UNIDAD 6 La semejanza y sus aplicaciones

1 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en la figura. Calcula su volumen.

10 cm 18 cm

20 cm

AyudA

• Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la que se obtiene el tronco.

• Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor VO', y de la menor, VO:

AC— = √102 + 102 = 10√2 8 AO— = …

—A'C' = √182 _{+ 18}2 _{= 18√2 8 A'O}—' = …

• Por la semejanza de los triángulos AOV y A'O'V' se verifica:

AV

A'V = AO

A'O' 8 Obtén AV

— _{y A'V}—_.

• Con el teorema de Pitágoras, halla las alturas VO— y V'O—. • Volumen del tronco = V_{pirámidemayor} – V_{pirámidemenor} = 1

3182 · VO—' – 13102 · VO — _{= …} 18 10 A B C D A' O' B' C' D' O 10 cm 18 cm 20 cm A V A' O' O

triángulos semejantes en el espacio

sexta parte de la superficie de una esfera de radio 6 cm. Calcula la cantidad de cartulina que necesitaremos.

AyudA

• Hallamos la superficie del casquete que cubre el cono: S_casquete = 1

6Sesfera = 1₆4πR2 = 24π cm2

• Con la superficie del casquete hallamos su altura h: 2πRh = 24π 8 h = …

• En el triángulo rectángulo OCB calculamos r, radio del cono:

r2 _{= OB}—2 _{– OC}—2 _{8 r = …}

• Justifica que el triángulo OAB es rectángulo y aplica en él el teorema de la altura para hallar d:

r2 _{= (6 – h)(d + h) Sustituye r y h y obtén d.}

• Halla la generatriz del cono en cualquiera de los triángulos ABC o ABO.

• Superficie lateral del cono: πrg = …

Solución h 6 6 – h A O B r d C

3 Una pieza mecánica está formada por un cilindro y dos conos encajados en una esfera de radio 10 cm. Calcula el volumen de la pieza en la que el

radio del cilindro es 8 cm. 8

A A' C' C B AyudA

• Hay que hallar la altura de los conos y del cilindro.

• Observa el triángulo rectángulo ABC y aplica el teorema de la altura.

Solución

4 Hemos llenado tres copas idénticas de forma distinta, tal como indica la figura. Si el volumen del líquido que contiene la primera es V, ¿cuál será el volumen de líquido en las otras dos?

3h 2h h R r1 R R r1 r₂ r₂ r₂ AyudA • El volumen total es V = 1 3πR2 · 3h = πR2h

triángulos semejantes en el espacio

5 cm A B C O P R AyudA

• Los triángulos ACB y APO son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el Aì. • Por semejanza: Hipotenusa de APO

Hipotenusa de ACB = Cateto menor de APOCateto menor de ACB

• Calcula AB—.

• Ten en cuenta que AO— = AC— – R.

1 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en la figura. Calcula su volumen.

10 cm 18 cm

20 cm

AyudA

• Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la que se obtiene el tronco.

• Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor VO', y de la menor, VO:

AC— = √102 + 102 = 10√2 8 AO— = …

—A'C' = √182 _{+ 18}2 _{= 18√2 8 A'O}—' = …

• Por la semejanza de los triángulos AOV y A'O'V' se verifica:

AV

A'V = AO

A'O' 8 Obtén AV

— _{y A'V}—_.

• Con el teorema de Pitágoras, halla las alturas VO— y V'O—. • Volumen del tronco = V_{pirámidemayor} – V_{pirámidemenor} = 1

3182 · VO—' – 13102 · VO — _{= …}

Solución

—

AO = 5√2 cm; —A'O' = 9√2 cm; —AV= 25 cm; —A'V = 45 cm; —VO› 23,98 cm; —VO'› 43,16 cm 18 10 A B C D A' O' B' C' D' O 10 cm 18 cm 20 cm A V A' O' O

triángulos semejantes en el espacio

Soluciones

2 Queremos hacer un sombrero de cartulina en forma de cono que cubra la sexta parte de la superficie de una esfera de radio 6 cm.

Calcula la cantidad de cartulina que necesitaremos.

AyudA

• Hallamos la superficie del casquete que cubre el cono: S_casquete = 1

6Sesfera = 1₆4πR2 = 24π cm2

• Con la superficie del casquete hallamos su altura h: 2πRh = 24π 8 h = …

• En el triángulo rectángulo OCB calculamos r, radio del cono:

r2 _{= OB}—2 _{– OC}—2 _{8 r = …}

• Justifica que el triángulo OAB es rectángulo y aplica en él el teorema de la altura para hallar d:

r2 _{= (6 – h)(d + h) Sustituye r y h y obtén d.}

• Halla la generatriz del cono en cualquiera de los triángulos ABC o ABO.

• Superficie lateral del cono: πrg = …

Solución

h = 2 cm; r = _√20 cm

El triángulo OAB es rectángulo ya que la tangente a la esfera desde A, AB—, es perpendicular al radio en el punto de tangencia. d = 3 cm 8 g = √45 = 6,71 cm A_lateral = 94,25 cm2 h 6 6 – h A O B r d C

3 Una pieza mecánica está formada por un cilindro y dos conos encajados en una esfera de radio 10 cm. Calcula el volumen de la pieza en la que el

radio del cilindro es 8 cm. 8

A A' C' C B AyudA

• Hay que hallar la altura de los conos y del cilindro.

• Observa el triángulo rectángulo ABC y aplica el teorema de la altura.

Solución

x2 _{– 20x + 64 = 0;} —_{AA' = 4 cm;} —_{A'C' = 12 cm}

V = 2

(

)

4 Hemos llenado tres copas idénticas de forma distinta, tal como indica la figura. Si el volumen del líquido que contiene la primera es V, ¿cuál será el volumen de líquido en las otras dos?

3h 2h h R r1 R R r1 r₂ r₂ r₂ AyudA • El volumen total es V = 1 3πR2 · 3h = πR2h

• Utiliza la semejanza de triángulos para hallar r₁ y r₂ en función de R.

triángulos semejantes en el espacio

Soluciones

5 En un cono de radio 5 cm y altura 12 cm se inscribe una esfera. Calcula su radio.

5 cm A B C O P R AyudA

• Los triángulos ACB y APO son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el Aì. • Por semejanza: Hipotenusa de APO

Hipotenusa de ACB = Cateto menor de APOCateto menor de ACB

• Calcula AB—.

• Ten en cuenta que AO— = AC— – R.

Solución

12 – R

13 = 5R 8 R = 3,

)