Capitulo 3 Modelo RBC con solución analítica

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Modelo RBC con soluci´

on anal´ıtica

Hamilton Galindo galindo [email protected] 31 de mayo de 2017

´

_Indice

1. Introducci´on 2

2. Construcci´on del modelo 2

2.1. Funci´on de utilidad . . . 2

2.2. Familias . . . 4

2.3. Empresas . . . 8

2.4. Equilibrio de mercado y definici´on del choque . . . 10

2.5. Ecuaciones principales . . . 11

3. Calibración 11 4. Estado estacionario 12 5. Linealización vs Log-linealización 17 5.1. Linealización (variable en niveles) . . . 17

5.2. Linealizaci´on (variables en logar´ıtimo) o Log-linealizaci´on . . . 20

6. Soluci´on del sistema lineal 29 6.1. M´etodo anal´ıtico . . . 29

6.2. M´etodo de Blanchard y Kahn . . . 33

7. Representaci´on de serie de tiempo 48

8. Funciones impulso-respuesta 50

9. Simulaci´on de las variables end´ogenas 61

10.Componente c´ıclico de las variables simuladas 62

11.C´alculo de los momentos te´oricos 63

12.Comparaci´on modelo te´orico con los datos 64

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1. Introducci´

on

El objetivo de este cap´ıtulo es ilustrar en profundidad cada uno de los pasos en la construcci´on de un modelo RBC. Con este fin en mente, estudiar un modelo sencillo (toy model) es una ventaja. Para ello este cap´ıtulo se basa en el modelo desarrollado por Long y Plosser (1983) y Plosser (1989).

El modelo propuesto por Long y Plosser (1983) busca capturar las dinámicas de diver-sos sectores económicos y sus comovimientos entre ellos ante un choque de productividad. De otro lado, el modelo propuesto por Plosser (1989) es un modelo unisectorial. Ambos modelos tienen dos supuestos subyacentes. La primera es que se asume que los bienes son perecibles y duran un solo periodo; es decir, el capital se deprecia totalmente. La segunda es que las preferencias son aditivas y están expresadas como el logaritmo del consumo y el logar´ıtmo del ocio.

Estos dos supuestos tienen importantes efectos en la solución del modelo. En primer lugar permite que el modelo sea resuelto anal´ıticamente; es decir, se puede encontrar un solución exacta amano y papel. La segunda es que la función de pol´ıtica del trabajo sugiere que esta variable no reacciona ante el capital ni ante el choque de productividad; es decir, siempre se mantiene en estado estacionario. Esto se debe a que el efecto de la tasa de interés sobre el consumo es nulo porque el efecto sustitución e ingreso se contrarestan totalmente entre ellos.

2. Construcci´

on del modelo

Este modelo esta basado en Long y Plosser (1983, 1989) y tiene solución anal´ıtica; es decir, se puede resolver directamente por medio de operaciones algebraicas. Esto se debe a dos supuestos: depreciación total y utilidad logar´ıtmica (en consumo y ocio). Además, este modelo se basa en los siguientes supuestos: en la econom´ıa existen dos agentes económicos (familias y empresas), de las cuales las familias son dueñas del capital y las empresas se desarrollan en un ambiente de competencia perfecta tanto en el mercado de bienes y como en el de factores.

Además, se asume que la econom´ıa es cerrada, lo cual implica que el ahorro sea igual a la inversión. Finalmente, en esta econom´ıa, la única fuente de incertidumbre proviene por el lado de la oferta, en particular se asume un choque de productividad. La figura [1] esquematiza la interacción entre las familias y las empresas y los mercados en que ellos participan.

2.1. Funci´on de utilidad

Antes de describir en detalle el modelo es importante entender el rol que tiene las formas funciones de la función de utilidad en la construcción del modelo de equilibrio general. King et. al. (1988) imponen dos restricciones sobre las preferencias (función de utilidad) que permiten que el estado estacionario sea compatible con un equilibrio competitivo óptimo: La elasticidad de sustitución intertemporal del consumo debe ser invariante a la escala del consumo.

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Figura 1: Esquema del modelo de Long y Plosser (1983, 1989) Familias Empresas 𝑘𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑘𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑦𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 Mercado de capital (competencia perfecta) Mercado de bienes (competencia perfecta) Economía cerrada ℎ𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 ℎ𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 Mercado de trabajo (competencia perfecta) - Utilidad logarítmica - Depreciación total Choque a la productividad

El efecto ingreso y sustituci´on asociadas con el crecimiento en la productividad laboral no debe alterar la oferta de trabajo.

La funci´on de utilidad que cumple estas dos restricciones es:

u(c, l) =    1 1−σc 1−σ v(l), si σ >0 y σ 6= 1 ln(c) +v(l), si σ= 1

Donde c es consumo yl es ocio; σ es la elasticidad de sustitución del consumo (inva-riante a la escala del consumo) y v(l) es una función del ocio. Según King et. al. (1988), un caso particular de esta función de utilidad es cuandov(l) =θln(l):

u(c, l) =ln(c) +θln(l) (1)

Adem´as, en la literatura de los modelos RBC aparecen otras funciones de utilidad, en las cuales se considera queltes el ocio,htes el trabajo y que se cumple la siguiente relaci´on

entre ambas: lt+ht = 1, donde el tiempo disponible por la familia, que usualmente son

24 horas, se ha normalizado a 1. A continuaci´on se mencionan otras funciones de utilidad usual en la literatura:

Hansen(1985):

u(ct, lt) =ln(ct) +Blt (2)

Greenwood, et. al. (1989):

u(ct, ht) = 1 1−γ ct− h1+_t θ 1 +θ 1−γ −1 (3)

(4)

Campbell (1994): trabajo fijo (se usa en el cap´ıtulo 4)

u(ct, ht) =

c1_t−γ

1−γ (4)

Campbell (1994): trabajo variable (se usa en el cap´ıtulo 5)

u(ct, ht) =ln(ct) +θ

(1−ht)1−γn

1−γn

(5)

Long y Plosser (1983) y Plosser (1989):

u(ct, ht) =ln(ct) +θln(1−ht) (6)

La función de utilidad de la ecuación (6) se obtiene considerandoγn= 1 en la función

de utilidad (5). Esta es la función de utilidad que Long y Plosser (1983) consideran en su modelo. Cabe resaltar dos ideas: la primera es que θ es la participación del ocio en todo el tiempo que dispone la familia representativa. La segunda es que cada función de utilidad tiene un nivel diferente deelasticidad de Frisch1 y de elasticidad de sustitución intertemporal del consumo (ESIc).

2.2. Familias

Uno de los principales supuestos de los modelos RBC es que las familias presentes en la econom´ıa son todas idénticas. Ese decir, sus preferencias y restricciones son similares. Este supuesto permite analizar el comportamiento de las familias por medio del estudio de un agente representativo (una familia que represente a todas), y permtie realizar la agregación de las familias de manera sencilla. En el modelo de Long y Plosser se considera el supuesto del agente representativo, el cual maximiza una función de utilidad descontada:

Max {ct,ht,kt+1}∞t=0 E0 ∞ X t=0 βtu(ct, ht) (7)

Dondectes el consumo del periodotyβes el factor de descuento, el cual est´a expresado

de la siguiente manera:

β = 1

1 +ρ

Dondeρ refleja la impaciencia del agente representativo. Mientras más impaciente sea la familia más grande seráρy por tantoβ será menor. Es decir, el individuo valora menos a las utilidades futuras. Siρ= 0 significa que la familia es totalmente paciente y por tanto

β = 1, lo cual indica que la familia brinda la misma valoración a la utilidad de hoy que la utilidad de mañana. Este análisis se aprecia mejor en el cuadro [1] considerando que el valor presente de la función de utilidad se expresa de la siguiente manera:

∞

X

t=0

(5)

Cuadro 1: Efecto de la impaciencia en el factor de descuento Impaciencia ρ Efecto en β P∞ t=0βtu(ct, ht) Valoraci´on Impaciencia nulaρ= 0 β = 1 u(c0, h0) + u(c1, h1) + u(c2, h2) +...

La familia brinda la misma valora-ci´on a la utilidad a traves del tiem-po. Poca impaciencia ρ= 1 β = 1/2 u(c0, h0) + 1₂u(c1, h1) + 1 4u(c2, h2) +...

La familia brinda más valoración a la utilidad de hoy que en el futuro: la valoración a la utilidad de hoy es 1, mientras que a la utilidad ent= 1 es 0.5 y en t= 2 es 0.25. Mayor impaciencia ρ= 2 β = 1/3 u(c0, h0) + 1₃u(c1, h1) + 1 9u(c2, h2) +...

La familia brinda más valoración a la utilidad de hoy que en el futu-ro: la valoración a la utilidad de hoy es 1, mientras que a la utilidad de mañana lo valora con 0.33 y en “t= 2” es 0.11. Impaciencia total ρ=∞ β = 0 u(c0, h0) + 0u(c1, h1) + 0u(c2, h2) +...

La familia brinda toda la valoraci´on a la utilidad de hoy. No valora nada consumir en el futuro.

Considerando la forma funcional de la función instántanea de utilidad según la ecuación (6), la función objetivo a maximizar ser´ıa:

Max {ct,ht,kt+1}∞t=0 E0 ∞ X t=0 βt ln(ct) +θln(1−ht)

La maximización de esta función objetivo está sujeta a dos restricciones: la restricción presupuestaria y la ley de movimiento del capital, las cuales se describen a continuación. Restricción presupuestaria: por un lado, la familia percibe sus ingresos del alquiler del capital kt a las empresas a una tasa de interés real rt. Además, las familias forman

parte del mercado de trabajo donde ofrecen mano de obra ht a un salario real wt. Ambos

ingresos se observan en cada periodo y son iguales a: rtkt+wtht.

