DOCUMENTO DE TRABAJO PARA EL ALUMNO

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2 INDICE

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Tema Página Presentación: ____________________________________________________ 3

Unidad 1: El Significado de los Números Reales y sus Operaciones _________ 5

Tema 1: El significado de los números reales y sus simbolizaciones _________ 5 Tema 2: Las operaciones con los Racionales y su significado contextual _____ 38

Tema 3: Potencias y radicales ______________________________________ 74

Tema 4: Expresando la generalidad __________________________________ 85

Unidad 2: Variación directamente proporcional y funciones lineales _________95

Tema 1: Variación directamente proporcional __________________________ 95 Tema 2: Función lineal ___________________________________________ 115

Unidad 3: Ecuaciones de primer grado con una incógnita ________________ 147

Tema 1: El lenguaje algebraico como representación de la generalidad, la

obtención de una ecuación ________________________________________ 148

Tema 2: ¿Cómo usar la ecuación para resolver un problema? _____________ 156

Unidad 4: Sistemas de ecuaciones lineales ___________________________ 167

Tema 1: Sistemas de ecuaciones lineales 2x2 __________________________167 Tema 2: Sistemas de ecuaciones equivalentes y el método de triangulación___190

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3 Presentación

En este documento se te presentan los contenidos y aprendizajes que deberás lograr en el curso de Matemáticas I, su organización en unidades y una serie de actividades para el logro de los aprendizajes y la forma en que debes desarrollarlas. Aprendizajes generales del curso Matemáticas I:

• Conocerás y manejarás algunas estrategias para la resolución de problemas.

• Darás significado a los algoritmos de las operaciones básicas y el manejo de la jerarquía de las operaciones.

• Lograrás el tránsito de la aritmética al álgebra.

• Reconocerá́s que la resolución algebraica de ecuaciones involucra un proceso que permite reducir una ecuación dada a otra más simple, hasta alcanzar una forma estándar.

• Desarrollarás tu capacidad de transitar por distintos registros de representación: verbal, tabular, algebraico y gráfico.

• Resolverá́s problemas que dan lugar a una ecuación de primer grado con una incógnita, o un sistema de ecuaciones lineales.

• Utilizarás las representaciones algebraica y gráfica para estudiar fenómenos que involucran variación directamente proporcional y de tipo lineal.

• Utilizarás las representaciones algebraica y gráfica para modelar situaciones con ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones.

• Serás capaz de resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y sistemas de ecuaciones lineales.

• Reconocerá́s cuándo un sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente. Contenidos (síntesis):

Unidad 1: El Significado de los Números Reales y sus Operaciones.  El significado de los números reales y sus simbolizaciones

 El significado concreto de las operaciones con números reales y los algoritmos para su ejecución.

 La expresión general de procesos de cálculo y relaciones numéricas. Unidad 2: Variación directamente proporcional y función lineal

 Variación directamente proporcional: los conceptos de variable independiente, variable dependiente, razón de cambio promedio, su expresión algebraica y aplicaciones.

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4  Función lineal: el concepto de función, incremento de las variables, razón de

cambio entre los incrementos, su expresión algebraica y aplicaciones. Unidad 3: Ecuación de primer grado con una incógnita

 El significado de una ecuación y su obtención

 Métodos de resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita  Aplicaciones

Unidad 4: Sistemas de ecuaciones lineales  El significado de un sistema de ecuaciones

 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2: sus métodos de resolución, sistemas compatibles e incompatibles y aplicaciones.

 Sistemas de ecuaciones lineales 3x3: el método de triangulación para resolver un sistema de ecuaciones de este tipo, aplicaciones.

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5

Unidad 1

El Significado de los Números Reales y sus Operaciones

Propósito de la unidad

Al finalizar la unidad serás capaz de operar con los números racionales, (enteros y no enteros) y resolver problemas aritméticos aplicando algunas heurísticas para facilitar: su comprensión, la búsqueda de un plan de resolución y su ejecución.

PROPUESTA DIDÁCTICA

Tema 1 El significado de los números reales y sus simbolizaciones

Introducción

Posiblemente tu actividad con los números haya tenido un énfasis en la forma en que estos se operan y su aplicación en la resolución de problemas te presente dificultades.

Estas dificultades tienen su fuente en la falta de significado concreto de los números, entre otras cosas, como el aprendizaje memorístico de las reglas para operarlos.

En este tema encontrarás significado a los números a través de actividades prácticas de medición, de análisis de modelaciones de situaciones físicas y del planteamiento de convenciones necesarias para la generalización de propiedades de las operaciones básicas de la aritmética.

Planeación

Fase de

planeación de tu actividad

Tomando como documento de trabajo el archivo electrónico que el profesor te proporcionará y que aquí se te presenta: A manera de tarea extra-clase, ejecutarás las actividades prácticas y responderás a las preguntas que se hacen, registrando tus respuestas en el campo de respuesta individual del archivo enviado por el profesor.

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6 Ya en clase, participarás en un tratamiento grupal de las actividades a fin de lograr consensos sobre la comprensión de las actividades y sus resultados, anotarás estos consensos en el campo de respuesta por equipo y grupal, redactarás las conclusiones a las que se lleguen a partir de la actividad, conclusiones que el profesor sintetizará o corregirá. Finalmente resolverás ejercicios que garanticen la comprensión de procedimientos y conceptos.

Si la captura de las respuestas individuales y consensuadas, en los campos que el archivo tiene reservados para esto, te presenta dificultades, entrégalas al profesor por escrito, redactando la actividad a la que se responde.

Referencias Para el alumno:

Complementaria:

Miller, Charles D., Heeren, Vern E., Hornsby, John. (2013).

Matemática: razonamiento y aplicaciones. Wesley.

Álgebra intermedia.   García, M. (2005). Matemáticas I para preuniversitarios. México: ESFINGE.

Acertijos con Dinero: desarrollo del razonamiento matemático y pensamiento lateral. México: Trillas.

Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: CENGAGE.

