MODELOS BVAR Y VARMA
MODELOS BVAR Y VARMA
ESTACIONALES: UNA
ESTACIONALES: UNA
APLICACIÓN
APLICACIÓN
Enrique M. Quilis
Enrique M. Quilis
S.G. Análisis y Modelización Macroeconómica
D.G. Análisis Macroeconómico y Economía Internacional
Ministerio de Economía y Hacienda
ESQUEMA DE LA PRESENTACION
• Planteamiento general.
• Modelos BVAR estacionales
• Modelos VARMA estacionales.
•
Aplicación: “housing data”
•
Aplicación: “housing data”
(Hillmer & Tiao, 1979; Ahn &
DATOS
• Z
1,t
= Viviendas vendidas en EEUU
(
sold
)
• Z
2,t
= Viviendas iniciadas en EEUU
(
starts
)
• Unidad: miles de viviendas
• Período: 1965.01 - 1975.05
• Fuente: US Bureau of the Census
• Extraídas de la página de Internet de
Sold.
Niveles
50
60
70
80
20
30
40
50
Sold:
Estimación del modelo
(parte determinista y parte
estocástica)
t
12
1
12
12
t
a
)
B
1
)(
B
1
(
)
B
1
)(
B
1
(
N
−
−
θ
−
Θ
−
=
Variable
Parámetro Estimación Desv típ t-ratio
Pascua móvil
E
-2.69
1.01
-2.66
Coeficiente MA1
θ1
0.16
0.09
1.65
Coeficiente MA12
Θ12
0.87
0.21
4.02
Desv. típ. residuos
σ
3.6
)
B
1
)(
B
1
Sold, residuos
:
Contraste de Ljung-Box
Retardo
12
24
36
Q
5.27
23.22
33.42
Starts.
Niveles
100
120
140
20
40
60
80
Starts:
Estimación del modelo
(parte determinista y parte
estocástica)
t
12
1
12
12
t
a
)
B
1
)(
B
1
(
)
B
1
)(
B
1
(
N
−
−
θ
−
Θ
−
=
Variable
Parámetro Estimación Desv típ t-ratio
Efecto calendario
TD
0.59
0.12
4.81
Coeficiente MA1
θ1
0.2
0.09
2.06
Coeficiente MA12
Θ12
0.85
0.14
5.97
Desv. típ. residuos
σ
6.08
Starts, residuos
:
Contraste de Ljung-Box
Retardo
12
24
36
Q
6.11
12.6
24.84
8 0
1 0 0
1 2 0
1 4 0
H s o ld
H s t a r t s
Sold, Starts.
Niveles
2 0
4 0
6 0
8 0
Sold, Starts.
Niveles
80
100
120
140
HSOLD
HSTARTS
6 9 .1 2 - 7 0 .1 1
7 3 .1 0 - 7 5 .0 3
20
40
60
80
Componentes
ciclo-tendenciales
5 0
5 5
6 0
6 5
9 0
1 0 0
1 1 0
1 2 0
H s o ld
H s t a r t s
3 0
3 5
4 0
4 5
5 0
6 0
7 0
8 0
Componentes estacionales
0
1 0
2 0
3 0
H s o ld
H s t a r t s
- 3 0
- 2 0
- 1 0
0
Tasas interanuales brutas
20
40
60
80
-60
-40
-20
0
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
Componentes
irregulares
Corr(Starts, Sold)=0.03
1
2
3
4
d
-3
-2
-1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Starts
S
ol
Modelización BVAR
:
Prior de
Raynauld y Simonato.