Por otro lado, la familia destina sus ingresos a bienes de consumocty al ahorro que, en

econom´ıa cerrada, es igual a la inversi´on it. Por tanto, uniendo los ingresos y los egresos,

la restricci´on presupuestaria de la familia representativa es:

1_{La elasticidad de Frisch es la elasticidad de la oferta de trabajo manteniendo constante el efecto ingreso.}

(6)

ct+it=rtkt+wtht (8) Ley de movimiento del capital: por cuentas nacionales se sabe que la inversión neta es igual a la inversión bruta menos la depreciación:

Ineta = Ibruta−Depreciaci´on (9)

kt+1−kt = it−δkt

kt+1 = (1−δ)kt+it (10)

A la ecuación (10) se le conoce como la ley de movimiento de capital, la cual describe el comportamiento del stock de capital. Cabe mencionar que esta ecuación supone que el stock de capital se deprecia en un porcentaje δ (usualemente 2.5 % trimestral) en cada periodo. Sin embargo, Long y Plosser (1983) asumieron que la tasa de depreciación es total (δ = 1); es decir, que el capital en cada periodo se deprecia totalmente en ese mismo periodo de tal manera que no queda capital para el siguiente periodo (esto es el supuesto que todos loscommoditiesson perecibles). Aunque el supuesto es muy poco realista, ayuda a eliminar ciertas no linealidades del sistema de ecuaciones. Con este supuesto en mente, la ecuación (10) se convierte en:

kt+1=it (11)

Es decir, el capital ent+ 1 es la inversión que se realiza en “t”. No hay stock de capital, el capital se convierte en un flujo y siempre es igual a los nuevos bienes en cada periodo. Introduciendo la ecuación (11) en la restricción presupuestaria, ecuación (8), se tiene:

ct+kt+1 =rtkt+wtht (12)

Entonces el problema de optimizaci´on de la familia es:

Max {ct,ht,kt+1}∞t=0 E0 ∞ X t=0 βt ln(ct) +θln(1−ht) sujeto a: ct+kt+1 =rtkt+wtht

Construyendo la funci´on de Lagrange:

L=E0 ∞ X t=0 βt u(ct, ht) +λt rtkt+wtht−(ct+kt+1)

Donde la versi´on extendida de la funci´on de Lagrange se puede expresar de la siguiente manera:

(7)

L = E0 β0 u(c0, h0) +λ0 r0k0+w0h0−(c0+k1) + β1 u(c1, h1) +λ1 r1k1+w1h1−(c1+k2) + β2 u(c2, h2) +λ2 r2k2+w2h2−(c2+k3) + β3 u(c3, h3) +λ3 r3k3+w3h3−(c3+k4) + β4u(c4, h4) +λ4 r4k4+w4h4−(c4+k5) + ...+ βt u(ct, ht) +λt rtkt+wtht−(ct+kt+1) + βt+1 u(ct+1, ht+1) +λt+1 rt+1kt+1+wt+1ht+1−(ct+1+kt+2) + ...+ ...

Las condiciones de primer orden, en el periodo “t”, son:

∂L ∂ct = 0 =⇒E0 βt uct +λt(−1) = 0 uct =λt (13) ∂L ∂ht = 0 =⇒E0 βtuht +λt(wt) = 0 uht =−λtwt (14)

Reemplazando la ecuaci´on (13) en la ecuaci´on (14) se obtiene la oferta de trabajo:

uht = −λtwt − θ 1−ht = −1 ct wt θ 1−ht = wt ct (15) De otro lado, la condici´on de primer orden con respecto al capital kt+1 es:

∂L ∂kt+1 = 0 =⇒E0 βt λt(−1)] +βt+1 λt+1(rt+1) = 0 λt=βEtλt+1(rt+1) (16)

Reemplazando le ecuación (13) en la ecuación (16) se obtiene la ecuación de Euler:

uct = βEtuct+1(rt+1) 1 ct = βEt 1 ct+1 (rt+1) (17)

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2.3. Empresas

Función de producción: se asume que existe un solo bien final en la econom´ıa y es producido por una función de producción neoclásica f(at, kt, ht). La función de

produc-ción Cobb-Douglas cumple con las caracter´ısticas de una función neoclásica y describe razonablemente bien la producción de un pa´ıs.

yt=f(at, kt, ht) =atk1t−αhαt (18)

Donde kt es el stock de capital predeterminado (elegido en el periodo “t-1”) y ht es

el insumo trabajo. Adem´as, la variable at hace referencia a la productividad; el cual se

supone que se comporta de manera estoc´astica y es expresado por un AR(1).

Una caracter´ıstica importante de la función Cobb-Douglas es que la participación de cada uno de los factores en la renta total es constante e igual a los exponentes de cada factor en la función de producción. Como se sabe en competencia perfecta (supuesto cla-ve en los moldelos RBC), el alquiler del capital es igual a la productividad marginal del capital; es decir:rt= (1−α)y_kt_t. De igual forma para el trabajo:wt=αy_ht_t.

La renta destinada al pago del capital y del trabjo esrtkt y wtht respectivamente. Al

considerar que la producci´on representa toda la renta de un pa´ıs entonces, la proporci´on de la renta orientada al pago del capital con respecto a la renta total es rtkt/yt:

rtkt yt = (1−α)yt kt kt yt = (1−α) (19)

De igual forma calculando la proporci´on de la renta total orientada al pago del trabajo:

wtht yt =αyt ht ht yt =α (20)

La ecuación (19) y (20) indican que la participación del capital en la renta es igual a “1−α”, y la participación del trabajo en la renta es “α”. Ambas participaciones son constantes e iguales a los exponentes de los factores en la función de producción. Esto sugiere que se podr´ıa obtener el valor de “α” mediante las cuentas nacionales, lo cual ser´ıa en los términos de los modelos RBC una calibración del parámetro α. En el cap´ıtulo 1 se observa que el promedio de la participación del trabajo en el ingreso nacional entre 1948 y 2014 para la econom´ıa norteamericana es igual a 66.3 %. Esto sugiere queα podr´ıa tomar dicho valor.

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Caracter´ısticas de la función de producción neoclásica

Para que una función de producción f(at, kt, ht) sea considerada neoclásica debe de tener

tres caracter´ısticas (Barro y Sala-i-Martin, 2009):

1. Rendimientos a escala constante:la funci´onf(at, kt, ht) debe de mostrar

rendi-mientos a escala constante; es decir, si multiplicamos el capital y el trabajo por una constante λ, el producto queda multiplicado por esa misma constante.

f(at, λkt, λht) =λf(at, kt, ht) (21)

2. Rendimientos positivos y decrecientes: la función de producción neoclásica presenta productos marginales positivos y decrecientes en cada factor de producción.

Rendimientos positivos : ∂f(·) ∂kt >0, ∂f(·) ∂ht >0 Rendimientos decrecientes : ∂ 2_f₍_·₎ ∂k2 t <0, ∂ 2_f₍_·₎ ∂h2 t <0

3. Condiciones de Inada: estas condiciones indican que el producto marginal del capital tiende a infinito cuando el capital tiende a cero y tiende a cero cuando el capital tiende a infinito. La misma condición se cumple para el trabajo. En términos matemáticos estas condiciones se expresan como:

Capital : Lim kt→0 ∂f(·) ∂kt =∞, Lim kt→∞ ∂f(·) ∂kt = 0 Trabajo : Lim ht→0 ∂f(·) ∂ht =∞, Lim ht→∞ ∂f(·) ∂ht = 0

La optimización: las empresas se desenvuelven en un contexto de competencia perfecta en el mercado de bienes y en el mercado de factores (trabajo y capital). Ellas maximizan su función de beneficos considerando su tecnolog´ıa, la cual se asume tiene la forma funcional Cobb-Douglas. En este modelo las empresas deciden cuanto capital alquilar y cuanto trabajo (en horas) contratar. Por tanto, las dos variables de optimización son: capitalkt

y trabajo ht.

Max {kt,ht}∞t=0

Πt=yt−(rtkt+wtht)

Sujeto a la funci´on de producci´on:

yt=atkt1−αh α

t (22)

Cabe mencionar que debido a que la empresa no enfrenta una restricción dinámica, la empresa maximiza los beneficios en cada momento del tiempo. Por ello el problema de optimización es estático. Para resolver este problema se introduce la función de producción en la función objetivo:

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Max {kt,ht}∞t=0

Πt=atkt1−αhαt −(rtkt+wtht) (23)

Derivando esta expresi´on, ecuaci´on (23), con respecto al capital kt:

∂Π ∂kt = 0 =⇒ ∂(atk 1−α t hαt −rtkt) ∂kt = 0 =⇒(1−α)atkt−αhtα−rt= 0

De esta condici´on de primer orden se obtiene la demanda de capital:

rt = (1−α)at ht kt α rt = (1−α)at hα_t kα_t rt = (1−α)athαtkt−α kt kt rt = (1−α)athαtk1 −α t 1 kt rt = (1−α) yt kt (24) Derivando la ecuaci´on (23) con respecto al trabajoht:

∂Π ∂ht = 0 =⇒ ∂(atk 1−α t hαt −rtkt−wtht) ∂ht = 0 =⇒αatkt1−αhtα−1−wt= 0

De esta condici´on de primer orden se obtiene la demanda del trabajo:

wt = αat kt ht 1−α wt = αat k_t1−α h1_t−α wt = αat k_t1−αhα_t ht wt = α yt ht (25)

2.4. Equilibrio de mercado y definici´on del choque

Para cerrar el modelo es necesario definir el equilibrio en el mercado de bienes:

yt=ct+it (26)

Adem´as, es necesario definir el comportamiento de la productividad:

lnat=φlnat−1+t (27)