Smith, S., Charles R., Dossey J., Keedy M., y Bittinger M., (2001). Álgebra.

Sub – tema 1 El significado de los enteros y racionales positivos Aprendizajes A través de actividades de medición, comprenderás el

significado concreto de los números enteros y racionales positivos, así como sus simbolizaciones

Actividades para el aprendizaje Actividad 1 Midiendo longitudes

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7 Objetivo (s) de

la actividad:

 Medirás diversas longitudes tomando como unidad la que se te propone y simbolizarás el resultado a través de un entero positivo o una fracción propia y su equivalente como fracción decimal

 Serás capaz de interpretar tales símbolos en el proceso de medida y como un proceso aritmético.

Duración de la actividad

Tres horas, una de trabajo en casa y dos de trabajo en el salón. Recursos y

herramientas

 Archivo electrónico  Compás y/o regla Evaluación  Cuestionario

Desarrollo de la actividad

Actividad 1 Midiendo longitudes (Parte 1) Objetivo (s) de la

actividad(parte 1):

Medirás diversas longitudes tomando como unidad la que se te propone y simbolizarás el resultado a través de un entero positivo o una fracción propia.

Introducción:

¿Qué es medir?

Medir es determinar la cantidad de una cualidad ligada a los objetos o fenómenos, por ejemplo la cuantificación del volumen de un cuerpo o su temperatura, o el tiempo que dura el desplazamiento de un móvil, etcétera.

La medición se lleva a cabo comparando la cantidad de una cualidad tomada como unidad arbitraria y la cantidad de dicha cualidad en un objeto o fenómeno. Esta comparación se establece observando “cuantas veces” la unidad está contenida en la cantidad por medir.

Actividades prácticas Instrucciones:

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8

o En cada uno de los siguientes casos, deberás medir la longitud del segmento AB, tomando como unidad la longitud del segmento PQ auxiliándote de un compás o cuadriculando el espacio donde se encuentran dichas longitudes,

o En cada caso deberás anotar tu respuesta en el espacio de respuesta individual,

o Anota en el espacio de respuesta grupal, la medida comentada en el grupo

Caso 1

Respuestas:

Individual: _________ Equipo: __________ Consensuada:_________

Caso 2

Respuestas:

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9

Conclusión:

Cuando la unidad cabe un número exacto de veces se dice que su medida está dada por un número entero positivo. Así son enteros positivos: 1, 2, 3, 4,…,etc.

Caso 3

Respuestas:

Sugerencia:

Dividamos la unidad PQ en cinco partes iguales (cada una de estas partes será la quinta parte de la unidad, lo cual simbolizaremos como 1/5 de la unidad). Ahora mide el segmento AB con una de estas partes.

Respuestas:

P Q

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10 Convención:

En este caso se dice que la medida del segmento AB es “13 veces la quinta parte de la unidad”. Este hecho, se simboliza como: 13/5 de la unidad

Caso 4

Respuestas:

Sugerencia

Dividamos la unidad PQ en cuatro partes iguales (cada una de estas partes será 1/4 de la unidad). Ahora mide el segmento AB con una de estas partes.

Respuestas:

Retroalimentación

En este caso se dice que la medida del segmento AB es “14 veces 1/4 de la unidad”, lo cual se simboliza como: “14/4 de la unidad". La equivalencia de tales expresiones la estableceremos posteriormente.

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11 Cuando al medir la cantidad de una cualidad, la unidad cabe un número exacto de veces, su medida estará dada por un número entero positivo, son números enteros 1, 2, 3, etcétera. Cuando la unidad no cabe un número exacto de veces en la cantidad por medir, pero al dividir la unidad un número q de partes iguales, una de esas partes cabe un número p exacto de veces, se dice que la medida está dada por un número racional positivo que se simboliza por p/q. Así son números racionales: 3/4, 25/83, 1/5, 1/3, etcétera. Estos símbolos reciben el nombre genérico de “fracciones” o “quebrados” Cierre de la actividad

Esta primera parte de la actividad 1 debe cerrarse con la ejercitación que el profesor te proponga

Actividad 1 Midiendo longitudes (Parte 2) Objetivo (s) de

la actividad1 parte 2:

Serás capaz de interpretar aritméticamente y en el proceso de medida los símbolos .

Desarrollo de la actividad 1 (parte 2)

Introducción

Uno puede preguntarse si 𝟏

𝒒 y 𝒑

𝒒 son simples abreviaciones de expresiones:

“la q-ésima parte de la unidad” y “p veces la q-ésima parte de la unidad” o tienen un significado aritmético que les justifica su capacidad de ser operados.

Para entender el significado aritmético de 𝟏

𝒑 y 𝒑

𝒒 se sugiere realizar las

actividades siguientes retomado los dos últimos ejercicios de medición Actividades sugeridas para el aprendizaje

Instrucciones

o Deberás leer con cuidado las reflexiones que se hacen sobre las

actividades de medición en los casos 3 y 4 de la parte 1 y responder a las preguntas que se te hacen, como tarea extra - clase, en el espacio de respuesta individual

o Una vez en clase, consensuarás las respuestas con el equipo al que te asigne el profesor anotando este consenso en el espacio correspondiente

1

qy p q

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12

o Hecho lo anterior, anotarás en el espacio correspondiente a consensuada las respuestas a las que finalmente se llegue en una discusión grupal

Retomemos el caso 3 de medición:

Se midió el segmento AB con la unidad PQ, encontrando que ésta es 13 veces la quinta parte de la unidad, lo cual simbolizamos como 13/5

Reflexión

Si hemos dividido la unidad en cinco partes iguales. ¿Cuál es la medida de cada una de esas partes?

Respuestas:

¿Qué significa la anterior respuesta en términos de medición?

Para encontrar la respuesta, divida la unidad PQ en 5 partes iguales y posteriormente en 10 partes iguales y tome 2 de estas últimas partes.

¿Qué encuentra?

Respuestas:

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13 Hemos encontrado que la cantidad de la quinta parte de la unidad es equivalente a 2 partes de la unidad cuando esta es dividida en 10 partes iguales y este hecho se encuentra dividiendo 1 entre 5.

