GUIA 5-CORRIENTE CONTINUA

Ing Carlos Merino Dra Noemi Sogari

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SERIE DE PROBLEMAS N° 5-

CIRCUITOS ELECTRICOS- CORRIENTE CONTINUA

PROBLEMAS RESUELTOS

1- En una célula nerviosa cilíndrica (axón) se distinguen tres regiones; la interior, la exterior y la membrana. Estas tres regiones se resisten al flujo de la corriente eléctrica, y por lo tanto presentan distintas resistencias; una resistencia interna que se presenta para una circulación longitudinal y la resistencia de la membrana para una circulación de la corriente de pérdida, de adentro hacia fuera, en sentido transversal. A su vez, la membrana se comporta como un capacitar almacenando carga eléctrica.

Los parámetros típicos para una célula nerviosa son:

Espesor del membrana d=100 Aº; Radio r= 0,1 mm; Resistividad de la membrana ρm=109 Ωcm;

Longitud L= 1mm; Resistividad interior ρi=150 Ωcm.

Con estos datos, calcular la resistencia de la membrana Rm, la capacidad de la membrana Cm y la

resistencia del interior de la célula Ri

Solución: La resistencia interior de la membrana se calcula a partir de su resistividad y dimensiones; Ri= ρi L / St

La sección transversal es St= π r2= 3,1416 . (1.10-4 m)2

St= 3,1416.10-8 m2

Ahora se puede calcular la resistencia interna Ri= 1,5 Ωm . 1.10-3 m /

3,1416.10-8 m2

Ri= 47.746,48Ω

Análogamente se halla la resistencia de la membrana Rm, solo que ahora se tendra en cuenta la

superficie lateral SL y el espesor de d del cilindro.

SL = 2π.r. L= 2. 3,1416.1.10-4 m . 1.10-3 m= 6,283.10-7 m2

d=100 Aº = 1.10-8 m

Rm= 106 Ωm . 1.10-8 m / 6,283.10-7 m2 de donde:

Rm= 15915,96Ω

Para calcular la capacidad de la membrana Cm, se tendra en cuenta que como su espesor es muy

pequeño comparado con el radio y la longitud, se puede analizar el axón como si fuera un condensador plano. Se expresa la capacidad como Cm= ξ SL / d; donde ξ es la constante

dieléctrica de la membrana y su valor es de 10-12 F/cm2.

Reemplazando valores se tiene Cm= 10-8 F/m2 . 6,283.10-7 m2 / 1.10-8 m; entonces la capacidad de

la membrana es:

Cm= 6,283.10-7 F

2- El circuito de la figura es utilizado en una experiencia de laboratorio para verificar el cumplimiento de las leyes de Kirchoff.

a) Calcule las corrientes que circulan por cada rama

b) Calcule la d.d.p. sobre cada resistencia

c) Halle la diferencia de potencial entre los nodos A y B

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Solución:

Para calcular las intensidades de las corrientes que circulan por cada una de las ramas, se aplicaran las leyes de Kirchoff.

Se proponen los siguientes pasos para resolver el circuito en cuestión.

Identificar el número de nodos (puntos del circuito donde

coexisten tres o más corrientes). En este caso se tienen dos nodos A y B.

Determinar el número de ramas (porción de circuito comprendido entre dos nodos y por el cual circula una corriente). En este problema se tienen tres ramas y se deberán calcular los valores de tres corrientes. Entonces se planteara un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas.

Si existen n nudos se tendrán (n-1) ecuaciones de nudo linealmente

independientes. Por lo tanto se tendrán una ecuación de nudo y dos ecuaciones de malla

Identificar las ramas, por ej:

Rama 1: formada por los elementos V1, R1 y R2 por la que circula la corriente I1

Rama 2: formada por los elementos V2, R5 y R6 por la que circula la corriente I2

Rama 3: formada por los elementos R3 y R4 por la que circula la corriente I3

Elegir el sentido de circulación de cada una de las corrientes arbitrariamente, pero siempre respetando la ley de nodos (La suma de las corrientes que llegan al nodo es igual a la suma de las corrientes que salen; esto es, la suma algebraica de todas las corrientes en un nodo es igual a cero – Principio de conservación de las cargas). Para ello se adoptara un convenio de signos; por ejemplo, tomamos como (-) las corrientes que entran y como (+) las que salen.