Cabe mencionar que el choque de productividadtse comporta como una distribuci´on

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2.5. Ecuaciones principales

Las ecuaciones principales del modelo se resumen en el cuadro [2]: Cuadro 2: Sistema de ecuaciones no lineal del modelo

Agente Ecuaciones Descripci´on

Familia _c1 t =βEt ₁ ct+1rt+1 Ecuaci´on de Euler

kt+1 =it Ley de movimiento del capital θ

1−ht =

wt

ct Oferta de trabajo Empresa yt=atkt1−αhαt Funci´on de producci´on

rt= (1−α)y_kt_t Demanda del capital

wt=αy_ht_t Demanda de trabajo

Equilibrio yt=ct+it Equilibrio mercado de bienes

Choque lnat=φlnat−1+t Choque de productividad

Es importante mencionar que el sistema de ecuaciones está conformada por: [1] el mercado de capital: oferta de capital representada por la ley de movimiento de capital y la demanda de capital, [2] el mercado de trabajo: oferta de trabajo y la demanda de trabajo, [3] el mercado de bienes: la oferta de bienes representada por la función de producción, la demanda de consumo representada por la ecuación de Euler y la demanda de inversión que está representada por la ley de movimiento de capital; asismimo, este mercado requiere que se haga expl´ıcito su equilibrio por medio de la ecuaciónyt=ct+it, finalmente [4] el choque

de productividad. Todas estas ecuaciones están descritas en el cuadro [2]. Asimismo, es importante verificar que el número de variables sea igual al número de ecuaciones. En este caso existen ocho variables (yt,ct,it,kt,ht,rt,wt yat) y ocho ecuaciones.

3. Calibraci´

on

La calibración puede ser entendida como una forma de estimación por simulación

(Hoover, 1995). Este procedimiento consiste en asignar valores a los parámetros del mode-lo y luego se compara las principales caracter´ısticas de las variables simuladas del modemode-lo calibrado con aquellas provenientes de los datos. En este cap´ıtulo como en el cap´ıtulo 2 la calibración está basada en King y Rebelo (2000), cuyos valores se muestran en el cuadro [3]. Tal como lo menciona Cooley y Prescott (1995), dado que la estructura subyacente a los modelos RBC es un modelo neoclásico de crecimiento, la elección del valor de los parámetros (calibración) y las formas funcionales (por ejemplo: función de utilidad y la ley de movimiento de capital) deber´ıan asegurar que el modelo económico muestre un crecimiento balanceado2_.

2

Se entiende por crecimiento balanceado (balanced growth) a la situación en la cual todos los sectores de una econom´ıa crecen a la misma tasa constante. Esto es similar a la definición de “crecimiento en estado estacionario” (steady-state growth), el cual indica la situación en la cual el producto, capital, trabajo y consumo cambian a la misma tasa. Como la tasa de crecimiento del capital depende de los ahorros, el crecimiento en estado estacionario requiere que la función de ahorros sea estable: la pol´ıtica de endeuda-miento puede promover estabilidad manteniendo la tasa de interés constante. Si la tasa de crecimiento es

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Cuadro3: Calibraci´on

Par´ametro Observaci´on

α= 0.667 Proporci´on de largo plazo del trabajo en el ingreso nacional

θ= 3.968 Calibrado para que el trabajo en estado estacionario sea igual a 20 %

φ= 0.979 Persistencia del choque

β = 0.984 Factor de descuento

σe= 0.0072 Desviaci´on est´andar del choque de productividad

4. Estado estacionario

Al estado estacionario se le conoce como equilibrio de largo plazo donde ∆xt = 0

(para todas las variables del modelo) y que el choque de productividad (εt) toma su

valor promedio (= 0). Además, dada la ecuación de movimiento de la productividad, su valor de estado estacionario es a = 1. Asimismo, las expectativas desaparecen, por ello se le conoce como solución no estocástica. El objetivo es encontrar el valor de estado estacionario en función del conjunto de parámetros del modelo. Para ello es importante considerar los siguientes tres criterios: en primer lugar, colocar todas las ecuaciones del modelo en estado estacionario; es decir, eliminar la temporalidad y las expectativas. En segundo lugar, utilizar las variables que solo dependen de los parámetros del modelo para hallar el estado estacionario de las demás variables. En tercer lugar, tratar de resolver el sistema de ecuaciones en función de ratios; por ejemplo, en lugar de buscar el valor dekss

(capital de estado estacionario) se podr´ıa buscar el valro del ratioyss/kss. Cabe mencionar

que hallar el estado estacionario es un paso previo a la log-linelizaci´on. Para la ecuaci´on de Euler se tiene lo siguiente:

1 ct = βEt 1 ct+1 rt+1 1 css = βEt 1 css rss 1 = βrss rss = 1 β (28)

De la misma manera para la ley de movimiento del capital:

kt+1 = it

kss = iss (29)

Para la oferta de trabajo:

igual a cero, entonces se dice que la econom´ıa está en estado estacionario (stationary state o steady state). Este ultimo es un estado teórico de la econom´ıa en el cual se consume exactamente lo que se produce y reemplaza lo que este consume al final del periodo. Otra forma de enterderlo es cuando una econom´ıa tiene un tamaño de población y stock de capital constante; es decir, la inversión solo es realizada para mantener el stock de capital existente; en otras palabras su steady-state growth es igual a cero (Rutherford,2002; Collin, 2003).

(13)

θ 1−ht = wt ct θ 1−hss = wss css (30) Para la funci´on de producci´on:

yt = atk1t−αhαt

yss = assk1ss−αhαss (31)

Para la demanda de capital:

rt = (1−α) yt kt rss = (1−α) yss kss (32) Considerando la ecuaci´on (28) en la ecuaci´on (32), se tiene el ratio yss

kss en funci´on de par´ametros del modelo:

rss = (1−α) yss kss 1 β = (1−α) yss kss yss kss = 1 β(1−α) (33)

Es una buena estrategia encontrar ratios, especialmente cuando el denominador es el capital. Esto permite que cada variable dependa del capital en estado estacionario, el cual al hallar su valor permite encontrar los valores de las variables restantes.

Para demanda de trabajo:

wt=α yt ht wss=α yss hss (34) Para la ecuaci´on de equilibrio en el mercado de bienes:

yt = ct+it

yss = css+iss (35)

Pero, de la ecuaci´on (29) se sabe que: kss =iss, entonces considerando esta igualdad

(14)

yss = css+iss yss = css+kss yss kss = css kss + 1 css kss = yss kss −1 css kss = 1 β(1−α) −1 (36)

Finalmente para la ecuaci´on de comportamiento de la productividad:

lnat = φlnat−1+t lnass = φlnass+ ss |{z} =0(valor de su media) lnass = φlnass ln(ass) = ln(aφss) ass = aφss (37)

Dos valores de ass podr´ıan resolver esta ´ultima ecuaci´on (37): ass = 1 o ass = 0. Sin

embargo, solo cuando ass= 1, ellnass existe. Por tanto, la soluci´on correcta es ass= 1.

Con el fin de encontrar los estados estacionarios de las dem´as variables es necesario realizar algunas operaciones algebraicas adicionales.

Uniendo la oferta de trabajo, ecuaci´on (30), con la demanda de trabajo, ecuaci´on (34), por medio del salario real se tiene:

θcss 1−hss | {z } oferta de trabajo =wss= α yss hss | {z } demanda de trabajo (38)

(15)

θcss 1−hss = αyss hss θhss 1−hss = αyss css θhss 1−hss = αyss/kss css/kss De la ecuaci´on : (33) y (36) θhss 1−hss = α 1 β(1−α) 1 β(1−α) −1 1−hss θhss = (α−1) 1 β(1−α)−1 1 β(1−α) 1 hss −1 = θ(α−1)(1−β(1−α)) 1 hss = θ(α−1)(1−β(1−α)) + 1 hss = α θ(1−β(1−α)) +α (39)

Dado que ya se tiene el valor de hss, entonces se puede hallar el capital de estado

estacionariokss de la función de producción (ecuación (31)):

yss = aαsskss1−αhαss yss kss = hss kss α de la ecuación (33) : 1 β(1−α) = hss kss α 1 β(1−α) 1/α = hss kss kss = hss 1 β(1−α) −1/α kss = α θ(1−β(1−α)) +α β(1−α)1/α (40) Dado que algunas variables se encuentran expresadas en ratio con respecto al capital, entonces su valor de estado estacionario se puede hallar en función del valor de estado estacionario del capital. De la ecuación (33) se halla el productoyss:

(16)

yss kss = 1 β(1−α) yss = kss 1 β(1−α) yss = α θ(1−β(1−α)) +α β(1−α) 1 α−1 ₍₄₁₎

Haciendo lo mismo en la ecuaci´on (36) se halla el consumocss:

css kss = 1 β(1−α) −1 css = kss 1 β(1−α) −1 css = α θ(1−β(1−α)) +α β(1−α)1/α 1 β(1−α) −1 (42) En la demanda de trabajo, ecuaci´on (34), se sustituyeyss yhss y se obtiene el salario

de estado estacionariowss: wss = α yss hss wss = α α θ(1−β(1−α))+α β(1−α)_α1−1 α θ(1−β(1−α))+α wss = α β(1−α)_α1−1 (43) En el cuadro [4] se resume la expresi´on del estado estacionario de cada variable del modelo.

