Anisotropía inherente de fabrica aplicada al modelo constitutivo hipoplástico a partir del modelo constitutivo de lily dafalias (2002)

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(1)ANISOTROPIA INHERENTE DE FABRICA APLICADA AL MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO A PARTIR DEL MODELO CONSTITUTIVO DE LI Y DAFALIAS (2002). Por Ing. Maria del Pilar Galarza Guzmán. Asesor Ing. Arcesio Lizcano Pelaez Ph. D. Universidad de Los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental Magíster en Ingenieria Civil Grupo de Geotecnia 2008.

(2) Índice General. 1. Introducción …………………………………………………………….…1 2. Modelación constitutiva de la anisotropia inherente en arenas ……..4 2.1 Superficies critica, de dilatancia y de fluencia ………………..….8 2.2 Plataforma constitutiva ……………………………………….……10 2.3 Tensor de Fabrica Fij ………………………………………………………………….…….15 2.3.1 Variable de Estado Anisotropica A ………………………….20 2.4 Incorporación de la anisotropía en el modelo constitutivo ….…..23 2.4.1 Modulo plástico Kp ………………………………………..….24 2.4.2 Dilatancia D ……………………………………………….…..25 2.4.3 Dependencia de la línea de estado critico en A ……….….26 3. Modelo constitutivo hipoplastico ………………………………….…….28 3.1. Modelo de referencia ……………………………………………….30 3.2. Superficie de fluencia ……………………………………………....33.

(3) Indice General MIC-2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. 3.3 Estado critico ………………………………………………………….34 4. Incorporación de la anisotropia inherente fe fabrica en el Modelo constitutivo hipoplastico ……………………………….……….36 4.1. Dilatancia …………………………………………………………….37 4.2. Modulo plástico ………………………………………………….…..41 5. Conclusiones …………………………………………………………..…..45. __________________________________________________________________ II.

(4) CAPITULO 1 INTRODUCCION. Desde el inicio del desarrollo de leyes matemáticas, en la mecánica de suelos, la Ley de Hooke para elasticidad lineal ha sido utilizada para describir la respuesta. de. materiales. granulares. sometidos. a. cargas. aplicadas. externamente. En realidad, el comportamiento esfuerzo – deformación de un material granular es no lineal, inelástico, anisotrópica, heterogéneo con trayectoria de esfuerzos dependiente y propiedades dependientes del tiempo. Por lo que se requiere, leyes constitutivas más sofisticadas para describir el comportamiento inelástico de los suelos de una manera más realista. En este contexto, la teoría clásica matemática de la plasticidad ofrece un marco general para predecir ese comportamiento complejo. Bajo condiciones de carga a corto plazo, el comportamiento del suelo puede ser idealizado como independiente del tiempo. Esta representación independiente del tiempo puede ser formulada en el marco de la plasticidad clásica como una combinación del comportamiento elástico y plástico..

(5) CAPITULO I INTRODUCCION MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________ Como no existe una correspondencia uno a uno entre esfuerzos y deformaciones en el estado plástico, no es posible derivar una relación esfuerzo – deformación solo en términos del estado actual de esfuerzos. Así, en el estado plástico, solo puede plantearse una única relación incremental entre esfuerzos y deformaciones y expresada en términos de la historia de esfuerzos y deformación. Sobre la base del modelo de Von Mises la dependencia del esfuerzo promedio fue utilizada por Drucker-Prager para modelar presiones isotropitas. Más tarde, la aparición de la teoría del Estado crítico, que asume la existencia de una única superficie en el plano p’-q-e, generando grandes avances en el ámbito de la plasticidad del suelo, siendo el primer modelo plástico del suelo que correlacionaba la deformación volumétrica y la resistencia al corte de los suelos normalmente consolidados. Este modelo se convirtió en la guía para muchas fórmulas matemáticas que simulaban el comportamiento del suelo. Los. modelos. que. utilizan. superficies,. permiten. la. modelación. comportamiento anisotrópico y la simulación de descargas cíclicas. En estos modelos la superficie de fluencia, definidas sobre el eje hidrostática, permite su translación y expansión en la medida en que se produce la carga plástica y los incrementos de deformación plástica,. obtenidos mediante la suma de la. contribución de cada uno de los mecanismos de fluencia. Debido a estas razones, la incorporación de la anisotropia, en el comportamiento de las arenas propuesta por Li y Dafalias (2002). [ ] , se tomo. como modelo de referencia, tal que brindara elementos para incorporar la. ___________________________________________________________________ 2.

(6) CAPITULO I INTRODUCCION MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________ anisotropia de fabrica en el modelo constitutivo hipoplástico propuesto por Kolymbas (1977). El modelo combina conceptos de superficie plástica (1977). El modelo utiliza el concepto de superficie de fluencia plástica, donde el módulo plástico se determinada de la condición de consistencia en la superficie de fluencia y de las ecuaciones de evolución de las variables de estado interna. La regla de flujo asociativa es utilizada en el plano desviador para modelar la dilatancia. El modelo describe los principales aspectos de los suelos no cohesivos, como el esfuerzo medio, la trayectoria de carga dependiente de la dilatancia, el endurecimiento y el ablandamiento, así como la anisotropía inherente. Por otro lado el modelo requiere una serie de constantes del material para un suelo en particular a cualquier densidad y presión de confinamiento.. ___________________________________________________________________ 3.

(7) CAPITULO 2. MODELACIÓN CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPÍA INHERENTE EN ARENAS. El modelo constitutivo de la anisotropia inherente en el comportamiento de las arenas desarrollo por Li y Dafalias (2002) se basa en que el parámetro de estado ψ [1] (Fig. 2.1) que se define en el espacio e - ln p, puede utilizarse para el control del flujo plástico no asociativo y la expansión volumétrica en un estado crítico [15].. 21. Trayectoria drenadas y no drenadas para estados mas densos y menos densos que el critico.

(8) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. Las características de comportamiento de los suelos granulares en términos de resistencia y cambio de volumen, están gobernadas por el efecto combinado de la densidad, la relación de vacíos e, y el esfuerzo de confinamiento. Este efecto combinado es a menudo representada por el parámetro de estado, ψ = e - ec, donde ec es la relación de vacíos critica correspondiente a la presión de confinamiento en el elemento de suelo. Un material más denso que el crítico muestra ψ <0 y un comportamiento dilatante. Un material mas suelto que el crítico ψ> 0 muestra un comportamiento contractante. En caso de una carga monotonica de cortante en un suelo granular que es más denso que el crítico, este exhibe una resistencia pico y en el momento de corte, aparece un régimen de ablandamiento en la relación esfuerzo – deformación. Similarmente en suelos granulares con relación de vacíos superior a su relación de vacío crítica, en el momento de corte se presenta una respuesta del suelo contractante acercándose al estado crítico. El modelo propuesto por la Li y Dafalias (2002) [9] combina la condición de consistencia, la superficie de fluencia y la evolución de las variables internas de estado para la determinación del modulo plástico e incorpora la influencia del parámetro de estado ψ en la respuesta volumétrica. La superficie de fluencia es formulada en el espacio de esfuerzos desviadores. Dentro de las características del modelo, se encuentran su capacidad para describir el endurecimiento y el ablandamiento respuesta basada en el estado y condición de drenaje. Por otra parte, utilizando un único conjunto de parámetros del modelo capta la respuesta del material con diferentes relaciones de vacío y presiones de confinamiento. ___________________________________________________________________ 5.

