Aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electroenergética. TRABAJO DE DIPLOMA Título: Aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. Autor: William Hernández García Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio. Santa Clara 2014 “Año 56 de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electroenergética. TRABAJO DE DIPLOMA Título: Aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. Autor: William Hernández Garcia whernandez@uclv.edu.cu Tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio jcurbelo@uclv.edu.cu. Santa Clara 2014 “Año 56 de la Revolución”.

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además, no podrá ser presentado en eventos, ni publicado sin autorización de la Universidad.. __________________ Firma del Autor. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Autor. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica. Firma del Jefe Departamento donde defiende el trabajo. de se.

(4) ______________________________ PENSAMIENTO. "El hombre se descubre cuando se mide con un obstáculo". Antoine de Saint-Éxupery (1900-1944); escritor y aviador francés..

(5) _______________________________ DEDICATORIA. A todo aquel que influyó de alguna forma en la realización de este proyecto..

(6) __________________________ __________________________ AGRADECIMIENTOS Quiero aprovechar la oportunidad para poder expresar mis más sinceros agradecimientos: A mis padres por su orientación y constancia en el hecho de guiarme por el camino del estudio y por su entrega total a fin de que lograra mi propósito como profesional. A mi tía por darme la ayuda necesaria para logra la realización de este trabajo A mi tutor: MSc. Juan Curbelo Cancio, sin su guía y ayuda de seguro este trabajo no sería posible..

(7) ______________________________ TAREA TÉCNICA Plan de Trabajo: Revisión y estudio de la bibliografía existente acerca de la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. Elaborar un resumen teórico sobre el tema asignado, usando textos básicos y materiales de estudio publicados en Internet. Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y el empleo de su simulador Simulink, que permitan elevar los conocimientos del estudiante en el área de la programación y simulación. Resolver, de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. Llevar a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, empleando el lenguaje de programación Matlab y finalmente obtener la solución elaborando modelos, utilizando el simulador Simulink. Elaborar un material complementario que presente una introducción a los conceptos básicos de la topología de redes y en el que aparezcan resueltos de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos y vincular estas soluciones con el Matlab y Simulink. Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en las orientaciones y normas aprobadas por el MES.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) __________________________________ RESUMEN En este trabajo se muestra, como a partir del reconocimiento de que los circuitos eléctricos tienen mucho en común, al menos en términos del arreglo de componentes, es posible crear una visión más abstracta de los circuitos, la cual se denomina topología de redes. En el trabajo se presenta una introducción a los conceptos básicos de la topología de redes.. Se. resuelven. de. forma. analítica,. ejercicios. típicos,. adecuadamente. seleccionados, que ilustran de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. Se lleva a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, empleando el lenguaje de programación Matlab y finalmente se obtiene la solución mediante la elaboración de modelos, utilizando el simulador Simulink..

(9) _______________________ TABLA DE CONTENIDOS TABLA DE CONTENIDOS. INTRODUCCION ................................................................................................................. 1 CAPÍTULO 1: REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA ................................................................... 4 1.1 Generalidades ......................................................................................................................... 4 1.2 Análisis nodal general ............................................................................................................ 8 1.3 Método de análisis de lazo ................................................................................................... 10 CAPÍTULO 2: EJERCICIOS RESUELTOS ................................................................... 13 Ejemplo 2.1 ................................................................................................................................ 13 Ejemplo 2.2 ................................................................................................................................ 19 Ejemplo 2.3 ................................................................................................................................ 22 Ejemplo 2.4 ................................................................................................................................ 25 Ejemplo 2.5 ................................................................................................................................ 28 Ejemplo 2.6 ................................................................................................................................ 30 Ejemplo 2.7 ................................................................................¡Error! Marcador no definido. Ejemplo 2.8 ................................................................................................................................ 35 Ejemplo 2.9 ................................................................................................................................ 38 Ejemplo 2.10 .............................................................................................................................. 40 Ejemplo 2.11 .............................................................................................................................. 42 Ejemplo 2.12 .............................................................................................................................. 44 Ejemplo 2.13 .............................................................................................................................. 46 Ejemplo 2.14 .............................................................................................................................. 49 CONCLUSIONES. ............................................................................................................. 52 RECOMENDACIONES. ................................................................................................... 53 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. .............................................................................. 54.

(10) ______________________________ INTRODUCCIÓN INTRODUCCION Las herramientas para el análisis de circuitos eléctricos, que se aprenden durante el tránsito por la disciplina Circuitos Eléctricos y los diversos circuitos eléctricos a los que se le da solución, muestran que dichos circuitos tienen mucho en común, al menos en términos del arreglo de componentes. Con la realización de este trabajo, se pone en manos de los estudiantes y profesores, una herramienta adicional para la solución de circuitos eléctricos, la cual no se encuentra entre los temas de la disciplina Circuitos Eléctricos. La aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos, permite, dependiendo de la estructura de la red, llegar a obtener un menor número de ecuaciones a resolver, lo cual implica menos trabajo de cálculo. Teniendo en cuenta que es beneficio conocer y dominar está técnica de solución de circuitos eléctricos, la cual no se encuentra en los temas de pregrado, se determinó crear un material complementario que presente una introducción a los conceptos básicos de la topología de redes y en el que aparezcan resueltos de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. En el trabajo se lleva a cabo la solución de los ejercicios de forma analítica y de manera total o parcial, empleando el lenguaje de programación Matlab y finalmente se obtiene la solución mediante la elaboración de modelos, utilizando el simulador Simulink. Por tanto, ya que no existe en la Facultad de Ingeniería Eléctrica, un material complementario que trate sobre la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos, el problema que ocupa a la presente investigación es: ¿Cómo diseñar un material complementario sobre la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos que esté relacionado además con el uso del Matlab y Simulink? Partiendo del problema científico planteado, se puede establecer como objetivo general de la investigación el siguiente: Elaborar un material complementario que presente una introducción a los conceptos básicos de la topología de redes y en el que aparezcan resueltos de forma analítica, 1.

