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Universidad de Puerto Rico Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

OLIMPIADA MATEMÁTICA DE PUERTO RICO 2010-2011

PRIMERA FASE

HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL SUPERIOR(

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Dr. Luis F. Cáceres

Departamento de Ciencias Matemáticas Call Box 9000

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Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matematicas

Olimpiada Matemática

de Puerto Rico

PRIMERA FASE

2010-2011

NIVEL SUPERIOR

(

10

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,

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y

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grado)

Universidad de Puerto Rico

1. Si una jarra sirve un total de 1.5 vasos de jugo y cada china llena 1/5 de la jarra. ¾Cuántas chinas se

necesitan para servir12 vasos de jugo exactamente?

a) 18

b) 19

c) 20

d) 40

e) 80

2. Tenemos un cubo como el de la gura, al que le sacamos las las y las columnas que se muestran. Si el cubo lo metemos en un pote de pintura verde y después lo dividimos en cubitos de 1×1×1. ¾Cuántos de estos

cubitos tienen cuatro caras pintadas? a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

3. Juan se inventó una operación matemática con números enteros para la cual usó el símbolo∗. Funciona de

la siguiente manera: a∗b = (a+ 1)×(b−1). Por ejemplo3∗5 = (3 + 1)×(5−1) = 16. ¾Sia yb son enteros

positivos tales quea∗b= 24 y b∗a= 30, cuánto valea+b?

a) 11

b) 12

c) 13

d) 17

e) 31

4. La gura muestra cinco triángulos equiláteros. ¾A qué fracción del área de la gura corresponde el área sombreada? a) 1/3 b) 2/5 c) 1/2 d) 3/5 e) 5/8

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5. Con exactamente dos segmentos de recta podemos hacer guras diferentes uniendo los vértices de un pentágono. A continuación mostramos cinco de esas guras:

Incluyendo estas cinco, ¾cuántas guras diferentes se pueden hacer de este modo? a) 20

b) 30

c) 35

d) 40

e) 45

6. Hace18años se casaron Juan y María. Para ese entonces la edad de Juan era el triple de la de María. Ahora

la edad de Juan es el doble de la de María. ¾A qué edad se casó María? a) 17

b) 18

c) 20

d) 21

e) 25

7. Un saco tiene canicas de tres colores diferentes. ¾Cuál es el número mínimo de canicas que hay que sacar para estar seguros que tendremos al menos 3 canicas del mismo color?

a) 3

b) 6

c) 7

d) 9

e) ninguna de las anteriores

8. Igor pide que le cambien un billete de 25 rublos. Le entregan cambio exacto usando 10 billetes de 1, 3 y 5 rublos. ¾Cuántos billetes de 1 rublo le entregaron?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

9. Tiramos un dado tres veces. ¾De cuántas formas distintas puede uno tirarlo de tal forma que la suma de las tres tiradas sea 10?

a) 15

b) 20

c) 25

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10. ¾Cuántos números entre 1 y 100, sin incluir el 1y ni el 100, satisfacen que la suma de los cuadrados de sus

dígitos divide al número? a) 1

b) 3

c) 5

d) 7

e) 10

11. Si el radio de un círculo inscrito en un triángulo equilátero es2. ¾Cuánto mide el radio del círculo circunscrito?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

12. La carretera que conecta dos pueblos va sólo de subida o de bajada. Un autobús viaja siempre a 15km/h de subida y a 30km/h de bajada. Encuentre la distancia entre los pueblos si toma exactamente 4 horas hacer un viaje de ida y vuelta.

a) 40km

b) 50km

c) 60km

d) 70km

e) 80km

13. Dos equipos compiten en un decatlón. En cada evento, el equipo ganador recibe 4 puntos y el perdedor 1 punto, y cada equipo recibe 2 puntos si empatan. Después de 10 eventos ambos equipos tienen 46 puntos en total. ¾Cuántos empates hubo?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

14. Calculamos la suma de los dígitos del número19100_{. Luego encontramos la suma de los dígitos del resultado}

y así sucesivamente hasta encontrar un solo dígito. ¾Qué dígito es ese? a) 1

b) 4

c) 5

d) 7

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15. En una clase cada niño es amigo de exactamente 3 niñas, y cada niña es amiga de exactamente 2 niños. Se sabe que hay exactamente 19 mesas. Cada una acomoda a lo más dos estudiantes. Sabemos también que 31 estudiantes estudian francés. ¾Cuántos estudiantes hay en la clase?

a) 31

b) 33

c) 35

d) 38

16. Si todos los niños en una clase compran un mun y todas las niñas compran un sandwich, gastarán un centavo menos que si todos los niños compran un sandwich y todas las niñas compran un mun. Sabemos que en la clase hay mas niños que niñas. ¾Cuál es la diferencia entre el número de niños y el número de niñas en la clase?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

17. ¾Cuál es la suma de los ángulos internos de las puntas de una estrella de 5 puntas? a) 150◦

b) 180◦

c) 210◦

d) 240◦

18. Listas de problemas para las olimpiadas se redactan por un comité para los grados 6-11, de tal forma que cada lista tiene 8 problemas y hay exactamente 3 preguntas en cada cuestionario que no se usan en los cuestionarios de otros grados. ¾Cuál es el máximo número posible de preguntas redactadas por el comité?

a) 23

b) 28

c) 33

d) 48

19. ¾Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación x4+x3+x2+x−4 = 0?

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

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20. El cuadrado ABCD está dado. Un círculo con radio AB y centro en A se dibuja. El círculo intersecta el

bisector perpendicular de BC en dos puntos, de los cuales O es el más cercano a C. Encuentre el valor de

ánguloAOC.

a) 120◦

b) 135◦

c) 145◦

d) 150◦

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