétrico es el c´ırculo de radio 3 centrado en el origen. Sabemos que los vectores normales deben tener la dirección del eje z positivo (¿por qué?), debemos averiguar el módulo. Dado que en ambos casos ~rx×~ry = (1,0,0)×(0,1,0) = ˘i×˘j = ˘k, su módulo es 1 (es razonable que con esta parametrización, la relación entre el elemento de superficie ∆S y el elemento de área paramétrica ∆A sea un factor constante e igual a 1).

Entonces para la base se tiene la integral doble

Z Z Dxy (x+ 0)(1dx dy) = Z 2π 0 Z 3 0 (rcosθ)(r dr dθ)

donde hemos usado, para resolver la integral doble, coordenadas polares (en el plano paramétrico, que en este caso se llamaxy). Completar este cálculo; repetir para la tapa superior (aprovechar el hecho de que contribuye el términoz dS, pero dado quez= 5y el módulo del vector normal es 1, esta parte da 5 veces el área del c´ırculo de radio 3; además el términox dS da lo mismo que para la base). Finalmente, sumar las 3 contribuciones para obtener la integral de superficie total, a través de toda la superficie cerrada.

5.3. Aplicaciones de las integrales de superficie

5.3.1. Area de una superficie param´´ etrica

Es fácil deducir que la integral de superficie de la función constantef(x, y, z) = 1 a través de una superficie

S, da como resultado el valor num´erico del ´area de dicha superficie:

A(S) = Z Z S 1dS= Z Z Duv 1|~ru×~rv|du dv

Observar que si la superficie es plana y se encuentra apoyada en el plano xy (o en otro plano horizontal), este cálculo se reduce al área de una región plana,A(D), siendo Del dominio paramétrico.

(16)

En particular, para una superficie que es gráfica de una función de dos variables,Sg :z=g(x, y), usando la parametrización trivial se tiene ~r(x, y) = (x, y, g(x, y)), con (x, y) en el dominio de la función g. El módulo del vector normal es |~rx×~ry|=

p 1 + (gx)2+ (gy)2, luego A(Sg) = Z Z Sg 1dS= Z Z Dxy 1 q 1 + (gx)2_{+ (}_g_y)2_{dx dy}

esto es, se convierte en una integral doble en la regi´onDxypara la funci´onm(x, y) =

p

1 + [gx(x, y)]2_{+ [}_g_y(_{x, y}_)]2_.

EJERCICIOS DE LA SECCI ´ON 5:

1. Considerar los ejercicios al final de la Gu´ıa 1–Secci´on 6. Dar funciones vectoriales para los planos de los Ejercicios 1, 5 y 6.

2. Considerar las superficies cuádricas vistas en la Gu´ıa 1–Sección 7.1. Discutir para cuáles se puede utilizar la parametrización trivial. En esos casos, tomar un ejemplo concreto y escribir la función vectorial correspondiente, indicando el dominio paramétrico.

3. Parametrizar las superficies cil´ındricas dadas en la Gu´ıa 1–Secci´on 7.2.

4. Construir una cinta de Moebius con una tira de papel. ¿Es orientable esta superficie? ¿Por qué? (Adrián Paenza dedicó una sección de su programa a este tema, disponible en YouTube).

5. Sea S1 la parte de la superficie del cono circular z =r (en coordenadas cil´ındricas) para z entre 0 y q

1

2, S2 una porción de la superficie esférica ρ= 1 (en coordenadas esféricas) para z≥ q

1

2, yS3 el

disco (plano) 0≤x2+y2≤ 1₂ a la alturaz=

q 1

2 (ver Ejemplo 11 de esta Gu´ıa 5).

a) Verificar que las 3 superficies tienen como curva frontera a la misma circunferencia, de ecuaci´on

x2+y2 = 1₂, z=

q 1 2.

b) Hallar funciones vectoriales que parametricen cada una de las superficies.

c) Para cada superficie, si es orientable se˜nalar sus dos caras; y dar las coordenadas de dos puntos pr´oximos a la superficie pero uno de cada lado de la misma.

6. Hallar un vector normal unitario para el paraboloide el´ıptico ~r(u, v) = (ucosv, usenv, u2) en el pun-to (1,0,1). ¿Es orientable la superficie? En caso afirmativo, ¿cuál es la orientación inducida por la parametrización?

7. Calcule RR

Sy dS, donde S es la superficie z=x+y

2_{, 0}_≤_x_≤_{1, 0}_≤_y _≤_2.

