Clase 17
Índice
1. Diferenciabilidad 1
1.1. Linearización def(x,y) . . . 1 1.2. Diferenciales . . . 3 1.3. Funciones deRn enRm . . . 4
1.
Diferenciabilidad
1.1.
Linearización de
f
(
x
,
y
)
Aproximación lineal af(x)
La recta tangente ay=f(x)enx=aes una aproximación a los valores def(x) cerca dea
f(x)≈L(x)=f(a)+f0(a)(x−a)
L(x)es lalinearizacióndef ena.
El error se hace más pequeño a medida que la distanciah, entrexya, se achica
lim
h→0
f(a+h)−L(a+h) h =hlim→0
f(a+h)−f(a)−f0(a)h
h
=lim
h→0
f(a+h)−f(a)
h −f
0(a)
=f0(a)−f0(a)=0
Aproximación lineal af(x,y)
El plano tangente al gráfico dez=f(x,y)en(a,b)es
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)
y x
z=f(x,y)
L(x,y)
T2 T1
n z
¡
L(x,y)es lalinearizaciónde f en(a,b).
Podemos usarL(x,y)para aproximarf(x,y)cerca de(a,b)
f(x,y)≈L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)
Ejemplo1. Encontrar un valor aproximado para f(x,y)=p2x2+e2y en(2,2;−0,2).
Podemos usar la linearización en(2; 0), donde es fácil evaluar f y sus derivadas.
fx(x,y)=
2x p
2x2+e2y
fy(x,y)=
e2y p
2x2+e2y
f(2; 0)=3
f(2; 0)=4 3
f(2; 0)=1 3
EntoncesL(x,y)=3+43(x−2)+ 1
3(y−0), y
f(2,2;−0,2)≈L(2,2;−0,2)=3+4
3(2,2−2)+ 1
3(−0,2−0)=3,2
Para comparación,f(2,2;−0,2)=3,2172 . . .
Funciones diferenciables
A diferencia del caso de una variable, la simple existencia de fx(a,b) y de
fy(a,b)no implicaquef sea contínua en(a,b). . .
Y tampoco implica que el error de la linearización sea pequeño, comparado con la distanciap(x−a)2+(y−b)2entre(a,b)y(x,y). . .
Esto nos permite dar una condición para que f(x,y)sea diferenciableen un punto.
Definición 2. Se dice que la funciónf(x,y)esdiferenciableen el punto(a,b)si
lim (h,k)→(0,0)
f(a+h,b+k)−f(a,b)−h fx(a,b)−k fy(a,b)
p
Comentarios
La función f(x,y)es diferenciable en el punto (a,b)si y solo si la superficie z=f(x,y)tiene un plano tangenteno verticalen(a,b).
Esto implica quefx(a,b)y fy(a,b)deben existir, y que f debe ser contínua en
(a,b).
Teorema
Si fx yfysoncontínuasen un entorno del punto(a,b), entoncesf es diferenciable en
(a,b).
Ejemplo3. Calcularf(x+h,y+k)−f(x,y)−fx(x,y)h−fy(x,y)ksif(x,y)=x3+x y2.
Comofx(x,y)=3x2+y2y fy(x,y)=2x ytenemos
f(x+h,y+k)−f(x,y)−fx(x,y)h−fy(x,y)k=
=(x+h)3+(x+h)(y+k)2−x3−x y2−(3x2+y2)h−2x yk
=3xh2+h3+2yhk+hk2+xk2
Y la condición de diferenciabilidad se comprueba
lim (h,k)→(0,0)
3xh2+h3+2yhk+hk2+xk2 p
h2+k2 =0
(el numerador es un polinomio enhyk, con términos de grado no menor a 2).
1.2.
Diferenciales
El concepto de diferencial
Si las derivadas parciales primeras de una funciónz=f(x1, . . . ,xn)existen en un
punto, se puede construir undiferenciald zod f de la función, en dicho punto, de manera similar al caso de funciones de una variable
d z=d f = ∂z
∂x1
d x1+ ∂ z ∂x2
d x2+ · · · + ∂ z ∂xn
d xn
=fx1(x1, . . . ,xn)d x1+ · · · +fxn(x1, . . . ,xn)d xn
El diferenciald z es consideradouna funciónde2n variables independientes x1,x2, . . . ,xn,d x1,d x2, . . . ,d xn.
Definición de diferencial
Para una función diferenciablef, el diferenciald f es unaaproximaciónal cam-bio∆f, en el valor de la función, cuando se calcula
∆f =f(x1+d x1, . . . ,xn+d xn)−f(x1, . . . ,xn)
El error de esta aproximación es pequeño, comparado con la distancia entre dos puntos del dominio def, es decir
∆f−d f p
(d x1)2+ · · · +(d xn)2
En este sentido, los diferenciales son otra manera de pensar en la linearización de una función.
Ejemplo4. Estimar el porcentaje de cambio en el periodoT=2πqgL de un péndulo simple, si la longitudLdel péndulo se incrementa un 2 % y la aceleración de la gravedad gdisminuye un0,6%.
Calculamos el diferencial deT
dT=∂T
∂LdL+
∂T
∂gd g= 2π 2p
LgdL− 2πpL 2g3/2d g
Tenemos quedL=1002 Lyd g= −10006 g, entonces
dT= 1 1002π
s L g−
µ −10006
¶2π 2 s L g = 13 1000T
lo que indica que el periodo del péndulo se incrementará un1,3%.
1.3.
Funciones de
R
nen
R
mUna transformación deRn enRm
Un vectorf=(f1,f2, . . . ,fm)demfunciones, cada una dependiendo den
varia-bles, define unatransformacióndeRnenRm. Específicamente, six=(x1,x2, . . . ,xn)∈Rn, y si
y1=f1(x1,x2, . . . ,xn)
y2=f2(x1,x2, . . . ,xn)
.. .
ym=fm(x1,x2, . . . ,xn)
entoncesy=(y1,y2, . . . ,ym)es el punto deRm que le corresponde axsegún la
transformaciónf.
En forma compacta se escribey=f(x).
La matriz jacobiana de f
La información acerca de la tasa de cambio deycon respecto axestá contenida en las derivadas parciales∂∂xjyi, con1≤i≤m,1≤j≤n.
Generalmente estas derivadas parciales se organizan en una matriz, dem×n, llamadamatriz jacobiana o jacobianode la transformaciónf
J=Df(x)=
∂y1
∂x1
∂y1
∂x2 · · ·
∂y1
∂xn ∂y2
∂x1
∂y2
∂x2 · · ·
∂y2
∂xn
..
. ... ...
∂ym ∂x1
∂ym ∂x2 · · ·
Ejemplo 5. Encontrar el jacobiano Df(1; 0) para la transformación de R2 en R3 da-da por f(x,y)=(xey+cos(πy),x2,x−ey, y luego usarlo para aproximar el valor de f(1,02; 0,01).
Df(1; 0)es la matriz de3×2compuesta por las derivadas parciales
Df(1 : 0)=
ey xey−πsin(πy)
2x 0
1 −ey
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
(1;0) =
1 1 2 0 1 −1
Comof(1; 0)=(2; 1, 0)ydx=h0,020,01i, tenemos
df=Df(1; 0)dx=
1 1 2 0 1 −1
·
0,02 0,01 ¸
=
0,03 0,04 0,01