(11) ______________________________ INTRODUCCIÓN ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos, en el que se lleve a cabo la solución de los mismos, total o parcialmente, empleando el lenguaje de programación Matlab y finalmente se obtenga la solución mediante la elaboración de modelos, utilizando el simulador Simulink. Para el logro del objetivo general se dará cumplimiento durante el proceso investigativo a los siguientes objetivos específicos: 1. Determinar los referentes teóricos fundamentales, acerca de la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. 2. Sistematizar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación Matlab y su simulador Simulink, para su empleo en la solución de circuitos eléctricos mediante la aplicación de elementos de topología. 3. Elaborar un material complementario que presente una introducción a los conceptos básicos de la topología de redes y en el que aparezcan resueltos de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos y vincular estas soluciones con el Matlab y finalmente comprobar los resultados haciendo uso del simulador Simulink. Dentro de la bibliografía consultada para la investigación, se encontró una gran cantidad de artículos referentes a los conceptos básicos de la topología de redes, los cuales muestran los aspectos positivos de esta herramienta en la solución de circuitos eléctricos. Entre los aportes del presente trabajo de diploma, se pueden destacar, el diseño de un material complementario que presenta una introducción a los conceptos básicos de la topología de redes y en el que aparecen resueltos de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustran de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. La solución de los ejercicios de manera total o parcial, empleando el lenguaje de programación Matlab y la solución de los mismos mediante la elaboración de modelos, utilizando el simulador Simulink.. 2.

(12) ______________________________ INTRODUCCIÓN Este material contribuye a la superación de profesores y alumnos, poniendo en sus manos un material que de forma clara y con ejemplos adecuadamente escogidos permite adquirir los conocimientos básicos acerca de esta herramienta, la cual no se imparte en pregrado.. ORGANIZACIÓN DEL INFORME El trabajo de diploma quedó estructurado de la siguiente forma: Capítulo 1: Se realiza una recopilación bibliográfica que da a conocer el estado del arte en que se encuentra la materia y se elabora un resumen teórico sobre la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. Capítulo 2: Muestra la solución de forma analítica, aplicando elementos de topología, de ejercicios adecuadamente seleccionados, corroborando las soluciones con ayuda del Matlab y el Simulink. En su contenido se incluyen también las conclusiones, recomendaciones y referencias bibliográficas.. 3.

(13) _________________________________ CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1: REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 1.1 Generalidades Primero debe extenderse la lista de definiciones relacionadas con la topología de redes. Debe empezarse definiendo la propia topología como una rama de la geometría que tiene que ver con las propiedades de una figura geométrica que no cambian cuando la figura se tuerce, dobla, pliega, alarga o encoge, o se amarra en nudos, con la restricción de que ninguna parte de la figura se corta o se pega a otra. Una esfera y un tetraedro son topológicamente idénticos, pues constituyen un cuadrado y un círculo. [1] La topología de circuitos es la ciencia que estudia razonamientos matemáticos aplicados al análisis de circuitos, dentro de la cual se encuadran todas las propiedades que surgen de la estructura geométrica del mismo y permite arribar a métodos sistemáticos para escribir mecánicamente sistemas de ecuaciones que modelan el funcionamiento de circuitos complejos. [2] En términos de circuito eléctricos, el interés no es en los tipos particulares de elementos que aparecen en el circuito, sino sólo con la forma en la que se arreglan las ramas y los nodos. En realidad, se suprimirse la naturaleza de los elementos y se simplifica el dibujo del circuito mostrando los elementos como líneas. [3]El dibujo que resulta se denomina gráfica lineal o simplemente gráfica. Un circuito y su gráfica se muestran en la figura 1.1A.Se observa que en ella todos los nodos se identifican mediante puntos gruesos.. 4.

(14) _________________________________ CAPÍTULO 1. Figura 1.1A: Circuito dado. Figura 1.1B: Gráfica lineal de este circuito [4] Puesto que las propiedades topológicas del circuito, o su gráfica, permanecen invariables cuando se distorsionan, las tres gráficas de la figura 1.2 son topológicamente idénticas al circuito y a la gráfica de la figura 1.1.. 5.

(15) _________________________________ CAPÍTULO 1. Figura 1.2: Gráficas lineales alternativas del circuito de la figura 1.1 [5] Los términos topológicos que se emplean correctamente en los métodos de solución son: -. Nodo: punto en que dos o más elementos tienen una conexión común. [6]. -. Trayectoria: conjunto de elementos que pueden recorrerse en orden, sin pasar por el mismo nodo dos veces. -. Rama: trayectoria sencilla que contiene un elemento simple, el cual conecta un nodo a cualquier otro nodo.. -. Lazo: trayectoria cerrada.. -. Malla: lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él.. -. Circuito plano: circuito que puede dibujarse sobre una superficie plana, de manera que ninguna rama pasa encima o debajo de cualquier otra rama.. -. Circuito no plano: cualquier circuito que no es plano. [7]. Las gráficas de la figura 1.2 contienen cada una doce ramas y siete nodos. Ahora deben definirse tres nuevas propiedades de una gráfica lineal. -. Árbol: cualquier conjunto de ramas que no contiene ningún lazo y que conecta cada nodo a otro nodo, no necesariamente de manera directa. Suele haber varios árboles diferentes que se podrían dibujar para una red, de modo que el número aumenta con rapidez conforme crece la complejidad de la red. La gráfica simple que se muestra en la figura 1.3 tiene ocho árboles posibles, cuatro de los cuales se indican mediante las líneas gruesas de las figuras 1.3B, C, D y E.. 6.

(16) _________________________________ CAPÍTULO 1. Figura 1.3: Gráfica lineal de una red de tres nodos, B, C, D, E cuatro de los ochos nodos posibles. En la figura 1.4 se presenta una gráfica más compleja. La figura 1.4 B muestra un árbol posible y las 1.4 C y D presentan conjuntos de ramas que no son árboles, pues ningún conjunto satisface la definición.. Figura 1.4: A) Grafica lineal. B) Posible árbol para esta gráfica. C, D) Estos conjuntos de rama no satisfacen la definición de un árbol. [8] -. Coárbol: son las ramas que no forman parte del árbol. Las ramas dibujadas con líneas delgadas en las figuras 1.3 B-E muestran los coárboles que corresponden a los árboles más gruesos. [9]. Luego de comprender la construcción de un árbol y su coárbol, el concepto de enlace es muy simple. -. Enlace: cualquier rama que pertenece a un coárbol. Resulta evidente que cualquier rama particular puede ser un enlace o no, según el árbol particular que se elija. [10]. Se relaciona de manera muy sencilla el número de enlace en una gráfica con el número de ramas y nodos. Si la gráfica tiene N nodos, entonces se requieren exactamente (N-1) ramas para construir un árbol, debido a que la primera rama elegida conecta dos nodos y cada rama adicional incluye un nodo más. Por lo tanto, dadas B ramas, el número de enlace L debe ser: L= B-(N-1) o. 7.