(9) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. El modelo nace del cuestionamiento. sobre el comportamiento de la. arena a la misma densidad, observándose en ella diferencias significativas en la resistencia, por lo que surge la pregunta acerca de la valides del concepto de una única línea de estado critica, basado en el postulado que el suelo presenta una única estructura en estado critico, la cual es independiente de la fabrica inicial del suelo y de la historia de cargas, pues se asume que tanto la fabrica inicial del material como la memoria de la historia de cargas desaparecen después que se somete el suelo a grandes deformaciones por corte, relacionadas con el estado critico. Vaid y Chern (1985) [10] demostraron a través de ensayos triaxiales no drenados, que la resistencia de la arena en estado critico mediada en un ensayo en extensión era mucho mas baja que. en compresión triaxial en. idénticas condiciones, y esta diferencia significativa fue asociada con la dilatancia del suelo. Mientras que una arena de estado medio a denso, podría fallar a lo largo de la trayectoria de esfuerzos dilatante en compresión triaxial, también podría fallar a lo largo de una trayectoria contractante en extensión triaxial. En general ellos encontraron que la respuesta de la arena era mas contractante en extensión triaxial que en compresión triaxial. Los resultados de observaciones fenomenológicas [8], indicaban que la resistencia en el estado critico dependía de la trayectoria de esfuerzos, por lo que la línea de estado critico de un material granular no era única. Money. (1997,. 1998),. demostró,. utilizando. la. técnica. de. la. estéreofotogrametría, realizando medidas en ensayos de deformación plana en arenas que dentro de la banda de corte, donde el suelo se suponía se ___________________________________________________________________ 6.

(10) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. encontraba en estado critico, la línea de estado critico en el plano e – p, no era única, a pesar que la relación entre el esfuerzo desviador q y el esfuerzo normal medio p, si lo eran. Yoshimine et al (1998), sugirió que la condición de no única podría deberse a la anisotropía de fabrica, pues prácticamente todas las estructuras de suelo eran formadas por la acción de la gravedad. La diferencia de resistencia entre compresión triaxial y extensión triaxial, asociada con una no única línea de estado critico en el plano e – p, puede ser atribuible a la existencia de la anisotropía inherente en el material al comienzo de los ensayos con carga cortante. Oda y Nakayama (1988) mencionaron tres orígenes de la anisotropía inherente. en un material granular: (1) Distribución anisotrópica de los. contactos normales, la cual indica la relación entere partículas, (2) la orientación preferencial de los espacios vacíos y (3) la orientación preferencial de las partículas no esféricas. Oda et al (1985) [13] [14] observaron que la anisotropia inherente debido a la orientación preferencial de partículas existía aun en las grandes deformaciones. Ya que el estado crítico es asociado con grandes deformaciones de corte, la permanencia de la anisotropia de fabrica en el estado critico es principalmente asociada con la orientación preferencial de las partículas de arena. La dependencia de la línea de estado crítico en la fábrica del material esta incluida en el modelo constitutivo, pues la línea de estado critico sirve como referencia intrínseca de la respuesta de la arena. Por lo tanto los aspectos de dilatancia de la arena dependerían de la fábrica [10], pues la. ___________________________________________________________________ 7.

(11) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. dilatancia esta relacionada con la localización de la línea de estado critico en el plano e – p. El modelo constitutivo de Li y Dafalias (2002) considera la influencia de la anisotropia inherente del material, a través de un tensor de fábrica de segundo orden Fij, definido micromecanicamente, el cual describe la anisotropía inherente del material y de una variable de estado escalar A, la cual representa el estado anisotropico del material, definida mediante invariantes del tensor de esfuerzos σij y del tensor de fabrica Fij. La característica principal del modelo constitutivo es que la línea de estado critico en el plano e – p, no es única, siendo una función de A. De este enfoque resulta una única superficie de estado crítico en el espacio e – p-A, que en conjunto con la relación de esfuerzos en estado crítico M, sirve como referencia para cuantificar la dilatancia y el modulo plástico del suelo. El modelo considera fundamentalmente tres pasos, el primer paso esta dirigido a elegir la plataforma constitutiva, sobre la cual se pueda incorporar los efectos de la anisotropía inherente de fabrica. El segundo paso consiste en definir analíticamente la fabrica, mediante la introducción de un tensor simétrico de fabrica de segundo orden Fij, y el tercer paso y el mas importante del modelo es como utilizar el tensor de fabrica, para simular en mejor forma los efectos de la anisotropía inherente en el modelo escogido.. 2.1.. Superficie crítica, de dilatancia, y de fluencia.. ___________________________________________________________________ 8.

(12) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. La Figura 2,1 muestra una representación esquemática de la superficie, la superficie crítica, de la superficie de dilatación (fase de transformación), y de la superficie de fluencia. Por simplicidad, todas estas superficies están representadas por las líneas rectas en el espacio η - 1. La superficie de fluencia representa el esfuerzo último o residual del suelo, la superficie de estado crítico esta asocia con estados críticos en la falla, y la superficie de dilatancia representa la condición en la cual el comportamiento del suelo cambia de contractante a dilatante. La superficie de fluencia está representada por una forma cónica definida por las fronteras Oc y Oe, cuya cuña tiene una abertura de 2m. La ecuación para la superficie de fluencia tipo cuña puede ser definido por: f=η-α∓m=0. (2.1). donde α localiza la bisectriz del ángulo de cuña en medio de la superficie de fluencia y m define la región elástica. La evolución de α y m en términos de relación de esfuerzos permiten combinar el endurecimiento cinemática e isotrópico. La ecuación 4,2 define el criterio de fluencia tipo cono.. 2.2. Ilustración para p constante la trayectoria de esfuerzo drenada en el espacio η − 1. ___________________________________________________________________ 9.

(13) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. En esta formulación, la respuesta del suelo es contractante cuando η<Mdc y dilatante cuando η> Mdc, donde Mdc, denota la relación de esfuerzos de dilatancia para compresión y Mde denota la relación de esfuerzos de distancia en extensión.. 2.2.. Plataforma constitutiva.. La superficie de fluencia (Ec. 2.1) se puede expresar en el espacio de esfuerzos mediante una cuña y en forma circular en el plano desviador, con vértice en el origen, resultando la siguiente expresión:. f ( ri , j , q n ) = 0. (2.2). f ( ri , j , qn ) = R − M c g (θ ) = 0. (2.3). sij rij = p. (2.4). Donde. q = f (h L , F ) ij. (2.5). La superficie de fluencia esta definida en el espacio de relación de esfuerzos rij y de variables internas qn, describiendo la evolución de la superficie de fluencia en términos de endurecimiento y ablandamiento. La superficie de fluencia define la condición de carga y descarga de la siguiente forma:. ___________________________________________________________________ 10.

(14) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. carga → f = 0. descarga → f ⟨ 0. ∂f dσ ⟩ 0 ij ∂σ ij. ∂f dσ ⟨ 0 ∂σ ij ij. (2.6). (2.7). La normal a la función de fluencia L = ∂ σf en el espacio de esfuerzos es definida en el modelo como el gradiente desviador unitario nij y la dirección del flujo de plástico m en el espacio de relación de esfuerzos esta dada por:. ⎛ ⎞ 1 ⎜ ∂f 1 ∂f n = − δ pqδ ij ⎟⎟ ij B ⎜ ∂r 3 ∂r pq ⎝ ij ⎠. (2.8). Donde B es la norma del gradiente desviador. La caracterización de la respuesta irreversible requiere de la especificación de las leyes que describen la evolución de las deformaciones plásticas depij, y la evolución del conjunto de parámetros de endurecimiento dqn. Estas leyes de evolución son usualmente referidas a la “regla de flujo” y a las “leyes de endurecimiento” respectivamente y están definidas por:. Figura 2.3 Esquema de la superficie de fluencia circular en el espacio de esfuerzos principales en tres dimensiones. ___________________________________________________________________ 11.