¿Cuánto es 13 veces la medida de la quinta parte de la unidad, que es la medida del segmento AB?

Respuestas:

Sugerencia:

Intentemos otra forma de encontrar las anteriores respuestas pensando en la forma siguiente:

Se trata de medir AB tomando como unidad PQ. Si tomamos 1/5 de PQ como una nueva unidad:

¿Cuánto mide PQ?

Respuestas:

¿Cuánto mide AB?

Respuestas:

En este contexto, ¿cuánto mide AB cuando se mide con PQ?

Respuestas:

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14 Luego la medida de AB con respecto a PQ, se encuentra dividiendo 𝟏𝟑 ÷ 𝟓 y esto lo hemos representado como 𝟏𝟑

𝟓 con lo cual, “13 veces la quinta parte de PQ”, es

equivalente a dividir 𝟏𝟑 ÷ 𝟓 = 𝟐. 𝟔. Lo que quiere decir que la medida de AB es 2 unidades PQ más 6 décimas de la unidad PQ, esto es, medida de AB=2.6

Por otro lado, 2.6 en términos de medición, es equivalente al resultado de medir AB cuando la unidad PQ es dividida en 10 partes iguales, o sea el racional 𝟐𝟔

𝟏𝟎. Este

tipo de representación de un racional (2.6) se le conoce como “fracción decimal”. Luego hemos encontrado las equivalencias siguientes:

La medida de AB con respecto a la unidad PQ es:

Retomemos el caso 4 de medición:

Se midió el segmento AB con la unidad PQ, encontrando que ésta es 14 veces la cuarta parte de la unidad, lo cual simbolizamos como 14/4

Reflexiona sobre lo siguiente:

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15 ¿Cuál es la medida de cada una de esas partes?

Respuestas:

¿qué significa la anterior respuesta en términos de medición?

Para encontrar la respuesta, divida la unidad PQ en 4 partes iguales, luego en 10 partes iguales y posteriormente cada una de estas últimas partes en 10 partes iguales, ahora tome 25 de estas últimas partes.

¿Qué encuentra?

Respuestas:

Conclusión:

Hemos encontrado que la cantidad de la cuarta parte de la unidad es equivalente a 25 partes de la unidad cuando ésta es dividida en 100 partes iguales y este hecho se encuentra dividiendo 1 entre 4.

¿Cuánto es 14 veces la medida de la cuarta parte de la unidad, que es la medida del segmento AB?

Respuestas:

Sugerencia:

Pensemos ahora en otra forma de encontrar la respuesta: Se trata de medir AB tomando como unidad PQ.

Si tomamos 1/4 de PQ como una nueva unidad: ¿Cuánto mide PQ?

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16

Respuestas:

¿Cuánto mide AB?

Respuestas:

En este contexto, ¿cuánto mide AB cuando se mide con PQ?

Respuestas:

Conclusión:

Luego la medida de AB con PQ, se encuentra dividiendo 𝟏𝟒 ÷ 𝟒 y esto lo hemos representado como 𝟏𝟒

𝟒 con lo cual, “14 veces la cuarta parte de PQ”, es equivalente

a dividir 𝟏𝟒 ÷ 𝟒 = 𝟑. 𝟓 Lo que quiere decir que la medida de AB es 3 unidades PQ más 5 décimas de la unidad PQ, esto es, medida de AB = 3.5

Por otro lado, 3.5 en términos de medición, es equivalente al resultado de medir AB cuando la unidad PQ es dividida en 10 parte iguales, encontrando que la medida AB es 35 veces la décima parte de la unidad o sea el racional 𝟑𝟓

𝟏𝟎. Este tipo

de representación de un racional (3.5) se le conoce como “fracción decimal”. Luego hemos encontrado las equivalencias siguientes:

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17

Conclusiones sobre la actividad 1:

Un número racional positivo es todo número expresado como el cociente de dos números enteros positivos, esto es, si p y q son dos números enteros positivos, 𝒑

𝒒

es un número racional positivo.

En términos de medición el racional mencionado significa tomar la q – ésima parte de la unidad y tomar p veces ésta.

Cuando se realiza la división p entre q lo que se obtiene es la representación del racional en su forma de “fracción decimal”. En términos de medición esta fracción decimal significa medir p veces la q-ésima parte de la unidad, siguiendo el proceso de dividir la unidad en 10 partes iguales y dividir cada una de estas partes en 10 iguales y dividir cada una de estas partes en 10 y así sucesivamente hasta cubrir el número de cifras decimales.

Ejemplo: 𝟒𝟓/𝟖 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟓

Ésta fracción decimal significa que 45 veces la octava parte de la unidad, puede medirse dividiendo la unidad en 1000 partes iguales y tomando 5625 de estas partes, en términos de fracción 45/8 es equivalente a 𝟓𝟔𝟐𝟓/𝟏𝟎𝟎𝟎

Cierre de la actividad

Esta actividad debe cerrarse con la ejercitación que te proponga el profesor

Tema 1 El significado de los números reales y sus simbolizaciones Racional en su representación como fracción Racional como un proceso operativo operativo Racional en su representación como fracción decimal Racional en su representación alternativa como fracción 14/4 = 14÷4 = 3.5 = 35/10

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18 Sub-tema 2 Características de la simbolización de un racional

positivo como fracción decimal

Aprendizajes

El alumno:

 A través de la lectura o exposición del profesor, conocerás la característica que define la expresión de un racional como fracción decimal y el proceso para convertir esta última en una fracción o quebrado.

 Serás capaz de convertir una fracción decimal de un racional a su expresión como fracción o quebrado

Introducción:

Hemos visto que una fracción p/q tiene una simbolización equivalente como fracción decimal, la cual se obtiene dividiendo p entre q. Pero existen casos en que al realizar la división la expresión decimal resulta con una extensión infinita. A través de casos concretos conocerás la característica de la expresión como fracción decimal de un racional y dada una expresión de este tipo, la manera de convertirla en una fracción.

