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“AÑO DE LA INTEGRACION NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”

MARIANO MELGAR PROFESORA: CARRION NIN ALUMNO :ANTONY TENA

GRADO :5TO B AREA: MATEMATICA

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GEOMETRIA

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La pendiente de la recta que pasa por P1(x₁,y₁) y

P2(x₂,y₂) es:

Antes de iniciar con el desarrollo de las ecuaciones de la recta es importante considerar una de sus

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Ecuación de la recta que pasa por el origen

_{Considere la recta que pasa} por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x.

 Tómese sobre la recta los

puntos P₁(x₁, y₁),P₂ (x₂, y₂) y P₃ (x₃, y₃). Al proyectar los puntos P₁, P₂ y P₃ sobre el eje

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Ecuación de la recta que pasa por el origen

.

_{Como los triángulos OP}₁_P’₁_{, OP}₂_P’₂_{y OP}₃_P’₃_son

semejantes; se tiene que:

 Esto es,

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Ecuación de la recta en su forma punto

pendiente

 _{Lo que se muestra en la figura, es una recta que pasa}

por el punto A(x₁, y₁), con una pendiente dada.

• Si un punto P(x, y) está en una recta y m es la pendiente de la misma, la pendiente puede

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• Esta es la ecuación de la recta en su forma

punto pendiente. Las coordenadas (x₁, y₁) son las de un punto cualquiera que pertenezca a dicha

recta.

• Ejemplo 1: Sea m=1/5 y A(-2, -4), la pendiente y un punto respectivamente de una recta. Verifique que su ecuación en su forma punto pendiente es:

5y-x+18=0

• Despejando las ordenadas y acomodando miembros tenemos:

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Ecuación De La Recta Que Pasa Por Dos

Puntos.

• Considera dos puntos por los cuales pasa una recta como se muestra en la figura:

• A partir de la pendiente m y de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente. Considera las

coordenadas del punto A como las del punto pendiente.

   1

1 2

1 x x

x x

y y

y

y _ 

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• O bien, la pareja de coordenadas del punto B

• Ambas son la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, como se puede observar es indistinto el punto que se sustituya, el resultado será el mismo y representará la misma recta.

• Ejemplo 2: Sean A(-1, 3) y B(3, -4), dos puntos que pertenecen a una misma recta. Verifica que la

ecuación de ésta es la que se muestra a continuación, y que es indistinto el punto que se toma como punto pendiente. Sol. 4y+7x-5=0

   2

1 2

2 x x

x x

y y

y

y _ 

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Ecuación de la recta con pendiente dada y

ordenada al origen.

• Ecuación de la recta en forma simplificada.

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• Calculando la pendiente

• Despejando y, y ordenando los términos

• La coordenada b se define como la ordenada al origen, y es el punto donde la recta corta el eje y

x y b m    0 b mx

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• Ejercicio en equipo: Las ecuaciones de oferta y

demanda de un producto son p y q respectivamente.

• Traza la gráfica respectiva de cada una y encuentra el punto de equilibrio del producto.

• Nota: Se define como punto de equilibrio el punto en el cual los ingresos totales son iguales a los costos totales, es decir, no hay pérdidas pero tampoco hay ganancias.

• Sol. Punto de equilibrio:

2 7

1_

q

p q2p2

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Ecuación de la recta en forma simétrica.

• La siguiente figura ilustra una recta que pasa por los puntos A(a,0) y B(0,b).

• Al calcular la pendiente obtendríamos:

a b m

a b

m   

  

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• Al sustituir m en la ecuación de la recta en su forma ordenada al origen y=mx+b, tenemos

• Ordenando los miembros de la ecuación

• Esta es la ecuación simétrica de la recta.

b x a

b

y   

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Ecuación general de la recta.

• La ecuación general de la recta es de la siguiente forma: Ax+By+C=0

• A partir de la ecuación anterior podemos analizar cuatro casos diferentes

• Caso 1. Recta paralela al eje x: Si A=0, B0, C  0; la ecuación se reducirá a By+C=0, de la cual se obtiene

que y=-C/B, que representa una recta paralela al eje x.

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• Caso 2. Recta paralela al eje y: Si A0, B=0, C  0; la ecuación se reducirá a Ax+C=0, de la cual se obtiene

que x=-C/A, que representa una recta paralela al eje y.