(17) _________________________________ CAPÍTULO 1 L= B-N+1. (I). Hay L ramas en el coárbol y (N-1) ramas en el árbol. [11] En cualquiera de las gráficas de la figura 1.3 observamos que 3=5-3+1; asimismo, en la gráfica de la figura 1.4, 6=10-5+1. Tal vez en una red haya varias partes desconectadas, así que la ecuación (I) quizás se haga más general si se sustituye +1 por +S, donde S es el número de partes separadas. [12] Sin embargo, también se pueden conectar dos partes separadas mediante un solo conductor, causando de esa manera que dos nodos formen un nodo, pero no fluye ninguna corriente por este conductor. Este proceso se podría utilizar para unir cualquier número de partes separadas sin que haya pérdida de generalidad, si se restringe la atención a los circuitos para los cuales S=1. [13] 1.2 Análisis nodal general Es posible generalizar el método de análisis nodal. Puesto que el análisis nodal se aplica a cualquier red, no es posible resolver una clase más amplia de problemas de circuito. Sin embargo, es posible elegir un método de análisis nodal general para cualquier problema particular, que tal vez dé origen a un menor número de ecuaciones y menos trabajo. [14] Se está listo ahora para analizar un método mediante el cual se escribe un conjunto de ecuaciones nodales independientes y suficientes, permitiendo así obtener muchos conjuntos de ecuaciones diferentes para la misma red, todos ellos válidos. Sin embargo el método no ofrece todo el conjunto posible de ecuaciones. Dada una red, se debe: 1 Dibujar una gráfica y luego identificar un árbol. 2 Colocar todas las fuentes de voltaje en el árbol. 3 Ubicar todas las fuentes de corriente en el coárbol. 4 Poner en el árbol todos los voltajes de control de las fuentes dependientes controladas por voltaje, si es posible. 5. Situar en el coárbol todas las corrientes de control de las fuentes dependientes controladas por corriente, si es posible.. 8.

(18) _________________________________ CAPÍTULO 1 Estos últimos cuatro pasos asocian de manera eficaz los voltajes con el árbol y las corrientes con el coárbol. [15] Ahora se asigna una variable de voltaje (con su par más – menos) en los extremos de cada una de las (N-1) ramas en el árbol. A la rama que contenga una fuente de voltaje (dependiente o independiente) debe asignársele ese voltaje de fuente y a la que contenga un voltaje de control debe asignársele ese voltaje controlador. El número de nuevas variables a introducir es, en consecuencia, igual al número de ramas en el árbol (N-1), disminuido del número de fuentes de voltaje en el árbol y también del número de voltajes de control que podemos localizar en el árbol. El número de nuevas variables requeridas puede ser cero. [16] Al tener un conjunto de variables, se necesita ahora escribir un conjunto de ecuaciones que sean suficientes para determinar tales variables. Las ecuaciones se obtienen mediante la aplicación de la LKC (Ley de Kirchhoff de corriente), que expresa que la suma de las corrientes que entran a un nodo tiene que ser igual a la suma de las que salen. Las fuentes de voltaje se manejan de la misma manera que en el análisis nodal tradicional; cada fuente de voltaje, así como los dos nodos en sus terminales, constituyen un supernodo o una parte de un supernodo. La ley de Kirchhoff de corriente se aplica entonces en todos menos en uno de los nodos y supernodos restantes. [17] Se iguala a cero la suma de las corrientes que salen del nodo en todas las ramas conectadas a él. Cada corriente se expresa en términos de la variable de voltaje se ha asignado. Se ignora un nodo, como sucede en el MVN tradicional para el nodo de referencia. Por último, en el caso que haya fuentes dependientes controladas por corriente, se necesita escribir una ecuación para cada corriente de control que la relacione con las variables de voltaje; lo anterior tampoco difiere del procedimiento que se utiliza con el MVN. [18] Terminaremos explicando la suficiencia del conjunto supuesto de tensiones de rama del árbol y la impedancia de las ecuaciones nodales. Si tales tensiones de rama de árbol son suficientes, entonces la tensión a través de cualquier rama, ya sea en el árbol o en el coárbol, debe obtenerse del conocimiento de los valores de todas las tensiones de la rama de árbol. Lo anterior en realidad se cumple para aquellas ramas en el árbol. Para los enlaces sabemos que cada uno se extiende entre dos nodos y, por definición, el 9.

(19) _________________________________ CAPÍTULO 1 árbol debe conectar también esos dos nodos. Por consiguiente, cada tensión de enlace también se establecería en términos de las tensiones de la rama de árbol. [19] Una vez que se conoce la tensión en los extremos de cualquier rama del circuito, entonces se determina todas las corrientes utilizando ya sea el valor dado de la corriente sin la rama consiste en una fuente de corriente; mediante la ley de Ohm si se trata de una rama resistiva, o recurriendo a la LKC y a estos valores de corrientes si la rama es una fuente de tensión. De tal modo, todas las tensiones y las corrientes están determinadas y la suficiencia demostrada. [20] Para demostrar la independencia, complazcámonos suponiendo que las únicas fuentes en la red que son independientes son las de corrientes. Como señalamos antes, las fuentes de tensión independiente en el circuito dan lugar a menor número de ecuaciones, en tanto que las fuentes dependientes suelen necesitar un número mayor. Solo con las fuentes de corrientes independientes, existirán precisamente (N-1) ecuaciones nodales escritas en términos de (N-1) tensiones de ramas de árbol. Para mostrar que las (N-1) ecuaciones son independientes, visualice la aplicación de la LKC a los (N-1) diferentes nodos. Cada vez que escribamos la ecuación de LKC, hay una nueva rama de árbol implicada: la que conecta ese nodo con el resto del árbol. Dado que el elemento de circuito no apareció en ninguna ecuación anterior, debemos obtener una ecuación independiente. Lo anterior es válido para cada de los N-1) nodos en turno, y en consecuencia, tenemos(N-1) ecuaciones independientes. [21] 1.3 Método de análisis de lazo Se considera ahora el uso de un árbol para obtener un conjunto apropiado de ecuaciones de lazo. En algunos aspectos este método es el dual del de escritura de ecuaciones nodales. También en este caso debe señalarse que, si bien se puede garantizar que cualquier conjunto de ecuaciones que se escriba será tanto suficiente como independiente, no debe esperarse que con el método se obtenga de manera directa todo conjunto de ecuaciones posible. [22] Se empieza de nuevo construyendo un árbol y usando el mismo conjunto de reglas al que se recurre en el análisis nodal general. El objetivo, ya sea para el análisis nodal o. 10.