(15) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. de ijp = λ m ( rij , q n ). (2.9). dqn = −λh( rij , qn ) = dL rn Donde dL se refiere al índice de carga plástica,. (2.10). < > denominados Macauley. brackets y rn, es función de rij y qn,. La determinación del índice de carga platica dL, se obtiene despejando de (2.8) y derivando (2.10) se obtiene:. ∂f = Bn dr ij ij ∂r ij. ∂f ∂f = dL r ∂q ∂q n n n Reemplazando en la ecuación de consistencia f=0, resulta:. df =. ∂f ∂f df r =0 dr + dq = Bn dr + dL ij ∂q n ij ij ∂r dq n n ij n. (2.11). De la ecuación (2.11) se obtiene el índice de carga plástica dL. Bnij drij p ∂f rn p Se define el modulo plástico como: ∂qn dL = −. kp = −. p ∂f rn B ∂qn. (2.12). (2.13). Reemplazando (2.13) en (2.12) y multiplicando y dividiendo por p resulta el índice de carga plástica así:. 1 (2.14) pnij drij k p ___________________________________________________________________ dL =. 12.

(16) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. Con el fin de determinar la relación incremental esfuerzo deformación se utiliza la ley de Hooke expresada en términos de incrementos elásticos desviador deeij dyε e volumétrico v. , postulándose mediante una relación. hipoelástica isotropica así. 1 eije = ε e − ε ve 1 3 ds deije = ij 2G. ε ve = ε ep = tr (ε e ) = ε e : 1 dε ve =. dp K. (2.15). Donde G es el modulo elástico de cortante y K el modulo de bulk. Los correspondientes incrementos de deformación plástica son:. deijp = dL nij. p p p dε v = D 2deij deij 3 = dL. (2.16). 2 3D. p. La ecuación (2.16) implica la desviación normal de deij dε p en f=0 y v incluye la dilatancia D, que se refiere a los incrementos de deformaciones plásticas volumétricas y desviadoras equivalentes. Se continúa con el planteamiento de la relación incremental esfuerzo total deformación reemplazando la ecuación (2.4) en la siguiente expresión:. σ ij = sij + pδ ij = p(rij + δ ij ). (2.17). Derivando la ecuación (2.17) se tiene para la primera igualdad. dσ = ds + dpδ ij ij ij. (2.18). Para la segunda igualdad. dσ ij = pdrij + dpr + dpδ ij ij. (2.19). El incremento de deformación total se puede descomponer así:. Despejando de e se tiene ij. dε e = dε ve + dee ij ij. (2.20). ___________________________________________________________________ 13.

(17) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. de e = dε e − dε ve ij ij. (2.21). De la primera ecuación (2.15) se despeja dsij obteniendo. ds = 2Gde e ij ij. (2.22). Reemplazando la ecuación (2.21) en la ecuación (2.22). ds = 2G ( dε e − dε e ) ij ij v. (2.23). De la segunda ecuación (2.15) Se obtiene dp. dp = dε ve K. (2.24). Reemplazando (2.23) y (2.24) en (2.18) se obtiene. dσ ij = 2G (deij − deijp ) + K (dε v − dε vp )δ ij. (2.25). Reemplazando la ecuación (2.16) en la ecuación (2.25) se tiene. dσ ij = 2Gdeij + Kdε vδ ij − dL (2Gnij + 2 3KDδ ij ). (2.26). Retomando la ecuación (2.19) y a partir de las ecuaciones (2.14), (2.15) y (2.16) se obtiene:. dσ ij = K p dL + rij nij Kdε v − 2 3KDnij rij dL. (2.27). Igualando las ecuaciones (2.26) y (2.27). K p dL + rij nij Kdε v − 2 3KDnij rij dL = 2Gnij deij − 2GdL Resolviendo para dL. ⎛ 2Gnij − knmn rmnδ ij ⎞ ⎟dε ij = Θij dε ij dL = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 2G − 2 3kDn pq rpq + k p ⎠. (2.28). Sustituyendo la ecuación (2.28) en la ecuación (2.26) se establece la ecuación constitutiva incremental esfuerzo - deformación. ___________________________________________________________________ 14.

(18) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. dσ ij = Λ ijkl dε kl. (2.29). Siendo el tensor elasto plástico. Λ ijkl = G (δ ik δ jl + δ il δ jk ) + [K − (2G 3)]δ ij δ kl − h( dL)[(2Gnij + 2 3KDδ ij )Θ kl ]. 2.3 Tensor de Fábrica Fij. Como se menciono anteriormente, el segundo paso del modelo se refiere a la definición analítica de Fábrica, el modelo introduce un tensor de Fábrica de segundo orden simétrico, que permanece relativamente inalterado por la deformación, por lo tanto se puede correlacionar con la anisotropia inherente de fabrica. De acuerdo con Brewer (1964); Oda (1972) [14] [15], la fabrica del material, es un término que involucra el empaque aleatorio de las partículas no esféricas como las de la arena, que poseen características estadísticas en el arreglo espacial de partículas y vacíos no asociados. Existen varias definiciones de la intensidad de fábrica y la orientación del medio granular, los más notables están asociados con la orientación preferencial de las partículas, de los vacíos y de los puntos de contacto normales. Se ha demostrado que para grandes deformaciones, la anisotropía de fábrica esta fuertemente relacionada con la orientación preferencial de las partículas, por lo que el tensor de fábrica permite describir la influencia de la fábrica del material en la dilatancia de la arena y su estado de resistencia. En general la fábrica evoluciona con las deformaciones inelásticas. El modelo permite considerar la. ___________________________________________________________________ 15.

(19) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. anisotropia inherente de fabrica en la respuesta mecánica del material granular para varios niveles de esfuerzo antes de la falla critica, por lo que un descriptor apropiado de la fabrica no debe evolucionar con la deformación respecto de su estado inicial. La orientación de las partículas basada en el tensor de fábrica de segundo orden, se define según Oda (1999), mediante un par de vectores unitarios, n y –n, a lo largo de su eje mayor como se observa en la figura (2.3).. Figura 2.4 Vector unitario n en partículas granulares. El tensor de fabrica se puede definir como. Fij =. 1 2N k k ∑ ni n j 2 N k =1. (2.30). Donde N es el numero de partículas en un volumen representativo y n k y k nj i son los componentes del vector k. La forma mas común de anisotropía es inducida por los procesos de depositacion de la arena bajo el efecto de la gravedad, lo que se caracteriza por la isotropia transversales en el plano de depositacion o estratificación. La. ___________________________________________________________________ 16.

(20) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. dirección de la gravedad y otras dos direcciones ortogonales en el plano de depositacion, constituyen los ejes de anisotropia, dichos ejes son r , z,θ que se observan en la figura (2.4) donde el eje vertical z es el eje de gravedad.. Figura 2.5 Rotación de la dirección de los ejes principales. Si se considera una sección vertical que con eje horizontal x’3 y eje vertical x’1 y sea θ (k ) el ángulo de inclinación del vector unitario n correspondiente a la kth. n. Figura 2.6 Sección vertical de la orientación de las partículas. partícula, con respecto al eje x’3. los vectores n ( k ) y n ( k ) corresponde a sin θ ( k ) 1 3 y cosθ ( k ) respectivamente, por lo que las componentes de Fij serian (2.31) ___________________________________________________________________ 17.

