Sobre el teorema de Pitágoras :: Números: revista de Didáctica de las Matemáticas

JQBRE. U TE.ORU'IA DE. PITA(iOR/J.S

E.e. conocimLR.nlo de. /JU con:f.e.nido en e.a An:f.igüe.dad y alguna;, d12.mo;,:f.4acion12.;, CU4LO/Jaa y g12.ne4a€izacion12./J

~anu~e. Lui;, de. fi4ma;, (4uz z e 3: r1 ;:u o Ul o

I.B. ·~e.nce.y Acaymo" - 9ülma4

Tal como lo conocemos actualmente,el teorema de Pitágoras es

una relación entre los lados de un triángulo rectángulo que lleva implÍ

cita una interrelación entre la Aritmética y la Geometría. Sin embargo,

su contenido puede ser conocido sólo en su variante purarr:ente aritmética

-que algunos llaman "relación pitag6rica"-y que,a su v~z,tiene mucho

que ver con las denominadas ternas pitagóricas, sin que los números que

en ella intervienen estén referidos explícitamente a entes geométricos.

Aunque el título ~e este trabajo haga sólo referencia al

teo-rema,trataremos también de aquella relación y de estas ternas.

EL CONOCIMIENTO DE SU CONTENIDO EN LA A'.NTIGUEDAD .

En la exposición que sigue,que no pretende ser

exhaustiva,co-men~aremos por Babilonia en honor a que de ella se posee la mayor can-tidad de material auténtico.

Babilonia

Del med.io millón de tabletas de arcilla, con escritura cunei

-forme, rescata das por los arqueólogo s,aJrededor de 300 están consideradas

con contenido matemático,incluyendo problemas y tablas. Trataremos aquí

de dos de ellas,que tienen que ver con el tema que~nos ocupa : la tabl~

"época de Hammurabi o,al menos,están fechadas sobre dicha época;hace unm

3600 ó 3700 años.

Esta tablilla, que se conserva en la Universidad de Yale - de

ahí su nombre- ,está fechada hacia el 1600 a. de

c.

El número que aparece arriba,en cuneiforme,por supuesto,es el

JO¡ el ae la diagonal horizo~tal es 1.24.51.10 y el que aparece abajo,

42,25,35,

Por ahora,sólo se puede interpretar su relación con el

teore-ma de Pitágoras en un sentido muy primitivo,pues en la tablilla figuran

un cuadrado y varios triángulos rectángulos, Pero si pasamos estos núm~

ros del sistema sexagesimal babilónico, a nuestro usual sistema decimal,

la cosa cambia, Veamos:

El número sobre el lado no varía.

El de la diagonal se convierte en 1,414213 .•• que,sorprendent~

mente,es el valor de v'2 con una aproximación superior a la que dió He-rón .de Alejandría muchos siglos después.

Además,al cambiar de base el segundo número se obtiene 42,426

389 ••• ,que es el valor de la diagonal del cuadrado de lado 30.

(En realidad,los números son 1,414212963 ••• y 42,42638889 .•• )

Por supuesto que no está ·explÍci to el teorema de Pi tágoras,

pero sí el conocimiento de su contenido;al menos,para un triángulo

rec-tángulo isósceles. La diagonal del cuadrado la obyenen mul tiplicand·o

la-do,cosa menos probable.

TablillR

PLIMPT.ON 322

(Universidad

de Columbia)

Está fechada en algún momento entre el 1900 y el 1600 a.de C.

y fue descrita por primera ve~,por Neugebauer y Sahs,en 1945. '

En ella se da una tab.la de quince ternas pitagóricas obteni

-das por las fórmulas

a = 2uv U 2 - V 2

donde u y v son enteres positiv?s primos entre si.y,además,los par,me

-tros u y u usados son números sexagesimales regulares,~s decir,números

cuyo inverso admite un desarrollo sexagesimal finito. Los babilonios

utilizaban estos números para reducir la división a un producto.

a

a.