(20) _________________________________ CAPÍTULO 1 para el de lazo, consiste en poner voltajes en el árbol y corrientes en el coárbol; ésta es una regla obligatoria para fuentes, y deseables para cantidades de control. [23] Sin embargo, en lugar de asignar ahora un voltaje a cada rama en el árbol, se determina una corriente (incluyendo la flecha de referencia, desde luego) para cada elemento en el coárbol o para cada enlace. Si hubiera diez enlaces, se asignaría exactamente diez corrientes de enlaces. A cualquier enlace que contenga una fuente de corriente se le asocia esa fuente de corriente como la corriente de enlace. Debe observarse que cada corriente de enlace también puede considerarse como una corriente de lazo, pues el enlace debe extenderse entre dos nodos específicos y debe existir una trayectoria entre ambos nodos a través del árbol. Por lo tanto, con cada enlace se asocia un solo lazo específico que incluye dicho enlace y una trayectoria única a través del árbol. [24] Resulta evidente que la corriente asignada se podría considerar como una corriente de lazo o una corriente de enlace. La connotación de enlace es más útil en el momento en que se definen las corrientes, pues debe establecerse una para cada enlace; la interpretación del lazo resulta más conveniente al momento de escribir la ecuación, pues se aplicará las LKV a través de cada lazo. LKV (Ley de Kirchhoff de voltaje): que establece que partiendo de un nodo y terminando el recorrido en el mismo nodo, la suma algebraica de los voltajes que se encuentran debe ser igual a cero. [25] Por último se explica la suficiencia, para esto visualizamos un árbol sin lazos en la figura 1.5, en consecuencia, se incluyen por lo menos dos nodo, y en cada uno de ellos sólo se conecta una rama de árbol. La corriente en ambas ramas se obtiene con facilidad a partir de las corrientes conocidas del enlace mediante la LKV. Si hay otros nodos en los que sólo se conecta una rama de árbol, tales corrientes de rama de árbol también se calcularían de manera inmediata. En el árbol que se presenta en la figura 1.5 se encuentran de ese modo las corrientes en las ramas A, B, C, y D. Moviéndose ahora a lo largo de las ramas del árbol se determinan las corrientes en las ramas de árbol E y F; el proceso podría continuar hasta que se determinen todas las corrientes de rama. [26] Por lo tanto, las corrientes de enlace resultan suficientes para obtener todas las corrientes de rama. Resulta útil considerar la situación donde se ha dibujado un árbol incorrecto que contiene un lazo. Incluso si todas las corrientes de enlace fueran 11.

(21) _________________________________ CAPÍTULO 1 cero, aún podría circular una corriente en torno a este lazo de árbol. Por consiguiente, la corriente de enlace no podría determinar a dicha corriente, así que no representarían un conjunto suficiente. Un árbol de estas características es imposible por definición. [26]. Para demostrar la independencia, nos complaceremos suponiendo que las únicas fuentes en la red son fuentes de tensión independientes. Como ya se señalo, las fuentes de corriente independientes en el circuito originan un número menor de ecuaciones, en tanto que las dependientes casi siempre necesitan un número mayor de ecuaciones. [27] Si sólo están presentes fuentes de tensión independientes, en este caso habrá precisamente (B-N+1) ecuaciones de lazo escritas en términos de las corrientes de lazo (B-N+1). Para demostrar que las (B-N+1) ecuaciones de lazo son independientes, sólo se requieren señalar que cada una representa la aplicación de una LKV alrededor del lazo que contiene un enlace que no aparece en cualquier otra ecuación. [28] Podríamos visualizar una resistencia diferente en cada uno de los enlaces y en ese caso es claro que nunca puede obtenerse una ecuación de las otras, dado que cada una contiene un coeficiente que no aparece en los demás. [29] En consecuencia, las corrientes de enlaces son suficientes para permitir que se obtenga una solución completa, y el conjunto de ecuaciones de lazo que usamos para determinar las corrientes de enlaces constituyen un conjunto de ecuaciones independientes. [30] 12.

(22) _________________________________ CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 2: EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 2.1 Resolver el circuito de la figura aplicando análisis nodal general.. Figura 1.6: Circuito del ejemplo 2.1 R: El circuito contiene cuatro nodos y cinco ramas. El gráfico del circuito se muestra en la figura. En el gráfico, las líneas gruesas representan el árbol y las líneas finas representan el coárbol. El árbol se dibuja de modo que la fuente de voltaje, el voltaje de control y la nueva variable V1 aparezcan como ramas del árbol y por tanto como variables asignadas. En la figura se muestran las tres ramas del árbol con los voltajes de rama del árbol Vx, 100 y V1. La fuente de voltaje define un supernodo, por tanto el circuito tiene un total de un supernodo y dos nodos (nodo derecho y nodo central superior). La ley de Kirchhoff de corriente (LKC) debe aplicarse un número de veces igual al número total de nodos y supernodos menos uno, en este ejemplo, dos veces.. 13.

(23) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.7: Gráfico lineal del circuito del ejemplo 2.1 Aplicando LKC en el nodo derecho: −. V 1 Vx − =0 15 14. (I). Aplicando LKC en el nodo central superior: −. Vx V 1 − Vx + 100 + + =0 8 15 4. (II). Resolviendo las ecuaciones I y II, se obtienen los valores de Vx y V1: Vx=56 V V1=-60 V R. MATLAB: >> V= solve('-V1/15-Vx/14=0','-Vx/8+V1/15+(-Vx+100)/4=0') V= V1: [1x1 sym] Vx: [1x1 sym] >>Vx=V.Vx Vx = 56 >> V1=V.V1 V1 =. 14.

(24) _________________________________ CAPÍTULO 2 -60 R. SIMULINK:. Figura 1.8: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.1. Figura 1.9: Parámetros generales para ejecutar la simulación.. 15.

(25) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.10: Bloque de parámetros de la fuente de alimentación.. Figura 1.11: Bloque de parámetros del resistor.. 16.