Cuadro4: Estado estacionario Estado estacionario

(forma recursiva)

Estado estacionario (forma param´etrica) Valores

rss= _β1 = _β1 rss= 1.0163 hss= _θ₍₁₋_β₍₁α₋_α₎₎₊_α = _θ₍₁₋_β₍₁α₋_α₎₎₊_α hss= 0.2 ass= 1 = 1 ass= 1 kss=hss ₁ β(1−α) −1/α = _α θ(1−β(1−α))+α β(1−α)1/α kss = 0.0375 iss=kss = _α θ(1−β(1−α))+α β(1−α)1/α iss= 0.0375 yss=kss ₁ β(1−α) =_θ₍₁₋_β₍₁α₋_α₎₎₊_αβ(1−α) 1 α−1 _y ss= 0.1146 css=kss ₁ β(1−α)−1 =_θ₍₁₋_β₍₁α₋_α₎₎₊_αβ(1−α)1/α_β₍₁1₋_α₎ −1 css= 0.077 wss=α_hyss_ss =α β(1−α)_α1−1 wss= 0.3821

(17)

Como se menciono antes, este modelo est´a basado en la calibraci´on de King y Rebelo (2000). En ese estudio los autores asumen que el trabajo de estado estacionario hss es

igual a 0.2. Bajo esta premisa, el valor del parámetro θ se calcula endógenamente de la expresión de estado estacionario del trabajo, el cual se deriva del modelo. Entonces bajo esta consideración se tiene:

hss = α θ(1−β(1−α) | {z } η ) +α hss = α θη+α Despejandoθ : θη+α = α hss θη = α( 1 hss −1) θ = α 1−hss ηhss (44)

5. Linealizaci´

on vs Log-linealizaci´

on

Un paso importante en el proceso de solución del modelo es linealizar o log-linealizar las ecuaciones del sistema. En estricto la técnica de linealización es única, lo que difere es la naturaleza de la variable, la cual en un caso está considerada en niveles y en otro caso en logar´ıtmo. En términos prácticos se llamará a la primera linealización (variables en niveles) y a la segunda log-linealización (variable en logar´ıtmo). En ambos casos se apróxima cada ecuación del modelo por medio de la expansión de Taylor de primer orden (Dejong y Dave, 2007).

5.1. Linealizaci´on (variable en niveles)

Paso 1:el primer paso consiste en ordenar cada ecuación del sistema de tal manera que el lado derecho de la ecuación sea igual a cero. Luego, el lado izquierdo de la ecuación renombrarla como una función que depende de las variables que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, sea la siguiente expresión una ecuación del modelo:

αxtyt=βyt+θzt (45)

Se ordena los t´erminos al lado izquierdo:

αxtyt−βyt−θzt= 0 (46)

Finalmente renombramos la ecuaci´on como una funci´on:

F(xt, yt, zt) =αxtyt−βyt−θzt= 0 (47)

Paso 2: el segundo paso es aproximar la funci´on [47] por medio de una expansi´on de Taylor de primer orden alrededor del estado estacionario.

(18)

F(xt, yt, zt) = αxtyt−βyt−θzt= 0 F(xt, yt, zt) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂xt |_ss(xt−xss) + ∂F ∂yt |_ss(yt−yss) + ∂F ∂zt |_ss(zt−zss) (48)

Considerando que F(·)|ss = 0 y realizando un cambio de variable: xet = xt −xss; dondex_et es la desviaci´on de la variable (en niveles) con respecto a su estado estacionario.

Aplicando este cambio de variable a la ecuaci´on [48], se tiene:

F(xt, yt, zt) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂xt |_ss(xt−xss) + ∂F ∂yt |_ss(yt−yss) + ∂F ∂zt |_ss(zt−zss) F(xt, yt, zt) ≈ 0 + ∂F ∂xt |_ss(_ext) + ∂F ∂yt |_ss(y_et) + ∂F ∂zt |_ss(z_et) F(xt, yt, zt) ≈ (αyss)xet+ (−β)yet+ (−θ)zet pero : F(xt, yt, zt) = 0 ,entonces... 0 =F(xt, yt, zt) ≈ (αyss)xet+ (−β)yet+ (−θ)zet 0 = (αyss)xet+ (−β)yet+ (−θ)zet αyssxet = βeyt+θzet (49)

La ecuación (49) es la versión lineal de la ecuación (46). Aplicando esta técnica a cada ecuación del sistema no lineal se obtendrá el sistema lineal con las variables en niveles. Para el caso de la ecuación de Euler se tiene:

F(ct, ct+1, rt+1) = 1 ct −βEt rt+1 ct+1 = 0 Extrayendo las expectativas :

EtF(ct, ct+1, rt+1) = Et( 1 ct −βrt+1 ct+1 ) = 0 F(ct, ct+1, rt+1) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂ct |ss(ct−css) + ∂F ∂ct+1 |ss(ct+1−css) + ∂F ∂rt+1 |ss(rt+1−rss) F(ct, ct+1, rt+1) ≈ 0 + − 1 c2 ss e ct+ βrss c2 ss e ct+1+ − β css e rt+1 0 = Et − 1 c2 ss e ct+ βrss c2 ss e ct+1+ − β css e rt+1 0 = − 1 c2 ss e ct+Et βrss c2 ss e ct+1+ − β css e rt+1 1 c2 ss e ct = Et βrss c2 ss e ct+1+ − β css e rt+1 e ct = βEt(rssect+1−cssert+1) (50)

(19)

F(kt+1, it) = kt+1−it= 0 F(kt+1, it) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂kt+1 |ss(kt+1−kss) + ∂F ∂it |ss(it−iss) F(kt+1, it) ≈ 0 + (1)ek_t₊₁+ (−1)eit 0 = ek_t₊₁+ (−1)eit e kt+1 = ei_t (51)

Para la oferta de trabajo, la ecuaci´on linealizada ser´ıa:

F(ht, wt, ct) = θ 1−ht −wt ct = 0 F(ht, wt, ct) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂ht |_ss(ht−hss) + ∂F ∂wt |_ss(wt−wss) + ∂F ∂ct |_ss(ct−css) F(ht, wt, ct) ≈ 0 + θ (1−hss)2 eh_t+ −1 css e wt+ wss c2 ss e ct 0 = θ (1−hss)2 eh_t− 1 csse wt+ wss c2 sse ct 1 csse wt = θ (1−hss)2 eh_t+ wss c2 ss e ct e wt = wss (1−hss) e ht+ θ 1−hsse ct (52)

De manera similar para la funci´on de producci´on:

F(yt, at, kt, ht) = yt−atkt1−αhαt = 0 F(yt, at, kt, ht) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂yt |_ss(yt−yss) + ∂F ∂at |_ss(at−ass) + ∂F ∂kt |_ss(kt−kss) + ∂F ∂ht |_ss(ht−hss) F(yt, at, kt, ht) ≈ 0 + (eyt) + (−k 1−α ss hαss)(eat) + (−(1−α)assk −α ss hαss)(ek_t) + (−αa_ssk_ss1−αhα_ss−1)(eh_t) 0 = yet− yss asse at−(1−α) yss kss e kt−α yss hss e ht e yt = yss asse at+ (1−α) yss kss e kt+α yss hss e ht (53)

Haciendo lo mismo para demanda de capital:

F(rt, yt, kt) = rt−(1−α) yt kt = 0 F(rt, yt, kt) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂rt |ss(rt−rss) + ∂F ∂yt |ss(yt−yss) + ∂F ∂kt |ss(kt−kss) F(rt, yt, kt) ≈ 0 + (1)ert+ −(1−α) kss e yt+ (1−α)yss k2 ss e kt 0 = (1)r_et+ −(1−α) kss e yt+ (1−α)yss k2 ss e kt yss kss e kt = yet− kss 1−αert (54)

(20)

De igual forma para la demanda de trabajo: F(wt, yt, ht) = wt−α yt ht = 0 F(wt, yt, ht) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂wt |_ss(wt−wss) + ∂F ∂yt |_ss(yt−yss) + ∂F ∂ht |_ss(ht−hss) F(wt, yt, ht) ≈ 0 + (1)wet+ ₋ α hss e yt+ αyss h2 ss e ht 0 = wet− α hss e yt+ αyss h2 ss e ht e wt = α hss e yt− αyss h2 ss e ht (55)

Para la ecuaci´on de equilibrio en el mercado de bienes:

F(yt, ct, it) = yt−ct−it= 0 F(yt, ct, it) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂yt |_ss(yt−yss) + ∂F ∂ct |_ss(ct−css) + ∂F ∂it |_ss(it−iss) F(yt, ct, it) ≈ 0 + (1)eyt+ (−1)ect+ (−1)eit e yt = ect+eit (56)

Finalmente para el choque de productividad:

F(at, at−1, t) = lnat−φlnat−1−t= 0 F(at, at−1, t) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂at |_ss(at−ass) + ∂F ∂at−1 |_ss(at−1−ass) + ∂F ∂t |_ss(t−ss) Considerando : ss= 0 F(at, at−1, t) ≈ 0 + 1 asse at+ (− φ ass )_eat−1+ (−1)t 0 = 1 asse at+ (− φ ass )eat−1+ (−1)t 1 asse at = ( φ ass )eat−1+t Dado que : ass= 1 e at = φeat−1+t (57)

El cuadro [5] resume las ecuaciones linealizadas del modelo.

5.2. Linealizaci´on (variables en logar´ıtimo) o Log-linealizaci´on

Es usual considerar la log-linearización del modelo debido a que las variables trans-formadas están expresadas como la desviación porcentual de su estado estacionario. Es decir:

b

(21)

Cuadro5: Sistema de ecuaciones lineal del modelo (Long y Plosser, 1983)

Agente Ecuaciones Descripci´on

Familia _ect=βEt(rssect+1−cssret+1) Ecuaci´on de Euler e

kt+1 =ei_t Ley de movimiento del capital

e wt= ₍₁₋wss_h_ss₎eh_t+₁₋θ_h ssect Oferta de trabajo Empresa yet= yss asseat+ (1−α) yss kssekt+α yss asseht Funci´on de producci´on yss kssekt=yet− kss

1−αert Demanda del capital e wt= α hss e yt− αyss h2 ss e ht Demanda de trabajo

Equilibrio y_et=ect+eit Equilibrio mercado de bienes Choque _eat=φeat−1+t Choque de productividad

En ese contexto, los coeficientes de la soluci´on del sistema lineal se interpretan como elasticidades. Esta t´ecnica fue inicialmente propuesto por King et al (1987) y Campbell (1994).