12

o

3456 3 367 482 5 64 27

4800 4601 6649 75 32

13500 12709 18541 12 5 54

72 65 97 9 4

360 319 481 20 9

2700 22 91 35 41 54 25

960 799 12 49 32 15

600 481 769 25 12

6 480 4961 8'161 81 40

60 45 75 .2 .1 (*)

2400 1679. 2929

₄₈

240 161 289 15 8

2700 1771 3229 50 27

90 56 106 9 5 ( ")

Se puede hacer una observaci6n curiosa en esta tabla No

líneas 11 y 15,marcadas con (*),son ternas pitag6r±cas primitivas,esto

es,M.C.D.(a,g,c)=1 y,por tanto,sus múltiplos generan infinitas ternas.

-~=

En Egipto se han encontrado vari"os papiros antiquísimos, como

el de Moscú y el más famoso papiro de RHIND,con textos de contenido

ma-·temático. El primero,fechado hacia el 1850 a. de C.,fue hallado en 1893

y publicado en• 1930. El papiro de Rhind,tambi&n conocido como "del es

-criba Ahm&s",encontrado en 1858 y publicado en 1930,está fechado hacia el .1650 a, de C.

A pesar de su alto contenido matemático,no se menciona en

ellos el teorema ni las ternas pitag6ricas. Es por esto que,prudentemeu

te,algunos autores afirman que no hay raz6n para suponer que los egip

-cios tuvieran estos conocimientos. Sin embargo,es seguro que conocían y

utilizaban el hecho de que el triángulo de lados 3,4,5 -por cierto

lla-mado egipcio- es rectángulo.

Otto Neugebauer,uno de los estudiosos más prolíficos y serios

de la Matemática en la Anti.<giiedad, dice al respecto en un libro

publica-do ·en 1934 : " Ninguna fuente conocida habla de la relaci6n entre los

cuadrados de los catetos y el de la hipotenusa en forma pitag6rica. No

obstante,parece muy posible que la Geometría egipcia tuviera conciencia

del teorema pi tag6ri co "

~:

Tambi&n se ha reivindicado el conocimiento del teorema de

trata-dos clásicos chinos con gran contenido matem,tico:el CHGU-PEI y el CHU~

CHA~G SUANG-SHU o "Aritm,tica en nueve capítulos",el primero quizá más

antiguo, Y digo quizá porque han llegado a nuestros días a través de i~

··1umerables copias y reposiciones y es difícil f5.jar una fecha Única

pa-ra ellos, Yoshio Mikami,en su "Development of the Mathematics in China

and S apan", da una serie de fechas y valora su veracidad. Sea como fuere> no hay duda de su antigüedad,

En la tablilla de madera,cuya ~eproducci6n sigue,aparece una

figura que la tradici6n china asocia al Chou-pei y se ha wLillzndo para

reivindicar el conocimiento del contenido del teorema pitagórico,

Vere-mos más adelante que la probable deVere-mostraci6n debida a Pitágoras se

ba-sa en un diagrama semejante,

Veamos parte de un diálogo,que aparece en el Chou-pei,entre

Chou-Kong,hermano de Wu-Wang,rey de la dinastía Chou,que muri6 en el

1105 a. de C,,y el sabio Shang-Kao :

4egul6 el calenda4iO, Pe4o,ni lo-0 cielo-0 -Oon -0u-0cept¿gee-0 de -Oe4

alcan-zado-0,ni la tie44a lo e-0 de m.edici6n con nue-0t4a-0 m.edida-0, ¿A pa4li4 de

, El a4te de lo-0 núm.e404 -0e ogtiene del cl4culo y del cuad4f&.

do, El cl4culo -0e ogtiene del cuad4ado y el cuad4ado del "kuei" o llnea

en ángulo 4ecto, La llnea p4ocede de 9 en 9,lo que hace 81, De e-0te

po~ ea miiad,4e oatiene f.a f.lnea,

Esta Última frase,muy dif{cil de interpretar,hay quien la

en-tiende as{: Tomando la suma de los cuadrados de los lados de un triáng~

lo rectángulo y extrayendo su ra{z cuadrada,se obtiene la hipotenusa.