(26) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.12: Bloque de parámetros de la fuente de corriente dependiente de voltaje.. Figura 1.13: Bloque de parámetros del bloque ganancia.. 17.

(27) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.14: Bloque de parámetros del bloque conector horizontal.. Figura 1.15: Bloque de parámetros del voltímetro.. Figura 1.16: Bloque de parámetros del indicador digital.. 18.

(28) _________________________________ CAPÍTULO 2 Ejemplo 2.2 Determinar los voltajes Vx y Vy en el circuito de la figura aplicando análisis nodal general.. Figura 1.17: Circuito del ejemplo 2.2. R: El circuito contiene cinco nodos y ocho ramas. La gráfica lineal del circuito se muestra en la figura. En la gráfica, las líneas gruesas representan el árbol y las líneas finas representan el coárbol. El árbol se dibuja de modo que las dos fuentes de voltaje y los dos voltajes de control aparezcan como ramas del árbol y por tanto como variables asignadas. En la figura se muestran las cuatro ramas del árbol con los voltajes de rama del árbol Vx, 1, Vy y 4Vy. Las dos fuentes de voltaje definen supernodos, por tanto el circuito tiene un total de dos supernodos y un nodo (nodo superior). La ley de Kirchhoff de corriente (LKC) debe aplicarse un número de veces igual al número total de nodos y supernodos menos uno, en este ejemplo, dos veces.. 19.

(29) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.18: Gráfico lineal del circuito del ejemplo 2.2. LKC (en el nodo superior (2)) : 2Vx – 2 +1 (Vx – Vy -4Vy) = 0. (I). LKC (en el supernodo compuesto por el nodo derecho (3), el nodo inferior (4) y la fuente de voltaje dependiente): -2Vx +1Vy +2 (Vy – 1) + 1(4Vy +Vy – Vx) =0. (II). En vez de utilizar cuatro ecuaciones, utilizamos dos y se resuelven sin ninguna dificultad. Resolviendo el sistema de ecuaciones I, II: Vx = 2.89 V Vy =1.3 V R. MATLAB V=solve (‘2*Vx-2+1*(Vx-Vy-4*Vy)=0’,’-2*Vx+1*Vy+2*(Vy-1)+1*(4*Vy+Vy-Vx)=0’) V= Vx: [1x1 sym] Vy: [1x1 sym] >>Vx=V.Vx Vx = 2.8889 20.

(30) _________________________________ CAPÍTULO 2 >>Vy=V.Vy Vy = 1.3333 R. SIMULINK:. Figura 1.19: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.2.. 21.

(31) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.20: Ventana de dialogo del bloque Constante.. Figura 1.21: Bloque de parámetros de la fuente de voltaje dependiente de voltaje. Ejemplo 2.3 Calcule el valor de Vx. 22.

(32) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.22: Circuito del ejemplo 2.3. R: En la siguiente figura, las líneas gruesas representan el árbol y las delgadas el coárbol. Las dos fuentes de tensión y la tensión de control establecen el árbol de tres ramas. Dado que los nodos superiores y el nodo derecho inferior se unen para formar un supernodo, necesitamos escribir solo una LKC. Al elegir el nodo tenemos:. 23.

(33) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.23: Gráfico lineal del circuito del ejemplo 2.3. LKC (nodo inferior izquierdo 1 -1 –Vx/4 +3+(-Vx+30+6Vx)/5 =0 Vx =-32/3 V R. MATLAB: >>Vx=[3 32] Vx = 3. 32. >>Vx=roots(Vx) Vx = -10.6667 A pesar de la complejidad de este circuito, el uso del análisis nodal general dio como resultado una solución fácil. El uso del método de los voltajes de nodos requería más ecuaciones y más esfuerzo. R. SIMULINK:. 24.

(34) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.24: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.3. Ejemplo 2.4 Del siguiente circuito diga: a) ¿Cuántos árboles pueden ser dibujados? b) ¿Escriba dos ecuaciones con dos incógnitas y encuentre Vx? c) ¿Qué potencia suministra la fuente dependiente?. 25.

(35) _________________________________ CAPÍTULO 2 Figura 1.25: Circuito del ejemplo 2.4. R: El circuito tiene cuatro nodos y seis ramas. Las líneas gruesas representan el árbol y las finas el coárbol.. Figura 1.26: Gráfico lineal circuito del ejemplo 2.4. a) Solo pueden dibujarse un árbol.. El árbol se dibuja de modo que la fuente de voltaje, el voltaje de control y la nueva variable V1 aparezcan como ramas del árbol y por tanto como variables asignadas. En la figura se muestran las tres ramas del árbol con los voltajes de rama del árbol Vx, 20 y V1. b) Tenemos dos incógnitas Vx y V1 se requieren dos ecuaciones.. LKC (supernodo en la parte superior derecha) -0.1Vx + (20+Vx)/12 + Vx/100 = 0 Vx=250 V LKC (nodo superior izquierdo) -3 + V1/25 + 0.1Vx = 0 -3 + V1/25 + 0.1(250) = 0 V1=-550 V c) Vf + V1 - Vx - 20 =0. 26.

(36) _________________________________ CAPÍTULO 2 Vf -550 - 250 - 20 =0 Vf =820 V Pf =Vf * 0.1 Vx = 20500 W R. MATLAB: >> ('-0.1Vx+(20+Vx)/12+Vx/100=0') ans = -0.1Vx+(20+Vx)/12+Vx/100=0 >> Vx=-2000/-8 Vx = 250 >> ('-3+V1/25+0.1Vx=0,Vx=250') ans = -3+V1/25+0.1Vx=0,Vx=250 >> V1=(3-0.1*250)*25 V1 = -550 R. SIMULINK:. 27.

(37) _________________________________ CAPÍTULO 2 Figura 1.27: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.4. Ejemplo 2.5 Para el circuito mostrado en la figura, construya un árbol, escriba las ecuaciones nodales y halle Vx.. Figura 1.28: Circuito del ejemplo 2.5. R: En el circuito hay cinco nodos pero la presencia de dos fuentes independientes de voltaje con un terminal común hace que tres de ellos formen un supernodo. Debemos aplicar la LKC a dos de los tres nodos o supernodo restantes.. 28.