(21) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. F11 = F13 =. 1 2 N 2 (k ) ∑ sin θ 2 N k =1 (2.32). 1 2N (k ) (k ) ∑ cosθ sin θ k 1 = 2N. F33 =. 1 2N 2 (k ) ∑ cos θ = k 1 2N. (2.33). Dado que Fij es un tensor simétrico de segundo orden sus componentes se pueden convertir a valores principales F1 y F3 en las correspondientes direcciones principales θ 1 y θ 3 como sigue:. ⎧ F1 ⎫ 1 ⎡1 2⎤ ⎨ ⎬ = (F11 + F33 ) ± ⎢ (F11 − F33 ) + F13 ⎥ ⎣4 ⎦ ⎩ F3 ⎭ 2. 1. 2. =. 1 (1 ± Δ ) 2. ⎧θ 1 ⎫ 1 2 F13 ⎨ ⎬ = arctan F33 − F11 ⎩θ 3 ⎭ 2. (2.34). (2.35). Donde Δ=. 2N 1 ⎡2N 2 2 ( cos 2θ ( k ) ) + ∑ (sin 2θ ( k ) ) ⎤ ∑ ⎢ ⎥⎦ k = k = 1 1 ⎣ 2N. 1. 2. (2.36). Δ es el vector magnitud introducido por Curray (1956) que mide la intensidad de la orientación preferencial de las partículas y depende de la forma de las partículas y del proceso de depositacion del suelo. En la ecuación (2.36) se observa que Δ varia de cero, cuando el material es isotropico a uno. Para la formulación del tensor de fábrica en tres dimensiones, se asume que la anisotropia inherente presenta simetría axial con el eje de simetría paralelo a la dirección vertical. En otras palabras los ejes x’1, x’2 y x’3 de la figura (2.5) son. ___________________________________________________________________ 18.

(22) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. ejes principales. En la mayoría de los casos los suelos son transversalmente isotropicos lo que significa que los dos valores principales satisfacen F2 = F3 , por lo que el tensor de fábrica seria: ⎛ F1 ⎜ Fij = ⎜ 0 ⎜0 ⎝. 0 F2 0. 0⎞ ⎟ 0⎟ F3 ⎟⎠. (2.37). El tensor Fij en tres dimensiones es simétrico y al igual que en dos dimensiones se puede representar por tres valores principales F1 , F2 y F3 , esto no implica que F1 ≥ F2 ≥ F3 . Oda y Nakayama (1988) demostraron que el tensor de fábrica se puede escribir, donde Δ es el mismo de la ecuación (2.36) ⎛ (1 − Δ) ⎜ ⎜ (3 + Δ) ⎜ Fij = ⎜ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ ⎝. 0 (1 + Δ) (3 + Δ) 0. ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎟ (1 + Δ) ⎟ (3 + Δ) ⎟⎠ 0. (2.38). De la ecuación (2.38) se infiere que cuando Δ = 0 , F11 = 0 y F22 = F33 = 1 2 , de acuerdo con la figura 2.4, representa a la partícula alineada totalmente en el plano r − θ . Cuando Δ = 1 , F11 = 1 y F22 = F33 = 0 , implica que las partículas están orientadas paralelas a la dirección vertical z. Si el marco de referencia se modifica, los componentes del tensor de fábrica pueden transformarse ortogonalmente, así.. Fij = Qki Q IJ Fkl. (2.39). ___________________________________________________________________ 19.

(23) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. Donde Qij = ei′.e j , es el coseno de los ángulos entre ei′ j el ith vector base en el sistema original y e j el jth vector base en el nuevo sistema de referencia. 2.3.1 Variable de Estado Anisotropica A. El tensor de fabrica definido como una variable de estado interna, fue ya definido geométricamente, no incluyendo la condición de carga, por lo que debe existir una interacción con la dirección del estado de esfuerzos para considerar el efecto de la anisotropia de fabrica. Para tal efecto, el modelo de Li y Dafalias (2002) considera un tensor normalizado σ ij , cuyas invariantes coinciden con la dirección de los esfuerzos principales. Basados en el trabajo de Tobita (1988) introdujeron el siguiente tensor:. Tij =. (. 1 σ ik Fkj−1 + Fik−1σ kj 6. ). (2.40). Tij refleja la influencia de la fabrica del material y su orientación relativa con respecto a los esfuerzos, viéndose afectado también por la magnitud de estos últimos, lo cual no seria propio para describir el estado anisotropico de esfuerzos del material, por lo que se requiere de la normalización de los esfuerzos. Cualquier función de fluencia isotropica puede ser expresada en términos de esfuerzos principales ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ), por tanto, la superficie de fluencia puede ser visualizada en tres dimensiones, donde las coordenadas cartesianas son los ejes principales, siendo esta una forma adecuada para caracterizar el espacio de esfuerzos, pero la función de fluencia casi siempre. ___________________________________________________________________ 20.

(24) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. se expresa en términos de variables independientes, en consideración de la simetría de la superficie de fluencia, por lo que seria apropiado, la utilización de coordenadas. (r , z,θ ) seria. cilíndricas. apropiado,. también. llamadas. Coordenadas cilíndricas de LODE, donde el eje z es paralelo al eje de simetría,. θ es el ángulo de LODE que varia entre ± 30 o y La coordenada r es igual a la magnitud del esfuerzo desviador. Ante un cambio en los esfuerzos, varia únicamente el eje z , mientras que las coordenadas octaédricas (r ,θ ) se mantienen,. siendo. las. coordenadas. de. LODE,. propias. cuando. se. descomponen los tensores en sus partes isotropica y desviadora y además permiten el uso de las invariantes de esfuerzos. Las coordenadas de LODE pueden ser determinadas a partir de las invariantes de esfuerzos así.. ~ R = 3 rijrij ⇒ R = 3 tr~ r 2 2. 2. ⎛ 9 rij r jk rki ⎞ ⎟ R 3 ⎟⎠. 1. θ = − sin −1 ⎜⎜ 3 ⎝2 z=. I1 3. (2.41). (2.42). (2.43). Utilizando las ecuaciones (2.41), (2.42) y (2.43), la función de fluencia se puede definir como f = (I 1 , J 2 , J 3 ) y se expresa así:. f (ri , j , q n ) =. R − M (q n ) = 0 g (θ ). (2.44). El estado elástico de esfuerzos para cualquier función de fluencia isotropica siempre se puede caracterizar de la forma R ⟨ g (θ , z , q) .. ___________________________________________________________________ 21.

(25) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. La función de interpolación g (θ ) , controla la forma del perfil de fluencia octaédrico, no el tamaño por lo tanto es inconsecuente. La ecuación (2.44) es la clásica definición de la superficie de falla en el estado critico de Coulomb, de forma octaédrica, causando dificultades en los análisis debido a sus vértices. Son varios los análisis computacionales que permiten suavizar los vértices de los modelos constituidos por tres invariantes utilizados en materiales friccionantes. El modelo de Li y Dafalias utiliza como opción, el tipo de fluencia de William Warnke ecuación (2.45), sobre otros tales como Gudehus o Mohr Coulomb.. (a). (b). (c). Figura 2.7 Comparación de superficies octaédricas para c=0.8. (a) Gudehus, (b) William Warnke, (c) Mohr Coulomb. De todas maneras Independiente del tipo de fluencia que se escoja, la forma de la superficie de fluencia es descrita a través de la constante c =. Me Mc. para una presión dada, que define la relación entre la tasa de esfuerzos críticos en extensión triaxial y en compresión triaxial. En el Apéndice A se deduce la normalización del tensor σ ij .. ___________________________________________________________________ 22.