Y Shang-Kao continúa:

Rodeando (un espacio),4iiáaeo en ea piza~~a.Cuando oatene -mo4 3,4,5,pa~a lo4 do4 40n 25,eo que eeamam04 "chi-chü" o f.o que pe~ma­

nece de "chü", Po~ ianio,eo4 medio4 que utilizó ya pa~a ~egi~ ee mundo

nacen de e4i04 náme~o4,

El"Aritm6tica en nueve secciones" es el más antiguo tratado

que ha llegado hasta nuestros d{as, En su Último capitulo se enuncia el

·teorema de Pitágoras as{.

"Cuadra el kou y el ku (catetos) y aftádelos juntos. Entonces,

la raíz cuadrada (de la suma) es el h4ien (hipotenusa),"

Ademá~,"cuando el cuadrado del ku es sustraído del cuadrado

del h4ien,la ra{z del res*ltado es el kou", Y tambi6n : "cuando el

cua-drado del kou es sustraído del cuacua-drado del h4ien,la ra{z del resultado

es el lcu"

Es evidente aqu{ el conocimiento,aunque sin demostraci6n,del

teorema que nos ocupa.

Aparecen tambi6n en este tratado problemas como los siguien

-tes:

11 _{Dada una puerta de la cual la altu~a supera al ancho en 6}

chih 8 T4'un,la distancia máxima e~tre los v6rtices es 1 chang,¿Cuál es la altura y anchura? (1 chang=10 chih.=100 Ts'un) (Obs6rvese que el

sistema de unidades es decimal. Los chinos lo emplearon au~ antes del per{odo Chou,anterior al 1030 a.de C,)

11 _{Crece en medio de una charca circular de 1 O chil>. de}

diáme-trd,un junco que sobresale chih sobre el agua. Cuando se inclina,11~ ga justo al extremo de la charca. ¿Qu6 profundidac!.tiene el agua?

pala-bras que es el equivalente a

(diámetro)2 - (lo que sobresale del agua)2 profundidad

2,(lo que sobresale del agua)

Notas:

He tomado el diálogo de 11_{Mathematics i.n China and Japan", de}

Yoshio Mikami. La traducción es mía.

La traducción del enunciado del teorema y los problemas,la he

hecho de "Introduction to the History of Mathematics",de Howard Eves.No

resistí la tentación de cambiar "pies" por • r.h.iii"!en el se gund0 ;:iroblema.

India :

En los "Elementos de Historia de las Mat~máticas" de BOURBAKi

en la nota 2 al pie de la página 174,dice:

11

• • • • • los hindúes tuvieron la idea de algunos principios de

demostración de este teorema totalmente distintos de los que se encuen

tran en Euclides ••••• "

Se refiere Bourbaki a las demostraciones de~ monje matemático

hindú Bhaskara,de la Edad Media,no a que los hindúes de la Antigüedad

poseyeran una demostración del teorema pitagórico.

No obstante,en los antiguos Sulvasutras aparecen testimonios

de que usaron de forma práctica conocimientos de Geometría para la con~

trucción de altares ; entre ellos el teorema que nos ocupa.

Otras civilizaciones antiguas :

No se tienen noticias,o al menos yo no las conozco, de que

otras civilizaciones conocieran el teorema de Pitágoras. No lo conocían

las grandes civilizaciones americanas ni las del subcontinente africano.

