Transparencias 5.pdf

Federico Weinschelbaum Universidad de San Andres

Hasta aca vimos agentes que:

Poseían preferencias sobre el conjunto de alternativasX

Tomaban decisiones sobre el conjuntoB

Asumimos “implícitamente” que acciones escogidas conducen a una consecuencia especí…ca.

En otros términos, existe una función biyectiva entre acciones y consecuencias. Alcanza con especi…car preferencias sobre el conjunto de alternativasX

Generalmente cada acción no necesariamente conduce a una determinada consecuencia.

Agentes poseen preferencias sobre las consecuencias pero eligen acciones.

Acciones son elegidas en base a las consecuencias que conducen. Si de cada accion no surge una consecuencia.

Distinción entre riesgo e incertidumbre

Podemos distinguir dos grandes supuestos sobre el conocimiento del individuo

Riesgo: si bien el agente no conoce la consecuencia que sale de cada accion, sí conoce las posibles consecuencias y la distribución de probabilidad asociada a ellas.

Incertidumbre: aquí, el agente se encuentra ignorante de las posibles consecuencias o la distribución de probabilidad asociada a ellas

Descripción de las alternativas riesgosas

De…nimos

ai !accióni-ésima

sj !estado de la naturalezaj-ésimo

Asumamos que existenK acciones yN estados de la naturaleza

a1 a2 aK

s1 c11 c12 c1K

s2 c21 c22 c2K

..

. ... ... ...

s_N c_N1 c_N2 c_NK

cik es la consecuencia tomar la acción i-ésima en el estado j-ésimo.

Individuo conoce la distribución de probabilidad de los estados para cada accion. Es decir:₉Pr[sijak] y esta es conocida por cada jugador.

Loterias

De…nimosloteríacomo una distribución de probabilidad sobre las

consecuencias:

L= (p1,p2, ...,pn) conpm 0^

∑

pm =1

Sea el espació de loterías simples con cardinalidadK,donde la lotería

k-ésima simple está dada porLk = p1k,p2k, ...,pnk .En estas loterías,

cada una de las consecuencias son determinísticas.

Podemos de…nir la lotería compuesta como la alternativa riesgosa que determina la lotería simple k con probabilidad αk

L= (L1, ...,LK;α1, ...,αK) con αk 0^

∑

αk =1

Las loterías compuestas pueden ser comprimidas en una lotería reducida la probabilidad de la consecuenciaj-ésima es:

Preferencias

Asumiremos: los agentes solo poseen preferencias sobre las loterías reducidas.

Es decir, aquellas loterías que sean compuestas se reducen a una lotería simple.

Al individuo no le importa de donde viene la probabilidad. Si la probabilidad de que se den las consecuencias es la misma, considera a ambas alternativas como equivalentes.

Entonces, tomaremos el conjunto de alternativas_L como el conjunto

de todas las loterías simples.

Existe relación de preferencias% de…nidas sobre este conjunto.

Supondremos que esta relación de preferencias cumple con:

Completitud

Transitividad Racionalidad

Continuidad

Sea L,L0,L00 _{2 L}.Diremos que la relación de preferencias % es continua si los conjuntos:

α2[0,1]:αL+ (1 α)L0 %L00 [0,1]

α2[0,1]:L00%αL+ (1 α)L0 [0,1]

son cerrados.

Continuidad implica que pequeños cambios en la probabilidad no varían el orden entre las loterías. Las preferencias no dan “saltos”.

Preferencias racionales y continuas₎podemos asegurar que existe

una función de utilidad U :_{L !}R tal que las representa, es decir,

Axioma de la Independencia

Sea L,L0,L00 _{2 L}yα2(0,1).La relación de preferencias %satisface

el axioma de la independencia en caso de que:

L%L0 _,αL+ (1 α)L00%αL0+ (1 α)L00

La regla de la utilidad esperada

Si la relación de preferencias % es racional, continua y cumple con el

axioma de la independencia, entonces admiten una representación por una función de utilidad que cumple con la regla de la utilidad

esperada.