Para log-linearizar el sistema no lineal se puede aplicar dos formas. La primera es si-guiendo el mismo camino descrito en la sección previa pero con una variante. La forma estándar sugiere que los términos de la ecuación son llevados al lado izquierdo y luego es renombrada por una función (que depende de las variables de la ecuación), para finalmente aplicar una apróximación de esta función por medio de la expansión de Taylor de primer orden. La variante es que primero se tiene que aplicar logar´ıtmo a ambos lados de cada ecuación y luego procurar expresar cada variable en logar´ıtmo; por ejemplo, el consumo

ct est´a en niveles, para que est´e en logar´ıtmo se puede hacer lo siguiente: elnct.

La segunda forma es propuesta por Uhlig (1997), la cual es mucho más práctica. La propuesta de Uhlig (1997) consiste en reemplazar cada una de las variables por su log-desviación (xt =xssebxt) y luego considerar tres propiedades de aproximación, las cuales

se mencionan mas adelante.

Cabe mencionar que para el modelo de este cap´ıtulo en particular ambas formas de log-linealizar no representan diferencia en esfuerzo. La propuesta de Uhlig (1997) gana mayor importancia en cuanto a practicidad a medida que el modelo es más complejo. Por ejemplo, el modelo del cap´ıtulo 5 hacia adelante puede ser log-linealizado rápidamente y con poco esfuerzo por medio de la técnica de Uhlig en comparación con el camino estándar. Método estándar: debido a los supuestos del modelo de Long y Plosser (1983), algu-nas ecuaciones no requeriran una apróximación de Taylor de primer orden sino que será sencillo obtener la ecuación expresada en log-desviaciones. En estos casos bastará colocar la ecuación en logar´ıtmo y restar la ecuación en estado estacionario. Dichas ecuaciones son: la ley de movimiento del capital, la función de producción, la demada de capital, la demanda de trabajo y la productividad. Para el caso de la ecuación de Euler, la oferta de trabajo y la ecuación de equilibrio del mercado de bienes s´ı se requiere aplicar la

(22)

expan-sión de Taylor. Claramente, a medida que el modelo sea más complejo la aplicación de la expansión de Taylor será más requerida.

Para la ecuación de Euler se tiene lo siguiente: en primer lugar se toma logar´ıtmos en ambos lados de la ecuación (ecuación (58)), luego se lleva todos los elementos de esta ecuación a la lado izquierdo y se renombra como una función de las variables endógenas que aparecen en esta ecuación. En este caso en particular la función es f(lnrt+1, lnct+1, lnct).

1 ct = βEt rt+1 ct+1 ln 1 ct = Etln βrt+1 ct+1 (58) −lnct = Et[lnβ+lnrt+1−lnct+1] Et[lnβ+lnrt+1−lnct+1] +lnct = 0 F(lnrt+1, lnct+1, lnct) = Et[lnβ+lnrt+1−lnct+1+lnct] = 0 F(lnrt+1, lnct+1, lnct) = 0 (59)

El paso siguiente es aproximar la funci´on “F(·)” por medio de una expansi´on de Taylor de primer order. F(lnrt+1, lnct+1, lnct) ≈ Et F(·)|ss+ ∂F ∂lnrt+1 |ss(lnrt+1−lnrss) + ∂F ∂lnct+1 |ss(lnct+1−lncss) + ∂F ∂lnct |ss(lnct−lncss) F(yt, ct, it) ≈ Et 0 + (1)(lnrt+1−lnrss) + (−1)(lnct+1−lncss) + (1)(lnct−lncss) F(yt, ct, it) ≈ Et b rt+1−bct+1+bct b ct = Et b ct+1−brt+1 (60) Con respecto a la ley de movimiento del capital se procede de la misma manera que

en la ecuaci´on de Euler excepto que no es necesario aplicar la aproximaci´on de Taylor.

kt+1 = it lnkt+1 = lnit lnkss = lniss lnkt+1−lnkss = lnit−lniss b kt+1 = bit (61)

(23)

θ 1−ht = wt ct ln θ 1−ht = lnwt ct lnθ−ln(1−ht) = lnwt−lnct (62) lnθ−ln(1−hss) = lnwss−lncss (63) (62) −(63) : −ln(1−ht) +ln(1−hss) = lnwt−lnct−lnwss+lncss ordenando : −ln(1−ht) +ln(1−hss) = (lnwt−lnwss)−(lnct−lncss) −ln(1−ht) +ln(1−hss) = wbt−bct (64)

Para que la ecuación (64) esté totalmente log-linealizada falta expresar el trabajo como su log-desviación de su estado estacionario. Para ello se hará lo siguiente:

ln(1−ht) =ln(1−elnht)

Esta expresi´on se aproxima por medio de la expansi´on de Taylor de primer orden:

g(lnht) =ln(1−elnht) ≈ g(·)|ss+ ∂g ∂lnht |_ss(lnht−lnhss) ln(1−elnht₎ ≈ ln(1−elnhss) + ₋ elnht 1−elnht (lnht−lnhss) ln(1−elnht₎ ≈ ln(1−hss)− hss 1−hss (lnht−lnhss) ln(1−elnht₎ ≈ ln(1−hss)− hss 1−hss b ht (65)

Reemplazando la ecuaci´on (65) en (64) se obtiene la expresi´on log-lineal de la oferta de trabajo. −ln(1−ht) +ln(1−hss) = wbt−bct −ln(1−hss) + hss 1−hss bh_t+ln(1−h_ss) = b wt−bct hss 1−hss b ht = wbt−bct (66)

Para obtener la forma log-lineal de la función de producción basta con aplicar logar´ıtmo a la función de producción y luego evaluarla en sus estado estacionario para finalmente restar ambas ecuaciones.

(24)

yt = atk1t−αhαt

lnyt = lnat+ (1−α)lnkt+αht (67)

lnyss = lnass+ (1−α)lnkss+αhss (68)

(67)−(68) :

lnyt−lnyss = lnat−lnass+ (1−α)lnkt−(1−α)lnkss+αht−αhss b

yt = bat+ (1−α)bkt+αbht (69)

La demanda de trabajo sigue los mismos pasos que la funci´on de producci´on.

wt = α yt ht lnwt = lnα+lnyt−lnht (70) lnwss = lnα+lnyss−lnhss (71) (70) −(71) : lnwt−lnwss = lnyt−lnyss−lnht+lnhss b wt = byt−bht (72)

Con respecto a la demanda del capital se obtiene:

rt = (1−α) yt kt lnrt = ln(1−α) +lnyt−lnkt (73) lnrss = ln(1−α) +lnyss−lnkss (74) (73)− (74) : lnrt−lnrss = lnyt−lnyss−lnkt+lnkss b rt = ybt−bkt (75)

Para la ecuaci´on de equilibrio de mercado se tiene:

yt = ct+it

lnyt = ln(ct+it)

lnyt−ln(ct+it) = 0 (76)

Debido a que se desea que las variables esten expresadas en logar´ıtmo se realiza el siguiente artificio: cada variable xt se expresa como elnxt. Aplicando este artificio a la

ecuaci´on (76):

lnyt−ln(ct+it) = 0

lnyt−ln(elnct +elnit) = 0

(25)

Apr´oximandoF(yt, ct, it) por medio de la expansi´on de Taylor de primer orden se tiene: F(yt, ct, it) ≈ F(·)|ss+ ∂F ∂lnyt |ss(lnyt−lnyss) + ∂F ∂lnct |ss(lnct−lncss) + ∂F ∂lnit |ss(lnit−lniss) F(yt, ct, it) ≈ 0 + (1)(lnyt−lnyss) + −elncss elncss ₊_elniss(lnct−lncss) + −elniss

elncss₊_elniss(lnit−lniss)

≈ _byt− css css+issb ct− iss css+iss bit ≈ _byt− css yssb ct− iss yss bi_t b yt ≈ css yssb ct+ iss yss bit (78)

Finalmente para la ecuaci´on de productividad.

lnat = φlnat−1+t

Se sabe : lnass= 0

lnat−lnass = φlnat−1−φlnass+t b

at = φbat−1+t (79)

M´etodo de Uhilg (1997): se define xbt como la log-desviaci´on de la variable xt con respecto a su valor de estado estacionario (xss):

b

xt=ln(xt)−ln(xss) (80)

De lo anterior se obtiene:

xt=xssebxt (81)

Adem´as, se sabe que para peque˜nas desviaciones del estado estacionario se cumple que: 1era propiedad :exbt ≈1 +

b

xt (82)

Esta primera propiedad se obtiene al aplicar una aproximaci´on de Taylor de primer orden, la cual se explica a continuaci´on.

Aproximaci´on de Taylor (1er orden): aproximar la funci´on f(x_bt) alrededor de su estado

estacionariox_bss: f(x_bt)≈f(xbss) + f0(x_bss) 1! (bxt−bxss) + f00(x_bss) 2! (bxt−xbss) 2₊_...