Como resumen de lo expuesto,reproduzco la afirmación de Otto

Neugebauer en su libro 11_{The exact Sciences in the Antiquity" :}

"Me parece evidente que las narraciones t.radicionales de los

-mo totalmente ajenRs a la Historia. Sabe-mos hoy que todo el

conocimien-to matemático real que se atribuye a los primeros fil6sofos griegos, se

tenía ya muc~os afios antes,aunque sin la evidencia que les acompafia, ,,,

la cual los matemáticos del siglo IV habrían llamado prueba"

ALGUNAS DEMOSTRACIONES CURIOSAS

No vamos a entrar aquí en consideraciones que nos diluciden el

porqué en las civilizaciones antiguas no aparecen pruebas del teorema de

Pitágoras y,sin embargo,surgmen la civilizaci6n mediterránea de Greci•

Lo cierto es que es aquí.según lo que se sabe actualmente,donde,por pri

mera vez,aparece la demostraci6n matemática,

!,antes de nada,una aclaraci6n: A diferencia de Babilonia y

Egipto,no se conocen fuente& primarias de las ·Matemáticas de los anti

-guos griegos, La fuente principal es el llamado Suma11.io é.ude.miano de Pr~ clo,del siglo V después de Cristo. Son las primeras páginas del cornent~

rio de.Proclo al Libro I de Euclides y constituyen,a s1¡ vez,un resumen

de otro libro,hoy perdido,de Eudemio,discípulo de Arist6teles,

Sin ernbargo,los estudiosos de la historia de la Matemática~on gran ingenio y paciencia,han construido una historia,aunque hipotétic&,

bastante consistente. Estos hombres son : PAUL TANNNERY,T,L.HEATH,H.G.

ZEUTHEN,A,ROME, J,L.HEILBERG y lLFRANK,

La de.mo4i11.aci6n de. Pitágo11.a4

Es opini6n unánime 'l1le.aunque las civilizaciones antiguas

co-nocieron el contenido del teorema,fue Pitágoras (540 a,d,C,) el

prime-ro que dio una prueba general de él, Pprime-rol:.ahleüiente fuera la si:;uiente :

Dado un triángulo rectángulo de catetos a y g e hipotenusa e, construirnos un cuadrado de las dos maneras siguientes:

1) Mediante los cuadrados de lados a y g ,colocados como indi ca la fignra,y completados con cuatro triángulos iguaJ es al original en

las posiciones que se indican. El cuadrado resultan te tiene, como se ve,

a + g de lado, (Fig. 1),

1

!

mediante el añadido de los cuatro triángulos iguales al dado,en las pos¡ ciones que muestra la,Fig.2 y que,evidentemente,tiene tambi'n a + 1 de lado.

b

b • b

Como los dos cuadrados poseen igual área, si sustraemos las de ios cuatro triángulos en cada caso,las áreas de las figuras resultantes han de ser iguales. Por tanto,"la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Esta demostraci6n lleva implícitos conocimientos como el dela suma de los ángulos de un triángulo; pero este tipo de inconvenientes

había sido y:i. solucionado por Thales

Con la demostraci6n del teorema no se da ningún m'todo para hallar números enteros que cumplan la relaci6n pitag6rica. Los pitag6r¡ cos se dedicaron a este problema y llegaron a una f6rmula para cibtener

ternas pitag6ricas con un s6lo parámetro. La f6rmula que se les atribu-ye es

para todo m impar.

Una f6rmula parecida, aunque genera ternas distfntas, se le. a1ri buye a Plat6n(380 a.a.e) :

(2mJ 2 + (m 2-11 2 = (m 2+1J 2 , para todo m entero,

He aquí algunas de las ternas que pueden obtenerse con ambas f6rmulas:

Pi tag6rica Plat6nica

3

.

.

5

.

7 • 24 • 25 8 • 15

.

9

_•

_•

_•

Demo4t~aci6n de Euclide4

La demostraci6n atribuida a Pitágoras aparece en los

tos de Euclides (300 a,d,C,), Mucho del conocimiento del Libro I se debe

a los pitagóricos, No obstante,en la proposición 47 da una demostración

muy elegante del teorema que tratamos,que se le atribuye como propia. En

esencia es la siguiente:

Sea el triángulo rectángulo ABC, Construimos cuadrados sobre

los lados y nombramos los vértices según la figura.