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• Caso 3. Ecuación de una recta que pasa por el

origen: Si A=1, B=1, C=0; la ecuación se reducirá a

y=-x o x=-y, o bien y=|x|, que representa una línea recta con pendiente de 45º que pasa por el origen como lo

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• Caso 4. Ecuación de una recta en cualquier posición: Si A1, B1, C 0; al despejar y la ecuación general

toma la forma

• Reduciéndose así a la ecuación de la recta de la forma pendiente dada y ordenada al origen, donde la pendiente sería m=-A/B y la ordenada al origen b=-C/A; que puede ser representada como se muestra

B C x

B A

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• Ejercicio en equipo: Un ingeniero civil desea saber el material gastado en cierto puente, para ello

necesita de tu ayuda. Determina la pendiente y

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Ecuación de la circunferencia

_{Ahora vamos a suponer que queremos encontrar el}

lugar geométrico de los puntos que equidistan 5 unidades del punto Q(4, 3).

4 3

5

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Que se escribe como

De donde,

_x  4 2  _y  32 25

Esta ecuación representa un círculo

La forma canónica o estándar del círculo de radio r y con centro en C(a, b) es:

 _x  _a 2  _y  _b2  _r2

P,Q  x  4 2  y  32  5

d

C r

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Si desarrollamos el lado izquierdo de la ecuación anterior

x2-2xa+a2+y2-2yb+b2

=x2+y2+(-2a)x+(-2b)y+a2+b2

notamos que a2+b2=r2

Esta es la forma general de la ecuación del círculo.

Si D=-2a, E=-2b y F=a2+b2-r2

(25)

Problema individual: Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación es

4x2+4y2-12x+40y+77=0

4(x2-3x)+4(y2 +10y)= -77

(x2-3x)+(y2 +10y)= -77/4

(x2-3x+9/4)+(y2 +10y+25)= -77/4+9/5+25

(x-3/2)2+(y+5)2= 8

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Ejercicio en equipo

Deducir una ecuación del círculo que pasa por los puntos

(1,5), (-2,3), (2,1). Resuelva de manera analítica y gráfica.

Solución: Sabemos que la ecuación deseada tiene la forma siguiente:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Como los tres puntos dados satisfacen la ecuación del círculo por estar en él, tenemos

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Es decir,

D+5E+F=-26 -2D+3E+F=-13

2D-E+F=-5

Resolviendo el sistema tenemos,

D=-9/5, E=19/5, F=-26/5

Por lo tanto la ecuación del círculo es: 5x2+5y2-9x-19y-26=0

El ejemplo anterior demuestra el empleo de la

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Solución alterna

Como los puntos (1,5) y (-2,3) se ubican en el

círculo, el segmento de uno a otro es una cuerda del círculo que deseamos.

(-2,3)

(1,5)

(2,-1)

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Ejercicio en equipo

 _{Encontrar la ecuación de la recta tangente al}

círculo (x-3)2+(y-12)2=100 en el punto P(-5,6).

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Solución:

 _{Primero debemos encontrar la pendiente del radio}

que une a P con el centro del círculo. El centro tiene coordenadas (3,12). La pendiente buscada es

m=3/4.

 _{De donde la pendiente de la recta tangente al}

círculo en P es –4/3; por tanto su ecuación es

y-6=-4/3(x-(-5)), o bien 4x+3y+2=0

6 -5 3

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Ejercicio en equipo

_{Encontrar la ecuación del círculo que es tangente a la recta} x-2y+2=0 en el punto P(8,5) y pasa por Q(12,9)

 _Solución_{: El centro}_C(x

o, yo) del círculo debe estar en la recta l

que es perpendicular a la recta dada y que pasa por P. Como la recta dada tiene pendiente ½ , la recta l tiene pendiente m=-2; por tanto su ecuación es y-5=-2(x-8) 2x+y-21=0

 _{Por tanto las coordenadas de}_C_satisfacen 2x_o+y_o-21=0 (1)

 _{Como la distancia de} _C(x

o, yo) a P(8,5) debe ser igual a la

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 _{Elevando al cuadrado y simplificando tenemos}

x_o+y_o-17=0 (2)

 _{Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por}

(1) y (2) encontramos las coordenadas del centro

C(4,13) y el radio r=80

 _{Así la ecuación de la circunferencia es} (x-4)2+(y-13)2=80, o bien x2+y2-8x-26y+105=0

       2 0 2 0 2 0 2

0  8  y  5  x 12  y  9

x

5

8 4

(33)

(34)

LA PARABÓLA

 Definiciones .