(26) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. g (θ ) =. (1 + c 2 ) 2 + 4c(1 − c 2 ) sin 3θ − (1 + c 2 ) 2(1 − c) sin 3θ. (2.45). Con base en lo anterior la combinación de invariantes pueden entonces ser definidas por:. A=. ~ R −1 ~ M c g (θ ). (2.46). A caracteriza la influencia de la fabrica de la arena en la respuesta de la resistencia esfuerzo – deformación, por lo que este valor escalar es una medida escalar de la desviación de Tij , respecto de los esfuerzos σ ij en la superficie de falla, cuando la anisotropia existe. Si el material es isotropico A = 0 , pero si el material es anisotropico puede tomar valores positivos o. negativos dependiendo de la orientación de los esfuerzos en relación con la fábrica del suelo.. 2.4 Incorporación de la anisotropia en el modelo constitutivo. Como tercera y ultima etapa, y una de las más importante para el propósito de esta tesis es la utilización del tensor de fábrica para mejorar la capacidad de simulación del modelo incluyendo los efectos de la anisotropia inherente, lo que permite brindar un método a utilizar para incluir la anisotropia inherente en el modelo hipoplástico. La evidencia experimental indica que cuando el esfuerzo de compresión actúa en la dirección de depositacion de la partícula, el suelo es rígido y mas. ___________________________________________________________________ 23.

(27) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. dilatable y cuando el esfuerzo de compresión actúa perpendicular a esa dirección, el suelo es menos rígido y mas contractante, por lo que contractancia y el ablandamiento son controlados por la dilatancia D y el modulo plástico. K p . Lo anterior da lugar a incluir estos dos elementos en la plataforma constitutiva, introduciéndolos mediante la localización de la línea de estado critico CSL, los cuales además están en función de A, a través del parámetro de estado ψ . La inclusión de los dos elementos permite mejorar la simulación para diferentes densidades, presiones, relación de esfuerzos, relaciones de carga, considerando los efectos de la anisotropia de fábrica.. 2.4.1 Modulo Plástico K p. La ecuación (2.13) el modulo plástico puede ser determinado de la condición de consistencia en la superficie de fluencia y de la evolución de las variables internas de estado. El efecto del modulo plástico en el ablandamiento o endurecimiento del suelo, se puede observar a través del parámetro de consistencia, que en el caso de carga plástica γ ⟩ 0 . Si K p >0 ⇒ L : σ >0. describe el endurecimiento. Si K p <0 ⇒ L : σ <0. describe el ablandamiento. Utilizando las coordenadas polares de LODE (R, θ ) , se tiene la expresión del modulo plástico:. K p = Gh [M C g (θ )e−nψ − R] R. (2.47). ___________________________________________________________________ 24.

(28) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. Donde. G. es el modulo elástico de cortante, ecuación (2.48) y h un factor de. escala ecuación (2.49), ψ = e − ec es el parámetro de estado, introducido por Been y Jefferies (1985),. e. es la relación de vacíos actual, ec la relación de. vacíos en estado critico, correspondiente al esfuerzo normal promedio actual p, n es una constante que actúa como factor de escala en ψ . ⎛ ⎜. G = Go pa ⎝⎜. 2.97 − e⎞⎟⎟ ⎠ 1+ e. 2. (2.48). p pa. Donde Go es una constante del material, p a presión atmosférica normalizada a nivel del mar (110 kPa),. e. es la relación de vacíos actual.. h = (h1 − h2e)(kh Ac − Ae )+ (1− kh )A Ac − Ae. (2.49). Donde h1 , h2 , k h son constantes del material. La influencia de la anisotropia en el modulo plástico se encuentra directamente en ψ .. 2.4.2 Dilatancia D. La dilatancia definida en el espacio triaxial, como la relación. D = dε vp dε qp expresada. del incremento de deformación volumétrica plástica dε vp. respecto del incremento de deformación desviadora plástica (por cortante ). dε qp , se puede extender a un espacio multiaxial como:. ___________________________________________________________________ 25.

(29) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. p dε kk. D=. Donde. p ε kk = ε vp. y. ε ijp. =. ε ijp δ ij 3. (2.50). 2 p p de de 3 ij ij. . Basado en la teoría clásica esfuerzo –. dilatancia de Rowe (1962) y sus invariantes sugeridas por Nova y Word (1979), el coeficiente de dilatancia propuesto por Li y Dafalias (2002) es. D=. [. ⎤ d1 ⎡ R mψ 1+ M g (θ )e −R M g (θ ) ⎢⎣ M c g (θ ) ⎥⎦ c c. ]. (2.51). d1 y m son dos constantes del modelo.. La variable de estado anisotropica A, no se encuentra explicita en la ecuación (2.50), la dilatancia es significativamente afectada por la fabrica del material a través del parámetro de estado ψ .. 2.4.3 Dependencia de la línea de estado critico de A. La evidencia experimental ha demostrado que la línea de estado critico CSL en el plano e − p , esta asociado con la existencia y el efecto de la anisotropia en el estado critico, por lo que la CSL depende de la variable de estado anisotropica A , lo que significa que existe una única superficie de estado critico en el espacio e − p − A . Li y Wang (1988) propusieron la siguiente función para la CSL donde p a es la. ⎛ p ⎞ ⎟⎟ ec = eΓ − λc ⎜⎜ p ⎝ a⎠. ξ. ___________________________________________________________________ 26. (2.52).

(30) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. Presión atmosférica normalizada al nivel del mar,. ec es la relación de vacíos. p , eΓ , λc , ξ son constantes del. en el estado crítico que corresponde a. material y son los parámetros de dependencia respecto de la fabrica del material, pues están en función de A, pero el modelo solo considera por simplicidad eΓ de la siguiente manera:. Donde. eΓc , e , k Γ. eΓc = eΓ 0 + k Γ Ac2. (2.53). eΓe = eΓ 0 + k Γ Ae2. (2.54). son constantes del material ,. relación de vacíos en estado critico en. p=0. eΓc corresponde a la. para compresión triaxial y. eΓe ,. corresponde a la relación de vacíos en estado critico para extensión triaxial; igualmente. Ac y Ae son valores de A para compresión y extensión triaxial. respectivamente, los cuales están relacionados con. Δ.. Ahora la relación de vacíos en el estado critico que intercepta el eje. p = 0 , es función de A, creándose una secuencia de líneas de estado critico paralelas entre si en el plano. eΓc − pξ , que equivalen a una única superficie. de estado critico en el espacio. e− p− A. Para determinar. .. eΓ 0 , kΓ , se requiere una línea de estado critico para. compresión triaxial y otra para extensión triaxial, así como el valor de. Δ.. ___________________________________________________________________ 27.

(31) CAPITULO 2 MODELACION CONSTITUTIVA DE LA ANISOTROPIA INHERENTE EN ARENAS MIC 2008-II-14 _______________________________________________________________________________________________. ___________________________________________________________________ 28.

(32) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. La teoría hipoplastica fue desarrollada por Kolymbas y Gudehus [5] [6] en el año de 1977, es una teoría constitutiva incremental, no lineal aplicable a suelos granulares. Describe el comportamiento de flujo plástico y efectos no lineales dentro de la superficie de fluencia con una única ecuación tensorial. Su condición de no linealidad facilita la localización de la deformación; el modelo reproduce adicionalmente el fenómeno de dilatancia y contractancia. Todas las ecuaciones constitutivas se asumen como isotropicas pero las variables de estado tensoriales captan la respuesta anisotropica del suelo, lo cual significa que conserva la condición isotropica del material pero permite los estados anisotropicos, en términos de anisotropia inducida causada por procesos de deformación y/o trayectoria de esfuerzos, la cual describe mediante la variable de estado de envolvimiento tensorial. La hipoplasticidad pertenece al grupo de modelos constitutivos en los que el comportamiento del suelo es tratado como el de un material independiente de la velocidad de deformación (rate independent) y dependiente.