Actividad 1 Lectura y comprensión

Desarrollo de la actividad Transforma las fracciones siguientes a su expresión decimal

a) 2/3

respuesta individual____________ respuesta por equipo____________ respuesta grupal

_____________________________________________________ b) 5/7

respuesta individual____________ respuesta por equipo ____________________

respuesta grupal

_____________________________________________________ c) 45/108

respuesta individual____________ respuesta por equipo____________________

respuesta

grupal_____________________________________________________ d) 18/13

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19 respuesta

grupal_____________________________________________________ e) 29/4

respuesta

grupal_____________________________________________________ Como podrás darte cuenta, en todas estas transformaciones las expresiones decimales, a partir de cierto momento, una o un grupo de cifras se repite indefinidamente, así:

2/3 = .66666666…, el 6 se repite indefinidamente.

5/7 = .714285714285714285714…el grupo de cifras 142857 se repite indefinidamente.

45/108 = .4166666666…, el 6 se repite indefinidamente.

18/13 = 1.384615384615384…, el grupo 384615 se repite indefinidamente. 29/4 = 7.25 lo cual es equivalente a: 29/4 = 7.250000…, el grupo 0 se repite indefinidamente

Ahora piensa al azar cualquier fracción y transfórmala en su expresión decimal

¿pasa lo mismo que en los casos anteriores? Respuesta individual____________________

Compara lo que obtuviste con las respuestas de tus demás compañeros

¿qué sucede?

Todas estas expresiones decimales se llaman “periódicas” Conclusión:

Toda expresión de un racional como fracción, en su expresión decimal es periódica.

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20 Reflexión:

Uno puede preguntarse si toda expresión decimal periódica es la expresión de un racional como una fracción.

La respuesta es afirmativa, veamos esto con algunos ejemplos: a) 2.46 787878…

simbolicemos esta expresión como S, y multipliquémosla primero por 100 y luego por 10000, esto es: 100S y 10000S

los resultados son: 100S = 246.787878… y 10000S = 24678.787878… Ahora restemos 10000S –100 S

El resultado es 9900S = 24432

luego S = 24432/9900. Esto es: 2.46787878… es equivalente a la fracción: 24432/9900

b) 1.6573563563563563…

Repite lo que hicimos en el caso anterior representando la fracción decimal 1.657356356356…con S y multiplícala por una potencia de 10de tal manera que el punto decimal se recorra hasta que empieza el periodo y por una potencia de 10 de tal manera que el punto decimal se recorra hasta que empiece el segundo periodo.

Respuesta individual:

c) Considera las fracciones decimales periódicas siguientes y transfórmalas, si es posible, a fracciones

d) .3575757575… e) 3.4251671671671…

f) considera al azar una fracción decimal periódica y encuentra, si es posible, una fracción que le sea equivalente.

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Respuestas consensuadas:

Conclusión:

Toda fracción decimal periódica tiene como equivalente una fracción, esto es, representa un racional

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22 Tema 1 El significado de los números reales y sus

simbolizaciones

Sub-tema 3 Fracciones equivalentes

Aprendizajes

 A través de la lectura o exposición del profesor, conocerás que una fracción tiene como equivalentes una infinidad de fracciones.

 Dada una fracción, obtendrás fracciones equivalentes a ella.

 Comprenderás el concepto de fracción irreducible Introducción:

En la actividad 1 del subtema 1, hemos encontrado que las fracciones 13/5 y 14/4 tienen fracciones equivalentes respectivamente a 26/10 y 35/10. Podemos observar que 26/10 se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador de 13/5 por 2 y que 35/10 se obtiene de multiplicar el numerador y el denominador de 14/4 por 25 y la fracción resultante dividiendo su numerador y denominador entre 10.

En este subtema se pretende que, básicamente en una actividad de ejercitación, conozcas la manera de obtener fracciones equivalentes a una dada.

Actividad 1, para el Sub – tema 3

Lectura y comprensión Considera la fracción siguiente

25/15

Multiplica el numerador y el denominador de ella por cualquier número entero y obtén la expresión decimal de la fracción original y de las que generaste.

¿Qué ocurre?

Respuesta individual_______________________________________________ Respuesta por equipo______________________________________________ Respuesta consensuada____________________________________________ Ahora divide el numerador y el denominador de 25/15 por un número entero de tal manera que los resultados también sean enteros y obtén sus respectivas expresiones como fracciones decimales

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23 Respuesta individual______________________________________________ Respuesta por equipo _____________________________________________ Respuesta consensuada____________________________________________ Conclusión: Cuando una fracción p/q es multiplicada en su numerador y denominador por un mismo número entero, la fracción resultante es equivalente a la original. También, cuando una fracción p/q es dividida en su numerador y denominador por un mismo número entero, de tal forma que los resultados sean también números enteros, la fracción resultante es equivalente a la original.

Introspección sobre lo hecho anteriormente en esta actividad

Se sabe que un número primo es aquél cuyos divisores son únicamente él mismo y la unidad.

En base a la anterior definición obtén fracciones equivalentes a 75/30 dividiendo sucesivamente entre los primos que nos den como resultados números enteros, a estos se les llama divisores primos comunes del numerador como del denominador.

¿es posible seguir dividiendo el último resultado entre otros

primos?

Cuando sucede esto se dice que la fracción 75/30 se ha reducido a su mínima expresión 5/2 o se ha obtenido su fracción equivalente irreducible.

Ejercicios:

Obtén las fracciones equivalentes irreducibles de las fracciones siguientes:

270/80 = 35/5 = 75 30= 75 3 30 3 =25 10 = 25 5 10 5 =5 2

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24

46/25 =

170/70 =

Sub-tema 4 Números Irracionales

Aprendizajes

 Comprenderás el concepto de número irracional a través de las exposiciones del profesor y la lectura de este apartado que implica una mínima participación de tu parte.