Considerando una aproximaci´on de 1er orden:

f(xbt)≈f(xbss) +

f0(xbss)

(26)

Sif(x_bt) =ebxt, entonces (sabiendo que b xss= 0, porque bxt=xt−xss): ebxt ≈ ebxss +ebxss( b xt−bxss) ebxt ≈ 1 + ( b xt−bxss) ebxt ≈ 1 + b xt

Dos propiedades adicionales son importantes:

2da propiedad : x_btybt≈0 (83)

2da propiedad : Et[aexbt+1] =E

t[axbt+1] +a (84) Aplicando estas propiedades se procede a log-linealizar el sistema descrito en el cuadro [3]:

Para la ecuaci´on de Euler:

c−_t1 = βEtc−_t₊₁1 rt+1 cssebct−1 = βE t cssebct+1−1r sserbt+1 e−bct = E te−bct+1ebrt+1 e−bct = E te−bct+1+brt+1 1−_bct = Et 1−_bct+1+brt+1 b ct = Et b ct+1−rbt+1 (85) La ley de moviento de capital en su forma log-lineal quedar´ıa:

kt+1 = it kssebkt+1 = issebit kss(1 +bk_t₊₁) = i_ss(1 +bi_t) kss+kssbk_t₊₁ = i_ss+i_ssbit kssbk_t₊₁ = i_ssbit como : kss=iss b kt+1 = bi_t (86)

Para la oferta de trabajo:

θ 1−ht = wt ct Recordando : 1−ht=lt θ lt = wt ct θ lsseblt = wsse b wt cssebct e−blt ₌ _ewbt−bct 1−bl_t = 1 +w_b_t−_bc_t b lt = bct−wbt (87)

(27)

Para terminar de obtener la oferta de trabajo en su versi´on log-lineal es necesario obtener la relaci´on log-lineal entre el ociolt y el trabajoht:

lt= 1−ht

Log-linealizando esta expresi´on:

lt = 1−ht lsseblt = 1−hssebht lss(1 +bl_t) = 1−h_ss(1 +bh_t) lss+lssbl_t = 1−h_ss−h_ssbh_t lssbl_t = −h_ssbh_t b lt = − hss lss bh_t b lt = − hss 1−hss bh_t (88)

Introduciendo (88) en (87) se obtiene la oferta de trabajo log-lineal:

b lt = bct−wbt − hss 1−hss b ht = bct−wbt hss 1−hss b ht = wbt−bct (89)

Haciendo lo mismo para la funci´on de producci´on:

yt = atk1t−αhαt yssebyt = a ssebatk ssebkt 1−α hssebht α yssebyt = a ssebatk1−α ss e(1 −α)bkt_hα sseα bht ebyt = ebat+(1−α)bkt+αbht 1 +y_bt = 1 +bat+ (1−α)bkt+αbht b yt = bat+ (1−α)bkt+ +αbht (90)

(28)

rt = (1−α) yt kt rsserbt = (1−α) ysseybt kssebkt rsserbt = (1−α) yssebyt−bkt kss erbt = eybt−bkt 1 +_brt = 1 +byt−bkt b rt = byt−bkt (91)

Para la demanda de trabajo

wt = α yt ht wssewbt = αysse b yt hssebht ewbt = e b yt ebht ewbt = eybt−bht 1 +wbt = 1 +ybt−bht b wt = byt−bht (92)

En el equilibrio de mercado de bienes:

yt = ct+it yssebyt = c ssebct +i ssebit yss(1 +ybt) = css(1 +bct) +iss(1 +bit) yss+yssybt = css+cssbct+iss+issbit yssybt = cssbct+issbit b yt = css yssb ct+ iss yss bit (93)

Finalmente, la ecuaci´on de la productividad:

lnat = φlnat−1+t lnassebat = φlna ssebat−1+ t lnass+bat = φlnass+φbat−1+t b at = φbat−1+t (94)

El cuadro [6] resume las ecuaciones log-lineal del modelo obtenidas por las dos formas (m´etodo est´andar o la propuesta de Uhilg):

(29)

Cuadro6: Ecuaciones log-lineal Ecuaciones log-lineal Descripci´on [1] bct=Et b ct+1−brt+1 Ecuaci´on de Euler

[2] bk_t₊₁ =bit Ley de movimiento del capital

[3] hss 1−hssbht=wbt−bct Oferta de trabajo [4] y_bt=bat+ (1−α)bkt+αbht Funci´on de producci´on [5] brt=byt−bkt Demanda de capital [6] wbt=ybt−bht Demanda de trabajo [7] y_bt= c_yss_ssbct+ iss

yssbit Equilibrio en el mercado de bienes [8] bat=φbat−1+t Choque de productividad

Nota:Para obtener directamente la soluci´on del modelo con Dynare se puede utilizar el mod “Long Plosser Dynare lineal log.mod” del cap´ıtulo 2.

6. Soluci´

on del sistema lineal

La solución del sistema lineal consiste en encontrar las funciones de pol´ıticas; es decir, las variables de control en función de las variables de estado y variables exógenas. En este modelo la variable de estado es el capitalkt y la variable exógena es la productividad at.

La idea es encontrar, por ejemplo, para el consumo:

b

ct=ηckbk_t+η_ca_ba_t

De manera similar para todas las variables endógenas: y_bt, bct, bit, kbt+1, bht, wbt y brt. En la literatura existe varias formas de resolver el sistema de ecuaciones en diferencias estocásticas. Dejong y Dave (2007) sugieren que al menos cuatro métodos son usuales: método de Blanchard y Kahn (1983), método de Sim (2001), método de Klein (2000) y el método de coeficientes indeterminados de Uhlig (1999). Este cap´ıtulo se concentra en los dos más usuales: método de Blanchard y Kahn, y el método de coefientes indeterminados. Sin embargo, antes de describir y aplicar ambos métodos, se resolverá el modelo de Long y Plosser anal´ıticamente. Esta solución anal´ıtica es factible debido a que las no lineali-dades desaparecen a causa de los dos supuestos del modelo: depreciación total y utilidad logar´ıtmica.

6.1. M´etodo anal´ıtico

En primer lugar se procura disminuir la dimensión del sistema de ecuaciones lineales mediante la unión de algunas ecuaciones. Empezamos con el equilibrio en el mercado de trabajo (eliminamos wbt). Del cuadro [4] unimos la ecuación [3] y [6]:

hss 1−hss b ht+bct = ybt−bht 1 1−hss b ht = ybt−bct (95)

(30)

b yt= css yssb ct+ iss yss bit b yt= css yssb ct+ iss yss b kt+1 (96)

Introduciendo la tasa de interés real (ecuación [5]) en la ecuación de Euler (ecuación [1]): b ct=Et b ct+1−brt+1 b ct=Et bct+1−(byt+1−bkt+1) b ct=Et b ct+1−ybt+1+bkt+1 (97) Pero de la ecuación (95) se sabe que:

1 1−hss b ht = ybt−bct b ct−ybt = − 1 1−hss b ht b ct+1−byt+1 = − 1 1−hss b ht+1 (98)

Reemplazando la ecuación (98) en la ecuación de Euler (ecuación (97)):

b ct = Et b ct+1−byt+1+bkt+1 b ct = Et − 1 1−hss bh_t₊₁+bk_t₊₁ (99) Adem´as, de la ecuaci´on (96) se despeja el capital en “t+ 1”:

b yt = css yssb ct+ iss yss b kt+1 b kt+1 = yss iss (_byt− css yssb ct) (100)

(31)

b ct = Et − 1 1−hss b ht+1+bk_t₊₁ b ct = Et − 1 1−hss b ht+1+ yss iss (_byt− css yssb ct) b ct− yss iss (y_bt− css issb ct) = Et − 1 1−hss b ht+1 b ct (css+iss) iss −yss issb yt = Et − 1 1−hss b ht+1 b ct yss iss −yss issb yt = Et − 1 1−hss b ht+1 yss iss (_bct−ybt) = Et − 1 1−hss b ht+1 yss iss − 1 1−hss bh_t = Et − 1 1−hss b ht+1 yss iss b ht = Etbh_t₊₁ 1 β(1−α) | {z } =φh>1 b ht = Etbh_t₊₁ (101)

Por un momento evaluemos la ecuaci´on (64) sin el operador expectativa:

φhbh_t=bh_t₊₁ (102)

Debido a queφhes mayor a uno, entonces esta ecuación es explosiva. La única solución

estable es cuandobh_t= 0. Esto implica que la soluci´on del modelo para el trabajo es que es-ta variable se mantiene en su eses-tado eses-tacionario: comobh_t= 0, entonces,lnh_t−lnh_ss= 0, lo cual implica que lnht=lnhss y por tanto:ht=hss.

Por tanto, la función de pol´ıtica del trabajobh_tesbh_t= 0. Dos conclusiones importantes emergen de esta última ecuación. Primero, no fue necesario utilizar el método de coefi-cientes indeterminados para obtener la solución de bh_t, y como veremos más adelante, de las demás variables. Esto es debido a que los dos supuestos del modelo de Long y Plosser (1983), depreciación total y utilidad logar´ıtmica, eliminan no linealidades del sistema de ecuaciones. Esto permite que el modelo pueda ser resuelto directamente. Segundo, el tra-bajobh_tno depende de la variable exógena_ba_tni de la variable de estadobk_t. Esto indica que un incremento de la productividad no afecta al trabajo ni directamente ni indirectamente por medio del capital.