8. Determine la intregral de superficie de la funci´on x2 a — trav´es de la superficie frontera de la esfera unitaria x2+y2+z2= 1

9. Eval´ue: _ZZ

S

z dS

donde S es la superficie cuyos lados S1 est´an sobre el cilindro x2 +y2 = 1, el fondo S2 es el disco x2+y2 ≤1 del plano z= 0, y su tapa S3 es la parte del planoz=x+ 1 que est´a arriba de S2.

10. Halle el ´area de la parte de la superficie z=x2+ 2y que se encuentra arriba de la regi´on triangular T

(17)

ACTIVIDADES INTEGRADORAS:

1. Trace el s´olido, cuyo volumen est´a representado por la integralR R

R p 9−y2_dA_{, donde}_R_{= [0}_,_4]_×_[0_,_2] en el plano xy. 2. Demuestre que R R R k dA=k(b−a)(d−c), donde R= [a, b]×[c, d].

3. Halle el volumen del s´olido limitado por el paraboloide el´ıptico z= 1 + (x−1)2+y2, los planosx= 3 yy = 2, y los planos coordenados.

4. Eval´ue las siguientes integrales dobles:

a) R R_D _x22₊₁y dA,D={(x, y) : 0≤x≤1; 0≤y≤

√

x} b) R R

D 2x−y dA, donde Des el c´ırculo de radio 2 centrado en el origen. c) R R_D y3dA, dondeD es la región triangular de vértices (0,2), (1,1) y (3,2). 5. Halle el volumen de los siguientes regiones sólidas:

a) La región se encuentra debajo de la superficie z = xy y arriba del triángulo cuyos vértices son (1,1), (4,1) y (1,2).

b) El sólido está limitado por los cilindrosx2+y2 =r2 y y2+z2=r2. 6. Esboce la región de integración y evalúe las siguientes integrales iteradas:

a) Rπ 0

R3 senx

senx x(1 +y)dydx b) R₂4R_yy23₋₁ 3dxdy

7. Trace la región de integración y cambie el orden de integración: a) R1 0 Rπ/4 arctanx f(x, y)dydx b) Rπ/2 0 Rsenx 0 f(x, y)dydx 8. Evalúe la integral R1 0 Rπ/2 arc seny x √

1 + cos2_{x dxdy} _{invirtiendo el orden de la integraci´}_on.

9. Utilice integrales dobles para hallar el ´area de las regiones planas siguientes: a) La regi´on es interior al c´ırculor = 4 senθ y exterior al c´ırculo r= 2.

b) La regi´on es la que est´a arriba del cono z=px2₊_y2 _{y dentro de la esfera}_x2₊_y2₊_z2 _{= 1.}

10. Una l´amina ocupa parte del c´ırculo x2+y2≤1 en el primer cuadrante. Halle el centro de masa, si la densidad de masa en cualquier punto es proporcional a su distancia al eje x.

11. Una ciudad está construida a la orilla del mar en forma de región semicircular plana de 3 km de radio. Haga un bosquejo de la situación en un sistema de coordenadas, y encuentre la distancia promedio desde cualquier punto de la ciudad al océano.

12. Calcule, mediante integrales triples en el sistema de coordenadas conveniente en cada caso, el volumen de los siguientes s´olidosE:

a) E ={(x, y, z) :x2+y2+z2 ≤1;z≥ 1 2}

(18)

b) E es el s´olido determinado porz≥px2₊_y2 _y _z_≤₆₋_x2₋_y2_.

c) E es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas concéntricas de radios y b(cona < b). 13. Un tanque de agua tiene forma de semiesfera de radio R, la base es la cara plana y el agua llega hasta

una altura H. Calcular el volumen de agua.

14. Calcular la masa del s´olido ubicado arriba del plano xy, limitado por el plano y = 9 y por el cono

y =√9x2₊_z2_{, si la densidad en cualquier punto (}_{x, y, z}_{) del s´}_{olido es proporcional a la medida de la}

distancia de dicho punto al plano xy.

15. Halle el ´area de la superficie construida del siguiente modo: sobre cada punto de la curvax2+y2 = 4,

x ≥0,z= 0, se coloca un segmento vertical de longitud x (es decir el segmento nace en (x, y, z) y se eleva verticalmente)

16. Eval´ue la integral de l´ıneaR_C 36x3ds, dondeC es el arco de c´ubicay=x3 que une los puntosA(0,0) yB(1,1). ¿Depende el resultado del sentido de la curva? Justificar.

17. Eval´ue la integral de superficieR R_S yz dS, dondeSes la parte del planox+y+z= 1 que se encuentra en el primer octante.