(33) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________ de la trayectoria de esfuerzos (path-dependent), esto significa que la secuencia de los incrementos de deformación tiene influencia en los esfuerzos acumulados, pero la duración del proceso de deformación o los incrementos individuales son insignificantes. La ecuación constitutiva hipoplástica permite expresar los incrementos de esfuerzo como una función de un incremento de deformación en un tiempo dado[18], además dichos estados de velocidad de esfuerzo y deformación se correlacionan con al velocidad de vacíos. e. así:. T& = h(T , D, e). (3.1). Donde T es el tensor de esfuerzos y D el tensor de velocidad de deformación. Permite además que se presenten deformaciones inelásticas desde el comienzo del proceso de carga, utilizando una sola ecuación constitutiva para el proceso de carga y descarga. Comparativamente con el modelo elastoplastico, el cual se puede formular como un sistema de dos relaciones constitutivas, una relacionada con los esfuerzos dentro de la superficie de fluencia f (T ,.....) < 0 y otra aplica a esfuerzos en la superficie de fluencia f (T ,.....) = 0 , lo cual no garantiza que la trayectoria de esfuerzos permanezca dentro de la región elástica o en su limite. El sistema de ecuaciones se puede escribir como sigue: o. T = E:D− o. T =E:D. 1 p λ λ:D g ep. para f (T ,.....) = 0. (3.2). para f (T ,.....) < 0. (3.3). ___________________________________________________________________ 29.

(34) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________ Donde λ p , λ , g ep , son funciones de estado. Para carga λ : D > 0 y descarga λ : D < 0 . De las ecuaciones (3.1) y (3.2), se obtienen respuestas idénticas para el caso de carga neutra λ : D = 0 . Continuando con la similaridad con la teoría plástica, se identifican además, la regla de flujo como. n g , la dirección de carga n f (normal a la superficie de. fluencia) n f = (∂f ∂T ) y el modulo de rigidez K (controla la evolución de la superficie de falla), por lo que sustituyendo λ p = E : n g ,. λ = nf : E. y. g ep = K + n f : E : n g .. 3.1 Modelo de referencia. Hypoplasticidad es quizás la teoría constitutiva más simple que va más allá de la respuesta lineal incremental y que no requiere de superficie de fluencia ni de descomponer la velocidad de deformación en componentes plásticas y elásticas. La ventaja del modelo radica en su buena respuesta a cambio de la dirección de carga y en la reducción de rigidez para carga lateral, lo que facilita la localización de deformación[18]. El modelo constitutivo hipoplastico formulado por Wolffersdorff (1996, 1997), es tomado como referencia para los propósitos de esta tesis, tiene la forma de la ecuación (3.3), complementada por la función escalar f d (trT , e ) , originalmente propuesta por Gudehus: o. T = L : D + fd N D. (3.3). ___________________________________________________________________ 30.

(35) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________ La representación matemática de L(T,e) y N(T,e) es:. (. L = fb fe. 1 F 2 I + a 2TˆTˆ Tˆ : Tˆ. N = fb fe. Fa ˆ ˆ * T +T Tˆ : Tˆ. (. ). ). (3.4) (3.5). T Tˆ = trT. (3.6). 1 Tˆ * = Tˆ − trT 1 3. (3.7). a=. 3(3 − senϕ c ) 2 2senϕ c. F=. 2 − tan 2 ψ 1 1 − tanψ tan 2 ψ + 8 2 + 2 tanψ cos 3θ 2 2. (3.8). (3.9). Las siguientes ecuaciones son invariantes de esfuerzos. tanψ = 3 Tˆ *. (. tr Tˆ * .Tˆ * .Tˆ * cos 3θ = − 6 3/ 2 Tˆ * : Tˆ *. [. (. ]. ). (3.10) (3.11). ) ( )ijkl = TˆijTˆkl , a es una constante del material. Donde I ijkl = 1 δ ik δ jl + δ il δ jk y TˆTˆ 2. que depende del ángulo de fricción residual ϕ c , la ecuación (3.11) se refiere al ángulo de LODE. Las funciones escalares f e (P, e ) , f d (P, e ) y f b (P ) son:. ___________________________________________________________________ 31.

(36) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________. β. ⎛ e ⎞ h 1 + ei f b = ⎜⎜ io ⎟⎟ s ⎝ eco ⎠ n ei ⎛e ⎞ fe = ⎜ c ⎟ ⎝e⎠. 1− n. ⎛ − trT ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ h ⎝ S ⎠. α ⎡ ⎛ eio − edo ⎞ ⎤ 2 ⎟⎟ ⎥ ⎢3 + a − a 3⎜⎜ e e − ⎢⎣ ⎝ co do ⎠ ⎥⎦. −1. (3.12). β. ⎛ e − ed f d = ⎜⎜ ⎝ ec − ed. (3.13). ⎞ ⎟⎟ ⎠. α. (3.14). Los factores escalares para barotropia y picnotropia f e y f d fueron complementados por otro factor de barotropia f b , el exponente α en f b y el exponente β en f b son constantes del modelo. La función f e incrementa la rigidez en los suelos densos en comparación con los suelos sueltos para el mismo nivel de esfuerzos, independientemente de D . La función. f d afecta el. ángulo de fricción pico e incrementa la dilatancia, pues si el esfuerzo T , se encuentra sobre la superficie de fluencia, y (T ) = 0 , la dirección del flujo es. D ≈ − B y la dilatancia es d (T ) =. − trB B. (3.15). En las ecuaciones (3.12) a (3.14) las relaciones de vacíos características de acuerdo con Gudehus (1966) son ei (P ), ec (P ), ed (P ) , las cuales se encuentran en la figura 3.1:. ___________________________________________________________________ 32.

(37) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________. Figura 3.1 – Relación de vacíos característica endurecimiento granular. ei , ec , ed. con presión efectiva p = − trT 3 , normalizada por el. hs. En ella se distinguen tres limites. ei 0. que es la relación de vacíos máxima. alcanzada durante compresión isotropita bajo Ps = 0 , delación de vacíos critica. ec 0. y. ed 0 relación de vacíos mínima después de un corte cíclico en pequeña. amplitud. La ecuación (3.15) de Bauer (1996) [2] requiere tres constantes del material. ei 0 > ec 0 > ed 0. ⎡ ⎛ − trT ⎞ n ⎤ ei ec ed ⎟⎟ ⎥ = = = exp ⎢− ⎜⎜ eio eco edo h ⎢⎣ ⎝ s ⎠ ⎥⎦. (3.16). 3.1 Superficie de fluencia. o. La condición de fluencia se puede encontrar de la ecuación (3.3) para T = 0 o. T = L : D + fd N D = 0 Obteniendo ___________________________________________________________________ 33. (3.17).

(38) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________. D = − L−1 : N. y (T ) = L−1 : N − 1 = 0. (3.18). Por conveniencia se introduce la función tensorial. B = L−1 N. (3.19). o. Por lo que se puede escribir T = L : ( D + B D ) = 0 y y (T ) = B − 1 = 0 . La ecuación (3.15) se asemeja a la regla de flujo, de la forma D = − B , la regla de flujo puede introducir los esfuerzos dentro de la superficie de fluencia con B < 1 . si B = 1 ocurre una deformación perfectamente plástica.. 3.1 Estado Critico. El concepto de estado critico [15] fue establecido inicialmente por Roscoe y Burland como mecánica de suelos del estado critico (CSSM), ellos plantearon que para un nivel de esfuerzos p = − 1 3 trT , existe una única relación de vacíos critica. ec (p ). y un único esfuerzo desviador q =. 3 * T . En el 2. espacio p − q − e , se obtiene la línea de estado crítico (CSL). El modelo hipoplástico. satisface. el. estado. critico. si. trB = 0 , B = 1 , ocurren. simultáneamente para e = e c .. ___________________________________________________________________ 34.