Elegir uno de los nodos, por ejemplo, si se analiza el nodo B, y se adoptan los sentidos de circulación de las corrientes según lo expuesto en el punto V, una de las ecuaciones del sistema será:

-I1 -I2 + I3 = 0 (1)

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Identificar el número de mallas. Se denomina malla a todo recorrido cerrado en un circuito (sin pasar dos veces por el mismo lugar). Así en el circuito se pueden identificar tres mallas. Como ya se tiene una ecuación de nodo, solo se necesitan dos ecuaciones de malla para completar el sistema. Se eligen dos de las tres mallas. Se seleccionan las dos mallas paralelas.

Para plantear las ecuaciones de mallas, se debe elegir el sentido en que se las recorrerán, aquí se indican con M1 y M2. Al recorrer la malla se encontrara con los elementos del circuito y con las corrientes de cada rama en ese recorrido.

Dentro de una fem o pila, la corriente circula en el sentido de potencial menor (-) a un potencial mayor (+), en cambio en una resistencia, lo hace desde un potencial mayor a un potencial menor, por eso se dice que en la resistencia se produce una caída de potencial. La figura 5 representa una grafica de potencial en correspondencia con cada uno de estos elementos. (Los signos + y – en la resistencia no indica polaridad sino mayor y menor potencial respectivamente)

La ley de mallas establece que en un recorrido cerrado la suma de todas las fem (V) es igual a la suma de las caídas de potencial sobre las resistencias (IR) – Principio de conservación de la energía- ; esto es ΣV = ΣIR, o bien ΣV – ΣIR= 0. Entonces para armar la ecuación de una malla, se comienza desde un punto (por ej. un nodo) y se recorre la malla hasta

volver al punto de partida. Teniendo en cuenta el convenio anteriormente explicado, cuando en el recorrido se pasa por una fem y este coincide con el sentido de la corriente, el potencial aumenta, entonces se suma (+V), si el sentido de la corriente es opuesto al recorrido, el potencial decrece; en ese caso se resta (-V). Si al pasar por una resistencia se coincide con el sentido de la corriente, el potencial decae, por lo tanto se resta (-I.R) y si los sentidos de recorrido y corriente son opuestos; el potencial sube, entonces se suma (+I.R).

Análisis de la malla 1: se parte del nodo B, el recorrido en R2 opuesto al sentido de circulación de la corriente I1, según lo anteriormente explicado, se pasa de un potencial mayor a un potencial menor, por lo tanto se suma (+I1.R2), igualmente con R1 que también se suma (+I1.R1). A continuación se tiene V1 se pasa de un potencial mayor a uno menor, entonces se resta (-V1). Se pasa por el nodo A y luego se tienen las resistencias R3 y R4 y la corriente I3, nuevamente el recorrido es opuesto a esta corriente por lo que se suman (+I3.R3) y

(+I3.R4) y se termina el recorrido nuevamente en el nodo B. Así la primera ecuación de malla, será:

I1.R1 + I1.R2 + I3.R3 + I3.R4 – V1 = 0 (2) Segunda ecuación del sistema.

Análisis de la malla 2. Se parte del nodo B, al pasar por R4 y R3, el recorrido coincide con el sentido de circulación de la corriente I3, se pasa de un potencial mayor a uno menor, por lo que se resta (-I3.R4) y (-I3.R3). Al pasar por V2, se pasa de un potencial menor a uno mayor por lo que se suma (+V2) y al pasar por R5 y R6, nuevamente el recorrido coincide con el sentido de I2, por lo que se restan (-I2.R5) y (-I2.R6) y se regresa al nodo B cerrando el recorrido. Se tiene la segunda ecuación de malla y tercera ecuación del sistema:

-I3.R4 - I3.R3 - I2.R5 - I2.R6 + V2 = 0 (3)

El sistema de ecuaciones queda

-I1 -I2 + I3 = 0

I1.R1 + I1.R2 + I3.R3 + I3.R4 – V1 = 0 -I3.R4 - I3.R3 - I2.R5 - I2.R6 + V2 = 0

Figura 4

Figura 5

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Agrupando, ordenando y pasando al segundo miembro V1 y V2 se tiene

-I1 -I2 + I3 = 0 (R1+R2).I1 +(R3+R4).I3 = V1 – (R5+R6).I2 -(R4+R3).I3 = -V2

Nota: Observe la asociación en serie de las resistencias de cada rama (R1+R2, R3+R4 y R5+R6)