F

E

e

I

'

I \

\ \

\

I \

I \

'

'I. K ¡.\

Trazamos los segmentos auxiliares DC

,

,

tu-ra correspondiente al vértice A, que corta al lado BC en ;¡_ y a l ll en K,

a) Demostremos primero que les triángulos DBC y ABI son

igua-les, Le, son porque AB = BD

'·

DBC es iguaJ al ángulo B del ABI.

b) El cuadrado ABDé es igual en área al doble del triángulo D

BC,ya que la base y la altura de este son lados de aquel,

e) El rectángulo BIKJ es igual en área al doble del triángulo

ABI·por la misma razón anterior,

Así pues,

Siguiendo el mismo razonamiento con el otro cuadrado,resulta

ACyt

=

=

=

Y, sumando miembro a miembro ambas igualdades,

ABDE + ACgT

=

Por supuesto,el bagaje de conocimientos geométricos necesario

para la demostración anterior es mucho mayor que el atribuido a

Pitágo-ras, En el Libro !,Euclides los desarrolla previamente. Son los

relati-vos a la teoría de proporciones, semejanza· de triángulos, áreas de

figu-ras planas,etc.

Ot~a demohi~aci6n cu~ioha

En algunos de los problemas de Herón de Alejandría,que vivió

¡:iro bablem ente en la segunda mitad del siglo I, aparecen las fórmulas

si-guientes

a • e.

. [ 2 ,11/2

r~ +

hJ :

hJ -

donde a y e. son los catetos de un triángulo rictángulo de perímetro 26

y de radio inscrito ~.

Si se fijan verán que se trata de las soluciones de una

ecua-ción de segundo grado, El planteo de esta se puede hacer como sigue y,

posiblemente,así se obtuvo, Veamos:

Consideremos un triángulo rectángulo ABC,de lados a,e.,c, Sean

~N,P los puntos de tangencia de la circunfe~encia inscrita de centro O,

Así,el triángulo dado puede descomponerse en suma de los triángulosAOC,

AOB y BOC. Por tanto,

a~/2 + e.~12 + c~l2 = af..12

Ahora bien,es fácil ver (sacando factor común y simplificand~

que el primer miembro es igual a h~ , doride h es el semiperímetro. En

consecuencia,

( 1)

ae.'

Por otro lado,las rectas que unen los vértices con O son

bi-sectrices de los ángulos del triángulo. Por tanto,

Se deduce de aqu2 que

,

.6 = Cf'I + BN + Af'I y a +

e.

(2) a +

e.

co

~

As! pues,la ecuaci6n buscada sería la obtenida por el sistema

formado por (1) y (2),

Inmediatamente se puede obtener que la hipotenusa es

Y as!,con las f6rmulas que relacionan los lados del triángulo

con el semiper!metro y el diámetro de la circunferencia inscrita,y un

poco de Algebra elemental,se puede demostrar el teorema que nos ocupa.

S6lo hay que verificar que

[.(M.6) +

Vfll.+.6/-

8.61t

4

J

2

_~

[('1+.6) -

{rll.+4)

8-óll.1~

2 2

de· donde

El monje y matemático hindú Bhaskara naci6 e.n el 1114 y muri6

en 1185, Posee dos pruebas originales del teorema de Pitágoras. Una de

ellas es la que sigue:

Sea un triángulo rectángulo de lados a,8.,c. Se construye un cuadrado de lado e (hipotenusa) y se corta según la fig. 1. Luego,lo r~

ordenamos como en la fig. 2,

,¿

~

En la fig.2 aparece la suma de los cuadrados de los catetos,

pues el cuadradito pequefio tiene de lado &-a. Así pues,s~ demuestra que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos.

La otra prueba es,básicamente,la que aparece en LECCIONES DE

MATEMATICAS I ,editadas por la s.c.P,M. Fu.e redescubierta en el siglo

XVII por John Wallis • En notaci6n actual, tal demostraci6n es así :

c..