Introducción:

Hasta este momento uno puede preguntarse si toda longitud, una vez que se ha escogido una unidad de medida, tiene por medida un número racional de la forma p/q. Esto es, ¿siempre es posible encontrar una sub – unidad de la unidad que mida exactamente a la longitud por medir?.

Actividad 1, para el Sub – tema 4

Lectura y comprensión

Instrucciones

o Lee con cuidado el texto siguiente contestando a las preguntas que se te hacen.

o Cualquier duda consúltala con tu profesor Desarrollo de la actividad

La recta numérica

Uno puede representar en una recta los números que representan las medidas de longitud de cualquier segmento en la forma siguiente:

Primero tome un punto P cualquiera de la recta como el origen para medir las longitudes y tome otro punto P1 a su derecha de tal suerte que la medida del

segmento que empieza en P y termina P1, sea la unidad. Ahora repita

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25 Ello determinará los números enteros 1, 2, 3, 4,…etc. los cuales serán las medidas de los segmentos PP1, PP2, PP3,PP4, etc.

Ilustración:

Con ello, a cualquier otro punto Q de la recta se le asignará un número que será la medida del segmento PQ. La pregunta es: ¿a Q siempre le corresponderá un racional p/q? o ¿la longitud PQ siempre será medible con la unidad PP1 o con una

fracción de ella?

Para contestar esta pregunta construyamos un segmento de la manera siguiente: Tomemos el segmento unidad y reproduzcámoslo sobre el punto que representa al 1 y perpendicular a él.

Con ello formamos un triángulo rectángulo con medida de catetos iguales a 1 e hipotenusa que por el teorema de Pitágoras será: . Con un compás con eje de giro en 0 y amplitud AB, trazamos una circunferencia que corte a la recta en un punto D, al cual asignaremos el número _{que será la longitud del} segmento AD 12+12 = 2 2 1 2 3 ₄ 5 0 P P1 P2 P3 1 2 3 ₄ 5 0 A B

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26

¿dicho segmento es medible con una sub – unidad de la unidad?, esto es: √𝟐 = p/q, donde podemos suponer que la fracción está en su forma irreducible ( p y q no tienen factores comunes)

Supongamos que la respuesta es afirmativa Entonces:

Si elevamos ambos miembros de la igualdad al cuadrado, obtenemos:

2 = p2_/q2_{y por propiedad de la división: 2q}2_=p2_{, esto quiere decir que p}2 _{es un}

número par

Entonces ¿p es par o impar? Respuesta:

individual _____________________ Respuesta consensuada_______________

Luego, p se puede escribir como 2S y 2q2_{= 4S}2_{y dividiendo entre 2 obtenemos:}

q2_=2S2_.

Esto es: q2_{es un número par.}

Si q2_{es un número par, ¿q es impar o par?}

Respuesta:

individual ______________________ Respuesta

consensuada_______________

Luego entonces hemos encontrado que tanto p como q son pares, que quiere decir que tienen como factor común a 2.

¡Pero esto es una contradicción con el supuesto original de que p y q no tenían factores comunes!

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27 Respuesta: individual _________________________________________________________ Respuesta consensuada _______________________________________________________

Luego entonces no es un racional y se la clasifica como número “irracional”

Conclusión:

La medida de la longitud de un segmento puede ser racional o irracional.

Esto es, existen números racionales e irracionales para medir la longitud de cualquier segmento en la recta numérica.

La unión del conjunto de números racionales positivos con los irracionales positivos forman el conjunto de números “Reales Positivos”

Sub-tema 5 Números negativos

Aprendizajes

A través de las exposiciones del profesor y la lectura de este apartado que implica una mínima participación de tu parte:

 Comprenderás el concepto de número negativo  Operarás con los números negativos y positivos

Introducción:

Tal vez en tu experiencia adquirida en la secundaria hayas comprendido que los números negativos son los que se determinan cuando, en la recta numérica, dado un real positivo, tomas a la izquierda del 0 su simétrico y, cuándo operabas con

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28 ellos, las reglas de operación te las aprendiste simplemente de memoria sin justificación alguna.

En éste subtema encontrarás actividades que te llevarán a comprender un número negativo más allá de ser una cantidad simplemente con posición relativa al cero y encontrarás sentido para las reglas con que se operan.

Actividad 1, para el Sub – tema 5

Lectura y comprensión sobre el significado de –a, donde a es un real positivo

Instrucciones

Consideremos la situación siguiente:

Desde una plataforma retráctil colocada a una altura de 200 metros sobre el nivel del piso, se lanza verticalmente y hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial de 150 m/seg.

Un observador colocado a nivel de la plataforma, comienza a observar la altura del proyectil en relación a el nivel en que se encuentra la plataforma.

En física se sabe que la altura “y” del proyectil en relación a la posición de la plataforma está dada en metros por la siguiente fórmula:

y = 150t – 5t2_{donde t es el tiempo de vuelo medido en segundos.}

Ilustración:

Contesta las preguntas siguientes: 200m

0 m. Plataforma que se retira después del lanzamiento

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29 Según el modelo:

a) ¿cuál es la posición del proyectil respecto a la plataforma cuando t = 0? Respuesta individual: ______________ Respuesta consensuada: ______________

b) ¿cuál es la posición del proyectil respecto a la plataforma cuando t = 3 segundos?

Respuesta individual: ______________ Respuesta consensuada: ______________

c) ¿cuál es la altura y del proyectil respecto a la plataforma cuando t = 30 segundos?

d) ¿cómo se interpreta esto?

Como es obvio, el proyectil después de este último momento seguirá bajando

El modelo y = 150t – 5t2_{que predice la posición del proyectil en relación a la}

plataforma ¿seguirá funcionando?

Veamos si la respuesta es afirmativa y bajo que convenciones Por ejemplo, ¿ que predice el modelo para 31 segundos?

Y= 150(31) – 5(312_{) = 4650}– 4805 ¿pero qué es esto? A un número menor

estamos restando un número mayor, ¿ tienen sentido esto?. Para tratar de dar sentido a lo encontrado ejecutemos la resta en la forma siguiente:

y = 4650 – (4650 + 155) = 4650 - 4650 – 155 = 0 -155 ¿qué significado tiene este resultado?.