Hiperparámetros
13
p
=
inactivo
:
1
0
4
,
0
13
p
5
2
4
1
π
≤
π
<
≤
π
π
<
Calibrado
:
Resultados (Criterio
del
log(det(e’e))
)
Búsqueda global
π
π
π
log (|E|)
π
1
π
2
π
3
log (|E|)
Calibrado
:
Resultados (Criterio
del
log(det(e’e))
)
Búsqueda axial
Iteración
π
1
π
2
π
3
log (|E|)
1
4.00
0.10
2.00
11.4213
1
4.00
0.10
2.00
11.4213
2
4.00
0.14
2.00
11.4180
3
4.00
0.14
2.15
11.4174
4
4.00
0.14
2.15
11.4134
5
4.00
0.14
2.15
11.4134
6
4.00
0.14
2.16
11.4134
Calibrado
:
Calibrado
:
Resultados
Búsqueda axial en F
pi1=1 pi4=2.16
Iteración
F
1,2
F
2,1
log (|E|)
F
1,2
2,1
Calibrado
:
Resultados
Asimetrías en F
pi1=1 pi2=2.16
F
F
1,2
F
2,1
log (|E|)
0.17
0.97
11.4762
0.00
0.97
11.7533
0.17
0.00
12.3692
Calibrado
:
Resultado final
π
µ
π
1
F
1,2
F
2,1
π
3
σ
1,1
σ
2,2
Σ
F
Decaimiento de la varianza del prior (RS)
en función del retardo
(en el óptimo)
0.8 1
dec ay function g
2 4 6 8 10 12 14 0
0.2 0.4 0.6
lag
Modelo BVAR: VAR(13)
0.96
0.00
0.07
0.01
1.04
0.40
0.18
0.12
µ
5.18
-2.58
Estimación
Desviación típica
Φ
1
2.08
4.33
1.04
0.40
0.18
0.12
0.56
0.00
0.08
0.01
0.22
0.45
0.18
0.11
-0.52
0.00
0.08
0.01
-0.35
-0.28
0.23
0.09
16.42
0.35
8.63
37.05
Φ
13
RESIDUOS: CCM (Hosking(8)=20.0876, df=32)
CROSS CORRELATION MATRICES IN TERMS OF
+
,
-
,.
LAGS 1 THROUGH 6
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
LAGS 7 THROUGH 12
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
LAGS 13 THROUGH 18
. . . . . . . . . . . .
-0.19
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
LAGS 19 THROUGH 24
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
LAGS 25 THROUGH 30
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
-
.
LAGS 31 THROUGH 36
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
RESIDUOS: SCAN
SIMPLIFIED SCAN TABLE (1% LEVEL):
Análisis canónico de Box-Tiao
Autovalores ordenados y variables
canónicas
λ
M
λ
0.94
0.45
0.89
0.46
0.93
-0.38
Variables
canónicas
8 0
1 2 0
1 6 0
w 1 ( la m b d a = 0 . 9 4 )
w 2 ( la m b d a = 0 . 4 6 )
0
4 0
8 0
t
2
1
12
12
C
C
)
B
39
.
0
1
)(
B
49
.
0
1
(
0
0
)
B
1
)(
B
1
(
=
−
−
−
−
Análisis canónico de Box-Tiao
Modelos de las variables canónicas
Análisis canónico de Box-Tiao
Modelos de las variables canónicas
Distancia de Piccolo
Hsold
Hstarts
w
1
w
2
Hsold
0
0.0589
0.2456
0.5417
Hsold
0
0.0589
0.2456
0.5417
Hstarts
0
0.2800
0.5231
w
1
0
0.6550
Análisis canónico de Box-Tiao
Primer componente canónico
• Factor común no estacionario del sistema
• Tendencia común inestable
• Estacionalidad común cuasi-determinista
• Starts es la síntesis del sistema (debido a
• Starts es la síntesis del sistema (debido a
Análisis canónico de Box-Tiao
Segundo componente canónico
• Factor común estacionario del sistema
• Interpretable como una relación
contemporáneamente estable (o de
cointegración)
cointegración)
• Una interpretación:
t
,
2
t
t
2
.
45
Sold
C
Análisis canónico de Box-Tiao
Segundo componente canónico
Relación de equilibrio a l.p.
350 400 450 500
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0 50 100 150 200 250 300
S O LD
S
T
A
R
T
Análisis canónico de Box-Tiao
Segundo componente canónico
Descomposición varianza error de predicción:
Ordenación: Sold->Start
Horizonte
Hsold
Hstarts
Hsold
Hstarts
1
100
0
12
88
2
100
0
45
55
3
100
0
67
33
Incertidumbre en la predicción de:
Explicada por:
Hsold
Hstarts
3
100
0
67
33
4
100
0
77
23
5
100
0
82
18
6
100
0
84
16
12
100
0
86
14
24
100
0
89
11
36
100
0
89
11
48
100
0
90
10
60
100
0
90
10
Función de respuesta a impulsos:
Función de respuesta a impulsos:
Ordenación: Sold->Start
=
Ψ
0
3
.