Armado el sistema de ecuaciones, solo resta resolverlo por cualquier método conocido (para tres o más ecuaciones, resulta más sencillo aplicar el método de determinantes)

Si los valores de I1, I2 e I3; resultan positivos (+), significa que el sentido arbitrario dado a las corrientes es el correcto. Si alguna de las corrientes resulta con signo negativo (-), su real sentido es opuesto al elegido. En cualquier caso, se debe verificar el cumplimiento de la ley de nodos.-

Una vez halladas las corrientes. Se puede calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera del circuito. Para calcular la d.d.p. entre los puntos C y D, se aplica el mismo criterio de recorrido de mallas, solo que ahora no se tendrá un circuito cerrado, ya que se comienza en un punto y se finaliza en otro distinto.

Si se parte del punto C que está a un potencial VC se llega hasta el punto D que está a un potencial VD.

La ecuación queda: VC – I3.R3 + V2 – I2.R5 = VD, por lo que la d.d.p. buscada será;

VC-VD = I3.R3 - V2 + I2.R5

Si esta diferencia es positiva, significa que el potencial del punto C

(VC) es mayor que el potencial del punto D (VD), si es negativa, será lo contrario.

Si se conecta un capacitor a estos puntos, se cargará a la d.d.p. VC-VD, y sus placas se polarizarán; con cargas positivas (+) la que está conectada al punto de mayor potencial y con carga negativa (-) la conectada al punto de menor potencial.-

3- Una corriente de 5 A pasa durante 10 min a través de una disolución de acido sulfúrico contenida en un voltámetro de gases. Determinar:

a) Peso de agua descompuesto por la corriente

b) Peso del hidrogeno recogido

c) Volumen ocupado por este hidrogeno en condiciones tales que T=20 °C, Pext= 740 mm, tensión de vapor de agua dentro de la campana que contiene el hidrogeno es de 18 mm.

Calculo de la masa de hidrogeno depositada

M1= M /(v 96 500) lt = (5*10*60)/ (96*500) =0.03 g

Calculo de la masa de agua descompuesta

M2= 9* M1= 0.27 g

La presión será p- 740-18= 722 mm de Hg

pV=nRT (722/760)V=0.03/2 0.082*293 V=0.379 lt

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PROBLEMAS PARA RESOLVER

1) Por un conductor circulan durante 15 minutos 54.1022 electrones. Calcular la intensidad de esa corriente.

2) En el circuito de la figura.

a) Halle la resistencia equivalente entre los puntos A y B

b) Defina Potencia Eléctrica, indique sus unidades

c) Si se conecta la batería; ¿Cuál sería la potencia total entregada por está?

d) Qué potencia consume cada resistencia?

e) Si se quisiera proteger el circuito con un fusible; ¿Dónde lo colocaría y qué valor de corriente (en amperios) deberá poder soportar para no quemarse?

f) Si se quiere medir la corriente sobre R3; ¿Dónde y cómo conectaría un amperímetro?

3) El circuito de la figura se utiliza en laboratorio para determinar mediante la aplicación de la ley de Ohm, la resistividad del alambre conductor de un puente de hilo.

Calcule a qué valor debe ajustarse la resistencia variable Rv y que consideraciones haría para garantizar que la corriente máxima que circule por el de hilo no supere los 0,40A.

RiA= 0,05;

RiV= 4x107

4) Dado el siguiente circuito, calcule:

a) La intensidad de la corriente e indique el sentido de circulación.

b) La d.d.p. sobre cada resistencia

5) Seis pilas AA alimentan una linterna con un foco cuya resistencia es de 3Ω. Se sabe que la fem

de cada pila es de 1,5V y que su resistencia interna es de 0,06Ω. Calcule la corriente y diferencia de potencial entre los terminales de cada pila.

6) Se ha construido una resistencia mediante una barra de grafito (ρ=10-5 Ω m) de 2 m de longitud

y 5 mm de anchura con sección cuadrada.

a) ¿Qué entiende por resistividad? ¿Qué relación hay entre resistencia y resistividad de un material?

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d) Defina Energía Eléctrica e indique sus unidades

e) Si la barra se conecta a una fuente de 220 V, ¿cuánto tiempo sería necesario mantenerla conectada para que disipase una energía en forma de calor de 1000 julios?