(38) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.29: Gráfico lineal circuito del ejemplo 2.5. LKC (nodo central superior izquierdo) (Vx+V1-80)/5+2+Vx/10=0 LKC (nodo central superior) -Vx/10+Vx/50+ (V1-20)/20=0 Aplicando sistemas de ecuaciones: Vx=19.02 V R. MATLAB: >> V=solve('(Vx+V1-80)/5+2+Vx/10=0,-Vx/10+V1/50+(V1-20)/20=0') V= V1: [1x1 sym] Vx: [1x1 sym] >>Vx=V.Vx Vx = 780/41 >> V1=V.V1 V1 = 1700/41 29.

(39) _________________________________ CAPÍTULO 2 R. SIMULINK:. Figura 1.30: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.5. Ejemplo 2.6 Use aplicando análisis nodal, el valor de V2 siendo Vx=0. 30.

(40) _________________________________ CAPÍTULO 2 Figura 1.31: Circuito del ejemplo 2.6. R: En el circuito hay cinco nodos, la presencia de dos fuentes de voltaje con un terminal común y una fuente de voltaje dependiente de voltaje, forman dos supernodos. Debemos aplicar la LKC a uno de los dos supernodos que quedan.. Figura 1.32: Gráfico lineal circuito del ejemplo 2.6. LKC (supernodo inferior) 2+ (24-Vx)/10 –Vx/20 – (Vx+V2)/5 -3 =0 Para Vx=0;V2=7 V R. MATLAB: >> ('2+ (24-Vx)/10-Vx/20-(Vx+5)/5-3=0'), ('Vx=0') ans = 2+ (24-Vx)/10-Vx/20-(Vx+5)/5-3=0 ans = Vx=0 V2=28/4 31.

(41) _________________________________ CAPÍTULO 2 V2 = 7 R. SIMULINK:. Figura 1.33: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.6. Ejemplo 2.7 Construya el árbol del circuito siguiente y calcule la corriente (i1) utilizando análisis general de lazo.. 32.

(42) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.34: Circuito del ejemplo 2.7. R: El circuito contiene seis nodos y ocho ramas. El árbol tiene cinco ramas y en el coárbol hay tres eslabones. Si se colocan las tres fuentes de voltaje en el árbol y las fuentes de corriente y la corriente de control en el coárbol, se tendrá el árbol mostrado en la figura. Teniendo en cuenta que existen tres eslabones es necesario establecer tres corrientes de lazo (por cada eslabón solo puede circular una corriente de lazo). La fuente de corriente dependiente establece la corriente de lazo 1,5i1 alrededor de la malla derecha. La fuente de 4 A establece la corriente de lazo como se muestra en la figura y la corriente de control i1 da la corriente de lazo restante alrededor del perímetro del circuito. Solo se tiene una variable desconocida (i1). En los lazos que contienen fuentes de corriente no se aplica la LKV, por tanto solo se requiere aplicar la LKV alrededor del perímetro del circuito.. 33.

(43) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.35: Gráfico lineal del ejemplo 2.7. 30+25+4(4-1.5i1+i1)+2(4+i1)-19+5i1=0 5i1=-60 i1=-12 A R. MATLAB: >> i1=[5 60] i1 = 5. 60. >> i1=roots(i1) i1 = -12 R. SIMULINK:. 34.

(44) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.36: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.7.. Figura 1.37: Bloque de parámetros del amperímetro Ejemplo 2.8 Hallar el valor de las corrientes Ia e Ib utilizando análisis general de lazo.. 35.

(45) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.38: Circuito del ejemplo 2.8. R: El circuito contiene cinco nodos y siete ramas. El árbol tiene cuatro ramas y en el coárbol hay tres eslabones. La fuente de voltaje debe estar en una rama del árbol y la fuente de corriente en uno de los eslabones. El árbol mostrado en la figura es uno de varios que pudieran ser construidos. Teniendo en cuenta que existen tres eslabones es necesario establecer tres corrientes de lazo. La fuente de corriente establece la corriente de lazo 7 A alrededor de la malla izquierda. Se define la corriente de lazo Ia en la malla superior derecha que circula por el eslabón que contiene el resistor de 3 Ω. Finalmente se define la corriente de lazo Ib que circula por el perímetro del circuito a través del eslabón que contiene el resistor de 1 Ω en la malla inferior derecha. Se tienen dos variables desconocidas (Ia e Ib). En el lazo que contiene a la fuente de corriente de 7 A no se aplica la LKV, por tanto solo se requiere aplicar la LKV dos veces. 36.

(46) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.39: Gráfico lineal del circuito del ejemplo 2.8. Recorriendo el lazo Ia, en el sentido de las manecillas del reloj desde su esquina inferior izquierda, se tiene: LKV 1(Ia-7)+2(Ia+Ib)+3Ia=0. (I). Recorriendo el lazo Ib, en el sentido de las manecillas del reloj desde su esquina inferior izquierda, se tiene: LKV -7+2(Ia+Ib)+1Ib=0. (II). Resolviendo el sistema de ecuaciones I, II: Ia=0.5 A e Ib=2 A R. MATLAB: >> I=solve('1*(Ia-7)+2*(Ia+Ib)+3*Ia=0,-7+2*(Ia+Ib)+1*Ib=0') I= Ia: [1x1 sym] Ib: [1x1 sym] >>Ia=I.Ia Ia = 1/2 >>Ib=I.Ib Ib = 2 37.

(47) _________________________________ CAPÍTULO 2 R. SIMULINK:. Figura 1.40: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.8. Ejemplo 2.9 En el circuito de la figura, calcule las corrientes I1 y I2 utilizando análisis general de lazo:. Figura 1.41: Circuito del ejemplo 2.9. 38.

(48) _________________________________ CAPÍTULO 2 R: En el circuito tenemos tres mallas y una fuente de corriente, por tanto aplicamos LKV dos veces.. Figura 1.42: Gráfico lineal circuito del ejemplo 2.9. LKV (I1 se mueve en el sentido de las manecillas del reloj) -80+5I1+10(I1-2)+20(I1+I2-2)+20=0. (I). LKV (I2 se mueve en el sentido de las manecillas del reloj) 20(I2+I1-2)+20+50I2=0. (II). Resolviendo (I) y (II) I1=3.9A y I2=-0.829A R.MATLAB: >> A=[35 20;20 70] A= 35. 20. 20. 70. >> b=[120;20] b= 120 20 >> I=A\b 39.

(49) _________________________________ CAPÍTULO 2 I= 3.9024 -0.8293 R.SIMULINK:. Figura 1.43: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.9. Ejemplo 2.10 Halle el valor de la corriente que pasa por el resistor de 7Ω.. Figura 1.44: Circuito del ejemplo 2.10. R: 40.