55
0
.
00
=
Ψ
38
.
5
51
.
2
Función de respuesta a impulsos:
Ordenación: Start->Sold
12
24
36
48
60
-2
0
2
4
-2
0
2
4
12
24
36
48
60
12
24
36
48
60
-2
0
2
4
12
24
36
48
60
-2
0
2
4
Función de respuesta a impulsos:
Ordenación: Start -> Sold
=
Ψ
0
3
.
22
1
.
50
=
Ψ
94
.
5
00
.
0
FILTRADO “S”
t
12
t
12
U
)
B
T
I
(
Z
)
B
P
I
(
−
=
−
t
q
t
p
(
B
)
Z
=
Θ
(
B
)
U
Φ
CROSS CORRELATION MATRICES IN TERMS OF
+
,
-
,.
LAGS 1 THROUGH 6
FILTRADO “S”
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
LAGS 7 THROUGH 12
========== STEPWISE AUTOREGRESSION SUMMARY ==========
I RESIDUAL I EIGENVAL.I CHI-SQ I I SIGNIFICANCE
LAG I VARIANCESI OF SIGMA I TEST I AIC I OF PARTIAL AR COEFF. 1 I .580E+02 I .108E+02 I 145.13 I 6.645 I . +
I .193E+02 I .665E+02 I I I . +
2 I .575E+02 I .105E+02 I 3.49 I 6.680 I . .
I .188E+02 I .658E+02 I I I . .
3 I .559E+02 I .102E+02 I 4.53 I 6.702 I . .
I .187E+02 I .643E+02 I I I . .
4 I .556E+02 I .100E+02 I 2.11 I 6.750 I . .
I .185E+02 I .641E+02 I I I . .
5 I .551E+02 I .984E+01 I 2.55 I 6.792 I . .
I .183E+02 I .635E+02 I I I . .
FILTRADO “S”
I .183E+02 I .635E+02 I I I . .
6 I .549E+02 I .971E+01 I 1.51 I 6.846 I . .
I .181E+02 I .633E+02 I I I . .
7 I .547E+02 I .917E+01 I 5.67 I 6.850 I . .
I .171E+02 I .627E+02 I I I +
8 I .547E+02 I .900E+01 I 1.81 I 6.899 I . .
I .169E+02 I .626E+02 I I I . .
9 I .509E+02 I .883E+01 I 6.75 I 6.887 I . .
I .166E+02 I .587E+02 I I I . .
10 I .509E+02 I .872E+01 I 1.03 I 6.945 I . .
I .165E+02 I .586E+02 I I I . .
11 I .502E+02 I .833E+01 I 4.46 I 6.958 I . .
I .160E+02 I .579E+02 I I I . .
12 I .468E+02 I .819E+01 I 7.56 I 6.929 I - .
I .147E+02 I .533E+02 I I I - .
FILTRADO “S”
SIMPLIFIED SCAN TABLE (1% LEVEL):
Q->: 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0:
X X X X
O O O O O
FILTRADO “S”
t
12
t
12
U
)
B
T
I
(
Z
)
B
P
I
(
−
=
−
t
t
U
Z
)
B
I
(
−
Φ
=
FILTRADO “R”
t
t
(
I
TB
)
U
Z
)
PB
I
(
−
=
−
t
12
Q
t
12
P
(
B
)
Z
=
Θ
(
B
)
U
Φ
CROSS CORRELATION MATRICES IN TERMS OF
+
,
-
,.
LAGS 1 THROUGH 6
. .
+
. . . . . . .
-
. . . . . . . . .
+
-
.
LAGS 7 THROUGH 12
. .
-
. . . . . .
-
+
+
+
. . . . .
+
. . . .
+
LAGS 13 THROUGH 18
. . .
+
. .
-
. . .
-
.
FILTRADO “R”
12:
0.29 0.21
0.16 0.39
24:
0.23 0.20
0.11 0.25
36:
0.16 0.11
. . .
+
. .
-
. . .
-
.
-
. . . . . .
-
. .
-
.
LAGS 19 THROUGH 24
. . . . . . . . .
-
+
+
.
+
. . . .
+
. . . .
+
LAGS 25 THROUGH 30
. . . . . . . . . .
-
. . . . . . .
-
. .
-
.
LAGS 31 THROUGH 36
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
+
. . . .