Para darle sentido convengamos que y = 0 – 155 = - 155 o de otra forma: 4650 – 4805 = -(4805 – 4650) = - 155, donde el signo menos lo que indica es que el proyectil se encuentra a 155 metros por debajo del cero (o posición de la plataforma).

¿Esta predicción tendrá sentido en el fenómeno con el que estamos tratando? Contestemos las preguntas siguientes:

Si es cierto que el proyectil se encuentra a 155 m por debajo de la plataforma, ¿a qué altura del piso se encontrará?

(30)

30

Respuesta individual:

________________________________________________

Respuesta consensuada:

_____________________________________________

Para ver si la anterior predicción es correcta, pensemos ahora en la forma siguiente:

Supongamos que existe un segundo observador pero que se encuentra a nivel del piso y comienza a medir el tiempo simultáneamente con el primer observador, esto es: observa la posición del proyectil a partir del piso al mismo tiempo que el primer observador.

Ilustración:

¿cuál crees que sea el modelo que predice la posición del proyectil con respecto al piso? Respuesta individual:_________________________________________________ ________________________________________________________________ __ Respuesta consensuada:_____________________________________________ ________________________________________________________________ __

Para ver si tu modelo es correcto, contesta las preguntas siguientes y compara tus respuestas con las que se obtienen en base al primer modelo:

200m

Plataforma que se retira después del lanzamiento

(31)

31 a) ¿cuál es la altura sobre el piso del proyectil cuando t = 0?

___________________________________________

________________________________________

b) ¿cuál es la altura sobre el piso del proyectil cuando t = 3 segundos?

Respuesta individual:

___________________________________________

Respuesta consensuada:

________________________________________

c) ¿cuál es la altura y del proyectil cuando t = 30 segundos?

___________________________________________

________________________________________

Ahora, con este último modelo encuentra la altura sobre el piso cuando hayan transcurrido 31 segundos.

________________________________________________

_____________________________________________

Compara esta Respuesta consensuada con la respuesta que se obtenía como consecuencia del primer modelo.

Conclusiones:

Nuestras convenciones de que 4560 – 4805 = -(4805 – 4560) = - 155 y que este resultado significa que tenemos 155 unidades por debajo del cero (o si esto se interpreta en la recta numérica, tenemos 155 unidades a la izquierda del 0), nos llevan a predicciones correctas y por lo tanto las tomaremos como convenciones matemáticas adecuadas para estudiar tal fenómeno.

Conclusión:

De esta manera podemos convenir que todo real positivo a tiene asociado una cantidad que se encuentra a la izquierda del cero y que se simboliza como – a.

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Actividad 2, para el sub – tema 5

Lectura y comprensión sobre la aceptación de –a, como un número, donde a es un real positivo

Instrucciones

o lee con cuidado el texto siguiente.

o Trabajando en casa, contesta las preguntas que se te hacen

o En clase, participa en la discusión que llevará a las respuestas y conclusiones consensuadas

Desarrollo de la actividad Introducción:

Hemos significado –a simplemente como la posición respecto al cero de una cantidad a. ¿pero –a podemos aceptarlo como un número? y ¿estos negativos junto con los positivos conforman un nuevo conjunto de números que coexisten con los reales positivos?.

Para aceptar esto, es necesario que en este nuevo conjunto de números se puedan definir las operaciones de suma, resta, multiplicación, y división, de tal suerte que se mantengan las propiedades que ellas tenían en los reales positivos; además que conduzcan a predicciones correctas en problemas teóricos y prácticos.

La aceptación de los negativos como números reales tuvo lugar por los siglos VI y VII, y no por muchos matemáticos.

Tenemos entonces que la comprensión de un negativo como un número real, no es un asunto fácil, por ejemplo algunos filósofos cuestionaban respecto a la existencia de 0 –a: ¿cómo que a la nada restamos una cantidad?

Tratemos de lograr esta comprensión mediante las actividades siguientes:

Consideremos la siguiente situación:

Un automóvil viaja a una velocidad constante de 95 Km/h partiendo de una ciudad A.

En un punto que se encuentra a una distancia de 332.5 Km de A, una persona comienza a observar la posición del automóvil respecto a la ciudad A: Esto es, el cronómetro empieza ha contar el tiempo cuando el automóvil pasa por ese punto.

(33)

33

Encuentra el modelo algebraico que predice la distancia “y” del móvil, medida a partir de la posición de la ciudad A.

Sugerencia: puedes auxiliarte de una tabla como la siguiente: t : tiempo medido a partir del

observador, en horas

y: distancia del móvil medida a partir de la posición de la ciudad A 0 1 2 3.5 . . . t Respuesta Individual Respuesta consensuada

Utiliza el modelo para predecir la posición del móvil en t = 6.5 horas.

Respuesta individual: ________________ Respuesta consensuada: ___________________

¿Puede el modelo predecir la posición del móvil una hora antes de que el observador comienza a medir el tiempo?, esto es: cuando el tiempo es -1.

Si la respuesta es afirmativa, la posición sería: 332.5 metros

Posición del observador cuando t = 0

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34

Y = 332.5 + 95(- 1) = 332.5 + ¿______?

El segundo sumando es la multiplicación de un número positivo por lo que sería un número negativo, ¿a qué es igual esta multiplicación?

Hay tres opciones: a) es igual a cero

b) es un número positivo c) es un número negativo.

Las dos primeras opciones resultan absurdas, luego sólo nos quedaría la tercera, esto es:

y = 332.5 +(-95). Esto tendría sentido si aceptamos que que la suma de un número positivo con un número negativo es equivalente a una resta, esto es: y = 332.5 +(-95) = 332.5 – 95 = 237.5 kilómetros.

 En resumen hemos hecho dos convenciones: la multiplicación de un número positivo por un número negativo es igual a un número negativo y, que la suma de un número positivo con un número negativo, es equivalente a una resta.