7) Aplicando la ley de Joule determine el valor de la resistencia eléctrica que debe tener un calentador eléctrico para que, conectado a un enchufe de 220 V, sea capaz de elevar la temperatura de un litro de agua de 15 °C a 80°C en cinco minutos. Considerar la masa de 1 litro de agua igual a 1kg. La energía calorífica para elevar la temperatura de 1g de agua en 1°C es de 4,2J (Calor específico del agua 4,2 J/kg ºC)

.

8) Las indicaciones de una plancha son 500W y 250V. A partir de estos datos calcular:

a) La resistencia eléctrica de la plancha

b) La intensidad de corriente al instalarla en una red 220V

c) La potencia que consume

d) Los kw-h consumidos durante un mes (30 días), si la plancha funciona por términos medios de 4 horas diarias.

9) En 1925 Gorter y Grendel describen como estructura de las membranas celulares, una bicapa lipídica encargada de separar el medio intracelular del extracelular. Desde entonces ha habido un gran número de descubrimientos que transforman a las membranas biológicas en sistemas sumamente complejos.

Es así que para comprender mejor su funcionamiento se han utilizado modelos de comportamiento eléctrico.

El circuito de la figura representa un modelo equivalente teórico de una membrana plasmática. Los gradientes de cada ión generan d.d.p. representadas por las fuentes, mientras que las resistencias representan la dificultad a la corriente

iónica. El capacitor Cm representa la capacitancia de la membrana cuyo valor depende del área de las placas y es del orden de los 0,1μF/cm2

Aplicando las Leyes de Kirchoff hallar analíticamente la expresión de cada una de las corrientes iónicas y la expresión que determina la d.d.p. - entre los nodos A y B - que carga al capacitor Cm

10) Una corriente de 5 A pasa durante 15 min a través de una disolución de acido sulfúrico contenida en un voltámetro de gases. Determinar:

a) Peso de agua descompuesto por la corriente

b) Peso del hidrogeno recogido

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PROBLEMAS PARA HORAS DE ESTUDIO INDEPENDIENTE

11) Calcular la resistencia de un conductor de 15m de largo y 0,3mm² de sección, si su resistividad o resistencia específica es de 0,017Ω.mm²/m.

12) ¿Cuál es la resistividad o resistencia específica de un conductor cuya resistencia es de 17Ω,

su longitud de 28m y su sección de 0,0015 mm²?

13) ¿Un conductor y de 0,1mm² de sección, y cuya resistividad o resistencia especifica es 0,017Ω.mm²/m se conecta a una red de 210V; ¿Qué longitud tiene si la corriente que circula es de 12A?

14) Un conductor cuya resistividad o resistencia específica es de 0,0016 Ω.mm²/m, está conectado

a un circuito por el que circula una corriente de 20A. Si su longitud es de 1000m y su sección es de 0,5mm2, ¿cuál es la d.d.p. (V) que provoca esa corriente?

15) Qué cantidad de carga eléctrica en Columbios habrá circulado por un conductor en 30 minutos, si la intensidad de la corriente es de 15A.

16) Cada una de las tres celdas de un acumulador instalado en un tractor tiene una resistencia interna r = 0,15Ω y una fem de 2,1V. Si se conecta una resistencia

de 7Ω en serie con la batería, ¿qué voltaje sería necesario si se pretende cargar la batería con 15A?

17) Una batería de automóvil de 12V de fem proporciona 7,5A al encender las luces delanteras. Cuando el conductor opera el motor de arranque con las luces encendidas, la corriente total llega a 40 A. Calcule la potencia eléctrica entregada por la batería cuando:

a) Solo están encendidas las luces

b) Se arranca el motor con las luces encendidas

b) Se arranca el motor con las luces apagadas

18) Una pila cuesta $ 2,00. Su tensión (d.d.p.) es de 1,5V y puede entregar 2A durante 6 horas, calcule:

a) La potencia entregada por la batería; b) La energía; c) El costo de cada kW-h.

19) Aplicando las Leyes de Kirchoff. Determinar las corrientes que circulan por cada rama y las d.d.p. sobre cada resistencia. En el caso de que se conecte un capacitor de 0,1μF en serie con la resistencia R3., a) A qué d.d.p. se cargará?

b) ¿Cuál será el valor total la carga y cuánto tiempo tardará en cargarse? Indique la polaridad de las placas

20) Dado el circuito de la figura:

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b) Cómo conectaría un voltímetro para medir la d.d.p. sobre R2.

c) Calcule la d.d.p. y la corriente sobre cada resistencia.