(39) CAPITULO 3 MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________. Figura 3.2 – Línea de estado critico. ___________________________________________________________________ 35.

(40) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE DE FABRICA EN EL MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. Teniendo como referencia el modelo de Li y Dafalias (2002), el cual se basa en la teoría tradicional elasto – plástica, en el marco de la Mecánica de suelos del estado critico (CSSM), utilizando tres superficies relacionadas con fluencia, dilatancia y estado critico, carga monotonica y una ley de endurecimiento isotropico, introdujo la anisotropia inherente de fabrica, en el modelo constitutivo, mediante el modulo plástico y la dilatancia, cuya ecuación se encuentra en función del parámetro de estado. ψ. , pieza clave que permite. establecer que tan alejada se encuentra la relación de vacíos actual de un suelo, con respecto a la relación de vacíos en estado critico. Para lograr aplicar el método descrito en el capitulo 2 , relacionado con la incorporación de la anisotropia en la plataforma constitutiva, fue necesario escudriñar el modelo hipoplastico, pues como se menciono en el capitulo 3, la teoría hipoplástica no requiere de la aplicación de superficies de fluencia para definir la carga y la descarga, de reglas de flujo para determinar la relación.

(41) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________. esfuerzo –deformación, de leyes de endurecimiento para evaluar el movimiento de la superficie de fluencia que tienen que ver con los cambios en la condición del suelo, ni de condición de consistencia para verificar que la transición entre carga y descarga sea continua.. 4.1 Dilatancia. En el modelo hipoplastico el factor de picnotropia o de densidad. fd ,. que multiplica el termino no – lineal en la ecuación general esta definido como. (. f d = e − ed ec − e. d. )α ,. este es un factor escalar adimensional f d ≥ 0 , tiene. efectos sobre la translación de la envolvente de respuesta a lo largo de la dirección de. N (Ts ). como se observa en la figura 4.1, siendo por esto que. controla la resistencia al corte dependiendo de la densidad y la presión.. L + N DS. L + f d N Ds. Figura 4.1 Translación de la envolvente de respuesta por. fd. ___________________________________________________________________ 37.

(42) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________ Con el factor de picnotropia o densidad f d , el concepto de estado critico se incluye en el modelo hipoplástico, cuando f d = 1 para e = ec . Por lo que el incremento del ángulo de fricción pico con la densidad, puede considerarse en el modelo constitutivo. Para ec > e > ed , el factor de picnotropia f d controla el incremento de esfuerzos máximo TˆP en el pico, como también la dilatancia, mediante el exponente α , constante positiva adimensional, con valores entre 0 y 1. En el estado pico en un ensayo de compresión triaxial, α se puede obtener de la ecuación (4.1). ⎡ ( 2 + K p ) 2 + a 2 K p ( K p − 1 − tanν p ) ⎤ ⎥ ln ⎢6 ⎢ a (2 + K p )(5 K p − 2) 4 + 2(1 + tanν p ) 2 ⎥ ⎦ α= ⎣ ln((e − ed ) (ec − ed )). (4.1). Con la relación pico de la ecuación (4.2). Kp =. T1 1 + sin ϕ p = T2 1 − sin ϕ p. tanν p = −. D1 + 2 D2 D1. ⎛T −T ⎞ sin ϕ p = ⎜⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝ T1 + T2 ⎠ p. ___________________________________________________________________ 38. (4.2). (4.3). (4.4).

(43) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________. La ecuación (4.3) ν p es el ángulo de dilatancia y tanν p la dilatancia que toma la forma de la ecuación (4.5). K P − 4 + 5 AK P2 − 2 AK P tanν p = 2 −1 (5K P − 2)(1 + 2 A). (4.5). Con. A=. a2. (2 + K p )2. ⎡ K p (4 − K p )⎤ ⎢1 − ⎥ 5 K p − 2 ⎦⎥ ⎣⎢. ϕ ⎞ ⎛ K p = (1 + tan υ p )tan 2 ⎜ 45o + c ⎟ 2⎠ ⎝. (4.6). (4.7). La dilatancia se puede visualizar en la figura (4.2). Figura 4.2 – Representación de la dilatancia en el plano esfuerzo - deformación. La inclusión de la anisotropia inherente de fábrica en el modelo hipoplastico se propone a través del exponente α , en donde tanν p seria reemplazado por la ecuación (4.8) propuesta por Manzari y Dafalias (1977). ___________________________________________________________________ 39.

(44) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________. (. d = Ad M d − η. ). (4.8). Li y Dafalias (2002) quienes incluyeron el parámetro de estado ψ de acuerdo con la ecuación (4.9) M d = M exp c. (n dψ ). (4.9). Por lo que la dilatancia quedaría expresada así: ⎛ ⎞ ( n dψ ) d = A ⎜ M exp −η ⎟ d⎜ c ⎟ ⎝ ⎠. (4.10). Donde M d es la relación de esfuerzos en la fase de transformación, M c es la relación de esfuerzos en el estado crítico, η =. q , Ad es el parámetro de p. dilatancia que se puede obtener a partir de ensayos drenados con pequeñas deformaciones elásticas calibrándolo en las curvas ε v− ε q , con la ecuación (4.11) .. ε&v ε&vp ≅ = Ad (α d − α ) ε&q ε&qp. (4.11). el parámetro n d se puede determinar con la ecuación (4.12). nd =. 1. ψ. d. ln. αd αc. ___________________________________________________________________ 40. (4.12).

(45) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________. Los superindices d y c corresponden a estado de dilatancia y estado critico respectivamente, la ecuación (4.11) involucra la relación de esfuerzos α denominada variable de endurecimiento rotacional, la cual es la mas indicada para considerar además la rotación de ejes por efecto de la anisotropia, lo cual no fue considerado por Li y Dafalias (2002) en su modelo, pero incluido en modelos posteriores por los autores.. 4.2 Modulo Plástico. En el modelo hipoplastico el factor de barotropia f b denominado el factor de rigidez proviene de la condición de consistencia se define de acuerdo con la ecuación (4.13) β. 1− n. ⎛ ei 0 ⎞ hs 1 + ei ⎛ 3P ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ e n e i ⎝ hs ⎠ fb = ⎝ c0 ⎠ α ⎛ ei 0 − edo ⎞ 2 ⎟⎟ 3 + a − a 3⎜⎜ − e e ⎝ c0 d 0 ⎠. (4.13). Donde hs es la dureza granular, siendo el único parámetro con dimensiones de esfuerzos, el exponente n considera la presión del esqueleto granular, permitiendo un incremento no proporcional de la rigidez con el incremento de. p s , con relación de vacíos e p correspondiente a la compresión que comienza. ___________________________________________________________________ 41.

(46) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________ con una relación de vacíos e p 0 correspondiente a la presión cero , lo cual se describe por la ecuación (4.14).. ⎡ ⎛ 3 p ⎞n ⎤ e p = e p 0 exp ⎢− ⎜⎜ s ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ hs ⎠ ⎥⎦. (4.14). En la figura (4.3) hs refleja la curvatura de la curva de compresión y n la pendiente de la misma, valores que se determinan de acuerdo con las ecuaciones (4.15) y (4.16). Figura 4.3 – Determinación de n y hs. ⎛ ne p ⎞ ⎟⎟ hs = 3 p s ⎜⎜ c ⎝ c ⎠. 1. ⎛ e p1CC 2 ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ e C P 2 c 1 ⎠ n= ⎝ ⎛p ⎞ ln⎜⎜ s 2 ⎟⎟ ⎝ p s1 ⎠. n. (4.15). (4.16). ___________________________________________________________________ 42.