 _{Sea DD una recta dada del plano y F un punto del plano que no está en la recta}

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 . La recta dada DD se llama DIRECTRIZ y el punto F se llama FOCO (fig. 6.1.1.) Frecuentemente se hace

referencia a la parábola de directriz DD y de foco F y se denota por PDD-F.

Esto es:

(36)

OBSERVASIONES

 Al trazar por F la perpendicular a la directriz. Se llamará : la distancia del foco a la directriz.

 Sea V el punto medio del segmento . Como , entonces el punto V pertenece a la parábola. V es llamado VERTICE de la parábola.

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Ecuaciones Analíticas de la Parábola

_{En esta sección sólo se considerarán parábolas con}

(38)

(39)

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TEOREMA 1 (Ecuaciones de la Parábola)

 _{La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(p/2, 0) y por}

directriz la recta x = -p/2 (fig. 6.1.4) viene dada por : y2=2px(3).

Recíprocamente si un punto P del plano, satisface (3) entonces P x PDD-F

 La ecuación de la parábola que tiene su foco en F(0, p/2) y por directriz la recta y = -p/2 (fig. 6.1.3.) es: x2 = 2py (4)

 Recíprocamente, si un punto P del plano, satisface (4) entonces P x PDD-F

(41)

(42)

Observaciones:

 En la fig. 6.1.3. aparecen las gráficas de dos parábolas abiertas hacia arriba (en el caso de p>0) y hacia abajo (p<0), respectivamente y cuyos focos están localizados en el punto

F(0, p/2) y cuya directriz es la recta de ecuación y = -p/2.

 Además, todos sus puntos son simétricos con respecto al eje y: de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, presentan únicamente a la variable x elevada en una potencia par.

 . Igualmente, las gráficas de la fig. 6.1.4. corresponden a las gráficas de

parábolas abiertas hacia la derecha (p > 0) e izquierda (p < 0) respectivamente, con focos en el punto F(p/2, 0) y cuya directriz es la recta de ecuación x =

-p/2. Además todos sus puntos son simétricos con respecto al eje x, de aquí que las ecuaciones que representan sus lugares geométricos, poseen

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Traslación de Ejes

 _{En el ejemplo 5 de la sección 5.6., se determinó que la ecuación de la}

circunferencia con centro en C(4,3) y radio 5 era:

 _ó

 _{Sin embargo, si se encuentra la ecuación con centro en C(0, 0) y radio}

5. Se obtiene.

 _{De lo anterior se concluye que a veces puede cambiar la ecuación sin}

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 _{Si en el plano cartesiano x - y se eligen nuevos ejes coordenados paralelos a}

los ejes x e y, se dice entonces que ha habido una "TRASLACIÓN DE EJES". Al fin de analizar los cambios que se presenten en las coordenadas de los puntos del plano al introducir un nuevo sistema de coordenadas x’ e y’ paralelo a los ejes x e y, se toma un punto fijo o’(h, k) que se llama: ORIGEN del nuevo sistema.

 _{Sea ahora, un punto P(x, y) del plano, cuyas coordenadas están referidas al}

sistema con origen O(O, O) Entonces las coordenadas de P(x’, y’) referidas al sistema x’-y’ vienen dadas por las relaciones:

x = x’ + h (1) y = y’ + k (2)

llamadas: ECUACIONES DE

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Ecuación de la elipse

 _{Tomamos como centro de la elipse el centro de}

coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:

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Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación

reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

Semieje mayor

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(49)

 _Ejemplo

 _{Dada la ecuación reducida de la elipse}

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Ecuación de la elipse

 Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es

paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X₀+c, y₀)

y F'(X₀-c, y₀). Y la ecuación de la elipse será:

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

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Ecuación de eje vertical de la elipse

 Si el centro de la elipse C(x₀,y₀) y el eje principal es

paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X₀, y+c)

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