Pero falta ver si estas convenciones son adecuadas, esto es, ¿con ellas el modelo predice correctamente?

Para decidirlo, pensemos en la forma siguiente:

Coloquemos en la ciudad A a otro observador que empieza a medir el tiempo a partir de que el móvil sale de la ciudad A.

¿Cuál sería el modelo que predice la posición del móvil en relación a A?

Respuesta individual: _______________________________________________

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35 Con este modelo, ¿cómo calcularíamos la posición del móvil cuando haya transcurrido un tiempo (medido por el segundo observador) una hora antes de que el primero comenzó a observar?.

Lo que primero que tenemos que hacer es calcular el tiempo (medido por el segundo observador) que al móvil le lleva recorrer 332.5 kilómetros. Esto lo hacemos encontrando t en:

332.5 = 95t, y obtenemos: t = 3.5 horas.

Luego, una hora antes de que el primer observador comenzó a medir el tiempo, para el segundo habrá transcurrido 3.5 – 1 horas o sea 2.5 horas.

Entonces la posición del móvil, según el segundo modelo es y = 95(2.5) = 237.5 kilómetros

Lo cuál coincide con la predicción del primer modelo si aceptamos las convenciones hechas es ese momento.

¿qué pasa con las otras posibilidades de multiplicación? b). Un número negativo por un número negativo Hay dos opciones:

i). es un número negativo ii).es un positivo

La primera opción no puede ser posible pues ya hemos aceptado que un número positivo por un número negativo es negativo.

Luego, un número negativo por un número negativo debe ser un número positivo.

Ejemplo: (-3/4)x(-5/8) = +(3/4)x(5/8) = +15/32

c) ¿A que es igual un número negativo por un número positivo?.

Si aceptamos que el conjunto de los números positivos junto con los números negativos e incluido el 0, deben compartir las propiedades de las operaciones en los positivos, la multiplicación debe ser conmutativa, luego:

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36 Un número negativo por un número positivo debe ser un número negativo, esto es:

-bxa = ax(-b) = - axb, donde a y b son números positivos. Ejemplo: (-3/4)x2 = - (3/4)x2 = - 6/4 = -3/2

De lo anterior se deduce que -1(b) = -(1xb) = -b, donde b es positivo

 ¿Cómo se tendría que definir la división? a). ¿A qué es igual –b/a, donde a y b son positivos?

Como debe mantenerse la propiedad: “en una división el dividendo es igual al divisor por el cociente” deberíamos tener:

-b/a = c entonces: -b = axc, pero como a es positivo, c debe ser negativo por la convención hecha anteriormente de que un número positivo por un número negativo es igual a un número negativo.

De esta manera definimos:

-b/a = -(b/a), donde a y b son positivos

b). ¿A qué es igual a/-b, donde a y b son positivos? Por la propiedad de toda división deberíamos tener:

a/-b = c entonces a = (-b)xc, y como a es positivo, entonces c debería ser negativo por la definición hecha anteriormente “un número negativo por un número negativo es un número positivo”

Luego definimos: a/-b = -(a/b)

 ¿Cómo se tendría que definir la suma?

a). ¿A qué es igual a + (-b) donde a y b son positivos y b > a? A través de la situación física del proyectil, hemos convenido que: a + (-b) = - (b-a)

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37 b). ¿A qué es igual a + (-b) donde a y b son positivos y a > b?

A través de la situación física del automóvil descrita anteriormente, hemos aceptado como convención adecuada la siguiente: “la suma de un positivo con un negativo, es equivalente a una resta aritmética, entonces definimos:

a + (-b) = a – b, que por la condición de que a > b, es un número positivo

c) ¿A qué es igual –b +(- c) donde b y c son positivos?

Para ello consideremos la siguiente interpretación de los negativos: un número negativo en contexto de una situación real puede interpretarse como las deudas de una persona, así para simbolizar que una persona debe $3, lo indicamos con – 3 .

Luego si la persona debía b pesos y contrae otra deuda de c pesos, su deuda actual se encontraría sumando a –b la deuda – c , esto es su deuda será de – b +(- c ) y obviamente su deuda total será: - (b + c), un número negativo, así:

- b + (-c) = - (b + c), un número negativo

 Una convención importante en el conjunto de los números reales (positivos y negativos):

En la aritmética escolar de los números reales positivos, se consideran cuatro operaciones básicas: la suma, la resta, la multiplicación y la división.

Cuando la aritmética se extiende a los números reales positivos y negativos, sólo se consideran dos operaciones: la suma y la multiplicación. Nosotros en el tratamiento de esta unidad consideraremos tres operaciones: la suma, la multiplicación y la división; las dos últimas ya hemos visto cómo se definen, nos falta ver cómo la resta se funde con la operación suma

Definición:

Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces a – b = a + (-1xb) Ejemplo: -3 – (-4) = -3 +(-1x(-4)) = -3 + (4) = -(4-3) = -1

Ejercicios de aplicación Realiza las operaciones siguientes

Ejercicio 1 (-3)x4 =

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38 Ejercicio 4 6/5 = Ejercicio 5 24/(-4) = Ejercicio 6 (-8)/24 = Ejercicio 7 6 + (-5)= Ejercicio 8 7 + (-14) = Ejercicio 9 (-6) + 7 = Ejercicio 10 3/8 + (-5/7) = Ejercicio 11 8 – 2(4 – 10) = Para el profesor:

Para corregir las posibles respuestas incorrectas en es conveniente que sigas las reglas:

 Primero: se efectúan las operaciones encerradas

en los signos de agrupación

 Segundo: se realizan las multiplicaciones y

divisiones que aparecen de izquierda a derecha  Tercero: se realizan las sumas que aparecen de

izquierda a derecha.

Tema 2 Las operaciones con los Racionales y su significado contextual

Introducción

El enfoque didáctico de la materia propone como columna vertebral la actividad de resolución de problemas en la adquisición del conocimiento matemático, lo cual implica tu capacidad para llevar a cabo esta actividad.