Para encontrar la solución del resto de variables se revisa sus ecuaciones de comporta-miento. En primer lugar se revisa la función de producción log-lineal:

(32)

b yt = bat+ (1−α)bkt+αbht b yt = bat+ (1−α)bkt+ 0 b yt = bat+ (1−α) | {z } ηyk b kt b yt = bat+ηykbkt (103)

De la demanda de capital se obtiene la soluci´on para la tasa de inter´es realbrt:

b rt = ybt−bkt De la ecuaci´on (103) : b rt = ηykbk_t+_ba_t−bk_t b rt = (ηyk −1) | {z } ηrk b kt+bat b rt = ηrkbk_t+_ba_t (104)

En la demanda de trabajo se obtiene el salario realw_bt:

b wt = ybt−bht De la solución : ecuación (103) ybh_t= 0 b wt = ηykbk_t+_ba_t−0 b wt = ηykbk_t+_ba_t (105) Al reemplazar la solución debh_ty de b

wten la oferta del trabajo se encuentra la soluci´on

del consumo _bct: hss 1−hss b ht = wbt−bct 0 = w_bt−bct b ct = wbt b ct = ηykbk_t+ b at (106)

De la ecuación de equilibrio en el mercado de bienes se obtiene la solución para la inversión:

(33)

b yt = css yssb ct+ iss yss bit bit = b yt− css yssb ct yss iss bit = ηykbk_t+ bat− css yss (ηykbk_t+ bat) yss iss bit = (ηykbk_t+_ba_t)(1− css yss )yss iss bit = (ηykbk_t+_ba_t) iss yss yss iss bi_t = η_ykbk_t+_ba_t (107)

Finalmente, de ley de movimiento del capital se obtiene la soluci´on para el capital:

b

kt+1 = bit b

kt+1 = ηykbk_t+_ba_t (108)

Cuadro7: Funciones de pol´ıtica y de estado (soluci´on del modelo) Funciones de pol´ıtica Coeficientes (elasticidades) Valores [1] bh_t= 0 [2] y_bt=ηykbk_t+_ba_t η_yk = 1−α η_yk = 0.333 [3] brt=ηrkbkt+bat ηrk =ηyk−1 ηrk = 0.667 [4] w_bt=ηykbk_t+ b at [5] _bct=ηykbk_t+ bat [6] bi_t=η_ykbk_t+_ba_t [7] bk_t₊₁ =η_ykbk_t+_ba_t

6.2. M´etodo de Blanchard y Kahn

El método de Blanchard y Kahn resuelve un sistema de ecuaciones en diferencias es-tocástica por medio de la descomposición de Jordan; es decir, trata de partir el modelo o el sistema en dos componentes. La estrateg´ıa de solución consiste en resolver el compo-nente inestable, de la cual se halla la función de pol´ıtica, y luego introducir esta función de pol´ıtica en la representación estado-espacio inicial para encontrar la ecuación de estado. En este apartado se diferencia dos subsecciones: en la primera se explica el método en términos generales y en la segunda se aplica el método al modelo de Long y Plosser (1983). Descripción del método: el métódo de Blanchard y Kahn se puede descomponer en siete pasos (ver la figura [3]). El primero consiste en transformar el sistema de ecuaciones en forma de estado-espacio. La utilidad de esta representación es que las ecuaciones se

(34)

pueden escribir como un sistema en diferencia de primer orden. El segundo paso consiste en obtener una forma de estado-espacio alternativo; es decir, transladar la matriz de coe-ficientes asociados al vector de la izquierda de la ecuaci´on al lado derecho. El fin de ello es obtener un sistema de la forma siguiente: Zt+1=F Zt+GUt+1.

El tercer paso consiste en descomponer el sistema de ecuaciones en dos partes. Para ello se utiliza la descomposición de Jordan, la cual particiona la matriz de coeficientes “F” en sus eigenvalores asociados. El cuarto paso es utilizar la partición de Jordan para separar el sistema de ecuaciones en un subsistema estable y en un subsistema inestable. La nomenclatura inestable se refiere a que son las ecuaciones asociadas a los iegenvalores inestables (módulo mayor a uno) de la matriz “F”, y el subsistema estable se refiere a las ecuaciones asociadas a los iegenvalores estables (módulo menor a uno). El quinto paso es el cambio de variable con el fin de aprovechar al máximo la descomposición de Jordan, lo cual simplifica la solución del modelo. El sexto paso consiste en resolver la ecuación inestable por medio del método de sustitución iterada. El resultado de ello es la función de pol´ıtica. Finalmente, el septimo paso es utilizar la función de pol´ıtica en el modelo estado-espacio alternativo y de all´ı encontrar la función de estado.

Figura 2: Pasos del m´etodo de Blanchard y Kahn

Cambio de variable Forma de estado-espacio alternativo Descomposició n de Jordan Partición del modelo Forma de estado-espacio Solución de la ecuación inestable Encontrando la función de estado

Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

Paso 5 Paso 6

Paso 7

Paso 1: Forma estado-espacio generalizado

El primer paso para resolver el sistema de ecuaciones no lineales que representan el modelo3 es colocar dicho sistema en forma estado-espacio:

A Xt+1 EtYt+1 =B Xt Yt +CVt+1 (109)

En la representación (109), la variable Vt+1 puede ser choques iid con media igual a cero (E(Vt) = 0) y autocorrelación nula. Alternativamente,Vt+1 puede comportarse como un proceso AR(1), la cual depende de choques exógenos iid.

3

Cabe mencionar que a este sistema de ecuaciones no lineales se le conoce también como modelo estructural. Esto es debido a que muestra los parámetros profundos o iniciales del modelo. El modelo re-ducido es aquel que se obtiene de combinar las ecuciones de este sistema inicial; en este caso, los parámetros son combinaciones de los parámetros profundos.

(35)

En este sistema de ecuaciones se puede definir dos tipos de variables: Xt es el vector

de variables backward looking (predeterminadas o variables de estado). Estas variables son funciones solo de las variables conocidas en “t”, y dado que son pre-determinadas se cumple: EtXt+1 =Xt+1. Un ejemplo de ello es el capitalkt+1, el cual ha sido determinado en “t”; es decir, ya se conoce en “t”; por tanto, Etkt+1 =kt+1.

Cabe mencionar que las variables de estado pueden ser endógenas y exógenas. Usual-mente la variable de estado exógena es la productividad porque se comporta como un AR(1) y no depende de ninguna variable del modelo. Además de lo anterior, el segundo tipo de variables es el vector de variablesforward looking (variables de control) Yt.

Variables de estado Variables de control Variables de choques

Xt=       X1t X2t . . Xnt       nx1 Yt=       Y1t Y2t . . Ymt       mx1 Vt=       V1t V2t . . Vnvt       nvx1

El número de variables de estado “n” es igual al número de variables de estado endógenas “ns” más el número de variables de estado exógenas “nv”.

n=ns+nv

El n´umero total de variables “n+m” es igual al n´umero total de ecuaciones. Con estas consideraciones, el sistema (72) quedar´ıa caracterizado de la siguiente ma-nera: A(n+m)x(n+m) Xt+1 EtYt+1 =B(n+m)x(n+m) Xt Yt +C(n+m)xnvVt+1 (110)

Paso 2: Forma estado-espacio alternativo

A Xt+1 EtYt+1 = B Xt Yt +CVt+1 Xt+1 EtYt+1 = A−1B | {z } F Xt Yt +A−1C | {z } G Vt+1 Xt+1 EtYt+1 = F Xt Yt +GVt+1 Paso 3: Descomposici´on de Jordan de F

La matriz F puede ser expresada (por la descomposici´on de Jordan) de la siguiente manera:

F = HJ H−1 (111) F = [d1...dn+m]     λ1 ... 0 . ... . . ... . 0 ... λn+m     [d1...dn+m]−1 (112)

(36)

Donde H es la matriz de eigenvectores y J es la matrix diagonal de eigenvalores. Adem´as,

{λi}ni=1+m son eigenvalores y {di}ni=1+m son los eigenvectores asociados.

Introduciendo la descomposici´on de Jordan, ecuaci´on (111), en la forma de estado-espacio alternativo, se tiene:

Xt+1 EtYt+1 = F Xt Yt +GVt+1 Xt+1 EtYt+1 = HJ H−1 Xt Yt +GVt+1 H−1 Xt+1 EtYt+1 = J H−1 Xt Yt +H−1GVt+1 (113)

Paso 4: Partici´on del modelo

Un paso importante en el método de Blanchard y Kahn es que los eigenvalores se ordenan de manera ascendente, esto es con el fin de identificar aquellos eigenvalores que en módulo son mayores a uno. Por tanto, los eigenvalores ordenados, en módulo, son:

|λ1 |<|λ2|<|λ3 |< ...|λn+m|< ...

Asumiento que la matriz de eigenvalores est´a ordenado, se tiene que “J” se puede expresar de la siguiente manera:

J = J1nxn 0nxm 0mxn J2mxm (n+m)x(n+m) (114) La matriz “J” se ha particionado en cuatro elementos, de los cuales dos de ellos son importantes: el primero esJ1nxn que es una matriz diagonal que contiene los eigenvalores cuyos m´odulos son menores a uno (| λ |< 1). El segundo es J2mxm que es una matriz diagonal que contiene los eigenvalores cuyos m´odulos sonmayores a uno (|λ|>1).

En base a la particion de la matriz de eigenvalores se particiona tambi´en la matriz de eigenvectores y su matriz inversa:

Matriz de eigenvectores Inversa de la matriz de eigenvectores

H= H11nxn H12nxm H21mxn H22mxm (n+m)x(n+m) H−1 = " e H11nxn He₁₂_nxm e H21mxn He₂₂_mxm # (n+m)x(n+m)

Considerando la partici´on de matrices en la ecuaci´on (114):

H−1 Xt+1 EtYt+1 = J H−1 Xt Yt +H−1GVt+1 " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # Xt+1 EtYt+1 = J " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # Xt Yt + " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # GVt+1

(37)

Adem´as, considerando queG= G1nxnv G2mxnv " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # Xt+1 EtYt+1 =J " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # Xt Yt + " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # G1 G2 Vt+1 (115) Paso 5: Cambio de variable

En la ecuaci´on (114) se puede definir dos nuevas variablesXe_t yYe_t: " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # Xt Yt = " e Xt e Yt # (116) Adem´as, se considera:

" e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # G1 G2 = " e G1 e G2 # (117) Introduciendo las dos nuevas variables en la ecuaci´on (116) y el nuevo vector Ge, se tiene: " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # Xt+1 EtYt+1 = J " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # Xt Yt + " e H11 He₁₂ e H21 He₂₂ # G1 G2 Vt+1 " e Xt+1 EtYe_t₊₁ # = J " e Xt e Yt # + " e G1 e G2 # Vt+1 " e Xt+1 EtYe_t₊₁ # = J1 0 0 J2 " e Xt e Yt # + " e G1 e G2 # Vt+1 (118)

Paso 6: Desacoplamiento de las ecuaciones

De la ecuación (118) se podr´ıa obtener dos ecuaciones; es decir, el sistema se puede des-acoplar: Ecuación estable e Xt+1 = J1Xe_t+Ge₁V_t₊₁ (119) Ecuación inestable EtYe_t₊₁ = J₂Ye_t+Ge₂V_t₊₁ (120) La ventaja de este desacoplamiento es que cada ecuación puede ser resuelta por sepa-rado.