(47) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________. El modulo de rigidez K, se deduce a partir de las siguientes relaciones obtenidas a partir de la figura 4.3. Δe = 3Δε 1 (1 + e ) Δe 3(1 + e ) Δp = 3ΔT1. Δε 1 =. Δp 3 ΔT Δp K = 1 = (1 + e) Δε 1 Δe. ΔT1 =. ⎡ ⎛ 3 p ⎞n ⎤ e p = e p 0 exp ⎢− ⎜⎜ s ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ hs ⎠ ⎥⎦ 1 hs K= 3 n. 1− n. ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜1 + 1 ⎟⎜ 3 ps ⎟ ⎜ e ⎟⎜ h ⎟ p ⎠⎝ s ⎠ ⎝. (4.17). La ecuación (4.17) describe el modulo de rigidez del modelo hipoplastico, el cual se encuentra en la ecuación (4.13) correspondiente al factor de rigidez o barotropia f b , por lo que la ecuación (4.17) se sustituye por la ecuación (4.18). K p = h( M b − η ) M b = M c exp ( − n ψ ) b. αc n = b ln( b ) ψ α b. 1. K p = h( M c exp ( − n ψ ) − η ) b. ___________________________________________________________________ 43. (4.18).

(48) CAPITULO 4 INCORPORACION DE LA ANISOTROPIA INHERENTE. DE FABRICA EN EL. MIC-2008-II-14. MODELO CONSTITUTIVO HIPOPLASTICO. ______________________________________________________________________. De Igual manera, y de acuerdo con la metodología de Li y Dafalias (2002) es posible utilizar las mismas ecuaciones de dilatancia y modulo plástico del modelo, descritas en el capitulo 2 o utilizar ecuaciones genéricas como las ecuaciones (4.10) y (4.18) u otras que puedan ser incorporadas inclusive en diferentes modelos constitutivos. De acuerdo con el enfoque dado a la tesis, se deseaba utilizar la metodología de Li y Dafalias (2002) para la inclusión de la anisotropia inherente de fabrica en el modelo hipoplastico, lo cual se mantuvo, pero sin desconocer otras posibilidades de incluir la anisotropia, como seria la adición de un tensor de fabrica a la ecuación hipoplástica.. ___________________________________________________________________ 44.

(49) CAPITULO 5 CONCLUSIONES. El modelo de referencia Li y Dafalias (2002), en los últimos años se ha visto sometido a varias actualizaciones, que subsanan las limitaciones de las primeras versiones entre otras la posibilidad de predecir deformaciones plásticas durante la aplicación de cargas con relación de esfuerzos constante, lo cual incluye la modificación de las leyes de endurecimiento, de la forma de la superficie de fluencia, la posibilidad de respuesta del suelo ante cargas cíclicas no drenadas, el uso de multisuperficies plásticas, que el modelo en consideración no incluía. La utilización de un tensor normalizado. para la determinación de la. variable de estado anisotropica A, no es suficientemente acertada pues no simula los procesos de descarga (reverse loading), ya que ellos mismos no definen en forma activa la dirección de carga. Una conclusión interesante es el planteamiento de que no existe una línea de estado critica única, ni una única estructura del suelo en el estado critico, atribuible a los efectos de la anisotropia que permite en el plano e-p, la.

(50) CAPITULO 5 CONCLUSIONES MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________ posibilidad de varias líneas de estado critico CSL, pero una sola en el espacio e-p-A La aplicación del procedimiento que utilizan Li y Dafalias (2002) para introducir la anisotropia en la plataforma constitutiva y las ecuaciones correspondientes a la dilatancia y modulo plástico, de carácter genérico, permiten su empleo en cualquier otro marco de referencia tal como el modelo hipoplástico, cuyo enfoque a partir de ecuaciones tensoriales, dista mucho del enfoque de la teoría elasto - plástica de carácter geométrica. La independencia del modelo hipoplastico de las leyes de la plasticidad, permite que las ecuaciones utilizadas, obtenidas a partir de multisuperficies, sean validas. El modelo por si solo simula la dilatancia y la rigidez, pero en un escenario isotropico, permitiendo a su vez la modelación de relación de esfuerzos desviadores y esféricos. La posibilidad del incluir un tensor de fabrica, directamente en la ecuación constitutiva hipoplástica, ofrece un mecanismo diferente cuya implementación, significa el cumplimiento de las restricciones del modelo (no linealidad en D y homogenidad en D y T), lo cual se escapa del alcance de este trabajo. Finalmente se requiere de la calibración de todos los parámetros incluidos en las ecuaciones de dilatancia y modulo plástico, a la luz del modelo hipoplastico, para lo cual se requiere de una línea base que permita comparar resultados experimentales entre los dos modelos.. ___________________________________________________________________ 46.

(51) BIBLIOGRAFIA MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________________________________. BIBLIOGRAFIA. [1] Been, K. Jefferies, M.G. A state parameter for sand. Geotechnique, 35(2), 99-112, 1985. [2] E. Bauer. Calibration of a comprehensive constitutive equation for granular materials. Soils and foundation,(36):13–26, 1996. [3] W. Fellin. Hipoplasticity for beginners. Institut für Geotechnik und Tunnelbau, Universität Innsbruck,2002. [4] G Gudehus. A comprehensive constitutive equation for granular materials. Soils and Foundations,36(1), 1996. [5] D. Kolymbas. A rate-dependent constitutive equation for soils. Mech. Res. Comm, (4), 1996. [6] D Kolymbas. Introduction to hypoplasticity, 2000. 1st edition. A.A. Balkema. Rotterdam, Netherlands. [7] Li, X.S., Dafalias Y. F., y Papadimitriou A.G., Sand plasticity model accounting for inherent fabric anisotropy. J Engineering Mechanics, 130(11), 1319-133, 2005.. [8] Li, X.S. A sand model with state-dependent dilatancy. Geotechnique, 52(3), 173-186, 2002. [9] Li, X.S., y Dafalias, Y.F. Constitutive modeling of inherently anisotropic sand behavior. Geotechnique, 128(10), 868-880, 2002. [10] Li, X.S., y Dafalias, Y.F. Dilatancy for cohesionless soils. Geotechnique, 50(4), 449-460, 2000..

(52) CAPITULO I INTRODUCCION MIC-2008-II-14 ______________________________________________________________________ [11] Li, X.S., y Dafalias, Y.F., y Wang, Z. L. State dependent dilatancy in critical state constitutive modeling of sand. Canadian Geotechnique, J.,36(4), 599-611, 1999. [12] Manzari, M.T., y Dafalias, Y.F. A critical state two surface plasticity model for sand. Geotechnique, (47)2, 255-272. 1997. [13] Oda M. Inicial fabrics and their relations to mechanical properties of granular materials. Soil Foundation., 12(1), 17-36. (1972) [14] Oda M., y Nemat Nasser, S., y Konoshi, J. Stress induced anisotropy in granular masses. Soil Foundation., 25(3), 85-97. (1985) [15] Shofield, A.N., y Wroth, C.P. Critical state soil mechanics, McGraw-Hill, London. (1968). [16] Taiebat, M. y Dafalias, Y.F. sanisand: Simple anisotropic sand plasticity model. International Journal of numerical and analytical methods in geomechanics, 2007. [17] Wan, R. G., y Guo, J.P., Stress dilatancy and fabric dependencies on sand behavior. J Engineering Mechanicals, 130(6), 635-645, 2004. [18] V. Wolffersdorff. A hypoplastic relation for granular materials with a predefined limit state surface.Mechanics of cohesive-frictional materials, (1):251–271, 1996.. ___________________________________________________________________ 49.

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