+
0.10 0.24
18: -
0.25 -0.15
-0.20 -0.10
6: -
0.23 -0.30
-0.24 0.03
30: -
0.26 -0.24
SIMPLIFIED SCAN TABLE (1% LEVEL):
Q ->: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0: O O O O O
X
O O O O O
X
O O O
1: O O O O O O O O O O O O O O O
2: O O O O O O O O O O O O O O O
3: O O O O O O O O O O O O O O O
4: O O O O O O O O O O O O O O O
FILTRADO “R”
4: O O O O O O O O O O O O O O O
5:
X
X
O O O O O O O O O O O O O
6:
X
O O O O O O O O O O O O O O
7: O O O O O O O O O O O O O O O
8: O O O O O O O O O O O O O O O
9:
X
O O O O O O O O O O O O O O
FILTRADO “R”
t
t
(
I
T
B
)
U
Z
)
B
P
I
(
−
=
−
t
t
12
U
Z
)
B
I
(
−
Γ
=
Modelos multiplicativos
tentativos
t
t
12
t
t
12
U
Z
)
B
I
)(
B
I
(
U
Z
)
B
I
)(
B
I
(
=
Φ
−
Γ
−
=
Γ
−
Φ
−
t
t
U
Z
)
B
I
)(
B
I
(
−
Γ
−
Φ
=
Modelo aditivo común:
VAR(13) restringido
t
t
13
13
12
12
1
B
B
B
)
Z
U
I
078
.
0
d
351
.
0
140
.
1
023
.
0
858
.
0
363
.
0
110
.
1
015
.
0
918
.
0
U
Z
)
B
I
)(
B
I
(
1
t
t
12
=
=
Π
−
=
Φ
=
Γ
−
Φ
−
Comparación:
VAR(1)x(1)
12
vs VARR(13)
1696
.
0
d
351
.
0
140
.
1
023
.
0
858
.
0
422
.
0
999
.
0
028
.
0
893
.
0
U
Z
)
B
I
)(
B
I
(
1
t
t
12
=
=
Π
−
=
Φ
=
Φ
−
Γ
−
Comparación:
VAR (1)
12
x(1) vs VARR(13)
+
−
=
−
−
−
=
Γ
−
Φ
−
U
9
.
4
9
.
1
Z
B
630
.
0
106
.
0
086
.
0
435
.
0
1
0
0
1
B
363
.
0
110
.
1
015
.
0
918
.
0
1
0
0
1
U
Z
)
B
I
)(
B
I
(
t
t
12
*
*
t
t
12
Modelo final:
VAR(1)x(1)
12
(*) = Imestim lo
anula
=
Σ
−
42.18
9.64
0.37
16.21
9
.
4
630
.
0
106
.
0
1
0
363
.
0
110
.
1
1
0
U
[
]
[
0
.
6690
0
.
3960
]
CROSS CORRELATION MATRICES IN TERMS OF
+
,
-
,.
LAGS 1 THROUGH 6
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
LAGS 7 THROUGH 12
.
+
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
LAGS 13 THROUGH 18
. . . . . . . . . . . .
RESIDUOS: CCM (Hosking(8)=28.1421, df=32)
0.19
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
LAGS 19 THROUGH 24
. .
-
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
LAGS 25 THROUGH 30
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
-
.
LAGS 31 THROUGH 36
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
RESIDUOS: SCAN
SIMPLIFIED SCAN TABLE (1% LEVEL):
Starts
Solds
0.3828
-0.9238
0.8418
0.5398
C
C
1
=
Análisis canónico de Box-Tiao
Autovalores ordenados y variables
canónicas
[
0.9297
0.4651
]
Función de respuesta a impulsos:
Ordenación: Sold->Starts
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0 12 24 36 48 60 0
12 24 36 48 60 0
12 24 36 48 60 0
1 2 3 4 5 6
12 24 36 48 60 0
2
.
2
0
573
.
0
0
1
0
886
.
0
0
1
U
Z
)
B
I
)(
B
I
(
12
t
t
+
=
−
−
=
Γ
−
Φ
−
Modelo final:
VAR(1)x(1)
12
Restricción: Solds --> Starts
Función de respuesta a impulsos:
Función de respuesta a impulsos BVAR:
−
−
−
=
∇∇
−
Ξ
−
Θ
−
=
−
−
Φ
−
U
B
01
.