Paso 7: Resolviendo la ecuación inestable (encontrando la función de pol´ıtica) La ecuación (120) es una ecuación en diferencias estocástica con expectativas racionales de 1er orden. Para obtener la solución de este tipo de ecuaciones usualmente se aplica la técnica de sustitución repetida.

(38)

Reordenando los t´erminos y considerando queJ2 es una matriz diagonal (mxm), cuyos elementos son mayores a uno, se tiene:

J2Ye_t = E_tYe_t₊₁−Ge₂V_t₊₁ e Yt = J2−1 |{z} =P1 EtYe_t₊₁−J₂−1Ge₂ | {z } =P2 Vt+1 e Yt = P1EtYe_t₊₁−P₂V_t₊₁ (121) Donde: P1 es una matriz diagonal, cuyos elementos son mayore a uno. La solución de la ecuación (121) se obtiene al aplicar el método de sustitución repetida. Esta técnica trabaja de la siguiente manera: dado que esta ecuación se mantiene en todos los periodos bajo expectativas racionales, entonces la ecuación (121) se puede adelantar un periodo y aplicar el operador de expectativas en “t”.

e

Yt+1 = P1EtYe_t₊₁−P₂V_t₊₁ e

Yt+1 = P1EtYe_t₊₂−P₂V_t₊₂

EtYe_t₊₁ = P₁E_tYe_t₊₂−P₂E_tV_t₊₂ (122) La ecuaci´on (122) se reemplaza en (121) y se obtiene lo siguiente:

e Yt = P1EtYe_t₊₁−P₂V_t₊₁ e Yt = P1 P1EtYe_t₊₂−P₂E_tV_t₊₂ −P2Vt+1 e Yt = P12EtYet+2−P1P2EtVt+2−P2Vt+1 (123) Adelantando dos periodos en la ecuaci´on (123) y aplicando expectativas en “t”, se tiene:

e

Yt+2 = P1EtYe_t₊₃−P₂V_t₊₃

EtYe_t₊₂ = P₁E_tYe_t₊₃−P₂E_tV_t₊₃ (124) Nuevamente, reemplazando la ecuaci´on (124) en (123), resulta:

e Yt = P12 P1EtYe_t₊₃−P₂E_tV_t₊₃ −P1P2EtVt+2−P2Vt+1 e Yt = P13EtYe_t₊₃−P₁2P₂E_tV_t₊₃−P₁P₂E_tV_t₊₂−P₂V_t₊₁ (125) Al generalizar la ecuaci´on (125) para “n” periodos, se tiene:

e Yt=P1nEtYe_t₊_n−P₁n−1P₂E_tV_t₊_n−P₁n−2P₂E_tV_t₊₍_n₋₁₎−P₁n−3P₂E_tV_t₊₍_n₋₂₎...−P₁P₂E_tV_t₊₂−P₂V_t₊₁ (126) En forma compacta: e Yt=P1nEtYe_t₊_n− n X j=2 P₁j−1P2EtVt+j−P2Vt+1 (127)

(39)

Considerando n→ ∞: e Yt = Lim n→∞ P₁nEtYe_t₊_n −Lim n→∞ n X j=2 P₁j−1P2EtVt+j− Lim n→∞P2Vt+1 e Yt = Lim n→∞ P₁nEtYe_t₊_n − ∞ X j=2 P₁j−1P2EtVt+j−P2Vt+1 (128)

El primer t´ermino de la ecuaci´on (128), Lim

n→∞

P₁nEtYe_t₊_n , es igual a cero. Esto se debe a que la matriz diagonalPn

1 tiene valores menores a uno, los cuales tienden a cero a medida que “n” crece. Además, desde un punto de vista de optimización, que este término sea igual a cero refleja la condición de transversalidad que se le impone a la solución de esta ecuación en diferencias. Desde un punto de vista económico tiene sentido suponer que el valor esperado de la variable en un tiempo muy lejano no tenga influencia en la variable el d´ıa de hoy. A continuación se muestra la convergencia a cero de la matrizP₁n cuando n tiende a infinito. P₁n = (J₂−1)n =       1/λi,1 1/λi,1 1/λi,1 ... 1/λi,m       n =       1/λi,1 1/λn i,1 1/λn_i,₁ ... 1/λn_i,m      

Aplicando l´ımite con “n” que tiende a infinito:

Lim n→∞P n 1 =         Lim n→∞1/λi,1 Lim n→∞1/λ n i,1 Lim n→∞1/λ n i,1 ... Lim n→∞1/λ n i,m         Lim n→∞P n 1 = [0]mxm

Por tanto : Lim

n→∞

P₁nEtYe_t₊_n = 0 (129)

Considerando el resultado de la ecuaci´on (129), la ecuaci´on (128) quedar´ıa:

e Yt=− ∞ X j=2 P₁j−1P2EtVt+j−P2Vt+1 (130)

(40)

Adem´as, se sabe que la variable Vt se distribuye como una normal con media cero

y varianza constante; es decir, Vt ∼ N(0, σv2). Esta distribuci´on se mantiene para cada

periodo; es decir, se cumple: Vt∼N(0, σv2), Vt+1 ∼N(0, σ2v), ..., Vt+n ∼N(0, σ2v). Donde

la media condicional de la variable siempre es igual a cero:EtVt+n= 0 cuandoj = 1,2,3....

Bajo esta premisa, entonces EtVt+j = 0, reemplazando esta expresi´on en la ecuaci´on (92)

se tiene: e Yt = − ∞ X j=2 P₁j−1P2EtVt+j | {z } =0 −P2Vt+1 e Yt = −P2Vt+1 (131)

Aplicando del operador expectativas en t a la ecuaci´on (131) se obtiene:

e Yt = −P2Vt+1 EtYe_t = −P₂E_tV_t₊₁ Se sabe : EtVt+1= 0 Entonces : EtYe_t = 0 Por tanto : e Yt = 0 (132)

De la ecuaci´on (116) que refleja el cambio de variable:

e H21Xt+He₂₂Y_t = Ye_t e H21Xt+He₂₂Y_t = 0 e H22Yt = −He₂₁X_t Función de pol´ıtica = Yt=−He₂₂−1He₂₁X_t (133) La ecuación (133) representa la función de pol´ıtica porque las variables de control (re-presentada por el vector Yt) están en función de las variables de estado (representada por

el vector Xt).

Paso 8: En el sistema inicial (encontrando la funci´on de estado) Reescribiendo la representaci´on de estado-espacio alternativo:

Xt+1 EtYt+1 = F Xt Yt +GVt+1 Xt+1 EtYt+1 = F11 F12 F21 F22 Xt Yt + G1 G2 Vt+1 La ecuaci´on para la primera variable (la variable de estado) es:

(41)

Esta ecuación depende de la variable de control; sin embargo, por la función de pol´ıtica, ecuación (133), se sabe la relación entreYtyXt. Reemplazando esta relación en la ecuación

(134):

Xt+1 = F11Xt+F12(−He₂₂−1He₂₁X_t) +G₁V_t₊₁

Ecuaci´on de estado : Xt+1 = (F11−F12He₂₂−1He₂₁)X_t+G₁V_t₊₁ (135)

La ecuación (135) es la ecuación de estado. Con esta ecuación el modelo queda resuelto. Aplicación del método: en la aplicación al modelo de Long y Plosser se seguirá los mismos pasos para mantener el hilo conductor del método de solución. Antes de aplicar el método es necesario reducir el número de ecuaciones y por ende el número de variables. El fin de ello es evitar que aparezca alguna fila llena de ceros en cualquier lado (matriz A o B) de la representación estado-espacio. Si, por ejemplo, aparece una fila de ceros en la matriz A, entonces dicha matriz no ser´ıa invertible. Esto imposibilitar´ıa la aplicación del método de Blanchard y Kahn. Entonces partiendo del sistema de ecuaciones lineales (con variables en logar´ıtmo) del cuadro [6], se realizan algunos artificios algebraicos descritos a continuación.

En primer lugar se elimina el salario realwtal considerar el equilibrio en el mercado de

trabajo; es decir, se iguala la oferta de trabajo (ecuación [3] del cuadro [6]) con la demanda de trabajo (ecuación [6] del cuadro [6]). La ecuación resultante se muestra a continuación:

Oferta de trabajo : hss 1−hss b ht=wbt−bct Demanda de trabajo : w_bt=ybt−bht Equilibrio : hss 1−hss b ht+bct=wbt=ybt−bht : hss 1−hss b ht+bct=ybt−bht : 1 1−hss b ht=byt−bct (136)

La ecuación [5] del cuadro [6], que representa la demanda de capital, puede ser intro-ducida en la ecuación [1] (ecuación de Euler) por medio de la tasa de interés.

Demanda de capital : _brt=byt−bkt Ecuación de Euler : _bct=Et bct+1−brt+1 b rt+1 en la ecuación de Euler : bct=Et bct+1−ybt+1−bkt+1 (137) Finalmante, la ecuación [2] se introduce en la restricción presupuestaria (ecuación [7]):