(50) _________________________________ CAPÍTULO 2 En el siguiente circuito se forma una sola ecuación, debido a la presencia de una fuente de corriente independiente y otra fuente de corriente dependiente de corriente. La corriente (I) se mueve en contra de las manecillas del reloj abarcando toda la extensión del circuito, por tanto aplicamos una LKV por todo el perímetro del circuito.. Figura 1.45: Gráfico lineal circuito del ejemplo 2.10. LKV: -20+7(-I)+30+10(-I-10)+15(-I-10+0.5I)-30=0 -24.5I=270, siendo I=-11.02A R.MATLAB: >> I=[-24.5 -270] I= -24.5000 -270.0000 >> I=roots(I) I= -11.0204 R.SIMULINK:. 41.

(51) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.46: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.10. Ejemplo 2.11 En el circuito de la figura, halle el valor de corriente I2. Figura 1.47: Circuito del ejemplo 2.11. R: En el circuito tenemos dos mallas, por tanto hay que aplicar dos LKV, uno en la malla derecha y otro por todo el perímetro del circuito. Para realizar los LKV vamos a tomar como incógnitas las variables I1y I2, siendo la primera la variable a calcular.. 42.

(52) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.48: Gráfico lineal circuito del ejemplo 2.11. LKV (en la malla derecha) 28+2(I1+I2)-24+2I1=0. (I). LKV (en todo el circuito) 28+2(I2+I1)-24+1I2=0. (II). Resolviendo (I) y (II) I1=-0.5A y I2=-1A R.MATLAB: >> I=solve('28+2*(I1+I2)-24+2*I1=0,28+2*(I2+I1)-24+1*I2=0') I= I1: [1x1 sym] I2: [1x1 sym] >> I1=I.I1 I1 = -1/2 >> I2=I.I2 I2 = -1 R.SIMULINK:. 43.

(53) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.49: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.11. Ejemplo 2.12 En el siguiente circuito halle el valor de la corriente (I1) utilizando análisis general de lazo. Figura 1.50: Circuito del ejemplo 2.12. R: En el circuito hay dos mallas, por son dos ecuaciones. 44.

(54) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.51: Gráfico lineal circuito del ejemplo 2.12 LKV (en el lazo de la derecha) 4(I+I1)-10+3I=0. (I). LKV (en todo el circuito) 6I1+4(I1+I)-10-42. (II). Resolviendo (I) y (II) I=-2A y I1=6A R.MATLAB: >> I2=solve('4*(I+I1)-10+3*I=0,6*I1+4*(I1+I)-10-42=0') I2 = I: [1x1 sym] I1: [1x1 sym] >> I=I2.I I= -2 >> I1=I2.I1. I1 = 6 R.SIMULINK:. 45.

(55) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura1.52: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.12. Ejemplo 2.13 Determinar los voltajes Vx y Vy en el circuito de la figura aplicando análisis nodal general.. Figura1.53: Circuito del ejemplo 2.13. R: Elegimos el nodo central como referencia según se muestra, y asignamos V1 a V4 en el sentido de las manecillas del reloj, empezando desde el nodo izquierdo.. 46.

(56) _________________________________ CAPÍTULO 2 Después de establecer un supernodo en torno a cada fuente de tensión, vemos que necesitamos escribir ecuaciones de LKC sólo en el nodo 2 y en el supernodo que contiene a la fuente de tensión dependiente. No es necesario escribir una ecuación adicional para el supernodo que contiene al nodo1 y a la fuente de tensión independiente, pues está claro que V1= -1V (I) LKC (Nodo 2) 2(V2-V1)+(V2-V3)=2. (II). LKC (Supernodo 3-4) 2Vx=(V3-V2)+2V4+(V4-V1). (III). A continuación relacionaremos las tensiones de fuente con las tensiones de nodo: V3-V4=4Vy. (IV). Y 4Vy=4(V4-V1). (V). Por último, expresaremos la fuente de corriente dependiente en términos de las variables asignadas. 2Vx=2(V2-V1). (VI). El sistema será el siguiente: V1= -1V 2(V2-V1)+(V2-V3)=2 2(V2-V1)=(V3-V2)+2V4+(V4-V1) V3-V4=4(V4-V1) Resolviendo el sistema V1=-1V, V2=1.89V, V3=5.67V, V4=0.33V. Entonces: Vx= (V2-V1)=1.89-(-1)=2.89V Vy= (V4-V1)=O.33-(-1)=1.33V R. MATLAB: >>. V=solve('V1=-1,2*(V2-V1)+(V2-V3)=2,2*(V2-V1)=(V3-V2)+2*V4+(V4-V1),V3-. V4=4*(V4-V1)') V= V1: [1x1 sym] 47.

(57) _________________________________ CAPÍTULO 2 V2: [1x1 sym] V3: [1x1 sym] V4: [1x1 sym] >> V1=V.V1 V1 = -1 >> V2=V.V2 V2 = 1.89 >> V3=V.V3 V3 = 5.67 >> V4=V.V4 V4 = 0.33 R. SIMULINK:. 48.

(58) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura1.54: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.13. Ejemplo 2.14 Hallar el valor de las corrientes Ia e Ib utilizando análisis general de lazo.. 49.

(59) _________________________________ CAPÍTULO 2. Figura 1.55: Circuito del ejemplo 2.14. R: Advertimos aquí que una fuente de corriente independiente de 7A está en la frontera común de dos mallas. Las corrientes de mallas i1, i2 e i3 ya se han asignado; además la fuente de corriente nos lleva a crear una supermalla cuyo interior es el de las mallas 1 y 3. LKV (En las mallas 1 y 3) -7+1(i1-i2)+3(i3-i2)+1i3=0. (I). LKV (En la malla 2) 1(i2-i1)+2i2+3(i2-i3)=0. (II). Por último, la corriente de la fuente independiente se relaciona con las corrientes de malla supuesta: i1-i3=7. (III). Resolviendo el sistema: i1=9A, i2=2.5A, i3=2A Entonces: Ia= (i2-i3)=2.5-2=0.5A Ib= i3=2A R.MATLAB >> i=solve('i1-4*i2+4*i3=7,-i1+6*i2-3*i3=0,i1-i3=7') i= 50.