¿

~.~A

Dado el triángulo de la figura,trazamos la altura h. Por las2 mejanza de los triángulos ACli y CliB y ACB,obtenemos

el&

=

=

e.

a2 = en

a2 + &2 = c(m + n) e 2

Uno de loG problemas contenidos en el LYLAVATI de Bhaskara es

muy boPito por el sabor oriental que desprende • Dice así

t1 Una madriguera de serpiente está al pie de un pilar de 15

cuC.it4 de altura,y un pavo real está posado encima. Viendo una serpien-te,a una distancia de tres veces la altura del pilar,que h~ye hacia la madriguera,se lanza oblicuamente hacia ella. Diga rápidamente,avispado

lector, a cuántos cuC.it4 de la madriguera se encontrarán si ambos reco -rren la misma distancia. t1

El problema se reduce a aplicar el teorema de Pitágoras y

re-solver una ecuaci6n de primer grado.

la demo4i~aci6n de Ta&it~i&n-Quo~~a (826-901)

Se sabe que este gran matemático árabe con.oci6 una demostra-,

Se trata de una prueba del tipo congruencia por sustracci6n y

se basa en el siguiente diagrama

Aunque es prácticamente visual,apuntaré el proceso de

demos-traci6n:

Sea un triángulo rectángulo de catetos a,i e hipotenusa e.Cm~

trnimos un cuadrado de lado a , como muestra la figur'.l.y:-tro adyacente de

lado l. Si a la figura resultante,le 1rnstraemos dos triángulos iguales

al original en los lugares indicados y los colocamos en la parte alta

de los antiguos cuadrados,obtenemos un cuadrado cuyo lado es la

hipote-nusa.

Tabi t-j_bn-Quorra tiene también una curiosa generalizaci6n del

teorema,que veremos más adelante.

Na4i4 ed-din.(1201-1274),también matemático árabe,tiene una

prueba original que, esencialmente, es la misma que se sugerirá para la

generalizaci6n de Papo (o Papus) cuando tratemos de las generalizaci.o

-nes del teorema.

la demo4i4aci6n de leona4do da Vincl

No debe extrañar que también el gran genio del Renacimiento

posea una demostraci6n original. Es una prueba por disecci6n del tipo

congruencia por sustracci6n. Veámosla· .:

Sea un triángulo de lados a,i,c,siendo e la hipotenusa.

Cons-truyamos cuadrados de lados a y i y situémoslos uno al lado del otro de

man~ra que sus diagonales estén sobre una misma recta. Completemos la

figura con dos triángulos iguales al dado. Dividamos en dos partes igu,!'!;

f

Por otro lado,construimos el cuadrado de la hipotenusa sobre uno de los tri6ngulos afiadidos y, debajo de él, completamos con otro tr~·~ gula igual al original, Dividimos en dos esta nueva figura,por la recta que une los dos vértices de los tri6ngulos correspondientes a los

6ngu-los rectos,

Las dos nuevas partes son iguales entre si e iguales a las r~ sultantes de la división anterior,lo que demuestra el teorema.

\

\

\

\

La fMueB.a de Jame/.> llB./Lam --.(ja11.ti eld

Ostentó la presidencia de los Estados Unidos sólo durante un afio,ya que fue nombrado en 1880 ••• y lo mataron en 1881. En su época de estudiante publicó la siguiente demostración:

Calculando el 6rea del trapecio de la figura de dos formas,c2 mo (a+ e.J2 / 2 y como c2!2 + ae. e igualando,se obtiene

~a re~ación

la demo<>t./Laci6n de li, é., Dudeney

-mos al lector, Joseph M. Madachy,editor del Journal of Recreational

Ma-thematics on Vacation,dice, sin embargo,que esta prueba es muy antigua.