0
80
.
0
0
1
B
76
.
0
16
.
1
0
1
Z
B
67
.
1
65
.
0
0
1
U
)
B
I
)(
B
I
(
Z
)
B
I
)(
B
I
)(
B
I
(
12 t 12 t 12Modelos alternativos:
VARMA(0,1,1)x(0,1,1)
12
Hillmer & Tiao (1979)
=
Σ
−
−
−
=
∇∇
−
−
−
15.58
7.09
0.33
36.81
U
B
69
.
0
08
.
0
01
.
0
80
.
0
1
0
0
1
B
09
.
0
27
.
0
76
.
0
16
.
1
1
0
0
1
Z
B
31
.
0
09
.
0
67
.
1
65
.
0
1
0
0
1
U t 12 t 12[
]
[
]
[
0
.
79
0
.
70
]
Θ
−
=
−
Φ
−
B
)(
I
B
)
Z
(
I
B
)
U
I
(
12 t 12 tModelos alternativos:
VARMA(1,0,0)x(0,1,1)
12
Liu & Hudak (1995); Tiao (2001)
=
Σ
−
−
=
−
−
28.79
5.179
0.33
11.65
U
B
986
.
0
042
.
0
048
.
0
940
.
0
1
0
0
1
Z
B
1
0
0
1
1
0
0
1
B
459
.
0
955
.
0
100
.
0
764
.
0
1
0
0
1
U t 12 t 12[
]
[
0
.
986
0
.
940
]
Starts
Solds
0.4795
-0.8776
0.6413
0.7673
C
C
1
=
Análisis canónico de Box-Tiao
Autovalores ordenados y variables
canónicas
VARMA(1,0,0)x(0,1,1)
12
[
0.9302
0.4477
]
0.4 0.6 0.8 1
TIA O
B V A R
V A RMA TIA O V A RMA
B V A R
Análisis canónico de Box-Tiao
Variables canónicas en el
espacio Solds x Starts
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
S TA RTS
S
O
L
D
S
No es tac ionario E s tac ionario
t
2
1
C
C
)
B
37
.
0
1
(
0
0
)
B
1
(
=
−
−
Análisis canónico de Box-Tiao
Modelos de las variables canónicas
PREDICCIONES
RECESIONES USA (NBER)
100
120
140
HSOLD
HSTARTS
69:12 - 70:11
73:10 - 75:03
20
40
60
80
RENDIMENTO PREDICTIVO
Horizonte
Serie
BVAR
BAR
*
AR
*
1
Hsold
7.06
1.00
1.12
MAPE
PREDICCIONES
horizonte=1
BVAR
VARMA
MAPE
ECM
MAPE
ECM
SOLD
7.00
3.75
5.86
3.19
STARTS
9.05
8.47
9.16
8.18
PREDICCIONES
horizonte=1
45 50 55 60
S OLD: P REDICCIONE S B VA R 75.06 - 75.12
0 5 10 15 20 25
PREDICCIONES
horizonte=1
45 50 55
60 SOLD: PRE DICCIONES VARMA 75.06 - 75.12
0 5 10 15 20 25
PREDICCIONES
horizonte=1
80 90 100 110
STARTS: PREDICCIONES BVAR 75.06 - 75.12
0 5 10 15 20 25
PREDICCIONES
horizonte=1
80 90 100
110 STARTS: PREDICCIONES VA RMA 75.06 - 75.12
0 5 10 15 20 25
MAPE
ECM
MAPE
ECM
BVAR
VARMA
PREDICCIONES
horizonte=7
MAPE
ECM
MAPE
ECM
SOLD
7.89
3.86
5.92
3.32
45 50 55 60
SOLD: PRE DICCIONE S B V AR 75.06 - 75.12
PREDICCIONES
horizonte=7
0 5 10 15 20 25
45 50 55 60
SOLD: PREDICCIONES VARMA 75.06 - 75.12
PREDICCIONES
horizonte=7
0 5 10 15 20 25
80 90 100 110
STARTS: PREDICCIONES BVAR 75.06 - 75.12
PREDICCIONES
horizonte=7
0 5 10 15 20 25
80 90 100 110
STARTS: PREDICCIONES VARMA 75.06 - 75.12
PREDICCIONES
horizonte=7
0 5 10 15 20 25
