Movimiento-rotacional-y-angular

11  33  Descargar (1)

Texto completo

(1)

UNIDAD 5 MOVIMIENTO ROTACIONAL Y ANGULAR

5.1 Cinemática de rotación 5.1.1 Movimiento de rotación

Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.

5.1.2 Cinemática de rotación.

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 1. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q (t) (medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:

tt

  .

t

  

(2)

X Dirección del movimiento y  r x Y

Figura 1. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

 

 

. dt

t d

t  

Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).

Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo:

 

 

, dt

t d

t  

5.1.3 Las cantidades rotacionales como vector.

(3)

Se puede demostrar que los desplazamientos angulares finitos no son vectores pues no cumplen la conmutividad de la suma (1 + 2) ¹ (2 + 1).

Por otra parte, si los desplazamientos angulares se hacen muy pequeños, comienza a cumplirse la ley de conmutabilidad de la suma, por lo tanto los desplazamientos

angulares infinitesimales son vectores.

De lo anterior podemos deducir que si la velocidad angular instantánea es un cociente entre un vector y un escalar, entonces dicha magnitud es un vector. Aplicando la regla de la mano derecha, podemos obtener el sentido de  (Figura).

Análogamente podemos decir que la aceleración angular instantánea también es una cantidad vectorial.

5.1.4 Rotación con aceleración angular constante.

Si la aceleración es constante, se verifican una serie de relaciones de la cinemática rotacional similares a la cinemática de traslación.

Movimiento de traslación (dirección fija) con a = cte.

(4)

5.1.5 Relación entre las características cinemáticas lineales y angulares de una partícula en el movimiento circular.

Diferenciando respecto al tiempo: 

Aceleración tangencial

Aceleración radial (centrípeta)

(5)

5.2 Dinámica del movimiento rotacional.

5.2.1 Variables rotacionales

El ángulo es la posición angular de la línea de referencia AP, y normalmente se mide en radianes. Convencionalmente se adopta como sentido positivo de rotación el contrario a las agujas del reloj.

Por definición está dado en radianes por la relación:  Siendo s la longitud del arco.

El desplazamiento angular de P será  = 2 -1

Se define la velocidad angular media como

la velocidad angular como

Similarmente se define la aceleración angular media

y la aceleración angular ()

Para un cuerpo rígido tanto como son únicos (valen lo mismo para cada punto).

5.2.2 Momento de una fuerza o momento estático.

(6)

Es una magnitud vectorial, cuyo módulo es igual a  = r.F.sen

 = r.F.sen F.r

5.2.3 Energía cinemática de rotación y momento de inercia.

Un cuerpo rígido que gira con respecto a un eje vertical fijo.

La energía cinética de una partícula es , la energía cinética total del cuerpo debido a la rotación es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas que componen el cuerpo.

= =

La cantidad se llama momento de inercia o inercia de rotación del cuerpo (I) con respecto al eje de rotación particular I =

El momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así como de la manera en que está distribuida su masa, y desempeña el papel de “masa” en las ecuaciones rotacionales.

Por tanto

Para cuerpos continuos:

5.2.4 Dinámica rotacional de un cuerpo rígido.

(7)

dW = F sen( -.(rd) = F.rd

Por tanto: dW =  d

Si derivamos respecto al tiempo, obtenemos la potencia P =  

Si actúan varias fuerzas: dWneto = =

De acuerdo al teorema trabajo-energía: dW = dK

Pero dK = = IO dIO dty dW =

Por lo que resulta que es la ecuación de la rotación análoga a la segunda ley de Newton

Comparación de las ecuaciones de la dinámica lineal y rotacional

Movimiento lineal Movimiento rotacional

Desplazamiento x Desplazamiento angular 

Velocidad Velocidad angular

Aceleración Aceleración angular

Masa (inercia de traslación)

m Momento de inercia (inercia de rotación)

I

Fuerza F = m.a Torque  = I

Trabajo Trabajo

Energía cinética Energía cinética

rotacional

Potencia P =Fv Potencia P =

Cantidad de movimiento p = mv Momento angular L= I

5.2.5 El movimiento combinado de traslación y de un cuerpo rígido.

(8)

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri

con velocidad vi.

El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi

Su proyección sobre el eje de rotación Z es

Liz=miviricos(90- i), es decir,

El momento angular de todas las partículas del sólido es

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia

En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

L=I

(9)

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

Mext= r x F será cero si la fuerza y el vector posición tienen la misma dirección. Este

tipo de fuerzas se llaman Fuerzas Centrales

5.3.1 Cantidad de movimiento angular de una partícula.

El momento angular o momento cinético de una masa puntual, es igual al producto vectorial del vector de posición (brazo), del objeto en relación a la recta considerada como eje de rotación, por la cantidad de movimiento (también llamado momento lineal o momento). Frecuentemente se lo designa con el símbolo :

En ausencia de momentos de fuerzas externos, el momento angular de un conjunto de partículas, de objetos o de cuerpos rígidos se conserva. Esto es válido tanto para partículas subatómicas como para galaxias.

o

5.3.2 Cantidad de movimiento angular de un sistema de partículas.

El momento cinético o angular de un sistema de partículas respecto a un cierto punto O, es igual al momento cinético del sistema respecto al CM (centro de masa) más un término que es el momento cinético asociado al movimiento del CM respecto a dicho punto O.

"Cuando la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas sobre el centro de

masas sea nula, la cantidad de movimiento del centro de masas permanece constante".

De manera análoga, para encontrar el momento cinético o angular de un sistema de partículas, abrimos un sumatorio para todos los productos vectoriales de la definición de

(10)

5.3.3 Conservación de la cantidad de movimiento angular.

La cantidad de movimiento angular de un sistema es constante tanto en magnitud como en dirección si el momento de torsión externo neto que actúa sobre el sistema es cero, es decir, si el sistema está aislado

(11)

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...