No sé •••

Los interesados en otras pruebas del teorema en cuestión,vean

el libro de Loornis citado en la Bibliografía que acompaña a este trabaj~

GENERALIZACIONES

En la proposición I-48 de sus Elementos,Euclides lo enuncia

más o menos así

" Si en un triángulo el cuadrado sobre uno de los lados es

igual a los cuadrados sobre los restantes dos lados,el ángulo contenido

por los restantes dos lados del triángulo es recto "

La demostración corre así:

Para el triángulo ABC, sea el cuadrado sobre el lado BC igufl.l

a los cuadrados sobre los lados BA..:;¡ AC,

Digo que el triángulo BAC es rectángulo.

Construyamos AD desde el punto A en ángulo recto a la recta

AC, hagamos AD igual a BA y unE>.mos D con C,

Com6 DAC es recto (por construcción),

el cuadrado de DC es igual a los cuadrados sobre

DA y AC ,esto es, CD2

=

que

y, además,

Por otro lado,por hipótesis se tiene

CB2 = AB2 + AC2

AB

=

:o

B

Se tendría Gl2 = CD2 y,po:r tanto,los dos triángulos tienen

los tres lados iguales,de lo que es fácil deducir que el ángulo BAC es

recto. (Tomado de la versión inglesa: de T.H.Heath ).

Es~e ~eorema,como casi todo el contenido del Libro I de F.ucli-des~era conocido por los pitagÓ~icos, Si lo conocía o rio el propio

Pitá-goras,no está claro. Al respecto dice Heath "El problema de determ:inar

cuántos de los descubrimientos en Matemáticas pue-den ser atribuidos a fi

Et teo11ema del co~eno

Esta generalización,que aparece en el Libro II qe E1.1clides C,2 mo proposiciones 12 y 13,responde más o menos a la siguiente pregunta: ¿cuáe ~e.11á fa 11eeaci6n de lo~ lado~ en un t11iángulo cualquie11a?

Dichas proposicion~s,establ~cidas _{juntas y en lenguaje}

moder-no,dicen:

"En un triángulo obtusángulo (~cutángulo),el cuadrado del l~

do opuesto al ángul0 obtuso (agudo) es igual a la suma de los cuadrados de lo·s otros dos lados aumentada (disminuida) en el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre ¡1 "

Es,por supuesto,el conocido teorema del coseno, Y,en .el caso particular de que el ángulo sea recto, el de Pitágoras.

En lenguaje de Euclides,la proposición II-12 está redactada así: 11 _{En un tri ángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto al}

ángulo obtuso es mayor que los cuadrados sobre los lados que forman el ángulo obtuso en el doble del rectángulo formado por uno de los lados del ángulo obtuso,precisamente aquel sobre el que se traza la perpendi-cular, y la línea recta que corta fuera por la perpendicular hasta el á.!l gulo obtuso 11_,

La proposición II-13 está redactada en t¡rmino~ parecidos, La demostración es muy sencilla pues consiste, en esencia, en aplicar el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rectángulos que se forman cuando se traza la al tura por uno de los v¡rtices adyacentes al considerado.

Harón se considera el autor de los teoremas inversos de las proposiciones 12 y 13,es decir,probó que "si en un triángulo,el cuadra-do de un lacuadra-do es mayor (menor) que la suma de los cuadrad.os de los res-tantes lados,el á~gulo _{formado por dichos restantes lados es obtuso (}

agudo),

En el Libro IV de los Elementos aparece una generalización en

la que;en vez de cuadrados, utiliza figuras cualesquiera similares y

si-milarmente situadas sobre los lados de un triángulo rectángulo. En gen~

ral,esto se cumple siempre y cuando el área de la figura utilizada sea

tra2J y,además,esta función sea tal que

/(a2 J + trg2 J

=

Cumple esta relación,por ejemplo, un-pÍrculo de diámetro

da-do,es decir,"el área del círculo construido sobre la hipotenusa es igml

·a la suma de las áreas de los círcnlos construidos sobre los catetos",

tanto si ''construido" significa que los círculos tengan por radios los

lados o tengan Jstci¡'.por diámetros.