(60) _________________________________ CAPÍTULO 2 i1: [1x1 sym] i2: [1x1 sym] i3: [1x1 sym] >> i1=i.i1 i1 = 9 >> i2=i.i2 i2 = 2.5 >> i3=i.i3 i3 = 2 R. SIMULINK:. Figura 1.56: Archivo .mdl para el circuito del ejemplo 2.8.. 51.

(61) ______________________________ CONCLUSIONES CONCLUSIONES. Con la elaboración de este trabajo hemos llegado a las conclusiones siguientes: 1- El trabajo de diploma ha permitido elaborar un material complementario que presenta una introducción a los conceptos básicos de la topología de redes aplicados en la solución de los circuitos eléctricos. 2- El material incluye ejercicios resueltos que ilustran de manera coherente la aplicación de elementos de topología en la solución de circuitos eléctricos. Los mismos se han resuelto complementariamente con ayuda del Matlab y su simulador el Simulink. 3- El material complementario elaborado será de utilidad para los profesores y estudiantes que requieran ampliar sus conocimientos sobre este tema no incluido en las asignaturas de la disciplina Circuitos Eléctricos.. 52.

(62) _________________________ RECOMENDACIONES RECOMENDACIONES. - Colocar en la red universitaria los ejercicios resueltos para que puedan ser utilizados, por parte de estudiantes y profesores en su superación. - Resolver ejercicios más complejos y más estrechamente vinculados con la práctica profesional.. 53.

(63) _______________ REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 1-W.H. Hayt, J.E. Kemmerly and S.M. Durbin."Análisis de circuitos en ingeniería". 2-http://www.uco.es/~el1bumad/docencia/oopp/tema1.pdf 3-http://www.labc.usb.ve/paginas/mgimenez/Ec1251/CAP1.pd 4-http://www.buenastareas.com/materias/topologia-de-redes-circuitos-electricos/0 5-http://www.inele.ufro.cl/apuntes/Redes_Electricas_I/Tr_cap3.pdf 6-http://es.notices-pdf.com/topologia-de-circuitos-electricos-pdf.html 7-http://redeselectricasiunefatinaquillo.blogspot.com/2013/03/unidad-iii-topologia-deredes.html 8-http://books.google.com.cu/books?id=cTHI60VShkC&pg=PA120&lpg=PA120&dq=Topolog%C3%ADas+de+circuitos+el%C3%A9 ctricos&source=bl&ots=OIYJtNY4LK&sig=fC3za2fvMoAinyG4zLa19mctlFc&hl=es419&sa=X&ei=MKEU4u_OMaoyASok4GIBQ&ved=0CC4Q6AEwATgK#v=onepage&q=Topolog%C3%AD as%20de%20circuitos%20el%C3%A9ctricos&f=false 9-http://www.ceiucaweb.com.ar/documentos/1-ciclo-basico/2do-anio-2docuatri/electro/practica/3-Electrotecnia_I-Capitulo_3.pdf 10-http://www.ikerkuntza.ehu.es/p273content/es/contenidos/informacion/vri_encuentos/es_vri_encu/adjuntos/Apert_Renovabl es2.pdf 11-http://arantxa.ii.uam.es/~eyc/apuntes/t3.pdf 12-http://agamenon.tsc.uah.es/Asignaturas/itis/ce/programa.htm 13-http://apuntes.coyan.es/Ficheros/teoria_de_circuitos_apuntescoyanes.pdf 14-http://personales.unican.es/rodrigma/PDFs/Resolucion%20Monofasica.pdf 15http://www.google.com.cu/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=25&cad=rja&uac t=8&ved=0CD4QFjAEOBQ&url=http%3A%2F%2Fteleinformaticajvg.wikispaces.com%2 Ffile%2Fview%2FCabral.doc&ei=kaEU5GSAZSyyATMuYKYCQ&usg=AFQjCNG5EhJdKbklu8Eo0P5H_J0Tas_0_g. 54.

(64) _______________ REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 16http://www.cedip.edu.mx/tesinas/tesis_uam/Ecuaciones%20diferenciales%20de%20las %20redes%20no%20lineales_UAMI13646.pdf 17-http://www.dte.uvigo.es/tesis/andres.nogueiras/capitulo-1.pdf 18http://www.google.com.cu/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=32&cad=rja&uac t=8&ved=0CC0QFjABOB4&url=http%3A%2F%2Fwww.op.upm.es%2Findex.php%3Fopti on%3Dcom_docman%26task%3Ddoc_download%26gid%3D83%26Itemid%3D&ei=7ue EU5i-KM-UyATG0oDwDQ&usg=AFQjCNEq9CEhy8-NjKHrbMs6XMoy-eNFIQ 19-http://e-spacio.uned.es/fez/eserv.php?pid=taee:congreso-20001147&dsID=S3C06.pdf 20-http://www.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/circelec/realim.pdf 21-http://ssfe.itorizaba.edu.mx/ntec13/webext/retesp/electrica/electrica/circuitoselectricosI.pdf 22-http://www.hacienda.go.cr/cifh/sidovih/cursos/material_de_apoyo-f-ccifh/3materialdeapoyocursosina/fundamentoselectronicaparainformaticos/analisiscircuito s.pdf 23-http://www.schneiderelectric.es/documents/local/productosservicios/distribucion_electrica/guia_instalaciones_electricas/capitulo-e-distribucioninstalaciones-bt.pdf 24-http://www.ie.itcr.ac.cr/marin/lic/el3212/Libro/Tema4.pdf 25-http://www.uhu.es/geyer/Congresos_nac/congresos%20nacionales/CN_2.pdf 26http://www.google.com.cu/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=51&cad=rja&uac t=8&ved=0CCcQFjAAODI&url=http%3A%2F%2Fwww.geocities.com%2Fdrjera%2FClas e4_CK1.pdf&ei=1uuEU6eoEZW3yAS0tIGgBw&usg=AFQjCNH4wGcoDvrBNIndSPYBth W7JSva9g 27-http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/martinez_v_da/capitulo2.pdf 28http://iniciativapopular.udg.mx/muralmta/mrojas/cursos/elect/apuntesdefinitivos/UNIDAD 5/5.1.3.pdf 55.

(65) _______________ REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 29-http://ixil.izt.uam.mx/pd/lib/exe/fetch.php/ib:academias:215122_ce2.pdf 30-http://www.biblioteca.uma.es/bbldoc/tesisuma/16762204.pdf. 56.

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