Es decir, para cualesquiera dos loterías simplesL= (p1,p2, ...,pN)y L0 = (p0₁,p₂0, ...,p_N0 ), y utilidadun a cada una de las consecuencias n =1, ...,N,se cumple que:

L%L0 _,

∑

unpn

∑

La regla de la utilidad esperada II

Para la demostración, haremos supuestos adicionales:

9L:L%L₈L_{2 L} 9L:L%L₈L_{2 L}

Asumiremos que L L

Además, se puede demostrar que:

siL L0 ₎L αL+ (1 α)L0 L0 8α2(0,1) βL+ (1 β)L αL+ (1 α)L,β>α

Demostrar la existencia de la función de utilidad con la forma de la utilidad esperada equivale a mostrar que:₈L_{2 L},

9αL :LsαLL+ (1 αL)LyαL es único. Luego mostraremos queαL

La regla de la utilidad esperada III

Proof.

De…namos:

p+ : α2 [0,1]:αL+ (1 α)L%L

p : α2 [0,1]:L%αL+ (1 α)L

Notemos quep+,p son cerrados Ademas 1₂p+ ₈L, 0₂p ₈L

Asimismo, por completitud, cumplen quep+_[p = [0,1]

La regla de la utilidad esperada IV

Proof.

Veamos que existe un único α2p+\p pues sea α,α0 2p+\p .

Por tanto,αL+ (1 α)Lsα0L+ (1 α0)L.Pero entonces, por la

propiedad que nos dice que

βL+ (1 β)L αL+ (1 α)L,β>α,ocurre que α= α0,lo que

nos da unicidad.

La regla de la utilidad esperada V

Proof.

Veamos queU(L) =αL representa la relación de preferencias %.

Sea L,L0 conU(L) =αL,U(L0) =αL0.Asumamos queL%L0.

EntoncesαLL+ (1 αL)LsLyαL0L+ (1 αL0)LsL0

Por transitividad αLL+ (1 αL)L%αL0L+ (1 αL0)L

esto implica que αL αL0

La regla de la utilidad esperada VI

Proof.

Veamos que esta función de utilidad tiene la forma de la utilidad

esperada, es decir,U = αL es lineal. Esto equivale a demostrar que

U βL+ (1 β)L0 = βU(L) + (1 β)U L0

Sabemos que:

L_sαLL+ (1 αL)L

L0_sαL0L+ (1 αL0)L

Aplicando el axioma de la independencia dos veces

La regla de la utilidad esperada VII

Proof.

Podemos reordenar los términos y reexpresar:

βL+ (1 β)L0 s[βαL+ (1 β)αL0]L+ [1 βαL (1 β)αL0]L

Llevándolo a términos de utilidad

U βL+ (1 β)L0 = β α_|{z}L

=U(L)

+ (1 β) αL0

|{z}

=U(L0₎

La regla de la utilidad esperada VIII

A una funcion de utilidad le podemos hacer cualquier transformacion monotona creciente y sigue representando a las preferencias.

Pero que pasa si queremos que siga cumpliendo la regla de la utilidad esperada?

U(L) es una función de utilidad esperada que representa las preferencias%.

La regla de la utilidad esperada IX

Sea L,L0 _{2 L}.Tenemos que:

V αL+ (1 α)L0 =aU αL+ (1 α)L0 +c

Pero dado que U cumple con la regla de la utilidad esperada,

sabemos que

U αL+ (1 α)L0 =αU(L) + (1 α)U L0

Luego: V[αL+ (1 α)L0] =a[αU(L) + (1 α)U(L0)] +c

)V [αL+ (1 α)L0] =α[aU(L) +c] + (1 α) [aU(L0) +c]

La regla de la utilidad esperada X

Si tenemos una funcion V( ) =f(U( )) y sabemos que U( )

representa a las preferencias y cumple la regla de la utilidad esperada.

Si queremos queV ( )tambien lo haga.

Entoncesf :R_!R una transformación monótona, debe ser lineal

Formalmente, debemos demostrar que:

f U αL+ (1 α)L0 =αf [U(L)] + (1 α)f U L0 8α,L,L0

Sabemos que:

La regla de la utilidad esperada XI

Debemos demostrar que:

f αU(L) + (1 α)U L0 =αf [U(L)] + (1 α)f U L0 8α,L,L0

Pero, por la desigualdad de Jensen, sabemos que esto solo ocurre si la función es lineal, habida cuenta que el promedio de la utilidad de las loterías debe ser la suma de sus promedios.

Derivando con respecto aα

f0( ) U(L) U L0 =f[U(L)] f U L0 ₈α,L,L0

si volvemos a derivar

f00( ) | {z } =0

U(L) U L0 2

| {z }

6

=0