La actividad de resolución de problemas tiene como condiciones:

a). La capacidad para interpretar relaciones contextuales como operaciones aritméticas.

b). La capacidad para efectuar estas operaciones, capacidad que lograrás eficientemente cuando las reglas tengan sentido para ti, esto es cuando dichas reglas surjan por descubrimiento en el contexto de resolución de problemas. c). La capacidad para analizar relaciones contextuales presentes en el planteamiento de un problema, engarzando unas con otras y traduciendo dichos

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39

engarzamientos como una secuencia de operaciones que te llevarán a resolver el problema

En este tema, desarrollarás dichas capacidades a través de la actividad de resolución de problemas auxiliándote de estrategias llamadas heurísticas

Instruccione s

o Como tarea extra-clase, desarrollarás en forma individual as actividades que se te plantean, registrando tus respuestas en el campo de respuesta individual.

o Ya en clase debes participar en la discusión de tales actividades a fin de que tu actividad individual sea retroalimentada, registrando los consensos a los que se llegue, en el campo de respuesta consensuada.

o Si hay dificultades en la captura de las respuestas, en el archivo, hazlo en papel sin descuidar el registro de la actividad a la que respondes.

Sub-tema 1 Resolución de problemas con una sola operación

Aprendizajes

El alumno:

a) El alumno operará correctamente la suma, resta, división de fracciones.

b) Traducirá aritméticamente relaciones contextuales. Actividad 1

Resolución de problemas que llevan a una suma o resta y las estrategias heurísticas: “dibujar un diagrama” “reducir un problema a uno que se sabe resolver”

Instrucciones

Para el alumno: En tu trabajo en casa:

o Lee con cuidado cada problema que se te propone resolver tratando de seguir las sugerencias que se te hacen para su resolución.

Resuelve los problemas siguientes: Problema 1

Dos varillas se soldarán una tras otra. Una de ellas mide 3/5 de metro y la otra 5/8 de metro. ¿Cuál será la longitud de la varilla resultante?

(40)

40 Conocimient os y habilidades que se pretende generar

 Traducción de una relación contextual como una suma

 Regla para la suma de dos fracciones con distinto denominador

 Promover la habilidad para la generalización

 Promover la habilidad para la inversión de un tren de pensamiento

Sugerencias heurísticas

Para la comprensión del problema:  ¿cuál es la incógnita?

 ¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en otras palabras: ¿qué condición debe satisfacer la incógnita?

Para la elaboración de un plan de resolución:

 Plantéate un problema más sencillo. Por ejemplo: cambie los datos (sin cambiar de su representación como fracciones) por otros que sepa operar y vea si esto le es útil para resolver el problema planteado.

Para la etapa de retrospección:

 Inventa y resuelve un problema análogo al anterior

 En la operación que empleaste, considera uno de los datos como la incógnita y toma como datos el resultado de la operación y el otro dato, ¿cómo encuentras esta nueva incógnita?

Respuesta individual

Respuesta consensuada

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41 ¿qué se hace para sumar dos fracciones? Respuesta consensuada: Problema 2

Una pipa llena una alberca (originalmente vacía) a 3/7 de su capacidad. Posteriormente se abre el desagüe y vacía los 2/5 de su capacidad. ¿Qué parte de la capacidad queda?

Conocimient os y habilidades que se pretende generar

 Traducción de una relación contextual como una resta

 Regla para la resta de dos fracciones con distinto denominador

 Para la comprensión del problema: ¿cuál es la incógnita?

¿cómo está relacionada la incógnita con los datos? o en otras palabras: ¿qué condición debe satisfacer la incógnita?

 Para la elaboración de un plan de resolución:

Plantéate un problema más sencillo. Por ejemplo: cambie los datos (sin cambiar de su representación como fracciones) por otros que sepa operar y vea si esto le es útil para resolver el problema planteado.

 Para la etapa de retrospección:

a) Inventa y resuelve un problema análogo al anterior

b) En la operación que empleaste, considera uno de los datos como la incógnita y toma como datos el resultado de la operación y el otro dato, ¿cómo encuentras esta nueva incógnita?

Respuesta individual

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42 Respuesta consensuada Conclusión ¿qué se hace para restar dos fracciones? Respuesta individual Respuesta consensuada Problema 3

Un campesino siembra el primer día 800 m2_{y el segundo}

3000000 cm2_{, ¿cuántos metros cuadrados sembró en los dos}

días? Conocimient

os que se pretende generar

 Traducción de una relación contextual como una suma  Condición que deben satisfacer los datos para ser sumados  Promover la habilidad para la generalización

 Para la elaboración de un plan de resolución: ¿Hay que modificar los datos?

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43

Respuesta individual Respuesta consensuada

Problema 4 Rosario se comió 1/3 de un pastel y Guadalupe 2/5 partes del mismo pastel, ¿Qué parte del pastel comieron entre las dos? Conocimient os y habilidades que se pretende generar o consolidar

 Consolidar la regla para sumar fracciones con distinto denominador

 Para la elaboración de un plan de resolución: ¿Hay que modificar los datos?

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44

Problema 5 Rubén tiene $2350 y Armando $1500. ¿En cuánto excede lo que tiene Rubén a lo que tiene Armando?

Conocimient os que se pretende generar

La relación exceso como una resta

 Para la ejecución del plan de resolución: Checa la corrección de cada paso que das  Para la etapa de retrospección:

Respuesta individual Respuesta consensuada Problema 6

Una planta tiene una altura de 28/5 de metro, al transcurrir una semana su altura alcanza los 27/3 de metro. ¿cuánto creció esa semana? Conocimient os y habilidades que se pretende generar o consolidar

 Consolidar la regla para sumar fracciones con distinto denominador

Promover la habilidad para la inversión de un tren de pensamiento

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45 ¿cuál es la incógnita?

Problema 7 La velocidad de un móvil pasa de 120 km/hora a 90 km /hora. ¿En cuánto disminuyó su velocidad?

Conocimient os y habilidades que se pretende generar o consolidar

 Traducción de una relación contextual como una resta  Promover la habilidad para la generalización