Este tipo de generalización nos proporciona un método

senci-llo de resolución de problemas como el siguiente:

"Dados dos n-ágonos regule.res de lados conocidos, se pide cal

cular el lado de un n-ágono regular de área la suma de los dos"

La gene./l.af.ización de Papu6.

Papus,en el siglo III,dio también una generalización curio

-sa. Además de considerar un triángulo cualquiera,construye sobre los l~

dos paralelogramos cualesquiera,con cierta restricción, sin exigirles

que sean semejantes. Su generalización dice así :

1_{isea ABC cualquier triángulo y IJ.BDl} y _ACF{i paralelogramos a;¡:

bitrarios construidos externamente sobre AB y IJC. Dl y

rq

H. Coniüruya BL y Cf'I iguales y paralelos a HA. Entonces,

c::t

c:z

Su prueba se basa en lo siguiente: Sea U el punto de corte

entre Dl y BL , y V el punto de corte entre

yT

.altura. A su vez,ei 4rea de ABVH es,por la misma raz6n,igual a la de B

LSR. A sí pues

ABDE = BLSR

El mismo razonamiento para el otro lado conduce a que

ACT(i

=

Ahora bien,como

BLSR + RCf'IS = BCLf'I

se tiene

ABDE + Acrq = BCLf'I '

lo que demuestra el teorema.

Si en lugar de paralelogramos y un tri4ngulo cualquiera,se uti

lizan cuadrados y un tri4ngulo rect4ngulo,se llega a la demostraci6n de

Nasir ed-din del teorema de Pit4goras.

El teorema de Papus puede ser generalizado al espacio de tres

dimensiones reemplazando el tri4ngulo por un tetraedro,y los paralelo

-gramos por prismas triangulares sobre las caras del tetraedro,

tales que

La gene.Ita f.izacUm de T aR..it iR..n Quo11.11.ci. "Si en un tri4ngulo ABC cualquiera,B'y

... / ' -

"

AB'B

=

=

C' son puntos sobre BC

A

AB2 + AC2 : BC( BB'+ CC' J 11

La demostraci6n es la siguiente:

~

B

B'

<:'

C:

Los tri4ngulos ABC y B' BA son

semejant~ya

'A

B'

es común, Por tanto,

AB / BC

=

Haciendo el mismo razonamiento sobre el tri4ngµlo C'CA , obt~

nemos

AC2 = BC • CC'

Y, sumando miembro a miembro, AB2 + AC:: BC(BB'+ CC'J1

[.f_ teo/l.ema en l'.a yeome:t/l.la d.e LOBllCH[VJ/U

Es probablemente esta la mls sorprendehte de.las generalizac~

nes, Dice así : " Si a , l , e son los catetos y la hipotenusa de un trilngulo rectlngulo,ent.onces,en lugar del teorema de Pitlgoras,se

veri-ca que

l!k -llk ) • e. + e. .

donde k _{es un parlmetro que,cuRndo tiende a infinito,el espacio tiende} al euclídeo ".

Desarrollando en serie la expresión anterior, resulta

c2 + c4/12k2 + ••••= ª2 + ,2 + (a4 + la2a2 + 14)/ 12k2 + ••••

BIBLIOGRAFIA

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(Contiene problemas y una buena bibliografía),

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2nd,ed,,1940-Es una impresión privada de Ann Arbor,Michigan, Reimpreso

por Bell and Howell, Clevel·and-Ohio. Existe también una edi ción del National Council of TeRchers in Mathematics,

MIKAMI,Y. - The development of Mathematics in China and J~ pan -Hafner,1913 - New York. Reimpreso por Chelsea,1961,

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preso por Dover,1956,New York.

NEUGEBAUER,O, -The exact Sciences in Ant.iquity - 2nd,

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ALEKSANDROV y o.tres - La Matemltica:Su coJJtenido,métodos y

significado - Alianza Universidad.

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